-
1
Министерство сельского хозяйства РФ Департамент
научно-технологической политики и образования
ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная
академия
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
Методическая разработка
Волгоград ИПК «Нива»
2010
-
2
УДК 519.2(075.3) ББК 22.17я72 К 67
Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики ВГСХА и
учебно-методическим советом факультета электрификации с.х.
Корниенко, В.С. К 67 Теория вероятностей и математическая
статистика в вопросах
и задачах. Методическая разработка [Текст] /В.С. Корниенко;
Вол-гогр. гос. с.-х. акад. Волгоград, 2010. 96 с.
Приведено более 240 вопросов, 111 задач и 42 теста по курсу
теории вероятно-
стей и математической статистики (которые, в частности, могут
составить содержание для дистанционного обучения). Ко всем заданиям
приведены ответы, решения или ука-зания, что позволит изучать
дисциплину самостоятельно.
Для студентов специальности: 110302 - «Электрификация и
автоматизация сельско-го хозяйства». УДК 519.2(0.75.3) ББК
22.17я72
-
3
ВОПРОСЫ
Теория вероятностей 1. Дать определение выборки объема m
[m-выборки] из множества,
содержащего n элементов. 2. Какие выборки называются: а)
неупорядоченными; б) упорядоченными?
3. Что называется размещением из n элементов по m элементов? Как
оно обозначается и по какой формуле вычисляется? 4. С
упорядоченными или с неупорядоченными выборками связано размещение?
5. Что называется перестановкой из n элементов? 6. Что называется
сочетанием из n элементов по m элементов? Как оно обозначается и по
какой формуле вычисляется? 7. С упорядоченными или с
неупорядоченными выборками связано сочетание? 8. Как вычисляются
сочетания, размещения и перестановки:
а) вручную; б) с помощью Mathcad? 8(1). По какой формуле можно
найти: а) 1000000!; б) 10000000!?
9. Какие выборки представляют собой размещения с повторениями?
10. Как обозначается число всех размещений с повторениями из n
элементов по m? По какой формуле это число находится? 11. Какие
выборки представляют собой сочетания с повторениями? Как
обозначается число всех сочетаний с повторениями из n элементов по
m? По какой формуле это число находится? 12. Как определяются
перестановки с повторениями? Как они обо-значаются? По какой
формуле находятся? 13. Сформулировать комбинаторное правило
[принцип] умножения. 14. Сформулировать комбинаторное правило
[принцип] сложения. 15. Когда говорят, что совершается выбор с
возвращением? 16. Когда говорят, что совершается выбор без
возвращения? 17. Что называется испытанием? 18. Какое испытание
называется единичным? 19. Что называют исходами испытаний? 20. Что
такое случайные исходы испытаний? 21. Что называется множеством
исходов испытания? 22. Перечислить способы перебора различных
вариантов. 23. Что называется случайным событием [событием]? 24.
Как обозначаются события? 25. Какое событие называется достоверным?
Как оно обозначается? 26. Какое событие называется невозможным? Как
оно обозначается?
-
4
27. Какое событие можно назвать практически невозможным
(практиче-ски достоверным)? 28. Какие два события называются
несовместными? 29. Какие два события называются совместными? 30.
Какие события 1A , 2A , …, nA называются попарно
несовмест-ными?
31. Когда события 1A , 2A , …, nA образуют полную группу? 32.
Какие события называются единственно возможными?
33. Какие события называются равновозможными? 34. Какие события
называются элементарными исходами? 35. Что называется пространством
элементарных исходов (ПЭИ)? 36. Какие элементарные исходы называют
благоприятствующими данному событию? 37. По какой формуле находится
вероятность события A ? 38. Чему равна вероятность:
а) достоверного события; б) невозможного события? 39. Чем
является вероятность случайного события? 40. Каким неравенствам
удовлетворяет вероятность любого события
A ? 40(1). Что позволяет оценить вероятность? Что изучает теория
веро-
ятностей? 41. Дать определение суммы событий A и B . Как она
обозначается? 42. По какой формуле находится вероятность суммы
двух:
а) несовместных событий; б) совместных событий? 43. Чему равна
сумма вероятностей событий, образующих полную
группу событий? 44. Дать определение произведения событий A и B
. Как оно обозна-чается? 45. Что называется разностью событий A и
B? Как она обозначается? 46. Какое событие называют противоположным
событию A ? Как оно обозначается? 47. Верно ли, что из определения
суммы, произведения и разности событий, а также достоверного U,
невозможного V и противоположного событий следуют формулы: 1) AAA ;
2) AAA ; 3) ABBA ; 4) ABBA ; 5) CBACBA )()( ; 6) CABBCA )()( ; 7)
ACABCBA )( ; 8) BCACABA ))(( ; 9) UUA ; 10) AVA ; 11) AAU ; 12) VAV
; 13) UAA ; 14) VAA ; 15) BABA \ ; 16) AA ; 17) BABA ; 18) BAAB ?
48. Что относят к сериям из двух единичных испытаний? 49.
Определить независимые испытания на примере урновых испы-таний с
возвращением.
-
5
50. Определить зависимые испытания на примере урновых испыта-ний
без возвращения. 51. Как определяется условная вероятность )/( ABP
? По какой фор-муле она вычисляется? 52. Когда два события
считаются независимыми?
53. По какой формуле вычисляется вероятность произведения двух:
а) независимых событий; б) зависимых событий?
54. Написать формулу Бернулли для вычисления вероятности )(mPn .
55. С помощью какой встроенной функции в Mathcad вычисляется
вероятность mnmmn qpC ? 56. Сформулировать:
а) локальную теорему Лапласа; б) интегральную теорему Лапласа.
56(1). Как определяется функция Лапласа? 57. Написать
асимптотическую формулу Пуассона. 58. С помощью какой встроенной
функции в Mathcad вычисляется
вероятность em
m
!?
