Міністерство освіти і науки України

Сумський державний педагогічний університет

імені А.С. Макаренка

Кафедра математики

«ЗАТВЕРДЖУЮ»

В.о. першого проректора

__________О.В. Семеніхіна

«____» _____________20___ р.

РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

Алгебра і теорія чисел

напрям підготовки 6.040201 Математика*

факультет фізико-математичний

Європейська кредитно-трансферна система

організації освітнього процесу

Суми - 2015

Робоча програма з курсу «Алгебра і теорія чисел» для студентів за напрямом

підготовки 6.040201 Математика*.

«27» серпня 2015 р. – 20 с.

Розробники: кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри

математики Лукашова Т.Д.

Робоча програма розглянута на засіданні кафедри математики

Протокол № 1 від «27» серпня 2015 р.

Завідувач кафедри _______________________ проф. Лиман Ф.М.

«27» серпня 2015 р.

Затверджено вченою радою фізико-математичного факультету

Протокол № ___ від «____»________________2015 р.

Голова ____________ доц. Петренко С.В.

Т.Д. Лукашова , 2015

1. Опис навчальної дисципліни

Найменування

показників

Галузь знань,

напрям підготовки,

освітньо-кваліфікаційний

рівень

Характеристика

навчальної дисципліни

денна форма навчання

Кількість кредитів

– 9,5

Галузь знань

0402 Фізико-математичні

науки Обов’язкова

Напрям підготовки

6.040201 Математика*

Індивідуальне

навчально-дослідне

завдання Додаткова спеціальність:

Інформатика

Економіка

Рік підготовки:

2-й

Загальна кількість

годин - 285 Семестр:

3-4-й

Лекції – 68 год. Тижневих годин

для денної форми

навчання:

аудиторних - 4

самостійної роботи

студента – 5

Освітньо-кваліфікаційний

рівень:

бакалавр

Практичні заняття –

66 год.

Самостійна робота -

149 год.

Консультації – 2 год.

(4 сем.)

Вид контролю:

3 с. – залік,

4 с. – екзамен

1. Мета та завдання навчальної дисципліни

Дана програма визначає об’єм знань студента з курсу алгебри і теорії чисел,

необхідний для подальшого вивчення математичних, фізичних та економічних дисциплін.

Курс алгебри і теорії чисел дає наукове обґрунтування таких важливих понять як: група,

кільце поле, конгруенція, многочлен, що лежать в основі багатьох математичних теорій та

безпосередньо стосуються фундаментальних курсів математичного аналізу, дискретної

математики та математичного програмування.

Мета. Головною метою курсу «Алгебра і теорія чисел» є формування у студентів

погляду на сучасну алгебру як на науку про системи об’єктів довільної природи, в яких

встановлено операції, що за своїми властивостями більш або менш подібні до додавання і

множення чисел, вивчення та розв’язання задач, що виникають у цих системах, а також

виховання алгебраїчної культури та наукового світогляду, які необхідні майбутньому

вчителю для глибокого розуміння цілей та завдань основ шкільного курсу математики,

спеціальних факультативних курсів, для проведення наукових досліджень, забезпечення

міжпредметних зв’язків.

Основними завданнями курсу алгебри й теорії чисел є:

формування уявлення про поняття, методи, теоретичні положення цього курсу;

визначення місця предмета в загальній системі математичних знань,

встановлення взаємозв’язків між алгеброю й теорією чисел та аналітичною

геометрією, лінійною алгеброю, дискретною математикою, функціональним аналізом,

числовими системами, дискретною математикою;

навчання студентів логічно та аналітично мислити й застосовувати апарат

алгебри у суміжних науках та подальших дослідженнях.

У результаті вивчення дисципліни студенти повинні:

знати:

предмет та об’єкти вивчення сучасної алгебри і теорії чисел;

основні поняття теорії алгебраїчних систем, зокрема, теорії груп, кілець та

полів, теорії подільності у кільцях, теорії конгруенцій, алгебри многочленів від однієї та

кількох змінних;

ключові теоретичні положення курсу;

основні методи розв’язання типових задач;

вміти:

розв’язувати основні типи задач, передбачені програмою;

аналізувати доведення теорем вказувати необхідні та достатні умови; доводити

ключові положення курсу.

2. Програма навчальної дисципліни

Програма курсу розрахована на 3 та 4 семестри другого року навчання студентів

спеціальності «Математика» та забезпечуються такою кількістю годин:

ІII семестр,

годин

ІV семестр,

годин Всього

Аудиторних занять 56 78 134

Лекцій 28 40 68

Практичних занять 28 38 66

Самостійна робота 47 102 149

Всього 103 180 285

Форма семестрового

контролю залік екзамен

ІІІ СЕМЕСТР

Розділ І. Теорія подільності у кільці цілих чисел

Тема 1.1. Подільність у кільці цілих чисел

Зміст. Відношення подільності у кільці цілих чисел. Теорема про ділення з остачею. НСД

та НСК двох і кількох чисел, їх властивості. Алгоритм Евкліда знаходження НСД двох

чисел. Лінійне представлення НСД двох чисел.

Тема 1.2. Прості та складені числа Зміст. Прості та складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето

Ератосфена. Основна теорема арифметики. Розподіл простих чисел в натуральному ряді.

Асимптотичний закон розподілу простих чисел. Прості числа в арифметичних прогресіях.

Теорема Діріхле

Тема 1.3. Системні числа

Зміст. Позиційні та непозиційні системи числення. Системні числа. Дії над системними

числами. Переведення цілих чисел з однієї системи числення в іншу.

Тема 1.4. Числові функції

Зміст. Числові функції. Мультиплікативні числові функції. Сума та кількість натуральних

дільників числа. Функція Ейлера та її властивості.

Розділ ІІ. Теорія конгруенцій у кільці цілих чисел

Тема 2.1. Числові конгруенції Зміст. Числові конгруенції, їх властивості. Застосування числових конгруенцій до

встановлення ознак подільності та знаходження остач. Класи лишків за даним модулем.

