-
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА
ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭМГ
Кузнецов С.Ю.1,2, Попов Д.В.1, Боровик А.С.1, Виноградова
О.Л.1
1 ГНЦ РФ – Институт медико-биологических проблем РАН, Москва,
Россия2 Московский физико-технический институт (ГУ), Москва,
Россия
Введение
Поверхностная ЭМГ широко используется в медицине и спортивной
физиологии
для оценки функционального состояния мышечного аппарата. Следует
отметить, что,
вообще говоря, даже при постоянной нагрузке динамика
изменения
электромиографической активности сокращающейся мышцы является
нестационарным
процессом – его статистические свойства изменяются во времени.
Изменения
спектральных характеристик ЭМГ можно разделить на быстрые
(например, изменения в
течение одного цикла движения) и медленные, возникающие, в
частности, по мере
развития мышечного утомления. Причиной первых являются такие
факторы, как
изменение усилия в цикле движения [22,23], изменение длины
мышечных волокон
вследствие сокращения [24,35], смещение электродов при
сокращении вследствие
изменения геометрии мышцы [26] и изменение проводимости
окружающих мышечные
волокна тканей во время сокращения [25]. Причиной медленных
изменений спектральных
характеристик ЭМГ, и при циклических сокращениях, и при
статической мышечной
работе, служит накопление метаболитов, приводящее к уменьшению
скорости проведения
импульсов по мышечным волокнам [27,28].
Нестационарный характер сигнала ЭМГ делает малоэффективным
использование
спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье,
поскольку такой метод
анализа не позволяет получить информацию об изменении
спектральных характеристик
сигнала во времени. В 80 гг. прошлого столетия была разработана
разновидность
спектрального анализа – вейвлет-анализ на основе
вейвлет-преобразования, в котором, в
отличие от оконного преобразования Фурье, вместо гармонических
функций
используются функции особого рода, называемые вейвлетами
(дословный перевод wavelet
– маленькая волна). Бесконечная осциллирующая базисная функция в
преобразовании
Фурье ограничивает возможность традиционного спектрального
анализа с точки зрения
временной локализации спектральных характеристик. Вейвлеты,
напротив, хорошо
-
локализованы в времени, однако ценой этого является некоторое
ухудшение разрешения в
частотной области. Благодаря достаточно наглядной физической
интерпретации
результатов анализа, вейвлет-преобразование быстро стало
популярным и эффективным
средством анализа нестационарных сигналов и изображений в
акустике, сейсмике,
медицине и других областях [31].
Для того чтобы получить спектральную информацию с помощью
преобразования
Фурье (ПФ), строго говоря, необходимо учитывать значения сигнала
и в прошлом, и в
будущем, при этом не учитывается возможность изменения его
частотных характеристик
со временем. Бесконечная осциллирующая базисная функция
ограничивает возможность
метода в плане локализации информации. Оконное преобразование
Фурье (ОПФ)
позволяет лишь частично обойти эту трудность. Функции,
образующие базис вейвлет-
преобразования, напротив, являются хорошо локализованными
функциями, быстро
стремящимися к нулю вне короткого интервала. Это позволяет
проводить
локализованный спектральный анализ. Вейвлет-преобразование, в
отличие от ОПФ,
обладает изменяемым временным окном, узким на малых временных
масштабах и
широким на больших. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала
заключается в его
разложении по базису, образованному с помощью вейвлета
посредством преобразований
масштаба и сдвигов, таким образом каждая базовая функция
характеризуется масштабом
и локализацией [38].
В отличие от спектрального анализа вейвлет-преобразование дает
двумерную
развертку анализируемого сигнала, при этом временная координата
и частота являются
независимыми переменными. Такое представление позволяет
исследовать свойства
сигнала одновременно во временном и частотном пространствах.
Вэйвлет-анализ является
отличным инструментом для исследования коротких высокочастотных
сигналов или
сигналов с изменяющимися во времени частотными характеристиками,
так как его
базисные функции имеют хорошую временную локализацию и обладают
изменяемым
частотно-временным окном. Вэйвлет-анализ часто называют
«математическим
микроскопом» из-за способности метода сохранять высокое
разрешение на различных
исследуемых масштабах.