59. Что называется относительной частотой события? 60. В чем
состоит основное отличие понятия вероятности от относи-тельной
частоты? 61. По какой формуле вычисляется вероятность отклонения
относи-тельной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях? 62. Как определяется математическое ожидание )(XM
дискретной слу-чайной величины X ? 63. Что называют отклонением
случайной величины X ? 64. Как определяется дисперсия )(XD
дискретной случайной величины X ? 65. Перечислить свойства
математического ожидания. 66. Найти математическое ожидание счетной
дискретной случайной величины, которая задана следующим законом
распределения:
X 2 22 23 … 2 i …
P 12
12
2
12
3
… 12 i
…
67. Сформулировать свойства дисперсии. 68. Всякая ли дискретная
случайная величина имеет дисперсию? 69. Может ли дисперсия
случайной величины быть:
а) отрицательной; б) равняться нулю? 70. По какой формуле
вычисляется среднее квадратичное отклонение случайной величины Х?
71. Чему равно математическое ожидание появлений события в
незави-симых испытаниях?
-
6
72. Чему равна дисперсия появлений события в независимых
испыта-ниях? 73. Сформулировать и написать формулу полной
вероятности. Когда она применяется? 74. Сформулировать и написать
формулу Байеса. Когда применяется эта формула? 75. В чем главное
отличие формулы Байеса от формулы полной ве-роятности? 76. Что
называют случайной величиной? 77. Какая случайная величина
называется дискретной? 78. Как могут обозначаться [задаваться]
дискретные случайные ве-личины? 79. Чему равно: а) математическое
ожидание среднего арифметическо-го n одинаково распределенных
попарно независимых случайных величин; б) дисперсия среднего
арифметического n одинаково распределенных по-парно независимых
случайных величин; в) среднее квадратичное отклоне-ние среднего
арифметического n одинаково распределенных попарно неза-висимых
случайных величин? 80. Как можно найти сумму, разность,
произведение и частное двух независимых случайных величин X и Y ,
заданных таблицами их распре-деления? 81. Как определяется
произведение Xk дискретной случайной величи-ны X , заданной
таблицей распределения, на постоянную величину k ? 82. Как
определяется m-я степень mX дискретной случайной величи-ны,
заданной таблицей распределения? 83. Написать неравенство Чебышева.
84. Сформулировать закон больших чисел в форме Бернулли. 85. Чему
равно математическое ожидание отклонения случайной ве-личины? 86.
Как определяется функция распределения (ФР) )(xF дискретной
случайной величины X ? Какими свойствами она обладает? 87. Что
представляет собой график ФР дискретной случайной вели-чины? 88.
Какая случайная величина называется непрерывной? Как опреде-ляется
интегральная функция распределения (ИФР) )(xf непрерывной
слу-чайной величины X ? 89. Как определяется дифференциальная
функция распределения (ДФР)
)(xf непрерывной случайной величины X ? 90. Какими формулами
определяются ИФР )(xF и ДФР )(xf для од-ной и той же непрерывной
случайной величины X ? 91. В чем заключается условие нормировки
случайной величины X ? 92. По какой формуле находится вероятность
того, что значение дис-кретной (непрерывной) случайной величины X
попадает в интервал (a, b)?
-
7
93. Дать определение биномиального закона распределения. Верно
ли, что биномиальный закон распределения связан с урновыми
испыта-ниями по схеме с возвращением? Как с помощью Mathcad
находятся:
а) значения ФР этого распределения; б) вероятность )(mPn ? 94.
Какой многочлен называется производящим многочленом для
вероятностей m-кратного осуществления события A в серии из n
независи-мых испытаний?
95. По какой формуле вычисляется наивероятнейшее число
наступ-ления события?
96. Дать определение гипергеометрического закона распределения.
Верно ли, что этот закон распределения связан с урновыми
испытаниями по схеме без возвращения? Как с помощью Mathcad
находятся значения ФР этого распределения?
97. Дать определение потока событий. Какими свойствами
характе-ризуется простейший поток событий? Что называется
интенсивностью по-тока? 98. Дать определение пуассоновского
распределения случайной ве-личины. Как с помощью Mathcad
находятся:
а) значения ФР этого распределения; б) вероятность )(mPn ? 99.
Как определяется равномерное распределение на отрезке [a, b]
не-прерывной случайной величины? Как с помощью Mathcad находятся
значения ИФР и ДФР этого распределения? 100. Как определяется
показательное [экспоненциальное] распре-деление непрерывной
случайной величины? Как с помощью Mathcad нахо-дятся значения ИФР и
ДФР этого распределения? 101. Как определяется нормальное
распределение непрерывной слу-чайной величины? Как с помощью
Mathcad находятся значения ИФР и ДФР этого распределения? 102.
Какая нормально распределенная случайная величина называет-ся
нормированной? Как она обозначается? 103. Сформулировать правило
трех сигм. 104. Как определяется математическое ожидание функции
одного аргумента? 105. Как определяется хи-квадрат распределение с
n степенями сво-боды? Как оно обозначается? Как обозначаются в
Mathcad ДФР и ИФР этого распределения? 106. Как определяется
распределение Стьюдента с n степенями сво-боды? Как оно
обозначается? Как обозначаются в Mathcad ДФР и ИФР этого
распределения? 107. Как определяется F-распределение Фишера со
степенями свободы m и n? Как оно обозначается? Как обозначаются в
Mathcad ДФР и ИФР этого распределения?
108. Как определяется функция надежности?
-
8
109. Что называется квантилью xp уровня p случайной величины X ,
имеющей функцию распределения )(xF ? Как вычисляются квантили с
по-мощью Mathcad? 110. По какой формуле находится математическое
ожидание непре-рывной случайной величины X ? Как оно вычисляется с
помощью Mathcad? 111. По какой формуле находится дисперсия
непрерывной случай-ной величины X ? 112. По какой формуле
вычисляется )( YXD для независимых слу-чайных величин X и Y ? 113.
По какой формуле вычисляется )( YXD для зависимых случай-ных
величин X и Y ? 114. Что называется двумерной дискретной случайной
величиной
),( YX ? Как она задается? 115. Как по двумерной дискретной
случайной величине ),( YX найти распределения случайных величин
[компонент] X и Y ? 116. Всегда ли возможно восстановить совместное
распределение
),( YX по дискретным распределениям X и Y ? 117. Какие
дискретные случайные величины X и Y называются не-зависимыми? 118.
Как находится условное распределение случайной величины X при
условии, что случайная величина Y приняла значение jyY ? 119. Как
находится условное распределение случайной величины Y при условии,
что случайная величина X приняла значение ixX ? 120. Пусть ),( YX -
двумерная дискретная случайная величина. Как определяются
математические ожидания )(XM , )(YM и ),( YXM ?
