О ХРИСТИАНЕ ГЮЙГЕНСЕ И ЧАСАХ С МАЯТНИКОМizd.pskgu.ru/ebooks/gindikinpdf/g02a.pdf · 2013-11-25 · Гюйгенс, озна-комившись с

О ХРИСТИАНЕ ГЮЙГЕНСЕ И ЧАСАХС МАЯТНИКОМ

Циклоидальный маятник был изобретен Христи-аном Гюйгенсом, крупным ученым XVII столе-тия и гениальнейшим часовым мастером всех вре-мен. Зоммерфельд, «Механика»

Мы рассказывали о том, как почти одновременно с началомXVII века Галилей заложил основы классической механики. Хри-стиан Гюйгенс (1629 – 1695) был непосредственным преемникомГалилея в науке. По словам Лагранжа, Гюйгенсу «было сужде-но усовершенствовать и развить важнейшие открытия Галилея».Существует рассказ о том, как в первый раз Гюйгенс соприкос-нулся с идеями Галилея: 17-летний Гюйгенс собирался доказать,что брошенные горизонтально тела движутся по параболам, нообнаружил доказательство в книге Галилея и не захотел «пи-сать ”Илиаду“ после Гомера». Поражает, насколько близок былГюйгенсу научный дух Галилея, его научные интересы. Иногда ка-жется, что это помолодевший Галилей вновь совершенствует своизрительные трубы и продолжает свои астрономические наблюде-ния, прерванные сорок лет назад. Он пытается при помощи болеесильного телескопа разгадать тайну Сатурна, казавшегося тре-мя соединенными звездами, и, наконец, наблюдая в 92-кратныйтелескоп (у Галилея был 20-кратный), обнаруживает, что за боко-вые звезды принималось кольцо Сатурна. Он вновь возвращаетсяк проблеме, остро стоявшей в 1610 г.: существуют ли спутни-ки у планет, отличных от Земли и Юпитера. Тогда Галилейписал Медичи, что у других планет спутников не обнаружи-лось, и ни один царственный дом, кроме дома Медичи (в честькоторого были названы спутники Юпитера), не может рассчиты-вать на «собственные» звезды. Гюйгенс открыл в 1655 г. Титан,спутник Сатурна. Вероятно, времена изменились, и Гюйгенс не

104

Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) 105

Христиан Гюйгенс

предлагал открытый им спут-ник кому-либо в подарок. А по-том Гюйгенс обратился к ме-ханике. И здесь его волнуютте же проблемы, что и Гали-лея. Он развивает его принципинерции, утверждая, что нетолько иногда нельзя обнару-жить движение внутреннимисредствами, но и само утвер-ждение о том, что тело дви-жется, не имеет абсолютногозначения. Гюйгенс восприни-мал всякое движение как отно-сительное, в чем серьезно рас-ходился с Ньютоном. Когда-то Галилей, обдумывая, поче-му при вращении Земли телаудерживаются на ее поверхно-сти, почти получил формулу

для центростремительного ускорения, буквально не сделав по-следнего шага (см. с. 60). Гюйгенс дополнил рассуждения Галилеяи получил одну из самых замечательных формул в механике.

Гюйгенс обращается к исследованию изохронного характеракачаний математического маятника. Вероятно, это было первоеоткрытие Галилея в механике. И здесь Гюйгенсу представиласьвозможность дополнить Галилея: изохронность математическогомаятника (независимость периода колебаний маятника фиксиро-ванной длины от амплитуды размаха) оказалась справедливойлишь приближенно для малых углов размаха. Затем Гюйгенс ре-ализует идею, которая занимала Галилея в его последние годы:он конструирует маятниковые часы.

Задачей о создании и совершенствовании часов, прежде все-го маятниковых, Христиан Гюйгенс занимался почти сорок лет:с 1656 по 1693 г. Один из основных мемуаров Гюйгенса, со-держащих его результаты по математике и механике, вышел в1673 г. под названием «Маятниковые часы, или геометрическиедоказательства, относящиеся к движению маятников, приспособ-

106 Христиан Гюйгенс (1629 – 1695)

ленных к часам». Многое придумал Гюйгенс, пытаясь решитьодну из основных задач своей жизни — создать часы, которыеможно было бы использовать в качестве морского хронометра;многое он продумал с точки зрения возможностей примене-ния к этой задаче (циклоидальный маятник, теория разверткикривых, центробежные силы и т. д.). Мы расскажем здесь озанятиях Гюйгенса хронометрией, но прежде всего поясним,почему задача о создании часов привлекала великого ученого.

