1

قانون گوس، شار الکتریکی، دیورژانس

2

تعالی بسمه

3

الکتریکی شار

( یکی از خ!واص تم!ام می!دان ه!ای ب!رداری است.FLUX)شار• م!ورد نظ!ر Eدر این فص!ل ش!ار حاص!ل از می!دان الک!تریکی •

است.را Ψvبه عن!وان مقدم!ه و ب!رای آش!نایی ش!ار جری!ان ش!اره •

ر!ودخان!ه ی!ا ی!ک !ل!ول!ه آ!ب !در مث!ل م!رب!وط !ب!ه !ج!ری!ان!ی! ک!ه ا!ست را! مو!رد بحث ق!رار !می دهی!م.

می!دان مان!ا و یکنواخ!تی از ش!ارش ش!اره )مثال آب( شکل 1•ب!ر!دار! !ش!ارش! !ث!ا!بت ! ب!ا! ک!ه ده!د. م!ی نش!ان یع!نی Vر!ا ،

می! مش!خص معی!ن، نقط!ه ی!ک ش!اره !د!ر ث!ابت س!ر!عت شود.

4

الکتریکی شار

ی!ک س!طح دای!روی عم!ود ب!ر ب!ردار س!رعت را نش!ان قسمت الف•م!ی! ده!د ک!ه !طب!ق! تعر!ی!ف ش!ار! ع!ب!وری ا!ز ا!ین س!طح بر!اب!ر اس!ت با:

• Ψv,a=ρvAa این رابط!ه را ب!ر حس!ب رواب!ط ب!رداری می ت!وان ب!ه ص!ورت زی!ر •

نوشت:• Ψv,a=ρV.Aa

، س!طح تخ!تی را نش!ان می ده!د ک!ه مس!احت تص!ویر آن قسمت ب•است. Aaبرا!بر با ( AbCosϴیع!نی )

بای!د ب!ا ش!ار ج!رمی در bدر س!طح Ψvواض!ح اس!ت ک!ه ش!ار ج!رمی • برابر باشد. بنابر این:aسطح

• Ψv,b= Ψv,a=ρvAa=ρv (AbCosϴ(= ρV.Aa

5

الکتریکی شار

هم واض!ح اس!ت ک!ه ش!ار عب!وری قسمت جدر •از س!طح منح!نی براب!ر اس!ت ب!ا ش!ار عب!وری از

. Aaسطح دایره ای که برابر است با همان ش!ار قسمت ددر • اس!ت، بس!ته س!طح ک!ه ،

ش!ار ب!ا اس!ت براب!ر بس!ته س!طح ب!ه ورودی خ!روجی، پس ش!ار ک!ل س!طح بس!ته ص!فر اس!ت. دقت کنی!د ک!ه ش!ار ورودی و ش!ار خ!روجی ه!ر دو

است. Aaبرابر با شار عبوری از سطح

6

الکتریکی شار

ن!!یروی • می!!دان شکل، می!دان Eب!رداری )ش!دت

الک!تریکی( مرب!وط ب!ه ی!ک نش!ان را ای نقط!ه ب!ار

می دهد.

7

الکتریکی شار

و این ش!کل خط!وطی را •پ!یرامون هم!ان ب!ار نقط!ه ک!ه ده!د می نش!ان ای خط!!وط خط!!وط، این ب!!ه ی!!ا الک!!تریکی ش!!ار ش!ار ت!ر س!اده عب!ارت می نامی!!ده الک!!تریکی

شود.

8

الکتریکی شار

و • مثبت ب!!ار دو برای ی!ک دیگ!ر منفی ک!ه کن!ار ق!رار گرفت!ه باش!ند ش!دت و ش!ار الک!تریکی می!دان ص!!ورت ب!!ه الک!!تریکی در ش!!ده داده نش!!ان

شکل مقابل خواهد بود.

9

الکتریکی شار

مفهوم شار الکتریکی بر قاعده های زیر بنا •شده است:

در می یابیم:شکل و شکلهمچنین با توجه به •

10

الکتریکی شار

ش!د • خواه!د داده نش!ان ک!ه هرج!ا ش!ار الک!تریکی س!طح داخ!ل س!مت ب!ه بس!ته باش!د منفی و هرج!ا باش!د خ!ارج س!مت ب!ه

مثبت است.ش!!!ار • مقاب!!!ل شکل

الک!تریکی را ب!رای دو ب!ار س!!طوح از عب!!ور در

مختلف نشان می دهد.

