Інструкція щодо роботи в зошиті1. Правилавиконаннязавданьзазначеніпередкожноюновоюформоюзавдань.2. Рисунки до завдань виконано схематично, без строгого дотримання пропорцій.3. Відповідайтелишепіслятого,якВиуважнопрочиталита зрозуміли завдання.Використовуйтеякчернеткувільнівідтекстумісцявзошиті. 4. Намагайтесявиконативсізавдання.5. Ви можете скористатися довідковими матеріалами, наведеними на сторінках2,23,24.ДлязручностіВиможетеїхвідокремитивідірвавши.

Інструкція щодо заповнення бланків відповідей А, Б та В1. УбланкАзаписуйтечітко,згіднозвимогамиінструкціїдокожноїформи завдань,лишеправильні,наВашудумку,відповіді.2. Неправильнопозначені,підчищенівідповіді в бланкуА буде зарахо- ваноякпомилкові.3. Якщо Ви позначили відповідь до якогось із завдань 1–20 в бланку А неправильно,томожетевиправитиїї,замалювавшипопереднюпозначку тапоставившинову,якпоказаноназразках:

4. ЯкщоВи записали відповідь до якогось із завдань 21–29 неправильно, томожетевиправитиїї,записавшиновийваріантвідповідівспеціально відведенихмісцяхбланкаА.5. Виконавши завдання 30, 31 та 32–34 в зошиті, акуратно запишіть їхнірозв’язаннявбланкахБтаВ.6. Ваш результат залежатиме від загальної кількості правильних відповідей, записаних у бланкуА, та правильного розв’язання завдань 30–34вбланкахБтаВ.

Ознайомившись з інструкціями, перевірте якість друку зошита та кількістьсторінок.Їхмаєбути24.ПозначтеномерВашогозошитаувідповідномумісцібланкаАтак:

Зичимо Вам успіху!

Роботаскладаєтьсяз34завданьрізнихформ.Відповідідозавдань1–29Вимаєте позначити в бланку А. Розв’язання завдань 30–34 Ви маєте записати вбланкахБтаВ.Результатвиконаннявсіхзавданьбудевикористанопідчасприйому до закладів вищої освіти.Результатвиконаннязавдань1–26,30 і31 будезарахованоякрезультатдержавної підсумкової атестаціїдлявипускників,яківивчалиматема-тикунарівні стандарту.Результатвиконаннявсіхзавданьбудезарахованоякрезультатдержав-ної підсумкової атестаціїдлявипускників,яківивчалиматематикунапрофільному рівні.

1Зошит

© Українськийцентроцінюванняякостіосвіти,2021

СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТАЗ МАТЕМАТИКИ

Часвиконання–210хвилин

2

Таблиця квадратів від 10 до 49

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

ДОВІДКОВІ МАТЕРІАЛИ

ОдиниціДесятки 0

10014002900316004

11214419611681

214448410241764

316952910891849

419657611561936

522562512252025

625667612962116

728972913692209

8 9324 361784 8411444 15212304 2401

Формули скороченого множення Квадратне рівняння

Модуль числа

Степені Логарифми

Арифметична прогресія

Теорія ймовірностей Комбінаторика

Геометрична прогресія

a2–b2 = (a–b)(a + b)

(a + b)2 = a2+2ab + b2

(a–b)2 = a2–2ab + b2

ax2 + bx + c=0,a ≠0

D = b2–4ac–дискримінант

x1 = –b – D—2a ,x2 = –b + D—2a ,якщоD >0

x1 = x2 = –b—2а ,якщоD=0

ax2 + bx + c = a(x–x1)(x–x2)

a1 = а,аn = a ⋅ a ...⋅ anразів

дляa ∈ R, n ∈ N,n 2

a0=1,деа ≠0 a2 = а

a–n = 1—аn дляа ≠0,n ∈ N

am—n = amn ,а >0,m ∈ Z, n ∈ N,n 2

ax ⋅ ay = ax + y аx—аy = ax – y (ax)y = ax ⋅ y

(ab)x = ax ⋅ bx (a–b)x =

аx—bx

a >0,а ≠1,b >0,c >0,k ≠0

alogab = b logаа=1 logа1=0

logа(b ⋅ c) = logаb + logаc

logаb–c = logаb–logаc

logаbn = n ⋅ logаb

logаk b = 1–k ⋅ logаb

an = a1 + d(n–1) Sn = a1 + аn—2 ⋅ n

Pn=1⋅2⋅3⋅...⋅ n = n! C kn = n!—k! ⋅ (n–k)! A k

n = n!—(n–k)!P (A) = k–n

bn = b1 ⋅ qn–1 Sn = b1(qn–1)—q –1 , (q ≠1)

