Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
א������������� א�����������د������ @@���د�
@@
@@
@@
@@
‰ìn׆Ûa@ @
�b•@áîÜ�@†àª@…ìàª@ @
@Ú‰b’ß@‡bn�c@ @
xýÏþbi@âìÜÈÛa@òîÜ×MxŠ¨a@òÈßbu@ @
@µëþa@òÈjİÛa@ @
م2011 - ��1432
òîßý�⁄a@…ìÈ�@åi@†àª@âbß⁄a@òÈßbu
������������������������������������������� � �
� �
� �
� �
��
��
��
��
��
@@
@@@@@@@@çg����������������������������������µg@õa†@@
@@@@@ò튒jÛa@áÜÈßÞëþa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@áÜ�ë@éîÜÇ@�a@ïÜ•@@
@@@@@ïm†Ûaëë@ð†Ûaë@�ë‰@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@�a‰bÐÌn�aë@�b»Šm@@
@@@@@�������uë‹NNNN@@@@@@@@@@@@@@@@�bÏa�Çaë@�b•ý�g@@
@@@@@@@öb�������äic@ïNNN@@@@@L…bèu@Lòî�@Lõa†Ï@ñŒ»õa�Ûa@L@@
@ @
pbíìn�a
pbíìn�a@ @
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 15א������א������א������א������
@ @@ @@ @@ @� �� �� �� �@µëþa@ñ†yìÛa@µëþa@ñ†yìÛa@µëþa@ñ†yìÛa@µëþa@ñ†yìÛa@Z@Z@Z@Zòí�¦a@òî�b�þa@áîçbнaòí�¦a@òî�b�þa@áîçbнaòí�¦a@òî�b�þa@áîçbнaòí�¦a@òî�b�þa@áîçbнa � �� �� �� �
Þëþa@Ý–ÐÛaÞëþa@Ý–ÐÛaÞëþa@Ý–ÐÛaÞëþa@Ý–ÐÛa@Z@Z@Z@Z…a†Çþa@áÄã…a†Çþa@áÄã…a†Çþa@áÄã…a†Çþa@áÄãKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK@ @22� �� �� �� �F1�–�1E������KKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �23� �� �� �� �F1�–�2E���� �������KKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא� �23� �� �� �� �F1�–�3E����� ���KKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�אع�א� �24� �� �� �� �F1�–�4�E ��ق�������א�����KKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �26� �� �� �� �F1�–�5�E���� ��א�� !KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �26� �� �� �� �F1�–�6E��� �KKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$� #�����#"�א� �27� �� �� �� �F1�–7�E�� ����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא'��אد% �35� �� �� �� �F1�–8E��"#�����# ����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא'��אد% ��א$� �36� �� �� �� �F1�–9Eא$()א��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �39� �� �� �� �F1�–10E��#*א��� �EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא����س�Fא$�� �43� �� �� �� �
���,����# ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �45� �� �� �� �-�.�!�F1�–�1EKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �49
@ @@ @@ @@ @� �� �� �� �ÛaÛaÛaÛaïãbrÛa@Ý–ÐïãbrÛa@Ý–ÐïãbrÛa@Ý–ÐïãbrÛa@Ý–ÐZZZZa@a@a@a@pbàní‰bËìÜÛaë@��þpbàní‰bËìÜÛaë@��þpbàní‰bËìÜÛaë@��þpbàní‰bËìÜÛaë@��þKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �51
F2�–�1E������KKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �52
F2�–�2�E/0'אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 53
F2–�2� J1��E/0'3�א��2אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 53
F2�–�3E.א56و�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 57� �� �� �� �
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F2�–�3� J1E�.8�אص�א56و�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 59
F2�–�4E��� KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 59א$#��9.��
F2�–�4� J1E23�א����� KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 60א$#��9.��
F2�–�4� J2E:��;*$א$#��9.��>�אKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 63
F2�–�4� J3E=د<�א$#��9.��>�א����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �63� �� �� �� �
F2�–�4� J4E�9�#$د@�א$�?�2���3א����A:�وא��א$*;�<��.KKKKKKKKKKKKKK 60
����,����# ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 66
F2� J5�E��� �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא���د=��א'0���وא$#��9.�� �68� �� �� �� �
-�.�!F2� J1KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKEKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 72
� �� �� �� �� �ÛaÛaÛaÛa@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–ÐaaaasÛbrÛsÛbrÛsÛbrÛsÛbrÛ@Z@Z@Z@ZÞaë†ÛaÞaë†ÛaÞaë†ÛaÞaë†ÛaKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK@ @@ @@ @@ @75� �� �� �� �F3�–�1E������KKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �76� �� �� �� �F3�–�2E��3?�$א������KKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �77� �� �� �� �F3�–�3�E�������$א$�א�KKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �78� �� �� �� �F3�–�4�E��������$א$�א��� !KKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �82� �� �� �� �F3�–�5�E�����Bא$�وאل�א�D�,E�KKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �83� �� �� �� �F3�–�5�–�1�Eود�Bא��אF دوאل��KKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �83� �� �� �� �F3�–�5�–2�E$א$א����GH$א��KKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �86� �� �� �� �F3�–�5�–3�E$א$א�Iא����د��KKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �88
F3�–�5�–�4�E��#*א��� �KKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKدא$��א$�� �90
F3�–�5�–�5�E�� �KKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$�وאل�א'0���و�א$#��9.�� �93� �� �� �� �F3�–�5�–�5�–�1�E��0'א$�وאل�אKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �94� �� �� �� �F3�–�5�–�5�–�2�E�#$א$�وאل�א�� ��.�9KKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �97� �� �� �� �
@ @
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F3�–�5�–�5�–3�E:�א$#��9.��>א$�د��א$*;�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �99
��$�#J��# ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �101
F3�–�6�E��#K�)�$א$�وאل�אKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �103
F3�–�7�E��#��H�$א$�وאل�אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �104
-�.�!�F3�–�1EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �105� �� �� �� �
� �� �� �� �� �ÛaÛaÛaÛa@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–ÐaaaaÉiaŠÛÉiaŠÛÉiaŠÛÉiaŠÛZZZZ…놧a@pa�r×@…놧a@pa�r×@…놧a@pa�r×@…놧a@pa�r×@KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 107
F4–�1�E�����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 108
F4–�2�Eود�Bא��אF ����)����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 109
F4–�3�Eو�Bא��אF ��"#������GBא����# KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 110دא$�
F4–�3� J1�Eود�Bא��אF ��L�� �MNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 110و
F4–�3� J2�Eود�Bא��אF ��O�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 111
F4–�3� J3�Eود�Bא��אF ��� �3�O�GP�,����� �3��,��KKKKKKKKKKKK 113
F4–�3� J4�EF ��� G3ود�Bא��אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 115
F4–4�Eود�Bא��אF ����#QKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 115
F4–4� J1�ER(Sא������*�����א$����#T�$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 116
F4–4� J3�E2�����2א$(�ق�����#QKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 120
F4–4� J4�E2;�Hع��� ���Uق�و%�#QKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �121
F4–4� J5�Eود�Bא�M� V�����#T�$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �122� �� �� �� �
-�.�!F4� J1KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKE� �123
@ @@ @@ @@ @� �� �� �� �
–ÐÛa–ÐÛa–ÐÛa–ÐÛa@�ßb¨a@Ý@�ßb¨a@Ý@�ßb¨a@Ý@�ßb¨a@ÝZZZZpbäíbjn½aë@pü…bȽapbäíbjn½aë@pü…bȽapbäíbjn½aë@pü…bȽapbäíbjn½aë@pü…bȽaKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �� �� �� �127� �� �� �� �
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F5–�1�E�����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �128
F5–�2�E�=א���دKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �129
F5–�2�–�1�E��*Wא���د=��אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �130
F5–�2�–�1�–�1�E�Xא'و��Y.�$د=��א����Pل�وא�Z%�[KKKKKKKKKKKKK�� �130
F5–�2�–�1�–�2�E�Xא'و��Y.�$���2د=��א$�Z%�[KKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �134
F5–�2�–�2E$�:���;$א��� ��د=��א\�����-�א$�.��Yא'وXא$�#KKKKKK� �138� �� �� �� �F5–�2�–�3�E���� $א��Y.�$د=��א���KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �141� �� �� �� �F5–�2�–�3�–�1�E�Pل�وא�Z%�[����� $א��Y.�$د=��א���KKKKKKKKKKKK�� �141� �� �� �� �F5–�2�–�3�–�2�E2$�Z%�[����� $א��Y.�$د=��א���KKKKKKKKKKKKKKKKKK� �149� �� �� �� �F5–�2�–�4�E�� ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא���د=��א'0���و�א$#��9.�� �152� �� �� �� �F5–�3�E��,��;א��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �154� �� �� �� �
-�.�!�F5–�1EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �161
@÷…b�Ûa@Ý–ÐÛa@÷…b�Ûa@Ý–ÐÛa@÷…b�Ûa@Ý–ÐÛa@÷…b�Ûa@Ý–ÐÛaZZZZpa…†�aë@pbÏìЖ½apa…†�aë@pbÏìЖ½apa…†�aë@pbÏìЖ½apa…†�aë@pbÏìЖ½aKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �165
F6–�1�E�����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �166
F6–�2�E�U�)]א�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �167� �� �� �� �F6–�2�–�1�E�U�)]א���Y.دKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �167� �� �� �� �F6–�2�–�2�E��U�)]אع��א�����^��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �168� �� �� �� �F6–�2�–�3�E��U�)]#"�א��א6_�������# ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$� �171� �� �� �� �F6–�2�–�3�–�1�E6א���# ���U�)]א��"#��M KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �172� �� �� �� �F6–�2�–�3�–�2�E��U�)]א��"#��L�*$א���# �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �174� �� �� �� �F6–�2�–�3�–�3�E��U�)]א��"#��O�`$א���# �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �176� �� �� �� �F6–�2�–�3�–�5�E��U�)]#"�א��א6_�������# ���ab�]8KKKKKKKKא$� �182� �� �� �� �
@ @
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F6–�3Eد��cאKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �186� �� �� �� �F6–�3�–�1�E��Y.د�-���U�)]د�א��J22×KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �186� �� �� �� �F6–�3�–�2�E��Y.د�-���U�)]د�א��Jnn×K�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �187� �� �� �� �F6–�3�–�3�Eدא��c8�אص�אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �191� �� �� �� �F6–�4E�U�)] ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא��H�س�א$`��"�$# �193� �� �� �� �F6–�5�E��U�)]אم�א��e�0�����*Wم��-�א���د=��א�f���PKKKKKKKKK�� �197
F6–�5�–�1�E�U�)]س�א��H��������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �199
F6–�6�Eدא���cאم�א�e�0�����*Wא���م��-�א���د=��א\��f���P������F�������f�EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$�;�� �
� �� �� �� �203
F6–����6����–����1�Eא�����I���3KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �203
-�.�!F6� J1KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKE 208
@ @@ @@ @@ @� �� �� �� �@Éib�Ûa@Ý–ÐÛa@Éib�Ûa@Ý–ÐÛa@Éib�Ûa@Ý–ÐÛa@Éib�Ûa@Ý–ÐÛaZZZZpbÈibnn½apbÈibnn½apbÈibnn½apbÈibnn½aKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� 211
F7–�1�E�����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 212
F7–�2�Eא�������������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 212
F7–3�E$א������ ��א$;���:�$#� �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 216
F7–�4�E�����GBא��������אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 219
F7–4–�1�E����GBא��������א������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 219
F7–4–2�E����GBא'و�0ط�אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 222
����F7–5�E���0�,hא��������אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 223
F7–5� J1�E���0�,hא��������א������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 223
F7–5–2�E��0�,hא'و�0ط�אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 227
-�.�!�F7–�1EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 229
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
òîãbrÛa@ñ†yìÛaòîãbrÛa@ñ†yìÛaòîãbrÛa@ñ†yìÛaòîãbrÛa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @ � �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK@ @231
I8@M1@H@ò߆ÔßKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �232
F8–2�Eiא$��د�א���������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKK� �233
F8–3�E2;����-د���و@��G�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �234
F8�–4�Eiא$��د�א������ !KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �235
F8�–5�E�;אد�א�����א'�"#�����# ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$� �236
F8�–5–�1E�;אد�א�����א'�L�� #����MNو��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �236
F8�–5–�2�E�;אد�א�����א'�� G3و�O�K���# �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �238
F8�–6�Eiא$��د�א����jUא��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �239
F8�–7�Eiس�א$��د�א�������KKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �240
F8�–8�Ei���0א$��د�א���KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �241
F8�–9�Eiد�א�����#$�k*�$א��� ��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKא$� �242� �� �� �� �
F8�–10�E�Z����;*و���U�lد����f�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKKKKK� �246
F8�–�11�E�;א$�وאل�א���KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �247
F8�–�12�E$א������*�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �249
-�.�!�F8�–�1EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKK 253
@@É�bnÛa@Ý–ÐÛa@@É�bnÛa@Ý–ÐÛa@@É�bnÛa@Ý–ÐÛa@@É�bnÛa@Ý–ÐÛaZZZZpbrÜr½a@lb�y@pbrÜr½a@lb�y@pbrÜr½a@lb�y@pbrÜr½a@lb�y@KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 255
F9�–�1�E�����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 256
F9�–2�Eאو��m$���0א��א$�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KK 257
F9�–3�E����$وא���אm#$��� # א$�وאل�א�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 258
F9�–4E�� # $#�وאل�א������א��א$��.�nAאKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �259
@ @
pbíìn�a
Êì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½aÊì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F9�–5E���hوא���אm$$;�^�א���א$�وאل�א� # KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKK� �260
F9�–6EIد�Bوא���אm#$���$אm�8=א�o�]$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�� �264
F9�–7E$אو���אm#$���$אm�8=א�o�]90KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� �264
F9�–8Eאو���m#$���$אm�8=א�o�]$180אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 265
F9�–9E�3?�$א����2א$�وאل�א� # ����א'0�0��KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 266
F9�–10E�2אو��m$��� # א$�وאل�א�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 268
$�#J��# ����KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 270
�-�.�!F9�–�1KKKKKKKKK�EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 276
@òrÛbrÛa@ñ†yìÛa@òrÛbrÛa@ñ†yìÛa@òrÛbrÛa@ñ†yìÛa@òrÛbrÛa@ñ†yìÛaZZZZòîÜîÜznÛa@ò�†ä�a@òîÜîÜznÛa@ò�†ä�a@òîÜîÜznÛa@ò�†ä�a@òîÜîÜznÛa@ò�†ä�a@
ÛaÛaÛaÛa@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–Ð@Ý–ÐaaaaŠ‘bÈÛŠ‘bÈÛŠ‘bÈÛŠ‘bÈÛZZZZ@@@@áÄãáÄãáÄãáÄãpbîqa†y⁄a@pbîqa†y⁄a@pbîqa†y⁄a@pbîqa†y⁄a@@@@@KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 279
F10–�1E������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKK 280
F10–�2E���m��.�H$א����pא�PAאKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 280
F10–�3E���;*�$א����pא�PAאKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 285
F10–�4E���;*�$وא���m��.�H$א����pא�PAא$�?�2���3אKKKKKKKKKKKKKKKKKK 287
-�.�!F10–�1�EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 290
aaaaÛÛÛÛŠ’Ç@ð…b§a@ݖЊ’Ç@ð…b§a@ݖЊ’Ç@ð…b§a@ݖЊ’Ç@ð…b§a@Ý–ÐZZZZáîÔn�½a@Á¨a@áîÔn�½a@Á¨a@áîÔn�½a@Á¨a@áîÔn�½a@Á¨a@KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 291
F11–�1E���*Wא$�א$��א������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 292
F11–�2E���;$א��� �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 293:�$#�א$��אW*��א$�
F11–�3E�<���Gא��qWא$��������د$��א�I.�]$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 295
F11–�4E��<���Gא��qWא���KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 297
F11–�4� J1E�2 ���G��@ط���אز�nKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 300
pbíìn�a
Êì™ì½a òzЖÛaòzЖÛaòzЖÛaòzЖÛa
F11–�4� J2E�2 ���Gط���������nKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 300
F11–�4� J3E�sY.�8��*و���<���G��2����;$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 300
F11–�5E�<���Gא��qWد����د$��א�tuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 301
F11–5� J1E�2�*�������#�v�<���Gא��qWد����د$��א�tus�#��KK� 301
F11–5� J2E�sאز����<���Gو���*����U��v�<���G���$د����د�tuKK 304
F11–5� J3E���U��v�<���G���$د����د�tu�>د� ��<���Gو���*���s�#�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
� �� �� �� �305
�-�.�!F11–�1E�KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 307
aaaaÛÛÛÛa@Ý–Ða@Ý–Ða@Ý–Ða@Ý–ÐãbrÛãbrÛãbrÛãbrÛŠ’Ç@Ç@Ç@Ç@ïZZZZÛa@Ûa@Ûa@Ûa@ñŠöa†ñŠöa†ñŠöa†ñŠöa†KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 309
F12–�1E�I�bא$�א������KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 310
F12–�2E�I�bد$��א$�א���KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 310
F12� J2� J1�E��wm����x$א�I�bد$��א$�א���),( khKKKKKKKKKKKKKKKKKK 310
F12� J2� J2�E��E'א��*����wm����x$א�I�b0,0(���د$��א$�א(KK 312
F12� J2� J3�Eم�#����Z�U��*3��U���x$א�I�bد$��א$�א���KKKKKKKKK�KKKK 313
F12� J4�EI�bא$��������د$��א$�א�I.�]$אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 314
F12� J5�E<���G��q8�-��I�bא$�א�m�������KKKKKKKKKKKKKKKKKK�KKKKKKK 316
F12� J6�E��$د����I�bس�$#�א� KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 316א�
F12� J6� J1�Eس� �KKKKKKKKKKKKKKKKKKK 317$�א�I�b�U��*����,������Zد$��א�
F12� J6� J2�E��$د����ZY.�8��*���-��I�bس�$�א� KKKKKKKKKKKKKKKKK 317א�
F12� J2� J3�E�$م���د�#���<���G��@س�א��אز� �KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 319א�
�-�.�!F12� J1�EKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 320
�MYא��א�MYא��א�MYא��א�MYא��אKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK� 321
@ @
pbíìn�a
15
ò߆Խa
½a@ò߆ÔZ@ @
���א��������������������� ��وא���م���������א��������א�ول���و�����������وא���� �Kא�'&%و$���#����"و �
������א���2م�'��"0��1/.�-��,"���+�*س�������������������'�&%���89"���0.�"ج��2���5�6אد�32Cن�����8Aא�$�@�א�9?����������6."��א*$<���="��0��Kא���">�"��1א�$"$��א,�"د;�����:��
���L�Fد���Kא��K������C"J">�����א,I"م�א�ول����א�$�@�א���������0#�.�����وא��EFGHא,2אد�،����و�Q"���"�1א,��.�P2א�ول�=��������N��Oא���">�"�I0��1*�א,���M"Aא�$"$�������.�*�@���
R"��������Sوא���R"������T�Aم�א���">������"��1وא�"������UV�KW������8و���*������I���0��������$"$א,������"د;�א�א,���.�P2א�. ��\%]����I#�YZ��������S����و�N���O�����8C2�����I�XوQ"����"����1א���">���"1
�"د�وא�����2م�א[دא*���������.U^د���������5א�א,��8"*א�1א�$"$���������������"Oو�א���_���"Oא��������.�������א����Hא,2א>����`�א���">�����������a.א�1א�*����I,�����8אA�������Mb#�0���8#"�2.�����������Ic�
��������hא�����I=�������2cg������Me��Z�f�אWوd����������Kא��������"א��*א$������"A.א��:�����c�R"����O���"6�0�.��"ج���8��Z"�א��א*$��<�دون�א�.������iא�����H�2א>���`��j������?9א��hk"����9"���א,��
�����������l"�,א�hk"��"ل�א,�������2א�2א>�� �����`�א������T���'g�א��&�����وא,�����Z�����Hوא�����9�����V�5Sn0���o2�<2c�"�8�8=ن��.��ض�G"�א��א*س���.���p�a.2אد�א����K��"��'نV�
�"Oא�������2�#�2���M�W����G����5���������9אSq2א/<�א�$"$����������">����"�1و���Iא��N"��.���$א�_������"G"��.��$א�����A�'0���������=����.�-89א#����و�*�U8��5"*א#����و����`��=�������A�.r�hk"�����
�>c�sc2ل�وא���Jא����t��I��O.א��hk"���EFM�Kא�2Iא/<�وא, �
�Wو�c��د*א$��FMא�א,�5S�.�$�*�Iא��א*س��5 �
16
ò߆Խa
2�8Aم��אد�א����I�IJوא[,�"م����xא2wאص�א�$"$��������������/?��א���אد�و������=� •���Iא��I�O,א�K
���Kא[,"م���8Acوא$.a�אم�א�$@�وא��y2"*�.�"�1وא�����"8����1" •���=������2���8Aم�א��א������و����c:�א/���2אع�א�����وאل�و'�����c�����$*������A:�א�����وאل������� •
"�/"�c�� Kא,�28* �h��t���A�'K'&%א�1אJ�و�د •• �hjق��Ocوא[,"م����Owد^א,.�"�9"�1א"���hj���C*�و��1א��Yא�&"/��א�و�K • ��������1"����Ic"O.,ل�وא"S���l2$���"#8"�و���=�����א�Sوאل�א,&�&������و��������8א����Acא[,���"م�
��Kא,&�&�� �• 1"�c"..,��8אAcא[,"م�K • ����8Ac2="�1و�א[,��"م�A��h��J/?�����א|���دא�1א|���دא�1و'������Aא$��.a�אمא,��
���OwKאא,�"د^1א�9?�����"�1אG"������=�����و����8"د�א,�'������وא��������"����1א��������=�����2���8Aم�א�� •
nد����?/�h&����'�,אد�א�8#"�=��2א��"I��O#وK� �• �������A�'89��"�ن�و�c��Uوא��������OIوא����T�#*"S�1א�"�Xא�j]و*�א" ��=���
���OIوא����T�#*"S�1א�"�Xא�j]�5א��h'�=��OI/�h�&qK • ���Pو2���#אز��وط�#�"��������lو���I.����=�����א�����2*�א,�����A�.a,����"د^�1א�s���wא,���
Od>��I.���>K ��و2dא8"�א�$"$�� •�kא���8א,�"د����א��"�����Acא[,"م��K
����Y"��#ذن�א���c�Wא�Mא��EFM�i�I .و��������N"�.Sא�א�F�M�K���U���U��9/Vא*س��א����-��$��YZ���X�jאو���k*�1�W� �
��������.��Yא�و�����j2א��א*س��9�#�א���"cא�$"$�����א�����������M"��A,�Kא�وF��M�i���I .����K=א���ض��U��Iא�������j2��YZ�������$2ل����=�W����=א�ول���h��Aא���������#�YZق���O./
17
ò߆Խa
�و������MVو�#���������2���8Aم�א��I������א,�����I�Oא������אد�א�����I�IJ/?�����א������אد�و2���dאص�"8�������k"�dK��������@������$2������8م�א�Axא*س��א������������������#�YZ�W�������8��/"������&א��h�������Aوא�
�2I���hא������א��"��������$���@��������Aא�א�F���M����=�"���9U�O#ض������وא��y2"*�.����"�1وF���Gא�א���I21א/<�وא�"���.�*"y2�������$"$א��Kא�&"و�h���Aא$���������א�*���p���dوאل��2��8م�א���A�
و'�q�����A&����8"���،�وא�.�������x-��"ل�و�����Pא����وאل�و'�t�����A�����M�"����وV/2א���8"���Uא����h���&q�����A�'�5������"��'�"���8=א*س��א����P�2ن������S���"���/"�c1"�1א%����c<�א,��.