121. Пусть ),( YX - двумерная дискретная случайная величина. Как
определяются дисперсии )(XD , )(YD и ),( YXD ?
122. Как вычисляется ковариация cov(X,Y) двумерной дискретной
случайной величины ),( YX ?
123. Верно ли, что если случайные величины X и Y независимы, то
cov(X,Y) = 0?
124. Следует ли из равенства cov(X,Y) = 0 независимость
случайных величин X и Y ?
125. Как устроена ковариационная матрица Cov(X,Y) двумерной
дис-кретной случайной величины ),( YX ?
126. Чем является определитель ковариационной матрицы двумер-ной
дискретной случайной величины ),( YX ?
127. Как определяется и обозначается коэффициент корреляции
ме-жду случайными величинами X и Y ?
-
9
128. Как определяется и обозначается корреляционная матрица
дву-мерной дискретной случайной величины ),( YX ?
129. Каким соотношением связаны ковариационная и корреляционная
матрицы двумерной дискретной случайной величины ),( YX ?
130. По какой формуле вычисляется условное математическое
ожи-дание )/( jyYXM двумерной дискретной случайной величины ),( YX
?
131. Как строится точечный график регрессии )()( yMXonYyf
дву-мерной дискретной случайной величины ),( YX ?
132. По какой формуле вычисляется условное математическое
ожи-дание )/( ixXYM двумерной дискретной случайной величины ),( YX
?
133. Как строится точечный график регрессии )()( xMYonXxg
дву-мерной дискретной случайной величины ),( YX ?
Математическая статистика 133(1). Чему помогает статистический
анализ? 133(2). Назвать этапы осуществления статистического
анализа. 133(3). Чем занимается статистика? 134. В чем состоит
основная задача математической статистики? 135. В чем заключается
первая задача математической статистики? 136. В чем заключается
вторая задача математической статистики? 137. Что такое генеральная
совокупность? 138. Что называется выборочной совокупностью
[n-выборкой]? 139. Что называется объемом совокупности? 140. В чем
польза использования выборок? 141. Почему приходится прибегать к
формированию выборок? 142. Почему прибегают к выборочному
исследованию при контроле
качества ампул для инъекций? 143. Результаты переписи населения,
проводимой в стране, являются
генеральной совокупностью или выборкой? 144. Какая выборка
называется повторной [выборка с возвращени-
ем]? 145. Какая выборка называется бесповторной [выборка без
возвра-
щения]? 146. Чем отличается повторная выборка от бесповторной
выборки? 147. Верно ли, что при построении повторной выборки все
элементы
генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в
вы-борку?
148. Верно ли, что при построении бесповторной выборки все
эле-менты генеральной совокупности перед началом построения выборки
имеют одинаковую вероятность попасть в выборку?
-
10
149. В чем состоит требование репрезентативности
[представитель-ности] выборки?
150. Пусть 1x , 2x , …, nx - n-выборка из генеральной
совокупности некоторой случайной величины X . Что означает
сортировка этой выбор-ки? Как осуществить сортировку выборки в
Mathcad?
151. Что называют вариантами выборки? 152. Что называется
частотой варианты xi выборки 1x , 2x , …, nx ? Как она
обозначается? 153. Какая таблица называется дискретным вариационным
рядом? 154. Что называется относительной частотой варианты xi
выборки
1x , 2x , …, nx ? Как она обозначается? 155. Что называют
статистическим распределением выборки? 156. Какой вариационный ряд
называется интервальным? 156(1). Назвать способы группирования
статистических данных. 157. По какой формуле определяется
количество k интервалов в ин-тервальном вариационном ряде? 158.
Пусть x - некоторое число. Как определяется накопленная час-тота xn
вариант выборки 1x , 2x , …, nx ? 159. Как определяется накопленная
относительная частота xw ? 160. Что называется вариационным рядом
n-выборки
1x , 2x , …, nx ? 160(1). Как зписывается сокращенное
обозначение суммы? Какими свойствами оно обладает?
161. Как определяется среднее арифметическое n-выборки 1x , 2x ,
…, nx ?
Как оно обозначается? Как находится среднее арифметическое
n-выборки в Mathcad? 161(1). В чем сущность среднего
арифметического? 161(2). Какую форму среднего арифметического
называют средним взвешенным? Как среднее взвешенное можно
интерпретировать? 161(3). Перечислить основные свойства среднего
арифметического. 161(4). Что называют отклоненим варианты ix
выборки от ее средне-го арифметического? 161(5). Чему равна сумма
отклонений вариант выборки от ее средне-го арифметического? 161(6).
Чему равна сумма квадратов отклонений вариант выборки от ее
среднего арифметического? 162. Как определяется мода n-выборки 1x ,
2x , …, nx ? Как находится мода n-выборки в Mathcad? 163. Как
определяется медиана n-выборки 1x , 2x , …, nx ? 163(1).
Сформулировать важное свойство медианы.
-
11
164. Что называется размахом n-выборки 1x , 2x , …, nx ? Как он
обо-значается? Как найти размах n-выборки в Mathcad?
165. Как строится полигон для изображения дискретного
вариацион-ного ряда? Как этот полигон строится в Mathcad?
166. Как строится гистограмма для представления интервального
ва-риационного ряда?
167. Что представляет кумулятивный вариационный ряд? 168. Что
представляет собой кумулята? 169. Если кумуляту строят по
накопленным относительным часто-
там, то чему равна ордината: а) крайней левой точки; б) крайней
правой точки? 170. Как определяется эмпирическая функция
распределения )(xFn ? Ка-
кой матрицей задается эта функция? Как строится в Mathcad? 171.
Что называется теоретической функцией распределения генераль-
ной совокупности? 172. В чем отличие эмпирической функции
распределения от теоретиче-
ской функции распределения? 173. Что называется параметром
генеральной совокупности [пара-
метром]? 174. Что называется параметром выборки [выборочным
параметром,
статистикой]? Можно ли в качестве примера привести выборочное
сред-нее, медиану, выборочную дисперсию, стандартное отклонение
выборки?
175. Что называют оценочной функцией параметра генеральной
со-вокупности? Верно ли, что ее фактическое значение, рассчитанное
по дан-ным выборки, называется оценкой параметра совокупности?
176. Что означает тот факт, что 1X , 2X , …, nX образуют выборку
из генеральной совокупности?
