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数学 NAVI テキスト
中学2年 第7章 相似な図形
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このテキストは「数学ナビ」の学習をすすめるためのテキストです。ですから、「数学ナビ」
を使用して学習する際に有効的に使用してください。
このテキストには、「数学ナビ」で出題される全ての問題が掲載されていますので、学習す
る場合にこのテキストで問題を解き、コンピュータで解説を受けてください。
中学2年 第7章 相似な図形
2
学習の手順
ひとつの小単元を選び、「レッスン」で「授業」を受ける「授業」の中の「例題」はテキストを使って実際に解いてみる
次に、テキストで同じ小単元の「練習問題」を解いてみる
解いた「練習問題」を『数学ナビ』で答え合わせし、解説を聞く間違えた問題はさらに解き直しをする
一通りの学習が終わったところで「チェックテスト」を解いてみる
『数学ナビ』で答え合わせをし、テスト結果・解答解説を見る間違えた問題はさらに解き直しをする
『数学ナビ』で「まとめの学習」をやってみる
テキストで「入試のチャレンジ」を解いてみる
『数学ナビ』で答え合わせし、解説を見る間違えた問題はさらに解き直しをする
レッスン
チェックテスト
まとめの学習
入試問題にチャレンジ
中学2年 第7章 相似な図形
3
中学2年 第7章 相似な図形 MAP
1.相似な図形
2.三角形の相似条件
3.平行線と線分の比
4.中点連結定理と重心
中学2年 第7章 相似な図形
4
例題
例題1 次の各組の図形で、必ず相似になるものはどれですか。記号で答えなさい。
ア 2つの長方形 イ 2つの正方形 ウ 2つの二等辺三角形 エ 2つの正三角形
例題2 下の図で、四角形 ABCD∽四角形 EFGHであるとき、次の問いに答えなさい。
(ア) ∠ D, ∠ Fの大きさを求めなさい。
(イ)四角形 ABCDと四角形 EFGHの相似比を求めなさい。
(ウ)辺 CD,EHの長さを求めなさい。
例題3 ∠ Aが直角である△ABCの頂点Aから斜辺BC
に垂線ADをひくと、△ABCと△DBAは相似になります。
このことを証明しなさい。
例題4 次の図で、BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
中学2年 第7章 相似な図形
5
例題5 下の図で、a //b // cのときの、 xの長さを求めなさい。
例題6 下の図で、BC//DEのとき、ECの長さを求めなさい。
例題7 下の図で、AD//EF//BCのとき、 x, yの長さをそれぞれ求めなさい。
例題8 下の図で、AD:DB=AE:EC=4:3のとき、DE//BCとなることを証明しなさい。
中学2年 第7章 相似な図形
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例題9 下の図で、点 D,Eは AB,ACの中点です。BC=12cmのとき、DEの長さを求めなさい。
例題 10 下の図は、AP=PB=BR,AQ=CQです。このとき、BS:CSを求めなさい。
例題 11 下の図のように、ひし形 ABCDの 1つの頂点 Cと辺 ABの中点Mを結び、対角線 BDと
の交点を Pとします。このとき、BP:PDを求めなさい。
中学2年 第7章 相似な図形
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練習問題
練習1 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき
に使った相似条件を書きなさい。
(ア) (イ)
練習2 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき
に使った相似条件を書きなさい。
(ア) (イ)
練習3 下の図において、△ABC と相似な三角形を、記号を使って表しなさい。また、そのとき
に使った相似条件を書きなさい。
(ア) (イ)
中学2年 第7章 相似な図形
8
練習4 △ABC において、点 B,C から辺 AC,AB にそれぞれ垂
線 BD,CEを引くとき、△ABD∽△ACEであることを次のように証
明しました。 の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABDと△ACEにおいて、
∠ ア は共通‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
仮定より、 ∠ ADB= ∠ イ =90° ‥‥‥‥‥‥②
①,②より ウ がそれぞれ等しいから、△ABD∽△ACE
練習5 右の△DEFは、△ABCを形を変えずに一定の割合
で拡大したものです。次の問いに答えなさい。
(ア)相似の中心はどこですか。
(イ)辺 BCに対応する辺はどれですか。
練習6 右の図で、△ABCと△DEFは点 Oを相似の中心と
して、相似の位置にあります。次の問いに答えなさい。
(ア)頂点 Aに対応する頂点はどれですか。
(イ)辺 EFに対応する辺はどれですか。