�����k"�T�Aא�Kود�و��������Jא$�����'���&%א�1א*���p����d�`���cא��א�h����Aא��������"���8����1"��وא�و'����Oc�"8�����t�����Aق�����I��Q�"��89�����A�.rא��"����hא,�����gو����I��Qא$��.a�אم����
� c�,ل�א"�'Z2ن�א��"م�و/"Iא��K����@�"�wא�h��Aא��9"�=�U�O#و����h�j����A�'و��9���YZ��"د^�5��1א��*���Cא�و�Yوא�&"/����و�h�jא,.�"��9"�1א����Owوt�����א�g�Aא�1א�.������������������
��������jذא28��1ل�وא���Ow2ل�א,.�"�9"�1א�j���2���iItKא������h�Aא��=�"�V"��دس��=2A�و#����������2���Sس�א,����2A=��وא��������"���I=�،�"���8����1���fא�.�����ض�,2���8Aم�א,���
و'����Aא$.a�אم�א|�دא=�1��hj/?"م����5א,��"د^���1א8"�و�2dوא|�دא���1و#������OwאKא��و��h�Aא�`c"���������A�'�1و"��c"..�������"א���א*س�א,�"/�א���=��,�W�8�=�
�1"�c"..������$�9Gوא���c"�Jא�و$"ط�א�N"�j��$�9Gوא���c"�JאK�� �
��א���و�j2א��9�#����/"&�����M"A,"cא*س��אد�א����.�����א���e����$"$א����N"��jو���'�,��hא�&�"������������5و�. F�M�i�Iא���Kא,&�&"1�Aא��"��M�>���=�YZ����j2א��K���U���I=�W��Gא�
��N"���.Sوא�."$���`�����#�#�0_�א�K����A=א��h����Aد�א,�'���_���&���"���#�5>���9"��א��2���8م�א�����A,�و'�q�����A&������وא����2*�א����e�������OI�אد�א,�'�����و#�����������I"س�و$�����א�����د��������
אG"�����=���א�����אد�א,�'������&���h/?�������������:�א�9?����"�1א,�'��_�،�'���"�#��>��9"�n8"�2د#"I��O#و��=K���`�$".א��h��A�"��dوאل�������و�א,&�&�"�1وא���N"��j2�8م�A����$א*��
������������Kא,&�&����و���2S$"#8"�وG"SlV��MV"�و���=��א,.Ic"O"�1א,&�&����א���%8��j2א��"��V��=.��8��W,��=����א����א*س������%��dא�$"$�������א�&"�&����وא����M"��A,"c�.$����א��98���������� ��
�2ل���و�. F��M�i���Iא���=����X�X��YZ�����j2א��K����U����I=ض�������hא��"������lא���Aא����M�
18
ò߆Խa
������N"��.S#�#���_�א��=���������وא�&��"/�������Pد"��JوאKو���א�=���h���Aא����l"���YZق����O./������#���h���&q�����A�'89���"�،�و�c����Uوא���������OIوא������T�#*"S�1א�"�Xא���j]و*�א"�� �
��=��OI/�����OI�K��h��5���h�'א[�j�א�X"�1א�����T�#*"Sوא���������Aא��د]�������و=�"�Jא��f����>��Od�Pو2��#אز��وط�#�"������lو�،���I.�א�.����ض������2*�א,����A�.a,���"د^�1א�s��wא,��
����C*"d�`��I#����OI/و����I.��.�I�<،�وt������א,���"=����c<�א�s��wא,������K�h���Aא��"���V�����0وא�d%�א�&"/��������kא�א$���א��*���p��d���I=��N".Sא��و=���j2א��EFM��K�����=و������#�f�"MT'���.א����kא�8"�،�و��"د���א���و2dא�kא�د���א��"�����"�,"cא*س��א�
I/O�������kא�وא�����I.�و�dV%א�#��>�9"�,�"د����������Kא��h،�وt����א,�"=��c<�א�swא,����kא�א,�"س����K��������Vو�N"�.Sא�א�FM�*دو�R"C�"9M�5�����������Q�����Z6.�"ج��"����O������.��M�N
��1"��"Qو�������S��[%\ .א��P2.��"د�وא���2م�א[دא*������א,.U^2��5>�2"���1א�V���$"$��=*�I�1"�<"א�$"�0���$א������M"A,א�K� �
��I*��,א������P2�.6�PF�א,2>��2"�1א�S"����������،�وو��.��FMא�א��2M�N".Sא�ول���������2/�5��Kא�. �\%]�א,��.������P2��N��QوQ"���"����1وא,�I*א,���M"Aא�$"$���=�א���">�"����1
�$."ذ��2#=%�א��KU2وא�8��و��R"9א�� ����"��������5�����C".6وO�����.��L�Fc"�_�وא�����و���"�����*�ذ'�����9M�E"�و��e"/����א�����������������A�.r�1"�2��<2�K=�����א��C`��.����د
����I=��5�����.�������F��Mא���א��C`�א���������و�2א��U`�א^/����K��/gא������������5א,��fא^$��.A"دوא,����k^��"ز������M%=2.�����0"�S"�א��KU2א���#I�م���S��"cא�2א=����"d�V���.�k%אVא��N".S،�و��
����،�h�א�א��FM�����،��k*"Iא����A��N".Sא�א�FM2ن�Sن��V����Iא��ل�א��א�����/�����h'�"�و/�h�א�א��FM2ن�Sن��V��cא������.S������="/��="<ZK� �
��א���`�و=�iא��Iא��Rא^���وא����5و*א�EFM�%d���=�",K�� �
محمود محمد سليم صالح.د
com.yahoo@23Selim
م 2011 سبتمبر-هـ1432 شوال
19
ò߆Խa
� �� �
20
ò߆Խa
� �
� �
� �� �� �� �
� ���������� �� �� �� �
Algebraic Fundamental Concepts� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
22
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
��������� �� �� �� �
� �� �� �� �� �Number Systems� �
� �
� �
� �
� �
� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
23
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
áÄãáÄãáÄãáÄã…a†Çþa@…a†Çþa@…a†Çþa@…a†Çþa@@@@@@ @@ @@ @@ @Number Systems
�א���א�א���א�א���א�א���א� �� �� �� �
����� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א��������WWWW� �� �� �� �
KKKKא'&����و$����#� "�! א'&����و$����#� "�! א'&����و$����#� "�! א'&����و$����#� "�! •• ) & (,+א*�א�& (,+א*�א�& (,+א*�א�& ��א'&�� - -�� ��א'&�� - -�� ��א'&�� - -�� ��א'&�� -,+א*�א���- KKKK • ��)� ( -�א/. &���#� "0�1&����א���אد�א/�(�(��وא����)� ( -�א/. &���#� "0�1&����א���אد�א/�(�(��وא����)� ( -�א/. &���#� "0�1&����א���אد�א/�(�(��وא����)� ( -�א/. &���#� "0�1&����א���אد�א/�(�(��وא��
!) � !) � !) � !) ��K�K�K�K • �� ��KKKKو$����א��6א-�و$����א��6א-�و$����א��6א-�و$����א��6א-,5 د�א��(�4א23 ��,5 د�א��(�4א23 ��,5 د�א��(�4א23 ��,5 د�א��(�4א23 �� �� �� �
IIII1@@@@–@@@@1@H@H@H@Hò߆Ôßò߆Ôßò߆Ôßò߆Ôß@ @@ @@ @@ @
،��;�א���وא��A�وא@?<&; *�و�=>�; ��א�و�(������ �4א:�9��!�م�א'&�����7א�3 �(��4A�ض������א�א���������>���D��;��Aس������&�� -F?�אع�א'��و��א'&���<� ;&G�،�� I;�F
�� ( -�א:����9&��א'&�� -��L�� 3�KG�����)&�F�7>���7א�<J2(� -�א� &(������א��)��AMوאK���9:א� !Nא�#�O�ض��3!�م�א��(&��א23 ���و>A�� &GK� �
IIII1@@@@–@@@@2@H@H@H@HòÇìà�a@ÑíŠÈmòÇìà�a@ÑíŠÈmòÇìà�a@ÑíŠÈmòÇìà�a@ÑíŠÈm@ @@ @@ @@ @
��;; ��3!;;�م�א'&��;;;�����P�* ;;;2�,��;;א����Q;;5و�،�R;;��7;;;���� ;;J���� );;;S�7א�;;��T;;&U��*FN A���و�Xد��Eא����� � Pא����$��YF�،����7;���;>א�;�� -�وא����Z>��N Aذא-�א�
�&>A���A��M��K[�א'&���F�&>A��@�F�∉Eو��T)2>.?� M\#F∈Eא/���4 ��Fن�א� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
24
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
�IIII1@@@@–@@@@3HHHH@@@@pbÇìà�a@ÊaìãcpbÇìà�a@ÊaìãcpbÇìà�a@ÊaìãcpbÇìà�a@Êaìãc@ @@ @@ @@ @
1–�����)!>A3א'&����א��)!>A3א'&����א��)!>A3א'&����א��)!>A3א'&����א�� �� �� �� �
�Rع�א'&����א�J��Kא^�KKKKK<����د��N A� ��Xود،���F��K م�א� �
2–�����)!>A��<_א'&����א���)!>A��<_א'&����א���)!>A��<_א'&����א���)!>A��<_א'&����א��� �� �� �� �
�R�'א�>A��<=� �N Aא�<����د������&R!0&����א��;�אد���K��،����;))J2א���Kא^�KKKKKא/�(�(��א���אدو0&���� �
��א'&����א:`"(���א'&����א:`"(���א'&����א:`"(���א'&����א:`"(������–3 �� �� �� �
&b&��;;;;�����;;;; ل�A���;;;;��&';;;;�7א�0&��;;;;��+`"(;;;;��� ;;;;!?F�BP� ��;;;;Aن��������;;;;��BAو�BQ;;;>�P�d�7;;;;;;&�7א'&��;;;��N A��T;;;)cA;;;�א'&��;;;�� ،���وא��;;;`�⊃
BA F��Aن�א'&����⊅�A�7���)"`+����&0�e.)��BK� �
4–����� � fא'&����א�� � fא'&����א�� � fא'&����א�� � fא'&����א������ �� �� �� �
���������������<J;G��);� �F��;��&0�T���� >?� A?g���)� &>+,و�F��)& ���� h�YF������Aد�א��;;; ��Y�;;;>$���;;;�و�;;; د���;;; �?;;;.&���;;;�[�א'&��;;;������T;;;)c��Kא'&��;;; -�$;;;�eא���א
��� � f;;;א���;;;��&' ���);;;� ��;;; ��`��FUniversal�Eא�� ;;;M�`;;;�?وU��9;;;>?�\K;;;&��}W}7,5,1,3א'&��;;;;;� −=U�R;;;;;���- ;;;;;��&b& ���J.;;;;;A� ��� � f;;;;;א'&��;;;;;��א��
}7,3{=Aو��}5,1{−=B'ن�א���- ��&BA,�7���)"`+�- ��&0�UK� �
5–��)� iא'&����א���)� iא'&����א���)� iא'&����א���)� iא'&����א�
� ��`��א'�Rو� M�`�و��N A��YF�� ��Y�>$�@��>א�����&φو�F�.{ }� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
25
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
}:{�&K\�א'&������ xxxA ∉=���������;A��j ;A��k);��L;?���;)� #��;��&0������G�;;;3ط�אf;;;א��m;;;�nK;;;��א��;;;�אد���א�;;;���L;;; � ����;;;)� i!;;;�م�א'&��;;;��א��و��K
Y#F����&0�Y�7א�و+`"(�����)oو��)� i�9א'&����א>PوK� �
6–p>��&0�Yو .P�p>��&0�Yو .P�p>��&0�Yو .P�p>��&0�Yو .P�� �� �� �� �
،��و�k;;�?� ;;&Mא�;;N A�PY<;;. و0�Y&��<;; ن�,ذא�G;; ن��;;�د��N A;;�& ��<;;. و�p>��;;;&'ن�אFل��;;;�A�A,B�Q;;;>�?و�< ن�و .;;;>��A=B�� ;;;!A���;;;G�e;;;? Gذא�,�
�W+`"(����7א�#F�YF�Yن0&���� �
AxBxBوxAxABوABA ∈⇒∈∀∈⇒∈∀⇔⊆⊆⇔=�FFFF1–����1EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل����� �� �� �� �
p>و� .>��p>)� >א��p>��&'א�����W
� �
�א/� �
و���و�Xد��و��N A��7�א'&����N A�A�א'&�����B�����X�<= (A �,ذא�$�����N A� �و�<�4ذ���q�rא3��Qb)�� 2��W د���א3 �
1
01 00)1(
02
=⇒
=−=⇒=−∴
=−
x
xorxxx
xx
� �
��WBAو�F�s>A>.?�LAنB=}1,0{,ذא� =K� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
26
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@@@@IIII1@@@@–4@H@H@H@Ha@òibn×@ÖŠ�a@òibn×@ÖŠ�a@òibn×@ÖŠ�a@òibn×@ÖŠ�pbÇìà�pbÇìà�pbÇìà�pbÇìà�@ @@ @@ @@ @
p>)Ptא�p>��2א��Y�og��p��u�p���W د��N A��Q>�P�א'&���� �
IIII1@@@@–@@@@3@@@@–@@@@1@H@H@H@HŠ•bäÈÛa@…Š�@òÔíŠ�Š•bäÈÛa@…Š�@òÔíŠ�Š•bäÈÛa@…Š�@òÔíŠ�Š•bäÈÛa@…Š�@òÔíŠ�@ @@ @@ @@ @
�;;�����T;;;)c�A�� ;;;AA�&)�� ;;)!>A &��;;;��وذ�;;A��r;;�� ���;;;�ن��;;�د��N A;;�א'���� >G
��א�������� N �� &!A)��p��u�p��N A}�Wא� }11 ,9 ,7 ,5 ,3 ,1=A� �
@@@@IIII1@@@@–@@@@3@@@@–@@@@2@H@H@H@HñŒîà½a@òЖÛa@òÔíŠ�ñŒîà½a@òЖÛa@òÔíŠ�ñŒîà½a@òЖÛa@òÔíŠ�ñŒîà½a@òЖÛa@òÔíŠ�@ @@ @@ @@ @
��א��������Aو�����[�א/ ����Q>�Pא'&������Yدد����� �
x} Yد121 ,��د�� : ≤≤ xx�A= {� �
��w��� Kא@#<\�����v����א�<J>���7א'&����א'&����א�. ����?�.!�Rو �
@@@@IIII1@@@@–5@H@H@H@HpbÇìà�a@Ýîr·pbÇìà�a@Ýîr·pbÇìà�a@Ýîr·pbÇìà�a@Ýîr·@ @@ @@ @@ @
�;(��SF��&.;P;� ل��;����������7�Aل�� �Sx���7�;�م�����;�R،�و��KyVenn)�Eא'&����;���� ;J���(���K;��א�;�א"��وא3;.<2(��و����������A��z; K3אKKKK^א�K������7;���� ;J���;��&'א�;N Aن���;�Pو
���وSF!���[�א��������AMא���fل��?� ط�دא#��א� �S����� !��{>.;?�������א��א"��وא�<��7����S�7��<J> �� A�K� �
�����YA;;�� ;;&G�- ;;��&'א��;; ��4>;;P��;;>א��- ;;) & ;;���!;;�4א����� .;;Pل� �;;Sو�;;�[�א��;;�� ;;&)��K����;;��&'א�e;;? Gل��;;�7,ذא� �;;SFאم��{>;;��B=}1, 2, 3{وK&G;; ل�� ;;��א
�������;S�4�� ��|d������ &G�7����S����2�� ! )Ky�7�}�L?g�F1�–�1E��z;)o�U��R� � fא'&����א���K� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
27
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
� � � � ��1�1�� � � � � � �
B� � � � � � � �
IIII1@@@@–6@H@H@H@HpbÇìà�a@óÜÇ@pbîÜàÈÛapbÇìà�a@óÜÇ@pbîÜàÈÛapbÇìà�a@óÜÇ@pbîÜàÈÛapbÇìà�a@óÜÇ@pbîÜàÈÛa@ @@ @@ @@ @
IIII1@@@@–6–@@@@1@H@H@H@H…b¤üa…b¤üa…b¤üa…b¤üa@@@@Union
���p>��&0د� $,A,B����������+����&0�LA��s>A��C�����&0��Ky��>وא�� (!&;;; �Fو��2��;;;#F��;;;F�B�Yو�Aא�N A;;;�א�3+;;;�د���;;;��Gو�F�R;;;�;;;N A0&;;;�ع����
N A�א�3������ ��ون��Pא����p>��&'א،��K������`�� ;� (��א@$ د�&BACو��`�� ∪=���F;�PوA א$; د���B���;Kyل�����و �;SF��&.;P��)Z);d�Pل� �;Sx��7;��F���;S�1�–�2E��z;)o�،
�� � f;;א'&��;;��א���;;KyU�p>��;;&'3;;.<2(��وא ���A,B��)2>.;;3دא#;;��א�وא"�;;����2A3وو���ن�,$ د��4א�،�� ����א3~�� &G� )d ����W� �
}:, أو{ BxAxxBA ∈∉=∪� �
� �� �� �� �
���S���S���S���SFFFF1����–����2�E�E�E�E��K}��K}��K}��K}BA ∪� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
28
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
�WWWW$ د$ د$ د$ د#� "�1א�#� "�1א�#� "�1א�#� "�1א� �� �� �� �
C)(BACB))(A
A BB)A B) (AB), BA)A
UU)AA φ)A A A)A
∪∪=∪∪
∪=∪∪⊆∪⊆
=∪=∪=∪
6
5(4
321
� �� �� �� �
�N #� &�K(��א���אل�وא�<�ز�F4�E�،F5�ETאN i(< ن� �
IIII1@@@@–6–@@@@2@H@H@H@HÉ�bÔnÛaÉ�bÔnÛaÉ�bÔnÛaÉ�bÔnÛa@@@@@@@@Intersection@@@@@ @@ @@ @@ @
�p>��;;;&0�Tv ;;;�P��;;;�A, BL;;;?א��;;; �����;;;N Aوא�<;;;��0C����;;;Ky&��;;;��א� �B��و���0A&����א�N A�א�3+�د������������!� f>3א����Y;#F����2����F��R;��;��&0و�
���p>��&'א�p���G6f3א�N A�; ��`��������Kא��Tv �>א���) &BACو��`�� ∩=��F�PوA �Tv �P�B��S�،7����f���Kyو�F1�–�3E� �� &G� )d �����W،�،�و� �
}:, و{ BxAxxBA ∈∉=∩� �
� �
���S���S���S���SFFFF1����–����3�E�E�E�E��K}��K}��K}��K}BA ∩� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
29
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
Tv �>�1א�" �#Tv �>�1א�" �#Tv �>�1א�" �#Tv �>�1א�" �#WWWW� �� �� �� �
C)(BACB))(A
A BB)A B B)A, (AB))(A
AU)Aφ φ)A A A)A
∩∩=∩∩
∩=∩⊆∩⊆∩
=∩=∩=∩
6
54
321
� �� �� �� �
�N #� &�K(��א���אل�وא�<�ز�F4�E�،F5�ETאN i(< ن� �
�FFFF1–2EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
��W}01 ,9{=C,}8 ,6 ,4 ,2{=B,}4 ,3 ,2 ,1{=A,ذא�G ن �
)u��+وF7��\G��&�����WCA ∩���,BA ∩�,BA ∪� �
�WWWWא/�א/�א/�א/� �� �� �� �
}8 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1{=∪ BA� �} 4 ,2{=∩ BA� �} {==∩ φCA� �
IIII1@@@@–6–@@@@3@H@H@H@H@É�bÔnÛaë@…b¤⁄a@´i@òÓýÈÛa@É�bÔnÛaë@…b¤⁄a@´i@òÓýÈÛa@É�bÔnÛaë@…b¤⁄a@´i@òÓýÈÛa@É�bÔnÛaë@…b¤⁄a@´i@òÓýÈÛaIIIIÉí‹ìnÛa@æìãbÓÉí‹ìnÛa@æìãbÓÉí‹ìnÛa@æìãbÓÉí‹ìnÛa@æìãbÓ@H@H@H@H@ @@ @@ @@ @
�7�>�CBA ��- ��&0��W� ��F�7�&)ن�?��ل�\,, �
.()()()2
,()()(1
C)ABACBA
C)ABACB)A
∩∪∩=∪∩
∪∩∪=∩∪
� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
30
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@@@@IIII1@@@@–6–@@@@4@H@H@H@H½a@òÇìà�a½a@òÇìà�a½a@òÇìà�a½a@òÇìà�aòàànòàànòàànòààn@@@@Complement set @ @@ @@ @@ @
�e;;? Gذא�,U �R;;�� � f;;א'&��;;��א��e;;? Gو�A ��;;��&0��7;;���;;)"`+U ن��g;;�
�;; ��`�����Aل�Eא�3& ;;�Fא3<&&;;��א'&��;;��� ;;M�`;;�و�CA�F;;�Pو�;;&&>�F�;; &��E�A��وP�� �� &G� )d ��W�� �
} ,:{ SxAxxA C ∈∉=� �
��f� ��|d������ &G�� ��Sx ل���7� ���2A3א3~��KyوF1�–�4EK� �
� �
���S���S���S���SFFFF1����–����4�E�E�E�E��K}�� �CAא:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ �� �� �� �
!A��G�?אص��iא�OJ��� �WوP<&(`�א'&����א�3& �
F1E���AA CC =)(��������������������F2E��φ=∩ CAA� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
31
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
F3E��φ=CS���������������������������F4��ESAA C =∪�� �
�FFFF1����–����3EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
�W}9 ,8 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{=S�,}4 ,3 ,2 ,1{=A,ذא�G ن �
����x�CAو+�� �
�WWWW����}9 ,8 ,7 ,6 ,5{=CAא/�א/�א/�א/� �� �� �� �
IIII1@@@@–6–5@H@H@H@HÖëŠÐÛaÖëŠÐÛaÖëŠÐÛaÖëŠÐÛa@@@@@@@@Differences@ @@ @@ @@ @
�p>��&0�p���א��ق��A ,B�L?F�� ��0A&����א�N A�א�3+;�د��,�; ��;���������;�pא'&;��<F�،�pو��F B��������;Aو���G6f;3א�;N A��#;����و���e.;)��7��+;�د���;��א�
�Tv �>د�����א��+���e.)��euא���k�?��و��p>��&'א�3+�د�����,$ د�א�N Aא��Wא���ZAא�< �Rق�� ����Mא�א��و?�`� �
1�E} ,:{ BxAxxBA ∉∈=−�N A���و���ن�א��ق���T)c�7���� Jא� �
��B�Kو=>���+�د�����א'&����Aא�3+�د�����א'&���� �
2�E} ,:{ AyByyAB ∉∈=−� �
� �Fא�3+�د����N A����F���S1�–�5�KE[�א/ ����(��ن�א��ق���T)c�7���� Jא�A +�د�����א���و=>����&' B�����&'א����� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
32
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
� �
���S���S���S���SFFFF1����–����5EEEE�K}�� )( �א:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ ��{��Kא:`*�א3~ BA −
�FFFF1����–4EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
���W�}11,9,7,5,4,3,2,1{=S��،}11 ,9 ,5 ,4 ,2{=B,ذא�G;;;;;;;;;;; ن
،}7 ,5 ,3 ,1{=A�������+وx�BA−و���AB−K��� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
},119 ,4 ,2{=− AB, �}7 ,3 ,1{=− BA� �
W��ABABאF��o\3ن −≠−
p>��&0�p��Oא�iאص�� �ق���sA>.?�r�7ذ��W� �
1�E�ABAB −≠−������K� �
�2���ECBABA ∩=−K�� �
3�E�e? Gذא�,�BA⊂ن��g���φ=−BAK� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
33
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
�FFFF1����–5EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
��W�}9 ,8 ,7 , ,....2 ,1{=S,�}5 4, ,3 ,1{=B,����}8 ,6 ,4 ,2{=A,ذא�G ن �
،}4 ,2 ,1{=C���+وx��W� �
CA,CB�,�BA∪,BA∩,CBA )( ∩ ,�CBA )( ∪,CC BA ∩�� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
}9 ,7 ,5 ,3 ,1{=CA , �� }9 ,8 ,7 ,6 ,2{=CB , }4{=∩BA
,�}9 ,7{=∩ CC BA,}8 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{=∪BA,��� �
}9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,3 ,2 ,1{)( =∩ CBA,}9 ,7{)( =∪ CBA�}9 ,7{=∩ CC BA� �
@@@@IIII1@@@@–6–6@H@H@H@H@pbÇìà�a@lŠ™@pbÇìà�a@lŠ™@pbÇìà�a@lŠ™@pbÇìà�a@lŠ™@ @@ @@ @@ @
�!& �A, B,ذא�G;; ن��;;��A �0&��<;; ن�;;d��;;N o�7;;�ن��;;�>P��;;>ن�א'&��;;��א�g;;��
��`�� ;;�� ;;M�`;;�و�BA×وR;;�����7;;���;;JP30�7&��;;��א�زوאج�א;;���� ;;J��),( ba���z;;;;;;;;;)oAa ∈, Bb∈9;;;;;;;;;��������������������������W;;;;;;;;;�7ذ�;;;;;;;;;G� );;;;;;;;;d ���r �<;;;;;;;;; ����و�
} ,:),{( BbAabaBA ∈∈=×�K���I;;;;;;;א�א��;;;;;;;���;;;;;;;و�Y`)P� و�א��F��P� א������I� �K� �
�FFFF1����–6EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
}, , W�} 2 ,1{=B���, },ذא�G ن cbaA=� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
34
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
x�BAو+�� ×�،��AB ×� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
)}2 ,(),1 ,(),2 ,(),1 ,(),2 ,(),1 ,{( ccbbaaBA =� ��������������� �
)} ,2(), ,2(), ,2(), ,1(), ,1(), ,1{( cbacbaAB =×� ��P� א������Iא���)Ky�7�}و��4!�� ���� &G����S�F1�–�6KE� �
� �
� �
SSSS������������FFFF1����–����6�E�E�E�E��Iא���N o��Iא���N o��Iא���N o��Iא���N oRP� א����RP� א����RP� א����RP� א����BA×و�و�و�و�AB×KKKK� �� �� �� �
� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
35
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@@@@IIII1@@@@–7@H@H@H@H@…a†Çþa@pbÇìà©@…a†Çþa@pbÇìà©@…a†Çþa@pbÇìà©@…a†Çþa@pbÇìà©@ @@ @@ @@ @
1�K�K�K�Kو��))J2و0&����א���אد�א���))J2و0&����א���אد�א���))J2و0&����א���אد�א���))J20&����א���אد�א�`�� �� M�`��`�� �� M�`��`�� �� M�`��`�� �� M�`��*NWWWW
;�د������������ (��א�U A;���;�7א�d; ���א3<�;����)J2�7א���אد�א��ن���[�א'&������>P
�oوא���K{ },........5 ,4 ,3 ,2 ,1 * =NK� �
2KKKK`�� �� M�`�و���) � ��`0&����א���אد�א��� M�`�و���) � ��`0&����א���אد�א��� M�`�و���) � ��`0&����א���אد�א��� M�`�و���) 0NWWWW&����א���אد�א��
�� ���� d� ���))J20�7&����א���אد�א��ن���[�א'&������>P���K� �
{ },........5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=N
3KKKK`�� �� M�`�و���Z)Z0&����א���אد�א��`�� �� M�`�و���Z)Z0&����א���אد�א��`�� �� M�`�و���Z)Z0&����א���אد�א��`�� �� M�`�و���Z)Z0&����א���אد�א��Z W�W�W�W�� �� �� �� �
��,��� d� ���J� .وא���J+�3א��))J2�7א���אد�א��ن���[�א'&������>P� �
}א���� },........5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±±±=Z� �
4KKKK�)J.A0&����א���אد�א��)J.A0&����א���אد�א��)J.A0&����א���אد�א��)J.A0&����א���אد�א�FFFF��.א����א��.��א��.��א��.�E�E�E�E�`�� �� M�`�و��`�� �� M�`�و��`�� �� M�`�و��`�� �� M�`�و�Q����
���������� ;&�\G; م���و�w.;�����;N��; ��L>� >G�7�}�Yد�א���وא��د�א�J.A�����א� ��Kد�ZN(|�وא�3 م�@��. و�Yא���
�
∈≠= ., ,0 , Zbabb
aQ ��������������
5KKKK`�� �� M�`�و���)J.?�<_0&����א���אد�א�`�� �� M�`�و���)J.?�<_0&����א���אد�א�`�� �� M�`�و���)J.?�<_0&����א���אد�א�`�� �� M�`�و���)J.?�<_0&����א���אد�א�I WWWW� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
36
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
������� �� &G� !A��9و�
≠∉= 0 ,Z or , ddcd
cI��� �
6KKKK`�� �� M�`�0&����א���אد�א/�(�(��و�`�� �� M�`�0&����א���אد�א/�(�(��و�`�� �� M�`�0&����א���אد�א/�(�(��و�`�� �� M�`�0&����א���אد�א/�(�(��و�RW�W�W�W�� �� �� �� �
���� );;d �א���;;���;;� M;;�7א'&��;; -�א��7א$;; د�0&��;;������-و�;;�[�;;���� ;;J��R;;و������������)J.;A0&����א���אد�=>�א��T���)J.Aא���אد�א�Φ=∩ IQ�,�IQR ∪=��
z)oφ&'א�R��)� iא����K� �
� �
IIII1@@@@–8@H@H@H@H@…a†Çþa@pbÇìà©@óÜÇ@pbîÜàÈÛa@…a†Çþa@pbÇìà©@óÜÇ@pbîÜàÈÛa@…a†Çþa@pbÇìà©@óÜÇ@pbîÜàÈÛa@…a†Çþa@pbÇìà©@óÜÇ@pbîÜàÈÛa@ @@ @@ @@ @
IIII1@@@@–8MMMM1@H@H@H@H@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa*N@@@@@@@@@@@@@ @@ @@ @@ @
����);; &��w;;����A;;�� ;;A!������&.;;وא����א�2;;��);; &���;;N oن����I;;وא��T;;&:א����� ;;))Jvن���;;�ن��;;�دא�Fو���I;;�7א�;;��k);;�K������;;��&'א����I;;وא��T;;&:א��);; &�
*N�)� >אص�א��iن�א ��$�W� �
aa )a.(a.c) (a.b)c))a.(b a.(b.c) )(a.b).c
c)(bacb))(ab.a )a.ba bb)a
∀=+=+=
++=++=+=+
1654
321� �
;(��א:&;�Tوא�;I�����������F1�E،F2�EאN i(< ن��&�(K;}�K�� ;&A\ن�# N;(��א��;�אل��F3�E�،F4�E��T;;;א�<�ز���);;;N #ن�\K;;;&)��K��);;;N iאF5�E����;;; ���I;;;א��T;;;ز��P��);;;N #��;;;Ky
��)N iא� &A)��T&:אF6�E�Iא���) &�N #��KyK(��א� ���� �
�;;;;;;;;;;;;;h�Z ��;;;;;;;;;;;;;h�Z ��;;;;;;;;;;;;;h�Z ��;;;;;;;;;;;;;h�Z ��W�W�W�W����I;;;;;;;;;;;;; ���J.;;;;;;;;;;;;;A� ���;;;;;;;;;;;;;) (;;;;;;;;;;;;;��א:&;;;;;;;;;;;;;�P�e.;;;;;;;;;;;;;)��Tز�&��K�K�K�K\K&�\K&�\K&�\K&�WWWW)53()43()54(3 ×+×≠×+K�K�K�K�� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
37
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
IIII1@@@@–8MMMM2@H@H@H@H@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@N@@@@@@@@@@@@@ @@ @@ @@ @
����� ���� ( -�وא�iאص�א3&�א�. ������Tא@#<\���k�?*N��]�;������+���L?Fא� ���� X��A�����&'א�و���א����T&:א��) &���J.A��W0+= aa� �
IIII1@@@@–8MMMM3@H@H@H@H@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛaZ@@@@@@@@@@@@@ @@ @@ @@ @
��� ;;d� � (<;;��א:&;;�Tوא�;;�,��&���IF��7;;���;;G��;; ��p>�;;�;;gن��N�،�NE*�א3 ;;;��א'&������;;;��� I;;;�F��;;;2א���;;;) &���;;;��Z���7د��;;;���;;;v��;;;N oن���r;;;وذ��
����|)ZNن�دא"& ����د�����pZ))ZN�K��������T;c��;) &��\;=��;�� ;��\;NF��;2א���) و�&�W��������ZbabaZbZbن ∈−+=−∈−⇒∈ )(,� �
�� X��A�� M�k)و���))&U�@א�(��و���,�e.)���2א���) �K��T�F��~o\ن��& �
IIII1@@@@–8MMMM4@H@H@H@Hib�§a@pbîÜàÈÛa@ib�§a@pbîÜàÈÛa@ib�§a@pbîÜàÈÛa@ib�§a@pbîÜàÈÛa@@óÜÇ@òî@óÜÇ@òî@óÜÇ@òî@óÜÇ@òîQ@@@@@@@@@@@@@ @@ @@ @@ @
�;;;��،�א:&;;;�T،�א�2;;;�،�א�;;;I��،�������;;;�[�א'&��;;;������)� (;;; -�א/;;;. &�T;;;)cא� ( -��Q.oא���א���א�< �(��Kא��.&�&����[�א�PوW� �
� �
R �� &G��&.وא����وא�2�T&:א�- ) �Wو���P��� o. و��א�3 � -��<���& �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
38
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
� �
i;;�אص�א�;;��ذG;;-���0&��;;��א��;;�אد����& ;;(��א:&;;�Tوא�;;I���T;;)c�m;;�$א��
��;;))J2א�*N�K����e.;;)�� I;;�Fא�(;;��و��F�;; �א�2;;��وא��;;.&�����;;�[�א'&��;;��=;;>�,�� X��A�� &!A�����k)و���))&UK� �
�FFFF1����–7�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
Q.oאQ.oאQ.oאQ.oא� �� �� �� �
� �� �� �� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
� �� �� �� �
IIII1@@@@–8MMMM5@H@H@H@H@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛa@óÜÇ@òîib�§a@pbîÜàÈÛaR@@@@@@@@@ @@ @@ @@ @
�� & ����T)cא����� ��Q( -�א3������� �� I�FR��� ;&Gאص��;iא�k�?� Mو��Qن�F�@,R���;;; ���;;;���7;;;�P����;;;א:;;;�و��وא���;;;) &��L;;;) ���;;;�Q�Kن�F��F