Часы относятся к очень древним изобретениям человека. Вна-чале это были солнечные, водяные, песочные часы; в Средние векапоявились механические часы. В разные эпохи измерение вре-мени играло разную роль в жизни человека. Немецкий историкО. Шпенглер, отмечая, что механические часы были изобретеныв эпоху начала романского стиля и движения, приведшего к кре-стовым походам, пишет: «. . . днем и ночью с бесчисленных башенЗападной Европы звучащий бой, этот жуткий символ уходящеговремени, есть, пожалуй, самое мощное выражение того, на чтовообще способно историческое мироощущение. Ничего подобногомы не найдем в равнодушных ко времени античных странах и го-родах. Водяные и солнечные часы были изобретены в Вавилоне иЕгипте, и только Платон, опять в конце Эллады, впервые ввел вАфинах клепсидру (разновидность водяных часов. — С. Г.), и ещепозднее были заимствованы солнечные часы как несущественнаяпринадлежность повседневного обихода, причем все это не оказа-ло никакого влияния на античное мироощущение».

Характерно, что при первых шагах новой механики и матема-тического анализа время не сразу заняло место основной перемен-ной величины при описании движения (Галилей в поисках законасвободного падения начал с гипотезы о пропорциональности ско-рости пути, а не времени).

Долгое время механические часы были громоздки и несо-вершенны. Было изобретено несколько способов преобразоватьускоренное падение груза в равномерное движение стрелок, и всеже даже известные своей точностью астрономические часы ТихоБраге приходилось каждый день «подгонять» при помощи молот-ка. Не было известно ни одного механического явления, котороебы периодически повторялось через одно и то же сравнительнонебольшое время.


Маятниковые часы. Такое явление было обнаружено на заре со-здания новой механики Галилеем. Именно, Галилей обнаружил,что колебания маятника изохронны, т. е. их период, в частности,не меняется при затухании колебаний. Мы приводили выше рас-сказ Вивиани об этом открытии Галилея.

Галилей предполагал воспользоваться маятником для созда-ния часов. В письме от 5 июня 1636 г. голландскому адмиралуЛ. Реалю он писал о соединении маятника со счетчиком колеба-ний. Однако к созданию часов Галилей приступил в 1641 г., за годдо смерти. Работа не была закончена. Ее должен был продолжитьсын Галилея Винченцо, который долго медлил с возобновлени-ем работ и приступил к ним лишь в 1649 г., также незадолгодо смерти, так и не создав часов. Некоторые ученые уже поль-зовались изохронностью маятника в лабораторных эксперимен-тах, но отсюда до создания маятниковых часов — нелегкий путь.

Его преодолел в 1657 г. 27-летний Христиан Гюйгенс, к то-му времени уже известный ученый, открывший кольцо Сатурна.12 января 1657 г. он писал: «На этих днях я нашел новую кон-струкцию часов, при помощи которой время измеряется так точ-но, что появляется немалая надежда на возможность измеренияпри ее помощи долготы, даже если придется везти их по морю».Первый экземпляр маятниковых часов изготовил гаагский часов-щик Соломон Костер, а 16 июня Генеральные Штаты Голландиивыдали патент, закреплявший авторство Гюйгенса. В 1658 г. вы-шла брошюра «Horologium» с описанием изобретения.

Узнав о часах Гюйгенса, ученики Галилея предприняли энер-гичную попытку восстановить приоритет учителя. Для того что-бы правильно оценить ситуацию, важно понимать, что в XVIIвеке проблема создания точных часов воспринималась в первуюочередь в связи с возможностью их использования для измерениядолготы на борту корабля. Эту возможность понимал Галилей, ееже с самого начала выдвигал на первый план Гюйгенс (ср. при-веденное выше высказывание).

Мы уже говорили выше о проблеме измерения долготы. Уче-ники Галилея знали, что в конце жизни он вел секретные перего-воры с Генеральными Штатами, предлагая свой способ измерениядолготы. Содержание переговоров, прерванных после вмешатель-ства флорентийского инквизитора, не было достоверно известно.


