Тести навчальних досягнень учнів з теми «Комплексні числа» за 11 клас

«Комплексні числа» в запитаннях та задачах

Тема 1. «Поняття комплексного числа»

1. Чи має рівняння розв’язок в множині комплексних чисел?

2. Що називається комплексним числом?

3. Назвіть уявну та дійсну частини комплексного числа та якими символами

їх позначають?

4. У якому випадку комплексне число вважається таким, що співпадає з

дійсним числом?

5. У якому випадку комплексне число називається чисто уявним?

6. Чи має сенс поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел?

7. Які комплексні числа називаються спряженими?

8. Назвіть властивості комплексних чисел.

9. Назвіть та доведіть властивості спряжених комплексних чисел.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Записати дійсні та уявні частини комплексного числа:

1) 2) 3) 4) 5) 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

2. Розкласти на комплексні множники:

1) 2) 3) 4) 5) 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

3. Чи є числа та ; та ; та ; та

спряженими? Чому?

4. Знайдіть комплексні числа, спряжені з даними:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) .

5. За умовою рівності комплексних чисел визначити дійсні і :

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) ; 6) ;

7) .

Тема 2. «Дії над комплексними числами та геометрична інтерпретація»

1. Що називається сумою двох комплексних чисел?

2. Які комплексні числа називають протилежними?

3. Назвіть та доведіть основні закони додавання комплексних чисел.

4. Що називається різницею двох комплексних чисел?

5. Що називається добутком двох комплексних чисел?

6. Які ви знаєте закони множення комплексних чисел?

7. Що називається часткою двох комплексних чисел?

8. За яким правилом відбувається ділення комплексних чисел?

9. Доведіть можливість ділення комплексних чисел і його однозначність

10. Яку формулу потрібно застосовувати, для того, щоб комплексне число

задане в алгебраїчній формі піднести до додатного цілого степеня?

11. Як називається площина, точки якої зображають комплексні числа?

Початок координат, якому відповідає число 0? Вісь абсцис та вісь

ординат?

12. Чи можливо за допомогою геометричної інтерпретації комплексних

чисел зобразити додавання, віднімання комплексних чисел? Як саме?

Задачі для самостійного розв’язування

1. Виконати додавання комплексних чисел:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ;

2. Виконати віднімання комплексних чисел:

1) 2) 3)

4) 5) 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10)

.

3. Виконати множення комплексних чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

; 6) ; 7) ; 8) ; 9)

; 10) ; 11) .

4. Обчислити добуток спряжених комплексних чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

5. Знайти частку комплексних чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 13) .

6. Піднести до степеня двочлени:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

7. Побудувати геометричне зображення чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

Тема 3. «Тригонометрична форма комплексного числа»

1. Що є геометричним образом комплексного числа?

2. Довжина радіус-вектора це… .

3. За яких умов довжина радіус-вектора дорівнює ?

4. Аргументом комплексного числа називається… .?

5. Записати тригонометричну форму комплексного числа .

6. Нехай , тоді …, …, … .

7. Що потрібно зробити, для того, щоб перемножити два комплексні числа в

тригонометричній формі? Поділити?

8. Поясніть геометричну суть множення та ділення комплексних чисел.

9. Як записується число в тригонометричній формі?

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти модулі даних комплексних чисел:

1) 2) 3) 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) .

2. Представити в тригонометричній формі наступні числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

3. Знайти геометричне місце точок, яку зображують комплексні числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) .

4. Записати комплексні числа в алгебраїчній формі:

1) 2) 3) 4) ;

5) ; 6) ;

5. Дано: . Запишіть їх в тригонометричній формі та

обчисліть добуток і частку.

Тема 4. «Добування кореня го степеня з комплексного числа»

1. Що називається коренем го степеня з комплексного числа ?

2. Скільки коренів го степеня має кожне комплексне число, відмінне

віднуля?

3. Що утворює множина коренів го степеня з 1?

4. Які корені називають первісними коренями го степеня з ?

5. При якій умові корені го степеня з є первісними?

6. Формула Муавра.

7. Доведіть формулу Муавра.

8. Записати формули для добування кореня го степеня з .

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти значення коренів і побудувати їх геометричне зображення:

1) 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

2. Піднести до степеня:

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1. Тематичні тести

Тема 1. «Поняття комплексного числа»

1. Яким є число ?

а) дробовим; б) раціональним; в) комплексним; г) ірраціональним;

д) дійсним.

1. Скільки розв’язків має рівняння в множині комплексних чисел?

а) один; б) безліч; в) жодного; г) два; д) три.

2. Чому дорівнює ?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. Число виду , де називається:

а) дійсним; б) раціональним; в) комплексним; г) уявним;

д) ірраціональним.

