ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессиональ-

ного образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет высоких технологий

В.Н. Митько

КОЛЕБАНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

Учебно-методическое пособие

Ростов – на – Дону

2009

2

Рекомендовано Ученым Советом факультета высоких технологий Южного

Федерального университета, протокол № ____ от ___________

Учебно-методическое пособие предназначено для магистров, обучающихся

по программе «Пьезоэлектрическое приборостроение» направления 200100

«Приборостроение», при изучении дисциплин «Общая теория электромехани-

ческих преобразователей», «Пьезоэлектрические преобразователи».

Рассмотрены моды колебаний некоторых пьезоэлектрических тел ко-

нечных размеров, т.е. таких, что их размеры не являются специально малыми

в каких-либо направлениях. Расчеты проведены численным методом конеч-

ных элементов с использованием программы ANSYS.

Рассматриваются способы возбуждения различных типов колебаний в

пьезоэлементах.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

1. Выполнение типичного анализа ANSYS 6

2. Описание пьезоэффекта средствами ANSYS 7

3. Трехмерные моды колебаний пьезоэлектрических цилиндров 10

4. Уменьшение вычислительного объема задачи.

Осесимметричная модель 16

4.1. Первый радиальный резонанс 19

4.2. Возбуждение изгибных колебаний. Биморф 23

4.3. Возбуждение сдвиговых колебаний 25

Заключение 27

Литература 28

4

ВВЕДЕНИЕ

Активной составной частью различных устройств пьезоэлектрического

приборостроения являются пьезоэлементы, выполненные из пьезокерамики

того или иного состава. Как правило, пьезоэлементы имеют правильную гео-

метрическую форму в виде тонких круглых или прямоугольных пластин,

сплошных или тонкостенных цилиндров, сферических сегментов, прямо-

угольных параллелепипедов и так далее.

Отдельные поверхности или участки поверхностей пьезоэлементов по-

крыты металлом и представляют собой рабочие электроды пьезоэлемента,

т.е. электроды, используемые для возбуждения или регистрации колебаний

устройства, в которое входит пьезоэлемент.

Элементы поляризуются путем приложения постоянной разности по-

тенциалов к электродам поляризации, причем последние могут отличаться от

рабочих электродов. Как правило, поляризация пьезоэлементов однородна,

или практически однородна, т.е. вектор остаточной поляризации постоянен в

объеме элемента. Однако на практике также используются пьезоэлементы и с

неоднородной поляризацией.

Геометрическая форма и размеры пьезоэлементов, распределение оста-

точной поляризации в объеме, конфигурация рабочих электродов, а также

способы закрепления пьезоэлементов определяют формы колебаний элемен-

тов и, в - частности, частоты резонансов.

Громадное число пьезоустройств является устройствами резонансного

типа, т.е. возбуждение или регистрация колебаний происходят на частоте ре-

зонанса системы. В большом числе устройств используются резонансы пье-

зоэлементов. Но, даже если резонансы всей системы не совпадают с резонан-

сами входящих в нее пьезоэлементов, при конструировании устройства важ-

но знать поведение пьезоэлемента в конструкции, т.е. его форму колебаний и

влияние на последнюю способа закрепления элемента в конструкции.

5

Для практического применения существуют различные инженерные

формулы для расчета пьезоэлементов. Как правило, они основаны либо на

одномерных приближениях, либо на оценках, полученных из аналитических

теорий в каком – либо приближении, например, в предположении, что харак-

терный размер пьезоэлемента в определенном направлении много меньше

других его характерных размеров. Такие методы позволяют примерно оце-

нить параметры пьезоэлементов, определиться на шкале частот, но далеко не

всегда приводят к ожидаемым результатам. Кроме того, приближенные ме-

тоды совершенно не пригодны к задачам оптимизации конструкций пьезоус-

тройств, особенно устройств резонансного типа.