Повна та зведена системи лишків. Мультиплікативність функції Ейлера. Теореми Ейлера

та Ферма. Арифметичні застосування теорії конгруенцій.

Тема 2.2. Конгруенції з невідомою величиною

Зміст. Конгруенції І степеня з 1 невідомою. Застосування конгруенцій до розв’язування

невизначених рівнянь І степеня з 2 невідомими. Конгруенції вищих степенів за простим

модулем. Конгруенції ІІ степеня за простим модулем. Квадратичні лишки і нелишки.

Теорема Ейлера. Символ Лежандра, його властивості та застосування.

Тема 2.3. Показник числа та класу лишків за даним модулем.

Зміст. Показник числа за даним модулем. Первісні корені, їх існування та властивості.

Тема 2.4. Індекси

Зміст. Індекси за простим модулем, їх застосування.

Розділ ІІІ. Елементи теорії груп

Тема 3.1. Алгебраїчні операції. Групи Зміст. Алгебраїчні операції та алгебраїчні системи. Групоїд, напівгрупа, моноїд, група.

Приклади груп. Підгрупи, властивості. Циклічні групи. Ізоморфізм груп. Групи

підстановок. Групи симетрій геометричних фігур.

Тема 3.2. Розклад групи за підгрупою. Нормальні дільники та фактор-групи.

Гомоморфізми груп Зміст. Суміжні класи. Розклад групи за підгрупою. Теорема Лагранжа та наслідки з неї.

Нормальні підгрупи. Фактор-групи та гомоморфізми груп.

ІV СЕМЕСТР

Розділ ІV. Елементи теорії кілець

Тема 4.1. Кільця

Зміст. Означення та найпростіші властивості кілець. Типи кілець. Поля. Підкільця.

Кільця класів лишків.

Тема 4.2. Подільність у кільцях. Зміст. Теорія подільності в областях цілісності. Прості елементи кільця. НСД елементів

області цілісності.

Тема 4.3. Ідеали кілець. Фактор-кільця та гомоморфізми кілець. Зміст. Ідеали кілець, їх властивості. Подільність ідеалів. Фактор-кільця. Гомоморфізми

кілець.

Тема 4.4. Кільця головних ідеалів, евклідові та факторіальні кільця Зміст. Кільця головних ідеалів. Евклідові кільця, їх властивості. Факторіальність

евклідових кілець.

Розділ V. Кільце многочленів від однієї змінної

Тема 5.1. Кільце многочленів над областю цілісності К

Зміст. Побудова кільця многочленів К[х] над областю цілісності К. Многочлени від

однієї змінної над полем Р. Ділення з остачею в кільці многочленів Р[х]. Евклідовість

кільця Р[х]. Подільність многочленів у кільці К[х]. Властивості подільності многочленів

над областями цілісності. Ділення многочлена на двочлен (х - а). Схема Горнера. Розклад

многочлена за степенями (х - а). Теорема Безу. Алгебраїчна та функціональна рівність

многочленів.

Тема 5.2. НСД та НСК многочленів Зміст. Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне у кільці многочленів

Р[х]. Алгоритм Евкліда знаходження НСД двох многочленів. Лінійне представлення НСД

двох многочленів.

Тема 5.3. Звідність многочленів над полем

Зміст. Звідність многочленів над полем. Розклад многочлена у добуток незвідних

многочленів і єдиність такого представлення. Похідна многочлена над полем нульової

характеристики. Застосування схеми Горнера до обчислення похідних многочлена у

точці. Формула Тейлора. Корені многочлена. Кратні корені.

Тема 5.4. Кратні множники многочлена

Зміст. Теорема про незвідний кратний множник многочлена та його похідної.

Відокремлення кратних множників многочлена.

Тема 5.5. Корені многочлена

Зміст. Існування коренів многочлена. Поняття про поле розкладу многочлена.

Інтерполяція многочленів. Поле алгебраїчних дробів.

Розділ VІ. Многочлени від кількох змінних

Тема 6.1. Кільце многочленів від багатьох змінних Зміст. Побудова кільця многочленів від багатьох змінних над областю цілісності.

Основні властивості кільця К[х1,х2,…,хп]. Теорія подільності у кільці многочленів від

багатьох змінних змінних. Факторіальність кільця Р[х1,х2,…,хп]. Лексикографічне

впорядкування членів многочлена. Вищий член многочлена. Вищий член добутку

многочленів.

Тема 6.2. Симетричні многочлени Зміст. Симетричні многочлени. Основна теорема теорії симетричних многочленів та

наслідок з неї. Формули Вієта та їх зв’язок з основними симетричними. Результант двох

многочленів. Виключення невідомих із системи двох рівнянь вищих степенів з двома

невідомими за допомогою результанта.

Розділ VІІ. Многочлени від однієї змінної над числовими полями

Тема 7.1. Многочлени над полями дійсних та комплексних чисел Зміст. Властивості многочленів з комплексними коефіцієнтами. Алгебраїчна замкненість

поля комплексних чисел. Розкладання многочлена над полем С у добуток лінійних

множників. Властивості комплексних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

Звідність многочленів над полями дійсних та комплексних чисел.

Тема 7.2. Розв’язування рівнянь 3 та 4 степеня Зміст. Розв’язування рівнянь 3 та 4 степеня у радикалах. Теорема Руфіні-Абеля.

Тема 7.3. Многочлени над полем раціональних чисел

Зміст. Многочлени над полем раціональних чисел та кільцем цілих чисел. Критерій

Ейзенштейна.Цілі та раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами.

Розділ VІІІ. Алгебраїчні розширення полів

Тема 8.1. Алгебраїчні і трансцендентні числа. Зміст. Алгебраїчні і трансцендентні числа. Мінімальний многочлен алгебраїчного числа.

Поле алгебраїчних чисел.

Тема 8.2. Розширення полів. Зміст. Побудова простого алгебраїчного розширення поля. Типи розширень полів.

Простота складеного алгебраїчного розширення поля. Позбавлення від алгебраїчної

ірраціональності у знаменнику дробу.

