МЕЖДУНАРОДНЫЙЖУРНАЛПРИКЛАДНЫХ ИФУНДАМЕНТАЛЬНЫХИССЛЕДОВАНИЙ №4,2016

887 ФИЗИКО-МАТЕМАТИчЕСКИЕНАУКИ УДК616-07:51-053.3

ПРИМЕНЕНИЕ КУБИЧЕСКОЙ СПЛАЙН ИНТЕРПОЛЯЦИИ  В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛьНОГО  

СОСТОЯНИЯ ЗДОРОВьЯ ДЕТЕЙЧеркашина Ю. А.

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, e-mail: cherr999y@mail.ru

СтатьяявляетсярезультатомнаучныхисследованийсотрудниковкафедрыПрикладнойматематикиНа-циональногоисследовательскогоТомскогополитехническогоуниверситетаисотрудниковНИИакушерстваигинекологииРоддома№4.Исследованияпосвященыприменениюматематическихметодовдляпроведе-нияпроцедурыпрогнозирования состояния здоровья детейна основемедицинских данных сердечно-со-судистойсистемы.Данаподробнаяхарактеристикаисследуемыхданных.Встатьеподробнорассмотренакубическаясплайнинтерполяция.Приведенырезультатыисследования.Проведенасплайн-аппроксимациявсехисследуемыхпараметров.Полученыкоэффициентыкубическойсплайнфункции,скоростьиускорениевозрастныхизмененийпоказателей.

Ключевые слова: кубическая сплайн интерполяция, прогнозирование, сердечно-сосудистая система, скорость, ускорение

CuBIC SPLINE INTERPOLATION FOR PREDICTION  OF FuNCTIONAL STATE OF CHILDREN

Cherkashina Y.A.National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, e-mail: cherr999y@mail.ru

Thearticle includesresultsofscientificresultsachievedatdepartmentofappliedmathematicsatNationalresearchTomskPolytechnicUniversityandresearchInstituteofobstetricsandGynecology,maternityhomes№4.researchesaredevotedtheapplicationofmathematicalmethodsfortheprocedureofpredictionofchildren’shealthbasedonmedicaldataofcardio-vascularsystem.adetaileddescriptionoftheinvestigateddataisgiven.Thecubicsplineinterpolationisdiscussedinthearticle.resultsofthestudyaregiven.splineapproximationofallinvestigatedparameters is carriedout.The coefficients of the cubic spline function, velocity and accelerationof age-relatedchangesofindicatorswerecalculated.

Keywords: cubic spline interpolation, prediction, cardiovascular system, speed, acceleration

Проблема диагностирования ипро-гнозирования состояния здоровья являетсяособенно актуальной в педиатрии, глав-ной задачей которой является выявлениепатологий ихронических заболеваний наранних этапах развития. Самым важнымвжизниребенкаявляетсягруднойвозраст,в котором большое значение придаетсяегоразвитиювнеонатальномпериоде.

часто в медико-биологических ис-следованиях складывается достаточнопротиворечиваяситуация.Соднойсторо-ны,накопленыбольшиемассивыданных,отражающие различные встречающиесявклиническойпрактикеситуации,асдру-гойнепропорциональномалоеколичествоинформации, получаемое из их анализа.Кроме того, существует ряд факторов,учет которых является необходимым длявыбораметодованализабиомедицинскихданных.

Поэтому целью работы является об-работка накопленных медицинских дан-ныхдетейдляпрогнозирования состоянияих здоровья при помощи математических методов.

Характеристика исследуемых данныхВ качестве исходной информации для

исследования использовались данные, по-лученныевНИИакушерстваигинекологииРоддома №4 г.Томска. Исходные данныепредставляют собой антропометрические,лабораторныеиинструментальные(показа-теликардиоинтервалографии(КИГ).Враз-ные моменты времени оценивались рит-мические характеристики т.е. временныепромежуткисокращениясердцаихарактерраспределенияэтихинтерваловвовремени.