練習7 右の図は、相似の位置にある2つの三角形を表して
います。次の問いに答えなさい。
(ア)相似の中心はどこですか。
(イ)辺 ABに対応する辺はどこですか。
中学2年 第7章 相似な図形
9
練習8 右の図は、相似な位置にある2つの三角形を表し
ています。次の問いに答えなさい。
(ア)相似の中心はどこですか。
(イ)2つの三角形が相似であることを、記号を使って表
しなさい。
練習9 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)△ABCと△DEFの相似比を求めなさい。
(イ)辺 DEの長さを求めなさい。
練習 10 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)辺 ACの長さを求めなさい。
(イ)辺 EFの長さを求めなさい。
中学2年 第7章 相似な図形
10
練習 11 下の図で、△ABC∽△DEFであるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)辺 DEの長さを求めなさい。
(イ) ∠ Cの大きさを求めなさい。
練習 12 下の図で AB//CDのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 13 下の図で BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
中学2年 第7章 相似な図形
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練習 14 下の図で、AB//CDのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 15 下の図で、BC//DEのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 16 下の図で、a //b // cのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
中学2年 第7章 相似な図形
12
練習 17 下の図で、a //b // cのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 18 下の図で、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 19 下の図で AD//EF//BCのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
中学2年 第7章 相似な図形
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練習 20 下の図で AD//EF//BCのとき、 xの長さを求めなさい。
(ア) (イ)
練習 21 右の図は、AB=CDである四角形 ABCDの辺 ADの
中点をM、辺 BCの中点を Nとしたものです。対角線 ACの
中点を Pとするとき、△PMNが二等辺三角形であることを次
のように証明しました。 の中に適当な記号を書きな
さい。
〔証明〕△ACDで、M、Pはそれぞれ中点なので
MP = 21 ア ‥‥‥‥①
また、△CABで、N、Pはそれぞれ中点なので、
NP = 21 イ ‥‥‥‥②
仮定より、AB=CD‥‥‥‥‥③
①,②,③より、MP= ウ
よって、△PMNは二等辺三角形である。
練習 22 右の図の△ABCで、辺 BC の中点を D、辺
ACを三等分する点を F,Eとし、ADと BFの交点を
G とします。BF=28cm のとき、次の問いに答えなさ
い。
(ア)DEの長さを求めなさい。
(イ)BGの長さを求めなさい。
中学2年 第7章 相似な図形
14
練習 23 右の図の△ABCで、辺 ABを三等分する点を
D,E、辺 BC,辺 CAの中点をそれぞれ F,Gとし、EC
と FGの交点を Hとします。次の問いに答えなさい。
(ア)DG=8cmのとき、ECの長さを求めなさい。
(イ)GF=6cmの時、HFの長さを求めなさい。
練習 24 右の図は、△ABCの辺 AB,ACの中点をそれぞれ
M,Nとし、ABの延長上にMB:BD=2:1となる点 Dをとり、
NDと BCの交点を Eとしたものです。BC=12cmであるとき、
次の問いに答えなさい。
(ア)MNの長さを求めなさい。
(イ)BEの長さを求めなさい。
練習 25 右の図は、△ABCの辺 AB,ACの中点をそれぞ
れM,Nとし、ACの延長上に NC:CD=2:3となる点 D
をとり、MDと BCの交点を Eとしたものです。BC=30cm
であるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)MNの長さを求めなさい。
(イ)ECの長さを求めなさい。
練習 26 右の図で、Gは△ABCの重心です。BD=2cm,AD=6cm
のとき、次の問いに答えなさい。
(ア)CDの長さを求めなさい。
(イ)AGの長さを求めなさい。
中学2年 第7章 相似な図形
15
練習 27 右の図で、G を△ABC の重心とします。AG の延長と辺