Развитие численных методов решения краевых задач и, в особенности,

метода конечных элементов [1, 2], позволило решать задачи для конструкций

произвольных размеров. Программа ANSYS, реализующая метод конечных

элементов для громадного числа задач сплошных сред с полями различной

физической природы, позволяет учитывать и пьезоэффект, т.е. связность

электрических и механических полей в теле. Кроме того, программа содер-

жит мощные инструменты визуализации различных полей в объеме уст-

ройств и, в частности, визуализации колебаний устройства во времени. Эти

инструменты чрезвычайно полезны инженеру при конструировании уст-

ройств [3,4].

В настоящем пособии средствами ANSYS рассматриваются некоторые

типы колебаний пьезоэлементов чаще всего используемой формы в виде

круглых прямоугольных цилиндров, резонансы, а также способы возбужде-

ния колебаний различных типов.

Настоящее пособие не является введением в ANSYS. Приводимая до-

полнительная информация касается лишь особенностей расчета пьезоэлек-

триков и необходима для правильного понимания используемых методов.

6

1. ВЫПОЛНЕНИЕ ТИПИЧНОГО АНАЛИЗА ANSYS

Типичное решение краевой задачи средствами ANSYS включает в себя

следующие этапы:

• построение конечно-элементной модели расчетной области;

• выбор типа и опций анализа, опций шагов нагрузки и получение

решения;

• анализ полученных результатов.

Самый трудоемкий для разработчика этап – это создание модели. Он

включает в себя:

• построение геометрической модели расчетной области;

• выбор типа конечного элемента для каждой из подобластей рас-

четной области. Тип элемента определяет среди прочего набор

степеней свободы в узлах элемента – полевых величин, относи-

тельно которых решается задача. Таким образом, выбор элемен-

тов определяет физику процессов, рассматриваемых в данной об-

ласти или вид анализа – упругость, тепловой, магнитный, анализ

связанных полей и т.д.;

• с типом элементов связано задание свойств материалов областей,

в которых определен выбранный тип элемента. Свойства линей-

ных материалов описываются совокупностью коэффициентов,

входящих в уравнения связи между различными полевыми вели-

чинами в расчетной области – материальные или определяющие

уравнения. Так, например, для закона Гука в изотропном теле –

это модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Пьезоэлектрик явля-

ется анизотропным материалом. Ввод материальных свойств для

него рассматривается ниже;

• построение сетки конечных элементов в расчетной области;

7

• задание граничных условий и дополнительных нагрузок.

Как видно, этот этап является важнейшим для анализа, так как практи-

чески здесь задается модель физических процессов в рассматриваемой облас-

ти. Остальные этапы решения задачи ANSYS являются стандартными и под-

робно не рассматриваются. Отметим лишь, что первый этап выполняется в

препроцессоре PREP7, второй этап требует процессора решения SOLUTION,

а третий этап выполняется в двух постпроцессорах: POST1 или POST26.

2 ОПИСАНИЕ ПЬЕЗОЭФФЕКТА СРЕДСТВАМИ ANSYS

В некоторых кристаллах, например, кварце наблюдается явление пье-

зоэффекта, состоящее в существовании линейной связи между механически-

ми и электрическими полями. Для существования пьезоэффекта обязатель-

ным условием является наличие в группе симметрии кристалла полярной оси

симметрии. При сжатии пластинки пьезокристалла в определенном направ-

лении на его определенных поверхностях появляется электрический заряд,

пропорциональный приложенному механическому усилию. И, наоборот, при

приложении разности потенциалов к определенным поверхностям кристалла,

происходит его деформация, пропорциональная приложенному напряжению.

Это явление нужно отличать от присущего диэлектрикам явления электро-

стрикции, при котором индуцированная электрическим полем деформация

пропорциональна квадрату напряженности электрического поля.

Существует особый класс кристаллов – сегнетоэлектрики, например,

сегнетова соль, титанат бария, у которых существует электрическая поляри-

зация в отсутствие внешнего поля – спонтанная поляризация. Эти кристаллы

также обладают пьезоэффектом.