Не следует считать, что вейвлет-анализ является заменой
классическому
спектральному анализу. Они дополняют друг друга и могут
эффективно использоваться
совместно. Преобразование Фурье дает полную информацию о
спектральных
-
характеристиках сигнала в исследуемой частотной области, а с
помощью вейвлет-анализа
можно исследовать изменения этих характеристик во времени.
Основы вейвлет-анализа
Каждый вейвлет ψ , независимо от того, ортогональный он или нет,
позволяет
любую функцию ( )2∈f L R представить в виде ряда ( ) ( )ab abf t
c tψ= ∑ , коэффициенты которого определяются интегральным
вейвлет-преобразованием f относительно *ψ .
Функции ( )f t пространства ( )2L R определены на всей
действительной оси ( ),−∞ ∞R и
обладают конечной энергией (нормой) ( ) 2∞
−∞
= < ∞∫fE f t dt . Базис функционального
пространства ( )2L R можно создать путем непрерывных
преобразований масштаба и
переносов вейвлета ( )tψ с произвольными значениями базисных
параметров – масштабного коэффициента a и параметра сдвига b (рис.
1):
( ) 1/2ψ ψ− − = abt bt a
a , ∈a b R ( )2ψ ∈ L R
Интегральное вэйвлет-преобразование записывается следующим
образом:
( ) ( ) ( ) ( )1/2 * *, abt bW a b a f t dt f t t dt
aψ ψ
∞ ∞−
−∞ −∞
− = = ∫ ∫
Рис 1 Вейвлеты при различных масштабных коэффициентах и
параметрах сдвига
-
Свойства вейвлетов
1) Локализация
Вейвлет-преобразование в отличие от преобразования Фурье
использует
локализованную базисную функцию, причем вейвлет должен быть
локализован и во
временном пространстве, и по частоте.
2) Нулевое среднее
( ) 0ψ∞
−∞
=∫ t dt ; если, кроме того, ( ) 0ψ∞
−∞
=∫ mt t dt , такой вейвлет называется вейвлетом
m-го порядка. Вейвлеты, обладающие большим числом нулевых
моментов, позволяют
анализировать мелкомасштабные флуктуации и особенности высокого
порядка,
игнорируя более регулярные составляющие сигнала.
3) Ограниченность
( ) 2ψ < ∞∫ t dt
4) Автомодельность базиса
Все вейвлеты семейства ( )ψ ab t имеют то же число осцилляций,
что и базисный
вейвлет ( )ψ t , поскольку получены из него посредством
масштабных преобразований и сдвигов. Благодаря этой особенности
вейвлет-преобразование успешно применяется
для анализа фрактальных сигналов.
-
Для вейвлет-преобразования существует аналог теоремы
Парсеваля:
( ) ( ) ( ) ( )* 1 *1 2 1 2 2, ,dadbf t f t dt C W a b W a b
aψ−=∫ ∫∫
С помощью этого равенства можно записать полную энергию
произвольного сигнала f :
( ) ( )2 1 2 2,fdadbE f t dt C W a b
aψ−= =∫ ∫∫
Одной из основных особенностей вейвлет-преобразования является
возможность
получать локализованные характеристики и, тем самым, исследовать
«локальные
энергетические спектры» исследуемого процесса. Используя
плотность энергии
( ) ( )2, ,WE a b W a b= можно с помощью окна определить
локальную плотность энергии в
точке 0t :
( ) ( ) 00, ,Wb tE a t E a b db
aξξ − = ∫ при этом ξ удовлетворяет равенству ( ) 1b dbξ =∫
Это позволяет анализировать временную динамику перераспределения
энергии процесса
по масштабам, т.е. обмен энергией между составляющими разного
масштаба в любой
заданный момент времени. Полная энергия распределена по
масштабам в соответствии с
глобальным спектром энергии коэффициентов
вейвлет-преобразования
( ) ( ) ( )2 , ,W WE a W a b db E a b db= =∫ ∫
Так как энергия сигнала определяется через спектр энергии как (
)1 2f WdaE C E aaψ
−= ∫∫ , то
величина fE пропорциональна площади под кривой ( )2
WE aa
, а Ew(a) отражает
распределение энергии процесса по масштабам [Error: Reference
source not found].
