ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ...tmm.spbstu.ru/20/7_verkhovod_20.pdf · позволяет выполнять построения в двумерной евклидовой

Синтез механизмов

http://tmm.spbstu.ru 54

УДК 621.01

В.П. ВЕРХОВОД

ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ В СИСТЕМЕ GEOGEBRA

1. Введение

В настоящее время моделирование в различных его видах является основой для про-

ведения исследований практически во всех областях науки и техники. В теории машин и

механизмов важное значение имеет геометрическое моделирование, которое, используя дос-

тижения вычислительной техники, дает возможность применения графических и графо-

аналитических методов решения задач ТММ на новом современном уровне.

Среди программных систем, реализующих на практике методы геометрического мо-

делирования, в последнее время начинает приобретать популярность интерактивное про-

граммное обеспечение с использованием средств динамического моделирования. Основу

таких средств составляют такие понятия как “геометрический процесс” и “геометрический

оператор”.

Имеется множество интерактивных геометрических систем, как коммерческих, так и

свободно распространяемых бесплатных. Среди последних особой популярностью пользу-

ется система GeoGebra, работающая на большом числе операционных систем и переведен-

ная на многие языки. Geogebra полностью поддерживает русский язык.

Получить основные сведения о системе GeoGebra можно на сайте

http://www.geogebra.org/ и по статье [8]. Данная система геометрического моделирования

позволяет выполнять построения в двумерной евклидовой геометрии, создавать различные

геометрические элементы, начиная с точек и прямых и заканчивая сложными кривыми и

фигурами. Функции этого пакета дают возможность находить точки пересечения прямых и

кривых, строить перпендикулярные и параллельные линии, серединные перпендикуляры,

биссектрисы углов, производить различные преобразования (отражения, вращения, переме-

щения и так далее). Все геометрические построения делаются таким образом, что при пере-

мещении сохраняются все связи между геометрическими объектами и их целостность.

Cистема GeoGebra может оказать существенную помощь в решении многих геометри-

ческих задач и в изучении сложных разделов геометрии. Это достигается путем наглядных

операций с геометрическими объектами, пошагового решения задачи, просмотра решения

задачи с самого начала, анимации и т.п. Анимация и визуализация кинематических схем уже

рассматривалась в журнале [7]. Большим достоинством системы GeoGebra является воз-

можность анимации геометрических объектов фактически без программирования. Анимация

в GeoGebra выполняется даже проще чем в программах Excel и MathCad.

В данной статье будет показано применение интерактивных геометрических методов в

системе Geogebra для решения задач кинематической геометрии плоских механизмов.

Кинематическая геометрия может быть отнесена к одним из наиболее трудных в изу-

чении прикладных разделов геометрии. Основы кинематической геометрии плоских меха-

низмов были заложены в исследованиях немецкого ученого Л. Бурместера (1840-1927). Бур-

местер с позиций проективной геометрии построил теорию положений плоской фигуры

движущейся в своей плоскости. В работе [1] Бурместер поставил и решил следующую зада-

чу: заданы пять произвольных положений плоской фигуры S, требуется найти на фигуре та-

кую точку A, чтобы пять соответствующих ее положений A1, A2, A3, A4, A5 находились на од-

ной окружности. Бурместер показал, что таких точек существует четыре – A, B, C, D и что

они определяются пересечением двух особого рода (фокальных) циркулярных кривых

третьего порядка. Эти точки и кривые получили название точек и кривых Бурместера.

Кинематическая геометрия плоских механизмов одновременно с Бурместером разви-

валась также А. Шенфлисом (1853-1928). В его классическом труде [2] содержится не толь-

Изучение кинематической геометрии плоских механизмов в системе GEOGEBRA

Теория Механизмов и Машин. 2010. №2. Том 10. 55

ко теория движущейся плоскости, но и заложены основы сферической кинематической гео-

метрии. К сожалению, Шенфлис в своих работах применял чисто синтетический подход без

использования каких-либо вычислительных методов. Таким образом его работа долгое вре-

мя не находила приложения в синтезе плоских и пространственных механизмов.