a = a,якщоа 0,–a,якщоа <0

3

Завдання 1–4 і 5–16 мають відповідно по чотири та п’ять варіантів відповіді, з яких лише один правильний. Виберіть правильний, на Вашу думку, варіант відповіді, позначте його в бланку А згідно з інструкцією. Не робіть інших позначок у бланку А, тому що комп’ютерна програма реєструватиме їх як помилки!

Будьте особливо уважні під час заповнення бланка А!Не погіршуйте власноручно свого результату неправильною формою запису відповідей

1. На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів у супермаркеті побутової техніки протягом перших шести місяців року. Якезнаведенихтвердженьєправильним?

Кіл

ькіс

тьпр

одан

их т

елев

ізор

ів

Місяцісічень лютий березень квітень травень червень

200

150

100

350

300

250

50

0

А Б В Гнайменшукількістьтелевізорівпродано

уквітні

усічніпродано240телевізорів

уберезніпроданотелевізорівбільше,

ніжулютому

учервніпроданоменшетрьохсоттелевізорів

2. Кожен із 40 учасників семінару має бути забезпечений двома однаковими пляшкамиводи.Укажітьнайменшукількістьупаковок,кожназякихмістить 12пляшокводи,якихвистачитьдлявсіхучасниківсемінару.

А Б В Г8 7 6 3

4

3. Нарисункузображенопрямутрикутнупризму.Їїбічноюграннює А трикутник Б паралелограм,щонеєпрямокутником В відрізок Г прямокутник

4. Розв’яжітьрівняннях2–8х+15=0.

А Б В Г3;5 –3;–5 –3;5 3;–5

5. На рисунку зображено паралелограмАВСD, точкаВ лежить на прямійМС. ВизначтеградуснумірукутаСDА,якщо∠MBA=25o.

M B C

A D?

25o

А Б В Г Д115o 65o 175o 165o 155o

5

6. Нарисунку зображено графікфункціїy = f(x), визна- ченої на проміжку [–1; 4]. Укажіть поміж наведених координатиточки,щоналежитьцьомуграфіку.

А Б В Г Д(2;0) (0;1) (–2;2) (4;–2) (–2;4)

7. ( 2–a)( 2+a) =

А Б В Г Д2–а 2–а2 2–а2 2– а 4 2–а2

8. Значення температури F за шкалою Фаренгейта пов’язане зі значенням температуриС зашкалоюЦельсія співвідношеннямF = 1,8 ⋅ C + 32.Скільки градусівпоказуватиметермометрзішкалоюФаренгейта,якщозатакихсамих умовтермометрзішкалоюЦельсіяпоказуватиме50oС?

А Б В Г Д–10oF 122oF 10oF 41oF 932oF

y

y = f(x)

x1–1 4

10

6

9. Спростітьвираз(2x2)3—4x9 .

2—x3

2—x4

4—x3

3—2x4

1—2x

А Б В Г Д

10. Якізнаведенихтвердженьєправильними? І. Протилежністоронибудь-якогопаралелограмарівні. ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох іншихйогосторін. ІІІ.Довжинасторонибудь-якогоквадратавдвічіменшазайогопериметр.

А Б В Г ДлишеІ лишеІтаІІІ лишеІтаІІ лишеІІтаІІІ І,ІІтаІІІ

11. Розв’яжіть систему рівнянь 10x–4y =26,6x+4y = 6. Для одержаного розв’язку (x0; y0)

обчислітьдобутокx0 ⋅ y0.

А Б В Г Д–3 –6 4 6 3

7

12. Укажітьпохіднуфункціїf(x)=4x3 + tgx.