Существует множество семейств вэйвлетов: Хаара, Гаусса, Морле,
Добеши и др.
(рис.2)
-
Рис 2 Примеры вейвлетов. Сверху вниз: вейвлет Хаара,
«Мексиканская шляпа», вейвлет Морле и семейство
вейвлетов Гаусса
-
Существует непрерывный (CWT) и дискретный (DWT) вейвлет-анализ.
При
дискретном вэйвлет-преобразовании используется ограниченный
набор коэффициентов
масштаба и сдвига (по степеням двойки). Таким образом
достигается приемлемая
точность извлекаемой из анализируемого сигнала спектральной
информации при
колоссальном снижении времени счета. Непрерывное
вэйвлет-преобразование
предполагает использование большого количества масштабов и
непрерывное изменение
параметра сдвига, тем самым позволяя более полно
представитьсодержащуюся в сигнале
информацию. Естественный недостаток такого подхода – большое
время счета и
значительный объем выходных данных. Следует отметить, что в
настоящее время
существует много специализированных программных продуктов,
позволяющих проводить
вейвлет-анализ. К ним относятся Matlab, MathCad, Mathematica,
LabView и др.
Как уже упоминалось выше, вейвлет-преобразование не дает
частотно-временного
представления сигнала. Вместо этого используется пространство
время-масштаб. Это
является скорее преимуществом метода, чем его недостатком, так
как многие явления
удобнее рассматривать именно в таком представлении. В то же
время, если возникает
необходимость в более привычном, частотном представлении,
значения масштабных
коэффициентов можно перевести в квазичастоты (Fb):
*ca
F dtFa
=
где aF - значение квазичастоты в Гц, соответствующей масштабу a,
dt – величина,
обратная частоте дискретизации, cF - центральная частота
вейвлета (рис.3)
Рис 3 Определение центральной частоты вейвлета
Вейвлет-преобразование анализируемого сигнала проводится
следующим образом:
для выбранного значения масштабного параметра a производится
свертка сигнала с
вейвлетом для всего диапазона значений сдвига. Таким образом,
вейвлет с заданным
значением а как бы «пробегает» по всему исследуемому сигналу, в
результате на выходе
12c
Fτ
=
-
получается массив вейвлет-коэффициентов, длина которого равна
количеству отсчетов
исходного сигнала. Далее выбирается следующий масштабный
коэффициент и процедура
повторяется (рис.4). Полученные в результате преобразования
вейвлет-коэффициенты
отражают степень похожести анализируемого сигнала на вейвлет в
конкретный момент
времени, то есть при определенном значении b.
При использовании вейвлет-преобразования необходимо принимать во
внимание
наличие краевых эффектов, связанных с «обрезанием» вейвлета при
свертке его с
исходным сигналом в начальной и конечной областях. Размер этих
участков примерно
равен полуширине используемого вейвлета. Таким образом, при
анализе длинных
числовых последовательностей не следует разделять их на большое
количество
небольших отрезков, а затем производить сшивку. Хотя такой прием
и сокращает время
счета, его использование приведет к искажению результатов
анализа.
Полученную последовательность вейвлет-коэффициентов для
выбранного
значения параметра масштаба трудно интерпретировать, так как она
является
осциллирующей функцией. Для анализа этих колебаний хорошо
подходит метод
представления числовой последовательности в форме аналитического
сигнала [41]
* ( )( ) ( ) ( ) ( ) ei thС t C t iC t A tϕ= + =
где *С - аналитический сигнал, C - исходный сигнал, hC -
преобразование Гильберта
исходного сигнала [Error: Reference source not found], 2 2( ) (
) ( )hA t C t C t= + - амплитуда
аналитического сигнала, ( )( ) arctan ( ) / ( )ϕ = ht C t C t -
фаза аналитического сигнала.