11

الکتریکی شار

ش!ار • دقی!ق تعری!ف برای الک!تریکی ب!ه ش!کل مقاب!ل س!!طح !!بس!!ت!ه ی!!ک ک!!ه م!ی!د!ان ی!ک ر!ا !در اخ!تی!اری! ال!ک!تریکی !ن!ش!ان می! !ده!د،

توجه می کنیم.کمی • نس!!بتا تعری!!ف یک

شار عبارت است از:س!طوح • ک!ردن کوچ!ک با

ص!!فر س!!مت ب!!ه ج!!زئی خواهیم داشت:

SEE .

SEE .

12

الکتریکی شار

مث!ال: ب!ا اس!تفاده از س!ه قاع!ده اول از مجموع!ه •قواع!د چهارگان!ه ش!ار الک!تریکی مرب!وط ب!ه ی!ک ی!ک ب!ار توزی!ع ب!ا نه!ایت بی ب!ه ط!ول ب!ار خ!ط

نواخت را ترسیم نمایید.پاسخ: در فصل قبل به دست آوردیم:•این رابطه نشان می دهد:•

ص!ورت 1. ب!ه ب!یرون س!مت ب!ه می!دان خط!وط شعاعی است.

شدت می!دان ب!ه ص!ورت عکس فاص!له ک!اهش 2.پیدا می کند.

13

الکتریکی شار

ش!ار را در ی!ک چه!ارم فض!ا نش!ان می شکل اول•دهد.

ث!ابت نش!ان می z ش!ار را در ص!فحه شکل دوم•دهد.

ش!دت می!دان ی!ا ش!ار را rc/1 ش!کل شکل سوم•نشان می دهد.

تکلیف: محاسبه شار با استفاده از رابطه•

SEE .

14

الکتریکی شار چگالی بردار

الک!تریکی • ش!ار چگ!الی ب!ردار آزاد فض!ای در هم!ان جهت می!دان الک!تریکی را دارد. و ان!دازه

آن عبارت است از:

اس!ت. S∆تع!داد خط!وط ش!ار عم!ود ب!ر ΨE∆که •شکل

15

الکتریکی شار چگالی بردار

مقاب!!ل • ش!کل در چنانک!ه عب!وری از dΨEپیداس!ت،

ds ب!ه ز!ی!ر رابط!ه از دست می آید:

ک!!ه • کنی!!د dΨEدقت

بیش!ترین مق!دار را دارد همراس!تا dsو! Dاگ!ر باشند.

16

الکتریکی شار چگالی بردار

ب!!ار • در Q(c)+اگ!!ر را مب!داء ق!رار دهیم، چنانک!ه داده نش!!ان ش!!کل در ش!ده اس!ت، و ک!ره ای ب!ه

ب!ه rsش!عاع محی!ط را ب!ا نم!اییم، رس!م آن از اس!!!!!!!!تفاده

می قاعده چهارم ،توانیم بنویسیم

17

الکتریکی شار چگالی بردار

با تقس!یم رابط!ه اخ!یر ب!ر •س!طح ک!ره ب!ه دس!ت می

آوریم:

می!!!دان • ش!!!دت برای برداری هم داشتیم:

پس•

18

الکتریکی شار چگالی بردار

برای یک توزیع بار کروی داشتیم:•

و برای بردار چگالی شار الکتریکی داریم:•

19

الکتریکی شار چگالی بردار

مث!ال: تع!داد خط!وط ش!ار •الک!تریکی گس!یل ش!ده از

ب!ار در Q(c)ی!ک واق!ع مرکز را پیدا کنید.

پاس!خ: ب!ا توج!ه ب!ه ش!کل •و روابط قبل داریم:

بنابر این:•با توجه به رابطه •

20

الکتریکی شار چگالی بردار

و•و •در سیستم مختصات •

کروی خواهیم داشت:

21

گوس قانون

شکل مقابل• ی!ک س!طح بس!ته فرض!ی را نش!ان •

را در ب!ر Q+می! ده!د ک!ه !ی!ک !ب!ار! گ!رفت!ه ا!س!ت. قا!ع!ده !چه!ا!ر و! رابط!ه را ب!رد!ار چ!گ!الی ش!ا!ر بی!ن !ش!ار !و

.ب!ر!ای! ای!ن! با!ر ت!کرا!ر می !ک!نیم

این عبارت ریاضی را•

قانون گوس می گویند.•

22

گوس قانون

و در آن•

بای!د دقت داش!ت ک!ه تنه!ا باره!ای ش!رکت کنن!ده •در این رابط!ه باره!ایی هس!تند ک!ه توس!ط س!طح بس!ته در ب!ر گرفت!ه ش!ده ان!د و باره!ای ب!یرون از

آن در رابطه دخالتی ندارند. گ!وس 1مث!ال• ق!انون از اس!تفاده ب!ا :D و E را

حول یک بار نقطه ای پیدا کنید.