BC との交点を D,G を通り辺 BC と平行な直線と辺 AB,AC との
交点をそれぞれ E,Fとします。AB=18cm,BC=24cmのとき、次
の問いに答えなさい。
(ア)AEの長さを求めなさい。
(イ)EGの長さを求めなさい。
練習 28 右の図で、△ABCの中線 AP,CQの交点を Gとし、
Qから辺 BCに平行な直線をひき、APとの交点を Rとします。
AP=36cmのとき、次の線分の長さを求めなさい。
(ア)AR
(イ)RG
中学2年 第7章 相似な図形
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入試問題-標準問題
問1 次の問いに答えなさい。
(ア)下の図で、AB=3cm、EF=5cm、AB//CD//EFであるとき、線分 CDの長さを求めなさい。
(桐光)
(イ)右の図のように、平行四辺形 ABCD において、辺 BC を5:
2の比に分ける点を P、辺 CDを2:1の比に分ける点を Q、AP
と BQの交点を Rとするとき、BR:RQを最も簡単な整数の比で
表しなさい。(桐蔭)
問2 次の問いに答えなさい。
(ア)右の図において、 ∠ ABC= ∠ AED であるとき、EC の長さを求め
なさい。
(イ)右の図で、四角形 ABCDは AD//BCの台形です。また、P,
Q はそれぞれ辺 AB,DC 上の点で、PQ//AD です。AD=8
cm,BC=18cm,ABAP=
52のとき、PQの長さを求めなさい。
問3 右の図において、四角形 ABCDは正方形であり、Eは ADの中点、Fは
ACと BEとの交点です。このとき、次の問いに答えなさい。
(ア)EFの長さと FBの長さとの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(イ)四角形 EFCDの面積は、正方形の面積の何倍になるか求めなさい。
(大阪府・一部)
中学2年 第7章 相似な図形
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問4 右の図のように平行四辺形 ABCDがあります。辺 AD上に、点 E
を AE:ED=1:3となるようにとり、CEの延長と辺 BAの延長
との交点を Fとし、CEと BDとの交点を Gとします。このとき、
次の問いに答えなさい。
(ア)△ABEの面積は△ADFの面積の何倍になるか求めなさい。
(イ)FE:EGを最も簡単な整数の比で表しなさい。(京都府)
問5 右の図の四角形 ABCDにおいて、AD//BC//EFのとき、次の
問いに答えなさい。
(ア) xの値を求めなさい。 (イ) yの値を求めなさい。(同志社香里)
問6 右の図のように、三角形 ABC の辺 BC,AC のそれぞれの中点
を D,Eとし、AD,BEの交点を Gとします。このとき、次の問
いに答えなさい。
(ア)AG:GD=2:1であることを証明しなさい。
(イ)三角形 ABC の面積が 48cm2であるとき、四角形 EGDCの
面積を求めなさい。(石川県)
問7 右の図のような△ABCの辺 BC上に BP:PC=1:2となる点
Pをとり点 Aと結び、辺 ACの中点を Mとし、中点 Mから BC
に平行な直線を引き、線分 APとの交点を Qとします。また線分
APと線分BMとの交点をRとするとき、次の問いに答えなさい。
(ア)AQ:QRの比を求めなさい。
(イ)四角形 RPCM の面積は、△BPR の面積の何倍となるかを
求めなさい。(芝浦工大)
中学2年 第7章 相似な図形
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問8 右の図の台形 ABCDは AD//BCで高さは5cm、AD=3cm、BC
=6cmです。辺 ABを1:2に分ける点を Eとするとき、△CDE
の面積を求めなさい。(国府台女子)
問9 右の図のように、直線①,②は、点 A(2,12)で交わっています。また直線①は、 y軸と点 D(0,8)で、 x軸と点 B でそれぞれ交わ
っています。そして、直線②は x軸と点 C(6,0)で交わっていると
き、次の問いに答えなさい。
(ア)直線①の式を求めなさい。
(イ)△ABCの重心を Gとするとき、Gから x軸に垂線 GHをひくと
き GH の長さを求めなさい。ただし、座標軸の単位の長さは1cm
とします。(山梨県)
問 10 右の図のように、△ABCにおいて Dは ACの中点、BE:EC=
2:3、DF//AE、AEと BDの交点を Gとします。このとき、次
の問いに答えなさい。
(ア)EF:FC,BG:GD,AG:GEの比を最も簡単な整数の比で
それぞれ表しなさい。
(イ)△BEG の面積を2とするとき、△ABG,四角形 EFDG の
面積を求めなさい。(高知学芸)
問 11 右の図において、AB=12cm,BD=3cm,DC=5cmとし、
辺 AB上を動く点 Pが Aから出発して毎秒 0.25cmの速さで
Bに向かっているものとします。このとき、次の問いに答え
なさい。
(ア)△ABC と△PBD が初めて相似となるのは出発してか
ら何秒後か求めなさい。
(イ)△ABC と△DBP が2回目に相似となるのは1回目の
