Numeros Complejos - … · Valor absolutoo modulo de z r = p x 2 +y 2 Amplitudo argumento z ’ = arctan y x Algebra . Numeros complejos Eduardo Hern andez Huerta 7/30. ... 10 =

ALGEBRA

2. Numeros Complejos

Presenta:

Eduardo Hernandez Huerta

Universidad del Valle de Mexico (UVM).

Campus Coyoacan

9 de septiembre de 2017

Contenido

1 Numeros complejos

Complejo conjugado

Representacion grafica

Operaciones algebraicas2 Ecuaciones de segundo orden

Metodos de solucion

Grafica de una funcion de segundo orden

Algebra. Numeros complejos Eduardo Hernandez Huerta 2/30

Numeros Complejos


Numeros complejos

Un numero complejo es un numero de la clase a + bi , en donde a y b son

reales e i2 = −1, (o i =√−1). Al conjunto de numeros complejos se les

denota como C y son una extension de los numero reales R ⊂ C.

numero complejo puro: a = 0 por lo tanto bi

numero real: b = 0 entonces a

Dos numeros complejos a + bi y c + di son iguales si, y solamente si,

a = c y b = d .


Ejercicios

Mediante el uso de las condiciones que determinan que dos numeros complejos son

iguales, encuentrese los valores de x y y en las ecuaciones siguientes:

1 x + 3i + 3 = 5+ yi

2 (x + yi)(1+ 2i) = −1+ 8i

3 2y + iy = 3i + ix − x

4 3ix + 2x = 2iy + y + 1


Complejo conjugado

Se dice que dos numeros complejos son conjugados uno de otro, si sus partes

reales son iguales y sus partes imaginarias difieren solo en signo.

z = a + bi su complejo conjugado es: z = a + bi = a − bi

¿Cual es el resultado de multiplicar un numero complejo por su conjugado?

(a + bi)(a + bi) = ???


Plano complejo

Valor absoluto o modulo de z

r =√x 2 + y2

Amplitud o argumento z

ϕ = arctany

x


Ejercicios

Representense graficamente los siguientes numeros complejos y encuentra el valor

absoluto y su amplitud.

1 3− 2i

2 −4− 3i

3 2i

4 3− 3i

Re

Im


Operaciones fundamentales

Suma de dos numeros complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Diferencia de dos numeros complejos

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Multiplicacion de dos numeros complejos

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Division de dos numeros complejos

a + bi

c + di=

(a + bi)(c − di)

(c + di)(c − di)

=(ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2


Ejercicios

Efectuense las operaciones indicadas en los siguientes problemas:

1 (5− 6i) + (4+ 2i)

2 (7− 4i) − (−6+ 4i)

3 (9+ 7i) − (−9+ 7i) + (−18+ i)

4 (3+ 4i)(4+ 3i)(2− 5i)


Ejercicios

Reduzcanse a la forma a + bi las expresiones de los siguientes problemas:

2+ 5i

3+ 2i

(3+ 4i)(1− 2i)

1+ i

(2− 3i)(3+ 4i)


Ecuaciones de Segundo Orden


Ecuacion de segundo orden

Una ecuacion del tipo:

ax 2 + bx + c = 0

en la cual a , b y c son constantes arbitrarias, y a 6= 0, se llama

ecuacion de segundo grado

Ecuacion completa: 2x 2 − 3x + 2 = 0

Ecuacion simple: 3x 2 − 27 = 0 solucion:

3x 2 = 27 x 2 =27

3= 9 x = ±

√9 = ±3


Solucion de ecuaciones de 2do orden

Metodos de solucion:

Factorizacion

Completando un cuadrado perfecto

Formula general de solucion


Metodo de factorizacion

1 Se trasladan todos los terminos de la ecuacion al miembro de la izquierda, con

lo que el miembro de la derecha queda igual a cero.

2x 2 = x + 6 → 2x 2 − x − 6 = 0

2 Se factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado.

(x − 2)(2x + 3) = 0

3 Se iguala cada factor con cero y se resuelven las dos ecuaciones de primer

grado ası formadas.

x − 2 = 0 → x = 2 2x + 3 = 0 → x = −3

2


Ejercicios

Resuelvanse las siguientes ecuaciones por el metodo de factorizacion.