Каждыйпоказательимеетфизиологиче-скоезначение:

1.r-rср(c)–среднеезначениекардио-интерваловrr;

2.dX (c) – вариационный размах дли-тельностикардиоинтервалов.Определяетсяпоформуле:

max mindX X X= − (1)

где Xmax иXmin соответственно макси-мальноеиминимальноезначениядлитель-ностизарегистрированныхинтерваловrr.Отражает процесс регуляции синусовых

INTERNATIONAL JOURNAL OF APPLIED AND FUNDAMENTAL RESEARCH №4,2016

888 PhysICalaNdmaThEmaTICalsCIENCEs сердечных ритмов, указывает на макси-мальную амплитуду колебаний сердечногоритма;

3.sigma – среднее квадратическое от-клонение, отражает среднюю амплитудуколебанийдеятельностикардиоинтерваловrr,вычисляетсяпоформуле:

( )2

1

11

n

ii

Sigma x xn =

= −− ∑ , (2)

гдеxi–длинатекущегозарегистрированно-гоинтервалаrr;

4.mo(c)–мода,наиболеечастовстре-чающеесязначениеrrинтервала,котороесоответствует наиболее вероятному дляданногопериодавремениуровнюфункцио-нированиясистемрегуляции.Характеризу-етгуморальноезвенорегуляциисердечногоритма;

5.amo (%) – амплитуда моды, числозначений интервалов, соответствующихМо,выраженноевпроцентах.Отражаетэф-фектстабилизациицентральнойрегуляциинасердечныйритм;

6.Inap (intramuscular nerve actionpotential) – потенциал внутримышечногодействиянерва(условныеединицы).

7.IVr–индексвегетативногоравнове-сия.Характеризуетстепеньцентрализацииуправлениясердечнымритмом,вычисляет-сяпоформуле:

AMoIVRdX

= ; (3)

8.чСС(уд/мин)–частотасердечныхсо-кращений.Отражаетинтегральныйуровеньфункционированиясинусовогоузла;

9.PaPr – показатель адекватностипроцессоврегуляции.Позволяетпутемсо-поставления с чСС судить о наличии из-быточной или достаточной централизацииуправленияритмомсердца,вычисляетсяпоформуле:

AMoPAPRMo

= ; (4)

10.VPr–вегетативныйпоказательрит-ма.Отражаетсостояниеавтономногоуров-нярегулирования,вычисляетсяпоформуле:

1VPR

Mo dX=

⋅; (5)

11.Nsr – напряженность сердечногоритма, является количественной оценкойпроцессоврегуляцииритмасердца,вычис-ляетсяпоформуле:

100AMoNSRSigma

⋅= . (6)

Дляисследованияиспользуютсяпоказа-тели,измеренныевопределенныеинтерва-лы времени: период беременности (Плод),на1-ый,3-ий,5-ый,30-ыйденьжизни.

Кубическая сплайн интерполяцияЗаполнение пропусков в данных про-

изводилось с использованием кубическойсплайнинтерполяции(аппроксимации).

Сплайн-аппроксимация–приближенноепредставлениефункцииилиприближенноевосстановлениефункциииззаданногоклас-сапонеполнойинформации(напр.,позна-чениямнасетке)спомощьюсплайнов.

В его основе лежит следующая идея –интервалинтерполяцииразбиваетсянане-большие отрезки, на каждом из которыхфункция задается полиномом третьей сте-пени. Коэффициенты полинома подбира-ютсятак,чтонаграницахинтерваловобе-спечивается непрерывность функции, еёпервой ивторой производных. Также естьвозможность задать граничные условия –значения первой или второй производнойна границах интервала. Если значения од-ной из производных на границе известны,то задав их, мы получаем крайне точнуюинтерполяционную схему. Если значениянеизвестны, то можно положить вторуюпроизводнуюнаграницеравнонулюипо-лучитьдостаточнохорошиерезультаты.

Пустьзаданыточкиx1, x2, ..., xnисоот-ветствующиеимзначенияy1, y2, ..., ynфунк-ции f(x). На каждом из отрезков [xi, xk+1], k = 1, 2, ..., n-1 функцию приближаем припомощиполиноматретьейстепени:

(7)Для вычисления коэффициентов ak, bk,

ck, dk, k = 1, 2, ..., n-1решаетсясистемали-нейныхуравнений,построеннаяизусловиянепрерывности производной P’(x) в узлахсетки идополнительных краевых условийнавторуюпроизводную[3].

Анализ результатов исследованияДлярешениязадачиоценкиуровнясо-

стояния здоровьядетейбылисформирова-нывсоответствиисостепеньютяжестисле-дующиегруппы:

●1группа(«Норма»),вкоторуювошло119детейспервойгруппойтяжести;

●2 группа («Предкризис»), в которуювошло12детейсовторойгруппойтяжести;

●3группа(«Кризис»),вкоторуювошли46детейстретейгруппойтяжести.

Аппроксимация кубическим сплайномпроводилась для всех исследуемых пока-зателей. На рисунке (а,б,в) представленасплайн-аппроксимацияпараметраrr.