Ra∈� ;;;&A)�a+;;;�د������دא"&;;; ��k);;;�Q�K���;;;� (;;; -�א3&وK;;;G>��;;;�7א�� �R��� ���P��QK� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
39
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
IIII1@@@@–9@H@H@H@H@pa�ÐÛa@pa�ÐÛa@pa�ÐÛa@pa�ÐÛa@ @@ @@ @@ @
IIII1@@@@–9MMMM1@H@H@H@Hòîènä½a@pa�ÐÛaòîènä½a@pa�ÐÛaòîènä½a@pa�ÐÛaòîènä½a@pa�ÐÛa@ @@ @@ @@ @
@ @@ @@ @@ @
@ @@ @@ @@ @
@ @@ @@ @@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
40
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@ @
�p>&)א����,��� d,ba,ن��Pو�W� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
���PKن�# �ج�א��db�6&�7א����6�(�a��&)u� &Aא/ �����Pن�u(&��[و���� �
�Wو��Pن �
� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
41
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
@ @
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
42
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
IIII1@@@@–9MMMM2@H@H@H@Hòîènä½a@�ÌÛa@pa�ÐÛaòîènä½a@�ÌÛa@pa�ÐÛaòîènä½a@�ÌÛa@pa�ÐÛaòîènä½a@�ÌÛa@pa�ÐÛa@ @@ @@ @@ @
@ @
@ @
�FFFF1����–8�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
��#�wא���אد���Kא��6א-�א�< �(���W� �
� �� �� �� �
ݧa@ @
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
43
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@ @
IIII1@@@@–10HHHHòÔÜݽa@òàîÔÛaòÔÜݽa@òàîÔÛaòÔÜݽa@òàîÔÛaòÔÜݽa@òàîÔÛaIIII÷bîÔ½a÷bîÔ½a÷bîÔ½a÷bîÔ½a@H@H@H@H Absolute Value@ @@ @@ @@ @
��)�oد����Y���� ��א��(&��א23Pa�`�� �� M�`�و��a� >א���ZAא��� ��W� �
��������������������������������������
<−
≥=
0
0
aa
aaa� �
uن�F�YF��;;&)a�����;;&)uن�F�YF���;;א��Yو .;;Pو�F�7;;��9;;GF� ;;&"دא��aو��F��;;J+��� ;;&"دא�)g;;��)3ن��K;;&�3=a\�,ذא�P�K���e;;? G;;. و�Yא�;;��� =a��e;;? G3(،�و,ذא�( −=a�
)�gن� )3)3( =−−=aK� �
I@I@I@I@1@@@@–10–@@@@1@H@H@H@HòÔÜݽa@òàîÔÛa@—öb–�òÔÜݽa@òàîÔÛa@—öb–�òÔÜݽa@òàîÔÛa@—öb–�òÔÜݽa@òàîÔÛa@—öb–�ZZZZ@ @@ @@ @@ @
�p)�)�o�7د����Y�Rba �g��،Wن,∋ �
�K���baba . . )1 =� �
K������ 0 ,
)2 ≠= bb
a
b
a� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
44
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
K����baba )3 +≤+� �
a- )4 bba =−� �
N i �����&.;u(��א�و��وא�F�|;d�P��;)? Kن�א��(&;��א23 �;��/ ;d��;N��Fو�#; �ج����������F�����7د��; ���;;� א���K��);;N i;�د�P�7;;. و;;d��;N o�Y��Fو�#; �ج�u;;.&��א��(&;��א23
F��Aن�א��(&��א23 ���/ ���YF�Tc��Nد����7P�z K3א��A� J>���&.P��>وא���K� Kא������Yא�<;;. و�m;;�Z>د�7،�و��;; ���;;� دא"&;; ���;;uF�F�7;;و�P;;. و�T;;c��;;N o�Yא��(&;;��א23
�� ;;Sא��k;;�?� ;;&M�7د��;;F�;; �א�YF���K��);;N i��J+;; ن�Fو��;; �J ن��;; �A;;�� ���;;�ن�א�;;���!;;F�|;;d�P�Rن�P�Q;;)Pא�;;�د��7دא#;;��א�3(;; س�@��;;���� ;;��u(&;;��א��(&;;��������������א�א
�� ��Kא23 �
�FFFF1����–9EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
��e? G3,ذא�−=a��،�2=b�Px�� ��\G��+وx��W� �
�������������b
ababababa , . , , , , −+� �
�WWWWא/�א/�א/�א/� �� �� �� �
� ,33 =−=a� �
����,22 ==b� �
�������5,5 23 =−=−−=−ba� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
45
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
���1,1 23 =−=+−=+ba� �
�����,662).3( . =−=−=ba� �
.2
3
2
3 =
−=
b
a�� �
òÇìänß@òÜrßcòÇìänß@òÜrßcòÇìänß@òÜrßcòÇìänß@òÜrßc@ @@ @@ @@ @
�FFFF1����–10�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
�� � f;;א'&��;;��א��e;;? Gذא�,S�R;;����،�;;J+�3א��Z)Z�;;0&��;;��א��;;�אد�א�p�CA��&b& ����A�z)oW� �
�����������������������������������}...... ,5 ,3 ,1{=A���� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
}......8 ,6 ,4 ,2{=CA� �
�FFFF1����–11�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
F�QJ.א��Gذ�T�<. و�����7א'&�� -�א�< �(����W����������������������������������� �
} { f,a, b, c, eA= , } { d,f, c, b, aB = ,�
} { e,f, a, c, bC =
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
46
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
����CA=Q)P6א#<\��א��T��N A����Kن��k�?�4Mא� �
�FFFF1����–12�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
�- u\��YF�p��7א��)Ptאx2#� !A��YFو�|)ZN�QJ.א��Gذ�T��W� �
1�����EBA ⊂���������������������������2���E�A⊂2���� �3���EA∈}5{���������������������������4��E�}11,9,7{7 ⊂� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
1K Y#F����&0�7���)"`+����&0ن���P����&'ن�א���Z)ZN��u\ Kא�
2K ;;;��&0ن��;;;���@��;;;A��+`"(;;;���;;;0�7&��;;;��و��;;;�7א��v #��� ;;;J;;;���ن�א����&'��&>A�K
3K ن�������;;;;�P��;;;;��&'و��;;;;�7א��;;;;��&'��;;;;&>AP�@��;;;;��&'ن�א���;;;;�v #��� ;;;;Jא�����&0�7���)"`+����&0Y#FK�
4K ����v #��� J Kن�א��A��A<&��'&����و�(��)"`+����&0�k�A! א�
� �� �� �� �
�FFFF1����–13�E�E�E�E�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
���e;;;;;;;;;? G4321 5{,ذא�{ ,, , , A=��,�}5 ,1 ,2 ,4 ,{xC �xو+;;;;;;;;;���=
��&)u x�z)q�CA=K� �
�א/��א/��א/��א/�� �� �� �� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
47
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
Q CA = ��� }5 ,1 ,2 ,4 ,{xZ�}5 4321{ ,, , , �←3=x∴� �
�KFFFF1����–����14�E�E�E�E ل�K ل�K ل�K ل����� �� �� �� �
�� � fא'&����א��e? Gذא�,S� >� G�����RW� �
SCBA ⊂,,,}, 110:{ <≤= xxS� �
�e? GWو �
���}9 7531{ ,, , , B =�����,�}9 ,7 ,5 ,4 ,2{=A ,}3 ,1 ,2{−=C� �
x��Px�� ��\GW��S�,CCAو+�� )( ∩,CB −���,BA ∩�,BA ∪� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
�����} 11 ,10 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0{=S� �����},97 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1{=∪ BA�� �
����}9 ,7 ,5{=∩ BA� �
SCA C =∩ )(�,���φ=∩CA� �����}9 ,7 ,5{=− CB� �
�FFFF1����–����15EEEE�K ل��K ل��K ل��K ل� �� �� �� �
�W} 6 ,4 ,2{=B�,}7 ,5 ,3 ,1{=A,ذא�G ن �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
48
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
x��WAA×�،�BB×�،BAو+�� ×� �
�א/�א/�א/�א/� �� �� �� �
)}7 ,7(),5 ,7(),3 ,7(),1 ,7(),7 ,5(),5 ,5(),3 ,5(),1 ,5(
),7 ,3(),5 ,3(),3 ,3(),1 ,3(),7 ,1(),5 ,1(),3 ,1(),1 ,1{(=× AA� �
)}6 ,6(),4 ,6(
),2 ,6(),6 ,4(),4 ,4(),2 ,4(),6 ,2(),4 ,2(),2 ,2{(=× BB
��
)}6 ,7(),4 ,7(),2 ,7(),6 ,5(
),4 ,5(),2 ,5(),6 ,3(),4 ,3(),2 ,3(),6 ,1(),4 ,1(),2 ,1{(=×BA
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
49
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
@åí‰b·@åí‰b·@åí‰b·@åí‰b·IIII1@@@@–@@@@1HHHH@ @@ @@ @@ @
����FFFF1�E�E�E�EQJ.א��Gذ�T��x2#� !�Fو��Z)ZN��)Ptא�- u\��YF�pא�QJ.א��Gذ�T��x2#� !�Fو��Z)ZN��)Ptא�- u\��YF�pא�QJ.א��Gذ�T��x2#� !�Fو��Z)ZN��)Ptא�- u\��YF�pא�QJ.א��Gذ�T��x2#� !�Fو��Z)ZN��)Ptא�- u\��YF�pא�WWWW� �� �� �� �
F–���)� iא'&����א�} { ⋅=φK� �
���S⊂φ�z)o�SRא'�����–�� fא'&����א��K� �
�g��Aa⊂Kن��A��Y��a��–ج �
��ABBA–د −=−K� �
FFFF2�E�E�E�E��e? Gذא�,��e? Gذא�,��e? Gذא�,��e? G183{,ذא�:{ == yyA������;Gذ�T;���Z)Z;N��;)Ptא�- ;u\���YF�;�7א�\u; -�א��Z)Z;N��;)Pt��T;ذ;G��������YF�;�7א�\u; -�א��Z)Z;N��;)Pt��T;ذ;G��������YF�;�7א�\u; -�א��Z)Z;N��;)Pt��T;ذ;G��������YF�;�7א�QJ.א�QJ.א�QJ.א�QJ.א�WWWW� �� �� �� �
F–�6=A� �
�–�}6{=A� �
FFFF3�E�E�E�Eن� ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Gن�,ذא� ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Gن�,ذא� ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Gن�,ذא� ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Gذא�,} ,{ feC =,����} , , ,{ edbaB =��������,} , ,{ cbaA =,����
},,, , ,{ fedcbaS =�7��\G���+وx�W�CC BABA , , ,� �
���������������CCA )( ∪��,CCABA )(, ∩∩�,BA ∪,�� �
����FFFF4EEEEن�������� ;;;Gن,ذא� ;;;Gن,ذא� ;;;Gن,ذא� ;;;Gذא�,�W�W�W�W} ,{ baC =, ��������} 6 ,4 ,2{=B������������, }7 ,5 ,3 ,1{=A�����x�WWWWو+��xو+��xو+��xو+� �� �� �� �
1�EAA×����������������2���EBB ×�� �3�EBC ×�����������������4���ECA×K� �
µëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛaµëþa@ñ†yìÛa@ @@ @@ @@ @
50
…a†Çþa@áÄã @Þëþa@Ý–ÐÛa
F5�Eא���אد�w#�� ����Kא��6א-�א�< �(��� ��#�wא���אد���Kא��6א-�א�< �(��� ��#�wא���אد���Kא��6א-�א�< �(��� ��#�wא���אد���Kא��6א-�א�< �(��� �� �� �� �
� �� �
FFFF6�E�E�E�E�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���FWWWW� �� �� �� �
� �� �� �� �
FFFF6�E�E�E�EFFFF�&)u��+و�&)u��+و�&)u��+و�&)u��+����3و+x����&)�&)�&)�&)�� �� � �� � �� � �� WWWW����� �� �� �� �
� �� �� �� �
FFFF8�E�E�E�E�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���F�� ��ون�א��(&��א23�� �� ���� >G���FWWWW� �� �� �� �
� �
� �
��ثانىال�الفصل �
� ��سس والجذورا� �
Exponents & Radical� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
52
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
‰ëˆ¦aë@��þa@ @
Exponents and Radicals � �
Òa†çþa@ @
����������� ����د�א�����א�א��������ن����א�س�א�W� �
• �� ��!� Kא%�$�وא��"�
Kא��وאل�א%� � •
• "(��� �Kא��وאل�א���(
K,��א+��د*!�א%� � •
• ��� �K)" ,��א+��د*!�א���(
I2–@1@Hò߆Ôß@ @
�א��א�������א�����������������و���������م��������������א����ن�א"�!�وא��� ��$��-�.���-�א�,���+*�������א����������א����������א��(����)�����'&�������א�����%�א�/���$�������
�א��������16ق�وא���3�����4ل������������א���������א���01(��א������������،�و$�/�%�م���78א��א=>�������;�א��:�-�وא��,�-�وא���)�01���K8א�א�:�@-���>���ض���(�א�����������و���
������ABא��������4�Gو�E���Fو�����Dא"��!�وא8��Bو��وא�������C8א"��������;��,Hא�����I-�א���01(���وא=>�����������/��;�א�,+*����א��������/��Kض��������<��������J6א��)
�����������א"�������������مو،�א�������H,���;�א��� :������;�א��������01وא��� ������;��א��� ���Cد�����Lא��K����)و�������و����>�א"���!�وא8��Bو��������>���אن�وא.����وذ���M����)�)N�Oن����
�������Q01<��Kא"�!�א�@���S�S���Rא�����Q01<��J6א8Bو �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
53
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
I2–@2@H��þa@@ Exponents@ @
�22222>������,���ن������>�א�����د�� ××××���(�@���T�(����U������V���W������,X�
(�س�،�و���/���א�����د�����Y���.�2/���א�����د��������52א���@����"W�5�M���)$س�و"��W�2�و8א��(�د6�����������5Kع���(�M�2�Cو�M5س����\�א����W� �
������1W� �
�����0�∋����Nnدא�.(�(����و���ن�) Ra∈�F�0≠a^ذא����ن�Fدא���������Wن �
F��������n��–�(�������Eaaaaana ........ . . . .=��� �
����a��$a����bא�(�)�א�>��������6د�����W��<��Aوא�������na�����D����-�U.���6M������a�V/:6����nא�������K��א �
������2�W� �
����−Nn∈�،�0≠a�a����،�na^ذא��ن������������������������������������������W����������������������������������������������������
na
na1=−K� �
I2–@2M1H@@��þa@´ãaìÓZ@@ @
Zmn^ذא��ن��� ∈,���Y�.�Zن����3�Rba�����א"��אد�א�@��S�S،�و�� ����د����,∋����J�)�).Wن �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
54
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
1. mnamana +=. �����������������������������������������
2. mnama
na −= �����������������������������������������
3. mnamna .)( = ����������������������������������������
4. nbnanba . ) .( = ��������������������������������������
5. 0b ; ≠=
n
nb
an
b
a K�����������������������������������
����W� �
1. 64242 333.3 == +
.�����
2. 527
2
7
55.5
5 == −K�����
3. 63232 44)4( == ×
K�����
4. 222 5) 5( aa ×=.�����
5. 4
44
b
a
b
a =
K����
µëþa@ñ†yìÛa@ @
55
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
�����W� �
�א����>�ج�א"$���������<<,X��)W ������א�(���6ن���m=0^ذא�و����>�����W��א�(���א�J6א���/mnamana ���������������������������������������������������������������������������������Wن .=+ �
��������������������0 ,10 . 0 ≠==→= ana
naanaana� �
����dIא���<����Wو8א��(�د6 �
1E10 =a��������������������������������������
�2E 0 ,11 ≠=− aa
a����������������������������������������
3 (ncnbnanba . . )c . .( =K� �
4E mLkaaka ++=ma .L .K� �
5E qpnmLkaqapana
maLaka −−−++=
..
..������������������������������������������ �
6E0 ; 1
)1(1 ≠
=−=−= an
anana
naK� �
7E0 ,0 ; ≠≠
=−
ban
a
bn
b
aK
µëþa@ñ†yìÛa@ @
56
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
�ل��F2�–1E� �
1�K150 =
2. 3
113 =−
3K10
5
2 =
K��� �
4K
−=
−=
−−
34
134
13)4(.��� �
5K3
333
2
5
2
5
5
2 =
=
−
.���� �
�ل��F2�–2E� �
�$e��f�-��g/WW� �
������� �
����������������������������������������������������������� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
57
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
-Nא� �
� �
� �
� �
� �
����6>���و����>M�h^�(���ijא�����k)( y−�����������d�<�/8א������و�l��m���V��6"��8��Bא�n��H4 2yx−�����������������,���0m������mزو���m�8������د�Bא�n�H���M��W&�2x��l�mن��,�ن��
−y^ذא�'�M�lm��K
@I2–3@H‰ëˆ¦a Radicals @ @
����א�0>��א�/M�QWن��<�W���22������)�)Nن�א����د�אM���<�$�2 ����V/�:6�����Dو�'���
�J$����42.222 8��א��2�������Wqو����4�1�/��6�O�8א�(���ل�Mن�א�����د��==��Bא������
µëþa@ñ†yìÛa@ @
58
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
8��א��,������������0د2و��W>:!�א"������4�1�/��6�Dא�(���ل�Mن�א�����د������4�Kد��Bא�����8�K�א��א"����������r�-�א�������م�א����0:��4�����$���������و��8א��(�د��6���"����אد�א�������,���ن���
������Kد��0/6سא" �
���0���ن∋���Nnدא�.(�(��و�ن�∋�Ra�+&�^ذא��ن�Fدא����W� �
���������������������������������������������n anaL =
=
1
��� �
8��א�>�������6دLو$/���BאaK�� �
�Zmnو^ذא��ن� ��������������������������������������Wن,∋ �
�������������������������������������������������n man
m
a =
�� �
ل���ن�א���د������+��0������22/1-�א aa =��������������D��������C8א���د�א����و�،�
�$���V/:6���������d$ن�א�>,��Ja�K�&+��24 2 42/1 ==��������������8�Bن�אM���<8א����و�
���m��+-���2�K�������4د��2א��W23 8)8( 3/1 −=−=−����m�8�����א��B���3ن�א�8��א�K��Wq−)2(�����−)8(������د���Bن�אM�������s�1��Uא����Rد����-��و�V������l���,��L�����
�<�t�،��8Bא��Waa =2K� �
ßcÜròí…†Ç@òZ@ @
9812/181 ) ==a� �
33 273/1)27( ) −=−=−b� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
59
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
164)2(5 )32(5/4-32)( ) 4 =−=−=c� �
216
643
6
4
36
162/3
36
16 )
3
===
d� �
òßbç@òvînãZ@ @
Ln Lman ma . .=� �
Muع���ق�������8��وא"س�אBد��-�א����-��Dذא���^�a6:!�א���د�����L�L�
&+����8Bא����R�*v�$W�6 473 27 =� �
@I2–3M1H@‰ëˆ¦a@˜aì�Z@ @
�u"�J�)�).��د����Rba ∈,�،Nn∈ن���W
n banba +≠+n .1
n banba −≠−n .2
n banba . .n .3 =
nb
an b
a =n
.4 ����������
I2–4@H@@pbàní‰bËìÜÛa Logarithms@@ @
ج���,���س��������w�4��Wא�:��@-�א��א������C�<�������������ABא��Lد������N-����+*������א�����������������������Kא��א���א"����وא����$/���א��א���א��� ������������mNא�nد��و���>
�����y�KאVU�xو��;א��� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
60
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
�����3� �
��-���,�Rx,y∈�،��1b ,0 ≠>b�،�0>y�Y����z�،�xby 6>����$(����ل�^ن��� =���;��� ��yس��{���0/<�W�bא���د���x�b���l�,$و��xyb =log،&+���W� �
��4162log ��1642"ن�= =�� �
��3)27(3log �2733"ن�= =� �
��225/42/5log �"ن�=−25
42
2
5 =−
� �
327/13log )�"ن�=− )27
133 =−� �
I2–4–@1@Hpbàní‰bËìÜÛa@´ãaìÓZ@ @
∋+^ذא��ن� Rcba ,,�Y�.�1b ,0 ≠>b�،Ry∈ن���W� �
1. 01log =a �����������������������������������������
2. 1log =aa �����������������������������������������
3. cabacba logloglog +=×
4. cabac
ba logloglog −=
�������
5. bayyba loglog =
µëþa@ñ†yìÛa@ @
61
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
6. ccaa =log
7. yyaa =)(log
8. ca
ac log1log =
yaya log1
log −=
K9
����F2–3Eل� �
�$e��f�&���0�Nون�א��%�אم�א|���א�W��mوMW� �
����
4
12log)2���������������������������������82log)1� �
��������������������3/1
4
12log)4
����������������������4/1
2
18log)3
���� �
�א� �
31.322log3322log82log)1 ====� �
21.222log.2042log12log4
12log )2 −=−=−=−=
12
1
82
log
1
4
1)28log(
4
1
2
18log
4
14/1
2
18log)3
−=−=−==
µëþa@ñ†yìÛa@ @
62
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
3
222log
3
2222log3
13/1
4
12log)4
−=
−=−=
����F2–4�Eل� �
��Wذא��ن�^ �
����������������27.03log =a, �21.02log =a� �
�$e��f�&�����R��mوMW� �
����72log)2 a��������������������6log)1 a� �
2log)3 a ���������������� 3log)4 a �� �
�א� �
48.027.021.0
3log2log6log)1
=+=
+= aaa� �
17.1)27.0(2)21.0(3
3log.22log.3
23log32log
9log8log72log)2
=+=
+=
+=
+=
aa
aa
aaa
����������������������������������������
µëþa@ñ†yìÛa@ @
63
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
105.0)21.0(2
1
2log2
1
2/12log2log)3
==
=
=
a
aa
135.0)27.0(2
1
3log2
1
2/13log3log)4
==
=
=
a
aa
@I2–4–2H@óÈîjİÛa@ání‰bËìÜÛaZ@ @
س�������{��;�������e�������b/���א��� �W�V���bא������01و�����;���� ���W�ln�،�Y�.W� �
���������������������������yye lnlog =� �
�Y�������.71828.2=e���������1د� ������*���0/������6و�,�������ن��ln =e�،�������0��)$�-���א��:�-�وא��,)�01$����(�+,Wو�/�%�م�K� �
@I2–4–3@Hô…bînÇüa@ání‰bËìÜÛa@Z@ @
س������{��;���������10�����b/���א��� ����W�V����bو������Cد�����Lא�;����� ���W�logY�.�،�W� �
yy loglog10 =� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
64
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
��א��د��W/Nو�/�%�م����א�KVUא�y��و�W� �
110log)1 =� �
21.210log.2210log100log)2 ====
31.310log.3310log1000log)3 ====
11.110log.1110log101
log)4 −=−=−=−=
21.210log.2210log100
1log)5 −=−=−=−=
31.310log.3310log1000
1log)6 −=−=−=−=
@I2–4–4@HóÈîjİÛa@ání‰bËìÜÛa@´i@òÓýÈÛaë@ô…bînÇüa@ání‰bËìÜÛa@Z@ @
����������������������������������������������������yy log3.2ln =� �
0��ذ�6�O:�ض�Mن}jW� �
1�Exey =�� �
�د����1��Cא���Lא�;���د����8yeWא��� �F1�E����-@wW� �
�������exy log.log =� �
2E���e
yx
log
log=∴���� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
65
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
د��������;�א�����1�����01א��F1�E����-@wWو�8yeWא��� �
���������������������������������������xexy == ln.ln
3���Eyx ln=∴�� � �
���F2�E�،F3�E����-@w�� �
������������������������������yy log3.2ln =
����F2–5Eل� �
��W^ذא��ن� �
����������������47712.03log =� , 301031.02log =� �
�$e�����0�Nون�א��%�אم�א|���א�W��mوe�W� �
������������������������������������������������������2025log� �
�א� �
����h^�Wא���Vא"و����~��Mن��S�W2025-�א���د �
������������������������������������������)25.432025( =� �
3066.33978.19088.1]6989.0[29088.1
]3010311[2)4772.0(4
]2log10.[log23log4 2
10log.23log4
5log.23log4
)25.43log(2025log
=+=+=−+=
−+=
+=
+==∴
� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
66
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
����F2–6Eل �
W 2100log^ذא����M�nن = �0�Nون�א��%�אم�א|���א�W��mوe� :100ln� �
����Wא �
6.4)2(3.2 100log3.2100ln==
=� �
òÇìänß@òÜrßc@ @
����F2–7�Eل� �
�Wو�M�sن� �
������������32
5 )2 aa
a =������������ 53.2 )1 aaa =���� �
���א� �
�������������������������532)..).(.(3.2 )1 aaaaaaaaa =+==� �
����325).(
)....(2
5)2 aa
aa
aaaaa
a
a =−==
����F2–8Eل� �
�������������������������������������������������������C�mMWא�������א|$�� �
2
6 )3������������)235)(2332( )2 +−������������2736 )1 −���������������������������������������������
µëþa@ñ†yìÛa@ @
67
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
�Wא� �
���������������������������������������33
33362736 )1
=−=−
61324
66156230)235)(2332)(2
−=−−+=+−� �
��������������������������32
32
2
12
2
2.2
6
2
6.3 ====� �
����F2–9Eل� �
�n�1�Mذא�^� �
��������������������7124.04log =b
�،�5645.03log =b
� �
������e$��א��%�م�$���\�و�Rא�J6א��� ��J��$����W
������������3
16log)3b
�����������������9log)2 b����������������12log)1
b� �
�Wא� �
���������������������������������
2769.17124.05645.0
4log3log
)4.3(log12log)1
=+=
+=
=
bb
bb� �
129.1)5645.0(2
3log223log9log)2
==
== bbb� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
68
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
8603.05645.0)7124.0(2
3log4log.2
3log24log
3
24log3
16log)3
=−=
−=
−=
=
bb
bb
bb� �
I2–5@Hòîàní‰bËìÜÛaë@òî�þa@pü…bȽa@ @
Äã@òíŠI2M1H@ @
ن����,�����>�א���دאن��)�)Nאvu,ن���W� �
� �
���W�������د��Lא��� ��د��Lא"����و�8א�א���z-�א<��s�/$�����<�78א�وO�8���mNא�����^�hא"�س�א��������01.����س�א��� �M�*�v$K� �
����F2–10Eل� �
� ����Wא���د���א���� �
������ �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
69
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
� �
� �
aݧ@ @
@ @
@ @
µëþa@ñ†yìÛa@ @
70
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
@ @
@ @
����F2–11Eل� �
� ����Wא���د���א���� �
@ @
ݧa@ @
@ @
@ @
µëþa@ñ†yìÛa@ @
71
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
µëþa@ñ†yìÛa@ @
72
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
@åí‰b·I2@–@1H@ @
F1E�(��U�g/WM�����mوMW� �
��253
8103)32
2
++−−
aa
aa�������������2
2
3
246)2
a
b +�����������2
7
6
18)1
a
a� �
F2E�(��U�g/WM����������d$6��mوMW� �
2
3
2536 )4
−
���������2
1
63 )3���������025 )2�����������02 )1� �
F3E����8Bא�(��@�W�����������l��MW� �
��������������65
)(2 )3 a���������������32
5 )2�����������������21
3 )1� �
�F4E���"א�(����W.�ل�����������א�@� �
61000000log)3 =��������327
13log)2 −=�������4162log)1 =� �
F5�E���������W.�ل�������^�hא�@��)�א��� �
��846 )3 21
=������������36
16 )2
2=
−������������2525 )1 =� �
F6�E���������R��m��0אو�Nون�א��%�אم�א|���א�WW� �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
73
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
����������2166log .3���������64log .2 4���������813log .1� �
����������001.0log .6���������64
1log .5 4
��������27
1log .4 3
� �
F7�E���g/WS�SUم���دא�)���m�4�����W-�א �
)1(
)1( .3
+++−
aa
aa�������������)51()52( .2
−−−����������
)23(
)13( .1
−−� �
�F8�E(��U�g/WM�������������R��mאوW� �
2
35 .3
c
ba����������75212232 .2 −+���������4 1086 .1 cba�� �
F9�Eg/W�$e��f�-��W� �
� �
F10E���د��Lא������W.-�א �
� �
F10E���د��Lא������W.-�א �
µëþa@ñ†yìÛa@ @
74
‰ëˆ¦aë@��þa Ý–ÐÛaóãbrÛa@@
� �
� �
��א����א����� �
� �
�وאل �א� �Functions� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
76
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
Ûa��Þaë†@Functions
Òa†çþa@ @
����������� ����د�א�����א�א��������ن����א�س�א�W� �
• ���و��א� � Kא��א���و"����!