5. Комплексне число складається з:

а) дійсної та раціональної частини; б) раціональної та уявної частини;

в) цілої та дробової частини; г) дійсної та уявної частини.

6. Дійсною частиною числа є:

а) ; б) ; в) немає; г) ; д)

7. Назвіть уявну частину числа .

а) немає; б) 7; в) безліч; г) ; д)

8. Яким вважається комплексне число у випадку ?

а) співпадає з комплексним; б) співпадає з дійсним;

в) чисто уявним; г)нульовим; д) цілим

9. Яким вважається комплексне число у випадку ?

а) співпадає з комплексним; б) співпадає з дійсним; в) чисто уявним;

г) нульовим; д) цілим.

10. Як називається число ?

а) комплексним; б) дійсним; в) чисто уявним; г) спряженим;

д) цілим.

11. Два комплексні числа і є рівними при:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

12. Якими вважаються комплексні числа і , коли

а) спряженими; б) рівними; в) додатними; г) чисто уявними;

д) софістичними.

13. Яку назву мають комплексні числа та :

а) рівні; б) спряжені; в) додатні; г) протилежні; д) дробові.

14. Як називаються комплексні числа виду та ?

а) спряженими; б) рівними; в) додатними; г) чисто уявними;

д) софістичними.

15. Коли комплексне число спряжене з числом ?

а) завжди; б) ; в) ; г) ; д) ніколи.

16. Яким символом позначається комплексне число спряжене до ?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

17. Спряженим до числа є:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

18. Спряженим до числа є:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) немає.

19. Чи можна сказати, що одне комплексне число більше від іншого?

а) так; б) ні.

20. Яке з двох комплексних чисел більше чи ?

а) ; б) ; в) ;

г) відношення більше не існує; д) .

Тема 2. «Дії над комплексними числами та геометрична

інтерпретація комплексних чисел»

1. Сумою двох комплексних чисел і є:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Нейтральний елемент по множенню в множині комплексних чисел – це:

а) ; б) ; в) не існує; г) ; д) .

3. Комплексні числа та називаються:

а) спряжені; б) протилежні; в) рівні; г) невід’ємні; д) дробові.

4. Комплексні числа та є:

а) спряжені; б) протилежні; в) рівні; г) невід’ємні; д) дробові.

5. Означення суми комплексних чисел поширюється на:

а) два доданки; б) три доданки; в) тридцять доданків;

г) від трьох до п’яти доданків; д) безліч доданків.

6. Сума дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

7. Різницею двох комплексних чисел і називається

число , що задовольняє рівності:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

8. Різницею чисел та є:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

9. Комплексне число при

називається:

а) добутком і ; б) різницею і ; в) сумою і ;

г) часткою і ; д) піднесення до степеня .

10. Яка дія відбувається за правилом :

а) додавання; б) віднімання; в) піднесення до степеня; г) ділення;

д) логарифмування.

11. Для того, щоб поділити два комплексні числа необхідно:

а) помножити ділене на число спряжене до дільника;

б) помножити дільник на число спряжене до дільника;

в) помножити ділене і дільник на число спряжене до дільника;

г) помножити ділене на число спряжене до діленого;

д) помножити дільник на число спряжене до діленого.

12. При множенні комплексних чисел на отримаємо:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

13. Добуток двох спряжених чисел і дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

14. Добуток двох комплексних чисел і дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

15. Частка двох комплексних чисел та дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

16. Піднести до степеня двочлен :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

17. Площина, точки якої зображають комплексні числа називається:

а) декартовою; б) полярною; в) комплексною; г) циліндричною;

д) плоскою.

18. Вісь на цій площині називається:

а) абсцис; б) уявна; в) дійсна; г) ординат.

19. Вісь на цій площині називається:

а) абсцис; б) уявна; в) дійсна; г) ординат.

Тема 3. «Тригонометрична форма комплексного числа»

1. Запис комплексного числа у вигляді називається:

а) тригонометричною формою; б) алгебраїчною формою;

в) показниковою формою; г) тригонометричною формою;

д) квадратичною формою.

2. Геометричним зображенням комплексного числа є:

а) відрізок; б) пряма; в) радіус-вектор; г) промінь; д) модуль.

3. Величина, що обчислюється за формулою називається:

а) радіус; б) відрізок; в) модуль; г) промінь; д) радіус-вектор.

4. Число перетворюється в нуль за умов:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

5. Форма комплексного числа називається:

а) алгебраїчною; б) показниковою; в) логарифмічною;

г) тригонометричною; д) лінійною.

6. Модуль комплексного числа дорівнює:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

7. Радіус-вектор, що відповідає комплексному числу належить:

а) чверті; б) чверті; в) чверті; г) чверті;

8. Для переходу до алгебраїчної форми комплексного числа застосовують

формули:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Визначити дійсну та уявну частини комплексного числа :

а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і .