Для практического использования очень важны некоторые твердые

растворы, например на основе титаната – цирконата свинца. Ниже темпера-

туры Кюри кристаллиты керамики, изготовленной из этих составов, находят-

8

ся в сегнетоэлектрической фазе. Однако суммарная электрическая поляриза-

ция как отдельных кристаллитов, так и всего керамического образца в целом

равна нулю, а, следовательно, и пьезоэффект тоже не наблюдается. Для того,

чтобы получить ненулевой пьезоэффект керамические образцы подвергаются

обработке постоянным электрическим напряжением. В результате такой об-

работки происходит перестройка доменной структуры кристаллитов, так что

суммарный вектор поляризации кристаллита и всего образца в целом не ра-

вен нулю. После снятия электрического напряжения в объеме существует и

сохраняется ненулевая поляризация – остаточная поляризация, а изготовлен-

ный таким способом элемент обладает пьезоэффектом.

Как пьезокристаллы, так и пьезокерамика являются анизотропными

материалами. Поэтому уравнения пьезоэффекта – это тензорные уравнения.

Выбирая различные независимые электрические и механические величины

можно записать четыре системы определяющих уравнений для пьезоэлек-

триков [5]. В ANSYS используется следующая система определяющих соот-

ношений пьезоэлектрика (в матричной формулировке):

iijS

nin

kmkt

nmnE

m

ESeDi

EeScT

ε+=

−= (1)

Здесь

индексы i,j пробегают значения 1,2,3 (или x,y,z), а n,m – 1, 2,…,6;

по дважды повторяющимся индексам производится суммирование;

Dr

- трехмерный вектор индукции электрического поля;

Er

- трехмерный вектор напряженности электрического поля;

T - шестимерный вектор напряжений;

S - шестимерный вектор деформаций;

Ec - симметричная матрица упругих модулей, определенных в коротко-

замкнутом режиме;

9

Sε - тензор диэлектрической проницаемости, определенный для меха-

нически зажатого образца (симметричный тензор второго ранга);

e - матрица пьезоконстант, te означает транспонированную матрицу.

Система определяющих соотношений (1) соответствуют по терминоло-

гии ANSYS следующим степеням свободы элементов: узловые потенциалы и

компоненты вектора смещения в узлах.

Рассмотрим ввод констант для пьезокерамики. Пьезокерамика имеет

группу симметрии vC∞

. С учетом симметрии в ANSYS вводятся следующие

матрицы коэффициентов:

=

44

44

66

33

1311

131211

0

00

000

000

000

c

c

c

c

cc

ccc

c ANSE ,

=

00

00

000

00

00

00

15

15

33

31

31

e

e

e

e

e

eANS ,

=

33

22

11

ε

ε

ε

εS (2)

Ввод осуществляется следующей последовательностью команд.

Ввод Ec : TB,ANEL,….

TBDATA,1,c11,c12,c13

TBDATA,7,c11,c13

TBDATA,12,c33

TBDATA,16,c66

TBDATA,19,c44

TBDATA,21,c44

Ввод e : TB,PIEZO,….

TBDATA,3,e31

TBDATA,6,e31

TBDATA,9,e33

TBDATA,14,e15

10

TBDATA,16,e15

Ввод Sε : MP,PERX,,ε11

MP,PERY,,ε11

MP,PERZ,,ε33

Следует отметить, что матрицы коэффициентов имеют простой вид (2)

в элементной системе координат, которая по умолчанию совпадает с гло-

бальной декартовой системой координат. При этом направление остаточной

поляризации совпадает с осью Z глобальной системы координат. Если пьезо-

элемент или его какие-то части имеют другое направление остаточной поля-

ризации, т.е. элементная система координат не совпадает с глобальной декар-

товой, то для того чтобы сохранить ввод коэффициентов в простом виде (2)

программе нужно явно указать, во-первых, ориентацию элементной системы

координат относительно глобальной (команда local) и, во-вторых, при зада-

нии атрибутов областей указать, что свойства материала вводятся именно в

этой системе. Программа затем автоматически преобразует заданные вели-

чины к глобальной системе координат по обычным правилам преобразования

тензоров.