• � K,+�אع�א��وאل�و)�'&%$
�-�א��وאل •&./.���&01K
• �&23��� Nא��وאل�א�5&��وא���4
@ @
I3@–@1@H@ò߆Ôß@@ @
���א���������������� �����א�������א������������������������������������#"��دא�����،�و���� #م�א�+א����א.دوא-�א,����+"א*��א��(����א�)'�$���،�و'���&�א��%�$�������������%�&��'
�23)ز�א��0#$#-�� #م�א�+א���א�)'�$��وא����%��Kא�������0�+���4 �
#م�א�+א���،و�وא��<=��2>��;��و:9)���8א��672%��?'(�4�@�A�7�B��@��*#4� ��#م�א�+א������%�����=>���;���0<=������2>����;��و����2>��CD�،�6��E���0+�����;�א-��'�
F(93�Kא�����א.*�*����+א������2;��و'���7א��;�G��A�independent)E3و����و���א���;�EK(��dependentsא��;�א-�א���G�A���74��2א��;�א-�א.9)�Fא�)���2��AI4;��א� �
���א��وאل����Wو �
1K 7�J��$ل�#L���0�+���4�@2(א���M�F+Mوא��;�O��;���=>0KE� �
الوحدة ا�ولى
77
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
2K ��8(A=�?PB���0�+���'��(א���QRMF+Mوא��;�O��;���=>0KE� �3K ج���BT�6د��9א�%)د�'�#=?���������0א*#�F+Mوא��;�O��;���=>0KE
4K �J$(0و�J�#L���0�+���'���A�7א���M�7F'�;�O��;���=>0�KE
5K 7א������Fאز#������Q����RM���+����0�E����0+��و����0)ض�א��Eل�א�#����L�������0�+�������'�->�A��;�א-�FوאW"4%�ع�X>�2��;���=>0�KE
8�א�א�%���CD��PوYB)א�.����8א�+وאل�������0 ����وB3#אא�������E�Eوאلא��+��*#��B�Z)ض������دوאل������א-�א���+ود�،�وא���+وאل�א���א�����+د��،����،�����E7)'�،�وא���+وאل�א�����+د��א�����
3�����א����+وאل�א�������������YB)א���K.*�����،�وא����+وאل�א��#��"'��������ودא������א������Eس،�وא����+وאل�א���93)���8�א�א������\������������>�����>P�������,����Bد(�]����� ���8.�K���^�I�����_��'3��`��$(�4و
�����c+'��+�א���bل�وא���+�����F+وאل�����aא�+"א*����و������א��������-������0א���+وאل،������%������B��2�� ����eوא�،�IP�Bf������E�E����0א��+وאل�א���P�%א�א���8����3���א���+وאل�������د"א*��`���
���I�(א��� �=�``7�gذن�אj2���א�%��Pא����8�א�א����\�K� �
I3@–@2@H@ÑíŠÈmòÓýÈÛa@@Relation @ @
���'�;���Ryxא��<=������2>� ∈,��8�kل������lو�،����I4(א.زوאج�א��������0#�l� �#����0#�lא��`������������א��<=����0#�l�#8א��`��)�א.������F+א�����������زوج�3�Cو��(��
����زوج���B��א�K� �
�Wو���������א��א�� �
1K ��� Wא���C+ول�א0n�m�G'(L+ول�')2�62>�א��;�'�،�����
8 7 6 5 4 3 2 1 x�16 14 12 10 8 6 4 2 y�
��F3�–�1Eول�
الوحدة ا�ولى
78
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
2K �;���G'(L�0�Fد����E������$�'"���xy 2=K�� �
��6�Eل������3�qM>Byن������=�������P�Ppل����������+��M���8=�����و(r�`4��8א+������x�،�
�����������������Eא���+��Mدא����و��� B]2א�������s��8���2�����M>�3ن����Kو'�Eل���+א���xy =��،��<��4y�Q���Eد��א�+������+אy��8ل،�x��P��Pp������=�������F3ل�E=������ن���F+א�����������
#م�א�+א���א�r�`4x��E�E)��8=����ن�ل%��?'(�����Bد#E'א���K،�و8 �
I3@–@3@@HÛa@ÑíŠÈmòÛa†@Function @ @
���E'f�����0#�lل���<=����X����0#�l�CD�Yد���������(P�`0ذא����ن�����Dא�����X�t�����0<=������@�P��`0)�وא��M+������0א.����)��Y�Ku3�����m3����J��B3�u3�'(P��`0�Xxx ∈21,����8t��'(P`0�@���=>0�Yyy �Wو'�#ن�,21∋ �
)()( 221121 xfyxfyxx ===⇒=� �
�����0#�bא�k�7��4X������0#�bوא�G���A`����0#א��lY���(P��`����0#א�#���#ل�وא���l)(xf��"#����xא�+א���������A���*#2א)(xf�Kل�3ن�����E'و)(xf��t������(�������Yذא�D
�������x�����(����`0ن��(P��`0�u3�@������=>0�t�v����Y�K3ن��u3)(xfد���#��m#�����tY�� �
@ @
�"�wTא�"+x�G�A`��0#א��l��(P`03ن�����CD�Fل�bא�E���0��+Mوא��"#��J���(P`0�y�`8��0#א�#�#ل�א.��)�،��2`���=+�'�#ن��lF�2�Eل�א��bא�E��+0�J�
"#�K� �
@ @
الوحدة ا�ولى
79
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
���א���)'��?�א���3�q��M>B�G2�7ن����lل�domain) E����0#א.��0+אد���l�#��8א�+א�������Q���=�����eא������Xx∈��Q���=�����e����0#א.��0+אد�א�������l����3�،�Yy ∈�����e���� ��
F+range)�E�����@2א������א���;y�����F+�و��א��7(�7�������2دא������������Kא�+א������و�'����7�t���A�X��w���0���y = f(x)��3(E4א�+א�����?�،�وft��x�K?��+�mذא�وDدא������و���(���3��`�7}+م����������0��I������F(�93�Zو(M��>�����،�+א����א.و�Cא�����I���0�����Wf(x)א��+وאل�
g(x)�0��Iא�������B��א���א�+��،h(x)0��Iא������،�א�+א���������KKK|אK� �
�ل�F3�–�1E� �
)(D232ذא���ن�� +−= xxxf���+mو]�)2( ),1( ),0( −fff� �
�א�� �
22)0(32)0()0( =+−=f� �
� 02312)1(32)1()1( =+−=+−=f� �
���122642)2(32)2()2( =++=+−−−=−f� �
�ل�F3�–�2E� �
��Dذא���ن�12
2)(+
+=x
xxg�������+mو]�)3( ),3( ),0( −fff� �
�א�� �
���������21
2
12)0(
2)0()0( ==
+
+=g� �
5.010
5
19
23
12)3(
2)3()3( ==
++
=+
+=g�� �
الوحدة ا�ولى
80
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
1.010
11923
12)3(
2)3()3( −=
−=
++−
=+−
+−=−g� �
�ل�F3�–�3E� �
�א�+وאل�א{��4�����F+ل�وא��bא�+m3وW� �
���22(x) .1 −= xf� �
2(x) .2 −= xf� �
1
12(x) .3
−−=
x
xf� �
�א�� �
����������������������������������������������������22(x) .1 −= xf� �
�����������E�E����0#א.��0+אد�א��l�#��8א�+א������s��و������>�Rوא$��~�3ن����lل���8���Q�=���0#�l�"��{`*�F+א�x������Q��=د����Tא�+א����������� �א�`����y���(rو��B#ض�0`
������,��'W� �
3 2 1 0 -3 -2 -1 x 7 2 -1 -2 7 2 -1 y
xfy)(���+א����������א��n+ول�وא$��~�3ن�3=����=�������� = ����8��–�2)��Eو���4دאد��jن�+�Fא�+א����2x�#8'�د��=����������∞<≤− y2K� �
��������������������������������������������������2(x) .2 −= xf� �
الوحدة ا�ولى
81
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�Q�=א�+א�������s��"��א�����lxل�8nא�fc����Eא����x≤(%��� �
������������������������������������������������2 02 ≥→≥∴ xx-� �
�jن��lل�8��sא�+א����#8�����∞<≤ x2K� �
��0#�=������Qو����l�"��{`*�F+א��<�xد�����������Tא�+א��������� ��و�B#ض�0`Q�=y��'������(r�`א��W� �
5 4 3 2 x 1.73 1.41 1 0 y
����y�Q=�0'�#ن�0`+��8=����א�+א���x=2وא$~��אn+ول�3ن�3=��=��������jن�+�Fא�+א����4x�#8دאد��2'�د����������،∞<≤ y0K� �
3��א�+א��W�� �
������������������������1
12(x) .3
−−=
x
xf� �
����#��8����,�lو����EM�W���� %'(�4�Q���'�Z#��*���7א�+א�����א����7)'��و�����Q���=�x�������������������������%)≠א�������xא��Eم� �
1 ≠∴ x� �
���jن����lل���8��sא�+א�������#��8�������}1{−RKد���+��)����8��sא�+א������F+������3��'����W� �
)1()1(
)1)(1((x) +=
−+−= x
x
xxf� �
الوحدة ا�ولى
82
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
����lل��Q�E�2^�א��#����2'^�0x��+m#BQ�=�y��'������(r�`א��W� �
� �
4 3 2 0 -3 -2 -1 x 5 4 3 1 -2 -1 0 y
��0+א��Q�Eא�+א������#8@�א��s�8�F+��3�F3�Wن�א�+y#8�F=2وא$~�3ن� �
}2{−R� �
I3@–@4@H�bîãbîi@òÛa†Ûa@Ýîr·@Graphic Representation
c+'��+�א�����א,`+*������+א����������0����F#�7א�P��E#د�����2������א�����B����I+א�������#��8���������nא�����I=�Qא��������������Mא(�������� �Kא���MT+א���-�א���"��4'�����وא�������*����GIد"א*����
��'������Wو*`�}��A9#א-�e����א�+א��� �
1K ���Q���=�^���2���0ض�#���Bxل�א�����b������`4א�+א��������א����������=xfy)(�+א�����،�و��������������0#�l��������0��P�����)`*א.�����0+אد������I4(א��)}( ,{ xfyx }, {�3و�= yx�،
����Mxق��4)'��?�א�+א����،�و�������AB�����(P�`0�F3)(xf3و��y��r���`א������E���8א����(��sא�+א��,K� �
2K ��*�`א���א�+MTم�א�Y`א��<�B�FF��4"א����E.א�������� ��0��`�PMزوאج�א����K
3K .א�s�8���e�6א����E`א���+د�א�+MTא�F#�7زوאج����0א�K
4K ��A����6���א��<=��א��E`א��s� 2�"���B��2��`)`�Q*(BK����� �
����F3�–�4Eل� �
��13א"*�Qא�+א�� −= xy� �
א�� �
الوحدة ا�ولى
83
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
W3و�W�����������E�Eא�+א���������#�8א.�0+אد�א��s�'�%�����،�وא�+א����������A9وא$�~�3ن���lل��8������،Q�E�7���0�6א��6א�E��<�AEB�+'+c�� �(���������Q��=�^��2��0ض�#�`�*������
x�Q�=�+m#Bو�y������(r�`א��k�'W� �
3 2 1 0 -3 -2 -1 x 8 5 2 -1 -10 -7 -4 y� �
��B���WF��4"א����F#�7א������#4=�@�א�`�Eط� �
������W��`)`�('(eFא�����s�8����69�Eط��E`א��s��9<ل�8F���w3�–�1KE�� �
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
� �
���F3�–�1E� �
I3@–@5@H@Òbä•còîÔîÔ§a@Þaë†Ûa@@ @
I3@–@5@–@1H@@…놧a@pa�r×@Þaë…@@Polynomials@ @
الوحدة ا�ولى
84
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�������������M�����J$��)\��3ودوאل����#�4+����א���b#ع�א����F&��nو����8`��M��+��0+ود����<��Wא�P#"��א������ �
�axfא�+א���א����������������������������������������2–1 =)( � �
2–�������������������������������Aא�+א���א��baxxf +=)( � �
������cbxaxxfא�+א���אא�������������������2–3 ++= 2)( � �
���MRcba ∈,,f2א#��K� �
�xو�4#ن�د"���m����א�+ود���8א�&�3س�����;����Cوא�+�א���،x��G���A���7א���+�א��'K.����0#א�l�#��8א���+وאل��s�3����א���+��Fو���lل���8�����E�E��0+אد�א�
w���0�?=#�������Kא�+א�� �
8���0��sא�+وאل����3W� �
����������������������������������������5)( =xf� �
�xf=− )(��3دوאل�������������������������������������2 �
���������������������������������3)( += xxf� �
�������������������A9����������12دوאل�)( −= xxf� �
������������������������������22)( −= xxf� �
=++ )(�����������132دوאل�4)��������2 xxxf� �
����F3�–�5Eل� �
الوحدة ا�ولى
85
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
@���Dد�א�bل�وא�+�����Fدא�����B��2א�+وאل�א����������W� �
0)( .3 =xf�������������5)( .2 =xf�����������7)( .1 −=xf� �
�א �
������#��8����,�lن�#�����3����א���+R�K��Fوא$��~�3ن���8��sא���+وאل����� ��دوאل��������27��}�����?��Z>�9����2א�+א������،��������Rل�א�+א��������)( −=xf�#���8�}7{−ل������l�����3�،
#xf= )(5א�+א����)(0،�و�lل�א�+א���}5{� =xfF0{�'�7و{K� �
���w����~$#��א�+وאل������B��Iوא�������א�F3�–�2KE� �
�������������-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
� ����F3�–�2E� �
����F3�–�6Eل� �
bא�+m3و�F+�����23+א���ل�وא�)( −= xxf��B��2�� ���Q�K� �
��������א �
������23)( 1. −= xxf� �
الوحدة ا�ولى
86
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
��8��sא�+א���������Cא.و����m"+א���������#��8@�א.��0+אد����������K��,�l�����M+ود���E�Eא��R،�����#8+א�8و��� RK� �
�������������،Q�E�7�����0�6א���6א����E��<���AEB�+�'+c���� �(����%�'�����A9وא�+א�����Q�=�^�2�0ض�#�`*x�Q�=�+m#Bو�y��'������(r�`א��W� �
3 2 1 0 -3 -2 -1 x 7 4 1 -2 -11 -8 -5 y�
@=#Bא����tط��E`����F��4"א����F#�7א�����Q���"(א������`)`Fא������������s��8�����6�9�E��0�9<ل�8��sא�`�Eط��P�����w�F3�–�3E��2א�+א��������F�����B�Kوא� �
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
� ����F3�–�3E� �
I3@–@5@–@2@H@òíŠ�ØÛa@òÛa†Ûa@ @
���������������������Wم���Eא���و�I0��8"��0�دא�������4#ن�����9"ج�=����7دא���>�����א-��M+ود�،����(%Pא��Fא������'�7و���W،�و,��א�P#"��א��� �
الوحدة ا�ولى
87
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�����������������0 ,)()( ≠= q(x)
xqxpy� �
���I0����#��8����,�l��@L���E4"����0����9"ج�=�����7دא����>�،������#ن������א�+א�����א����7)'������8و��0+א��3%�"�دא���א��Eم��� ���lKא�+א�����w���0�+������F+א���3��K� �
����F3�–�7Eل� �
�����3وm+�א�bل�وא�+���F+א��4223
++=
x
xy� �
�א �
��0+א��%�3"�א��Eم���E�E���#8@�א.0+אد�א���,�R��8��sא�+א����7)'���K� �
���F32 ≠x��،������#�8א�+א�����s��jن��lل�8�����}2{−R�K����3���F+א���+�'+)���א�א�`#ع��א�+وאل��v���Bو$�@�א���;�א-�،��O`���א���;��א����2@����������,y�����;���~IP�'
�E�7א���وא��;�،��E�7x�4}���@2�4�~IP'��W� �
�<�(Aא��\(_2t�)42( +x����0��P�W� �
yxyx
xyyx
xxy
4232
2342
)23()42(
−=−+=+
+=+� �
32)42(
)42()32(
−−=⇒
−=−∴
y
yx
yyx� �
الوحدة ا�ولى
88
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�� ����+'+m����7�f)I�]�y�،��E�7��;���9]'����E�Eא.0+אد�א��@����2�0+א�א��+دL3�،�0�(��`א�+א������#8@�א���s�8�F+�،� �y=3/2+אو�C����2'�#ن�
}:}2/3{و'�#ن�+�Fא�+א����#8 −∈ RyyK� �
��w����������B��2���eوF3�–�4EK� �
� �� �
���F3�–�4E� �
I3@–@5@–@3H@@@ñ…†Èn½a@òÛa†Ûa@@ @
k80+�����9و�=������א-�و�����CD�Q7Eل�א��bא�+א���ذא-�א�� 2�K� �
����F3�–�8Eل� �
����א"*�Qא�+א�������� 1 23
1 1
<−≥−=
xxxxy� �
�א �
�������� B3א�+א������;�������0������F3�،�<�4وא$~�����(��3�yن��AI4(���@��x��2W+א��>�����'�� �
الوحدة ا�ولى
89
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
������1 ,1)( )1 ≥−== xxxgy� �
���1 ,23)()2 <−== xxxhy� �
������Q��=�����0#�l�"א�+א���������s��8�Q*(و�x�������Q��=�+�m#B�Q���،�������������0� y��,��(r�`א�K� �
)(������������W��������1 ,1و ≥−== xxxgy��� �
1≥x� �
6 5 4 3 2 1 x 5 4 3 2 1 0 y� �
������������W�����1 ,23)( <−== xxxhy��� �
1<x� �
0 -4 -3 -2 -1 x 3 11 9 7 5 y
Q�Eא��s�8�@=#B�،F��4"א����F#�7א����������w���0��PF3�–�5�KE� �
�Wو����ل�93)���+א���א���+د� �
������������������������� 5 0 , 303 , 43)(
≤<≤≤−−=
xxx
xf� �
k�'�����<4���CD�Q7E��3ن��lل�8��sא�+א����MW������������������������������������������������� �
�������������������������������0 3- ,43)( )1 ≤≤−== xxxgy� �
الوحدة ا�ولى
90
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
� ����F3�–�5E� �
���%E�#8א�%���א���,�l0,3[و[−� �
�Wوא�+א���א�����2 �
������50 ,3)( )2 ≤<== xxhy�� �
��l�}3{K,��8#�وא�� �
I3@–@5@–@4@HÛa@òÛa…@òÔÜݽa@òàîÔI÷bîÔ½aH��Function of Absolute Value@ @
�2��W+א���א�����Eא�3��E�Aو�א���Eس�Dذא���xffB)(���74א�+א��� �
xxf =)(� �
�4)$����`���������و�+����Eא.ول���P����%א���،������E�Aא���������E���������*�*.אص�א#����{���Cא�+א������0א�`(#�א����s��Wو��``���0Dد�����8��2 �
الوحدة ا�ولى
91
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
0 x
0 x 0
0
)(
<−=<
=x
xx
xf� �
�F3�(%Pس�א�������E��'���#ن���%)�،�و����Eس���0�F3+د��Z>��9�(��93א���3�Z���(%Pن�����m# ��#�����0R+אد�א�������E�Eو���lل���8��sא�+א����������#��8@�א.�����0�K+د����+א��8����3�،
�Im#א����E�Eא.0+אد�א��@���R+(%Pא��CD����$T�2�K��'�������B��2���eو�W� �
��������������Q��=�"�����Z#7����3ن�8��sא�+א�����JI��4א�+א����א����+د���M��;�����x����������وא���#'^���Tد�=�������y��F���w3�–�6EK� �
0<x� �
-3 -2 -1 x 3� �2 1 y
0≥x� �
3� �2 1 0 x 3� �2 1 0 y� �
����F3�–�9Eل� �
l�+mא�+א��3و�F+)(�����2ل�و −= xxf�K��B��2�� ���Q��K� �
�א �
�������������E�Eא�+א������#8@�א.0+אد�א��s��#9אص�دא���א���Eس��jن��lل�8�R����3�،
������Im#א�����E�Eא.��0+אد�א��@����#�� ��+א��8+R�(%Pא����CD�����$T�2��K�� و���������2kא�+א������0א�`(#�א�����s�8��2�����+��`*���B�W� �
الوحدة ا�ولى
92
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
� �
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
� �
���F3�–�6E� �
2 x 2
2 x 0
2 2
)(
<−=<−
=x
xx
xf� �
�;�����Q�=�"���x����=د���T�^'#وא��������������y��F��w3��–�7KE� �
2<x� �
0 -5� �-4 -3 -2 -1 x 2 7 6 5 4 3 y� �
الوحدة ا�ولى
93
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
2≥x� �
� �
� �
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
� �
���F3�–�7E� �
@I3@–@5@–@5@HÛa†ëþa@Þaòîàní‰bËìÜÛa@ë@òî�@ @
Logarithmic and Exponential Functions
��Q83א�+وאل�א�)'�$������#��"'������و�א��אل�א.*�����وא�+������F3����و���74א��+وאل�א����7����'&m�����;א����+وאل�א��Kא,`+*��������و�-����E�IAא���������8��sא����+وאل�������א��+'���+��(��� Y4
6 5 4 3 2� �x 4� �3 2� �1 0 y� �
الوحدة ا�ولى
94
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
،�و������9�����א�����E�IA-�ذא-�א�`���#�3و�א�����BWش�،������א�`���#�א�����B��7،�������وא���������������'��I03+אد�א����و�y�`8א"���L�I4و���K�����Eو�8�אوא�`�#����03+אد�א�%�و*�-�،�وא�`�#�
����4&����دא����v�0א.F(9א���א.*���وא�+�2>�א�+א��M�،�����'"��#א����K� �
I3@–@5@–@5@–@1@H†Ûaëòî�þa@Þa@@ Exponential Functions@@ @
�;�Pא�+א���א.*�����8دא���,��א� ( ) xf x b=���M�،�0b>�،�1b≠K� �
����2�K.س∋Rxو'�2����7.*�س�3 �
3���������א������+وאل�א.*��������������)��W)35(10)و xxh −=��� ,)2(3)( xxg =����,�xxf 2)( )Dذא����2�W��fB^�#9אص�א�+א���א.*��������'��kو*`�}����= ) xf x b=�
��M�،��0b>�،�1b≠ن���W� �
1K u.�1b>ل���+א���E'�)(xf�'+'�4א�K� �2K �fBذא���D0 1b< ��E'��)(xf��P=�`4�Kل���+א��> �3K ل�א�+א����l)(xf#8�( , )−∞ ∞K� �4K א�+א����F+)(xf#8�(0, )∞K� �5K �"#a�@AE4א�+א���y�AE`1 ,0��0`+�א�) KE� �6K �� ��Kא���א'+�وא�`�PEن�א�7)'@3'_�و�#9א� �
����F3�–�10Eل� �
`(`��א�+א���א.*����Q*"אxxf 2)( =K� �
א�W� �
الوحدة ا�ولى
95
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�������K+د�3و���EB�Wط�L���E4@�א�+א�������@��F"#��aא��MT+א���-Bj������#��9אص�א�+א�������@L�E�4�"#a�@y��AE`1 ,0�0`+�א�) �E���"#�a�@��@L�E�4�W�� �وذ�����x،�و��`
02.ن� =x3ن�����`�'�)( −∞=xWא����@����،�و��8�@L���E�4�Wא�+א�������������،�G��E)�'��"#ax����=�-(;�������J`�\�E4�� ��x���w�F3�–�8KEو��` �
)و'�#ن��lل�8��sא�+א������������#�8 , )−∞ ∞�u3�،��������`�2����E�Eא.�0+אد�א��@����+א�#8��8( 0 , )∞�،u3�Im#א����E�E��0#א.0+אد�א��l�K� �
� �
�� F3�–�8E� �
����F3�–�11Eل� �
`(`��א�+א���א.*���Q*"א��x
xf
=21)(K� �
الوحدة ا�ولى
96
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�א� �
��������"#�a�@��@L��E�4���� Bj���#�9אص�א�+א����y�����AE`1 ,0�0`�+�א�) �E��W��� ،�و��`�"#��a�@���@L���E�4xK�#���'א�+א�������8#��و�s�)ن����lل���8 , )−∞ ،������F3@�א.��0+אد�∞
�2`���+א�#8��8���E�Eא�( 0 , )∞�Im#א����E�E��0#א.0+אد�א��l�F3�،K� �
�����w�~$#'F3�–�9�E�����������=��=��`�4��+�`0���'� BW���CD�\�E43ن�=����א�+א���x����4دאد�=�����2`���4+`0�(%Pא���\�ExK�� �
� �
�� F3�–�9E� �
��2.*��س�א��e���������IAو'�eK������7א�+א���ذא-�א.*�س�א�������IA،��א.*����و�א�+وאل��������������IAא8)�א�#Y���2��Eא�����7א�������������s"# Y�����I7�B��و�8#��0+د����،��Jو����
F2.71828182846=�������74���2و �K� �
الوحدة ا�ولى
97
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�8��sא�����E؟����3'����و������eذא��7�B}+م����f�43e Euler number)�E�������A�و
א��P;��א��������n
n
+ 11����=���M�∞→nK� �
�א.�������0א�+א���א.*���ذא-�و���IAא.*�س�א�eW� �
�������������������xexgxexf −== )( ,)(� �
����و�q�M>'����<א��+�����B���Iא�א������א�������w�����~�$#F3�–�10E�،3ن������,��E2�7#9אص�א�+א���א.*���א��v%BK� �
� F3�–�10E� �
I3@–@5@–@5@–@2@H†Ûaë@òîàní‰bËìÜÛa@ÞaLogarithmic Functions � �
����������(�����2����,����xא�+א�����א��#��"'�����������8����#س���+א�����א.*�����و')b
y log=�،
�����M0, >xb�،�1b≠�Kא����+د��Q�'"����#א��(��E4وxس���*����b�Kא�+א�������s���8�Q��*"�+��`0و
الوحدة ا�ولى
98
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
���������������Q�E�7ل�א���6א��#�M����*.س���+א����א����B���0א��P)`*xy =Kن�����#��'���و0`�+���7B�ln}+م�א�)�����eא.*�س����#8�W+2�log�F����B���א���P�%א��@mא"EK����w�F�3�–�
11�E�Fא���د�Q�'"��#دא���א���<I'xy log=��� *#��xyو 10=K� �
� F3�–�11E
�א������7B`���א�#אص�א���������+א���א��#��"'����W� �
1K 2�(eא�+א�����AE`��)0 ,1("#a�@AE4�WوyK
2K �fBذא���D1>b�fBذא���D���10�jن�א�+א����4א'+'��،�3 <<b��P=�`4�� Bj��K
3K ���'"��#ل�א�+א���א���l���E�E��0#א.0+אد�א��l�#8��Im#א��K� �4K ��'"��#א�+א���א���F+��#8���E�E��0#א.0+אد�א��l�K
5K �+`01=x(%��F�4#ن�=����א�+א����74و�K
6K ���7د�א�+����Q�'"��#��+m#'�WK
الوحدة ا�ولى
99
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
8���0��sא�+א��-و�GIA`4=#אB>�א��#��"'�����B��א���P%א�������Kא�#$(�� �
I3@–@5@–@5@–3@H@ání‰bËìÜÛa@òÛa…ïÈîjİÛaW Natural Logarithmic Function � �
������IAא��Q�'"����#����4&�دא�����א���xln א���+وאل�א��#��"'�������وא������'���#ن�����Q��83��� ��א��+د*�*3e������2�~$#��sא�+א���,��B��Iوא�������א��F3�–�12KE� �
� �
�� F3�–�12E� �
�����Wא��א������א��אص�א������ �
1K 01ln �10.ن�= =eK� �
2K 1ln =eن�.�ee =1K� �3K xxe =lnن�.�xx ee =K� �
الوحدة ا�ولى
100
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
4K xxe =lnن�.� ln x�8k��0��P����M�J��(B�F���x�Kא.س�א� �
����F3�–�12Eل� �
����xyא"*�Qא�+א��2
log=� �
�א� �
����"#aא�+א����@AE4x��4#ن����������+�`0�y=0��4#ن�����������+�`0�X+א�����8�،x=1�K3ن���F3����"#a�@AE4א�+א���x�0���AE`1, 0(`+�א�(F���������'"��##9אص�א�+א���א���KE��Wوא�+א����
���"#a�@AE4y�����������������=��4#ن���+�`0�J�`�\��E4�� ��jن���;����K����m+א�����xو��`������,��0#�l�(0א.�0+אد�א�����E�Eא�#�l��������Imل�8��sא�+א��������#8 �2`�����+א����#�8��8∞(��،
( , )−∞ ∞����E�E����0#א��l�F3��Kא�����������q��M>BF3�–�13�E�@��AE4�W3ن�א�+א������"#ayJ`�\�E4�� ��Kو��` �
�� F3�–�13E
الوحدة ا�ولى
101
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
òÛìܪ@òÜrßc@ @
����F3�–�13Eل� �
���������Q�����P�=�`4��� `�F3א�+وאل�א{�4���4א'+'��و��F3�<23و�����F+ل�وא����bא�+�me�@� �����B��2��K� �
�����������x
y
=41
)2�������������������xy
=2
3 )1� �
�א� �
�א�+א�����#9אص�א�+א���א.*������jن�����x
y
=2
)�.*��س��4א'+'���.ن�א��3 )5.1 ��&��3�
�����1��K#8������,�l�������0و#�lא.����0+א��������E�Eد�א�( , )−∞ �2`�����������+א��#����8��8،∞���Im#א����E�E��0#א.0+אد�א��l(0, )∞. ��w�(YB3��B��Iא�������א��F3�–�14KE� �
� �
����F3�–�14E� �
الوحدة ا�ولى
102
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
3��א�+א����x
y
=4
�����P=�`4.ن�����1���و3'_����30.1=���F�0.25�E.*�سא
l�����,�l������E�E�����0#א.���0+אد�א��( , )−∞ ,0)و����+א��#���8��8،∞ )∞����0#�l�F3����K�F���w3�–�15E���Kא�#���Imא���E�Eא.0+אد �
� �
����F3�–�15E� �
����F3�–�14Eل �
���אn+ول�א����e�C����دא����3*����3م�W؟�وDذא��������������������Aא���Q�Eא��fBذא���D�~$و���fدא���3*� *�*3�+mو]����K� �
x 2 3 4 5 6 y 6.25 15.625 39.063 97.656 244.14
الوحدة ا�ولى
103
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
�א� �
��7�Q�=��'א�`��7א����������2+א��������W� �
(3) 15.625 (4) 39.063 (5) 97.656 (6) 244.142.5, 2.5, 2.5, 2.5
(2) 6.25 (3) 15.625 (4) 39.063 (5) 97.656
f f f f
f f f f= = = ≈ = ≈ = =
� �
Q��7��`�7و'��������א�����Fو�7��4و����I'(E45.2��،ول��+��m�7`���3ن���B���������4Kא'+'��3و����P=�`4א���3*��א���W�Q�E���د �
I3@–@6@HòîÜ™bÐnÛa@Þaë†Ûa@Differential Functions
��������������������AEB�+�`0��;א"�4`�*���א���+�EO��`�'�#8א�)'�$��-�و�Q�0وع�(��+Mא���#8��$�%א����������$�%0<=����،�و"'�$����t��`���#8���Eس�����3�Eو�א���F�@2א�+א����`����AEB�+`0
��9)����;����E+א"�4;�����:��;�����I7�`��2�Kو�������t��;�7\�א�����M����0���$�%�3א��+�I'�E#م������kB����א���א�%��)ق�������;������E4�Q����������;������I7��`��2�<���AEB�<��2�������kB،�و������=
��K=������א����;��א������CD�kBא���P%)����7\�3دق������;��وذ����������M'���ول�א�%��)ق���2>��Kوא�+א���א���I0��8����$�%"��0�0<=��2����$�%4>�א��;�א- �
���<�א��<=��2>���JRא�7)��0Fvr
�E���MزאTא�JR��Fxوr
�E��Ft�E����8وא���4[9��א�����א���4�C%�$����دא��W� �
dt
xdtxv
r
r =),(� �
�����R3'��_��א��<=������2>�א��Far
�E�0(7א����J��R�Fvو�r
�E����8دא������Ft�Eوא����Cא�����א�����9]4����$�%4W� �
الوحدة ا�ولى
104
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
dtvdtxar
r =),(� �
��������`B�Z#��*و��������0א���+وאل�א��%�$���������������������وא.��=���s���8�א�%����Pא������א��%�E��Pא���دF-Wא�+وאل���k�2����$�%א��K� �
I3@–@7@HòîÜßbØnÛa@Þaë†Ûa@Integral Functions @ @
���jن��������0א������������������v���0����8א��%�$����،�����א����jن��������#��8����#م�0<=����4����2>�א��;�א-���0��"�I0��8�����و���74א�+א���א����������Kא�+א���א����
�M3����2��B��K+א���א��� �
�����MزאTא�JR����<�א��<=��2>��Fxr
�E���0(7א��JR�Fvو�r
�EFt�E���8وא��Cא�����א�����9]4�����Wدא�����4 �
∫= dtvtxrr
)(� �
��M)(tvr���tKدא������א�� �
Fvو3'_��א��<=��2>���JRא�7)�����0r
�E���Rא���JR�Faوr
�EFt�E���8و�א��Cא�����א�����9]4�����Wدא�����4 �
∫= dtatv )(rr� �
��M)(tar
���tKدא������א�� �
�Kوא.�������0א�+وאل�א�������������و��+د� �
الوحدة ا�ولى
105
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
åí‰b·@I3@–@1H@ @
F1�E�+m3و)f(-), ), f(f(-), f( �א�+وאل�א������0 32 5�����W� �
�������522)( .2 −−= xxf����������������52)( .1 += xxf� �
�����������2
32)( .4+−=
x
xxf��������������2)2()( .3 −= xxf� �
F2E���'(�#א*�}+م�#9אص�א��-����������log'����������W� �
�xyy 8log .3 =��������
=
2log .2 7
z
xyy������2log .1 5 xyy =� �
F3E�"#������4]'���0�&0��log��+�Mو�W� �
�������zyx 5log5log5log .1 −+� �
����������yx ln3ln2 .2 +� �
������yx ln31
ln21
.3 −� �
F4�E�4]'����>��672�-���'"��##9אص�א����+{�7�W� �
�������������������7lnlne������� ,3ln −e����,���5ln.1 e� �
�����������������6log10��� ,310log −����,���510log.2� �
الوحدة ا�ولى
106
@@@Þaë†ÛaFunctions @sÛbrÛa@Ý–ÐÛa
F5�E������F+ل�وא��bא�+mא�+وאل�א������3وW� �
��3)( .2 −= xxf���������������
>−≤−=
2 ,12 ,23)( .1
xxxxxf����
9312)( .4
+−=
x
xxf��������������������������������������
12)( .3−
=x
xxf���
22
3)( .6 xx
xf +=�����������������������������������xxf −= 2)( .5� �
�F6�E�"#a�@�@L�Eط�א���EB��`�I�א�+وאل�א��������>��Q*"3x"#a�@��yWو �
��1)( .2 −−= xxf�����������������
≥−<=
2 ,420 ,2)( .1
xxxxxf����� �
9312)( .4
+−=
x
xxf������������������������������������������
12
)( .3−
=x
xxf����� �
22
3)( .6 xx
xf +=��������������������������������������xxf −= 2)( .5�� �
)12(2
1log)( .8 −= xxf����������������������������)1(2log)( .7 −= xxf�� �
)1( 10)( .10 −= xxf���������������������������������)1( )( .9 −= xexf� �
� �
� �
�א��א�����א� �
� �
����א��א �ود �Polynomials
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
108
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
…놧a@pa�r× Polynomials� �
Òa†çþa@ @
����������� ����د�א�����א�א��������ن����א�س�א�W� �
• �� ��� �� K)'&א#�א"�ود�وא��$� �#�א"!
