Upload
doquynh
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ДИАГОНАЛЬНАЯ
МАТРИЦА ОПЕРАТОРА
Лекция по дисциплине
«Линейная алгебра
и аналитическая геометрия»
поток гр. ПМ(б), ПО(б)
Определение 1. Линейный оператор называется оператором
простой структуры, если ∃ базис, состоящий из собственных
векторов этого оператора.
Определение 2. Оператор называется диагонализируемым,
если ∃ базис, в котором его матрица диагональная.
Теорема 1. Линейный оператор f
диагонализируем оператор f - оператор
простой структуры.
Определение 2. Квадратная матрица А
называется диагонализируемой в ℝ (ℂ), если
∃ 𝑇: det 𝑇 ≠ 0 такая, что матрица 𝑇−1𝐴𝑇 -
диагональная.
где 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 - характеристические числа
матрицы А
Т – матрица перехода, состоящая из
линейно-независимых собственных векторов
оператора f соответственно с собственными
числами 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, т. е. собственные
векторы матрицы А
Теорема 3. Пусть собственные числа 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛
матрицы А порядка n, кратности к-ых соотв-но равны
попарно различны. Если
где 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑠 - ранги матриц
,
то матрица А приводится к диагональному виду.
Следствие. Если все собственные числа матрицы попарно
различны, то матрица приводится к диагональному
виду.
Пример. Найти собственные векторы линейного оператора f,
заданного в некотором базисе матрицей
Характеристическое уравнение оператора
корни этого уравнения: 𝜆1 = 𝜆2 = 9, 𝜆3 = −9.
Все корни – собственные числа.
Найдем собственный вектор, отвечающий 𝑘1 = 9
как решение ОСЛУ
Собственный корень
Аналогично собственный вектор, отвечающий
В=9 0 00 9 00 0 −9
.
Таким образом, матрица А приводится к диагональному виду,
например
Найдем матрицу T, удовлетворяющую условию
𝑇−1𝐴𝑇 = 𝐵
𝑇 =0 1 2
−2 −2 11 0 2
.
I. Чему равно максимальное число линейно независимых
собственных векторов линейного оператора, заданного в
некотором базисе матрицей А, если
а) 𝑨 =𝟏 −𝟏𝟏 𝟑
; б) 𝑨 =𝟐 𝟎𝟎 −𝟑
;
в) 𝑨 =𝟓 𝟏 𝟎𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟓
; г) 𝑨 =
−𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟑
;
д) 𝑨 =𝟏 𝟎 𝟎
−𝟏 𝟏 𝟐𝟑 𝟎 𝟏
; е)𝑨 =
𝟑 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 −𝟓 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 −𝟓
II. Выяснить, приводится ли в вещественном пространстве
матрица к диагональному виду ( в случае приводимости записать
диагональный вид матрицы с точностью до расположения
диагональных элементов)
а) 𝑨 =𝟏 𝟑𝟏 𝟏
; б) 𝑨 =𝟑 𝟐
𝟏𝟎 𝟐; в) 𝑨 =
𝟐 𝟓𝟎 𝟐
;
г) 𝑨 =𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏
; д) 𝑨 =𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝟑 𝟓𝟎 𝟎 𝟑
;
е) 𝑨 =𝟎 𝟏 −𝟏𝟏 𝟎 −𝟏𝟐 −𝟏 −𝟏
; ж) 𝑨 =𝟏 −𝟑 𝟑
−𝟐 −𝟔 𝟏𝟑−𝟏 −𝟒 𝟖
;
з) А =
𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟑 𝟎 𝟎 𝟐
; и) А =
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟏
III. В некотором базисе е1, е2, …, еn линейный оператор f задан
матрицей А. В вещественном линейном пространстве найти базис,
в котором матрица оператора f имеет диагональный вид, если:
а)𝑨 =−𝟏 𝟒𝟏 −𝟏
; б) 𝑨 =𝟎 𝟐𝟑 𝟏
; в)𝑨 =𝟐 𝟎 𝟐𝟎 𝟒 𝟎𝟐 𝟎 𝟐
;
г)𝑨 =𝟐 𝟒 𝟔𝟒 𝟐 𝟔
−𝟒 −𝟒 −𝟖; д) 𝑨 =
𝟕 𝟎 𝟎𝟏𝟎 −𝟏𝟗 𝟏𝟎𝟏𝟐 −𝟐𝟒 𝟏𝟑
;
е) 𝑨 =𝟓 𝟔 𝟑
−𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟐 −𝟏
; ж) А =
−𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏
;
з) А =
−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 −𝟏𝟏 −𝟏 −𝟏 −𝟏
IV. Найти матрицу Т, диагонализирующую данную матрицу А, и
записать соответствующую диагональную матрицу, если:
а) 𝑨 =𝟏 𝟒𝟒 𝟏
; б) 𝑨 =𝟔 𝟐𝟐 𝟑
; в) 𝑨 =𝟒 −𝟐 𝟎
−𝟐 𝟑 −𝟐𝟎 −𝟐 𝟐
;
г) 𝑨 =−𝟗 𝟓𝟒 𝟑𝟔𝟎 𝟎 𝟎
−𝟑 𝟏𝟖 𝟏𝟐; д) 𝑨 =
−𝟏 −𝟐 −𝟑−𝟐 −𝟏 −𝟑𝟐 𝟐 𝟒
;
е) 𝑨 =𝟓 −𝟔 𝟐𝟔 −𝟕 𝟐𝟔 −𝟔 𝟏
; ж) А =
𝟐 𝟎 −𝟑 −𝟑 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 −𝟏 −𝟑𝟎 𝟎 𝟐 𝟒