3 ТРЕХМЕРНЫЕ МОДЫ КОЛЕБАНИЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ЦИЛИНДРОВ

Для выяснения возможных типов колебаний рассмотрим задачу коле-

баний часто применяемых на практике пьезоэлементов в виде прямых ци-

линдров с основанием в виде кольца рисунок 1.

11

Рисунок 1 – Геометрическая модель пьезоэлемента

Для определенности возьмем следующие размеры цилиндра:

внутренний радиус кольца 7,5 мм,

внешний радиус кольца 15 мм,

высота цилиндра – 5мм.

Цилиндр изготовлен из пьезокерамики состава ЦТС – 19 с параметрами:

плотность ρ = 7400 кг/м3,

cE

11 = 13,2 1010

Н/м2,

cE

12 = 6,2 1010

Н/м2,

cE

13 = 6,9 1010

Н/м2,

cE

33 = 10,4 1010

Н/м2,

cE

44 = 2,8 1010

Н/м2,

cE

66 = 3,5 1010

Н/м2,

e31 = -3,7 Кл/м2,

e33 = 11,5 Кл/м2,

e15 = 10,3 Кл/м2,

εS

11 = 913,

εS

33 = 873.

Цилиндр поляризован по высоте – ось Z декартовой системы координат.

12

Для исследования собственных форм колебаний цилиндра применим

модальный анализ ANSYS. Используем трехмерный элемент SOLID5 с 4

степенями свободы: электрический потенциал VOLT и компоненты вектора

смещения в узлах UX, UY, UZ.

Для построения регулярной трехмерной сетки используем прием «вы-

тягивания» двумерной сетки. С этой целью строится сечение цилиндра вер-

тикальной плоскостью ZOX. Это сечение разбивается с помощью вспомога-

тельного элемента MESH200 – рисунок 2.

Рисунок 2

Далее размеченная двумерная область вращается на угол 360 градусов

вокруг оси Z, в результате чего получается размеченная с помощью элемен-

тов SOLID5 трехмерная область, представленная на рисунке 3.

Рисунок 3

13

Верхняя и нижняя грани цилиндра покрыты электродами, т.е. пред-

ставляют собой эквипотенциальные поверхности. В терминах ANSYS это оз-

начает, что узлы на этих гранях объединены по степени свободы VOLT.

Далее, выбирая модальный тип анализа с методом извлечения мод

Ланцоша и задав частотный интервал, в котором будут рассчитываться соб-

ственные частоты, запускаем решение задачи. Предварительно полагаем, что

оба электрода пьезоэлемента закорочены, что соответствует условию резо-

нанса.

На рисунке 4 представлен ряд собственных форм колебаний в широком

диапазоне частот.

1 F = 13921 Гц 2 F = 21386 Гц

3 F = 28757 Гц 4 F = 34901 Гц

14

5 F = 41471 Гц 6 F = 48851 Гц

7 F = 220632 Гц 8 F = 224276 Гц

9 F = 271075 Гц 10 F = 388039 Гц

Рисунок 4 – Некоторые собственные моды колебаний пьезоэлемента

15

На рисунке представлены далеко не все моды колебаний в данном час-

тотном промежутке.

Здесь важно отметить, что модальный анализ применяется для решения

однородной краевой задачи, т.е. задачи с нулевыми граничными условиями.

В данном случае все механические напряжения на поверхности пьезоэлемен-

та и потенциалы электродов равны нулю. Поэтому необходимо отдельно рас-

смотреть вопрос о том, какие моды колебаний могут быть возбуждены в ре-

жиме вынужденных колебаний.