23

گوس قانون

پاسخ: داریم•

ش!کل • در ک!ه ط!ور هم!ان مشخص شده است

ی!ک س!طح فرض!ی ک!روی ب!ه •ب!!ار rsش!!عاع! اط!!راف! در

ک!روی !رسم می! کنیم.تق!!!ارن • از اس!!!تفاده با

روی Ds=rsDsداریم: ن!!یز و ds=rsdsس!طح ک!ره داریم:

با جایگذار!ی در ر!ابطه باال

24

گوس قانون

به دست می آوریم:•

تق!ارن • دلی!ل ث!ابت Drsبه ث!ابت، ش!عاع ی!ک در است پس از انتگرال خارج می شود.

هم!ان س!طح • ک!ه انتگ!رال س!طح ب!ا محاس!به و کره است به دست می آوریم:

و در نتیجه:•

25

گوس قانون

و از آنجا :•و در نهایت برای بردار شدت میدان الکتریکی •

داریم:

نمودار های مربوط به توزیع بارهای مختلف •کروی

نمودار های مربوط به توزیع بارهای مختلف •استوانه ای

26

گوس قانون

از 2مث!ال • اس!تفاده ب!ا :گ!وس و Dق!انون E در را

ب!!ار توزی!!ع ی!!ک اط!!راف ب!ا ب!ی نه!ا!یت خ!طی !ب!ه ط!ول

پیدا کنید. ρlچگالی پاسخ: از•

س!طح • ی!ک انتخ!اب ب!ا و ش!عا!ع ب!ه گ!وس!ی! بس!ت!ه

rc ا!ز خ!ط ت!ک!ه !ای پ!یرامون بار خواهیم داشت:

27

گوس قانون

انتخ!!!!اب شکلاین • به!تر را ج!زئی س!طوح

نشان می دهد.ش!!کل • از اس!!تفاده با

مقابل خواهیم داشت:

28

گوس قانون

انتگ!رال • ش!دن ص!فر با ه!ای ب!اال و پ!ایین خ!واهیم

داشت

29

گوس قانون

در این رابطه •با جایگذاری در رابطه باال به دست می آوریم:•

و با حل آن:•و•

30

برای شار چگالی بردار نمودارهای تصویرمختلف ای استوانه بارهای توزیع

31

دیورژانس

می خ!واهیم ق!انون گ!وس •نقط!!!ه ی!!!ک در را

P(x0,y0,z0) ب!رای ی!ک می!دانش!!دت چگ!!الی ب!!ردار

الک!!!تریکی Dمی!!!دان حاص!ل از توزی!ع باره!ایی ک!!نیم. اعم!!ال فض!!ا در

)شکل مقابل(در این نقطه داریم:•

32

دیورژانس

در • مکع!!!!بی سطح برگیرنده

اس!ت ک!ه بع!دا ب!ه س!مت •نقط!ه در ت!ا رفت!ه ص!فر

P(x0,y0,z0).متمرکز شود

33

دیورژانس

س!!طح • به!!تر فهم برای ک!رده بزرگ!تر را بس!ته اعم!ال را گ!وس ق!انون

می کنیم:

34

دیورژانس

از این رابط!ه معل!وم اس!ت ک!ه تنه!ا مولف!ه ای از •D روی ه!ر س!طح م!ؤثر اس!ت ک!ه ب!ر س!طح عم!ود

ب!ودن الع!اده کوچ!ک ف!وق ب!ه توج!ه ب!ا و اس!ت را یکنواخت فرض می کنیم.Dسطح بسته

با توج!ه ب!ه این توض!یحات ب!رای دو انتگ!رال اول •داریم:

35

دیورژانس

از• اس!تفاده عم!ود بسط تیلور با ه!ای مؤلف!ه Dx(front) وDx(back) نقط!!ه ح!!ول ب!!ه P(x0,y0,z0)را

صورت زیر می نویسیم:

ص!فحه • رابط!ه در رابط!ه دو این جایگ!ذاری با قبل خواهیم داشت:

36

دیورژانس

با تک!رار عملی!ات ب!رای س!ایر س!طوح ب!ه دس!ت •می آوریم:

و•

با جایگذاری این سه رابطه در•

37

دیورژانس

به دست می آوریم:•

و محاس!به V=∆x∆y∆z∆با تقس!یم ط!رفین ب!ر •وق!تی کن!د، V∆ح!د می می!ل ب!ه س!مت ص!فر

خواهیم داشت:

38

دیورژانس

دو • ک!ه کن!د می تض!مین حجم الم!ان ص!فر حد را ض!مانت ک!افی تیل!ور دقت اول بس!ط جمل!ه

می کند.دی!ورژانس • ب!اال رابط!ه چپ س!مت Dعب!ارت

است:

عب!ارت Dبا این رابط!ه تفس!یر دی!ورژانس ب!ردار •است از:

39

دیورژانس

و•

40

دیورژانس

بنا براین در دستگاه مختصات راست گوشه •

الکتریس!یته • در ماکس!ول اول معادل!ه ب!ه معادل!ه این ساکن و میدان مغناطیسی یکنواخت معروف است.