Можно было предположить, что речь в них шла и об исполь-зовании маятниковых часов. Напомним, что идея этого методасостоит в том, что часы «запоминают» время в порту отплытия,а разность этого времени с местным временем на корабле пере-считывается в разность долгот. Важно было, чтобы часы долгосохраняли правильный ход в условиях морской качки. Изохрон-ность колебаний маятника должна была быть существенна какпри затухании колебаний, так и при раскачке во время морскоговолнения.

Галилей предлагал Голландии другой способ измерения дол-готы, основанный на наблюдении затмений спутников Юпитера.Хотя упоминания о маятниковых часах могли фигурировать в пе-реговорах (ср. упомянутое письмо Реалю), несомненно, конструк-ция часов или сколько-нибудь подробные сведения о них в Голлан-дию не передавались. К тому времени, когда Галилей приступилк созданию часов (1641 г.), переговоры с Генеральными ШтатамиГолландии практически прервались.

Гюйгенса не обвиняли в плагиате, хотя, быть может, и насто-раживало, что маятниковые часы созданы в Голландии сыномвлиятельного члена Государственного Совета, имевшего отноше-ние к переговорам с Галилеем. Леопольд Медичи написал письмофранцузскому астроному И.Буйо, покровительствовавшему Гюй-генсу, и поручил изготовить ходовой механизм по модели Галилея.К письму для передачи Гюйгенсу прилагался рассказ Вивиани,упоминавшийся выше, и чертеж часов Галилея. Гюйгенс, озна-комившись с чертежами, констатировал, что в них присутству-ет основная идея, но нет ее технической реализации. В 1673 г.Гюйгенс напишет: «Некоторые утверждают, что Галилей пытал-ся сделать это изобретение, но не довел дело до конца; эти лица,скорее, уменьшают славу Галилея, чем мою, так как выходит, чтоя с большим успехом, чем он, выполнил ту же задачу». При этомне лишне помнить, что Галилей занимался часами слепым и былна 50 лет старше Гюйгенса, когда последний занимался той жезадачей.

Первые часы Гюйгенса в максимальной степени использова-ли конструкцию часов, распространенную в то время (он имелв виду возможность быстро переделывать уже имевшиеся часыв маятниковые). С этого момента совершенствование часов ста-


новится одной из главных задач Гюйгенса. Последняя работа очасах была опубликована в 1693 г. за два года до его смерти.Если в первой работе Гюйгенс проявил себя прежде всего как ин-женер, сумевший реализовать в часовом механизме уже известноесвойство изохронности маятника, то постепенно на первый планвыходит Гюйгенс — физик и математик.

Впрочем, в числе его инженерных достижений были выдаю-щиеся. Макс Лауэ выдвигал на первый план в часах Гюйгенсаидею обратной связи: впервые энергия сообщалась маятнику безнарушения периода колебаний, «причем сам источник колебанийопределяет моменты времени, когда требуется доставка энергии».У Гюйгенса эту роль выполняло простое и остроумное устройствов виде якоря с косо срезанными зубцами, ритмически подталки-вающего маятник.

Еще в начале своей работы Гюйгенс обнаружил неточностьутверждения Галилея об изохронности колебаний маятника. Этимсвойством маятник обладает лишь при малых углах отклоненияот вертикали, но, скажем, для угла в 60◦ колебания заметно неизо-хронны (на это мог бы обратить внимание Галилей в опытах,описанных Вивиани). В 1673 г. Гюйгенс отмечал, что период для90◦ относится к периоду для малых дуг, как 34 к 29. Для тогочтобы скомпенсировать отклонения от изохронности, Гюйгенс ре-шил уменьшать длину маятника при увеличении угла отклонения.В первых часах Гюйгенса с этой целью использовались ограни-чители в форме щек, на которые частично наматывалась нитьподвеса. Эмпирический способ подбора формы щек не устраивалГюйгенса. В 1658 г. он вообще удалил их из конструкции, вводяограничители амплитуды. Но это не означало отказа от поисковизохронного маятника. В часах 1659 г. корректирующие пластин-ки появились вновь, но на сей раз Гюйгенс уже умел определятьформу щек теоретически: оказалось, что они должны иметь фор-му циклоиды — кривой, сыгравшей большую роль в развитии ма-тематики в XVII веке.

Этой кривой целиком посвящена следующая глава нашей кни-ги; из нее читатель сможет узнать, как именно Гюйгенс пришелк своему открытию.