А f ′(x)=12x2 + 1—tg x

Б f ′(x)=12x– 1—tg x

В f ′(x) = x4 + 1—cos2 x

Г f ′(x)=12x2 + 1—cos2 x

Д f ′(x) = x4– 1—tg x

13. Розв’яжітьнерівність10x+1 >0,01.

А Б В Г Д(–∞;–3) (–∞;–2) (–3;+∞) (–2;+∞) (1;+∞)

14. Обчислітьcos210o.

А Б В Г Д1–2

– 1–2

3—2 – 3—2 – 2—2

8

15. Площабічноїповерхніциліндрадорівнює24π,адовжинаколайогооснови–4π. Визначтевисотуцьогоциліндра.

А Б В Г Д2 3 4 6 8

16. На рисунку зображено поверхню повітряного змія, що складається з двох рівних прямокутних трикутниківАМВ йCNB та ромбаАВСD. Точки А і С належать відрізкам DM i DN відповідно. Гострий кут ромба дорівнює 60o, ВD = 2 м. Визначте площу поверхні (чотирикутника MBND) цьогозмія,якщовсійогоелементилежатьводній площині.Виберітьвідповідь,найближчудо точної.

А Б В Г Д1,5м2 1,7м2 2,6м2 3,4м2 3,9м2

M N

A C

D

B

9

У завданнях 17–20 до кожного з трьох рядків інформації, позначених циф-рами, доберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений бук-вою. Поставте позначки в таблицях відповідей до завдань у бланку А на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). Усі інші види Вашого запису в бланку А комп’ютерна програма реєструватиме як помилки!

Будьте особливо уважні під час заповнення бланка А!Не погіршуйте власноручно свого результату неправильною формою запису відповідей

17. На рисунках (1–3) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку [–3; 3]. Установіть відповідність між графіком (1–3) функції та властивістю(А–Д)цієїфункції.

123

А Б В Г Д

1 2 3

А графікфункціїдвічіперетинаєграфікфункціїy=2x

Б графікфункціїєфрагментомграфікафункціїy=1–xВ графікфункціїєфрагментомграфікафункціїy=1+xГ функціяєнепарноюД функціязростаєнапроміжку[0;3]

Графік функції

Властивість функції

y

x1–3 3

10

y

x1–3 3

10

y

x1–3 3

10

10

18. Установітьвідповідністьміжвиразом (1–3)татвердженнямпройогозначен- ня(А–Д),якеєправильним,якщоа = –0,6.

123

А Б В Г Д

1 a22 |a|3 log2(4 + a)

А дорівнюєдробу3–5Б євід’ємнимнецілимчисломВ належитьпроміжку[0;0,5]Г єцілимчисломД більшеза1

Вираз Твердження про значення виразу

19. УпрямокутникАВСD вписанорівнобедренийтрикут- никАKD так, як показано на рисунку.АD = 12 см, АK=10см.Докожногопочаткуречення(1–3)добе- ріть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильнетвердження.

123

А Б В Г Д

1 ДовжинасторониАВдорівнює2 Радіускола,описаногонавколопрямокутника АВСD,дорівнює3 ДовжинасередньоїлініїтрапеціїАВKDдорівнює

А 213см.Б 8см.В 9см.Г 413см.Д 4см.

Початок речення Закінчення речення

CB K

DA

11

20. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1. До кожного початку речення (1–3) доберітьйого закінчення (А–Д) так,щобутворилося правильнетвердження.

123

А Б В Г Д

1 ПрямаВD2 ПрямаА1C13 ПлощинаАВC1

А паралельнаплощиніАВС.Б належитьплощиніАВС.В перпендикулярнадоплощиниАВС.Г паралельнапрямійСD.Д перпендикулярнадопрямоїСD.

Початок речення Закінчення речення

A1

B1 C1

D1

A D

CB

12

Розв’яжіть завдання 21–29. Одержані числові відповіді запишіть у зошиті та бланку А. Відповідь записуйте лише десятковим дробом, урахувавши положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці відповідно до зразків, наведених у бланку А.

21. За800гборошнафабрики«Колос»заплатили16грн56коп.,аза1кгборошна фабрики«Хлібна»–18грн.

1. Скількигривенькоштує1кгборошнафабрики«Колос»?

Відповідь:

2. На скільки відсотків 1 кг борошна фабрики «Колос» дорожчий за 1 кг борошнафабрики«Хлібна»?

