索馬立方體之相關研究 - 中學生網站–自¼‰ PDF created with pdfFactory trial version 索馬立方體之相關研究 10 而索馬立方體能佔的角落數目如下表

索馬立方體之相關研究

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篇名：


作者：

林晏如。國立大里高中。高一七班

指導老師：

黃惟魯老師

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壹●前言

一、研究動機

在搬家中發現了一張關於索馬立方體的簡介，起初不太在意，但後來仔細看了之

後發現他們的背後似乎躲藏著些秘密，期待這次的研究中能夠發掘索馬立方體中

隱藏的寶藏。

二、研究目的

1、索馬立方體之發明

2、索馬立方體中七個基礎立方體之研究

3、索馬立方體中著名的結構

4、索馬立方體擺放位置分析

5、魔術方塊與索馬立方體之比較

三、研究方法

藉由上網、查閱書籍及實際動手操作中進行探索。

四、引言

在立方體相關的遊戲中，較為著名的是魔術方塊與索馬立方體，魔術方塊在台灣

風行已久，是大眾休閒時選擇之一，索馬立方體，又稱索馬立方塊、索瑪立方塊，

主要使用於學校的科學競賽中，為測試學生素質的工具，同樣是立方體之相關遊

戲，卻在不同的層面受到歡迎。本文將針對索馬立方體的起源、七個基礎立方體、

著名的結構及擺放位置做出研究及分析魔術方塊與索馬立方體之不同。

貳●正文

一、索馬立方體之發明

1、發明者─皮亞特‧海恩

皮亞特‧海恩(Piet Hein, 1905-1996)是著名的科學家、數學家、發明家、詩人和作

家。皮亞特‧海恩是個超級天才，除了發明索馬立方體，他還想出了一個新的幾

何形體─超橢圓。『他在數學及科學上的貢獻可與波爾(Niel Bohr)與愛因斯坦

(Albert Einstein)並駕其驅。』（註一）他除了曾和愛因斯坦共事多年，也曾是哥本





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哈根的波爾研究所的一員。

圖一、皮亞特‧海恩 Piet Hein

（圖片資料來源：Piet Hein's hjemmeside.Retrieved October 24,2009,

from http://www.piethein.com/usr/piethein/HomepagUK.nsf）

2、發明時概況

1936年，『海恩是在一場物理學家海森堡(Werner Heisenberg,1901-1976)的演講中，

得到索馬立方體的靈感的』（註二）。當時這位德國物理學家正在演講如何把空間

切割成立方體。皮亞特‧海恩敏銳的想像捕捉到下面的幾何原理：將四個以內，

大小相同的立方體，以面相連接，構成的所有不規則形狀，可以重組成一個較大

的立方體。在海森伯格演講中，海恩已經很快地在紙上塗塗畫畫，確定這總體積

為 27個單位的七片形狀可以組成一個 3×3×3的立方體。演講結束後，他把 27個

立方體黏成這七個形狀，證實他的想法。索馬立方體就此誕生。

二、索馬立方體中七個基礎立方體之研究

1、與七巧板之關聯

七巧板是中國一種已經流傳好幾千年的拼圖遊戲，他是由七塊方形薄板組成的二

維空間，玩法是用其中的七塊板子拼成其他種不同的圖形。而Martin Gardner曾

說『其中最成功的，我認為是丹麥作家海恩（Piet Hein）創造的「索馬」立方體。』

（註三）

2、七個基礎立方體

A、七個索馬立方體


http://www.piethein.com/usr/piethein/HomepagUK.nsf




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圖二、七個索馬立方體

（圖片資料來源：九章數學出版社。索瑪立方塊(Soma Cube)。2009年 10月 24

日取自 http://www.chiuchang.com.tw/toy/somacube.html）

B、七個索馬立方體的描述

一號相關描述：L形，索馬立方體中唯一由三個小正方體組成者。如下圖：

圖三：一號索馬立方體

二號相關描述：T形，加一個小立方體在一排立方體（三個）的中間。如下圖：

圖四：二號索馬立方體

三號相關描述：L形，加一個小立方體在一排立方體（三個）的一側。如下圖：

圖五：三號索馬立方體

四號相關描述：S形，由四塊小正方體組成。如下圖：

圖六、四號索馬立方體


http://www.chiuchang.com.tw/toy/somacube.html




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五號相關描述：由四個小正方體組成，是六號鏡射投影的結果。如下圖：