Отметим, что, не покидая модального анализа, можно установить - воз-

буждаются ли какие – либо из рассматриваемых типов колебаний электриче-

ским путем при заданной конфигурации электродов и заданном распределе-

нии вектора остаточной поляризации в объеме элемента. Для этого можно

воспользоваться другим типом однородных электрических граничных усло-

вий – равенством нулю тока на электродах. Этот тип граничных условий со-

ответствует условиям антирезонанса. Проделав модальный анализ с этими

граничными условиями, получим следующий результат: если вновь вычис-

ленные собственные частоты не отличаются от частот предыдущего анализа,

то такие моды не электрически возбуждаются; если новые собственные час-

тоты больше соответствующих частот предыдущего анализа, т.е. представ-

ляют собой частоты антирезонанса, то такие моды возбуждаются.

Так для моды 6 получена частота антирезонанса 51571 Гц, для моды 9 –

271510 Гц, моды 10 – 398650 Гц. Мода 6 представляет собой первый ради-

альный резонанс, мода 9 – гармонику радиального резонанса, мода 10 - пер-

вый продольный резонанс по высоте пьезоэлемента. Остальные моды не воз-

буждаются электрическим путем.

Комбинируя распределение поляризации в объеме элемента, конфигу-

рацию и расположение электродов, условия закрепления пьезоэлементов

можно возбудить практически и любую другую моду колебаний.

16

Так мода 3, представляющая собой изгиб пьезоэлемента, может быть

возбуждена, если к точкам, расположенным на внешней окружности нижнего

основания применить условия жесткого закрепления, что и подтверждает

модальный анализ, проведенный с двумя типами однородных электрических

условий. Другой способ возбуждения этой моды – направить поляризацию

двух частей цилиндра, расположенных выше и ниже среднего сечения, в про-

тивоположных направлениях и соединить их электрически последовательно,

или задать одинаковую поляризацию верхней и нижней частей и соединить

их электрически параллельно. Эта, часто используемая в технике конструк-

ция, называется биморфом.

Мода 7 представляет собой сдвиг, при котором верхнее и нижнее осно-

вания цилиндра смещаются в противоположных направлениях вдоль диаго-

нали плоскости XY. Эту моду лучше возбуждать в пьезоэлементах прямо-

угольного сечения.

Мода 8 представляет собой сдвиг в вертикальной плоскости, симмет-

ричный относительно оси Z. Проще всего эту моду возбудить, если оставить

заданную конфигурацию рабочих электродов, а пьезоэлемент наполяризо-

вать в радиальном направлении, т.е. электроды при поляризации были распо-

ложены на внутренней и внешней цилиндрической поверхности пьезоэле-

мента.

4 Уменьшение вычислительного объема задачи.

Осесимметричная модель

Симметрия форм колебаний пьезоэлектрического тела конечных раз-

меров позволяет иногда значительно сократить вычислительный объем зада-

чи и, следовательно, процессорное время, необходимое для ее решения. Для

этого в основном используется два метода.

1) Использование плоскостей симметрии решения.

17

Вместо всего трехмерного тела рассматривается его часть, ограниченная с

одной или нескольких сторон плоскостями симметрии. На этих ограничи-

вающих плоскостях накладываются условия симметрии на степени свободы в

узлах, расположенных на плоскостях симметрии – команда DSYM с пара-

метром SYMM.

Так, например, у моды 1 имеются две плоскости симметрии YZ и XZ,

т.е. достаточно построить модель для 1/4 части фигуры; у моды 2 – 3 плоско-

сти симметрии YZ, XZ и XY, т.е. достаточно рассчитать 1/8 часть фигуры; у

моды 3 – бесконечное число вертикальных плоскостей симметрии, т.е. доста-

точно рассчитать какую – то часть фигуры, заключенную в разумном угло-

вом секторе; у моды 7 – одна вертикальная плоскость симметрии, перпенди-

кулярная диагонали плоскости XY, т.е. необходимо рассчитывать половину

всей фигуры и т.д.