Тема 8.3. Розв’язність рівнянь у радикалах Зміст. Поняття розв’язності рівняння у радикалах. Умови розв’язності рівнянь 3 степеня

у квадратних радикалах. Побудова чисел за допомогою циркуля та лінійки. Класичні

задачі.

3. Структура навчальної дисципліни

№ Тема

Кількість годин

лек

ції

пр

ак

ти

чн

і

сам

ост

робота

усь

ого

ІII семестр

1 Розділ І.

Теорія подільності у кільці цілих чисел 10 10 16 36

1.1. Подільність у кільці цілих чисел 4 2 4 10

1.2. Прості та складені числа 2 2 4 8

1.3. Системні числа 2 2 4 8

1.4. Числові функції 2 4 4 10

2 Розділ ІІ.

Теорія конгруенцій у кільці цілих чисел 12 12 14 38

2.1. Числові конгруенції 4 4 2 10

2.2. Конгруенції з невідомою величиною 4 4 4 12

2.3. Показник числа та класу лишків за даним

модулем. 2 2 4 8

2.4. Індекси 2 2 4 8

3 Розділ ІІІ. Елементи теорії груп 6 6 17 31

3.1. Алгебраїчні операції. Групи. 3 2 8 13

3.2. Розклад групи за підгрупою. Нормальні

дільники та фактор-групи. Гомоморфізми груп 3 4 9 18

Усього за І семестр 28 28 49 105

ІV семестр

4. Розділ 4. Елементи телоорії кілець 8 8 24 40

4.1. Поняття кільця.. 2 2 4 8

4.2. Ідеали кілець. Фактор-кільця та гомоморфізми

кілець. 2 2 6 10

4.3. Подільність у кільцях 2 2 6 10

4.4. Кільця головних ідеалів, евклідові та

факторіальні кільця 2 2 8 12

5 Розділ 5. Кільце многочленів від однієї

змінної 10 14 24 37

5.1. Кільце многочленів над областю цілісності К 3 2 4 9

5.2. НСД та НСК многочленів 2 2 6 10

5.3. Звідність многочленів над полем 2 2 4 8

5.4. Кратні множники многочлена 2 2 4 8

5.5. Корені многочлена. Інтерполяція многочленів.

Поле алгебраїчних дробів 1 6 6 13

6 Розділ 6. Многочлени від кількох змінних 6 6 14 20

6.1. Кільце многочленів від багатьох змінних 2 2 6 10

6.2. Симетричні многочлени 4 4 8 16

7 Розділ 7. Многочлени від однієї змінної над

числовими полями 8 6 16 24

7.1. Многочлени над полями дійсних та

комплексних чисел 3 2 8 13

7.2. Розв’язування рівнянь 3 та 4 степеня 2 2 4 8

7.3 Многочлени над полем раціональних чисел 3 2 4 9

8 Розділ 8. Алгебраїчні розширення полів 8 4 24 26

8.1 Алгебраїчні і трансцендентні числа 2 2 6 10

8.2. Розширення полів 4 2 10 16

8.3. Розв’язність рівнянь у радикалах 2 – 8 10

Усього за ІІ семестр 40 38 102 180

5. Теми лекційних занять

№ Тема та зміст К-ть

годин

IIІ семестр (28 год)

1 Теорія подільності у кільці цілих чисел 10

1. Відношення подільності у кільці цілих чисел. Теорема про ділення з

остачею. 2

2 НСД та НСК двох і кількох чисел, їх властивості. Алгоритм Евкліда

знаходження НСД двох чисел 2

2.

Прості та складені числа. Нескінченність множини простих чисел.

Основна теорема арифметики. Розподіл простих чисел в натуральному

ряді. Асимптотичний закон розподілу простих чисел.

2

3.

Позиційні та непозиційні системи числення. Системні числа. Дії над

системними числами. Переведення цілих чисел з однієї системи

числення в іншу.

2

4. Числові функції. Мультиплікативні числові функції. Сума та кількість

натуральних дільників числа. Функція Ейлера та її властивості. 2

2 Теорія конгруенцій у кільці цілих чисел 12

5.

Числові конгруенції, їх властивості. Застосування числових

конгруенцій до встановлення ознак подільності та знаходження остач.

Класи лишків за даним модулем.

2

6 Повна та зведена системи лишків. Мультиплікативність функції

Ейлера. Теореми Ейлера та Ферма. 2

7 Конгруенції І степеня з 1 невідомою. Застосування конгруенцій до

розв’язування невизначених рівнянь І степеня з 2 невідомими. 2

8

Конгруенції вищих степенів за простим модулем. Конгруенції ІІ

степеня за простим модулем. Квадратичні лишки і нелишки. Теорема

Ейлера. Символ Лежандра, його властивості та застосування.

2

9 Показник числа за даним модулем. Первісні корені, їх існування та

властивості. 2

10 Індекси за простим модулем, їх застосування. 2

3 Елементи теорії груп 6

11

Алгебраїчні операції та алгебраїчні системи. Групоїд, напівгрупа,

моноїд, група. Приклади груп. Підгрупи, властивості. Циклічні групи.

Ізоморфізм груп. Групи підстановок.

3

12

Суміжні класи. Розклад групи за підгрупою. Теорема Лагранжа та

наслідки з неї. Нормальні підгрупи. Фактор-групи та гомоморфізми

груп.

3

ІV семестр (40 год)

4 Елементи теорії кілець 8

13

Означення та найпростіші властивості кілець. Типи кілець. Поля.

Підкільця. Характеристика кільця (поля). Кільця класів лишків. Поля

класів лишків.

2

14 Теорія подільності в областях цілісності. Прості елементи кільця. НСД

елементів області цілісності. 2

15 Ідеали кілець, їх властивості. Подільність ідеалів. Фактор-кільця.

Гомоморфізми кілець. 2

16 Кільця головних ідеалів. Евклідові кільця, їх властивості. 2

Факторіальність евклідових кілець.