• K-� ��)'&א#�א"�ود��,�ق��*��د
@I4@–@1@Hò߆Ôß�� �
����و�א������������� ����������������������������א�����א���א�������� !"��#����$�%�א�� ����0د�.�%�/و�.���ل�,�+*�א����د)'�؛����������������� �5�،�و�#������1�23"!�����د��/و����د)'��
�����������$���/و�א���6��א���� 8��7א��������א�� !"#��K��������:;��#�1�<���'��5��و�8=�א������א���<�����א�����د)'�$�ذج�א�1E!"��F��W���$Cم��C$���ذج��@����7א�����������6א����6?'�א��
����������������א���دHIد)'�א��������ول����������א�Jوא�������<א�����K(�0,��������א�������( =xp�L������.�)(xpא'�א��>���د���������M!א����N���O�P?!Q���3���������Rد�>!!S1ود���.�������T�د�����א��
�������C!Uو�+א�������5ع�د�א�5��8���א����د)'���א���#W/���א�C$�ذج������K+א�א�@T����%Kא������و���=����"��5���X �د�א���C!��Uא��YZIوא���������א���د;�C3���5�א�!@���5��Tא�+����
�����وא��U����������Kא�6!���]F�2� Fو��K���ن�/�����������/���F1א��E!��U��8[ن�א�'���C�/�����א�!�������K��Q������!#(אT�������������������=��8و�'�������و_���^�א��$ ����aل�א���aH�א`
������ �وאbدא���وא�$��2'�א��� 3�����Kא�!���F�c��Cو��������HIد)'�א���א��3:�א��������'�C�$�א�!�Mא'،�68?�$����a���;�Le$�;��אT��������������%�dوא�!��O�0د���2��f��>א���
���� ���א����د)'�������������K��g2א��?O�א����#��������Q�'(��.�=��;���C��h�i2=�א���CUو'�C��Kو�fא�gY."�]�א�!�� �
الوحدة ا�ولى
109
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
I4@–2H…놧a@pa�r×@ÑíŠÈmZ@ @
������!3�k�������lH��I�1א��d���6ن�א��/و����!�Mא�/و�.������M!����T�X��3�k�[���5�%وא.���1/و�������m����U����n��ee1دא������;��M!���6ن�/س�א�������"$=�א�����X��3������K��%/����������3ط�/ن�
������?��$8�q�א�1dא�lHIو�6Fن�د�>�א�1dא�rU/� s�%��.�W��lHIא��!�Mא'�8
lHI�1אdא�%�����Wyx23−����-3�lو�"F�q!<�3ود�K� �
���ود�>!������������������Wو��HI1ود�א�dא�����W�!C���n� s��;�����;�W1ود��dא'�א�������=�#@�rא�!�H�/�K���Mد�>�.8�1;�l�!��>1ود�א�dאFس��Jא����8���u�E��=$"�F
���،�−yx32.���1אن��!�����3��ن�و��K?����$8�W212x�،�29x−�����6א1���dود�א�!�����3237 yxن��3��!��r��K?�$8���א)w���K!Q$ �א1dود�א�!��3�$;�7!FوW� �
�������K!Sxyxxא1dود� 637 33 +−���xyx 64 3 +K� �
�@���$Yدא�lو�"F�X3�1א���dא�099د�>( x−=−K� �
W1ود��d��6א'�א�����א�����Kوא�W� �
01
12
21
1 ... axaxaxaxa nn
nn +++++ −
−� �
�L.00 ≠a�،�X3�1א���dא�%�����nو�m<���xe1د��;�na�%���א�����W"Yא��K� �
"�W،�א��1>��،�א1�dود�وא�����?'����?^�����א'��������������Y%�א�����א��:���W��!1ول�א�Iوא�@�!y1ود�.W� �
� �
الوحدة ا�ولى
110
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
الرئيسيالمعامل المعام�ت الدرجة الحدود حدودكثيرة ال
723 2 +− xx 7,2,3 2 xx − 2 7,2,3 − 3
x−9 9,,0 x− 1 9,1− -1
523 −+ xx 5,2,3 −xx 3 5,2,1 − 1
العمليات الحسابية على كثيرات الحدود ) 3 – 4(
I4@–3M1@H@…놧a@pa�r×@�Š�ë@ɺ� �
���������z������=����א'�א1dود��!s�7 �����?'�א1dود�א�!��3;� $Iא��$;�hא�<b��!�f�7}�����?'�א1dود�א�!��3�{� �א��$����"C��3�|�+و�K� �
����F4ل� J1E� �
���� ��������Wא� �
� �
� �
�א� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
111
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
I4@–3M2@H@…놧a@pa�r×@lŠ™� �
�� �א1��dود���8=�א����2س���s� ������=������א'�א1��dود����!�F�7ز;�[�iא�������$;�hא���<b �א1dود�s�=��Kא���#�Wא��2س�TאJول�; �
����F4ل� J2E� �
�� �Wא����و�א� �
� �
%dא� �
� �
� �
� �
� �
@ @
الوحدة ا�ولى
112
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
I4@–3M2M1@H놧a@pa�r×@lŠšÛ@ñ‰ìè’½a@´ãaìÔÛa@áçc@…� �
� �
� �
� �
�� � �
� �
��
����F4ل� J3E� �
���� � -�אم�א�'+א*(�א���)'��&و%����$�#�"��!א �א��ود�א.�(W� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
113
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
%dא� �
� �
� �
� �
�� �
� � �
� �
� �
� �
@I4@–3M3@H@ñ�r×@òàîÓ@lb�ya�ÌnàÜÛ@òäîÈß@òàîÓ@†äÇ@…놧� �
����$O�[�"��.�7!���������� ��$~�7��k��M!א������$O����;�������א������������א1��dود�����3!�������������M!א���$O�1C;1ود�dא������$O��;�H���l+א�� $I.��%�א�1ود�و�!�3dא
�� �Kא�� �
الوحدة ا�ولى
114
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
����F4ل� J4E� �
��0�!/�א��ود��Wא����1 �
� �
���23W� �
� �
�א� �
� �
��Wא�����א6و45 �
� �
<+�=�א>;�:��9��783��(W� �
� �
� �
�� � �
���&4��*�����Wא�����א �
� �
��0�!/�א��ود� @+ن�1AW����������� � �
� �
الوحدة ا�ولى
115
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
I4@–3M4@H…놧a@pa�r×@òà�ÓIòÛìݽa@òà�ÔÛaH@ @
���א���2"$�����$;�������1��.����N���Q/1ود���.��������=��������O"$�.��1ود�;�$;�q����FeeK1אد�א�;����� �Kא� �
%�א���ل��2"$������א1dود��U�=�;1692 ++ xx�=�;�3−x� �
W��!1ول�א�I�3�C�א�2"$�#!� �א` �א'�א���$;�hא�<bW� �
� �
�$"Oج���Q�6ن���1692و ++ xx�=�;�3−x����12+x�WO���20وא�K� �
I4@–@4@H@…놧a@pa�r×@Ýîܤ� �
���%�������.�1ود��������א��K2د�3�$�����������������[��5�%���.�%6���=��;����������و����!�!����������J1ود�א��dא��������د�>��������%��Oא�א'�.��1ود������د�>���������K�����و���+*�א��$
�������T�1;�"��Fא���K��!Qא�������א'�א���6"���و��8=�.��%�א������������6����د)'�א��1>���א���#���=������א'�א1��dود�ذא'�KKKKوא��������،;�%K��@א�א�+����T��C.�����mK��CU?'�و�����א��
الوحدة ا�ولى
116
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
8����Q�Wج�# ��ق���+א���������������ee���M?'�א����1ود�ذא'�א�dא'�א������/�،�eeKא���Kא�6!�] �
I4@–@4M1@H@�×þa@Ú�’½a@ÝßbÈÛa@òÔíŠİi@ÝîÜznÛaIâNcNÊH@ @
�� �.��1ود��������א1��dود��ن����s�:��3�c������%����;�H���/ج��������2�� ��8=����+*�א��Kو>1 �
����F4ل� J5E� �
B -�אم�א�<���א>�CDEא6.�(����� ��!א �א��ود�א�8�W� �
� �
� �
� �
%dא� �
� �
���:��3�H���Jא�c%�א����������1ود����+*�/ن�א���dא�������������x��5�310$���������وאx�،�x6����x2K� �
W��!1ود����dא������%�8�6ن��W� �
� �
الوحدة ا�ولى
117
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
1<����C����x5وא�����$���$�C3�c%�א������1ود�وא�.�^?k�Wxy6� �
W��%������א1dود��$����Wو��6ن�� �
� �
� �
��T���/Wא��d�א������ �
� �
8W�ba[ن�א����%�א���3�c:�.1ود������א1dود��+*�8��������א1dود −2� �
W��!����%�e!א���K��Wو �
� �
���������������� �
�������� �
الوحدة ا�ولى
118
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
@I4@–@4M2@H@ÝîÜznÛañ‰ì–Ûa@óÜÇ@…놧a@ñ�r×@cbxax ++2� �
I4@–@4M2M1@H@b߆äÇ@µëþa@òÛb§a1=a@ @
�8W=��+*�א��d�א,�P1א���WF�����;�Le.1ود���22ن�א���وط�א�!�� �
1� J Nو�"��$��אJول��1.�[�5�%��.2xK� �2� J �����$��1����.�[�����5�%������.�W#א��������Nو�"������c����X����Oא���r����@#�=����8و�،�
Nو�"��lHIא��$�;�$ab�K
����F4ل� J6E� �
���� ��!/�א��ود�א�8�W� �
1242 −+ xx� �
�א� �
��]�א�ن�א���Le;��;1د���.��%��a�،4=b،��12=c�K=81=��+א�א���ل� א���$�3�5-12�Nو�"��lHIא��$��s�%��.�4و�K��$1دאن���ن��2�،�6-��8J�
126)2( −=×−�،�46)2( =+−K� �
W��!������ %������א1dود�א������K��Wو �
)6)(2(1242 +−=−+ xxxx� �
e�����1��!�8�m0�%|�א�U�2:�و��e!א���F1C�3–@4א#���א�@M2�E���Cوא�����F�C�Kא�@| �
I4@–@4M2M2@H@b߆äÇ@òîãbrÛa@òÛb§a1≠a@ @
T*+/;1אد�����3�/��;�Le�#���dא�qpnm ,,,��W��g2א���وط�א�!�� �
الوحدة ا�ولى
119
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
�%�e!�6ن�א���W��!���Wو;�0��1Cد��+*�א��1אد� �
� �
�������W� �
����������qp,�������������r����@#�����6ن�F�b�X����#�0ذא���>cن��ذא�������!@�!y�6#�����ن���،��وX��#��0<c�K���7��O�����!Q�7א!������=�א�����nm,���:fو;�h���C3�1�،2��K1م��E!"����7��k
�7Oא3א���ط���e�����1��!���J�nm,K;1אد�� �
����F4ل� J7E� �
���� ��!/�א��ود�א�8�W� �
3116 2 ++ xx� �
%dא� �
�Le�#qpnm;��אJ;1אد���W/و) ��W��g2א���وط�א�"�23��l/�،/ن,,, �
6=×nm�،�4=×qp�،�11−=×+× pnqm� �
��<���0>c،�0>bK��Jن�,������qp/ن������7א� �
�#�k�W�� �2�א��و��وא`� ��1�W/ن3 �
2=m�،�3=n�،�3=p�،�1=q� �
���%�e!�6ن�א���W��!�Wو �
الوحدة ا�ولى
120
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
�������W� �
����6F�=���!.cbxaxن� e��m���0/ن�����6Fن���2++e�����'?������u�%����e!�������3�O
�$acbא�2 42 −?�$8�?������3���W456 2 −− xx6ن���8F 8���8(�1W� �
222 11121)4)(6(4)5(5 ==−−−=− acbK� �
�qpذא���ن� =�،nm=�2ل�/نC8���Wcbxax ++2 3�������q�����%�و�
�lو�"�2)( pmn+K� �
I4@–@4M3@H´ÈiŠß@´i@ÖŠÐÛa@ÝîÜznÛa� �
T����������������+وא��������!�7א1E!Uאم��.�N1א��2א#:�א������dא�*+��T�1�C�א��I4@–3M2M
1@HTو���%K@א�א�+��W� �
� �
����F4ل� J8E� �
��8�2516 2 −x� �
�א� �
���2516ول�و5 �א�12א��� 2 −x������������:�38=��������8ق��q�5و�N/א��2#�ن��������=�;�:�3���K���Kא��=�8�x�Kא�12א��;W� �
22 )5()4( −x� �
الوحدة ا�ولى
121
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
W��!����%�e!א��x�K��gא��2#�ن�א�+����/;?*�و� F�����CC6و�+א��W� �
)54)(54()5()4(2516 222 −+=−=− xxxx� �
@I4@–@4M4@H´jÈØß@Êìà©ë@ÖŠÏ@Ýîܤ� �
T1ود����dא'�א������%���e!��������"!1Eم����O#�#:������א����2א#:�א����U�����dא�*+������Wو�$� �
))(()
))(()2233
2233
yxyxyxyxb
yxyxyxyxa
+−+=+
++−=−� �
����F4ل� J9E� �
G���8��W�������������������64)2 3 −a�����������338)1 ba +� �
�א� �
338)1 ba +� �
����3�!������6��338 ba +�/H+�III��7III833333א )()2(8 baba و����+א���+=+
�gא��2#�ن�א�+����/;?*�� F�����CC6�)(aW��!����%�e!א��x�K��Wو �
� �
[ ][ ]22
223333
24)2(
)())(2()2()2()()2(8
bababa
bbaabababa
+−+=
+−+=+=+
� �
64)2 3 −a� �
الوحدة ا�ولى
122
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
���3�!���6��643 −a���H+�I��7I83/333א )4()(64 −=− aa��������CC6و��+א����gא��2#�ن�א�+����/;?*� F���)(bW��!����%�e!א��x�K���Wو �
[ ][ ]164)4(
)4()4)(()()4()4()(642
22333
++−=
++−=−=−
aaa
aaaaa� �
I4@–@4M5@H@…놧a@Éîàvni@ÝîÜznÛa� �
�����H`א�=�;��������1$!�F�2�� �����א�<����8�א1dود��T+*�א��$~�m0��W�6��Uא� !"#��C3��$8�c%�א������אج�א��E!K���CC��Wא�!������Wא���ل�8 �
����F4ل� J10E� �
����%��%�.WF�� �א1dود$~�2��f1אم�E!U�3�W� �
������ yxxyx 51562)1 2 −−+ ����������� 22)2 ppzz −−+
�א� �
�� �
)515()62(51562)1 22 xyxyxyxxyx −−++=−−+� �
)52)(3(
)3(5)3(2
−+=+−+=
xyx
xyyxx�
)1)((
)())((
)()()2 2222
++−=−++−=
−+−=−−+
pzpz
pzpzpz
pzpzppzz
� �
الوحدة ا�ولى
123
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
@åí‰b·I4@–@1H@ @
F1E �������<�1?'�،�وא����1ود�،�א�d1ود���وאذ���א�d�������%6א'�א��W"Y%�א�����א� �Wא�!��
� �
F2E ����%��m".אWF��W
� �
� �
الوحدة ا�ولى
124
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
F3E ����%��[�"d�������WFא1E!Uم�א��2א#:�א��W
� �
F4E ����7א'�אO�1<و/�� 1dWود�;�1Cא���2Cא��
� �
F5E �$"Oج���Q�1<و/�� ���Wא'�א1dود�א�!���1E!U�3אم�א�2"$�א�
الوحدة ا�ولى
125
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
F6E ����%�.WF����.�%6���U�Cא��2�� �1E!"��W��א�
�����
الوحدة ا�ولى
126
…놧a@pa�r× @ÉiaŠÛa@Ý–ÐÛa
� �
� �
�א�א�������� �
� �
��� �א��د���وא��� �Equations and Inequalities � �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
128
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
pbäíbjn½aë@pü…bȽa@ @
Equations and Inequalities
�א���א� �
����� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א��������W� �
�K,+�ل�و,+��*()��א'&د%$��#�א���"��א�و � •
�K,+�ل�و,+��*(�1&0/��)��א'&د%$��#�א���"��א •
)��22א'>;&�:22&$�א��22/89و��22��5א��722א$�א��������22��3,�422�5�622 •
�Kא= �ل �
I5@–@1@Hò߆Ôß@@ @
������������א�������� ��������������������و�א����������א���א��������� !��"�����#�%�$�א���،�و��������'��������3�45"�! �������2د��1$�+و�1���ل�/�.-�א����د()�؛��������������د��+و����د()��
�6���� !"�����������#��א����+و�א��7%���� ��>��8���K��������:;��"�3א��������א���(���'��و�6=�א�������#�א�B#���ذج�������Wא�����د()�א� ��=�3D !��Eم�B#���ذج��?����8א�����������7א���7%<)�א��
������Gوא� ������=�/��������א����������������א���د�������HIول����������א���������د()�אJ�0א)( =xp�K�������1�)(xpL3��1ود���������������Rد�> ������N���O�P> Q���5א��� �Mא)�א��>���د����6=�א���د���
�����'��+������א�B#����ذج�א������"=��K�������6و����.א���������'����ع�د�א���6��B ���S=�����.א�א�?���G$���א��������UVIوא����B5;����א���د���א� ?�'�'���و��=����!���W'���د�א��������B �Sא���د()�א��
X��� 7��6=����.א�א�Kن��+����������+���E3א��D ��Sن�אZ��6�(���B�� �������E�4+�����א� �Eو��G����א[����و\��]�א��#����)�و�6=����������������������^H6=�^��ل�א�����GQ���% ")א��Sوא
����� �وא�������وא_دא�����#� �א����5:�א������د()���������Kא� � �����4)�א��������5�%���E�`����Bو�
الوحدة ا�ولى
129
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
���������#�O��2د����4��a�=6�(�B�� �وא� �HIא)�א�M א���������;�#^���;�K�b ����#�>76�،�א�����O>�א��c4���������K����אd$�א� =�����"�������Q�()�1�=�;��B��e�f4=�א��BSو
(�B�� �Kא���د()�و�aא�X�!1�cUא� �
@I5@–@2@Hpü…bȽa@@ @
��� ����Wد;�P����"����B+و(�א� ��!�و���E����;������ ;�=���6�����F6���1:�5��E����#�B�:�+و�;��3د�>; '' =��K>�#6W� �
1. 4 · 7 + 2 = 30 2. ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
�����������������������iJא�Pא�������#Uو��دאJא����d�6=�א�j�"J����!�و�N�H�E��#�B��>;���� �!�و�30�Nو�!������!����Jא�P�30وא�������K�8����O�NJ����44k��f����+�=����6��א���"���������dא������+
�:6�b��ba,Kوא�31+و����M ��Nא� !�و�O>;��;�H�E��V���M���=�6�+���א���د������K،�و����!#=��א���� ��M^�����(�;����M ������3א)���#�O����2د���N+�وא��G���4د�\���$�א���د����
������6�a�Nو�! �� �K����;�Kbא��mل�א� =����;�ض�6���5=�א���د�"��B"���Q+�=B�nو�+����א� ��!�و��6�a�:��5�N=�א���د�����O>;�c��4o�N.ل�א�������mא���#�O�K����'��وא���د����א��
���=�;��3د�א��� �Mא)����;�R��O� EF$�����mא�E���+�=����#�� �����B#6��Mא[���=����و;��N���O�H��=����Q�����Mوא��F���،������EKKKKKK�����د()�א��3>����א���"�����،�א������������SJא�و�������Bא���د����
،�و�# ���p���KאKKKKqא� �
���������=��6����=�א�����د()�א[�����و������د()�א��3>���א���"���;�$G��?��6=����.א�א��V�B��Sو�����Eא"r� F:^��ل�وא�31و^���:������p���א���SJوא���د()�א�،��،���# ���=�6�Kb B�Sو�
���aKق���$1.-�א���د() �
� �
الوحدة ا�ولى
130
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@I5@–@2@–@1@Hòîݨa@pü…bȽa@ @
�#��tل�����N�O�=GO+�()د����=��F$���mא�E����u�bGא��א�3�1א���Nو�!�E�����6�K��=و���+و������د� :���o<ن��������������x���=��6����د()������א��3>���אJو����6=�^����ل�وא����3��1
��:����^y�,�xن��� �"vن����د� ���ن���#!��Eو��K��: د���������������و�++F����5�+و�+�[>��w�KאKKKKKKqو^���$�+�w<]�^���$�+و�+�5�����EKKKK=6��د()�+و �
���=�א�����د()�א[�������6=�^����ل�وא�3��1+و��������;�$G��?��6=����.א�א���B ��Sد�א��G�� 4 Sو��:���^F: �"vKE�� �
@I5@–@2@–@1–@1H@½apü…bÈåß@òîݨa@Ûa@@µëþa@òu‰††yaë@Þìè©@óÏx@@ @
�Erא����Gو��א�Jא��QxEW.����د()�א��3> �
�������������������������������������������0=+bax� �K�1W� �
�0a ,, ≠∈ RbaK� �
����������#�O���;�K�b ،�א� �=��1�،�Rc∈����c�4��cx=�Kو���7ن����$�1.-�א���د�������א��Kא���د� �
����F5�–�1Eل �
� : �$15x + 4 = 29א���د��+و>�3 �
��������#�O���2د���������#��د������א� ��=�y���$�א������Pא�G��4��6x��Jد�\��$�א���د��������iPא����Nو�!��!�Jא��K� �
الوحدة ا�ولى
131
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
و��d$����.א�א����Bع������א�����د()�،��E'����א��m����P���a�=��6�$وא�3��1وO���5=�א���4���6�8=�����QJא�Pא���K� �
� ����5x + 4 – 4 = 29 – 4א����z��BS�{�.�4��:6א��3د� �
�=���5"4!�8א���6:�; �
��������������������������������������������������������255 =∴ x � �
=�;�$G|5=x� �
��=F1�Eو�� ����c4bאd$�"��ض�6=�א���د�;�$G|25+ 4 = 29 � �
44k��xK=}5{�6 �7ن�^#�;�אd$�/.-�א���د���=��N+K+ن�א���د� �
� �
����F�5�–�2Eل �
�$1W������xxא���د�+و>�3 3462 −=−� �
�א� �
���6:6��א��3د�{#��� �
xx
xx
3102
346662
−=−+=+−�� �
��#}x3W� �
������������������105
331032
=+−=+
x
xxxx�� �
الوحدة ا�ولى
132
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�=�;�8!4"5W� �
���������������5
10
5
5 =x�� �
=�;�$G|��W� �
�����������������������������������������������������������������������2=x� �
$dא�����W�}2{=xK=6 �7ن�^#�; �
����F5�–�3Eل �
�������W3+و>�$1�3א���د�3
3
3+
−=
− xx
x� �
�א� �
�"��31א����4)�6=�א����Pא�W�iJ+و( �
��������������
3
63
3
3
))3(1(3
3
3)3(3
33
3
−−=
−
−−+=
−
−−+
−=
−
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
� �
�~������א����4م�"���X�fא�������6�:6=�D ���)3(و� −xن�+����1>�������،03≠−x��=�N+3≠x+ن�;�$G|�،� �
�����63 −= xx� �
�z��"x3=�;�$G|�:6א�������� �
الوحدة ا�ولى
133
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
����������������������������������62 62
6333
=−=−
−−=−
xx
xxxx� �
�=�;�8!4"2���� �
2
6
2
2 =x� �
�=�;�$G|W� �
������������������������������������������������������������������������32
6 ==x� �
�$dא����W}3{=xK=�6 �7ن�^#�; �
����F5�–�4Eل �
����������������������W324)12(3+و>�$1�3א���د� −=−− xxx� �
�Wא� �
���������������������������������������
00
3232
32436
324)12(3
=−=−−=−−−=−−
xx
xxx
xxx
� �
��=��6�aن�J�$��1�3��<���)�j��"א�N+�،�: �6���7 ��N+���45ن��� ��وא'���u+ن���6�a=�א���د����Kא���د��� ��45:�و�i<ن�"?��א�3א� �
� �
الوحدة ا�ولى
134
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@I5@–@2@–@1@–@2HÝy@´Ûìè©@óÏ@µëþa@òu‰†Ûa@pü…bÈß@IãŁa@pü…bȽaòîH@ @
Simultaneous equations@ @
����א��3>��אJو��،��������א��"rن�����6=�����د� :��#������د()�א�� �"vن����#!�Eو�،�:����^���j"J��������������N+�-3�1�=���$�^���ل�;#�Oن�وא�31_�2د�v�=6��#����$��� �8א� ��o<ن��
��K���6=�و�WOوא31 �
����Gא����وא������W=�/.-�א���د() �
���������������������������������������� �
222
111
cybxa
cybxa
=+=+
� �
Eو=EJא�=�;�$d���76א�=BW� �
���KאJول��ل��1�E���3���<)�א�kmو��W+و( �
��"�w�Wא�#�O�2���7د�i�()אص�א���د�Q3אم�D S�5u�b���7�ل�א���"=�وא���m�K� �
��B��()��$1.-�א���د�=��Wو�a��3;�3<�Eق����Gbل�; �
�������method � EliminationWא����Wو �
� �1�8و6����������:����mوא�����31א�P.��������8�w�()אص�א����د��Q3אم�D �S�5��2د����QJل�א��mא�=�;�$G|�: א���د��N31�8"��ض�6=�אw�،="ل�א�����mאK� �
������W�������Substitution method W ������א �
الوحدة ا�ولى
135
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
��4�35(��א��mل�א�H�"Fx�>����E��QJ;��א�31א���m:�،�و���.-�א����y��=�6��5�8w��3ذ��}�"���ض����8wy"��ض�;6�jB=�א���د��א�N�QJو|$�6=��،�����د��وא����31
�����#�O����;y����=����;�$G��|�: א������د��N3���1��6=�א��������;��B�G���1�=�� א��x�����7�وא��u�b�K����Jذ�}����א�uf �Sو��א� ���W� �
����F5�–�5Eل �
: �"r�$1א���د� :�א: �Erא�W� �
2x + y = 7 (1) 3x – y = 8 (2)
�א� �
���� 4�אtB6.d#��א���د� :����WP.dو��a3אم�D S�5y��������������� �
��������������������������������������������������������2x + y = 7 3x – y = 8 5x = 15 x = 3
�#�O��;ض���"x: א���د�����N+�=6�F1>����E#�O�=�;�$G|y�� �
������6 + y = 7 y = 1 � �
������$dא�{�.�y = 1و�������x = 3K� �
������W��4�א� ����a3אم�D S�5� �
�����F1EWא���د� �
الوحدة ا�ولى
136
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
����������������(3) 2
7 yx
−=�� �
�������� �� 6F3��E�=6F2�E=�;�$G|W� �
������
1 55
162321
82
73
=−=−
=−−
=−−
yy
yy
yy
� �
�#�O��;ض���"y��F2E+و6�F3E=�א���د�#�O�=�;�$G|�x� �
326
217 ==−=x
���������$�dن�א+�N+y = 1و������x = 3��������5�j���;��B�G�1�N.א���$�dو����"?���א�،����4�P.dאK� �
�����F5–�6Eل �
: �"r�$1א���د� :�אW�������������������������������������� �
�����������������(1) 52 =+ yx��� �
����������������(2) 72 =+ yx� �
�א� �
��4�א��W���P.��dو��a3אم�D ��S�5 �P.��dx�>��������X�f��"F2�E�=��6F�–�2�Eא���د���� 4=�א���د�EوF1�E���#�=�;�$G|�W���������� �
الوحدة ا�ولى
137
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�����(3) 1442 −=−− yx� �
�=F1�E�،F3�E�P.dx{#��א���د� :�;�$G|�W�� �
�����������������������������������������������������3 93
=−=−
yy� �
�#�O��;ض���"y: א���د�����N+�=6�F1>����E#�O�=�;�$G|x�� �
��1
2352532
==−=
=+
xxx
� �
������$dא�{�.�y = 3و������x =1K� �
������W��4�א� ����a3אم�D S�5� �
������F2EWא���د� �
(4) 27 yx −=�� �
���F4�E�=6F1��E=�;�$G|W� �
��������������������������������������������������������
3
93
5414
5)27(2
=−=−
=+−=+−
y
y
yy
yy
� �
�#�O��;3"��ض�=y�F�4�E+و6�F2�E=�א���د�#�O�=�;�$G|x� �
1 )3(27
=−=
xx
الوحدة ا�ولى
138
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
���������$�dن�א+�N+y = 3و������x =1 ���������4���5�j���;��B�G�1�N.א���$�dو����"?���א�،�
P.dאK� �
I5@M2M2@HÛa@ÝîrànïãbîjÛa@pü…bÈàÜÛ@òîãŁaµëþa@òu‰†Ûa@åß@@ @