Изобретению циклоидального маятника Гюйгенс придавалнаибольшее значение: «Для проведения этих доказательств по-


требовалось укрепить и, где нужно, дополнить учение великогоГалилея о падении тел. Наиболее желательным плодом, как бывеличайшей вершиной этого учения, и является открытое мноюсвойство циклоиды».

Центробежные часы и часы с коническим маятником. Циклоидаль-ный маятник — не единственное изобретение, сделанное Гюйген-сом в процессе совершенствования часов. Другое направление вего исследованиях по хронометрии связано с теорией центробеж-ных сил. Эта теория была создана Гюйгенсом, и показательно, чтовпервые она была опубликована в «Маятниковых часах». В пятойчасти этой книги без доказательства приводятся теоремы о цен-тробежной силе и описывается конструкция часов с коническиммаятником (известно, что Гюйгенс изобрел их 5 октября 1659 г.).Доказательства теорем содержатся в работе «О центробежной си-ле», написанной в 1659 г., но вышедшей в свет лишь через восемьлет после смерти Гюйгенса. О центробежной силе знал еще Ари-стотель, а Птолемей считал, что если бы Земля вращалась вокругсвоей оси, то из-за центробежной силы предметы не могли быудерживаться на ее поверхности. Кеплер и Галилей опроверга-ли эту точку зрения, объясняя, что в этом случае вес уравно-вешивает центробежную силу, фактически предполагая, что приудалении от центра вращения центробежная сила уменьшается.Однако лишь Гюйгенс получил знаменитую формулу для центро-бежной силы Fц.б. = mv2/R, к которой был очень близок Галилей.В дополнении приводится подлинный текст Гюйгенса и читательсможет увидеть, в каком (быть может, не самом экономном с сего-дняшней точки зрения) виде были впервые сообщены результаты,полученные Гюйгенсом.

Какой бы задачей Гюйгенс ни занимался, он всегда думал овозможных приложениях полученных результатов к часам. И вэтом случае он хотел воспользоваться коническим маятником.Так называется нить с грузом, вращающаяся вокруг оси, про-ходящей через точку подвеса. Пусть l — длина нити, α — уголнити с вертикалью, R— расстояние от груза до оси. Если маят-ник движется по окружности и угол α остается постоянным, тоmv2/R = mg tgα. Отсюда v =

√gr tgα. Для периода — времени


одного оборота — получаем (поскольку T = 2πR/v)

T = 2π

√R

gctgα = 2π

√l cosαg

= 2π√u

g.

Здесь u = l cosα—длина проекции нити на ось маятника. В текстеГюйгенса проводятся многочисленные обсуждения формулы дляпериода конического маятника. Движение конического маятникасравнивается с двумя движениями, которые к тому времени бы-ли основательно изучены: со свободным падением и колебаниямипростого (или математического) маятника (Гюйгенс называет егоколебания боковыми в отличие от круговых колебаний коническо-го маятника).

Итак, период определяется проекцией нити на ось. Трудностьв построении изохронного конического маятника заключается втом, что постепенно угол с осью уменьшается и период увеличи-вается. Гюйгенс рассчитал, что для того чтобы период оставалсянеизменным, надо с уменьшением угла так уменьшать длину ни-ти, чтобы ее конец постоянно находился на параболоиде враще-ния.

В самом деле, пусть имеется некоторая поверхность враще-ния (у Гюйгенса параболоид — поверхность вращения параболыpy = x2 вокруг оси y). Тяжелая материальная точка устойчивовращается по горизонтальному сечению (кругу), если равнодей-ствующая веса и центробежной силы направлена по нормали кповерхности (перпендикуляру к касательной плоскости), а пото-му здесь применима формула для конического маятника. В этомслучае α— угол нормали с осью, l— длина отрезка нормали меж-ду осью и поверхностью, u—проекция этого отрезка на ось. Здесьпереход от конического маятника к вращению тяжелой точки вкакой-то мере аналогичен переходу Галилея от математическогомаятника к движению тяжелой точки по круговому желобу. ДалееГюйгенс замечает, что у параболы py = x2 величина u (проекцияотрезка нормали на ось) не зависит от положения точки и равнаp/2. Отсюда он делает вывод, что период вращения тяжелой точ-ки по любым горизонтальным сечениям параболоида один и тотже:

T = 2π√p/2g.