2)Ряд мод колебаний, например, моды 3, 6, 8, 9, 10 имеют ось симмет-

рии бесконечного порядка – ось Z. Таким образом, решение не зависит от уг-

ла поворота вокруг оси Z. В этом случае ANSYS позволяет свести трехмер-

ную задачу к осесимметричной двумерной задаче, что значительно уменьша-

ет вычислительный объем задачи.

Замечание. Следует иметь ввиду, что при использовании элементов

симметрии в рассчитываемых формах колебаний тела заранее отбрасы-

ваются решения, имеющие группу симметрии меньшего порядка, чем

примененная. Так, если рассматриваются осесимметричные решения,

то отбрасываются все остальные моды колебаний, не удовлетворяющие

этому условию. Если используются 3 плоскости симметрии, как у моды

2, то осесимметричные решения остаются, но отбрасываются моды с

меньшим числом элементов симметрии, как например, мода 1. На ри-

сунке 4 не представлены, например, крутильные моды колебаний во-

круг оси Z. Введение любой плоскости симметрии убирает эти моды из

возможных решений. Если ввести на вертикальных плоскостях условие

18

антисимметрии, команда DSYM с параметром ASYM, то эти моды бу-

дут рассчитаны, но зато исчезнет множество других мод.

Эти замечания всегда следует иметь ввиду при привлечении соображений

симметрии для уменьшения вычислительного объема задач.

Рассмотрим более подробно осесимметричные задачи.

По правилам ANSYS ось симметрии задачи совпадает с осью Y гло-

бальной декартовой системы координат, при этом отрицательные значения

координаты x не допустимы.

Для решения осесимметричных задач с пьезоэлектриком используется

двумерный элемент PLANE13 с KEYOPT(3) = 3. При вводе констант мате-

риала нужно учесть, что полярное направление совпадает с осью Y элемент-

ной системы координат, т.е. нужно заменить компоненту x на y и, кроме того,

вводится число констант, необходимое для решения осесимметричной зада-

чи, т.е. лишние константы не вводятся.

Ввод осуществляется следующей последовательностью команд.

Ввод Ec : TB,ANEL,….

TBDATA,1,c11,c13,c12

TBDATA,7,c33,c13

TBDATA,12,c11

TBDATA,16,c44

Ввод e : TB,PIEZO,….

TBDATA,2,e31

TBDATA,5,e31

TBDATA,8,e33

TBDATA,10,e15

Ввод Sε : MP,PERX,,ε11

MP,PERY,,ε33

19

3.1. Первый радиальный резонанс

Конечно-элементная модель, построенная в плоскости XY аналогична

представленной на рисунке 2.

Для расчета будем использовать гармонический анализ ANSYS, т.е.

решать задачу установившихся вынужденных колебаний пьезоэлектрика. К

перечисленным выше материальным свойствам добавляется еще механиче-

ская добротность материала Q. Для этого с помощью команды MP,DAMP

вводится коэффициент затухания β = 1/(2πfmQ). Такое задание β соответст-

вует определению добротности как Q = fm/( f2 - f1), где

fm – частота максимума активной проводимости пьезоэлемента,

f1 ,f2 – частоты, на которых значение активной проводимости равно по-

ловине максимального значения.

Приложим к положительному электроду pe потенциал, равный 1 В, а к

отрицательному oe– 0 В и выполним гармонический анализ. В результате по-

лучается решение для вынужденного резонанса на первой радиальной моде

колебаний пьезоэлемента.

Традиционными расчетными характеристиками пьезоэлементов в резо-

нансной области, аналогичными измеряемым, являются частотные зависимо-

сти модуля полной проводимости, активной и реактивной проводимостей, а

также фазовая характеристика проводимости пьезоэлемента.