Відповідь:

13

22. Наколі ізцентромуточціОвибраноточкиА,ВйС так,що ∠ACB =15o (див. рисунок).Довжинаменшої дугиАВколадорівнює8πсм.

1. ВизначтеградуснуміруцентральногокутаАОВ,щоспираєтьсянаменшу дугуАВ.

Відповідь:

2. Визначтерадіусцьогокола(усм).

Відповідь:

O15o

A

C

B

14

23. У прямокутній системі координат у просторі задано точки А(–7; 4; –3) і В(17;–4;3).ТочкаСєсерединоювідрізкаАВ.

1. ВизначтеабсцисуточкиС.

Відповідь:

2. Обчислітьдовжину(модуль)вектораA→C.

Відповідь:

15

24. Варифметичнійпрогресії(an)відомо,щоa2=1,a4=9.

1. Визначтерізницюцієїпрогресії.

Відповідь:

2. ОбчислітьсумуS20двадцятипершихчленівцієїпрогресії.

Відповідь:

16

25. У шухляді лежать лише олівці та ручки. Відомо, що олівців на 12 менше, ніж ручок. Скільки олівців лежить у шухляді, якщо ймовірність вибрати навманняізшухлядиоднуручкудорівнює5–8 ?

Відповідь:

26. Велосипедиствитратив2годининадорогузмістаАдомістаВ.Мотоцикліст виїхав з міста А на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув умістоВодночаснозвелосипедистом.Визначтевідстань(укм)міжмістамиА та В, якщо швидкість мотоцикліста на 48 км/год більша за швидкість велосипедиста. Уважайте,що велосипедист тамотоцикліст рухалися з містаА домістаВтієюсамоюдорогоюзісталимишвидкостямитабеззупинок.

Відповідь:

17

27. Обчислітьзначеннявиразуlog527—

log52–log5162.

Відповідь:

28. Розв’яжітьрівняння |5–4x|=3.Якщорівняннямаєєдинийкорінь,тозапи- шітьйогоувідповіді.Якщорівняннямаєкількакоренів,тоувідповідізапишіть їхнюсуму.

Відповідь:

29. Туристичне бюро запропонувало Ганні відвідати на вихідний три міста. Ганна дізналася з Інтернету, що в кожному з них є 10 цікавих туристичних об’єктів. Дівчина планує вибрати для поїздки лише одне місто і відвідативньомучотирицікавих об’єкти.Скільки всього в Ганни є варіан- тів вибору міста й чотирьох таких об’єктів у ньому? Уважайте, що порядок відвідуванняоб’єктівневажливий.

Відповідь:

18

Розв’яжіть завдання 30, 31. Запишіть у бланку Б послідовні логічні дії та пояснення всіх етапів розв’язання завдань, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань рисунками, графіками тощо.

30. Заданофункціюy = x–2. 1. Длянаведениху таблиці значеньх тау заданоїфункції визначтевідпо- відніїмзначенняутах.Результатизапишітьутаблицю.

x y0

09

2. Побудуйтеграфікфункціїy = x–2. 3. Позначтенарисункуточкиперетинуграфікафункції з осямикоординат таукажітькоординатицихточок. 4. ЗнайдітьоднузпервіснихF(x)дляфункціїf (x) = x–2. 5. Запишіть формулу для обчислення площіS фігури, обмеженої графіком функціїf таосямикоординат. 6. ОбчислітьплощуSцієїфігури.

Відповідь:

19

31. У правильній чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD бічне ребро утворюєзплощиноюосновикутβ.Довжинабічногоребрадорівнює12. 1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду SABCD та поз- начтекутβміжбічнимребромSAтаплощиноюосновипіраміди. 2. Визначтедовжинувисотипіраміди. 3. Знайдітьоб’ємпірамідиSABCD.

Відповідь:

20

Розв’яжіть завдання 32–34. Запишіть у бланку В послідовні логічні дії та пояснення всіх етапів розв’язання завдань, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань рисунками, графіками тощо.

32. Відповіднодоумовизавдання31: 1. ЗобразітьнарисункуправильнучотирикутнупірамідуSABCDта укажіть лінійний кут γ двогранного кута при ребрі основи цієї піраміди.Обґрун- туйтейогоположення. 2. Визначтекутγ.