177. Какая оценочная функция некоторого параметра генераль-ной
совокупности называется несмещенной?
178. Какую оценочную функцию параметра называют
состоя-тельной?
179. Какая оценка параметра называется эффективной оценкой? 180.
Будет ли выборочная средняя [средняя арифметическая выбор-
ки] x n-выборки nxxxx ...21 несмещенной, состоятельной и
эффек-тивной оценкой для математического ожидания a генеральной
совокупно-сти?
181. Выяснить, смещенная или несмещенная выборочная
дисперсия
n
ii xxn
S1
22 1 .
182. Определить, смещенная или несмещенная «исправленная»
оценка
n
ii xxn
S1
22
11 .
-
12
183. Что называется генеральной долей p признака A? 184. Указать
для генеральной доли p несмещенную и состоятельную
оценку w . 185. Вычислить дисперсию и среднее квадратичное
отклонение оце-
ночной функции nmp .
186. Что называют выборочным средним квадратичным отклонением
[стандартной ошибкой статистики]?
187. По какой формуле находится выборочная средняя x
нижесле-дующего дискретного вариационного ряда? Варианты ix 1x 2x …
sx Σ Частоты in 1n 2n … sn n
188. По какой формуле вычисляется выборочная средняя x
нижесле-
дующего интервального вариационного ряда? Интервалы ),[ 21 yy
),[ 32 yy … ),[ 1kk yy Σ Количество вариант, попавших в
интервал
1m 2m … km n
Середины интервалов, iys 1ys 2ys … kys Относительные частоты,
iw
nm1
nm2 …
nmk 1
189. По какой формуле вычисляется несмещенная выборочная
дис-
персия 2S нижеследующего дискретного вариационного ряда?
Варианты ix 1x 2x … sx Σ Частоты in 1n 2n … sn n
190. По какой формуле вычисляется смещенная выборочная
средняя
дисперсия 2S нижеследующего интервального вариационного ряда?
Интервалы ),[ 21 yy ),[ 32 yy … ),[ 1kk yy Σ Количество вариант,
попавших в интервал
1m 2m … km n
Середины интервалов, iys 1ys 2ys … kys Относительные частоты,
iw
nm1
nm2 …
nmk 1
191. В чем заключается метод максимального правдоподобия? 192.
Что называется точечной оценкой параметра генеральной сово-
купности? 193. Что характеризует точность оценки параметра? 194.
Что называется надежностью [доверительной вероятностью]
оценки по ? Как она обозначается?
-
13
195. Что называется доверительным интервалом для оцениваемого
параметра с заданной надежностью γ?
196. Какой вид имеют доверительные границы доверительного
ин-тервала?
197. Что называется предельной ошибкой выборки? 198. Дать
определение статистической гипотезы. 199. Какие гипотезы называются
параметрическими (непараметриче-
скими) гипотезами? 200. Дать определение нулевой [основной,
проверяемой] гипотезы.
Как она обозначается? 201. Дать определение альтернативной
[конкурирующей] гипотезы.
Как она обозначается? 202. Дать определение простой гипотезы.
Привести пример. 203. Дать определение сложной гипотезы. Привести
пример. 204. Что такое статистический критерий? 205. Дать
определение наблюдаемого значения статистического кри-
терия. 206. Дать определение критической области. 207. Что
называется областью принятия гипотезы [областью допус-
тимых значений]? 208. Дать определение критических точек
[квантилей]. 209. Каким неравенством задается правосторонняя
критическая об-
ласть? 210. Каким неравенством задается левосторонняя
критическая об-
ласть? 211. Какими неравенствами задается двусторонняя
критическая об-
ласть? 212. Что такое критерий согласия? Для чего он
используется? 212. С чем связан λ-критерий Колмогорова? Верно ли,
что при его
использовании сравниваются эмпирическая )(xFn и предполагаемая
)(xF функции распределения?
214. Когда в принципе возможно применение λ-критерия
Колмого-рова?
215. Что такое эмпирические и теоретические частоты? 216. С чем
связан χ2-критерий Пирсона? 217. При каких значениях n можно
применять χ2-критерий Пирсона? 218. Верно ли, что для применения
χ2-критерия Пирсона необходи-
мо, чтобы в каждом интервале вариационного ряда было по крайней
мере 5 наблюдений?
219. Сформулировать теорему сложения дисперсий. 220. По какой
формуле рассчитывается выборочный парный коэф-
фициент корреляции yxr ?
-
14
221. Перечислить основные свойства выборочного парного
коэф-фициента корреляции.
222. Пусть ]1;0[yxr . Что можно сказать о связи между
признаками? 223. Пусть ]0;1[yxr . Что можно сказать о связи между
признаками? ЗАДАЧИ 1. Рабочий обслуживает три автоматических
станка. Событие A - хо-
тя бы один из трех станков потребует внимание рабочего в течение
часа, B - все три станка не потребуют внимания рабочего в течение
часа. Что оз-начает событие BA ?
2. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие A -
хо-тя бы один из трех станков потребует внимание рабочего в течение
часа, B - все три станка не потребуют внимания рабочего в течение
часа. Что оз-начает событие BA ?
3. Событие A - хотя бы одно из имеющихся четырех изделий
брако-ванное, событие B - бракованных изделий не менее трех. Что
означают события: а)
A ; б)
B ? 4. Имеем события: A - взятая наудачу деталь первого сорта, B
- взя-
тая наудачу деталь второго сорта, C - взятая наудачу деталь
третьего сор-та. Что представляют собой события:
а) BA ; б) CA ; в) CA ; г) CBA ? 5. Из города A в город B можно
добраться четырьмя дорогами, из
B в C ведут две дороги, из C в D - три дороги. Сколькими путями
можно добраться из: а) A в C ; б) B в D ; в) A в D ?
6. На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист
мо-жет подняться на нее и спуститься вниз, если разрешается
подниматься и опускаться: а) одинаковыми путями; б) различными
путями?
7. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на
обоих кубиках выпало одинаковое число очков» при подбрасывании двух
игральных кубиков?
8. Подбрасываются два игральных кубика. Какому событию
благо-приятствует больше элементарных исходов: «сумма выпавших
очков равна 7», «сумма выпавших очков равна 8»?
9. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы
очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в
сумме:
а) 5 очков; б) 6 очков. 10. Упростить выражения: а) ))((
BABA ; б) ))((
BABA . 11. Показать, что CACABCABA . 12. Доказать следующие
равенства: а) BABABAAB ;
-
15
б) VBABABABA ))()()(( ; в) UBABABA )())(( . 13. На трех станках
изготавливают однотипные изделия. Событие kA
( 3,1k ) – изделие, изготовленное на k-м станке, отвечает
стандарту. Что означают события:
а) 321 AAA ; б) 321 AAA ; в) 321321321 AAAAAAAAA ; г) 321321321
AAAAAAAAA ; д) 321 AAA ; е) 321321 AAAAAA ? 14. Прибор состоит из
двух блоков первого типа и трех блоков вто-
рого типа. События: iA ( 2,1i ) – исправен i-й блок первого
типа, jB ( 3,1j ) – исправен j-й блок второго типа. Прибор
работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее
двух блоков второго. Выразить событие C, означающее работу прибора,
через события iA и jB .
15. Сколько всего элементарных исходов при подбрасывании: а)
двух; б) трех; в) десяти; г) n игральных кубиков? 16. Из букв слова
дифференциал наугад выбирается одна буква. Ка-
кова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б)
согласной? 17. Сколько различных перестановок букв можно сделать в
словах: а) ротор; б) колокол? 18. В результате 20 выстрелов по
мишени получено 15 попаданий.
Какова частота попаданий? 19. Всегда ли вероятность суммы двух
событий равна сумме вероят-
ностей этих событий? 20. По какой формуле находится вероятность
суммы двух совмест-
ных событий A и B? 21. Всегда ли вероятность произведения двух
событий равна произ-
ведению вероятностей этих событий? 22. По какой формуле
находится вероятность произведения двух за-
висимых событий? 23. Являются ли несовместными события A и B ,
если опыт - под-
брасывание симметричной монеты; A - «появление герба», B -
«появление цифры»?
24. Являются ли несовместными события A и B , если опыт – два
выстрела по мишени; A - «хотя бы одно попадание», B - «хотя бы один
промах?
25. Являются ли равновозможными события A и B , если опыт –
подбрасывание погнутой монеты; A - «появление герба», B -
«появление цифры»?
26. Образуют ли полную группу событий события A и B , если опыт
– подбрасывание двух симметричных монет; A - «выпало два герба», B
- «выпало две цифры»?
-
16
27. На рис. 1 изображена электрическая схема. Выключатели
изо-бражены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать
через
kA - включен выключатель с номером k следующие события: A - ток
идет;
A - ток не идет.
Рис. 1
28. На рис. 2 изображена электрическая схема. Выключатели
изо-
бражены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать
через kA - включен выключатель с номером k следующие события: A -
ток идет;
A - ток не идет.
Рис. 2 29. На рис. 3 изображена электрическая схема. Выключатели
изо-
бражены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать
через kA - включен выключатель с номером k следующие события: A -
ток идет;
A - ток не идет.
Рис. 3 30. На рис.4 изображена электрическая схема. Выключатели
изобра-
жены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать
через kA -
включен выключатель с номером k следующие события: A - ток
идет;
A - ток не идет.
Рис. 4
1 2 3
1
2
3
1 3
2
1
2
3
-
17
31. Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме,
при-веденной на рис. 5. Пусть событие iA {включен выключатель с
номером i }, 4,1i . Записать через iA событие A {ток идет}.
Рис. 5 32. Электрическая цепь с выключателями составлена по
схеме, при-
веденной на рис. 6. Пусть событие iA {включен выключатель с
номером
i }, 5,1i . Записать через iA события A и
A , где событие A {ток идет}.
Рис. 6 33. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной
на рис. 7.
Пусть события iA , 5,1i , состоят в том, что одноименные
элементы работа-ют безотказно в течение времени T . Событие B
{схема работает безотказно в течение времени T }. Выразить события
B и
B через события iA .
Рис. 7 34. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной
на
рис. 8. Событие iA - элемент под номером i выходит из строя,
5,1i . Со-бытие B - разрыв цепи. Выразить событие B через события
iA .
1 3
2 4
1 2
3
4
5
2
3
4
1 5
-
18
Рис. 8 35. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что
наугад
открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5? 36.
На шести одинаковых по форме и размеру карточек написаны
буквы слова талант – по одной букве на каждой карточке. Карточки
тща-тельно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе
одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?
37. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек,
разыгрывает-ся 5 билетов. Найти вероятность того, что среди
обладателей билетов ока-жутся 2 девушки.
38. Страхуется 1200 автомобилей; считается, что каждый из них
мо-жет попасть в аварию с вероятностью 0,1. Для вычисления
вероятности то-го, что количество аварий среди всех застрахованных
автомобилей не пре-взойдет 115, следует использовать (какую!):
формулу Пуассона; формулу полной вероятности; интегральную формулу
Муавра-Лапласа; формулу Байеса.
39. В группе 25 студентов, из них отлично учится 5, хорошо – 12,
удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель, не знакомый с
группой, вызывает по списку одного из студентов. Определить
вероятность того, что вызванный студент отличник или хорошист.
40. В собранной электрической цепи может быть поставлен
предо-хранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с
вероятно-стью 0,8, или предохранитель второго типа, который при
перегрузке сра-батывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого
типа может быть поставлен в цепи с вероятностью 0,6, а второго типа
– с вероятностью 0,4. Предохранитель в цепи сработал. Что
вероятнее: поставлен предохрани-тель первого типа или второго?
41. Событие A может наступить при условии появления одного из
двух несовместных событий 1H 2H , образующих полную группу
событий.
Известны вероятности: 32)( 1 HP , 12
5)( AP , 21)/( 1 HAP . Тогда условная
вероятность )/( 2HAP равна … 42. Имеются три урны с шарами. В
первой находится 5 голубых и 3
красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8
голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается
шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие A
).
1 4
3
2 5
-
19
43. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары.
В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава 1H
). В двух других ящиках (состава 2H ) – по 8 голубых и 2 красных
шара. В од-ном ящике (состава 3H ) – 2 голубых и 8 красных шаров.
Наудачу выбира-ется ящик и из него извлекается шар. Какова
вероятность того, что извле-ченный шар оказался красным? 44.