Это дает новый способ полу-чения изохронных колебаний,что, по мнению Гюйгенса, бы-ло важно при построении ча-сов. Если подвесить кониче-ский маятник так, чтобы неза-висимо от угла α наклона нитик оси его конец двигался по по-верхности параболоида, полу-ченного от вращения параболыpy = x2, то период вращенияне будет зависеть от α. Други-ми словами, надо сделать так,чтобы при изменении α дли-на l изменялась, обеспечиваяпостоянство проекции и на ось.Гюйгенс придумал чрезвычай-но остроумный способ подвес-ки. Он предложил изготовить

пластинку по форме полукубической параболы y2 = ax3+b, закре-пить в некоторой ее точке конец нити и тогда, оказывается, можнотак подобрать a, b и длину нити, что как бы мы ни натянули нить,намотав часть ее на пластинку, другой ее конец будет находитьсяна параболе. Секрет этого остроумного способа подвески опирает-ся на те же математические соображения, что и способ подвескициклоидального маятника.

Заметим, что эти же вычисления помогли Гюйгенсу в 1687 г.быстро решить задачу Лейбница о кривой, по которой тяжелаяточка движется так, что пути, пройденные ею в равные проме-жутки времени, имеют равные проекции на вертикаль. Этим свой-ством обладает полукубическая парабола.Физический маятник. Одно из главных достижений Гюйгенсаотносится к теории физического маятника, т. е. речь идет ужене о колебании точечного груза, а о колебании конфигурациигрузов или тяжелой пластины. Эта задача возникла в связи сидеей иметь, кроме основного груза на конце маятника, подвиж-ный груз, позволяющий регулировать период качаний маятника.Гюйгенс почерпнул эту идею у гаагского мастера Доу, который


в 1658 г. взял патент на свой вариант маятниковых часов, малоотличающийся от часов Гюйгенса. Задачи о колебаниях физи-ческого маятника возникали и раньше. Для механики переходот движения материальной точки к движению протяженныхконфигураций был принципиальным. Первая серия таких задачотносилась к центру тяжести, и здесь важные результаты бы-ли известны. В задачах же о колебаниях физического маятникадолго не удавалось сделать ничего существенного1.

О задачах про физический маятник Гюйгенс узнал от Мер-сенна: «Когда я был еще почти мальчиком (ему не было 17 лет —С. Г.), ученейший муж Мерсенн задал мне и многим другим за-дачу — определить центр качания. Из писем, которые писал мнеМерсенн, а также из недавно опубликованных мемуаров Декар-та, заключающих ответ на письма Мерсенна по этому поводу, язаключаю, что эта задача пользовалась в это время известнойславой среди математиков. . . Мерсенн назначил большую, вы-зывающую зависть премию на тот случай, если я решу задачу.Однако он тогда ни от кого не получил того, что требовал 〈. . .〉, яв то время не нашел, что позволило бы мне приступить к расче-там и как бы повернул назад у самого порога, и воздержался отвсякого исследования. Но и те, кто надеялись, что решили зада-чу, знаменитые люди, как Декарт, Оноре Фабри и другие, вовсене достигли цели или достигли ее только в немногих, особеннопростых случаях.

Повод к новой постановке опытов дали регулируемые маятни-ки наших часов, снабженные, кроме нижнего постоянного груза,еще вторым подвижным грузиком, как сказано при описании ча-сов. Исходя из этого, я начал исследования с начала, на этот разс лучшими видами на успех и, наконец, преодолел все трудностии решил не только все задачи Мерсенна, но нашел еще и новыезадачи, более трудные, и, наконец, нашел общий метод для вычис-ления центров качания линий, площадей и тел. От этого я имелне только удовольствие, что я нашел нечто, что напрасно иска-

1Напомним, что приведенной длиной физического маятника называетсядлина математического маятника, имеющего тот же период колебаний, ацентр качания — это точка, лежащая на прямой, соединяющей точку подве-са с центром тяжести, на расстоянии от точки подвеса, равном приведеннойдлине.


ли столь многие, и понял законы природы, относящиеся к этомуслучаю, но, получил и определенную пользу, которая вообще за-ставила меня заняться этим вопросом, а именно я нашел легкийи удобный способ регулировки часов. К этому, однако, присоеди-нилось то, что я считаю еще более ценным, а именно: благодарясвоему открытию я смог дать абсолютно устойчивое определениедля постоянной, верной для всех времен меры длины».