����א��3>�אJو��5��"���"r�$1�$א���د()�א�����?��u'�E��א� ������JאK� �
����F5–�7Eل �
���"��5�$dא�$��������א� ������B�$1א�W� �
�����������) ( -xy)( xy
21153
=+−=−� �
��א� �
��6=��.א�4�א� ����a3م�D !BS$dא�K�6��F2W�E#��א���د� �
����������������������������������������) (y -x 31−=� �
�������� ��5F3�E�=6F1�E=�;�$G|W� �
������
(4) 248
845335)1(3
y
y yy yy
−=−=∴
−=→−=++∴−=−−−� �
���F4�E�=6F2�Eو�+F3�E�=�;�$G|W� �
������121
)2(1=+=∴
−−=-x
-x� �
الوحدة ا�ولى
139
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
$dא�2y ,1-��و^#�; ==x�� �
����א��4���8�#� ��Mא��! ��������$4 #��$�אd$�5��"������و�;�#^��� �x�������������8�wא���د��
F1�Eو�+F2�E��5� א���M #�������B�8א��א�4�:�"y�� 3ول�א�I6��#=�א�W� �
6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y
������4�a������4E��א������BbB�F5–�1E+����:و�<���������������1א�������$7%"�=wن��3�����1אF�:������]א
���d#:�6=��.-�א�א�! 4�E����=���$7%���5���#��a�4 א���4"�=wو�31א�،�$dא�$��
)2,1( −�K� �
الوحدة ا�ولى
140
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�� F5–�1E� �
����F5�–�8Eل �
�8w����W$�א5�$d��"���$1א���د()�א� ��� �
�����)242
11236 ( x-y
) (yx=
=−� �
�Wא� �
#!45��=�6�a�F1�E=�א���د�;3�=�;�$G|�W� �
����� (3) �� �
�6�'Z5y�=6����F3�E�=�;�$G|W� �
�� F4E � �
���F4�E�=�;�$G|W� �
���F����5E������� �
����1>��������ن�F1�E�،F2�Eא����د� :��،�+�N+ن���F�5�E=�"?��!���א���د�����F2�Eא���د����+ن�وא����3����1����t� Bوא��(�������������.�}�Z����6ن�א[�����:�א�����! 4�#:�א�#������:������K"?������א�� �4ن��$7%��5��#�B��#��د� :��F5�–�2KE� �
الوحدة ا�ولى
141
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
� �
��� F5�–�2E� �
����F5�–�9Eل� �
��"��5�$d�$���8אw���$1Wא���د()�א� ��� �
����������������������������������)( yx
) (yx2223
1223=−
−=−� �
�א� �
=�;�$GbBS�c5�!א)�א���ل�א���Q��?B5W� �
�����������������������������������������
12
32
232/2
232
223
+=∴
−−=−∴
−−=−∴−=−
xy
xy
xy
yx
� �
الوحدة ا�ولى
142
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�$���5� �
������������������������������������
12
32
232/2
232
223
−=∴
+−=−∴
+−=−∴=−
xy
xy
xy
yx
� �
)(2 12
3 ,)(1 1
2
3 ′−=′+=∴ xy
xy� �
��Fو����!�وNوא3���1א����! 4�#:���<�����1+ن�������=�א[����:�23�KE��c����و������7א�3���dא��
���6�R?��=�א���د��� �)1( ′�Nو�!���F�+1�E����#B�5�،=��6��)2(�א���د��� ′�Nو�!���F��–�1�KE��F�$7�5�–�3KE.�}�א[��ن�� �אز��ن� �
� �
�� F5�–�3E� �
الوحدة ا�ولى
143
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@I5@–@2@–3@H@òîãbrÛa@òu‰†Ûa@pü…bÈßQuadratic equation@ @
I5@–@2@–3–@1@H†yaë@Þìè©@óÏ@òîãbrÛa@òu‰†Ûa@pü…bÈßZ@@@ @
��Wو/��א�����Gא� ��� �
�����������������������0 ,02 ≠=++ acbxax��� �
����7ن����د����א��3>���א���"������1<ن�����#U3و�،ودא��B;���0=a�א��3>�������b Eل����د�������د������א���"���Q�3و�����א�Jא�<K� �
��$����;�א�$����W"! ������$1.-�א���د���a�[>�5ق��=������وb א��Fאس�OJא�E����5وא���،��KEא�#���FV،�وא��4"�ن�א���م�א� �م �
�%$���#"�!�א�����Wو��EWא)'�אس�������Fא �
�����F5�–�10Eل �
��$����;�א�$+و>�3b א���S�5א��Er�$1א���د()�א� �
����02522 .2 =+− xx�������������������022 .1 =−− xx� �
���Wא� �
����������������������������������������022 .1 =−−xx� �
���0)1)(2(022
=+−=−−
xxxx� �
∴���������+�0)2( =−x1(���0+و��( =+x� �
الوحدة ا�ولى
144
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������1
0)1(−=∴
=+x
x� �
���2 0)2(
==−
xx � �
∴�=��$dא�;�#^�}2 ,1{−∈xK� �
���02522 .2 =+− xx� �
����������
2/3 x 02-3x ,
1 01
0)1)(23(
02523
=⇒==⇒=−∴
=−−=+−
xx
xx
xx
∴��$dא�;�#^����}1 ,3
2{∈xK� �
������Wم����EW,�+*#.-�ل�א�������Fא,�+*�א �
��4�א���!�45�|���ول�و'����א���د������6=��������א����5��א� ���م����������5�$��dא��!��� ��ذא���=����#W�� �
�cbx =+ 2)(�� �
�K�1cb,W5א�w�K� �
����F5�–�11Eل �
�S�5א��Er+و>�$1�3א���د()�א�א� �م�א��5�W� �
الوحدة ا�ولى
145
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
����01324 .2 =−− xx������������������0122 .1 =−− xx� �
�א� �
���0122 .1 =−− xx� �
���Gא��=�;��f"W��א���د� �
��������122 =− xx� �
��8'���6�א�3��dא[������6=������م�א����5��و������ ������=�א����5��א� ���م�;�$G��|�=��7�Nو�!�����F�$�����RG"��5��xE� �
���P�f�3א�dא��x!و6=��.-�א�����W�12
22 =−
K� �
∴�R�f"�1=���7��W<�א���6:�#�� �
����������������������������������
21 ,
2121
22)1(
11122
−=
+=⇒±=−∴
=−
+=+−
x
xx
x
xx
� �
∴�=��$dא�;�#^�}21 ,21{ −+∈xK� �
�����01324 .2 =−− xx� �
���G6=�א���f"�W��א���د� �
����4
1
4
32 =− xx� �
F�$�����RG"��5��xE����Nو�!�� �
الوحدة ا�ولى
146
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
���64
92
83 =−
� �
∴R�f"��64
9=���7���W<�א���6:�#�� �
����������������������������������
41
82
85
83
,
185
83
85
83
64
25
64
9162)8
3(
649
41
649
432
−=−=−=
=+=∴
±=−∴
=+=−
+=+−
x
x
x
x
xx
� �
∴��$dא�;�#^���W�}1 ,41{ −∈xK� �
������Wم����Eא,-��������F0א�����ن�א �
�~�����������وD א� ��م�5���3א����א���5��4��a�����N�Q+������)��=�����4��.-�א����$���b���و�������K����7iא[�����א)�אJو��������;�?G���53א����D ���Sא�،��H��� �E������"+�K����1�
��4�אJ;���8وא���J$��א�����K��������=���;���4�����2و'����א���د����و�3D !��E�=��7م����.-�א������Gא�W� �
���0 ,02 ≠=++ acbxax� �
�K�1cba ,,W5א�w�K� �
�= #�O�2د�_�=EJ3م�א��4"�ن�אD !��W�E>.�א�א���د��xFو �
الوحدة ا�ولى
147
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
��������������������������������������a
acbbx2
42 −±−=� �
acbو�!#=�א�34א�������� 42 −=∆������=�������،�#n��Vא���د�;��>�.و��א���د���;�"�RO� Eو���������W.א�א�34א� �
F1�Eن�و���4�אن�41�.Iنא��1. ������������������������������������0 !�و =∆� �
F2�Eن���������������?�2. ����������������������0אI.�אن�41�4��ن�و� >∆� �
F3�Eن����Lאن��.IאW�����������������������������������������������0 .3 <∆� �
������������������������������������������������������ �
�: ��d�3س�אBSوF1�E�،F2�E���dא���+F3�E$G?ج�"��ق��.א�א���Q�=�6K� �
�W'�!5�67*�و�3�4א�2و1 �
�N�.<�0 ,02א���د�����xx,�21ذא��ن� ≠=++ acbxax� �
Z6ن�������������a
bxx
−=+ 21 ����و� a
cxx =21 .� �
���G6=�א��5�א���د�� ��7iوW� �
�������������������������� 0.)(22121 =+++ xxxxxx���� �
����F5�–�12Eل �
�Erو>�$1�3א���د()�א+W� �
الوحدة ا�ولى
148
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������������0122 .2 =−− xx�������������0132 .1 =−− xx��� �
�א� �
����������������������������������������������0132 .1 =−− xx� �
��Wوא'�u+ن �
��������������������������������������������131 -, c-, ba ===� �
�����������������������������������
2
133
2
493
242
±=+±=
−±−=∴a
acbbx� �
∴���$dא�;�#^�W� �
�} 2
133 ,
2133
{+−∈xK� �
������������������������������������������������0122 .2 =−− xx� �
�121 -, c-, ba ===� �
����������������������������������
212
82
2
442
242
±=±=
+±=
−±−=∴a
acbbx
� �
الوحدة ا�ولى
149
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
∴�����=��$dא�;�#^�} 21 ,21{ +−∈x�K���������B�G�1�=� א���t� Bو�=�"?��א������6=�א���ل�;F5�–�8KE� �
�������F1WE.א�א���ل�"<��1+ن�6=�א���د� �
01342 >=−=∆ acb� �
��F2WEو6=�א���د� �
���0842 >=−=∆ acb�� �
6�.�}��ن�אI.�אن�� �?�نK� �
��−+= 6���+0122=�א���د� xx�3+ن}����������W � �
�������������������������������121 === , c-, ba�� �
6���0042��7ن ==−=∆ acb��#אن���.Iن�אZ6�{�.5و�،�W� �
����
12
442
2
42
=−±=
−±−=∴a
acbbx� �
∴�#^��=��$dא�;}1 ,1{∈x��Kن����N+KאI.�אن�� !�و �
I5@–@2@–3–@2@H´Ûìè©@óÏ@òîãbrÛa@òu‰†Ûa@pü…bÈß@@IòîãŁa@pü…bȽaH@ @
Simultaneous equations @ @
������P>��Q�����`���B�������6��א[�������"rא�����د()�א�R�����E�c ��S����#��R�����E�:��5����א��3()�א[���"rא�Jא�א���د()�و��و����א��3>�"rא��،�����46א���"����א��3>
الوحدة ا�ولى
150
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������?����1 :���#���د()�������$7��Kא���د()�S��7ن�� ���B�3س��B�Sو���"rא��������א��3>��Wא���"� �
��Wو��Q��6��f=�^���:�و���د�����א��3>�א���"��6=�^���:���د�+���W� �
�������������א>���$�^������|�،�:������tn������Q�ل����8���w�،�����#�Bذא�����ن�����3����B��د�����������=6��6=�א���د�����א��3>�א���"��B 6 �����د�����א��3>�א���"�t� B��5ض���"
��������������������K^��ل�وא�31|�����N31Z5א���ق�א��!�45�#�O���;5�8���3ذ��}�"���د�و"���ض��w���������������6=�א���د����א[����;��B�G��1�=�� א���M א��� ���،���QJل�א����m3د�א��b�uf�� �Sو�
��Wא� ����ل�ذ�}����א� �
��F5�–�13Eل��� �
�Erو>�$1�3א���د()�א+������W� �
�������(1) 252)1(2)1( =+++ yx����� �
��������������������������(2) 5 =+ yx� �
�א� �
�����F2WEא���د� �
(3) 5 yx −=� �
���F3�E�=6F1�E=�;�$G|W� �
الوحدة ا�ولى
151
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
����������������������
3 ,2
0)2)(3(
0652
0121022
25)122()21236(
=∴=−−
=+−
=+−
=++++−
y
yy
yy
yy
yyyy
� �
�=�O�y�=6�F2�E�8=2, 3"��ض�;��;�$G|xK� �
��3B�62=yن�Z6��3=x���3B;�3و�=yن�Z6��2=xK � �
������W:���^�=6���W��د� �ن����א��3>�א���"� �
�������د�������B��$1�N��B���������� :����א��3>�א���"�������tn:�;��د��;��=����د����$���mل�وא�����31.-�א��tn�و��.א�א���Bع�����א����د()����Qج����������Kא��3>�א��א5�
�����������������$1א��3>�� E�= א��(����Bא��=�;��B Sد�א��G 4 Sא�.��X� 7ق��.א�א���"��Kא���"��6=�^��ل�وא�316�u'�������#=�א���ل�א� �� �
�����F5�–�14Eل �
�Erو>�$1�3א���د()�א+������W� �
�����������������������(1) 722924 =+ yx����� �
(2) 192223 =− yx� �
�Wא� �
�������c5�!א����6=�א��4����BSא� =�د��P.dא�4��a3אم�D S�5��#�B��)��^�P.bBS$G?א�א�.����K� �
الوحدة ا�ولى
152
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������������ل����ذ�}��X�f�BSא���د���F1�Eوא�����62=�א���3د�����������69��8�w=�א���3د����F2�Eد��=�;�$GbBS��#IאW� �
�����������������������������������������
3
953
3152
315253
171218272
14421828
±=∴
==
==−
=+
x
x
x
yx
yx
� �
�=�O�x�=6�F12�E8=3, -3"��ض�;��;�$G|yK� �
��3B�63=xنZ6�����������������������������������������W����������������������������������������������������������������� �
���������������������������������������������2
423636- 7229
±=∴=
==
yy
y� �
��3B;3و−=xنZ6�����������������������������������������������������������������������������������������W����������������� �
���������������������������������������������2
423636- 7229
±=∴=
==
yy
y��� �
��ل���∴dא���W2 ,3 ±=±= yxK�������������������� �
I5@–@2@–4@Hòîàní‰bËìÜÛa@ë@òî�þa@pü…bȽaZ@ @
������SJ�$��1א�����د()�א�����#;�=��6�P> ��Q�3א��<���;�����$��1א�����د()��(����# ���p��א���������M א��#�O�2د������P3/ن�אJ�،�N�QJFل��mא�Eو? !�BS��K��3א� =���c4א���د�
الوحدة ا�ولى
153
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
� #���)���E�=��6!������$��1�$.א�א����Bع������א�����د()�����p��5��������Qאص�א����SJوא�������K>�#6W� �
����ybxb ����y+و��������=b
xb
loglog =�� �
yxن��+�������N.א���د� �א/����+(�و��=���������=����D��ذא���ن�א��SJس����W،��.א���4د"�����!�و�Nא�SJس�،�Z6ن�אJس��!�و�NאJس�������K����Nس�א� !�و�SJذא)�א��# ���p��و��3وאل�א����8��7ن�� !�و ���p���Z6Kن����35אQ$�א� �
����F5�–�15Eل �
�����������������$1�������������409616א���د� =x������� �
�א� �
��7ن�/#��"?��א�SJس�K�\�،��S+������=6�:6א�����ول�و'�|K� �
���6424.א =xK� �
�Wو5 � ��cא[����א�!�45�Z6ن �
��������������������������������������������������262
=∴=
xx� �
����F5�–�16Eل� �
���������LOG (2x+3) = log (x-2) +2+و>�$1�3א���د� �
�א� �
الوحدة ا�ولى
154
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
��(����# ���p������Qx.�א�����E��$7%א"������א�?���G$�א������"=�����Q�������Fאص�א������iJא�Pא�������Wא� �� �
�����������
)200100log( )]2.(100log[100log)2log(
−=−=+−
xxx
� �
�WوQx S.�א���د��א��$7%א� �� �
�������������������������)200100log()32log( −=+ xx
� �
�����1�،��K+ن�א�������6ن�/#�����"?�����א����SJس�،�Z���6ن���������و3D ���S�5אم�א[�������א����!�45�8��7ن�� !�و�N+�،�N+ن ���p���35WאQ$�������א� �
��������������������������������������������
30.288
20320388
20010032
==
=−=+
x
xxx
� �
I5@–@3@Hpbäíbjn½aIpbzua�½aH@ @
I5@–3M1@H†yaìÛa@�Ìn½a@pa‡@µëþa@òu‰†Ûa@åß@pbäíbjn½a@ @
�����B���B Sد�א��G 4 S�(�B�� �=�א� ;��4�4dو��6=�^��ل�وא����3�1אJא�����א��3>��B)�א[��������א��3>��אJو���6=�^���ل�وא����������������3�1� ��N+�،��46x�����(��Bא� � �����+،�
X� 7ع��.א�א��'���W!���Kא��3>�א���"��و����6ق�6 �
���B�� ����א� ;��QxE.�א�N31א����Gא� ����H<W� �
الوحدة ا�ولى
155
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������������0 )2( <+bax���������������������0 )1( >+bax� �
������������0 )4( ≤+bax���������������������0 )3( ≥+bax� �
K�1�W�0a ,, ≠∈ RbaK� �
����>;�$�3 E�����א���د�B�� �jא� %Eو?Z?��������>�5����א��>�د��6=�א���د���������� <>≥≤F;<��)�א� ,,,�KE��������������6�����و1�����א����م������������NJא�����Gא��!�45
��B)�>�א����2eא;����א[�אص�א� �����;�3Bو،��41�4�� �=�א� ;�(1!��5�N+�W� �
1K ��M E����������B�� �6=�;3د�6�a�X�'�3B;����S=�א�≥����≤א� B�� K� �2K $7�� ,, Rcba �Z6ن�≤�baو�ن�∋
ba
11 ≤K
3K �$7� ,, Rcba Z6�caن�<�ba>،�cbو�ن�∋ >K
4K �$7� ,, Rcba Z6�،�cbcaن�<�baو�ن�∋ +>+K
5K �$7� ,, Rcba Z6��cbcaن��ba>،��0>cو�ن�∋ .. >K
6K �$7� ,, Rcba Z6��cbcaن��ba>،��0<cو�ن�∋ .. <K
�W�����א�� �
����B)�;�����$��1א�����د()�� ���$��1�Xא� ��S+�R��� ��)�$����������B�� ،�و� ���$��1�R�xא� �8�Ox6=����6وא���4E�3O�8�4و�.-�א��،�B�� �א� b��c4���31+و�;�6��3א)�א� =�
�א� ������J6=�א�N�BS��#��4�4d3אد�א;Jא���K� �
�ل�F5�–�17E� �
�Erא�(�B�� ��$1���W<����א� �
الوحدة ا�ولى
156
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
���������������032 )2 ≥+x��������������������������032 ) 1 <−x� �
�Wא�� �
���������������������������������������������������������032 ) 1 <−x� �
������������������������������������������������
2
332032
<⇒
<⇒<−
x
xx� �
� �
�b$�و�7Eن���6���4�4dא����W�)23,(−∞K� �
������������������������������������������������������032 . 2 ≥+x� �
������������������������������������������������
2
332
032
−≥⇒
−≥⇒≥+
x
xx
� �
� �
�=��$b����4�4d�7ن����6אEو),[2
3 ∞−K� �
�ل��F5�–�18E� �
الوحدة ا�ولى
157
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�Erא�(�B�� ����W+و>�$1�3א� �
������������13
4 ) 2 ≥+x
�������������������������642- )1 −>+x� �
�א�� �
����������������������������������������������������642- )1 −>+x� �
���������������������������������������������������
5
102
102
642-
<⇒<⇒
−>−⇒−>+
x
x
x
x
� �
� ��b$���?���אdא�و�7Eن����4�4�)5 ,(−∞K� �
�������������������������������������������������������13
4 ) 2 ≥
+x� �
�$�}�iJא�Pوذ�}�א����،��?G�������������������������������Wא������z��51:6!�و �
الوحدة ا�ولى
158
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
�������������������������
03
1
03
34
033
34
013
4
≥+−
⇒
≥+
−−⇒
≥++−
+⇒
≥−+
x
xx
xx
x
x
x
� �
�����������8��O�N+�،��!� �"�>��3+و(�+��?���א�����B)�א��7!�� �א� �=�6x���$��y=���$���.-�א� �،�?��Nو�!���! �K.�}�+�?��א��4مא� �
�! �W+�?���א� �
10- 1
=⇒=
xx� �
�W+�?���א��4م �
����3
03 −=⇒
=+x
x� �
N+�(�6א�[>w�=�;���d6�$=���$��.-�אd�7ن�א��Wو �
�)3, ( −∞−�،�)1 ,3(−�،) ,1( ∞،E�����6���7ن�Eو���=������B�� ����Rא� ��W�)1 ,3(−����7و��،א� ��=�y���$�א� ��!�����!�و�������O�.��Qx"����B"Z6�،�x���8≥�+و�≤��6=�����1�و>���د�;<����)���
�N+�$��dא���;�#^��#��'��?G����1=x��d�����6א�u G��E�{�.و�������B�����B�� #���$�=�א��$7%א� ��;W�]1 ,3(−K� �
الوحدة ا�ولى
159
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@I5@–3M2@H@µëþa@òu‰†Ûa@pbäíbjnß�ÛaÛ@òÔÜݽa@òàîÔÛa@óÜÇ@ôìn¤@@�ÌnàÜ@ @
�(�B�� 4�"! 3Dم�א[U�G~�א� ���א��d$�א� ��=�א�4�#�א��;�N� ��W� �
�W"��0ذא�>aنZ6�W� �
� �
� �
� �
� �
�ل��F5�–�19E� �
B�� ��$1���W3≤xא� �
$dא� �
�����F2�Eא[��� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
160
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@ÞbrßI5@–20H@ @
B�� �$1���W54א� <−x� �
$dא� �
�����F1W�Eא[��� �
� �
6�א��3د��'Z54و=�;�$G��Pא�aJא���#I�W� �
� �
��7ن���Bو�W� �
� �
�z� ?ل�א��mل��=�א��dא�;�#t#6��� ��59,1(و(−K� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
161
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
@åí‰b·I5@–@1H@ @
�F1�E�W+و>�$1�3א���د()�א� ��� �
�������xx 3.06.02 .2 =−�������������������xx 2132 .1 −=−�� �
uuu 34)1(25 .3 −=−− ����� 2.12)1(32 .4 +=−+ xyy ��������
5
346
3
2 .5
xx −=−� �
F2�E�5�W��"����$���8wא�$1$dא�����B)�א� ��� �
−=+
−=+
xy
xxyx
372
2523 .3�������
−=+
=−
14152
15
6
2
3
.2y
x
yx���������
−=+=−
141591063
.1yx
yx�������� �
�F3�E$��b א��4���5��K+و>�$1�3א���د()�א� ��� �
��������01624 .2 =−x���������������������������������0924 .1 =−x� �
������652 .4 −=− rr���������������������������������0924 .3 =−x�� �
��rrr 227349 .6 =+��������������������0252524 .5 =+− xx� �
�uuu =− 22351 .8����������������������xxx 621034 .7 =+� �
F4�E� א���4 =�א��5���5��Kم�وא��4"�ن�א���م+و>�$1�3א���د()�א� ��� �
��03822 .2 =+− xx����������������������0222 .1 =−− xx� �
الوحدة ا�ولى
162
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
������12 .4 =+ rr����������������������������025u-1-u2 .3 =�������� �
22)1(721)x( .6 =+−+ x������������������������025u30
2u
5 .5 =++� �
��������uu =−1 .8�������������������������������158 .7 += xy� �
F5�E�3<و+�#�Om�4�41����Kא� =�y�$�>.و��א���د()�א� ��� �
��������0262m .2 =−− xx���������������0222 .1 =−−mxx� �
�������072 .4 =+− muu������������������mxx =−6216 .3� �
�F6�E��$1Wא�����B)�א� ��� �
�������
=−=−
325213
.2uy
uy������������������������
−=+
=−
1422252
.1yx
yx�� �
=−
=−
162423
25 .4
uv
u
vu
u������������������������
=+−=−7225
4223 .3
xy
yx�� �
F7�E��$1Kא���د()�א� ��� �
����0343 149 .2 =−+x�����������������08 )12(2 )1 =−+x� �
0)1(7)12(5 )3 =+−− xx� �
14)-log(3y2)log(5y )4 +=+� �
الوحدة ا�ولى
163
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
F8E�$dא�����5��"��+و>�3^#�;���������B)�א� ���� #���K� �
�F9E�$dא���B)�א� �����+و>�3^#�;� #�W� �
� �
الوحدة ا�ولى
164
pbäíbjn½aë@pü…bȽa Ý–ÐÛa@¨a�ßb
� �
� �
دسא�א�������� �
� �
� �
���وא��دא��� �א ��Matrices and Determinants � �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
166
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
@pa…†�aë@pbÏìЖ½a@ @
Matrices & Determinants
@Òa†çþa@ @
����������� ����د�א�����א�א��������ن����א�س�א�W� �
• � Kא$�����#�و! �א�
• #� Kא��(�)�#�א'&������א$����
• ��*�#�3�م���2א$��د�#1א0/)�.)�)��א�-,�אم�א$����K
،.)�)��א4�دא#�و�7א6���و.)�)����5א4�د •
Kא�-,�אم�א4�دא#�*�� 3�م���2א$��د�#1א0/)� •
@I6@–@1@Hò߆Ôß@@ @
������������������������� �����א����د���א�����א���������������$���#�"!�����א� ����א��5א������د���،�و3!���$/�������2ن�����$�!�������0م�/���.�-���&,$אم�����&�����א*���()�وא�&������%
���������������6�-�!/�7�8��א����/�2ن�/3�5$د�>�5/�76א����د���،��;ن�א����ق�א���9.��� א����=�(א�����������K*��=(א�א�!�0م��/�?�/���/��&@����AB�0��53م���C6@��D�*א�E3د�F�)@
��ق�א�� ���،�وאJ$دא��/�I�=B�5א���א�G�Hא�!�-�6������Kא�!�0م�א ���א���762�K&�Lو��Mא�N)���=�������������OPد������������� ���3�א��Q76���2/����5א������د���א�R�K������!=و-���!&��ض�
�.�-&,$אم�א�� ����وאJ$دא���� �5��ق����א�!�I0א/��&������R=و�W� �
1K �/��2س�א�� �����K� �2K دא��$Jא�����F��/א�<�Q$3�#�E��$6&א�������BKو� �
الوحدة ا�ولى
167
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
���،����� و��5��/�52R&�������2א-��&,$אم�����ق�א���� ����Bو�א��J$دא�����������א�!���0م�אO�������� �/�QX�Y����� 8���0م�א���د���א��Y�Z�K��Q��2]�X[3��\�א����ZOو
�א��� ��و�������53/�=��I�=B_������^�$د��������و>�����3@���K`א�����@Rو/���=�����=�א�����53א���c�[X$��-=(א�א� ����و���K؟�Aאص�=(א�אJ$د.�DPא��<@d-eא�N)=K� �
I6@–@2H@@ÏìЖ½aò@@Matrix@ @
�][����L)�א���� � A����@3������B��5��/���2ن�&L����5/!�0/���3$د�����/���3�R���א�e� �)א���FmEو��eא��Q$R3א��-B�FnE��،و>��3$د��mna������!3��R9�������
�Wא����QXא�&���3@���،�و�n���&.�&<�52g/?�א���Rدmو=������fL#��א��_ �
���[A] = [ mna ] =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
.....
.....