Участок электрической цепи состоит из n последовательно
со-единенных элементов, каждый из которых работает независимо от
осталь-ных (рис. 9). Известна надежность [вероятность невыхода из
строя; веро-ятность безотказной работы] за определенный промежуток
времени каж-дого элемента: 1p , 2p , …, np . Найти надежность
[вероятность исправной работы] всего участка цепи.
Рис. 9 45. Участок электрической цепи состоит из n параллельно
соединен-ных элементов, каждый из которых работает независимо от
остальных (рис. 10). Известна надежность каждого элемента: 1p , 2p
, …, np . Опреде-лить надежность участка. Рис. 10 46.
Рассматривается та же схема, что и в предыдущей задаче, но
pppp n ...21 . Сколько элементов должен содержать участок
электри-ческой цепи, чтобы его надежность превышала 0,99? 47. Два
участка электрической цепи составлены по схемам, изобра-женным на
рис. 11. Каждый элемент работает независимо от остальных и его
надежность равна p ( 10 p ). Определить надежность каждого
участ-ка. Какой участок цепи является более надежным?
1 2 n
1
2
n
-
20
Рис. 11 48. Дана электрическая схема (рис. 12), в которой
вероятности отка-зов узлов 1, 2, 3, 4 и 5 за время T равны 2,01 q ;
3,02 q ; 1,03 q ; 1,04 q ;
3,05 q . Схема выходит из строя, если цепь разомкнута.
Определить на-дежность схемы за время T .
Рис. 12 49. Линия связи состоит из двух каналов, основного и
дублирующе-го. Моменты отказов каналов являются независимыми,
показательно рас-пределенными случайными величинами с параметрами
05,021 . Найти вероятность того, что линия связи будет исправно
работать до момента времени 20t (ед. времени). 50. Схема состоит из
трех независимых элементов 1, 2 и 3 (рис. 13), моменты i отказов
которых распределены экспоненциально с параметрами 0,1; 0,5 и 0,01
соответственно. Найти надежность схемы за время 10t (ед. времени).
Рис. 13 51. Для надежности схемы устанавливается n параллельно
соединен-ных и независимо работающих элементов, моменты отказов за
единицу времени которых распределены по экспоненциальному закону с
парамет-ром 05,0 . Сколько нужно поставить таких элементов, чтобы с
вероятно-
1 3 5
2 4 6
1 3 5
2 4 6
Первый участок
Второй участок
2 3
4
1 5
1 2
3
-
21
стью 0,99 схема работала безотказно в течение времени 10t (ед.
време-ни)?
52. Две электрические цепи (рис. 14) содержат соответственно 3 и
4 элемента. Выход из строя этих элементов – независимые события,
имею-щие вероятности 1,01 p , 2,02 p , 3,03 p (первая цепь);
4,07654 pppp (вторая цепь). Наудачу выбирается одна цепь. Какова
вероятность того, что она работает?
Рис. 14 53. Найти вероятность безотказной работы приведенной
схемы (рис.
15), предполагая, что отказы отдельных элементов независимы.
Вероят-ность отказа каждого элемента равна q.
Рис. 15 54. Найти вероятность отказа приведенной схемы (рис.
16), предпо-
лагая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятности iq
отка-зов элементов соответственно 0,1; 0,2; 0,05; 0,2; 0,1.
Рис. 16
1
2
3
4
7 6 5
Первая цепь
Вторая цепь
1
2
6
7
8
9
1
4 3
2
5
-
22
55. Найти вероятность безотказной работы приведенной схемы (рис.
17), считая, что отказы отдельных элементов независимы. Вероятность
от-каза элемента с номером i равна iq
Рис. 17 56. Электрическая цепь (рис. 18) состоит из 5 элементов,
выход из
строя которых в заданный промежуток времени – независимые в
совокуп-ности события, имеющие соответственно вероятности iq ( 5,1i
). Найти вероятность разрыва цепи.
Рис. 18
57. Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События A -
«карта из первой колоды – красной масти» и B - «карта из второй
колоды – бубновой масти» являются … независимыми; совместными;
несовместны-ми; зависимыми.
58. Всхожесть семян составляет в среднем 80 %. Найти
наивероят-нейшее число всхожих среди девяти семян.
59. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет
30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в
слу-чайно отобранной партии из 75 изделий?
60. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы
наиверо-ятнейшее число выпадений двойки было равно 32?
61. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном
вы-стреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее
число по-паданий равно 16?
62. По какой формуле находится условная вероятность )/( ABP ?
63. Подбрасывают два игральных кубика. Чему равна вероятность
того,
что сумма очков, выпавших на обоих кубиках, не превзойдет 5? 64.
Задает ли таблица
X 1/3 1/32 1/33 … 1/3k … P 1/2 1/22 1/23 … 1/2k …
закон распределения дискретной случайной величины?
2
4 5 6
3 1
1 3
5
2 4
-
23
65. Задает ли таблица X 1/4 1/42 1/43 … 1/4k … P 1 1/2 1/3 … k/1
…
закон распределения дискретной случайной величины? 66.
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения
X 3 4 5 6 7 P 1p 0,15 3p 0,25 0,35
Найти вероятности )3(1 XPp и )5(3 XPp , если известно, что 3p в
4 раза больше 1p .
67. Пусть X - случайная величина. Тогда функция )(xF называется
ее функцией распределения, если она обладает свойствами …
68. Является ли функция
2,1
,20,,0,0
)( 2
xеслиxеслиx
xеслиxF
функцией распределения некоторой случайной величины? 69.
Является ли функция 21
1)(x
xF
( x R) функцией распределе-
ния некоторой случайной величины? 70. Случайная величина X
задана функцией распределения
2/1,2/0)sin(
,00)(
xприxприx
xприxF .
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X
примет значение из интервала (4, 5).
71. Случайная величина X задана функцией распределения
.31
,303
,00
)(
xпри
xприxxпри
xF
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X
примет значение из интервала (2, 3). 72. Что произойдет с
математическим ожиданием случайной вели-чины X, если каждое ее
значение: а) увеличили на 5 единиц; б) уменьшили в 5 раз; в)
увеличили в 5 раз; г) уменьшили на 5 единиц?
73. Что произойдет с дисперсией случайной величины X, если
каж-дое ее значение:
а) уменьшили на 5 единиц; б) увеличили на 10 единиц; в)
увеличили в 3 раза; г) уменьшили в 7 раз?