Геометрические методы синтеза плоских механизмов, развитые Л. Бурместером,

Р. Мюллером, Х. Альтом и другими учеными на основе плоскопараллельного перемещения

плоской фигуры, требуют хорошего знания и понимания многих положений геометрии, в

том числе знакомство с проективной и алгебраической геометрией.

В этой статье мы не будем касаться сложных вопросов кинематической геометрии и

ограничимся рассмотрением и решением самых простых задач. Для иллюстрации техниче-

ского применения кинематической геометрии плоских механизмов будет рассмотрен синтез

четырехзвенника по трем положениям шатуна.

Шарнирный четырехзвенник входит в состав многих механизмов. Точность выбранно-

го метода синтеза четырехзвенника особенно важна при проектировании и создании машин,

входящих в состав автоматических линий, робототехнических комплексов и т.п. В статье

будет рассмотрен механизм для снятия деталей с транспортирующей линии.

В начале статьи кратко остановимся на основных принципах кинематической геомет-

рии плоскопараллельного перемещения плоской фигуры (звена механизма) [3,4,5].

2. Два соседних положения звена механизма. Полюс конечного перемещения.

Различают соседние (т.е. находящиеся на конечном расстоянии) и бесконечно близкие

положения звена механизма (плоской фигуры). Начнем со случая двух соседних положений

звена механизма. В последующем мы перейдем к геометрии трех положений, изучение ко-

торых часто оказывается достаточным для решения практических задач. На рис. 1 показаны

плоская фигура S и связанное с ней звено механизма AB в двух соседних произвольных по-

ложениях. Не оговаривая особо, будем всегда подразумевать, что фигура перемещается в

своей плоскости.

Рис. 1. Два положения звена механизма с полюсом перемещения

Перемещение фигуры из положения S1 в положение S2 можно получить поворотом на

угол 12 с центром вращения в точке P12. Это так называемый полюс конечного перемеще-

ния. На рисунке также показаны оси симметрии a12 и b12. Эти оси перпендикулярны отрез-

кам A1A2 и B1B2 и делят их пополам. Полюс P12 и угол поворота 12 вполне определяют два

положения плоской фигуры.

В случае, когда два соседних положения звена механизма параллельны друг другу,

полюс P12 лежит в пересечении параллельных друг другу a12 и b12, т.е. уходит в бесконеч-



ность. В этом случае переход из положения S1 в положение S2 можно получить поступатель-

ным перемещением.

3. Три соседних положения звена механизма. Полюсный треугольник.

Рассмотрим теперь три произвольных соседних положения плоской фигуры – S1, S2 и

S3.

Плоская фигура будет изображать звено механизма AB в трех положениях – A1B1 , A2B2

и A3B3. Перемещение фигуры из положения S1 в положение S2 можно получить поворотом с

центром вращения в точке P12, из положения S2 в положение S3 – поворотом с центром вра-

щения в точке P23, и из положения S1 в положение S3 – поворотом с центром вращения в

точке P13.

Точки P12, P23 и P13 – полюса, а треугольник, построенный на этих точках – полюсный

треугольник. На рисунке также показаны некоторые оси симметрии, например, оси a23 и b23

перпендикулярны отрезкам A2A 3 и B2B 3 и делят их пополам.

Рис. 2. Три положения звена механизма с полюсным треугольником

Полюс P23 находится на пересечении данных осей симметрии. Аналогичным образом

находятся положения полюсов P12 и P13. На рисунке также показаны углы 12 2 и 13 2

при вершинах полюсного треугольника. Эти углы, как и не показанный на рисунке угол

23 2 , связаны простой зависимостью с углами поворота фигуры из одного положения в

другое.

Для полюсного треугольника справедлива следующая теорема:

Теорема о полюсном треугольнике. Внутренние и, соответственно, внешние углы полюс-

ного треугольника для трех соседних положений плоской фигуры равны половинам соот-

ветствующих углов вращения:



1213 12 23

2P P P

1312 13 23

2P P P

23

12 23 132

P P P

. (1)

При изучении трех соседних положений плоской фигуры важное значение имеют зер-

кальные полюса 1

23P , 2

13P и 3

12P . Зеркальные полюса позволяют построить зеркальные по-

люсные треугольники 13

1

2312 PPP , 23

2

1312 PPP и 23

3

1213 PPP .

Приведем несколько простых примеров геометрических построений в системе

GeoGebra.