Представление данных в форме аналитического сигнала позволяет
разделить
амплитудную и фазовую составляющие исследуемого сигнала. Кроме
того, такое
представление результатов вейвлет-преобразования облегчает их
интерпретацию,
поскольку амплитуда A(t) является огибающей осциллирующих
вейвлет-коэффициентов.
Рис 4 Вейвлет-преобразование произвольного сигнала
-
Для исследования изменений распределения мощности сигнала по
различным
частотам и для сравнения со спектром мощности, полученным с
помощью преобразования
Фурье удобно использовать плотность энергии ( ) ( )2, ,WE a b W
a b= . Прямое
Рис. 5. Сравнение спектра мощности ЭМГ m. vastus lateralis
(испытуемый К.), полученного с помощью преобразования Фурье (синяя
кривая), и «энергетического» спектра Ew(a) (красная кривая). ЭМГ
регистрировалась во время 20-секундного разгибания ноги в коленном
суставе в статическом режиме (30% максимальной произвольной силы)
на универсальном динамометре Biodex (США).
Вейвлет-анализ ЭМГ при циклической мышечной работе
Измерения во время циклических разгибаний ноги в коленном
суставе в тесте с
непрерывно возрастающей нагрузкой до отказа от продолжения
работы. Перед
проведением экспериментов со всеми испытуемыми проводилось
ознакомительное
занятие, во время которого проходило практическое ознакомление с
процедурами
тестирования и обучение выполнению теста. В эксперименте
участвовали 8 испытуемых
(18-27 лет, 72±6 кг) различного уровня физической
подготовленности. Тестирование
проводилось на модифицированном электромагнитном велоэргометре
Ergometric 900 S
(Ergoline, Германия). Движение в коленном суставе ограничивалось
диапазоном углов
80 - 160º. Тестирование начиналось с периода покоя длительностью
1 мин, повышение
мощности нагрузки начиналось с 0 Вт со скоростью 5 Вт/мин,
испытуемые выполняли 60
движений в минуту, ритм задавался звуковым сигналом с
компьютера. Работа
-
продолжалась до отказа, критерием отказа служило снижение
частоты движений в
полтора раза. Во время выполнения теста непрерывно
регистрировались:
- ЭМГ-активность m. vastus lateralis (миограф CP511,
Grass,США)
Для регистрации ЭМГ использовались стандартные хлорсеребряные
электроды. Сигнал
усиливался в 2000 раз и проходил через полосовой фильтр 3-500
Гц. Кожу в месте
крепления электродов (срединная часть m. vastus lateralis)
предварительно брили,
зачищали наждачной бумагой и обрабатывали спиртом. Электродные
кабели
фиксировались на теле с помощью пластыря и эластичного
бинта;
- угол в коленном суставе (гониометр SG150, Biometrics,США)
Гониометр фиксировали с помощью пластыря и эластичного бинта на
латеральной
поверхности бедра (на дистальном конце) и голени (на
проксимальном конце);
- мощность нагрузки (модифицированный велоэргометр Ergometric
900 S, Ergoline,
Германия)
Рис 7 Нативные экспериментальные данные, зарегистрированные во
время выполнения теста с линейно
возрастающей нагрузкой. Сверху вниз: мощность нагрузки, ,
ЭМГ-активность m. vastus lateralis, угол в
коленном суставе. Справа представлен фрагмент графиков в
увеличенном масштабе.
Аналоговые сигналы со всех приборов оцифровывались с частотой
1000 Гц с
использованием АЦП фирмы L-Card (Россия) и записывались на
жесткий диск с помощью
программы PowerGraph (Интер-Оптика, Россия). Обработка
экспериментальных данных
проводилась с помощью специально разработанной программы,
работающей в среде
программирования Matlab.