5 Кільце многочленів від однієї змінної 10

1. Многочлени від однієї змінної. Дії над многочленами. Кільце

многочленів. Подільність многочленів у кільці К[х]. Ділення з остачею

в кільці многочленів Р[х]. Ділення многочлена на двочлен (х - а).

Схема Горнера. Теорема Безу. Корені многочлена.

3

2 Найбільший спільний дільник у кільці многочленів Р[х]. Алгоритм

Евкліда знаходження НСД двох многочленів. Лінійне представлення

НСД двох многочленів.

2

2.

Звідність многочленів над полем Основна теорема подільності

многочленів. Похідна многочлена над полем нульової характеристики.

Формула Тейлора. Кратні корені многочлена.

2

3. Теорема про незвідний кратний множник многочлена та його похідної.

Відокремлення кратних множників многочлена. 2

4. Існування коренів многочлена (Теорема Кронекера). Поняття про поле

розкладу многочлена. 1

6 Многочлени від кількох змінних 6

5.

Многочлени від кількох змінних. Побудова кільця многочленів від

багатьох змінних над областю цілісності. Лексикографічне

впорядкування членів многочлена. Вищий член многочлена. Вищий

член добутку многочленів.

2

6. Симетричні многочлени. Основна теорема теорії симетричних

многочленів. Формули Вієта. 2

7 Многочлени від однієї змінної над

числовими полями 8

7.

Многочлени над полем комплексних чисел. Основна теорема алгебри і

наслідки з неї. Звідність многочленів над полями дійсних та

комплексних чисел.

2

8. Розв’язування рівнянь 3 та 4 степеня у радикалах. Теорема Руфіні-

Абеля. 2

9.

Многочлени над полем раціональних чисел та кільцем цілих чисел.

Критерій Ейзенштейна. Цілі та раціональні корені многочлена з

цілими коефіцієнтами.

2

10. Результант двох многочленів. Виключення невідомих із системи двох

рівнянь вищих степенів з двома невідомими за допомогою результанта. 2

8 Алгебраїчні розширення полів 8

11.

Алгебраїчні і трансцендентні числа. Поле алгебраїчних чисел.

Розширення полів. Побудова простого алгебраїчного розширення

поля.

3

12. Типи розширень полів. Простота складеного алгебраїчного розширення

поля. 4

13. Поняття розв’язності рівняння у радикалах. Умови розв’язності

рівнянь 3 степеня у квадратних радикалах. 1

6. Теми практичних занять

Модуль

№ Тема Год Прим

IIІ семестр

Ро

зділ

1

1 Розв’язування задач з використанням означення подільності.

Теорема про ділення з остачею

2

2 НСД та НСК двох і кількох чисел. Алгоритм Евкліда. Прості

і складені числа, їх властивості.

2

3 Системні числа. 2

4 Числові функції. Мультиплікативні функції. Функція

Ейлера.

2

5 Контрольна робота №1. 2

Розд

іл 2

6 Числові конгруенції та їх властивості 2

7 Класи лишків. Повна та зведена системи лишків Теореми

Ейлера та Ферма. Застосування конгруенцій до обчислення

остач та встановлення ознак подільності

2 с/р

8 Лінійні конгруенції з одним невідомим та їх системи.

Розв’язування невизначених рівнянь першого степеня з 2

невідомими.

2

9 Конгруенції вищих степенів за простим модулем. Конгруенції

2-го степеня за простим модулем. Квадратичні лишки та

нелишки. Символ Лежандра

2 с/р

10 Порядок числа і класу лишків за модулем. Первісні корені та

індекси. Розв’язування двочленних конгруенцій за

допомогою індексів.

2

Розд

іл 3.

11 Групи, підгрупи. Циклічні групи. 2

12 Суміжні класи. Розклад групи за підгрупою.

Теорема Лагранжа. Нормальні підгрупи.

2

13 Фактор-групи. Гомоморфізми та ізоморфізми груп. 2

18 Контрольна робота №2 2

ІV семестр (38 год)

Ро

зділ

4,5

1 Розв’язування задач з використанням означення кільця,

підкільця. Типи кілець. Подільність в асоціативних,

комутативних кільцях з одиницею. Дільники нуля і одиниці.

Асоційовані елементи кільця.

2

2-3 Ідеали кілець та операції над ними. Класи лишків за ідеалом.

Фактор-кільця. Ізоморфізми та гомоморфізми кілець.

4

4 Характеристика кільця з одиницею. Кільця головних ідеалів,

евклідові кільця. Прості та складені елементи області

цілісності

2 с/р

5 Многочлени від однієї змінної та дії над ними. Теорема про

ділення з остачею..

2

6 НСД многочленів. Алгоритм Евкліда знаходження НСД

двох многочленів. Лінійне представлення НСД двох

многочленів.

2 с/р

7 Ділення многочлена на двочлен (х - а). Схема Горнера

знаходження значення многочлена та його похідних у точці.

Розклад многочлена за степенями (х-х0). Ряд Тейлора.

2

8 Корені многочлена. Кратні корені многочлена. Звідність

многочленів над полем.

2

9 Відокремлення кратних множників многочлена 2

10 Алгебраїчні дроби. Інтерполяція многочленів 2

11 Контрольна робота №1 2 к/р

Ро

зділ

6-8

12-

13

Многочлени від кількох змінних. Симетричні многочлени.

Основні симетричні та їх застосування Формули Вієта.

4

14 Многочлени над полями дійсних та комплексних чисел 2 с/р

15 Розв’язування алгебраїчних рівнянь у радикалах. Рівняння

третього і четвертого степенів

2

16 Раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами.

Звідність многочленів над полем раціональних чисел.

2

17 Алгебраїчні та трансцендентні числа. Будова простого

алгебраїчного розширення поля. Позбавлення від

алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу

2

18 Результант двох многочленів. Дискримінант. Розв’язування

систем нелінійних рівнянь з 2-ма невідомими за допомогою

результанта

2

19 Контрольна робота №2 2 к/р

У третьому семестрі даною програмою передбачається виконання 2-х самостійних,

2-х індивідуальних, 2-х контрольних робіт та складання двох колоквіумів.