Данные примеры продемонстрируют некоторые важные свойства полюсного тре-

угольника.

Пример 1. Задан полюсный треугольник, по выбранной точке A1 в S1 установить ее

положения A2 в S2 и A3 в S3. Для этого, согласно теоремы о полюсном треугольнике, доста-

точно точку A1 переместить вокруг полюсов P12 и P13 на углы 12 и 13 . Эти углы равны

удвоенным значениям углов полюсного треугольника при вершинах P12 и P13. Такое по-

строение можно выполнить несколькими способами. Выбран следующий способ:

– находим зеркальное отражение точки A1 относительно стороны P12P13 полюсного

треугольника, получаем так называемую основную точку Ag; – отражая основную точку Ag относительно других сторон полюсного треугольника, получаем точки A2 и A3.

Чтобы выполнить необходимые геометрические построения, в командной строке

GeoGebra введем следующие команды:

– задаем произвольно координаты точек полюсного треугольника

P12=(0, 0)

P23=(3, 0)

P13=(1, 2)

– по данным точкам строим полюсный треугольник

Polygon[P12, P13,P23]

– произвольно задаем координаты точки A1 в положении S1

A1=(-0.5, 1.5)

– находим точку Ag путем зеркального отражения точки A1

Ag =Reflect [A1, p23]

– находим точки A2 и A3 в положениях S2 и S3

A2 =Reflect[Ag, p13]

A3 =Reflect[Ag, p12]

– через три точки A1, A2 и A3 проводим окружность

Circle(A1,A2,A3)

– находим центр окружности - точку Ak

Ak=Center[c]

Примечание: здесь и далее мы не будем делать различия в обозначения точек Ak и Ak,

т.е. нижние индексы в обозначении точек или прямых можно писать рядом с основным сим-

волом.

Результаты данного построения после редактирования свойств объектов (цвета и сти-

ля точек и линий) представлены на рис. 3.



Рис. 3. По заданному полюсному треугольнику определение трех положений точки A

Из приведенного примера видно, что каждой точке подвижной плоскости соответст-

вует единственная точка неподвижной в качестве центра вращения, переводящего подвиж-

ную точку через три заданных положения. И обратно, каждой точке неподвижной плоско-

сти, как центра вращения, будет соответствовать единственная точка подвижной плоскости,

переходящая через три заданных положения при вращении вокруг этого центра. Следую-

щий пример геометрического построения сделает более ясным данное утверждение.

Пример 2. Полюсным треугольником задано три положения плоской фигуры S. На

неподвижной плоскости задана точка M. Найти на подвижной плоскости такую точку A,

чтобы через три соответствующих ее положения A1 A2 и A3 можно было провести окруж-

ность с центром в точке M. (задача Бурместера для трех положений плоской фигуры).

Чтобы найти точки A1 A2 и A3 , достаточно вначале найти одну точку A1, а затем вы-

полнить построение, уже описанное в примере 1. Точку A1 можно найти следующим обра-

зом. Проведем через точку M и полюса P12, P13 прямые M P12 и M P13. Повернув эти прямые

вокруг полюсов P12 и P13 на углы 212 и 213 получим в пересечении прямых точку

A1.

Поворот прямых выполним с помощью следующих команд:

Θ1=Angle[p13,p23]

Rotate[a,Θ1,P12]

Θ2=Angle[p12,p23]

Rotate[b,Θ2,P13]

В пересечении повернутых прямых находим точку A1:

A1=Intersect[a', b']

Точки A2 и A3 находим аналогично предыдущему примеру.

На рис. 4 показан результат данного построения.

Рис. 4. Построение точки A1 и по ней точек A2, A3 если задан полюсный треугольник и центр M.