-
Обработка ЭМГ проводилась с использованием непрерывного
вейвлет-анализа. С
его помощью были исследованы изменения спектральных
характеристик ЭМГ как во
время одного цикла сгибания-разгибания ноги в коленном суставе,
так и в течение всего
теста. Синхронизация ЭМГ-активности с движением производилась по
значению угла в
коленном суставе. В качестве анализирующего вейвлета была
выбрана производная
функции Гаусса 2
( )xa
pF x C e−
= :
( )pp p
d F xdx
ψ = (p>10)
Высокий порядок производной выбран для повышения частотного
разрешения.
Вейвлет-коэффициенты были получены для 100 временных масштабов,
соответствующих
частотам в диапазоне 5-350 Гц, равномерно распределенным в
логарифмической шкале.
Такой выбор масштабов позволил при относительно небольшом их
числе тщательно
исследовать спектр ЭМГ. Таким образом, для каждого испытуемого
был получен
содержащий вейвлет-коэффициенты двумерный массив данных 100∙N,
где N – число
отсчетов исходного сигнала ЭМГ. Далее в расчетах использовалась
амплитуда
аналитического сигнала ( )A t , полученного по массиву
вейвлет-коэффициентов:
* ( )( ) i thilbertC C iC A t eϕ= + = .
При представлении результатов теста изменения ЭМГ-активности m.
vastus
lateralis в одном цикле движения приводятся в виде зависимости
от величины угла в
коленном суставе. Разметка циклов движения и синхронизация ЭМГ в
различных циклах
проводилась с использованием сигнала с датчика угла
(гониометра), укрепленного в
районе коленного сустава испытуемого.
Медленные изменения частотно-временных характеристик
ЭМГ-активности m.
vastus lateralis, связанные с утомлением мышцы при высоких
нагрузках, представлены в
виде разности Rij нормированных матриц вейвлет-коэффициентов,
отвечающих началу и
концу теста:
)max()max( Bij
Bij
Eij
Eij
ij MM
MM
R −= ,
где MB и MЕ усредненные матрицы вейвлет-коэффициентов ЭМГ в
начале и в конце теста,
соответственно. Нормировка на максимальное значение необходима
из-за значительного
-
увеличения интегральной интенсивности ЭМГ в конце теста, поэтому
рассчитанная
таким образом разностная матрица Rij отражает лишь связанное с
развитием мышечного
утомления перераспределение интенсивностей колебаний различной
частоты внутри
одного цикла движения.
На рис.8 представлены усредненные матрицы, содержащие
амплитудную
составляющую коэффициентов вейвлет-преобразования ЭМГ для одного
цикла движения
в начале, середине и конце теста на разгибание ноги в коленном
суставе с возрастающей
нагрузкой. По оси абсцисс отложен угол в коленном суставе, по
оси ординат – частота.
Величина амплитуды вейвлет-коэффициентов показана цветом:
красный цвет
соответствует высоким значениям, синий – низким. Таким образом,
синяя область на
рисунке соответствует низкой ЭМГ-активности при отсутствии
мышечного усилия.
Хорошо видно изменение интенсивности, соответствующее вспышке
ЭМГ при развитии
усилия. На рис. 9А приведена зависимость от времени площади
мгновенного спектра
ЭМГ внутри одного цикла движения, на рис. 9Б – зависимость от
времени его медианной
частоты. Медианная частота рассчитывалась в диапазоне углов в
коленном суставе 80-
160º, при других углах ЭМГ-активности нет, поэтому медианная
частота не вычислялась.
Кривые, соответствующие началу, середине и концу теста показаны
различными цветами.
Видно, что максимальные значения медианной частоты сосредоточены
в частотном
диапазоне 50-80 Гц. Следует отметить , чтопри исследуемом
движении – разгибании ноги
– интенсивность ЭМГ m. vastus lateralis (площадь под
спектральной кривой) заметно
изменяется в течении одного цикла, при этом также изменяется и
медианная частота
вейвлет-спектра.