مفهوم دیورژانس قابل تعمیم به هر بردار است.•از •و •

به دست می آوریم: •

41

دیورژانس

و • ای اس!توانه مختص!ات ه!ای دس!تگاه برای کروی تعمیم زیر را داریم:

42

دیورژانس

مقاب!ل • ش!کل در مث!ال: ی!ک ص!فحه ب!ا چگ!الی ب!ار

در ρsس!طحی یکن!واخت دارد. z=0ص!فحه ق!رار

با توجه به:

را بیابید.•پاسخ:•

43

دیورژانس نظریه

گ!وس • ق!انون ک!اربرد با برای شکل روبرو داریم:

قرار می دهیم:•

با استفاده از رابطه:•به دست می آوریم:•

44

دیورژانس نظریه

خ!واهیم • آخ!ر و اول جمل!ه دادن ق!رار براب!ر با داشت:

که بیان ریاضی قضیه دیورژانس است.•قض!یه دی!ورژانس انتگ!رال روی س!طح بس!ته را •

ب!ا برداره!ای مش!ابه مرتب!ط انتگ!رال حجمی ب!ه می کند.

ب!ردار • ت!ابع ک!ه داش!ت دقت و Dبای!د در حجم روی سطح خوش رفتار باشد.

45

دیورژانس نظریه

را • دی!ورژانس قض!یه معادل!ه ط!رف دو مث!ال: برآورد نمایید، در صورتی که

اس!ت . 1mو س!طح بس!ته ی!ک مکعب ب!ه ابع!اد •شکل

46

دیورژانس نظریه

پاسخ: •قضیه دیورژانس:•

وج!!وه • ب!!رای را انتگ!!رال مختلف ارزیابی می کنیم:

47

دیورژانس نظریه

و • ش!!کل ب!!ه توج!!ه با تم!ام انتگ!رال ه!ا Dان!دازه

،ج!ز یکی ص!فر می ش!ود. بنابراین

x=1که روی این سطح •انتگ!رال س!مت راس!ت را •

برآورد می کنیم

48

دیورژانس نظریه

داریم:•

می • دس!ت ب!ه قب!ل عب!ارت در جایگ!ذاری با آوریم:

49

آب شاره تصویر

50

بار یک الکتریکی میدان شدت تصویر

51

بسته سطوح و دوبار شار تصویر

52

میدان و دوبار به مربوط شار تصویر

53

و بار یک به مربوط شار تصویرمیدان

54

میدان در بسته سطح تصویر

55

فضا چهارم یک در بار خط یک شار تصویر

56

صفحه در بار خط یک ثابت Zشار

57

رابطه بار rc/1نمودار خط یک

58

عمود الکتریکی شار خطوط تصویرسطح بر

59

برای شار چگالی بردار نمودارهای تصویرمختلف کروی بارهای توزیع

60

بسته ای استوانه سطح تصویر

61

برای مکعبی سطح تصویردایورژانس

62

مسائل

مارشال•

63

مسائل

ادامه مارشال•

64

مسائل

28هالیدی فصل •

65

مسائل

66

تیلور Taylor Expansionبسط

امین n پیوس!ته اس!ت و f(x)فرض می ک!نیم ت!ابع •ب!ازه در این a≤x≤bمش!تق از داراس!ت. را

n امین مشتقn.بار انتگرال می گیریم

67

تیلور بسط

با ادامه به دست می آوریم:•

امین بار nبا ادامه انتگرال گیری برای •

68

تیلور بسط

دقت داش!ته باش!ید ک!ه این بس!ط دقی!ق اس!ت. •هیچ جمل!ه نیفت!اده اس!ت و هیچ تقری!بی ب!ه ک!ار

ب!ه دس!ت f(x)نرفت!ه اس!ت. ح!ال ب!ا ح!ل آن ب!رای می آوریم:

گان!ه ب!ه دس!ت می n ب!ا انتگ!رال Rکه باقیمان!ده •آید:

بازگشت•