-
24
74. Что произойдет со средним квадратичным отклонением
случай-ной величины X, если каждое ее значение:
а) умножили на (-3); б) разделили на (-3)? 75. Всякая ли
дискретная случайная величина имеет математическое
ожидание? 76. Пусть X - случайная величина и )(XMXY . Вычислить
)(yM . 77. Известны математические ожидания двух случайных величин
X
и Y . Найти математические ожидания суммы и разности этих
величин. 78. Найти математическое ожидание случайной величины 72 XY
,
если известно, что 4)( XM . 79. Для дискретной случайной
величины X , которая задана законом
распределения, X 1/3 1/32 1/33 … 1/3k … P 1/2 1/22 1/23 … 1/2k
…
найти математическое ожидание. 80. Для дискретной случайной
величины X , которая задана законом
распределения, X 1/4 1/42 1/43 … 1/4k … P 1/2 1/22 1/23 … 1/2k
…
найти математическое ожидание. 81. 20 % изделий, выпускаемых
данным предприятием, нуждаются в
дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 150 изделий. Найти
сред-нее значение и дисперсию случайной величины X - числа изделий
в вы-борке, нуждающихся в регулировке.
82. Среди продукции цеха электронных плат 10 из партии в 100
штук не удовлетворяют стандарту. При приёмке продукции проверяется
10 плат. Какое среднее количество нестандартных плат обнаружат?
83. Математическое ожидание показательно распределенной
случай-ной величины X равно 5)( XM . Найти вероятность )5( XPp
.
84. В магазин поступают 100 изделий первого завода и 200 -
второго. Первый завод выпускает некачественные изделия в 5 %
случаев, второй – в 8 %. Для случайной величины X - числа
качественных изделий, посту-пивших в магазин, считая, что случайные
величины 1X и 2X распределены по биномиальному закону, найти:
а) среднее число; б) дисперсию. 85. Найти математическое
ожидание случайной величины X , равно-
мерно распределенной на отрезке [2, 8]. 86. Найти дисперсию
случайной величины X , равномерно распреде-
ленной на отрезке [4, 6]. 87. Случайная величина X равномерно
распределена на отрезке
[-1, 3]. Найти вероятность попадания её значений в интервал (0,
2). 88. Найти дисперсию случайной величины X , имеющей
равномер-
ное распределение на отрезке [-1, 2].
-
25
89. Пусть (X, Y) – двумерная случайная величина. Как
определя-ются:
а) математическое ожидание ),( YXM ; б) ковариация ),cov( YX .
90. Пусть величины X и Y независимы. Следует ли из этого, что
0),cov( YX ? 91. Пусть 0),cov( YX . Следует ли из этого
независимость случайных
величин X и Y ? 92. Как устроена ковариационная матрица ),(
YXCov двумерной слу-
чайной величины ),( YX ? 93. Каково предназначение
ковариационной матрицы ),( YXCov дву-
мерной случайной величины ),( YX ? 94. По какой формуле
определяется коэффициент корреляции ),( YXk
между случайными величинами X и Y ? 95. По выборке объема 100n
построена гистограмма частот
Тогда a = …
96. Точечная оценка математического ожидания нормального
рас-пределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь
вид … 97. Вероятность появления события A в 20 независимых
испытани-ях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,7. Тогда
дисперсия числа по-явлений этого события равна …
98. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема: n =
50:
ix 1 2 3 4 in 10 9 3n 7
Тогда 3n равно … 99. Мода вариационного ряда 1, 2, 5, 6, 7, 7,
10 равна … 100. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок)
неко-
торой случайной величины (в мм): 4; 5; 8; 9; 11. Тогда
несмещенная оценка математического ожидания равна …
101. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид xy 23 .
Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …
-3; 3; 0,6; -2; 2; -0,6.
0 2 4 6 8 xi
ni/h
a
10 15 19
-
26
102. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид xy 35 .
Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …
-5; 5; -3; 3; 0,4; -0,4. 103. Пусть основная гипотеза имеет вид
20:0 aH . Тогда (выбрать правильный ответ) конкурирующей может быть
гипотеза: а) 10:1 aH ; б) 20:1 aH ; в) 20:1 aH ; г) 20:1 aH .
104. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид: xy 7,04,2
,
средние квадратичные отклонения 2x , 8,2y . Найти коэффициент
кор-реляции r. 105. Для выборки объема 7n вычислена выборочная
дисперсия
168вD . Найти исправленную дисперсию 2S для этой выборки. 106. В
результате измерений некоторой физической величины одним прибором
(без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм):
11, 14, 14. Найти несмещенную оценку дисперсии измерений.
107. Вероятность изготовления нестандартного изделия при
некото-ром технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из
партии из-делие и сразу проверяет его на качество. Если оно
оказывается нестан-дартным, дальнейшие испытания прекращаются, а
партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным,
контролер берет следующее и т.д., но всего проверяет не более пяти
изделий. Найти закон распределения дискретной случайной величины X
- числа проверяемых изделий. 108. В энергетической системе имеется
группа из четырех одинако-вых агрегатов, находящихся в одинаковых
условиях. Вероятности исправ-ного состояния агрегатов в течение
времени T равны 0,6 и независимы. Рассматривается случайная
величина X - число агрегатов, находящихся в исправном состоянии в
течение времени T . Построить ряд и функцию рас-пределения
случайной величины X . Вычислить )(XM и )(XD . 109. Линия связи
обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент раз-говаривает в среднем
6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с
практической достоверностью можно было утверждать, что не
произойдет ни одной потери вызова? 110. Пусть распределение
двумерной случайной величины ),( YX за-дано табл. 1.
Т а б л и ц а 1 YX \ -1 0 1 2 ∑
1 0,10 0,25 0,30 0,15 0,80 2 0,10 0,05 0,00 0,05 0,20 ∑ 0,20
0,30 0,30 0,20 1
Требуется: 1) найти распределения ее компонент X и Y ; 2) найти
распределения суммы YX , разности YX и произведения YX ; 3)
вы-числить математические ожидания )(XM , )(YM , )( YXM , )( YXM
и
-
27
)( YXM ; 4) вычислить ковариацию ),cov( YX ; 5) вычислить ),(
YXM и ),( YXD ; 6) вычислить двумя способами дисперсии )( YXD и )(
YXD ;
7) проверить независимость величин X и Y ; 8) найти коэффициент
корре-ляции между случайными величинами X и Y .