Взаимно однозначное соответствие точек неподвижной и подвижной плоскости нару-

шается для точек, совпадающих в одном из своих положений с каким-нибудь полюсом по-

люсного треугольника. Таким образом, полюсы являются особыми точками, для которых

нарушается взаимно однозначное соответствие. В самом деле, если точка A1 совпадает с по-

люсом P12 в первом положении плоскости S1, то она совпадет с этим полюсом и во втором

положении, а в третьем положении займет положение полюса 3

12P (см. рис. 2), которое зер-

кально симметрично полюсу P12 относительно соответствующей прямой полюсного тре-

угольника.

В проективной геометрии доказывается, что соответствие между точками неподвиж-

ной и подвижной плоскости – квадратичное. Например, точкам конического сечения, прохо-

дящим через вершины полюсного треугольника, будут соответствовать точки прямой в дру-

гой плоскости.

Пример 3. Имеет место следующее утверждение: центр круга Ak и основная точка Ag

являются фокусами конического сечения, которое вписано в полюсный треугольник, при-

чем радиус круга равен длине большой полуоси конического сечения.

Чтобы выполнить в системе GeoGebra геометрическое построение, подтверждающее

данное свойство, легче всего воспользоваться командами построения линий, выбирая их из

меню. При этом достаточно соединить точки A1 A2 и A3 с центром круга Ak, найти точки L1,

L2 и L3 пересечения отрезков со сторонами полюсного треугольника и провести эллипс с

фокусами в точках Ak и Ag, проходящий через любую из точек L1, L2 и L3. На рис.5 показан

результат данного построения.

Рис. 5. Эллипс соответствующий трем положениям точки A

4. Синтез четырехзвенника по трем положениям шатуна

В качестве примера применения геометрических методов рассмотрим синтез транс-

портирующего механизма, входящего в состав линии обработки деталей [6]. Схема меха-

низма, представляющего собой шарнирный четырехзвенник, изображена на рис. 6. На

транспортирующий механизм возлагается выполнение следующих операций: снять деталь с

направляющих, повернуть ее на 90 и опять положить. Этим самым задаются два положения

A1B1 и A2B2 грейфера. Дополнительное положение A3B3 задается, чтобы грейфер из положе-

ния A2B2 в положение A1B1 переходил, не касаясь той детали, которую он переместил в новое

положение.



Рис. 6. Три положения грейфера направляющего механизма

Для выполнения этих операций не требуется точных расчетов шатунной кривой, дос-

таточно реализации механизмом трех заданных положений шатуна (жестко связанного с

грейфером).

Сначала сделаем необходимые геометрические построения трех положений грейфера.

В командной строке GeoGebra введем следующие команды:

- - задаем предварительно длину грейфера (в относительных единицах)

- gr=2

- - задаем углы наклона грейфера к горизонтали

- 1=0

- 2=90*π/180

- 3=60*/180

- - конструктивно задаем координаты точек A1, A2, A3, соответствующих одной из то-

чек грейфера в 3-х положениях

- A1=(2.25,2.5)

- A2=(0,0)

- A2=(0.1,-0.2)

- - находим координаты точек B1, B2, B3, соответствующих другой точке грейфера

- xB1=x(A1)+gr*cos(1)

- yB1=y(A1)+gr*sin(1)

- B1=(xB1,yB1)

- xB2=x(A2)+gr*cos(2)


- B2=(xB2,yB2)

- yB3=x(A3)+gr*cos(3)


- B3=(xB3,yB3)

Далее выберем из меню команду построения отрезков по двум точкам и, соединяя от-

резками точки A1, B1 и т.д., получим изображение 3-х заданных положений грейфера.



Для построения полюсного треугольника воспользуемся наличием в системе

GeoGebra очень удобных команд проведения серединных перпендикуляров через отрезки.

Соединим отрезками соответствующие точки 3-х заданных положений грейфера и проведем

серединные перпендикуляры через данные отрезки. В пересечении серединных перпендику-

ляров будут находиться точки, являющимися полюсами полюсного треугольника.

