Проценты

Задачи на смешение веществ и

удаление части вещества

Задачи на смешение двух веществ

Задача 1 Имеется два раствора 68%-й и 78%-й серной кислоты.

Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить

100 г 70%-го раствора?

68

78

70

8

2

4 : 1

Ответ. Нужно взять 20 г 78%-го раствора и 80 г – 68%-го раствора.

1) 100 г : 5 = 20 г – 78%-го раствора

2) 20 г · 4 = 80 г – 68%-го раствора

Решение.

Берём смеси в соотношении

Дано две смеси с концентрацией вещества В: первое – а % второе – b % (а < b)

Необходима смесь с

концентрацией вещества В с % (а < с < b)

Решение.

Смешаем

1 часть первой смеси

q частей второй смеси

Получим

(1 + q) частей новой смеси

=

Количество вещества В

0,01(a + bq) 0,01c(1 + q)

Вывод.

cb

ac

:1 или

a

b

c

b – c

c – a

(b – c) : (c – a)

(b – c) : (c – a)

cb

acq

Д

О

К

А

З

А

Т

Е

Л

Ь

С

Т

В

О

Задача 2 Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с

медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат

сплав с 84-процентной массовой долей серебра.

x кг – масса сплава; р % – массовая доля (в процентах) серебра в сплаве

(0,01рх) кг – серебра в исходном сплаве; 3 кг – серебра в трехкилограммовом слитке

чистого серебра; (0,01рх + 3) кг – серебра получается в

первом сплаве; (х + 3) кг – масса первого сплава; 0,9(х + 3) кг – 90% первого сплава. 0,9 · 2 = 1,8 кг – серебра в

двухкилограммовом слитке; (0,01рх + 1,8) кг – серебра получается во

втором сплаве; (х + 2) кг – масса второго сплава; 0,84(х + 2) кг – 84% второго сплава.

Масса серебра в первом сплаве

= 0,01рх + 3 0,9(х + 3)

0,01рх + 3 = 0,9(х + 3)

Масса серебра во втором сплаве

= 0,01рх + 1,8 0,84(х + 2)

0,01рх + 1,8 = 0,84(х + 2) 0,01рх + 3 = 0,9(х + 3),

0,01рх + 1,8 = 0,84(х + 2).

0,01рх + 3 = 0,9(х + 3)

0,01рх + 1,8 = 0,84(х + 2)

Задача 2 Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с

медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат

сплав с 84-процентной массовой долей серебра.

р

100

90 10

90 – р

x

Ответ. 3 кг, 80%.

x(90 – p) = 30

3

р

90 84

6

84 – р

x x(84 – p) = 12

2

6x = 18 x = 3

3(90 – p) = 30

p = 80

x кг – масса сплава; р % – массовая доля (в процентах) серебра в сплаве

Задача 3 В один из двух сосудов, каждый емкостью по 6 л, налито 4 л 70%

раствора соли, а во второй – 3 л 90% раствора соли. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился

раствор концентрации а%?

70

90 а

90 – а

а – 70

4

х

Перельем х л

4(а – 70) = х(90 – a)

Оценим возможные значения параметра

a

ax

90

704

2

90

7040

a

a3

23070 a

Ответ. Необходимо перелить

a

ax

90

704, где

3

23070 a

Задача 4 Имеются два куска сплава серебра с медью. Один из кусков содержит а% меди,

а другой – b% меди. В каком отношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий с% меди? Какую максимальную массу сплава можно получить, если масса первого куска р г, а

второго – q г?

a

b c

b – c

c – a

p

q

Для определенности а < с < b

p : q = (b – c) : (c – a)

Оценим максимальную массу сплава

ac

q

cb

p

ac

q

cb

p

ac

q

cb

p

qac

abp

cb

abmнаиб

q

ac

abmнаиб

p

cb

abmнаиб

Частные случаи задачи 4

Задача 5 Имеются два куска сплава серебра с медью. Один из кусков содержит 20% меди,

а другой – 35% меди. В каком отношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий 30% меди? Какую максимальную массу сплава можно получить, если масса первого куска р г, а

второго – 50 г?

20

35 30

5

10

x

y x : y = 5 : 10 = 1 : 2

Оценим максимальную массу сплава

25p25p25p

75502030

203525

3035

2035

наибm

75502030

2035

наибmppmнаиб 3

3035

2035

x г – масса куска, которую

необходимо взять от первого сплава; y г – масса куска, которую необходимо

взять от второго сплава;

10

50

5

p

Критическое

значение параметра

Задача 6 Имеются два куска сплава серебра с медью. Один из кусков содержит а% меди,

а другой – 40% меди. В каком отношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий 32% меди? Какую

максимальную массу сплава можно получить, если масса первого куска 10 кг, а второго – 12 кг?