1 x 2 − 2x = 8

2 10x 2 + 21x + 9

3 12x 2 = 15+ 11x

4 x 2 − cx = 6c2


Metodo: “Completando un cuadrado perfecto”

1 Se trasladan y ordenan los terminos de la ecuacion, de tal modo que en el

miembro de la izquierda queden los que contienen x 2 y x como primero y

segundo, respectivamente, y en el miembro de la derecha el termino

independiente.

x + 3 = 2x 2 → 2x 2 − x = 3

2 Se dividen los dos miembros entre el coeficiente de x 2.

x 2 −1

2x =

3

2

3 Se suma a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x .

x 2 −1

2x +

(1

2· 12

)2

=3

2+

(1

2· 14

)2 →TCP︷︸︸︷

x 2 −1

2x +

1

16=

25

16


Metodo: “Completando un cuadrado perfecto”

1 Factorizar el TCP resultante:

x 2 −1

2x +

1

16=

25

16→ (

x −1

4

)2

=25

16

2 Se igualan las raıces cuadradas de los dos miembros de la ecuacion obtenida en

el paso anterior, anteponiendo el signo ± a la raız cuadrada del termino

constante. Este paso produce dos ecuaciones de primer grado.√√√√(x −1

4

)2

= ±√

25

16→ x −

1

4= ±5

4

x −1

4= +

5

4︸︷︷︸1

x −1

4= −

5

4︸︷︷︸2

3 Se resuelven para x las dos ecuaciones de primer grado obtenidas en el paso

anterior.


Ejercicios

Resuelvanse, completando el cuadrado, las siguientes ecuaciones de segundo grado.

1 x 2 − 3x − 14 = 0

2 7x + 12 = 10x 2

3 8x 2 + 2x − 15

4 ax 2 = 2a2b2 + abx


Metodo: “Formula general”

ax 2 + bx + c = 0 donde a 6= 0

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 + bx = −c

x 2 +b

ax = −

c

a

x 2 +b

ax +

(b

2a

)2

= −c

a+

(b

2a

)2

(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

x = −b

2a±√b2 − 4ac

2a

Solucion general

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Metodo: “Formula general”

Si r y s representan la primera y segunda solucion, respectivamente, y D es el

discriminante que equivale a D = b2 − 4ac, se tiene:

r =−b +

√D

2as =

−b −√D

2aD = b2 − 4ac

Tabla: Resumen de las raıces de la ecuacion general

Discriminante Raıces

D = 0 racionales r = s

D > 0 cuadrado perfecto racionales r 6= s

D > 0 sin ser CP irracionales r 6= s

D < 0 imaginarias


Ejercicios

Determinar las raıces y su naturaleza para las siguientes ecuaciones de segundo

grado:

1 2x 2 + 3x + 1 = 0

2 16x 2 − 8x + 1 = 0

3 6x 2 = 7x + 5

4

√2x 2 +

√3x =

√2


Suma y producto de las raıces

La suma y producto de las raıces r y s es:

r + s = −b

ars =

c

a

puesto que r y s son las raıces de ax 2 + bc + c = 0 se observa que la suma de las

dos raıces de una ecuacion de segundo grado es igual al cociente de los coeficientes

de x y x 2 con signo opuesto, y que el producto de las dos raıces es el cociente del

termino constante entre el coeficiente de x 2.


Ejercicios

Encuentre la suma y el producto de las raıces para las siguientes ecuaciones:

1 3x 2 + 4x + 2 = 0

2 4x 2 + 7x = 1

3 5x + 9 = 3x 2

4

√5x 2 + 10x +

√10 = 0


Funcion matematica

Se dice que una magnitud o cantidad (f ) es funcion de otra (x ) si el valor de

la primera depende del valor de la segunda. Se refiere a una regla que asigna a

cada elemento de un primer conjunto (dominio) un unico elemento de un

segundo conjunto (codominio).

Funcion como regla matematica

f (x ) = x 2


Funcion matematica

¿Como graficar una funcion?

f (x ) = x 2

Tabla: Datos

x f (x )

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

f (x )


Grafica de una funcion

x

f (x )

f (x ) = 1

2x 2 − 2x − 3

Raıces

r = 2+√10

s = 2−√10

diferentes e irracionales



¿Como saber en que dominio graficar?

x

f (x )

f (x ) = 1

2x 2 − 2x − 3

condicion de la primer derivada

df (x )

dx= 0

en los puntos maximos y mınimos.

f (x ) = x n df

dx= nx n−1

f (x ) = ax 2 + bx + c

df

dx= 2ax + b = 0 x = −

b

2a



x

f (x )f (x ) = x 2 − 4x + 8

Raıces

r = 8+ 8√−1

s = 8− 8√−1

diferentes e imaginarias



x

f (x )f (x ) = x 2 − 6x + 9

Raıces

r = 3

s = 3

iguales y racionales


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