Последняя идея, о которой пишет Гюйгенс, состояла в том, чтоподобно тому, как для измерения времени имеется естественнаяединица измерения — сутки, для измерения длины такой едини-цей предлагалось считать 1/3 длины маятника, период колебанийкоторого равен одной секунде.

Задачи о центре качания не были доступны с позиций раз-работанных к тому времени методов математического анализа.Гюйгенс заметил, что целый ряд трудностей можно преодолеть,исходя из энергетических соображений: центр тяжести при дви-жении не может подняться выше, чем он был в начале движения(иначе существовал бы вечный двигатель). Этот способ доказа-тельства вызывал возражения у ряда крупных ученых, и былозатрачено много сил, прежде чем Я. Бернулли удалось получитьаналогичные утверждения на другом пути.

Морские часы. 1673 год был вершиной деятельности Гюйгенса помаятниковым часам. В этом году вышла его книга «Маятниковыечасы», а парижский часовщик Исаак Тюре изготовил экземплярчасов с учетом всех усовершенствований. Маятниковые часыпрочно вошли в обиход, но надежды на морские маятниковыечасы не оправдались. Первые экземпляры таких часов были из-готовлены в 1661 г., а с 1663 г. начались их испытания. Вначалеграф Брюс взял с собой часы при плавании из Голландии в Лон-дон, но часы остановились; более успешными были испытаниякапитана Холмса при плавании из Лондона в Лиссабон. О дра-матических событиях, связанных с испытанием часов во времяплавания английской эскадры в Гвинее, рассказывает Гюйгенс в«Маятниковых часах». Испытания проходили с переменным успе-хом до 1687 г., хотя становилось ясно, что надежного средства дляизмерения долготы маятниковые часы не дают. Постепенно спросна морские часы упал, и в 1679 г. сам Гюйгенс склонился к тому,


что морской хронометр должен представлять собой пружинныечасы с балансиром. Такой хронометр удалось создать в 1735 г.Дж. Харрисону, который и получил премию в 20 тыс. фунтов отанглийского правительства.

Прошло 300 лет. Маятниковые часы сослужили добрую служ-бу людям, которые нечасто знают имя их создателя. Драматиче-ская история работы Гюйгенса над маятниковыми часами оченьпоучительна. В некотором смысле его главные надежды не осу-ществились: ему не удалось создать морской хронометр, а в су-хопутных часах циклоидальный маятник, который Гюйгенс счи-тал своим главным изобретением, не прижился (вполне хваталоограничителей амплитуды). Та же участь постигла коническиймаятник. Но те математические и физические результаты, по-лучение которых стимулировалось задачей о совершенствованиичасов, навсегда остались в анализе бесконечно малых, дифферен-циальной геометрии, механике, и их значение трудно переоценить.

ПриложениеПятая часть «Маятниковых часов», содержащая другую кон-струкцию часов с использование кругового движения маятни-ков и теоремы о центробежной силе. . . У меня было намерение издать описание этих часов вместе стеоремами, относящимися к круговому движению и к центробеж-ной силе, как я хочу ее назвать. Но относительно этого предмета уменя больше материала, чем времени для его изложения в насто-ящий момент. Но для того чтобы лица, интересующиеся этим во-просом, быстрее познакомились с новым, отнюдь не бесполезнымоткрытием, чтобы какая-либо случайность не помешала опубли-кованию, я, противно моему первоначальному предположению,присоединил еще и эту часть к предыдущим. В ней кратко опи-сывается конструкция новых часов и далее следуют теоремы оцентробежной силе, их доказательство откладывается на болеепозднее время.

Конструкция вторых часовЯ не счел нужным изложить здесь распределение колес внутричасового механизма; это устройство легко могут осуществитьчасовщики в различных вариантах. Будет достаточным опи-


�

�

�

�

�

�

�

�

сать ту часть часов, которая регулирует их ход определеннымобразом.