У четвертому семестрі програмою передбачено написання 3-х самостійних, 2-х

індивідуальних, 2-х контрольних робіт та складання двох колоквіумів.

7. Самостійна робота

№ з/п

Назва теми Кільк

ість годин

IIІ семестр (47 год)

1 Лінійне представлення НСД двох чисел. 2

2 Ознаки подільності 2

3 Решето Ератосфена. Прості числа в арифметичних прогресіях. Теорема

Діріхле

2

4 Ланцюгові дроби та їх застосування 6

5 Ціла й дробова частини числа. Їх властивості. 4

6 Арифметичні застосування теорії конгруенцій. 2

7 Властивості показників числа за даним модулем. Системи лінійних

конгруенцій з одним невідомим

8

8 Застосування індексів до розв’язування конгруенцій 4

9 Групи симетрій геометричних фігур. Групи підстановок. Теорема Келі 8

10 Властивості нормальних підгруп. Властивості гомоморфізмів груп.

Основні теорема про гомоморфізми груп.

9

ІV семестр (102 год)

11 Приклади кілець без простих елементів та з неоднозначним розкладом

елементів у добуток простих.

4

12 Основна теорема про гомоморфізми кілець 4

13 Критерій підполя. Скінченні поля. 2

14 Приклади кілець без простих елементів та з неоднозначним розкладом

елементів у добуток простих.

6

15 Властивості норми в евклідових кільцях. Евклідовість кільця цілих

гауссових чисел.

8

16 Асоційованість многочленів. 2

17 Алгебраїчна та функціональна рівність многочленів. 2

18 Теорема Декарта. 2

19 НСК двох многочленів та його зв’язок з НСД. Взаємно прості

многочлена.

4

20 Ідеали кільця Р[х]. 4

21 Формула Маклорена 4

22 Поле алгебраїчних дробів. Розклад алгебраїчного дробу у суму

елементарних.

4

23 Інтерполяція многочленів. Інтерполяційні многочлени Лагранжа та

Ньютона.

2

24 Основні властивості кільця К[х1,х2,…,хп]. Теорія подільності у кільці

многочленів від багатьох змінних змінних. Факторіальність кільця

Р[х1,х2,…,хп].

6

25 Кільце симетричних многочленів. Однозначність вираження

симетричного многочлена через основні симетричні.

8

26 Різні доведення основної теореми алгебри. 4

27 Кількість дійсних коренів многочлена. Границі дійсних коренів.

Відокремлення дійсних коренів. Метод Штурма.

6

28 Рівняння з комплексними коефіцієнтами 1 та 2 степенів 4

29 Метод Кронекера дослідження звідності многочленів над полем

раціональних чисел.

4

30 Спільні і кратні корені многочленів 2

31 Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності у знаменнику дробу. 2

32 Розширення скінченних полів 10

34 Побудови чисел за допомогою циркуля та лінійки. Класичні задачі. 8

8. Індивідуальні завдання та колоквіуми

IIІ семестр

Індивідуальні завдання Індивідуальне завдання №1 (зразок)

Завдання 1. Довести, що для довільного натурального числа п виконується:

1) 246116 234 nnnn ; 2) 1331211 122 nn .

Завдання 2. Довести подільність: 101426 1426 .

Завдання 3. Довести, що число є складеним: 1,54 24 nnn .

Завдання 4. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 41, а при діленні на 39

дає остачу 24.

Завдання 5. Знайти просте число р, щоб одночасно були простими числа р+2, р+4;

Завдання 6. Довести, що вказані числа одночасно простими бути не можуть:т+5 та т+10,

т;

Завдання 7. Знайти п послідовних складених чисел, якщо п = 11;

Завдання 8.Довести, що для довільних цілих чисел п і т виконуються рівність

(п,т)=(п+2т, 3п+5т);

Завдання 9. Знайти усі натуральні значення п, при яких дріб 34

911

n

n нескоротний.

Завдання 10. Знайти натуральні числа п і т, якщо:

2),(

,12

mn

mn;

Завдання 11. Знайти натуральне число п, якщо 14)(,12 nn ;

Завдання 12. Визначити, скількома нулями закінчується число п та з’ясувати, чи ділиться

воно на 21000: п=2007!;

Завдання 13. Побудувати графіки функцій )(),(),( nnn : Nnn ,161 ;

Завдання 14. Побудувати графіки функцій: ;;1 2xyx

y

Завдання 15. Знайти кількість натуральних чисел, що не перевищують 10000 і не

діляться ні на 6, ні на 9;

Завдання 16. Знайти натуральне число п, якщо Nmknn mk ,,73,378)( ;

Завдання 17. Розв’язати рівняння: ;242 x

Завдання 18. Знайти значення функції )( 3n , якщо 6)( n ;

Завдання 19. Знайти основу системи числення g, якщо 401g=2657;

Завдання 20. Перевести з однієї системи числення в іншу 20425→ х9, х3;

Завдання 21. Виконати дії: (3516 ∙146 – 11536:316– 1506 ):256.

Індивідуальне завдання №2 (зразок)

Завдання 1. Використовуючи теореми Ейлера та Ферма, знайти остачі від ділення:

1003090 545457 на 11;

Завдання 2. Знайти дві останні цифри числа: 23130;

Завдання 3. Розв’язати конгруенції: 27х59 (mod 41); 32х36 (mod 28);

Завдання 4. Знайти кількість точок з цілими координатами, які лежать на заданих прямих

між точками з абсцисами п та т: 17х – 16у = 35, т=–10, п=25;

Завдання 5. Розв’язати системи конгруенцій:

)5(mod1

)8(mod23

)7(mod52

x

x

x;

Завдання 6. Спростити конгруенції та розв’язати їх способом підбору:

6х15 - 12х10 + 9х7 + 160 (mod 5).