圖七、五號索馬立方體

六號相關描述：由四個小正方體組成，是五號鏡射投影（如下圖九）的結果。如

下圖八：

圖八、六號索馬立方體

七號相關描述：樹枝形，由四個小正立方體組成，無法由鏡射得到另一個立方體。

如下圖：

圖九、七號索馬立方體

C、相關特性

二號到七號皆是一號再加一塊小正立方體，如下圖（黑色部分代表增加的部分）：

圖十、特性示意圖

五號與六號索馬立方體分別互成鏡射關係，如下圖：





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圖十一、五號與六號索馬立方體互成射關係

D、辨別方法

五號與六號索馬立方體互成射關係，，所以左右兩邊對稱，豎起大拇指左手是五

號，右手是六號，如下圖十一。三號和四號外形則十分像阿拉伯數字的 3、4。

而一號與二號雖然都是 L字形，但一號只有三個小正立方體，二號則有四個。七

號是樹枝形，不管怎麼轉都是對稱的。

圖十二、五號六號相對應關係示意圖

（圖片資料來源：九章數學出版社。索瑪立方塊(Soma Cube)。2009年 11月 1日

取自 http://www.chiuchang.com.tw/toy/somacube.html）

3、索馬立方體相關編號及分類法

A、國際編號

a、一套索馬立方體時

圖十三、七個索馬立方體

（圖片資料來源：Piet Hein's hjemmeside.Retrieved November1,2009,


b、兩套索馬立方體時







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第一套索馬立方體照舊，第二套則改用 V、L、T、Z、A、B、P作為編號

圖十四、七個索馬立方體

（圖片資料來源：九章數學出版社。索瑪立方塊(Soma Cube)。2009年 11月 1

日取自 http://www.chiuchang.com.tw/toy/somacube.html）

B、彩色索馬立方塊

依 Conway的建議而製成的彩色索馬立方體，如下圖五

圖十五、依 Conway建議而成的彩色索馬立方體

C、黑白索馬立方體

將索馬立方體漆成黑白二色以便做數學證明，如下圖：

圖十六、黑白索馬立方體

D、索馬立方體解答記號（國際通用）

a、文字說明

以圖形正投影的結果作為基底，從最高到最低分別填入索馬立方體中七個組件的






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編號。若圖形是由兩套索馬立方塊構成，第一套照舊，第二套用 V,L,T,Z,A,B,P