111. Имеется выборка, содержащая 45 числовых значений
некото-рого признака случайной величины X :
39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41,
42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41,
40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.
Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и
эм-пирическую функцию распределения.
112. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50
подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
-1,752 -0,291 -0,932 -0,450 0,512 -1,256 1,701 0,634 0,720 0,490
1,531 -0,433 1,409 1,730 -0,266 -0,058 0,248 -0,095 -1,488 -0,361
0,415 -1,382 0,129 -0,361 -0,087 -0,329 0,086 0,130 -0,244 -0,882
0,318 -1,087 0,899 1,028 -1,304 0,349 -0,293 -0,883 -0,056 0,757
-0,059 -0,539 -0,078 0,229 0,194 -1,084 0,318 0,367 -0,992
0,529
Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд,
построить полигон, гистограмму, график эмпирической функции
распре-деления. Построить кумуляту.
Ответы на вопросы Теория вероятностей
1. Если из множества, содержащего n элементов, каким-то
способом
отобраны m элементов ( nm ), то говорят, что из этого множества
произ-ведена выборка объема m. 2. а) В том случае, когда порядок
расположения элементов не учитывают, выборки называют
неупорядоченными. Следова-тельно, две неупорядоченные выборки
считают различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент,
которого нет в другой. Например, для множества, состоящего из трех
элементов a , b , c , существуют три раз-личные неупорядоченные
выборки объема 2: ab , ac , bc ; б) если порядок расположения
элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют
упорядоченными. Таким образом, две упорядоченные выборки считают
различными, если они отличаются либо составом элементов, либо
-
28
их расположением. Например, для множества, состоящего из трех
элемен-тов a , b , c , существуют шесть различных упорядоченных
выборок объема 2: ab , bc , ac , ba , cb , ca . 3. Всякая
упорядоченная выборка объема m из множества, содержащего n
элементов ( mn ), называется размещением из n элементов по m
элементов. Обозначение: mnA . Вычисляется по формуле
))1()...(2)(1( mnnnnAmn . 4. С упорядоченными. 5. Размещения из
n элементов по n элементов называются перестановками из n
элементов. Число перестановок из n элементов (его обозначают nP )
равно n! 6. Всякая неупорядоченная выборка объема m из множества,
содержащего n элемен-тов ( mn ), называется сочетанием из n
элементов по m элементов. Число всех сочетаний из n элементов по m
элементов обозначается символом mnC
и вычисляется по формуле )!(!
!mnm
nC mn . 7. С неупорядоченными. 9. Если
в размещениях из n элементов по m некоторые из элементов (или
все) мо-гут оказаться одинаковыми, то такие размещения называются
размеще-ниями с повторениями из n элементов по m. Например, из 3
элементов a , b , c по 2 размещениями с повторениями будут aa , ab
, ac , ba , bb , bc , ca , cb , cc (всего 239 элементов). 10. Число
размещений с повторениями из n элементов по m (обозначается mnA
~ ) равно mmn nA ~ . 11. Если в сочетаниях из
n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут
оказаться оди-наковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с
повторениями из n элементов по m. Например, из 3 элементов a , b ,
c по 2 сочетаниями с повторениями будут aa , ab , ac , bb , bc , cc
(всего 6 элементов). Число со-четаний с повторениями из n элементов
по m (обозначается mnC
~ ) равно m
mnmn CC 1
~ . 12. Если в перестановках из общего числа n элементов есть
k
различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется 1n раз,
2-й эле-мент - 2n раз, k-й элемент - kn раз, причем nnnn k ...21 ,
то такие пере-становки называют перестановками с повторениями из n
элементов. Чис-ло перестановок с повторениями из n элементов
равно
!!...!!),...,,(
2121
kkn nnn
nnnnP . 13. Правило умножения. Если объект A можно
выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект B
мож-но выбрать n способами, то выбор пары ),( BA в указанном
порядке можно осуществить nm способами. Поясним это правило на
примере. Из города A в город B ведут пять дорог, а из B в C - три
дороги. Сколько путей, проходящих через B , ведут из A в C ?
Требуется осуществить последова-тельно одно за другим два действия:
выбор пути из A в B и выбор пути из B в C . Первое действие можно
осуществить пятью способами и при лю-бом способе его осуществления
второе действие можно выполнить тремя способами. Тогда оба действия
(выбор пути из A в B и выбор пути из B в C ) можно осуществить 1535
способами. 14. Правило сложения. Если
-
29
некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект B
можно выбрать n способами, причем ни один из способов выбора A не
совпадает с каким-нибудь способом выбора B , то выбор «либо A ,
либо B » можно осуществить nm способами. Проиллюстрируем это
правило на примере. Пусть по-прежнему из города A в город B ведут
пять дорог, а из города B в город C - три дороги. Пусть, кроме
того, из города A в город D можно попасть двумя путями, а из D в C
- четырьмя. Сколькими спо-собами можно добраться из A в C ?
Возможны два случая: путь из A в C проходит через город B или город
D . В каждом из этих случаев число возможных маршрутов легко
подсчитать, воспользовавшись правилом ум-ножения. В первом случае
имеется 1535 маршрутов; во втором - 842 . Складывая, получаем общее
число маршрутов: 23815 . 15. Выбранный объект возвращается в данную
совокупность и следующий объект выби-рается из прежней
совокупности. 16. Выбранный объект не возвращается в исходную
совокупность. 17. Испытание – любой эксперимент, наблю-дение,
контрольные и проверочные действия, различные соревнования,
об-следования и т.п. 18. Единичное испытание – испытание, в котором
со-вершается одно действие с одним предметом. Например, один раз
подбра-сывают монету или извлекают один шар из урны, или проверяют
качество изготовленной детали и т.д. 19. Исходы испытаний –
результат испыта-ния. Например, при подбрасывании монеты выпал
«орел» или из урны из-влекли четный шар, или деталь при проверке
оказалась бракованной. 20. Случайные исходы испытания – результаты
испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могут
быть разными и опреде-ляются случайным стечением обстоятельств в
ходе испытания. 21. Мно-жество исходов испытания – множество
возможных случайных исходов испытания. Множество исходов