Завдання 7. Чи проходять через точки з цілими координатами параболи:23х = у2 – 149;

Завдання 8. Знайти порядки усіх класів лишків по модулю т. Вказати класи,

представники яких є первісними коренями. т =11;

Завдання 9. Розв’язати конгруенції, використовуючи індекси:

8х9 + 17 0 (mod 23); 242х 1 (mod 31);

Завдання 10. Чи утворюює підгрупу групи GL3(R) множина діагональних матриць

D3(R)=

0,,,

00

00

00

abcRcba

c

b

a

. Якщо так, то чи є ця підгрупа абелевою?

Завдання 11. У групі підстановок S6 вказати циклічну підгрупу <a>, породжену

елементом а. Знайти порядки усіх елементів групи <a > та усі її підгрупи. Знайти

лівосторонній та правосторонній розклади групи <a > за підгрупою <b>.

546213

123456,

654132

123456ba

Питання до колоквіумів та заліку

1. Відношення подільності в кільці цілих чисел. Властивості подільності.

2. Ділення з остачею. Теорема про ділення з остачею.

3. НСД двох чисел. Алгоритм Евкліда. Властивості НСД двох чисел.

4. НСК двох чисел. Властивості НСК. Теорема про зв’язок НСК з НСД.

5. Взаємно прості числа, їх властивості.

6. Прості та складені числа. Властивості простих чисел. Теорема Евкліда.

7. Основна теорема арифметики. Наслідки з неї.

8. Решето Ератосфена.Розподіл простих чисел у натуральному ряді.

9. Числові функції. Ціла та дробова частини числа, приклади, властивості, графіки.

10. Мультиплікативні функції. Властивості. Сума й кількість дільників числа

11. Функція Ейлера. Властивості. Приклади.

12. Мультиплікативність функції Ейлера.

13. Числові конгруенції (означення, ознаки).

14. Властивості числових конгруенцій.

15. Класи лишків. Повна та зведена системи лишків. Властивості.

16. Теорема Ейлера. Мала теорема Ферма.

17. Конгруенції з невідомою величиною. Класи розв’язків конгруенцій з невідомою

величиною.Рівносильність конгруенцій.

18. Конгруенції першого степеня з одним невідомим. Дослідження та способи

розв’язання.

19. Застосування лінійних конгруенцій до розв’язування невизначених рівнянь першого

степеня з двома невідомими. Системи конгруенцій.

20. Конгруенції вищих степенів за простим модулем. Число розв’язків конгруенції п-го

степеня за простим модулем.

21. Конгруенції другого степеня за простим модулем. Квадратичні лишки й нелишки.

Критерій Ейлера.

22. Символ Лежандра, його властивості і застосування.

23. Показник числа та класу лишків за даним модулем, властивості показників.

24. Первісні корені. Теорема про число класів первісних коренів за простим модулем.

25. Індекси, їх властивості та застосування.

26. Арифметичні застосування конгруенції (встановлення ознак подільності, перевірка

результатів арифметичних дій, перетворення звичайного дробу у десятковий).

27. Означення та приклади груп. Порядок групи й порядок елемента.

28. Групи підстановок.

29. Підгрупи, приклади, властивості. Критерій підгрупи.

30. Циклічні групи та підгрупи, приклади.

31. Ізоморфізм груп. Ізоморфізм циклічних груп.

32. Суміжні класи. Ліво- і правосторонній розклад групи за підгрупою. Індекс підгрупи в

групі.

33. Теорема Лагранжа та наслідки з неї.

34. Нормальні підгрупи. Критерій нормальності підгрупи у групі. Приклади нормальних

підгруп.

35. Фактор-групи. Властивості фактор-груп абелевих та циклічних підгруп.

36. Гомоморфізми груп. Властивості гомоморфізмів.

37. Ядра гомоморфізмів. Теорема про природний гомоморфізм.

38. Факторіальність кілець головних ідеалів.

39. Евклідові кільця. Приклади. Зв’язок з кільцями головних ідеалів.

40. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець. Властивості гомоморфізмів.

41. Ядра гомоморфізмів. Зв’язок ідеалів кільця з ядрами гомо-морфізму.

42. Фактор-кільця. Теорема про гомоморфізм кільця та його фактор-кільця.

ІV семестр

Індивідуальна робота №1 (зразок)

Завдання 1. Довести, що множина М=

Zba

ab

ba,,

2 відносно додавання і множення

утворює підкільце кільця матриць (М2(Z);+;∙). Визначити, чи є це підкільце лівим

(правим) ідеалом. Чи буде вказане підкільце комутативним, унітарним, цілісним?

Завдання 2. Вказати загальний вигляд елементів головного ідеалу <п> у кільці тZ.

Побудувати фактор-кільце тZ/<п>. Скласти для його елементів таблиці додавання та

множення. Вказати дільники нуля і оборотні елементи. п=3, т=2;

Завдання 3. Довести, що вказане число 7 є простим елементом кільця Z[і]:

Завдання 4. Показати, що відображення є гомоморфізмом кільця К на К1. Вказати ядро

цього гомоморфізму. Чи є вказане відображення ізоморфізмом?

К=

Zbaab

ba,, , К1= Z[і], bia

ab

ba

;

Завдання 5. Знайти усі цілі значення параметрів a і b , при яких многочлен:

baxxxxxxf 2346 22)( є квадратом деякого многочлена;

Завдання 6. Знайти суму коефіцієнтів многочлена ).23()22()( 220099100 xxxxxf

Завдання 7. Знайти необхідні і достатні умови, при яких многочлен )(xf ділиться націло

на )(xg , якщо qpxxxf 3)( , 1)( 2 axxxg в ][xQ .

Завдання 8. Користуючись схемою Горнера, знайти остачу від ділення )(xf на )( ax .

Визначити значення многочлена та його похідних в точці а та розкласти за степенями

)( ax : 53872)( 245 xxxxxf , 1a ;

Завдання 9. Знайти остачу та частку від ділення многочлена )(xf на )(xg в кільці ][xC . 344)( xxxf , ixxg 1)( .