МЕЖДУНАРОДНЫЙЖУРНАЛПРИКЛАДНЫХ ИФУНДАМЕНТАЛЬНЫХИССЛЕДОВАНИЙ №4,2016

889 ФИЗИКО-МАТЕМАТИчЕСКИЕНАУКИ

а) б)

в)

Рис. Сплайн-аппроксимация параметра RR а) группа «Норма», б) группа «Предкризис», в) группа «Кризис»

Таблица 1КоэффициентыкубическойсплайнфункциидляпараметрачСС

Показатели Коэффициенты Значениякоэффициентовкубическойсплайн–функции0–1сутки 1–3сутки 3–5сутки 5–30сутки

1 2 3 4 5 6Тяжесть1

чСС a 156,01 125,47 118,79 113,22 b –46,37 –16,97 1,28 –6,54 c 18,08 11,32 –2,19 –1,72 d –2,25 –2,25 0,08 0,08

Тяжесть2чСС a 202,96 174,96 175,27 164,20

b –45,61 –13,14 2,48 –12,92 c 20,35 12,13 –4,32 –3,38 d –2,74 –2,74 0,16 0,16

Тяжесть3чСС a 220,12 216,87 220,75 210,02

b –7,72 0,31 –0,09 –10,22 c 5,39 2,64 –2,85 –2,22 d –0,91 –0,91 0,10 0,10

INTERNATIONAL JOURNAL OF APPLIED AND FUNDAMENTAL RESEARCH №4,2016

890 PhysICalaNdmaThEmaTICalsCIENCEs

Коэффициенты кубической сплайнфункциибылирассчитаныдлявсехиссле-дуемыхпараметров.Втабл.1представленыкоэффициентыкубическойсплайнфункциидля параметра чСС, аппроксимирующейзависимостьпоказателейдетей1-3группытяжести.

Скорость иускорение возрастных из-мененийпоказателейбылирассчитаныдлявсехисследуемыхпоказателей.Втабл.2–3представленыскоростьиускорениедляпа-раметровrrичСС.

ЗаключениеВ ходе выполнения работы произведе-

на обработка накопленных медицинскихданныхдетей,результатомчегосталопро-ведениеаппроксимацииданныхивычисле-ние коэффициентов кубических сплайнов.Вработы произведена подробная характе-ристика исследуемых данных. Получены

коэффициенты кубической сплайн функ-ции, скорость иускорение возрастных из-мененийпоказателей.

Список литературы

1.ЛбовГ.С.Методыобработкиразнотипныхэкспери-ментальныхданных.–Новосибирск:Наука,1981.–160c.

2.КолесниковаС.И.,ЯнковскаяА.Е.Квопросувычисле-ниявесовыхкоэффициентовпризнаковвинтеллектуальныхсистемахподдержкипринятиярешенийприбольшойразмер-ностипризнаковогопространства.//ВестникТомскогогосу-дарственногоуниверситета–2006–№18–С.223.

3.CarldeBoor.aPracticalGuidetosplines.Berlin,1978.4.АндреевС.Ю.,БерестневаО.Г.,ГергетО.М.Модели

иинформационныетехнологиивзадачахлечебно-восстано-вительноймедицины.–Томск:Изд-воТомскогополитехни-ческогоуниверситета,2012.–267c.

5.Гергет О.М., Кочегуров В.А. Решение актуальныхмедицинских задач математическими методами. – Томск:Изд-воТПУ,2002.–145c.

6.БерестневаО.Г.,МарухинаО.В.,ШевелевГ.Е.При-кладнаяматематическая статистика. –Томск:Изд-воТПУ,2012.–188с.

Таблица 2Скоростьвозрастныхизмененийпоказателейудетей

Возраст rr чССГруппа1 Группа2 Группа3 Группа1 Группа2 Группа3

0 104,96 56,74 –49,49 –46,37 –45,61 –7,721 59,05 12,92 –9,92 –16,97 –13,14 0,313 15,03 –4,52 9,17 1,28 2,48 –0,095 4,04 21,68 –9,62 –6,54 –12,92 –10,2230 60,13 –186,89 120,39 55,83 110,29 74,25

Таблица 3Ускорениевозрастныхизмененийпоказателейудетей

Возраст rr чССГруппа1 Группа2 Группа3 Группа1 Группа2 Группа3

0 –53,88 –55,53 49,58 36,16 40,70 10,781 –37,94 –32,12 29,56 22,64 24,26 5,293 –6,07 14,69 –10,47 –4,39 –8,64 –5,695 –4,92 11,51 –8,31 –3,44 –6,77 –4,4430 9,41 –28,20 18,71 8,43 16,62 11,20