Рис. 7. Построение полюсного треугольника по трем положениям грейфера

На рис. 7 показан результат построения полюсного треугольника по 3-м заданным по-

ложениям грейфера. На рисунке штриховыми линиями изображены отрезки, соединяющие

соответствующие точки грейфера, а штрихпунктирными линиями изображены серединные

перпендикуляры к этим отрезкам.

После построения полюсного треугольника можно найти положения неподвижных

шарниров на стойке. Вначале найдем положение шарнира C0 – центр вращения кривошипа.

Конструктивно зададим в первом положении координаты шарнира C1, соединяющего шатун

с кривошипом. Пусть эта точка будет лежать на оси симметрии грейфера. Далее, следуя по-

строениям, рассмотренным в примере 1, можно получить точки C2 и C3 в остальных двух

заданных положениях механизма. Точка вращения кривошипа C0 будет располагаться в цен-

тре круга, проходящего через точки C1, C2 и C3. Эти построения показаны на рис. 8.

Рис. 8. Построение 3-х положений шарнира C четырехзвенника и центра вращения кривошипа



Положение второго неподвижного шарнира D0 – центра вращения коромысла также

можно выбрать из конструктивных соображений. При этом необходимо учесть, что при не-

которых положениях шарнира D0 может получиться непроворачивающийся механизм, т.е.

ведущее звено не будет поворачиваться на 360.

Для обеспечения проворачиваемости четырехзвенника необходимо, чтобы механизм

удовлетворял условию Грасгофа:

"'minmax LLLL , (2)

т.е. сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев была меньше суммы двух других

звеньев. Более подробную информацию о проворачиваемости механизмов и определении

областей расположения шарниров можно получить в статье [6].

Итак, конструктивно задаем координаты точки D0: D0=(–1, 0). Следуя построениям

примера 2, проведем через точку D0 и полюса P12, P13 прямые D0 P12 и D0 P13. Повернув эти

прямые вокруг полюсов P12 и P13 на углы 12 2 и 13 2 ,получим в пересечении пря-

мых точку D1. Положения точек D2 и D3 находим как обычно, следуя примеру 1. Эти по-

строения показаны на рис. 9.

В заключение по найденным точкам выполним схему направляющего механизма в

трех положениях (рис. 10). Геометрические параметры механизма, т.е. координаты всех его

точек в течение всех геометрических построений и после их завершения можно видеть на

панели объектов с любой выбранной точностью. По умолчанию в системе GeoGebra на эк-

ран выводятся значения с точностью до двух знаков после запятой, но можно задать точ-

ность вплоть до 15 знаков после запятой.

Рис. 9. Построение 3-х положений шарнира D четырехзвенника и центра вращения коромысла



Рис. 10. Схема направляющего механизма в трех положениях

Основные размеры полученного четырехзвенника можно определить в командной

строке GeoGebra с помощью следующих команд:

- длина кривошипа

L1=Distance[C1,C0]

- длина шатуна

L2=Distance[C1,D1]

- длина коромысла

L3=Distance[D1,D0]

- длина стойки

L4=Distance[C0,D0]

В результате получим следующие значения:

длина кривошипа L1=1.37

длина шатуна L2=1.91

длина коромысла L3=2.79

длина стойки L4=3.28

При этих размерах условие проворачиваемости оказывается выполненным. Можно

также убедиться, что направляющий механизм имеет достаточно хорошие углы передачи.

Для анимации синтезированного механизма создадим новый файл animation.ggb. Из

исходного файла sintez3pos.ggb перенесем в новый файл некоторые основные геометриче-

ские параметры механизма. При этом используем точность числовых данных – 5 знаков по-

сле запятой. Угол поворота ведущего звена будем задавать с помощью специального, ши-

роко применяемого для анимации в системе GeoGebra, ползунка. Выберем из меню соответ-

ствующий пункт и установим с помощью ползунка необходимые пределы угла поворота

ведущего звена.