-
Б
А
-
Рис 8 Представления усредненных матриц, содержащих амплитудную
составляющую коэффициентов
вейвлет-преобразования ЭМГ в одном цикле разгибания ноги: А – в
начале, Б – в середине, В – в конце
теста с возрастающей нагрузкой. В. Справа приведена шкала,
отображающая соответствие между величиной
элементов матрицы и их цветовым представлением на графике.
Участок 80 ÷ 160º соответствует фазе
активного разгибания, участок 160 ÷ 80º – свободному сгибанию
ноги без внешнего сопротивления.
В
-
Рис 9 Зависимость от времени площади мгновенного спектра ЭМГ (А)
и его медианной частоты (Б) в течение одного цикла разгибания ноги.
Синий цвет соответствует началу, красный – середине, зеленый –
концу теста с возрастающей нагрузкой.
А
Б*
-
На рис. 10 представлена разность нормированных на максимум
интенсивности матриц,
соответствующих концу и началу теста с разгибанием ноги при
возрастающей нагрузке до
отказа. Видно, что, по мере увеличения мощности происходит
перераспределение
интенсивности ЭМГ в сторону высоких частот, которое можно
объяснить
рекрутированием высокопороговых ДЕ. В то же время интенсивность
низких частот
заметно снижается – хорошо видна низкочастотная область 10-15
Гц.
Рис 10 Разность усредненных матриц, содержащих амплитудную
составляющую коэффициентов вейвлет-
преобразования ЭМГ в одном цикле движения в конце и начале
теста. Перед вычитанием матрицы были
нормированы на максимум интенсивности.
Таким образом, вейвлет анализ ЭМГ, зарегистрированных при
циклических
мышечных сокращениях во время тестов с линейно возрастающей
нагрузкой до отказа,
позволил выявить тонкую структуру частотно-временных
характеристик этого сигнала в
-
течение одного цикла движения на различных стадиях теста с
непрерывно возрастающей
нагрузкой, а также медленные изменения, связанные с развитием
мышечного утомления.
Литература
1. M. Bilodeau, A. B. Arsenault, D. Gravel, and D. Bourbonnais,
“The influence of an
increase in the level of force on the EMGpower spectrum of elbow
extensors,” Eur. J.
Appl. Physiol., vol. 61, pp. 461–466, 1990
2. H. Broman, G. Bilotto, and C. J. De Luca, “Myoelectric signal
conduction velocity and
spectral parameters: Influence of force and time,” J.Appl.
Physiol., vol. 58, pp. 1428–
1437, 1985.
3. G. F. Inbar, J. Allin, and H. Kranz, “Surface EMG spectral
changes with muscle length,”
Med. Biol. Eng. Comput., vol. 25, pp. 683–689, 1987.
4. von Tscharner V, Goepfert B. Gender dependent EMGs of
runnersresolved by
time/frequency and principal pattern analysis.J Electromyogr
Kinesiol. 2003;13:253–72
5. H. Laurent and C. Doncarli, “Abrupt changes detection in the
time-frequency plane,” in
Proc. IEEE-SP Int. Symp. Time-Frequency and Time-Scale Analysis,
1996, pp. 285–288.
6. Mesin, L., M. Joubert, T. Hanekom, R. Merletti, and D.
Farina. A finite element model
for describing the effect of muscle shortening on surface EMG.
IEEE Trans. Biomed.
Eng. 53:593Y 600, 2006.
7. Lindstrom L, Magnusson R, Petersen I (1970) Muscle fatigue
and action potential
conduction velocity changes studied with frequency analysis of
EMG signals.
Electromyogr Clin Neurophysiol 4: 341-353
8. F.R. Stulen, C.J. De Luca, Frequency Parameters of the
Myoelectric Signals as a Measure
of Muscle Conduction Velocity, IEEE Trans BioMed Eng 28 (1981)
515-523.
9. Л.В. Новиков Основы вейвлет-анализа сигналов, учебное
пособие, Санкт-
Петербург, 1999. 152 с.
10. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры
применения УФН 39,
1085 (1996)
11. А.Б. Сергиенко Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.
– 608 с.