а

40 32

8

32 – а

x

y x : y = 8 : (32 – а)

Оценим максимальную массу сплава

4,22a4,22a4,22a

22103240

4,2240

наибm

1232

40

a

amнаибa

amнаиб 4

55010

8

40

x кг – масса куска, которую

необходимо взять от первого сплава; y кг – масса куска, которую

необходимо взять от второго сплава;

a

32

12

8

10

Критическое

значение параметра

Задачи на смешение трех веществ

Задача 7 Имеет некто чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт,

индийский по 8 гривен за фунт, китайский по 12 гривен за фунт.

В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить

смесь стоимостью 6 гривен за фунт?

5

8

6

2

1

6 + 2 = 8

Ответ. Нужно взять: 8 частей цейлонского чая и по 1 части

индийского и китайского.

5

12

6

6

1

8 : 1 : 1

Задача 8 Имеется серебро разных проб: одно 12-й, другое – 10-й, третье –

6-й. Сколько какого серебра нужно взять, чтобы получить 1

фунт серебра 9-й пробы?

6

10

9

1

3

1 + 3 = 4

Ответ. Нужно взять: 4 части серебра 6-й пробы и по 3 части

серебра 10-й и 12-й проб.

6

12

9

3

3

4 : 3 : 3

Чай может быть получен путем смешивания с частей первой смеси и b частей второй смеси, то есть в соотношении c : b

Дано три сорта чая: первый – ценой 5 руб./ед. второй – ценой 8 руб./ед. третий – ценой 12 руб./ед.

Необходим чай

ценой 6 руб./ед.

Решение

•Смешаем

а частей первого сорта

b частей второго сорта

c частей третьего сорта

•Получим

(a + b + c) частей смеси

=

Стоимость смеси

6 · (a + b + с) 5a + 8b + 12c

Важный результат. Так можно решать задачи на любое

число веществ

Р

А

С

С

У

Ж

Д

Е

Н

И

Я

a = 6c + 2b

Задачи на удаление части вещества

Задача 9 Свежие грибы содержат 99% воды, а сухие – 12%. Сколько необходимо взять свежих грибов, чтобы

получить 1 кг сухих?

12

100

99

1

87

1 : 87

Ответ. Нужно взять 88 кг свежих грибов.

Решение.

Задача 10 Свежие грибы содержат 99% воды. После сушки масса

грибов уменьшилась в 2 раза. Каково процентное

содержание воды в сушёных грибах?

х

100

99

1

99 – х

Ответ. 98%.

Решение.

1

1

1 = 99 – x

x = 98

Удаляем часть смеси в соотношении

Дано m кг смеси с концентрацией вещества В k%

Получена смесь с концентрацией

вещества В p% (p < k < q)

Решение.

Удалим

n кг смеси концентрации q%

Получим

(m – n) частей новой смеси

=

Количество вещества В

0,01(mk – nq) 0,01p(m – n)

Вывод.

p

q

k

q – k

k – p

(q – k) : (k – p)

Д

О

К

А

З

А

Т

Е

Л

Ь

С

Т

В

О

Удалили часть смеси с концентрацией вещества В q%

mk – qn = pm – pn

(m – n) : n = (q – k) : (k – p)

mk + pn – pm – kn = qn – kn → m(k – p) – n(k – p) = qn – kn

m(k – p) – n(k – p) = n(q – k) → (m – n)(k – p) = n(q – k)

Задача 11 Из колбы, в которой имеется 80 г 10%-го раствора поваренной соли, отливают

некоторую часть раствора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится втрое. После этого

выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в пробирке повышается на 2%. Какое количество раствора отлили из колбы в

пробирку?

70

100

90

10

20

x – y

Ответ. 20 г.

2(x – y) = y y

10

30 12

18

2

80 – x 80 – x = 9(x – y)

x – y

x = 20

4x = 80

x г – масса отлитого в пробирку

раствора y г – масса выпаренной из пробирки

жидкости

Составлено по материалам 1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы

словоупотребления // Математика в школе. № 5. 2003. – С. 50-59.

2. Мардахаева Е.Л. Занятия математического кружка. 5 класс: учеб. пособие для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2012. – 175 с.

3. Мардахаева Е.Л. Новое – это хорошо забытое старое или еще один метод решения коварных задач на проценты // Математика в школе, 2010. – № 3 – С. 10-18.

4. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. – М.: Издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 1996. – 152 с.

5. Розов Н.Х. Удачное изложение материала по теме «Проценты» [к статье О.О.Барабанова 2003, № 5] // Математика в школе. № 9. 2003. – С. 33-34.