Для их построения используется постпроцессор /POST26. Для этого по

результатам расчетов определяется поток индукции на положительном элек-

троде – команда RFORCE,4,pe,AMPS. Вычисляется ток через электрод, как

производная от величины AMPS. Для гармонического анализа взятие произ-

водной от переменной означает умножение этой переменной на iω, где i - ко-

рень из -1, а ω - угловая частота колебаний – команда

PROD,5,4,1,,ADMIT,,,PI. Полученная величина ADMIT представляет собой

20

полную проводимость пьезоэлемента, поскольку приложенная к нему раз-

ность потенциалов равна 1 В. Эта величина является комплексной величи-

ной. Вывод графика амплитуды проводимости на экран производится коман-

дой PLVAR,5. Аналогично могут быть выведены и другие рассчитанные ха-

рактеристики пьезоэлемента.

На рисунке 5 представлены рассчитанные частотные характеристики.

а) амплитуда полной проводимости

б) активная проводимость

21

в) реактивная проводимость

г) фаза проводимости

Рисунок 5 – Частотные зависимости проводимости пьезоэлемента

Сделаем необходимые пояснения к рисунку 5. По общепринятой тер-

минологии частота, соответствующая максимуму амплитуды полной прово-

22

димости – это частота резонанса, а частота, соответствующая минимуму ам-

плитуды – частота антирезонанса - точки Fr и Fa на рисунке 5(а). На рисунке

5(б) точка Fm – частота максимума активной проводимости, а точки F1 и F2

соответствуют полуширине кривой активной проводимости. По этим значе-

ниям, как указывалось выше, рассчитывается величина механической доб-

ротности материала пьезоэлемента. На рисунке 5(в) видно, что при переходе

через резонанс изменяется характер реактивной проводимости от емкостного

к индуктивному. Это – общеизвестный факт в теории электромеханических

преобразователей. Наконец, из рисунка 5(г) видно, что фаза комплексной

проводимости в области резонанса дважды изменяется на 180 градусов, при

переходе через резонанс и при переходе через антирезонанс.

Одним из показателей эффективности работы пьезоэлемента является

коэффициент электромеханической связи. Существуют различные определе-

ния этого коэффициента. Одно из определений – эффективный коэффициент

электромеханической связи, рассчитываемый как

2)/(1( arэффFFk −= (3)

Величина коэффициента может быть рассчитана в постпроцессоре POST26.

Для этого определятся значения Fr и Fa, как частоты, соответствующие мак-

симуму и минимуму амплитуды полной проводимости – команды:

*get,fr,vari,5,extrem,tmax

*get,fa,vari,7,extrem,tmin

и затем эти значения подставляются в формулу (3) – команда

ke=sqrt(1-fr*fr/fa/fa).

Подытожим результаты расчетов для первого радиального вынужден-

ного резонанса:

частота резонанса 48700 Гц,

частота антирезонанса – 51450 Гц,

частота максимума активной проводимости – 48750 Гц,

23

эффективный коэффициент электромеханической связи – 0,323.

3.2. Изгибные колебания. Биморф

Проверим теперь высказанное ранее предположение о том, что изгиб-

ные колебания можно возбудить в пьезоэлементе с вертикальной поляриза-

цией и электродами, нанесенными на верхнее и нижнее основание, если за-

крепить точки элемента, расположенные на внешней окружности нижнего

основания цилиндра. Для осесимметричной модели это соответствует закре-

плению в одном узле, расположенном в правом нижнем углу пьезоэлемента.

Соответствующие команды:

n=node(kx(2),ky(2),0) – выделение нужного узла,

d,n,uy,0,,,,ux – наложение ограничений на компоненты смещения в вы-

деленном узле.

Добавив этот код в файл команд и повторив гармонический анализ, по-

лучим изгибный резонанс на частоте 25 кГц. Форма деформации пьезоэле-

мента на резонансе показана на рисунке 6:

Рисунок 6

24

Однако при таком способе возбуждения изгибных колебаний пьезоке-

рамика малоэффективна – коэффициент связи равен 0,2 и, кроме того, трудно

на практике обеспечить рассматриваемый тип закрепления пьезоэлемента.