Завдання 10. Знайти кратність кореня ax многочлена

16168167)( 2345 xxxxxxf , 2a ;

Завдання 11. При діленні )(xf на )(xg в ][xZ дістали остачу 143)( 2 xxxr . Знайти

остачу від ділення )(2 xf на )(xg , якщо степінь )(xg дорівнює 5.

Завдання 12. Остачі від ділення )(xf з кільця ][xZ на 1)(1 xxg , 2)(2 xxg та

1)(3 xxg відповідно дорівнюють 3, 15 та 0. Знайти остачу від ділення )(xf на

22)( 23 xxxxg .

Завдання 13. Знайти многочлен )(xf з ][xQ , якщо 224)( xxf , 1)0( f , 5)1( f .

Завдання 14. При яких необхідних і достатніх умовах многочлен qpxxxf 5)( має

кратний корінь у ][xQ .

Завдання 15. За допомогою схеми Горнера розкласти многочлен )( axf за степенями.

16532)( 234 xxxxxf , 2a .

Завдання 12. Знайти лінійне представлення НСД двох многочленів )(xf та )(xg методом

невизначених коефіцієнтів. Для знаходження НСД використати алгоритм Евкліда:

xxxxxf 22)( 234 , 353)( 23 xxxxg ;

Завдання 16. Відокремити кратні множники многочлена

1357753)( 234567 xxxxxxxxf ;

Завдання 17. Розкласти даний раціональний дріб на елементарні дроби над R :

)3)(2)(4( 2

2

xxx

x.

Завдання 15. Використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа, побудувати многочлен

найбільшого степеня ][)( xQxf за таблицею значень:

x f(x) x f(x)

-3 22 0 3

1 2 2 7

Індивідуальна робота №2 (зразок)

Завдання 1. Подати через основні симетричні многочлен ),,( 321 xxxf та обчислити його

значення, якщо 321 ,, xxx – корені рівняння 03 qpxx :

21

23

23

22

22

21

43

42

41321321 222222),,( xxxxxxxxxxxxxxxf .

Завдання 2. Виразити через основні симетричні многочлени: ...3221 xxx ;

Завдання 3. Розкласти многочлен на незвідні множники над R f(x)=4x4+4x3+13х2 +6х+9.

Завдання 4. Знайти раціональні корені многочлена та розкласти його на множники,

незвідні над полем Q :f(x)=6x4– 11x 3– x2 – 4.

Завдання 5. Розв’язати рівняння третього степеня у радикалах: x3 + 3x2–3x –14 = 0.

Завдання 6. Розв’язати рівняння четвертого степеня у радикалах: x4 +2x3 + x2–1= 0.

Завдання 7. Знайти многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, в якого

–1 та 1+і є простими коренями, а 2і – двократним.

Завдання 8. Визначити, при якому многочлени f(x) та g(x) мають спільні корені:

f(x)= x3 – х+2, g(x)= x2 + х–2.

Завдання 9. Розв’язати систему рівнянь, використовуючи результант:

0127116

,0322

22

xyxxyy

xyxy.

Завдання 10. Довести, що число 3 31 ia алгебраїчне і знайти його мінімальний многочлен.

Завдання 11. Знайти алгебраїчне число, приєднанням якого до поля Q можна дістати

складене алгебраїчне розширення 72Q . Вказати базис цього розширення над Q.

Завдання 12. Позбутись від ірраціональності у знаменнику дробу: 123

23

.

Питання до колоквіумів та екзамену

1. Означення та приклади кілець. Типи кілець. Поля та тіла.

2. Підкільце кільця. Критерій підкільця. Приклади.

3. Властивості кілець. Приклади нецілісних кілець.

4. Характеристика кільця з одиницею.

5. Кільця класів лишків. Поля класів лишків.

6. Ідеали кілець. Критерій ідеалу. Приклади. Головні ідеали.

7. Властивості ідеалів (перетин, об’єднання, сума, умова співпадання головних ідеалів).

8. Властивості подільності в комутативних, асоціативних кільцях з одиницею.

Дільники одиниці та нуля. Приклади.

9. Асоційовані елементи кільця з одиницею. Властивості.

10. Прості та складені елементи кільця. Приклади кілець без простих елементів та з

неоднозначним розкладом елементів у добуток простих.

11. Подільність ідеалів. НСД ідеалів.

12. Кільця головних ідеалів. Властивості подільності у кільцях головних ідеалів.

13. Многочлени від однієї змінної над областю цілісності або над полем. Дії над

многочленами. Побудова кільця многочленів від однієї змінної, його властивості.

14. Ділення многочленів з остачею в кільці многочленів над областю цілісності з 1 або

над полем. Теорема про ділення з остачею. Евклідовість кільця Р[х].

15. Схема Горнера. Теорема Безу та наслідки з неї.

16. Подільність многочленів у кільці Р[х]. Властивості.

17. Асоційовані многочлени. Властивості.

18. НСД двох та кількох многочленів. Алгоритм Евкліда. НСК двох многочленів.

19. Лінійне представлення НСД двох многочленів.

20. Взаємно прості многочлени та їх властивості.

21. Звідність многочленів над полем. Приклади. Властивості звідних та незвідних

многочленів.

22. Теорема про можливість та єдиність розкладу многочлена в добуток незвідних

многочленів над полем.

23. Похідна многочлена на д полем нульової характеристики. Розклад многочлена у ряд

Тейлора.

24. Корені многочлена. Критерій кореня. Кратні корені.

25. Теорема про кількість коренів многочлена ненульового степеня над числовим полем Р.

26. Теорема про незвідний кратний множник многочлена та його похідної. Наслідки.

27. Відділення кратних множників многочлена.

28. Алгебраїчна та функціональна рівність многочленів. Співпадання цих понять для

многочленів, заданих над полем нульової характеристики.

29. Поле раціональних дробів. Представлення правильних дробів у вигляді суми

елементарних.

30. Многочлени від кількох змінних. Побудова кільця многочленів від кількох змінних

над полем (областю цілісності).

31. Лексикографічне впорядкування членів многочлена. Теорема про вищий член

добутку многочленів. Степінь добутку двох многочленів від кількох змінних.