10. Для того, щоб помножити два комплексні числа в тригонометричній

формі необхідно

а) модулі перемножити, а аргументи додати;

б) модулі розділити, а аргументи відняти;

в) модулі розділити, а аргументи додати;

г) модулі перемножити, а аргументи відняти;

11. Два комплексні числа рівні в тригонометричній формі, коли

а) рівні їх модулі;

б) рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне ;

в) рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне ;

г) рівні їх аргументи.

Тема 4. «Добування кореня го степеня з комплексного числа»

1. Коренем го степеня з комплексного числа називається:

а) будь-яке комплексне число, й степінь якого дорівнює .;

б) будь-яке комплексне число, й степінь якого дорівнює .;

в) будь-яке комплексне число, й степінь якого дорівнює .;

г) будь-яке комплексне число;

2. Скільки різних значень кореня го степеня має комплексне число?

а) ; б) ; в) менше ніж ; г) більше за ; д) кратне .

3. Два комплексні числа рівні в тригонометричній формі, коли рівні їх

модулі, а аргументи відрізняються на число кратне

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Число в тригонометричній формі записується:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) немає правильної відповіді.

4. Яким чином розташовані корені із на координатній площині?

а) симетрично відносно початку координат;

б) немає правильної відповіді;

в) попарно симетрично відносно уявної осі;

г) симетрично відносно дійсної осі.

5. Корінь четвертого степеня із 1 має:

а) 2 значення; б) 8 значень; в) 4 значення; г) безліч значень;

д) значень.

6. Для будь-якого цілого числа справедлива рівність

, яка називається

а) піднесення комплексного числа до степеня; б) формула Бернуллі;

в) формула Ейлера; г) формула Муавра;

д) тригонометрична форма комплексного числа.

Підсумковий теоретично-практичний тест1. Комплексним числом називається число виду_________________________

__________________________________________________________________

2. Що є дійсною та уявною частинами комплексного числа?_______________

__________________________________________________________________

3. Якою буквою позначають множину всіх комплексних чисел?

__________________________________________________________________

4. Сумою комплексних чисел та є число______________

__________________________________________________________________

5. Запишіть закони додавання комплексних чисел. Доведіть один з них

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. Різницею двох комплексних чисел та є

число_____________________________________________________________

7. Порахувати суму комплексних чисел та _______________

__________________________________________________________________

8. Порахувати різницю комплексних чисел та

__________________________________________________________________

9. Добутком комплексних чисел та називається

число_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

10. Запишіть закони множення комплексних чисел_______________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

11. Перемножити комплексні числа та __________________

__________________________________________________________________

12. Розкласти на комплексні множники __________________________

__________________________________________________________________

13. Часткою комплексних чисел та називається таке

комплексне

число_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

14. Доведіть, що частка комплексних чисел та визначена

однозначно________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

15. Знайти частку комплексних чисел та _______________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

16. Необхідна і достатня умова, щоб добуток і сума двох комплексних чисел

були дійсними числами______________________________________________

__________________________________________________________________

17. Піднести до степеня двочлен ________________________________

__________________________________________________________________

18. Встановіть взаємно однозначну відповідність між множиною

комплексних чисел і множиною точок координатної

площини__________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

19. Площину, точки якої зображають комплексні числа, називають

__________________________________________________________________

початок координат якому відповідає число 0 називають___________________

__________________________________________________________________

вісь абсцис називають_______________________________________________

вісь ординат називають______________________________________________

20. Чи можливо геометрично зобразити додавання комплексних чисел? За

яким правилом?____________________________________________________

__________________________________________________________________

21. Чи вірно, що ? Відповідь обґрунтуйте____________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

22. Знайти геометричне зображення суми комплексних чисел

та ________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

23. Довжина радіус-вектора називається______________________

__________________________________________________________________

число дорівнює нулю, якщо________________________________________

__________________________________________________________________

24. Що називається аргументом комплексного числа?____________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

25. Запишіть тригонометричну форму комплексного числа________________

__________________________________________________________________

26. Знайти модуль комплексного числа ____________________________

__________________________________________________________________

27.  Чи представлено число в тригонометричній формі? Якщо

ні, то представте це число в тригонометричній формі_____________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

28. Записати комплексне число в алгебраїчній формі

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

29. Записати комплексне число в тригонометричній формі

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

30. Для того, щоб помножити два комплексні числа в тригонометричній

формі

необхідно______________________________________________________

__________________________________________________________________

31. Для того, щоб розділити два комплексні числа в тригонометричній формі

необхідно__________________________________________________________

__________________________________________________________________

32. Знайти частку та добуток двох комплексних чисел ,

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

________________________________________________________

33. Коренем го степеня з комплексного числа називається

__________________________________________________________________

34. Обчислити: _________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

35. Що утворює множина коренів го степеня з 1?_____________________

__________________________________________________________________

36. Записати формули для добування кореня го степеня з _____________

__________________________________________________________________

37. Корінь го степеня з 1 називається первісним_______________________

__________________________________________________________________

Предметний покажчикА

Алгебраїчною формою запису комплексного числа називається запис

комплексного числа у вигляді .