Рассмотрим общепринятый способ конструкции биморфного преобра-

зователя, работающего на изгибных колебаниях. Поделим модель на две по-

ловины. Поляризация верхней и нижней частей направлена по оси Y. Между

обеими частями расположен общий электрод. Кроме того, покрыты электро-

дами верхняя и нижняя поверхности пьезопреобразователя. На эти электроды

подается одинаковый потенциал.

Деформация биморфа на резонансе показана на рисунке 7.

Рисунок 7

Стрелками обозначены эквипотенциальные поверхности.

Результаты расчета:

частота резонанса 27440 Гц,

частота антирезонанса – 28460 Гц,

частота максимума активной проводимости – 27450 Гц,

25

эффективный коэффициент электромеханической связи – 0,27.

Отметим, что рассчитанная частота резонанса, меньше частоты, полученной

в трехмерном модальном анализе – мода 3 рисунка 4. Это различие связано с

тем, что введение эквипотенциальной поверхности внутри пьезоэлемента из-

меняет картину распределения электрического поля в нем, а, следовательно,

и картину распределения механических полей в элементе.

3.3. Возбуждение сдвиговых колебаний

Рассмотрим теперь возбуждение в пьезоэлементе сдвиговой моды ко-

лебаний – мода 6 рисунка 4. Для этого, как уже говорилось необходимо при

заданной конфигурации электродов направить поляризацию пьезоэлемента

по оси X. Эквивалентный способ возбуждения сдвиговой моды – это при не-

изменной поляризации поместить рабочие электроды на внутреннюю и

внешнюю цилиндрические поверхности пьезоэлемента. Рассмотрим первый

способ.

Для того, чтобы изменить направление поляризации нужно повернуть

элементную систему координат на 90 градусов вокруг оси Z относительно

исходной. Для этого определяется локальная система координат командой

LOCAL,11,0,,,,90, а затем, при задании атрибутов области указывается, что

элементная система координат совпадает с определенной локальной систе-

мой – команда AATT,1,,1,11.

В этой команде первый параметр – номер материала, связанного с об-

ластью, третий параметр – номер элемента, связанного с областью, четвер-

тый параметр – номер локальной системы координат с которой совпадает

элементная система координат рассматриваемой области.

Деформация пьезоэлемента на резонансе представлена на рисунке 8.

26

Рисунок 8

Результаты расчета:

частота резонанса 211800 Гц,

частота антирезонанса – 230700 Гц,

частота максимума активной проводимости – 211800 Гц,

эффективный коэффициент электромеханической связи – 0,396.

27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В пособии рассмотрены некоторые моды колебаний цилиндрических

пьезоэлементов, а также способы их возбуждения.

Из-за ограниченного объема пособия не рассматривались многие очень

интересные и важные для практики вещи, как например, способы возбужде-

ния крутильных колебаний, управление формой деформации тонких круглых

пластин на толщинном резонансе с помощью конфигурации электродов, ко-

лебания элементов прямоугольной формы и т.д.

Несмотря на это авторы надеются, что приведенный в пособии матери-

ал поможет читателям при проведении самостоятельных расчетов в области

пьезоэлектрического приборостроения.

28

Литература

1. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир,

1977. – 349 с.

2. П. Сильвестер, Р. Феррари. Метод конечных элементов для радиоин-

женеров и инженеров – электриков. М.: Мир, 1986, - 229 с.

3. А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева. ANSYS в руках инжене-

ра. Практическое руководство. М.: УРСС, 2003, - 269 с.

4. К.А. Басов. ANSYS в примерах и задачах / Под общ. ред. Д.Г. Красков-

ского. М.: КомпьютерПресс, 2002, - 224 с.

5. Методы и приборы ультразвуковых исследований, часть А. Физическая

акустика / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966, - 592 с.