Відповідь:

33. Доведіть,щоx4 + y4 x3y + xy3длявсіхдійснихчиселхтау.

21

34. Заданорівняння(25x+2a ∙5x + a2)∙ x+8—x+3 –2=0,деx–змінна,a–стала.

1. Розв’яжітьрівняння x+8—x+3 –2=0.

2. Розв’яжітьзаданерівняннязалежновідзначеньa.

22

Відповідь:

23

Похідна функції

Тригонометрія

Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів

Первісна функції та визначений інтеграл

С,–сталі(С)′=0

х′=1 (х)′ =x–1

( x )′ = 1–2 x (ex)′ = ex

(ln x)′ = 1–x (sin x)′ = cos x

(cos x)′ = –sin x (tg x)′ = 1–cos2x

(u + v)′ = u′ + v′ (u–v)′ = u′–v′

(uv)′ = u′v + uv′ (Cu)′ = Cu′

(u–v)′ = u′v–uv′–v2

sin = y cos = x sin2 + cos2 =1

tg = sin–cos 1+tg2 = 1–cos2

sin2=2sin cos cos2 = cos2 –sin2

sin(90o +) = cos sin(180o –) = sin

cos(90o +) = –sin cos(180o –) = –cos

tg(90o +) = – 1–tg tg(180o –) = –tg

a∫b

f(x)dx = F(x)a

b = F(b)–F(a)–формулаНьютона-Лейбніца

0–1

–1

1

1

y

x

M(x, y)

x

y

tg α

cos α

sin α

рад

град 0o

0α

0

1

0 0 0

30o

π–6

1–21–2

2—2

1—3

2—2

3—2

3—2

45o

π–4

1 3

60o

π–3

90o 180o 270o 360o

π–2 π 3π—2 2π

1

0

0

–1

–1

0

0

1

неіснує неіснує

ЗагальнийвиглядпервіснихF(x) + C,C–довільнастала

Функціяf(x)

0 C

x +1— + C+1ln x + C

x + C

sin x –cosx + Ccos x sin x + C

tg x + C1—cos2 x

1

ex ex + C

1–x

x,≠–1

24

Кінець зошита

ГЕОМЕТРІЯ

Довільний трикутник

Паралелограм

Пряма призма

Циліндр Конус Куля, сфераПравильна піраміда

Прямокутник Ромб Трапеція

Прямокутний трикутник

Координати та вектори

Трик

утни

киЧ

отир

икут

ники

Кол

оО

б’єм

ні ф

ігур

и та

тіл

а

Кру

гS = ab sinγ

S = aha

V = Sосн ⋅ H

Sб = Pосн ⋅ H

V = 1–3 Sосн ⋅ H

Sб = 1–2 Pосн ⋅ m

V = πR2H

Sб=2πRH

V = 1–3 πR2H

Sб = πRL

V = 4–3 πR3

S=4πR2

L=2πR

(x–x0)2 + (y–y0)2 = R2S = πR2

S = 1–2 d1d2,

d1,d2 –діагоналіромба

S = a + b—2 ⋅ h,

aіb –основитрапеції

S = ab

p = a + b + c—2 + β + γ=180о

a2 = b2 + c2–2bc cosa—sin = b—sinβ = c—sinγ =2R

R – радіускола,описаногонавколотрикутника ABC

a2 + b2 = c2 (теоремаПіфагора)

b–c = cos a–c = sina–b = tg

c

ab

C

A Bβ

γ

ha

αc

a

bα

a

b

γ

ha

a

bd1

d2

a

b

h

R

M(x0, y0)

H

M(x0, y0, z0)

A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2)

H m H

R

RH L

R

R

S = 1–2a ⋅ ha S = 1–2b ⋅ c ⋅sin S = p(p–a)(p–b)(p–c)

x0 = x1 + x2—2 y0 = y1 + y2—2 z0 = z1 + z2—2

AB (x2–x1,y2–y1,z2–z1) AB= (x2–x1)2 + (y2–y1)2 + (z2–z1)2

a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3a ⋅ b = a⋅bcosφφ

a(a1, a2, a3)

b(b1, b2, b3)