Аргументом комплексного числа називається число , що зображує кут, на

який треба повернути додатній напрямок осі , щоб він співпав з

напрямком радіус-вектора, вважаючи цей кут додатнім, якщо обертання

здійснюється проти часової стрілки, а від’ємним – в протилежному випадку

(позначається через ).

Алгебраїчним числом називається комплексне число, яке може бути коренем

многочлена з цілими коефіцієнтами.

Д

Добутком комплексних чисел і називається

комплексне число .

Дійсною віссю називають вісь абсцис.

Е

Формула Ейлера:

К

Комплексним числом називається число вигляду , де .

Комплексною числовою площиною називають площину, точки якої

зображають комплексні числа.

Коренем го степеня з комплексного числа називається будь-яке

комплексне число, й степінь якого дорівнює .

Корінь го степеня з комплексного числа має різних значень, які

дорівнюють арифметичному кореню з його модуля, помноженому на

показникову функцію його аргументу.

Л

Натуральним логарифмом комплексного числа називається показник

степеня, до якого потрібно піднести число для того, щоб отримати число .

Логарифмічна форма комплексного числа :

, .

М

Модулем комплексного числа називається довжина радіус-вектора

.

Формула Муавра: .

При множенні комплексних чисел у показниковій формі їхні модулі

перемножуються, а аргументи додаються.

Модуль частки двох комплексних чисел у показниковій формі дорівнює

частці їх модулів, а аргумент — різниці їх аргументів.

Н

Нульовою точкою називають початок координат, якому відповідає число 0.

П

Протилежними називаються два комплексні числа та , сума яких

дорівнює 0.

Піднесення комплексного числа до степеня. Якщо комплексне число

задане в алгебраїчній формі, тобто , то для піднесення його до

додатного цілого степеня потрібно до виразу застосувати формулу

бінома Ньютона і потім при будь-якому невід’ємному цілому взяти ,

, , .

Помножити два комплексні числа в тригонометричній формі означає, що

необхідно їх модулі перемножити, а аргументи додати.

Первісними коренями го степеня з 1 називаються корені

.

Показникова форма комплексного числа: або

При піднесенні комплексного числа в показниковій формі до степеня

модуль його підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник

степеня.

Р

Різницею двох комплексних чисел і ми називаємо число ,

що задовольняє рівності .

Розділити два комплексні числа в тригонометричній формі означає, що

необхідно модулі їх розділити, а аргументи відняти.

С

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число

, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині

дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних

частинах доданків, тобто .

Т

Тригонометричною називається форма комплексного числа

.

Тригонометричний запис числа : .

У

Уявною віссю називають вісь ординат.

Ч

Часткою комплексних чисел та називається таке

комплексне число , яке при множенні на дає .

Бібліографія

1. Янченко Г., Кравчук В. Математика 6 клас, Підручник, -Тернопіль,

Підручники і посібники, 2008, -272с.

2. Біляніна О.Я., Кінащук І.М., Черевко І.М. Алгебра 8 клас,

Підручник, -К., Генеза, 2008, -304с.

3. Шкіль Н.І., Слепкань О.С., Дубінчук О.С. Алгебра і початки аналізу

для 10-11 класу, Підручник, К., Зодіак-Еко, 2000, -688с.

4. Прграма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12

класи. –К.: Ірпінь, 2005.

5. Возняк Г.М., Возняк Н. Й. Математика. Різнорівневі тематичні

контрольні роботи. 6 клас, -Тернопіль,: Навчальна книга-Богдан, 2001.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Рабінович Ю.М., Якір М.С. Збірник

задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри для 8 класу. –Х.:

Гімназія, 2004.

7. Бурда М.І. та ін. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з

алгебри. 9 клас. –Х.: Гімназія, 2007.

8. Фадєєв Д.К., Сомінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри. – Вид-во

«Вища школа», 1971.

9. Кушнір Ісаак. Комплексні числа: теорія і практика. – К.:Факт, 2002.

10. Тадеєв В. О. Комплексні числа та їх застосування в алгебрі та

геометрії. (Бібліотечка заочної математичної школи), – Тернопіль:

Підручники і посібники, 2003.