ときよりもさらに何秒後か求めなさい。(成徳短大附)
中学2年 第7章 相似な図形
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問 12 右の図のように△ABCの辺 BC,ACの中点をそれぞれD,Eとします。
また、AD上に、2AF=FDとなるように点 Fをとり、ADと BE,BEと
CFの交点をそれぞれ G,Hとします。このとき、次の問いに答えなさい。
(ア)BE:BHを最も簡単な整数の比で表しなさい。
(イ)△BCHと△FGHの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(城北埼玉)
問 13 右の図において、BC//HI,BD=2cm,DC=4cm,CE
=5cm,EA=3cmのとき、次の問いに答えなさい。
(ア)AIの長さを求めなさい。
(イ)AHの長さを求めなさい。(佼成学園女子)
問 14 右の図のように、AB=8cm,BC=18cm,CD=4cm,∠ B= ∠ C
=90°の四角形 ABCDがあります。点 Pは点 Bを出発して辺 BC
上を頂点 Cまで毎秒2cmの速さで動きます。点 Pと頂点 A,点 P
と頂点 B を直線で結ぶとき、AP+PD がもっとも短くなるのは、
点 Pが頂点 Bを出発して何秒後か求めなさい。(山梨県)
問 15 右の図の四角形 ABCDは長方形です。点 Eは辺 AD上にあり、
点 Fは ACと BEの交点です。AD=8cm,AB=4cm,AE=2cm
のとき、次の問いに答えなさい。
(ア)△ABC∽△EABであることを証明しなさい。
(イ)Eと C,Fと Dを結ぶ線分の交点を Gとします。△EFGと
△DGCの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。
(青森県)
中学2年 第7章 相似な図形
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入試問題-発展問題
問1 次の問いに答えなさい。
(ア)平行四辺形 ABCDの辺 BCの中点を E、対角線 ACと BDの交
点を F、線分 AEと BDの交点を Gとします。このとき、△AFG
と平行四辺形 ABCD の面積の比を、最も簡単な整数比で表しな
さい。(市川・一部)
(イ)平行四辺形 ABCDで、BE:EC=2:1となる点を Eとし
ます。△DEFの面積と四角形 ABCD の面積の比を、最も簡
単な整数比で表しなさい。(中大杉並)
問2 右の図の長方形 ABCDで、AB:BC=2:3、点 Fは辺 CDの中点
とし、BE=DF=2cmとします。このとき、次の問いに答えなさい。
(ア)△HFDの面積を求めなさい。
(イ)BG:GH:HDを最も簡単な整数の比で表しなさい。
(ウ)△AGHの面積を求めなさい。(東京工業)
問3 次の問いに答えなさい。
(ア)右の図において、AD,BE はそれぞれ ∠ A, ∠ B の二等分線で
Fはその交点です。△AFEの面積は、△ABCの面積の何倍になる
か求めなさい。(駿台甲府)
(イ)右の図のような△ABC において ∠ A の二等分線と
辺 BCとの交点を D、 ∠ Aの外角の二等分線と辺 BC
の延長線との交点を Eとします。AB=8cm,BC=7
cm,CA=6cmとするとき、DEの長さを求めなさい。
(巣鴨)
中学2年 第7章 相似な図形
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問4 右の図の△ABCにおいて、辺 ABを2:1の比に分ける点をM,辺 AC
の中点を N とします。また線分 MN を1:2の比に分ける点を P とする
とき、次の問いに答えなさい。
(ア)△PMBと△PNAの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(イ)△PBCの面積は△ABCの面積の何倍となるか求めなさい。(東海)
問5 AB=8,BC=7,CA=6である△ABCにおいて、線分 BCを Cの方へ延長して、その上に点 P
をとり、 ∠ PAC= ∠ PBAとなるようにするとき、次の問いに答えなさい。
(ア)PC= xとして、APを定数項が0でない xの一次式を用いて表しなさい。
(イ)PCの長さを求めなさい。(慶應)
問6 右の図のような辺BCの長さが6,面積が12の鋭角三角形において、
辺 BCに平行な直線が2辺 AB、ACと交わる点をそれぞれ P,Qとし
ます。このとき、次の問いに答えなさい。
(ア)PQを一辺とする正方形 PQRSの辺 SRが BC上にくるとき、PQ
の長さを求めなさい。
(イ)PQと BCの距離を、PQの長さを xとして、 xの式で表しなさい。(共立女子・改)
中学2年 第7章 相似な図形
問7 右の図は、長方形 ABCDの紙片を、頂点 Dが辺 BC上の点 Eに重
なるように、線分 AFを折り目として折ったときの図です。このとき、
次の各問いに答えなさい。
(ア)△ABE∽△ECFであることを次のように証明しました。
(1) ~ (3) に当てはまる記号や語を入れて証明を
完成しなさい。
(イFDPD
問8 3