Следующий рисунок изображает эту часть часов. Ось BH сле-дует представлять себе вертикальной, способной вращаться в двухподшипниках. В A к оси приделана пластинка, имеющая опре-деленную ширину и искривленная по кривой AB, которая естьполукубическая парабола, при сматывании нити с которой и при-бавлении некоторой длины описывается парабола EF , как до-казано в теореме VIII третьей части. AE — длина, на которуюнадо удлинить нить; путем сматывания всей линии BAE и обра-зуется парабола EF . BCF — нить, закрепленная на кривой AB,конец которой описывает параболу. К нити прикреплен груз F .Если ось DH вращается, тогда нить BCF , вытянутая в прямую,повлечет за собой груз F , который будет описывать горизонталь-ные круги. Эти круги будут больше или меньше в зависимостиот большей или меньшей силы, с которой действуют на ось коле-са, вращающие барабан K. Но все эти круги будут лежать напараболическом коноиде, и именно потому продолжительностьодного оборота будет всегда одна и та же, как вытекает из то-го, что я объясню об этом движении впоследствии. Если оборотдолжен совершаться в полсекунды, то параметр параболы EF


должен составлять 412

дюйма моего часового фута, т. е. он долженбыть равен половине длины маятника, у которого каждое коле-бание длится 1/2 секунды. Из параметра параболы определяетсяпараметр полукубической параболы; он равен 27/16 первого пара-метра; определяется также отрезок AE, который равен половинедлины параметра параболы EF . Если же оборот должен совер-шаться в секунду, то надо все длины брать в четыре раза больше,как параметры, так и длину AE.

Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением1

I

Если два одинаковых тела в одинаковое время описывают неоди-наковые окружности, то их центробежные силы относятся, какдлины окружностей или как диаметры.

II

Если два одинаковых тела движутся с одинаковой скоростью поокружности разных кругов, то их центробежные силы обратнопропорциональны диаметрам.

III

Если два одинаковых тела движутся по одинаковым кругам сразной скоростью, но оба равномерно, как мы это здесь всегдаподразумеваем, то их центробежные силы относятся, как квадра-ты скоростей.

IV

Если два одинаковых тела движутся по разным окружностям иобнаруживают одинаковую центробежную силу, то их времена об-ращения относятся, как корни квадратные из диаметров.

1Примечания к тексту даны в квадратных скобках. В примечаниях исполь-зуются обозначения: m — масса тела, F — центробежная сила, T — период, R —расстояние до центра, v — скорость.


V

Если тело движется по окружности круга с той скоростью, ко-торую бы оно приобрело, свободно падая с высоты 1/4 диаметракруга, то испытываемая им центробежная сила равна весу, т. е.оно тянет за нить, при помощи которой оно прикреплено к цен-тру, с той же силой, как если бы было подвешено к нити.

[Если высота H = R/2, то для конечной скорости при свобод-ном падении имеем v =

√2gH =

√Rg, а для указанной центро-

бежной силы имеем F = mv2/R = mRg/R = mg.]

VI

Если тело пробегает различные горизонтальные окружности, ко-торые все лежат на кривой поверхности параболического конои-да (параболоида) с вертикальной осью, то время оборотов всегдаодно и то же, будут ли круги больше или меньше, и это время об-ращения вдвое больше продолжительности колебания маятника,длина которого равна половине параметра образующей параболы.

ТАЙНЫ ЦИКЛОИДЫ

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой иокружности нет более часто встречающейся линии; она такчасто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удив-ляться тому, как не рассмотрели ее древние 〈. . .〉, ибо это нечто иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, ко-гда оно катится своим движением с того момента, как гвоздьначал подниматься от земли, до того, когда непрерывное ка-чение колеса не приводит его опять к земле после окончанияцелого оборота. Паскаль

1. Циклоида и изохронный маятник

Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого»,первыми заметили Галилей в Италии и Мерсенн (1588 – 1648) воФранции. В Италии ее назвали циклоидой (это название, означа-ющее «происходящая от круга», принадлежит Галилею), во Фран-ции — рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперьназывают кривые более широкого класса, речь о которых пой-дет позднее. Математики XVII века, создававшие общие методыисследования кривых, были очень заинтересованы в новых «под-опытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особоеместо. Она оказалась одной из первых трансцендентных кри-вых (кривых не алгебраического происхождения), для которыхудалось найти красивый явный ответ в задачах о построении каса-тельных и вычислении площади. Но больше всего поражало, чтоциклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разныхзадач, в первоначальной постановке которых она не участвовала.Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века:крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиани(1622 – 1703), Ферма (1601 – 1665), Декарт (1596 – 1650), Робер-

119

Documents

О ХРИСТИАНЕ ГЮЙГЕНСЕ И ЧАСАХ С МАЯТНИКОМizd.pskgu.ru/ebooks/gindikinpdf/g02a.pdf · 2013-11-25 · Гюйгенс, озна-комившись с