作為編號。空白的地方用．（黑點）表示，若在不會混淆的狀況下可以省略。

b、圖例

圖十七、索馬立方體解答例圖

（圖片資料來源：國立高雄應用科技大學-機械工程系。正立方體的切割。2009

年 11月 2日取自 http://www2.kuas.edu.tw/prof/cjh/2003puzzle/student/34.htm）

解答方式如下

『677 /667 /2A4 /BAA /BBT /PPT

6．7 / 5．4 /2． 4 / B．A /Z．L /P．L

．5． /554 /211 / 231 / ZVV / ZVL』（註四）

三、索馬立方體中著名的結構

1、索馬立方體中最著名不可能組合而成的結構

圖十八、索馬立方體中最著名不可能組合而成的結構

（圖片資料來源：取自 Piet Hein's hjemmeside.Retrieved.November, 3,2009,


在此，我們採用數學家戈隆布（Solomon W.Golomb）的作法：像西洋棋盤般那樣

為它著色（如下圖九），總共會有 19個黑色立方體及 8個白色立方體，而將七個

索馬立方體著色後黑白統計為黑色 18個，白色 9個（如下表二），由於黑白方塊

數量不同，所以無法組成。


http://www2.kuas.edu.tw/prof/cjh/2003puzzle/student/34.htm





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圖十九、著色示意圖

（圖片資料來源：擷取自 Piet Hein's hjemmeside.Retrieved.November, 3,2009,


表一、索馬立方體黑白著色後黑白所佔的數量

索馬編號最多佔用黑色方塊數最少佔用白色方塊數

1 2 1

2 3 1

3 3 1

4 2 2

5 3 1

6 3 1

7 2 2

總計 18 9

四、索馬立方體擺放位置分析

A、嘗試錯誤

方法之一是嘗試錯誤，從這之中會發現有個訣竅：『先擺平那些奇怪的組件（像

是編號 5、6、7三塊）。因為他們確定之後，其他幾塊會好擺很多。』（註五）

B、用黑白索馬立方體分析

另一個方法是用黑白索馬立方體分析，但這相對的十分耗時，且再些基本組件的

分面未必會比嘗試錯誤快。在這裡已 3×3×3的正方體為例：

3×3×3的正方體的組成『根據數學家蓋伊的說法至少有 230種不同的方法』（註

六），將 3×3×3的正方體八個頂點部分的小正方體塗成黑色，如下圖

圖二十、示意圖









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而索馬立方體能佔的角落數目如下表

表二、各索馬立方體能佔的角落數目統計表

索馬立方體一號二號三號四號五號六號七號

可以站的角數 0、1 0、1或 2 0、2 0、1 0、1 0、1 0、1

但在這之中若三號佔 0個角，其他就算全部都佔最多能佔的角（二號佔二個角、

其他各佔一個角落），總共也才 7個角，無法拼出個有八個角的大正立方體。過

以三號一定佔 2個角落，所以一定要放在邊緣的角上，如下圖

圖二十一、三號擺放位置示意圖



再將 3×3×3的正方體塗成黑白相間，形成 14個黑色，13個白色，如下圖

圖二十二、黑白相間示意圖



依上面的想法，三號必佔三黑一白，而各索馬立方體可佔黑白數如下表

表三、各索馬立方體可佔黑白數

1號 2號 3號 4號 5號 6號 7號總計

黑 2或 1 2 3 2 2 2 3或 1 14

白 1或 2 2 1 2 2 2 1或 3 13

由表中可知二號、四號、五號、六號接佔二黑二白，將 2號、3號、4號、5號、

6號共佔 11黑 9白，扣去原本的 14黑 13白，1號與七號共佔 3黑 4白，所以一







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號必須佔 2黑 1白、七號必須佔 1黑 3白。而統計的結果如下圖

圖二十三、索馬立方體所佔位置圖

（圖片資料來源：國立高雄應用科技大學-機械工程系。正立方體的切割。2009


五、魔術方塊與索馬立方體之比較

如下表四：

表四、魔術方塊與索馬立方體之比較

特性魔術方塊索馬立方體

取得（不含網路）較多，便利商店中也可

取得

較少

攜帶一個整體，易攜帶分七個部分，不易攜帶

使用一雙手即可須平面放置

知名度、風行度高低

分布年齡層（國內）主要在青少年族群社會各年齡成中的

少數人

参●結論

索馬立方體是種有趣的立體遊戲，在玩遊戲的過程中，可以順便訓練空間的概

念，它可以只純粹的一一嘗試錯誤，也可以用理論來找出方法，但不管是哪一種，

對大腦都是種很好的空間訓練。它與其他遊戲的比較是比七巧板多了些變化（因

為從二維空間變成了三維空間），而與魔術方塊皆是三維空間的遊戲，若索馬立

方體再做些改良（如在小正方體中加磁鐵）以方便攜帶，索馬立方體一定會更廣

為人知，甚至比魔術方塊更加風行。

肆●引註資料






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註一、九章數學出版社。索瑪立方塊(Soma Cube)。2009年 10月 24日取自


註二、葉偉文（譯）（2003）。迷宮、黃金比、索馬立方體。臺北縣：天下遠見出

版股份有限公司。

註三、同註二。

註四、國立高雄應用科技大學-機械工程系。正立方體的切割。2009


註五、同註二。

註六、同註二。






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