のよ
しま
(ア
(イ
(ウ
証明
△ABEと△ECFにおいて、
四角形 ABCDは長方形だから
∠ (1) = ∠ ECF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
∠ AECは△ABEの頂点 Eにおける (2)
だから
∠ AEC= ∠ (1) + ∠ BAE‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
また ∠ AEC= ∠ AEF+ ∠ (3) ‥‥‥‥‥‥‥③ ここで ∠ (1) = ∠ AEFだから
②,③より ∠ BAE= ∠ (3) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ ①,④より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABE∽△ECF
22
)もとの長方形 ABCDの対角線 BDと線分 AEとの交点を Pとするとき、FCPB
= であるこ
とを証明しなさい。(熊本県)
辺の長さが3cm,4cm,5cm の直角三角形 ABC を右の図
うに BC の中点 O を中心として時計と同じ向きに 90°回転
した。このとき、次の問いに答えなさい。
)△B’ORの面積を求めなさい。
)△B’PQの面積を求めなさい。
)四角形 OPQRの面積を求めなさい。(日大豊山女子)
中学2年 第7章 相似な図形
23
問9 AD//BC,AD:BC=1:2の台形 ABCDがあります。2点 E,
Fはそれぞれ2辺 AB,DC上にあって、線分 BF,CEがどちら
もこの台形 ABCD の面積を二等分しています。このとき、次
の問いに答えなさい。
(ア)AE:EBを求めなさい。
(イ)AD:EFを求めなさい。
(ウ)線分 BFと CEの交点を Gとするとき、△EFGの面積は
台形 ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。(桐朋)
問 10 右の図のように、△ABCの辺 BCを2:3に分ける点を D、辺
ACを6:5に分ける点を Eとし、ADと BEの交点を Fとします。
さらに辺 ABの延長上に点 Hをとり、線分 HCと ADの延長との
交点を Iとするとき、次の問いに答えなさい。
(ア)△AEFの面積は△BDFの面積の何倍になるか求めなさい。
(イ)Iが HCの中点であるとき、線分 BHは ABの何倍になるか
求めなさい。
(ウ)I が HC の中点であるとき、△AHC の重心を G とすると、
AG:GDを最も簡単な整数の比で表しなさい。(修道)
問 11 右の図のように、AB=6cm,BC=8cmの平行四辺形 ABCDが
あります。 ∠ C の二等分線と辺 BA の延長との交点を E とし、辺
CD上に点 Fを CF:FD=2:1となるようにとります。また対角線
BDと EC,EFとの交点をそれぞれ P,Qとするとき、次の問いに答
えなさい。
(ア)AEの長さを求めなさい。
(イ)BD=7cmのとき PQの長さを求めなさい。
(ウ)△DQFと平行四辺形 ABCDの面積比を求めなさい。(桜美林)
中学2年 第7章 相似な図形
24
問 12 右の図のように、平行四辺形ABCDの辺 BCの延長上に2BC
=CEとなる点 Eをとり、Aと Eを結びます。辺 CDと線分 AE
との交点を Fとするとき、次の問いに答えなさい。
(ア)四角形 ABCFの面積は、△AFDの面積の何倍になるか求
めなさい。
(イ)頂点 Bを通り四角形 ABCFの面積を二等分する直線をl
とします。lと AEの交点を Pとするとき、AP:PFを求め
なさい。
(ウ)(イ)の lと、ADの延長線との交点を Qとするとき、AQ:QDを求めなさい。(洛南)
問 13 右の図のような四角形 ABCD があって、AD と BC は平行でないもの
とします。対角線 ACと BD の交点を P、Pから ADに平行線を引き AB
との交点を Q、Qから BCに平行線を引き ACとの交点を R、Rから AD
に平行線を引き CDとの交点を Sとし、Sと Pを結びます。このとき、次
の問いに答えなさい。
(ア)四角形 PQRSは平行四辺形であることを証明しなさい。
(イ)△PDA,△PAB,△PQRの面積がそれぞれ 10,15,6であるとき、
△PBC,△PCDの面積を求めなさい。(甲陽)
問 14 三角形の3つの中線を3辺とする三角形は、もとの三角形の面積の何倍になるか求めなさい。
(甲陽)
問 15 床に垂直な柱の A点に床に平行な長さ 84cmの横木が取りつけてあ
ります。また横木の上方には柱に沿って上下に動かすことのできる電
灯があり、床に横木の影ができるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)はじめ柱の B点にあった電灯を、床からの高さが B点の高さの
2倍である C 点まで動かしたら、横木の影の長さは、はじめの影
の43倍になりました。このとき、AB:ACを求めなさい。
(イ)電灯を C点から 80cm下の D点に動かしたら、影は 15cmのびま
した。A点の床からの高さを求めなさい。(武蔵)