В новый файл через командную строку введем следующие исходные данные:

- координаты точек неподвижных шарниров C0 и D0 C0= (1.93495, 1.47104)

D0=(-1,0)

- длину грейфера

L=2

- длину кривошипа

L1 = 1.36857

- длину шатуна

L2 = 1.90628



- длину коромысла

L3 = 2.78645

- длину стойки

L4 = 3.28297

- длину шатуна до точки крепления с грейфером

L5 = 3.09875

Начальный угол поворота ведущего звена

1=16.07533

После ввода данных параметров остальные параметры, в том числе и координаты под-

вижных шарниров, определим через исходные.

Вначале найдем координаты шарнира C через углы и 1.

xC=x(C0)+L1 *cos(+1)

yC=y(C0)+L1 *sin(+1)

C=(xC,yC)

После этого проведем окружность радиусом L1 с центром в точке C0 и окружность ра-

диусом L3 с центром в точке D0. Эти окружности пересекутся в двух точках, одну из точек

пересечения выберем в качестве шарнира D.

Для определения положения шарнира B выполним следующее построение: проведем

луч через точки D и C, и с центром в точке D проведем окружность радиусом L5. Точка пе-

ресечения луча с данной окружностью определит положение шарнира B.

Точку A грейфера найдем из условия, что в исходном положении грейфер располага-

ется горизонтально. Так как грейфер жестко связан с шатуном, необходимо определить угол

между грейфером и шатуном. В исходном положении механизма этот угол равен углу на-

клона шатуна к оси X. Угол можно определить, проведя в данном положении линию, пер-

пендикулярную оси Y. В результате получим угол =34.39724. Точку A грейфера далее

можно легко найти через вспомогательную точку, которая находится на шатуне на расстоя-

нии L от точки B. Повернув эту точку на угол – вокруг точки B, мы получим точку A грей-

фера в исходном положении механизма.

Чтобы заставить изображение двигаться, достаточно установить курсор на ползунке,

щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать в выпадающем меню пункт “Анимировать”. При

анимации можно получить изображение кривой, описываемой любой точкой механизма.

Для этого нужно выбрать необходимую точку, щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать в

выпадающем меню пункт “Оставлять след”. На рис. 11 показана схема механизма в исход-

ном положении и кривые, описываемые точками A и B грейфера при анимации.

Рис. 11. Кривые, описываемые точками A и B при анимации



Заключение

В данной статье показано применение системы GeoGebra для решения простых задач

кинематической геометрии плоских механизмов. На практике, при проектировании, часто

бывает достаточно знать три положения механизма. Изучению геометрии четырех и пяти

положений в системе GeoGebra автор планирует посвятить следующую статью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Burmester L. “Uber die Geradfuhrung durch das Kurbelgetriebe" Civilingenieur. 1877.

В.23 S. 227 u. 321;

а также: Burmester L. Lehrbuch der Kinematik. Verlag Von Arthur Felix, Leipzig,

Germany, 1888.

2. Schoenflies A., Geometrie der Bewegung in synthetischer Darstellung. Leipzig, 1886.

3. Артоболевский И.И., Левитский Н.И., Черкудинов С.А. Синтез плоских механиз-

мов. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

– 1084 с.

4. Бейер Р. Кинематический синтез механизмов. – Киев: Машгиз, 1959. – 318 с.

5. Добровольский В.В. Теория механизмов. – М.: Машгиз, 1953. – 472 с.

6. Богельзак Г. О проворачиваемости механизма синтезируемого для трех положений.

//Сборник статей: Левитский Н.И. Анализ и синтез механизмов. – М.: Машино-

строение, 1969. С. 118-127.

7. Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Компьютерная анимация кинематических схем в про-

граммах Excel и MathCad. // Теория механизмов и машин. 2008. №1(11). С. 71-80.

8. Зиатдинов Р.А. Геометрическое моделирование и решение задач проективной гео-

метрии в системе GeoGebra.// Материалы конференции “Молодежь и современные

информационные технологии”, Томский политехнический университет, г. Томск.

2010. С. 168-170 ( http://msit.tpu.ru/files/conf_2010_p1.pdf)

Поступила в редакцию 14.03.2012

После доработки 04.10.2012

Documents

ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ...tmm.spbstu.ru/20/7_verkhovod_20.pdf · позволяет выполнять построения в двумерной евклидовой