32. Теорема про можливість та єдиність розкладу многочлена від кількох змінних у

добуток незвідних многочленів.

33. Симетричні многочлени. Основні симетричні многочлени. Властивості симетричних

многочленів.

34. Основна теорема теорії симетричних многочленів (можливість і єдиність

представлення).

35. Формули Вієта. Наслідок про значення симетричного многочлена g(x1,x2,…,xn)

],...,[ 21 nxxxP від коренів многочлена f(x)P[x].

36. Проблема звідності многочлена над полем та існування кореня многочлена в цьому

полі.

37. Теорема Кронекера. Поле розкладу многочлена. Існування поля розкладу

многочлена.

38. Теорема про існування комплексного кореня у многочлена з дійсними

коефіцієнтами.

39. Основна теорема алгебри комплексних чисел.

40. Наслідки з основної теореми алгебри.

41. Результант двох многочленів. Теорема Ейлера про спільний корінь двох

многочленів.

42. Основна теорема про результант двох многочленів.

43. Виключення невідомого з системи двох рівнянь з двома невідомими. Приклади.

44. Примітивні многочлена. Лема Гауса про добуток двох примітивних многочленів.

45. Многочлени над полем раціональних чисел. Звідність многочленів над полем

раціональних та кільцем цілих чисел.

46. Існування незвідних многочленів будь-якого степеня над полем раціональних чисел.

Критерій Ейзенштейна. Приклади.

47. Обчислення раціональних коренів многочлена. Приклади.

48. Алгебраїчні і трансцендентні числа над полем раціональних чисел. Приклади.

Мінімальний многочлена та степінь алгебраїчного числа.

49. Поле алгебраїчних чисел. Приклади алгебраїчних чисел.

50. Теорема про алгебраїчну замкненість поля алгебраїчних чисел.

51. Розширення полів. Типи розширень. Приклади.

52. Поняття про розв’язність рівнянь у квадратних радикалах. Умова розв’язності

рівняння 3 степеня у квадратних радикалах.

53. Розв’язування рівнянь 3 степеня. Формула Кардано.

54. Дослідження рівняння 3 степеня з дійсними коефіцієнтами.

55. Розв’язування рівнянь 4 степеня.

56. Побудова простого алгебраїчного розширення поля. Скінченність простого

алгебраїчного розширення.

57. Звільнення від алгебраїчної ірраціональності у знаменнику дробу. Застосування

симетричних до звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.

58. Звільнення від алгебраїчної ірраціональності у знаменнику дробу з використанням

лінійного представлення НСД.

9. Розподіл балів, які отримують студенти

ІІІ семестр

Відвідув.

Лекцій

Відвідув.

Практичних Відповіді С/р К/р Колоквіум

Індивід.

Завдання Всього

Р. І. 2,5 2,5 2 7 10 24

Р. ІІ. 2,5 2,5 2 5 12 12 11

36

Р. ІІІ 2,5 2,5 2 12 10 40

Усього 7,5 7,5 6 12 24 22 21 100

ІV семестр

Відвідув.

лекцій

Відвідув.

Практичн. С/р К/р Колоквіум

Індивід.

завд. Екзамен Всього

Р. ІV. 2,25 2,5 4 10 9 11,5

39,25

Р. V.

Р. VІ

2,75 2 2 10 9 10

35,75 Р. VII

Р. VIIІ

Усього 5 4,5 6 20 18 21,5 25 100

Шкала оцінювання: національна та ECTS

Сума балів за

всі види навчальної

діяльності

Оцінка

ECTS

Оцінка за національною шкалою

для екзамену, курсового проекту

(роботи), практики

для заліку

90 – 100 А відмінно

зараховано 82 - 89 В

добре 74 - 81 С

64 - 73 D задовільно

60 - 63 Е

35-59 FX незадовільно з можливістю

повторного складання

Не зараховано з можливістю

повторного складання

1 - 34 F незадовільно з обов’язковим

повторним вивченням дисципліни

незараховано з обов’язковим

повторним вивченням

дисципліни

10. Методичне забезпечення

Для організації роботи зі студентами використовується навчально-методичний

посібник «Методичні матеріали для організації навчального процесу з курсу «Алгебра і

теорія чисел» для студентів спеціальності «Математика».

11. Рекомендована література Основна 1. Бородін О.І. Теорія чисел. – К.: Вища школа, 1970.– 276 с. 2. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел. – К.: Вища школа, ч. 2,

1974.–408 с. 3. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение,

– 1964.– 164 с. 4. Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум.Ч.2.–К. Вища школа,–1986.–264с. 5. Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел. Практикум.Ч.І.–К.:Вища школа,–1983.–232с. 6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, – 1979.–560с. 7. Требенко Д.Я., Требенко О.О. Алгебра і теорія чисел.– К.:НПУ імені М.П.

Драгоманова, 2006. –Ч.І. – 400 с. 8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.–

416 с. 9. Лиман Ф.М., Лукашова Т.Д. Елементи теорії груп, кілець та полів. –Суми: Вид-во

Макден, 2013.– 208 с.

Додаткова:

9. Бухштаб А.А. Теорія чисел. – М.: Высшая школа. – 1967.– 384 c.

10. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, – 1965.– 168 с.

11. Завало С.Т. Курс алгебри.– К.: Вища школа, 1985.– 504 с.

12. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука. –1971.–432 с.

13. Лиман Ф.М. Елементи теорії груп, кілець та полів. –Суми: Вид-воСумДПУ ім. А.С.

Макаренка, 2005.– 112 с.

14. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение. – 1966.– 335 с.

15. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. –М.: Просвещение. – 184с.

16. Методичні матеріали щодо організації навчального процесу з курсу „Алгебра і теорія

чисел” за кредитно-модульною системою для студентів ІІ курсу спеціальності 6.040201 –

Математика*/ Уклад.: Лукашова Т.Д., Друшляк М.Г. – Вид. центр СумДПУ імені А.С.

Макаренка, 2010. – 64 с.