21
22221
11211
I6@–@2@–@1H@òÏìЖ½a@òu‰…@ @
��Q$R3e)�و3$د�א� �3@��3$د�א����$@��h@��9&,$م�=(א�א���K����DXن�د;), (�،�=��nو3$د��m��L$R3Bא�&��3$د�� Y����[A]א�� � nmK� �
f�RW� �
[A] =
44432241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
الوحدة ا�ولى
168
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
DX�5د/�� �/F�4،4EK� �
B�[B]/��א�� �DX$�5א�/����F�1�،3KE�� �
[B] =
31
21
11
a
a
a
�Cوא�� �DX$/�5א����1, 3(�(�� �
[C ] = [ ]131211 aaa
I6@–@2@–@2@H@pbÏìЖ½a@@Êaìãc@œÈi@ @
I6@–@2@–@2@–@1@H@òÈiŠ½a@òÏìЖ½aZ@ @
������� ���Yא�&��������3$د���@&���������9�����nو���3�j$د�m����L$���R3Bو=�����א����� �/B�5���/و�،��3$د�Y ����א�&����،���[A]א�� ���4���L$R3B3$د��j�9��4وK� �
[A] =
44432241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
@I6@–@2@–@2@–@2@HòíŠİÔÛa@òÏìЖ½aZ@ @
E����<ذא�]�[A]���E����<ذא�]������#�� ���/��R9��L������;�،����.�/�� ���/��Bن��������������Y�!3��K�jBא�����א��H��9א�/��l$3�X� YB��=�Y�!3�?א �
الوحدة ا�ولى
169
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
���������������������������������nmamn ≠= 0� �
���ل�3@��ذ��Fא�� �/]A[� �
−=
4000
0700
0010
0002
][A� �
I6@–@2@–@2@–@3@HòíŠÐ–Ûa@òÏìЖ½aZ@@ @
�R`�n�������#�?�B�jB�0=mna��Iن������ ��א�&�����l����X� ���YB��=����Y�!3�?،��و=�����א,m�n/���.��o�n/0[و��[� �
��
=
0000
...........
0....00
0....00
]0[
I6@–@2@–@2@–@4@Hñ†yìÛa@òÏìЖßZ@ @
�����p��א���R9��Lא���� ��א�������� �������9���Hא������=��#����Y�!3�E����<ذא�]�Q$����j�9وLن�B�jB�h�C�א��א�$�א��W� �
�����knm ,....,3,2,1, , =����������
≠=
=nm
nmamn 0
1� �
�n/���.��o�n/و��][ kIQX��3@��א��Z&2Lو�،�� �
الوحدة ا�ولى
170
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
���
=
1000
...........
0....10
0....01
][ KI� �
I6@–@2@–@2@–@5@H½a@òÏìЖ½arÜrîòZ@ @
�X� ����YB��9�����Hא���������א���E����q��=�����Y�!3�?�����l������&א�����R9����Lא������ ��א��.������א��@���������@��א�� �����.�F���?�.�،��=���Y�!3�����R!א���� ��א�&�����[C]�Elא���� �
�א�9 @���@��א�� ���.��R9L�،�X� YB��9�Hق�א�����א����F��[D]�KEא�� � �
−−−
=
4182
0725
0011
0002
][ D��،��
−−
=
4000
4700
1010
5312
][C���� �
I6@–@2@–@2@–@6@H@òÛìÔä½a@òÏìЖ½aIòÛ†j½aHZ@ @
����DX$�5א���/�), (א���� � mn����rL�5��/���s�!א���،�وא��(� ��Y�7� �� [A]�t]�Q$R3B����(� Y�Q$R3eوא�،������� �R@���و��/��R9L�،[A]����n/����.��o�nא�� ��א��$6
nmT aaA mn
T ==��I�#�?�R`knm ,....,3,2,1, =K� �
Fل�3@��ذ���/W� �
������
−−
=
201
142
323
151
][ TA��,�
−−
=2131
0425
1231
][A� �
الوحدة ا�ولى
171
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
@I6@–@2@–@2@–@7@H@½a@òÏìЖ½aòÜqbànZ@ @
�����DX$�5א�/��،�[ذא�>���n, m،����������E)(א�� ��א��.��@u�R&/��2ن�L�][][ AAT =��jB�،�Bmnnmن� aa =�،����I����#�?����R`knm ,....,3,2,1, =����(f���A����@u�R&/�7���8����2ن�Lو�،
Fذ�K� �
�א�� �
−=350
522
021
][ Aن�e�@u�R&/�][][ AAT =��/B�،����������א�� �
−−
=350
122
031
][B� �
v�ن���e�@u�R&/�78�� �/�][][ BBT ≠K� �
I6@–@2@–@3@HpbÏìЖ½a@óÜÇ@òí�¦a@pbîÜàÈÛa@ @
�3@�����א����� ����،�>�����R�����א$���3eאد�א���د�����،�و=�����������K`א�������@R���.د���א�������w�xא������،�y�����א��،�?����R`א�������@R3����R9א�����������@R3�����/B�،�����!�������@3�������/�7���8��
�����j�!-��R<��א��2�p�w�xس�א�� ��@R3���/��/و�����52م����� �א�K� �
�������z�����!3،�د���� �3@����א�������K`א������@Rא\�א�����D]�����B$��6ن��B����6#م��و���� /�(������&� �/�j�9وLW� �
�E����<ذא�]][ ],[ BA��DX$א��{�� �����Ro&�ن�� �و>���ن��/���،�nmnm ba =�?���R`�،���I�#knm ,....,3,2,1, =�����][،�;�|����ل�Bن�א�� � A���و�9L�][B��Z�&2Lو�jא��� �
][][ BA =K� �
الوحدة ا�ولى
172
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
��������،��DX$א��{ ���Ro&�ن�� ��2ن�א�L��/$!3�}��G�C&���&� �/�j�9وLن�B�jB�،�و����אA&@�_�3!����وא��$����������/&��9و���وl���R=��Y�!3�?א�&��.@�����א��� �&������G�C&����j;ن���ط�א�&�9و&��� �א�K� �
f�R�W� �
,
350
522
021
][
−=A
−−
=350
522
021
][C��,��
−=350
522
021
][B� �
][][����W����،�/B;ن CA ≠K� �
I6@–@2@–@3@–@1@HòîÜàÇpbÏìЖ½a@óÜÇ@Éà¦a@Z@ @
�>�_��&l�I?�/� �&�؟ �
��&� ����/�?���R`[A]�،�[B]����DX$א��{��� ������Roن������2ن�B�$���.���?���R`א�����@R3و��@���R<�C��/W� �
[C] = [A] + [B]
�������nmnmnm bac +=
الوحدة ا�ولى
173
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�1Eل� �
Wאl?�א�� �&�
[ ]
=
721
325A , [ ]
−=
1953
276B
�א� �
���������������������������������������������������������[ ] [ ] [ ]BAC +=��
−+
=1953
276
721
325
+++−++
=1975231
237265
=2674
1911
����F6�–�2Eل� �
�Wאl?�א�� �&� �
[ ]
=277166
2515105
232025
A , [ ]
=20714
211563
04520
B
الوحدة ا�ولى
174
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
�א� �
[ ] [ ] [ ]BAC +=
=
277166
2515105
232025
+
20714
211563
04520
=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
++++++++++++
20277711646
2125151561035
02435202025
=47141710
4630168
272545
I6@–@2@–@3@–@2@H@@pbÏìЖ½a@óÜÇ@�ŠİÛa@òîÜàÇZ@ @
���y/� �&�؟>�_��I&�� �
����&� ���/��y�����I&�������2�[A]�،�[B]��������@R3و���DX$א��{�� �����Roن�����2ن�B�$��.���@���R<�C��/�y��א�W� �
[C] = [A] – [B]
�������nmnmnm bac −=� �
الوحدة ا�ولى
175
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
@ÞbrßI6–@3H@ @
����[A]��/�5א�� �[B]א���yא�� � �
[ ]
=721
325A , [ ]
−=
1953
276B
Wא�
[ ] [ ] [ ]BAC −=
−−
=1953
276
721
325
−−−−−−−
=1975231
)2(37265
−−−−−
=1232
551
����F6�–�4Eل� �
�[A]�/�5א�� �[B]א���yא�� � �
الوحدة ا�ولى
176
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
[ ]
=277166
2515105
232025
A , [ ]
=20714
211563
04520
B
�א� �
[D] = [ ] [ ]BA −
=
−
20714
211563
04520
277166
2515105
232025
−−−−−−−−−−−−
=20277711646
2125151561035
02435202025
−=
70152
4042
21155
@I6@–@2@–@3@–@3@HpbÏìЖ½a@óÜÇ@lŠšÛa@òîÜàÇZ@ @
�>�_��&�w���I/� �&�؟ �
��&� ���/�w�����?��&9���[A]�،�[B]������[A]���{�[ذא�>���ن���3$د��Q$��R3Bא���� ���א��9�[B]xو3�j$د�Y �)�א�� ��@R3و�،�@���R<�C��/�w�W� �
الوحدة ا�ولى
177
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@ nppmAnmC ×××=× [B] ][ ][� �
�����א�� �DXد����[A]���=�pm ×��א�� �DX]�،�ودB[�=��np×��L�!א��،�� �/��=[C] �=���&DXد�nm×K� �
��א*��ل���Y�!3��@3א�� �� �<�h�����!3]�ودC[� �
∑=
=p
kkjbikaijc
1
jpbpiajbiajbia 2211 +++= KK
I�#�?�R`W�njmi ,,2 ,1 , ,,2 ,1 KKKK ==K� �
�@���R<��96/�QX�Y��و�������W� �
[ ]
.ba ........ b a b a pj ip2ji21ji1
2
1
21
+++=
=
pj
j
j
ipiiij
b
b
b
aaac
M
MKK
∑=
=p
kkjik ba
1
الوحدة ا�ولى
178
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�5Eل� �
�W[ذא��3B��Eא�� �&� �
[ ]
=721
325A , [ ]
−−−
=109
85
23
B
$Dو���[ ] [ ] [ ]BAC ×=K� �
� א� �
��������9&��?�א*��������ل�3@�������|�.�א-�����������������wא��������_�אeول���c12א��!���������� �R@�[A]�� �R@��������[B]�@���R<�W��א���Rد�א� �
[ ]
−−−
=10
8
2
32512c
= (5)( – 2) + (2)( – 8) + (3)( – 10) = – 56
�������j��Aeא���Y�!ل�3@���א�����5�2א*�g���و.�! }�א������� ��R@��[C] �،���@3���C!-W�����א�!��� �
[ ]
−−
=8876
5652C
الوحدة ا�ولى
179
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�6Eل� �
�:[ذא��3B��Eא�� �&� �
[ ]03.2519.4025.33][ =A , [ ]
=277166
2515105
232025
B
$Dو���[ ] [ ] [ ]BAC ×=K� �
�א� �
[ ]C [ ]
=277166
2515105
232025
03.2519.4025.33
∑=
=3
1kkjikij bac
∑=
=3
11111
kkkbac
311321121111 bababa ++=
=( )( ) ( )( ) ( )( )603.25519.402525.33 ++
= 1182.38
الوحدة ا�ولى
180
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����.� �
.06.1747
,81.877
,38.1467
14
13
12
===
c
c
c
���@3� -!C�����א�!���
[ ] [ ]06.174781.87738.146738.1182=C
� �/��!.����!�B��!=�����3C�1� �/���4�C�3Ec&��� �/��4�C�1K� �
I6@–@2@–@3@–@4@HòÏìЖß@óÏ@oibq@lŠ™Z@ @
؟� �/���E.�u�w����!ذא����/� �
E��<ذא�]�[A]�DX�5د/�� �/�n��Cnو��،k�w����Y�C�،����3$د����[A]�C�kQ$�$D�� �/�������[B]�w����Y���5/��&!���=�Y�!3�5/���!3�jB�����
�E.��]�!�����|�����א��!���א�kא�A[Kن�B�jBW��ijakijb =K� �
����F6�–�7Eل� �
E��3Bذא�]�
=615
231.2][A������$Dو�][2 A×�
�א� �
الوحدة ا�ولى
181
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
=615
231.2][A
∴ ][2 A×
=2
615
231.2
=
)6)(2()1)(2()5)(2(
)2)(2()3)(2()1.2)(2(
=12210
462.4
����F6�–�8Eل� �
E��<ذא�]��[ ] [ ]
=
=615
231.2 ,
123
26521 AA�� �
�$DوB[ ] [ ]}{2 21 AA +×� �
�א� �
[ ] [ ] [ ] [ ]2121 22}{2 AAAA ×+×=+×�� �
+
=615
231.22
123
2652
الوحدة ا�ولى
182
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
+
=12210
462.4
246
41210
=14616
8182.14� �
@I6@–@2@–@3@–@5@HЖ½a@óÜÇ@òí�¦a@pbîÜàÈÛa@—öb–�pbÏì@ @
��אص��������א��������א��������Wو�W� �
�"�א! �אل�–1#����Commutative law � �
�א�� �����DXد�E��<][ذא�A] ,[B[��=�nm×ن;�،�� �
[ ] [ ] [ ] [ ]ABBA +=+
2–"�#������� E�Associative lawא&��'�Fא&%$� �
�א�� �����DXد�E��<][ذא�A] ,[B] , [C[��=�nm×ن;�،�W� �
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]CBACBA ++=++� �
� �
��(�)�Wא&,+*�����א�������������אص����W� �
�1–��"�#������� E��Associative lawא&��'Fא&%$� �
�א��w�x;ن���E��[A], [B], [C]د���DXא�� �����[ذא�>�@R3م���P�6-�!/W� �
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]CBACBA ××=×× }{}{
الوحدة ا�ولى
183
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�9Eل� �
�א����$/��������������������wא����� ����/���9&,$/��א����� ����������Y�A�hو�����Wא�&��� �
�����������������
=
=
=53
12][,
69
52][,
20
53
21
][ CBA� �
�Wא� �
=
=3936
2719
53
12
69
52]][[ CB
=
=7872
276237
10591
3936
2719
20
53
21
]][][[ CBA
=
=1218
4551
1720
69
52
20
53
21
]][[ BA
=53
12
1218
4551
1720
]][][[ CBA
=7872
276237
10591
الوحدة ا�ولى
184
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����wא�� ���������G�^��/$ن�#���ن�א�B�hو=(א����K� �
�"�א! �אل��–�2#��Commutative law � �
���&� �/�je[A], [B]ن;��W� �
������������������[ ] [ ] [ ] [ ]ABBA ×=×� �
E��<ذא�]�}��G�C&�5=(א��/�f<��[A], [B]� �/��.�/�K� �
�;ن/�3���Wو.� �
�[ ] [ ] [ ] [ ]ABBA ×≠×K� �
����F6�–�10Eل� �
�E��<��/ذא�]�hو�[ ] [ ] [ ] [ ]ABBA ×=×�R@���W� ����א�&��� �
[ ]
−=
=51
23][,
52
36BA
�Wא� �
]][[ BA
−
=51
23
52
36=
−−
291
2715
الوحدة ا�ولى
185
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
=]][[ AB
−52
36
51
23
−=2816
114
[ ] [ ] [ ] [ ]ABBA ×≠×∴
�"�א&%�ز-���–3#��Distributive law � �
������و������ ��������א�����������زع��������א����������
�B�jB�،Wن� �א"�#�وא"!� � �
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]CABACBA ×±×=±×� �
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ACABACB ×±×=×±
����F6�–�10Eل� �
�B�E6uBWن �
��[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]CABACBA ×+×=+×� �
�W/9&,$/��א�� ����א�&��� �
[ ]
=
=20
11][,
53
21BA ,
=30
01][C
����Wא� �
الوحدة ا�ولى
186
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����[ ] [ ]
=+50
12CB� �
[ ] [ ]( )
=
=+×∴286
112
50
12
53
21][ CBA
[ ]
=
=×∴133
51
20
11
53
21][ BA
[ ]
=
=×∴153
61
30
01
53
21][ CA
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )CBACABA +×=
=×+×∴286
112
I6@–@3H…†�a@@Determinant@ @
�.�/�� �/�je[A] ���DX�5د�/�nn×�������N)��.�}6L����$��و�������3$د����$�D�����B�AKو���det (A)و��/n/���.�|��n[A]א�� ������R9^$د� �
�����DX�5د/��[�Oد�^$د�א�� ��א��.�� �<��@���R�2و-!��ض��C�2��5�/و�،�jB����DXدnn×دא��א�$���Jאص�א����A�%����.��<)!���-و�،������R�#د�����O]�����@3�$3�9���L�����&��KאJ$د �
I6@–@3@–@1@Hòu‰…@åß@òÏìЖ½a@…†ª@2@F@2Z@ @
e��DX$�5א�/�� �/��2@F@2� �
الوحدة ا�ولى
187
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
������������������������������������������������������������[ ]
=2221
1211
aa
aaA� �
������������������W;ن �
���=det (A) = a11 a22 – a12 a21A� �
����F6�–�11Eل� �
��BوD$�^$د�א�� � �
�����������������������[ ]
−=
52
13A��� �
�א� �
172152)1(53 =+=×−−×=A� �
@I6@–@3@–@2@Hòu‰…@åß@òÏìЖ½a@…†ª@@nn×Z@ @
��� [A]� ����ض�Bن���DX�5د���/�� ����/�nn×����$3�9و-���!��)�א���/�����א������������!�@�ija�n/��������.�|�������n�����/و���ijM������@3����������DX�5د�����/��א������|�^�����$د�א������� �
)1()1( −×− nn���_�����5()�א�������/���s�!א�iد����Rوא���j��@���Yeא���/����5א���� �[A]�،��Le�<���د���$JوאW� �
1�–�( ) ( )∑=
+−=n
jijMijajiA
11det����2��ni ��Bو�= 3,2,1,...., �
الوحدة ا�ولى
188
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
2�–�( ) ( )∑=
+−=n
jijMijajiA
11det�2����nj ,....,3,2,1 =����������������������������� �
)א��$د� ) ijMjiijc +−= ���R9���ija�K/�א�Gא��!��1 �
"/�0���Wن�B�0�f/�ZO( ) 11 ±=+− jiK� �
�t�&6?�א`$ول�א�&L�QX��Pא�N)=و�W� �
����������������������������
+−+−−+−++−+−−+−+
MMMM
L
L
L
K
� �
����F6�–�11Eل� �
] BوD$�^$د ]
=112144
1864
1525
A�� �
�א� �
�Wא&4+-3"�א2و1 � �
1�–�( ) ( )∑=
+−=n
jijMijajiA
11det�������2��3,2,1 =i��?x��1 =i������ �
الوحدة ا�ولى
189
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
( ) ( )∑=
+−=∴3
111
1 1detj
jMjajA
( ) ( ) ( ) 131331
121221
111111 111 MaMaMa +++ −+−+−=
131312121111 MaMaMa +−=
112
1811 =M 4−=
1144
16412 =M 80−=
12144
86413 =M 384−=
det(A)
131312121111 MaMaMa +−= ( ) ( ) ( )3841805425 −+−−−=
384400100 −+−= 84−=
B�$!3��x�1 =i� �
( ) ∑=
=3
111det
jjj CaA
( ) 1111
11 1 MC +−= 11M= 4−=
( ) 1221
12 1 MC +−= 21M−= 80=
الوحدة ا�ولى
190
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
( ) 1331
13 1 MC +−= 13M= 384−=
( ) 313121211111det CaCaCaA ++=
( ) ( ) ( )384)1(80)5(4)25( −++−=384400100 −+−= 84−=
�Wא�����א������ � �
2�–�( ) ( )∑=
+−=n
jijMijajiA
11det����3,2,1 =j�������1 =j� �
( ) ( )∑=
+−=3
122
21deti
iii MaA
( ) ( ) ( ) 323223
222222
121221 111 MaMaMa +++ −+−+−=
323222221212 MaMaMa −+−=
1144
16412 =M 80−=
1144
12522=M 119−=
164
12532 =M 39−=
det(A) 323222221212 MaMaMa −+−= = – 5( – 80) + 8( – 119)–12( – 39)
الوحدة ا�ولى
191
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
= 400 – 952 + 468= – 84.
�������1 =j� �
( ) ∑=
=3
122det
jii CaA
( ) 1221
12 1 MC +−= 12M−= 80=
( ) 2222
22 1 MC +−= 22M= 119−=
( ) 3223
32 1 MC +−= 32M−= 39=
( ) 323222221212det CaCaCaA ++=
( ) ( ) ( )39)12(119)8(80)5( +−+= = 400 – 952 + 468 84−=
I6@–@3@–@3@H@@˜aì��apa…†Z@@ @
� ����������������[A] �،[B]ذא���� ��W!ن×��nn��د
1K .det (AB) = det (A) det (B)� �2K $و(��(�)'��و��%�د��א+������ذא�*�[A]א,�����!ن��det (A)=0 � �
3K ن�-�)��دאن��$�א+������و�ذא�/.�%��[A]ن�!��det (A)=0K� �
4K �������'(�01�(�)'��و��%�د����/���%�د���$���5א+��������2���234��2!ن�����و�ذא�א
det (A)=0K� �
5K ذא���6�222�(���222د����k���'222(�)��$222א+��������222�و�����222د��222%��[A]222!ن��2227د�����
����W�34�,[A]�7د���/����01[B]א+������א,���8 �
����������������������������������������������������������det(A)�det(B)=k � �
الوحدة ا�ولى
192
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
6K TAA =K� �
7K � ��AnkkA!ن�k :(���د�9� =K� �
8K BAAB =K� �
����F6�–�12Eل� �
]�����7د�א+������3=%��>��; ]
=
1250
5940
4730
3620
A� �
א� �
Q���(�)وא?�د�/<��%=@��،��.det(A) = 0 א,�%�د�א:ول����א?�د��)� �
����F6�–�13Eل� �
] �3=%���7د�א+������>��; ]
=
18359
10245
6723
4612
A� �
�א �
det(A) = 0���2ن�א,�%�2د�א,�א�:���
18
10
6
4
,�%�2د�א:ول����Bא(���2'����2<و�
Cط��1/���Kא,�%�د�א:ول�وא,�א�������א �
الوحدة ا�ولى
193
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�14Eل� �
]�ذא���2222 �3=%�22227��2222د�� ]
=112144
1864
1525
A2222;��<�–84)E،���2222%=3�2222%��
��7Wد�א+����� �
���[ ]
=12.25144
18.1664
15.1025
B� �
�א �
Q�$�F,א,�%�د�א� [B]�)و>��F(2.1�����+א�$��$�F,א,�%�د�א� [A] ن!�W� �
Det (B) = 2.1 det (A)
= (2.1) (–84)
= – 176.4
I6@–@4HÛ@óiŠšÛa@÷ìØȽa@òÏìЖàÜReciprocal (inverse) @ @
:B��2222����������2222��][ Aن�0،�و�2222≠A������2222+2222!ن�א���][ 1−A2222;�<�6�2222H@��
Fس�J���E������%H,][ Aא�-@Kذא���,L,ط�א�M,<W� �
][][][][][ 11nIAAAA =×=× −−� �
�N=O][ nI;�<P�O�,א��������K� �
الوحدة ا�ولى
194
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
][��Wو��Q>K��א,��341
][ 1 TA
CA
A ×=−� �
N=OA
C���$;�����������Rא,��א�����P��>+و/<%$�א+������אF�@א+�א��ES,وא�;�(����
][�L%%����א��Rא+����� A�W� �
���������������������( ) ]1[][ ijMjiijcC
A+−==� �
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
=∴
333231
232221
131211
AC
� �
T,ذ�$Hل��F�W� �
−−−
−−
=
1210
2321
1220
1023
][ A� �
�����W!ن �
−−−−
−−−
=−
10612
6311
1010
4211
][ 1A� �
����F6�–�15Eل� �
�W�و������Jس�א+����� �
الوحدة ا�ولى
195
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
������������������������������[ ]
−
−=
121
130
112
A�� �
�א �
��N=OW�ن �
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
=
333231
232221
131211
AC
� �
� �
−−−−−
=∴624
513
311
AC
� �
2)3(1)1(112 −=−×+−×+×=A� �
][��א+���������Jس A��)و>�� �
��������������������������������������������������][1
][ 1 TA
CA
A ×=−� �
−−−−
−
−=−
653
211
431
2
1][ 1A
� �
][][][و,����WLH����U(אK�NU1��RV@-�א,�Mط� 1nIAA =×−W� �
الوحدة ا�ولى
196
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
3100
010
001
200
020
002
2
1
121
130
112
653
211
431
2
1][][ 1
I
AA
=
=
−−
−
−=
−
−×
−−−−
−
−=×−
� �
����F6�–�16Eل� �
�W�و������Jس�א+����� �
� �
RVא� �
��N=OW�ن
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
=
333231
232221
131211
AC
� �
� �
الوحدة ا�ولى
197
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
−−−−−
=∴6103
10164
8123
AC
� �
�Wو��Jن �
−−−−−
=6108
101612
343TA
C� �
�Wو��Jن �
� �
][][]3[א,�Mط���,��-@UL������WL,����U(אH�RV$�א,@��Xאو 1 IAA =×−W� �
������������� ���W�س�א �
1E ( ) 111 ][][][][ −−− ×=× ABBA� �
2E ( ) 1111 ][][][][][][ −−−− ××=×× CABCBA� �
3E ][][1
1 AA =
−−� �
الوحدة ا�ولى
198
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
4E n
AnA
=
−
−1
1
][][� �
5E ( ) 11 ][1
][ −− =× Ak
Ak�N=O�k$@=@Oد����K� �
6E A
A11 =−K� �
@I6@–@5HyÝ@òîãŁa@pü…bȽa@åß@âbÄãòîݨa@n�bi@âa†‚pbÏìЖ½a@@@ @
������،�$22.Yم�א22[�,א�R22O�$22و�א?�22دא�������22ق�א+����22]אم��^L22*א��22���J%L22��$22J,
������������22��P��22(�$22���22=.Yد_��אم�א+�22`���]2222=(�Q22aKم����א,�]22�22�bL22!ذא�א��
�R=;cذو�א�$.Yאnxxxx , ,, , 321 LL�<,L,אW� �
(1)
2211
33232131
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
nn
hxaxaxa
hxaxaxa
hxaxaxa
hxaxaxa
=+++==
=+++=+++
=+++
LL
MM
MM
LL
LL
LL
� �
���L���Jd��������P��Wא�א,�]م����א+�د_���,Le;fو���� �
=
×
mnmnmmm
n
n
n
h
h
h
h
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
M
M
M
LL
LLLLLL
LLL
LL
LL
LL
LLL
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
� �
الوحدة ا�ولى
199
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
��W�و��$�)�����Pد,�������=�� �
�����������������������������][][][ HXA =� �
��N=O][ A�،��4��+א��������][ X�،�R=;cא��������][H������2���
��Wو�ghא,����א,L,=�א,�Fא� �
=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
LL
LLLLLL
LLL
LL
LL
LL
LLL
321
3333231
2232221
1131211
][� �
=
mh
h
h
h
H
M
M
3
2
1
][ ,
=
nx
x
x
x
X
M
M
3
2
1
][����,��� �
I6–5@–1HòÏìЖ½a@÷ìØÈß@òÔíŠ�@Z@ @
$H��%=�������+س�א�Jאم����^L*��RVא��@��]�i^HL/وW� �
��Wא+�د,��א+����=� �
�������������������������������������][][][ HXA =�� �
الوحدة ا�ولى
200
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
P��JdW��و��j��H$�א,�� �
�����������������������������������][][][ 1 HAX ×= −�� �
N=O�][ 1−A�����+س�א�J����;�][ A-�>,א,���1א�$��k���N��V1-�א*�)e,وא�K�� �
���/W��J���'س�א+�������!نو�%�;�����Hم���� �
�������������������������������������������������������][1
][ 1 TA
CA
A ×=−� �
��T,e22H��22Jن���22��%cא+�22د_��א,>22���R22O��@ذא��22ن��227د����������������222
�ج��.222ق�;e222א�A=�0��222�אV,��222א,�$222L��222Jن��=222j�A≠0א+�222���42225�$222j��
6LJ,אK� �
����F6�–�17Eل� �
��و����ROא+�]����א,L���=,L*^�אم�א+����� �
��������������������������������������������������83
72
=−=+
yx
yx� �
�Wא� �
fL,א��U�,א�$H���������P���א,�]م��$�)��W� �
������������������������������������������������
=
− 8
7
13
12
y
x� �
�QLJ/و������][][][ HXA =×� �
الوحدة ا�ولى
201
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
N=O��
−=
13
12][ A���،
=y
xX ][�،��
=8
7][ H� �
g229����2234�,א��22��][][][ 1 HAX ×= ���22א+��22Jس��−���،�][ 1−A����22�22د��m�)e22,وא�
][���Wא,��341
][ 1 TA
CA
A ×=−� �
�∴ � 5−=A �،�
−−−
=21
31][
AC
∴ ��
−−−
=23
11][ T
AC �
∴
−−−
×−
=−23
11
5
1][ 1A
fL,��RUH,��=nj�,א�P������������������������������Wو/�Jن�א,�� �
=
−−
×−
=
×
−−−
×−
=
×= −
1
3
5
15
5
1
8
7
23
11
5
1
][][][ 1
y
x
y
x
HAX
�;�RVא�T,e,���y = 3و������x =1�K�$��k=H���H�O�)e,א�RVא�o����;و��R�2�,א
F�4�–�6KEل��Fא,�א��
الوحدة ا�ولى
202
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
����F6�–�18Eل� �
�و����ROא+�]����א,L���=,L*^�אم�א+�����
3694
,1432
,6
=++=++
=++
zyx
zyx
zyx
א�
��H��R�q�W$�!/1ع���5�o.�א��א+Fل�א,<�- �
=941
321
111
][ A ���،
=z
y
x
X ][ �،��
=36
14
6
][ H
���J�����;��Wس�א+������∴ �
�
−−−
−×=−
132
286
156
2
1][ 1A� �
=
×
−−−
−=
×= −
3
2
1
36
14
6
2/12/31
143
2/12/53
][][][ 1
z
y
x
HAX
� �
الوحدة ا�ولى
203
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
=
∴3
2
1
z
y
x
��;�RV321א === , z, yxK� �
I6@–@6@H@@pa…†���a@âa†‚n���bi@ò��îݨa@ò��îãŁa@pü…b��Ƚa@å��ß@âb��Äã@Ý��yI@ò��íŠÄã
aÝí†jnÛZH@ @
I6@–@6@–@1H@ŠßaŠ×@ñ†ÇbÓZ@ @
��W?�دא��א,L�F1E�=,א,<�-و/�re;�i^HLא,.��@���$�����0]م�א+�د_� �
��������������������������
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
LL
LLLLLL
LLL
LL
LL
LL
LLL
321
3333231
2232221
1131211
=∆� �
�N=OA=∆�4��+�7د��������א��;�K�� �
��������������������
mnmmm
n
n
n
aaah
aaah
aaah
aaah
x
LL
LLLLLL
LLL
LL
LL
LL
LLL
32
333323
223222
113121
1
=∆� �
1x∆���sL��∆� ���K�1L*אل�א,�%�د�א:ول���%�د�א,�Fא� �
الوحدة ا�ولى
204
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
������������������
mnmmm
n
n
n
aaha
aaha
aaha
aaha
x
LL
LLLLLL
LLL
LL
LL
LL
LLL
31
333331
223221
113111
2
=∆� �
2x∆���sL��∆� ���K�1L*אل�א,�%�د�א,F�$���%�د�א,�Fא� �
و;eJא�3
x∆�،4
x∆،KKKKKK�،n
x∆K� �
������������������-2@m�)e2,م�א+��2_��א���2]2��R2��L��2�,ز�2��N=O0و≠=∆ A2!ن����،
�P��@,��$.���RVאFא�����P��3�E�=,L,אW� �
,, , , 33
22
11 ∆
∆=
∆
∆=
∆
∆=
∆
∆= n
n
xx
xx
xx
xx LL
� �
����F6�–�19Eل� �
�دא��و����ROא+�]����א,L���=,L*^�אم�[��@��א?� �
��������������������������������������������������83
72
=−=+
yx
yx� �
א� �
�=,L,א�P���א,�]م��$�א,���W� �
الوحدة ا�ولى
205
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
������������������������������������������������
=
− 8
7
13
12
y
x� �
A=∆��;�W][��7د�!ن
053213
12≠−=−−=
−=∆� �
�x�;�Wو�7د� �
158718
17−=−−=
−=∆ x
� �
��7y�;�Wد�و �
��5211683
72−=−==∆ y
� �
∴�;�RVא�W� �
1 5-
5- 3,
5-
15- ==∆
∆===
∆
∆= y
yxx� �
�F5�–�16KEو;�����oא�RVא,�H�O�)e����k=H$�א+Fل� �
����F6�–20Eل� �
L*���=,L,א+�]����א�RO����^�אم�3�����Pא���و �
الوحدة ا�ولى
206
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
��������������������������������������������
3694
,1432
,6
=++=++
=++
zyx
zyx
zyx� �
�Wא �
���W!/1ع���5�o.�א��א+Fل�א,<�-��!ن �
������������������������������������][][][ HXA =� �
�N=OW� �
=941
321
111
][ A���،
=z
y
x
X ][�،��
=36
14
6
][H� �
�A=∆��;�Wא+�������!ن��7د
02)24(1)39(1)1218(1
941
321
111
≠=−×+−×−−×==∆
�x�;�Wو�7د� �
2)7256(1)108126(1)1218(6
9436
3214
116
=−×+−×−−×==∆x
��7y�;�Wد�و �
الوحدة ا�ولى
207
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
4)1436(1)39(6)108126(1
9
3
1
36114161
=−×+−×−−×==∆y
�� �
��z�;�Wد�و�7 �
6)24(6)1436(1)5672(1
36411421611
=−×+−×−−×==∆z∴�
�;�RVאW� �
3 2
6 , 2
2
4 1,
2
2 ==∆
∆===
∆
∆===
∆
∆= zz
yyxx� �
�F6�–�18KEو;�����oא�RVא,�H�O�)e����k=H$�א+Fل� �
@ @
@ @
@ @
@ @
@ @
الوحدة ا�ولى
208
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
@åí‰b·I6@–@1H@ @
F1�E ��ذא��� �
�
−=112
0
1
3 [A] ,
−=
20
14 [B],
=
765
2
3
5 [C]� �
�����Wو �
a) 4[A] + 5[C] b) [A]×[B] c) [A] – 2[C]
F�2�E ��ذא���.= �
−−−−
−=
3.123.113.10
3.113.103.11
3.103.123.12
][ A ,
−−=
2011
65
42
][B
���א+��������K[B][A]=[C]�א,K�$L@-�א,����34[C]�و���د �
F3�E ��ذא���.= �
[ ] [ ] [ ]
=
=
=67
93
25
,
61
92
53
,
312
976
532
CBA
� �
الوحدة ا�ولى
209
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
fL,א���ز�L,ن�א��ن�3ن����C1�W� �
�[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]CABACBA ��7@222-��م�+=×+×
�_؟ �
F4�E ��ذא��� �
=297
6325][ A� �
�������W�[A]و TK� �
F5�E���������� �ذא���
=
0001
1000
0100
0010
][ A� �
�W!ن
���∞=−=
==
AdAc
AbAa
) 1)
1) .0 )� �
F6�E�=,L,3=%���7د�א+������א����������������Wون�א*L^�אم�[��@��א,���Rא+�א�-�אو �
الوحدة ا�ولى
210
pa…†�aë@pbÏìЖ½a a@Ý–ÐÛa÷…b�Û@
[ ]
=296
532
000
A� �
�F7�Eאم��^L*���=,L,א��=.Yد_��אא+��RO����Wوא?�دא��א+�����[�ق��و �
��������974
232 .2−=+
=−yxyx����������������������
25 432 .1
=+=−
yxyx� �
�������495 232 .4
−=−−=−
yxyx���������������������
13
52 .3
=−=+
yx
yx������������������������ �
�����
6344
2323
14232 .6
=−+−=−+
=+−
zyx
zyx
zyx��������������
15654
9432
3 .5
=++=++
=++
zyx
zyx
zyx���������������������� �
�����
2426
324
5327 .8
=++−=+−=−−
zyx
zyx
zyx������������������
223 642 935 .7
=+−=+−=+−
zyxzyxzyx
� �
� �
��א�א������� �
� �
� �
�א������� �Sequences � �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
212
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
Ûa��pbÈibnnà@Sequences
�א���א� �
��Wא�א��������ن����אس�א������� ����دא���� �
�א�� ������+�א*&%!���وא�()�'&%!���و#"��!��� K%�-)��,�א*%%
�+�א01�����وא/&�������45�د�3��2א*%%K
08��7א�و��ط�א01�����وא/&����K
@ @
I7@–@1@H@ò߆Ôß@@ @
������������������������ وא��$�#�"��!��� ����א����אد�����و�א�����א�ول������א�א������א����א19��8א�73� م�א�03045�/�وא1��2�0/�����(+����،�وذ��,�� +���*���د()��'�&%����������������
و1����� م�(���!������א�א��������<�9א1���/�א?���<3�����������Kא���045�����א��0>;�:0���/�وא1��2���0/�� د���@;B���'&%�������א��3د;/�א�$�#�*���@����C �و ���א���אد���� ��0/����א��
�Kא����045�א01��2/�وא�0�73/ �
I7@–@2@H@ÑíŠÈm½a@òÈibnn @ @
�/�s���/0:<Cא?���<��8��/3دא�/��D��2�D�/03045א���אد�א��/� �D�*N�� �
����/�א�D�������/���0:<C�/���� �Dא�������/�و����0�0�Eאد�א������R�!�F���*���G���H���و�،��K�،W@ن����<�I/3ود�א?���<3/� �
f: N R.�
الوحدة ا�ولى
213
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
��Q&�)s!7;���'��+�>��'���P�Wא?���<�K/3و���Pא���%43���א?���<GN�O�3>�/3ق �
.... ),(...., ),3( ),1( ),1( nssss� �
�/� �D����/0:<C�/� �D� وذ�,�� )����א���T;G3א��R�)�،��S>�Fل�א��א�/���Kא���אد�א�03045/ �
�@ن� د � ��'G'���Eא�UG��!��� ( @�8 �ns)(א�� /3>����7��� ن�����Iد�*���V� Kא� �'�ن �Wذא Q&�)� �� /3>����7�� 8 �א�� �En2�!7�� �א?���<3/ X�� � �� Y)�
O9 �Wא�� �
(1) 28642 n,..., ...,, , , � �
� /3>���?� 8 �א�� �Eא� �'�ن وWذא12
2)(
+=
n
nnsY)��!7�� �א?���<3/ X�� � ��
O9 �Wא�� �
(2) ,...12
2,...,
76
,54
,32
+n
n� �
<�Gא�� �;�Z�Fم [CאG?א� ��� %&'� �nsو(! �Eא� ��� %43�7�8 �،�א�� /3>����7���<�Gم�א��Z�F;و}{ ns� �א��%43�7��$���א?���<3/ ���I�8 �و*���I�Xود��nsא��
����W\�א��E/��7!�א�� O9א?���<3/� �
,...,...,,, 321 nssss� �
� �א?���<3/ X��*� /�;G5א�� \�2� �F1و*34� EO9 �א�� !7�W�}2{ n�! �א�� ���I� �نn2�K�/3>���?א�X��*����0>F2�EO9 �W�7!�א�� �
الوحدة ا�ولى
214
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
}12
2{
+n
n� �
����I�8ن� ��א����12
2+n
nK� �
� ز�Gא�� �(Yن }{و���א na� ،�}{ nb� ،}{ nc� ،� KKKKKKود����I�$א���א?���<�3 !�3*
na�،�nb�،nc�،KKKKKKX0*`7!�א���K� �
������W� �
1E ����a0�K9وGBא���b7�� ن��cد ��� دC�8و �א�� � K3/�א���אد�>����� Q&�)�Wא�و�0/� �
..., , , , 17, ,137532� �
� �Eא� !53;� d3�� ن ��� �2�a0��8 ���2א�� K��'� �G1�Xeد /��Eא� \��� و(!��GH���Kא?���<3/�@و�א�fW�O9�ghא���/�א?��GH��3��O<0א?���<3/ �
2�E�d�3>�����iو�F*�T;G3*���P�7وאل���Kو�Fא���T;G3*����Oد���1#�>}{ na�،�}{ nb'����87;W� �
�d�3>�����iو�F�*}{}{ nn ba �Wא����W�8ذא��S�lא�Gkط�= �
* Nnba nn ∈∀=� �
�K@ن@��W������� .... , , , 332211 bababa ===� �
� �
الوحدة ا�ولى
215
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
�ل�F7� J1E� �
��Eא��C8@و �����7���W<3/א�� �
...,, , , 16941� �
�Eא� �
� 2א��Eא�ول��3>����7/��1 11==s� �
�Eא�&� �8א ��W�22 24 ==s� �
m��&א���Eא�W23 39 ==s� �
�W2א��Eא�Gא<]4 416==s� �
��Eن�א א�� 8و'�א�(�0���W2nsn =� �
�ل�F7� J2E� �
��Eא��C8@و �����7���W<3/א�� �
...,, , , 36,- 25, 16941 −−� �
�א�� �
� 211א��Eא�ول��3>����7/��1 1)1(1 ×−== +s� �
الوحدة ا�ولى
216
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
��Eא�&� 8א ��W�2212 2)1(4 ×−=−= +s� �
m��&א���Eא�W2313 3)1(9 ×−== +s� �
�W241א��Eא�Gא<]4 4)1(16 ×−=−= +s� �
��Eن�א א�� 8و'�א�(�0���W21)1( ns nn ×−= +� �
������W� �
1E ����%����"������3>�����!�F����*�d�>�F����א��d������&?א��O9 �+0����/�@و�א?���<3������א?�����'������������I����'����3>����C ;�(�� @�K@�،����+���K��%��n@����I����C ;�#�(�� ��،�/��0:�+ #
��IKود����I����Gno��Iود�א?���<3/ �2E א��������نW
18 12, 6, 3, 0, ,3}{ −=na� �
23 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, ,1}{ −=nb� �
%n@��I��2���+����'3/����+0/��ن�>�������+����'�Kن@�/�IQ��[��W� �
}{}{ nn ba ≠
I7@–3@@HÛ@ïãbîjÛa@ÝîrànÛaÜòÈibnnà
��;GN�a�V�/&0���א���وאل�،�� �)�����*;G3��Tא?���<3�/�������������������������<��0 0>���V&��0א?���<3���;�K@ +��دא�/ �
الوحدة ا�ولى
217
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
�ل�F7� J3E� �
���W&��א?���<�3�א����0/�<�0 0� �
� �
� �
�Eא� �
� �
� �
����F7� J1E� �
الوحدة ا�ولى
218
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
� �
� �
����F7� J2E� �
� �
� �
����F7� J3E� �
الوحدة ا�ولى
219
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
� �
� �
����F7� J4E� �
I7@–4@H§a@pbÈibnn½aòîib�� �
I7@–4M1@HÑíŠÈmòîib�§a@òÈibnn½a@@ @
� �
الوحدة ا�ولى
220
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
221
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
� �
�ل�F7� J4E� �
��C����7<3/@و���;Gk3א���E�0/�א�W� �
� �
�Eא� �
����W\�א?���<��p�/3@ن �
� �
�Wو��)�;� ن �
� �
�ل�F7� J5E� �
� �
الوحدة ا�ولى
222
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
�Eא� �
����W\�א?���<3/ �
(1) 223 =+= das� �
(2) 461415 −=+= das� �
�qG5>F2�E���F1�E!7����rW� �
(3) 44812 −=⇒=− dd� �
����s; 3���>F3�E�!)F1�E!7����rW� �
(4) 1028 =⇒=− aa� �
(5) )1(50 dnas −+=� �
���F3�E�،F4�E�!)F5�Eن �;W� �
186)4(4910)1(50 −=−+=−+= dnas� �
I7@–4M2Hòîib�§a@Âb�ëþa@ @
�א�$����7��iG<3/�א�FE<0/��א�Eود�א�ba,�8�nא�و�1ط�א�d>�/0>�FE��د;��א�ول ���Ia א�� ���Iو%nb� K� �'�ن �ba,�/0>�FIوWذא /3>����� ��� �;�I
��I�8وא>�FI�t1و<�0+���وc�!7����r��� Y)ن�@�bca ,,���/0>�FI�/3>��W� �
2
bac
+=∴� �
الوحدة ا�ولى
223
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
�ل�F7� J6E� �
��nא��3د;�5@د�d>�/0>�FIو�1ط�@��W245 ,13−� �
�Eא� �
0/��� /�−13, �245@و�1ط�Y>5d>�/0>�FIد�nل�>�FI�/3>�����!7����r����7m0Iود��I�W� �
245 s ,13 7 =−=a� �
�Wو;� ن���;�� �
4361324567 =⇒+−=⇒+= dddas� �
��8��Wא�FE<0/�طو�1(�� �
)435( 13 ),434( 13 ),43 (313 ),43 (213 ,43 13 +−+−+−+−+−�K@W� �
022 ,591 ,161 ,37 ,30� �
I7@–5@Hòî�†ä�a@pbÈibnn½a� �
I7@–5M1@HÑíŠÈmòî�†ä�a@òÈibnn½a@@ @
@ @
الوحدة ا�ولى
224
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
@ @
@ @
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
225
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
� �
� �
� �
�ل�F7� J7E� �
���C����7<3/��א01��2/�������@و��Gg�3א���Eא��0�$/�א���iو�F;א�ول�����I�128����Iو���i6.4Kא�&� �F;�8و �
�Eא� �
� �
��Gg�3א���EאW� �
� �
الوحدة ا�ولى
226
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
�ل�F7� J8E� �
@�u4v@ن�2431
�@�I��Iود�א?���<3/��W� �
� �
�Eא� �
� �
�Gض�@ن �W2431=ns�� �
243
1
1
1
=∴
=
−
−
n
nn
ra
rasQ� �
�WWذن �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
227
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
I7@–5M2Hòî�†ä�a@Âb�ëþa@ @
�I�������א����1���$���0/?���<3���/�א2אد��I����و����>�ba,�8����d�����د;�א1��2���0/א�و1����ط��و<�+�0��������1���I/0�������;���������3>���ba,��/وWذא�'����ن�nb�K���%وI�������א�aא�ول�t181و����Iوא��cنY)�bca ,,����/3>��/01���W� �
�Y)�Wن�W0>abو<�Gض�@ن �
ababcc
b
a
c ±==⇔= 2� �
�ل�F7� J9E� �
��nد@�d>�d01����d51א��3د;�و�W8
189 ,7−� �
�Eא� �
d>�d01��2א�d51 <Yد�nل�א�8
189 ,7−�/ ���/01����/3>�����!7����r�
��I�Wود�����4�+0 �
8189 s ,7 4 =−=a� �
1 −= nn rasQ� �
�0 ن���;��)W� �
الوحدة ا�ولى
228
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
333
4 23
827
78
189 s
−=−=⇔−== rr� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة ا�ولى
229
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
åí‰b·@I7@–@1H@ @
F1�E�/3>���?א���W�,...}15,11,7,3{}{ =ns0/�@م�#�و?�ذא�؟�>�FI�K� �
F2�E�/3>����7��Gk��m��&א���Eא��Cو@/0>�FEאW,...}11,7,3,1{}{ −−−=nsK� �
F3�E�d>�O9 �yود�א�Eد�א����C7!��و13�،�100@و��/�F6א�$�*���4א��K� �
F4E��;א�37��81��2د�t1 ���16�،�9K@و��Cא� �
F5�E��;א��3د�d>�/019<3/�@و�1ط����@��n486�،�2@دK�� �
F6�E��;א��3د�d>�d01����d51و��n243- �،�9@د>K�� �
F7�E�9א��z�8 �&א�����m��&א�����I��;<;�$א?���<3/�א01��2/�א���Cو;>;��6@و�،��� ���z�m��&4Kא9א��Eא�Gא<]����א� �
F8E�#א?���<3/�א����01����/0/�@م��u �'ذא�W���0)�9G���W3,...}12,6,3{K� �
F9�E�/3>���?א��Gg�3א���Eא��Cو@W�,...}2,1,2/1{ −K� �
F10E�0 �0>��+7&���v�87;���0)�/3>���������fود�א�و�I�/F�{א�X�'@�W� �
� �
� �F�11�E�0)�+���fود�א�9<3/�א�و�Eא�/)G3z�/3>����7��8 ���W;�87א���1|�א��Eא�� �
الوحدة ا�ولى
230
½a@@@pbÈibnnSequences Éib�Ûa@Ý–ÐÛa
@ @
F12�EO�53?א��W@و��Cא��Eא?75 ���א?���<�3 �
� �� �
� �
@@@ @
�وحدة الثانيةال �
� �� �
��א�א�������� �
� �
��� ��א���אد�א�� �Complex Numbers � �
� �
� �
الوحدة الثانية
232
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
òj׊½a@…a†Çþa@ @
Complex Numbers
�א���א� �
����� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א��������W� �
• ��������� !" � �#��א��د�א(&,�و+�אص�א��"�אد�א(&)"��و&#�#"��%$# #. #�K
3 # �2א����01 ��א��אد� • Kא(&)�א�
Kא���#$37א����4��56אد�א(&)� •
Kא�:9���א8 ������4אد�א(&)� •
I8–@1@Hò߆Ôß� �
����א�����א������� د#"�א!� ��و��ق�������������ق�א����אد�������������دس�����$������א% د����و��&��Wא)� � ��،�و� �
xy −= 1� �
}:,x {2�1و����1�0ن�.$-����������*��,+�א% د�����*������� <∈= RxxX0�،3�����4�و&�@�����Kא�<��= ��א�� $��>;�א:,�9&��א8�9�x�����7א���אد�א)� � ��&���א�6 ������5
��د���;�א)��1�����-$B������A0&��@�.$-�����א�����אد�א)� � �����*Rن�-��CD�E�� F� ��0�Gאد�&H>8دون�א����%��H*,+�א% د#"�K� �
الوحدة الثانية
233
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
������I4�%א����אد�א����-$.��$�����-$Bא�+,*F(Complex Numbers��K�&�Dو�،��K&���L�MC�����������������"� �$ �ض�% �����&* ���א� ��د�א%�7�4،�وא�>�،�و����*�,א�א�������8
����Q�R-אص�א�����אد�א%���I4��،�وHO ����א�����אد������Lو�،����I4�%א�����אد�א����������DS:א �����د�א%�T����7����4א%�����I4���������א%�����<-���������Iא��������� H$>א%�7����4،�وא��"����D�U،�وא�
��I4�%א���אد�א������&Mوא��-א���אK� �
@I8–2@HÑíŠÈmk׊½a@…†ÈÛa@@ @
�V9-زوج�&�������7&����@�א�������אد���������א�������T0),( ba�����E���� ������D$��������د�&��7����4،�Rba ∈,�KV9-א������YD0�Z>L>4�@C[وW� �
ibaz +=� �
E �W�1؛�−=i� �
��$����Dوa������ �(א�GK���:א�FReE���،�7���4�%د�א���� � ����$��א:���0b���GK&�����&���@�א���K&@�א� �د�א%�FImE74א�<^ �� �
�����W� �
)2 ,1(Cو��YD0�7>�W�iz 21+=� �
)5 ,0(YD0�7>Cو���W�iiz 550 =+=� �
)3.2 ,5(−YD0�7>Cو���W�iz 3.25+−=� �
@ @
الوحدة الثانية
234
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
I8–3@H´j׊ß@åí…†Ç@ôëb�m@ @
�����Dل�0ن�א� �����د�א%���7����4111
yixz ������Dو�Tא� �����د�=+222
yixz ،�bذא�وbذא�=+
��4�cن�2121
, yyxx ==K� �
���F–�1Eل� �
�$ ��2�DW�0b ,aو6��1 $�� �
���������������������������������������������������bii 7 3a )1 +=−���� �
)12()2(2 ) )( 2(3 )2 −+−=+− ibiaibai
�� �א �
���������������������������������������������b 7 3 )1 iia +=−� �
�����������������������������������������3 , 7
−==∴
ba� �
)12()2(2 ) )( 2(3 )2 −+−=+− ibiaibai
1242)12() 2(2
)23()23(
)2(2233 ) )( 2(3
−+−=−+−
−++=−−+=+−∴
ibiaiiba
abiba
ibaibiaibai
Q
الوحدة الثانية
235
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
(2) 227
)42()23(
(1) ,12
12)23(
1242)23()23(
=−⇒
−=−
−=+⇒
−=+⇒
−+−=−++∴
ab
biabi
ba
aba
ibiaabiba
Q
�@&F1�E�،F2�E0ن��������d0 ,1 =−= baK� �
I8–4@Hk׊½a@…†ÈÛa@Ýîr·@ @
������H[�7����4�ibazא� �����د�א% +=T->�����%א��������،���$�����D�T,א%��7����4وא������),(و��������،��1�T->��e�FGauss – planeEوس�� baP����� fא���b���>وא��),( ba�،
������א�<^ � ������ ���د�א%���$������7��4�Libaz +=�K�9-��g��$���Dوx��9-h��L�L�F8�–�1KEh-�9א�<^ ���gy��Ci-�9وא)� ���،� �
����� �
���F�8–�1E� �
الوحدة الثانية
236
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
I8–5@H@óÜÇ@pbîÜàÈÛa…a†Çþaòj׊½a@@ @
$� ��"�א:$���j،�وא������l،�����אد�א)� � ������jY��kא�����אد�א%���I4������H&�����H&א��m�Yوא�،��D�$ ��T���$4��nQא���-�L�@C،�و��وא���$�K� �
I8–5–@1@H@òîÜàÇɺë@�Š�òj׊½a@…a†Çþa@@ @
o���I4�%אد�א��p��j$:א�� �$��q� ��D�$4W� �
�3rI4�&�@Dد���V9-��Lن� � &�W� �
��������������������� dicz 2
+=, ��biaz 1
+=
�s��Wن �
��������������������������)()(21
dbicazz +++=+� �
�E �Rdcba ∈,,,K� �
��jt�u�T0Kא:�GKא)� ���&�jא)� ���وא:�GKא�<^ ���&�jא�<^ �� �
��E ��،�j$:א�@��v�>w�x��l�א���0&�������Uא��j�t��� �$��yb�l�א�����ل��$� -<���CiF8–�2KE� �
��)()(���lدs��z�,��@Dن�21
dbicazz −+−=+K�� �
������lא:����GKא)� ������&���@�א)� ������وא:����GKא�<^ ������&���@���u�Zא�����Y���D0�{����x��Kא�<^ �� �
الوحدة الثانية
237
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
� �
����F8–�2E� �
���F8–�2Eل� �
b��W5 4ذא�4ن2
iz +=, ��3 21
iz +=� �
�0و�1 �
��21
)2 zz −���������������21
)1 zz +� �
� �Wא �
������������������������������������������������������������21
)1 zz +� �
i
izz
86
)53()42( 21
+=+++=+
������������������������������������������������������������21
)2 zz −� �
الوحدة الثانية
238
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
)1(222
)53()42(21
ii
izz
+−=−−=−+−=−
I8–5–@2@Hòj׊½a@…a†Çþa@òà�Óë@lŠ™@òîÜàÇ@ @
�3V9-��Lن� � &�rI4�&�@Dد���W� �
��������������������� dicz 2
+=, ��biaz 1
+=
@Dد� �sن����n���mא�21
zz ⋅W� �
��������������������������)..(). .(21
cbdaidbcazz ++−=⋅�� �
�0و� �
).. ,..(),)(,(21
bcdadbcadcbazz +−==⋅
�rI4�&�@Dد�����6$�� �$��q� ����D�א���|�Lو21
/ zz�W� �
+−
++=
222221d cd a bc ,
d cd b c a z / z
���F8–�3Eل� �
b�W2 9ذא�4ن2
iz −=, ��3 81
iz �GKא)� ����وא�<^ �������{و��1א:=+
�@&�xC�21
,zz�1�5אوf�W� )/( ),.( 2121 zzzz� �
� �Wא �
Re z1 = 8, Im z1= 3 , Re z2 = 9, Im z2 = – 2
الوحدة الثانية
239
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
)..(). .(21
cbdaidbcazz ++−=⋅
z1 z2 = (8 + 3 i).(9 – 2 i ) = 72 + 6 + i ( – 16 +27) =
= 78+ 11 i.
+−
++=
222221d cd a bc ,
d cd b c a z / z
=
++
+−=
85
45 ,
85
66
4 81
81 72 ,
4 81
6 27 z / z 21
T�Q0���D��L0و�� �
z1 / z2 = (8 + 3 i) / (9 – 2 i )
= [(8 + 3 i) (9 + 2 i )]/ [(9 – 2 i ) (9 + 2 i )]
= [(66 + 45 i ) / [ (81 + 4)] = [(66 + 45 i) / 85]
= [66 / 85 + (45 / 85) i].
I8–6@Hk׊½a@…†ÈÛa@ÕÏaŠß@Conjugate complex number@ @
��q&�א�~�א� �د�א%��74Dyixz +=K&��L�Z��K&�Dو�zy>�4�W���� �
yixz −=� �
������ib�������c�V9א:���GKא�<^ �����،�و���,��������z-ل�������&�א���~������T0د�&��7��4M,د� ��Kא�א� �
2 �3א� ��د�א%����7�4 ل������ذ��������� iz +=���-�*�Z2 �3&�א��� iz −=�K��~و��$�א������������������DS:א�"� �$ � �������D�Eא� ����D&��@�א��،���I4�%א����אد�א��������nQ��� $*0
�I4�%א���אد�אK�$4��74�%د�א� ��Wא!-אص�א�<� ��0ن�%�א�~�א� �
الوحدة الثانية
240
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
����2121
zzzz .1 +=+� �
2121z .zz.z .2 =
2
1
z
z
2z
1z
.3 =
�Kא�S*ن�&�و������9 �
I8–7@H@k׊½a@…†ÈÛa@÷bîÔß@Absolute value@ @
������q&� ����سDFل-�����E7����4�%د�א����� �yixzא� +=�K&������L�Z������K����&�Dو�zr =�y>�4W� �
22. yxzzr +==� �
� 8����zK��א��yb���nא����*-�א%����&@��و* �
�xH$�4 3א� �د� iz +=�Z8 �&�52543 22 ==+=rK� �
�د�א������W#"אص�� �س�א� �
�W%� س�א� �د�א%��74א!-אص�א�<� � �
�����2121
. . .1 zzzz =� �
.22
1
2
1
z
z
z
z=
2121 .3 zzzz +≤+
�E ���א%QE�Hא!n ��א�DI>e�q� ��V�K� �
الوحدة الثانية
241
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
���F8–�4Eل� �
bizذא���4ن�� 322
+−=, � 11
iz +=���E���H%א����DI>&�;���4ذא�b���&�E��Fא
�؟���g��0م�# �
� �א �
| z1 + z2 | = | – 1 + 4i | =17 =4.123 ,
| z1 | = 21
21
yx + = 2 ,
| z2 | = 22
22
yx + = 13
∴ | z1 | + | z2 | = 2+ 13= 5.020
∴ | z1 + z2 | =4.123 < | z1 | + | z2 | = 5.020.
∴���g��DI>%א�K� �
I8–8@Hk׊½a@…†ÈÛa@òÈ�@@Absolute value@ @
���8 ��א� ����د�א%���7���4F�zargE�����7���4�%د�א���� ����-ل�א��r���L�V9-����hא�����DאوKא������*��zr =�9-gو�x�KK&��L�M�K&�Dو� .θ�y>�4�q� �Wو� �
−=xy1tanθ� �
θ�rL�V9-�g�πθπو6 $�� ≤<−K� �
� �
الوحدة الثانية
242
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
���F8–�5Eل� �
bW�izذא���4ن 32 .2 +−=, 24 .1 iz +=�������� ���-ل�و��8�@��&�x��4����1و}��Kא� �د�א%�74 �
� �א �
���������������������������������������������������������� 24 .1 iz +=
�� ,5220 416 ==+=∴ r
−=−=211tan
421tanθ
iz 32 .2 +−=
�� ,13 49 =+=∴ r
−−=−−=
231tan
231tanθ
I8–9@H@ÝîrànÛa�İÔÛak׊½a@…†ÈÜÛ@@@ Polar form@ @
4yixz$���0و�������8�L�0ن�א� ���د�א%��7��4 ]���������Hא%���<-�Tא%���7��4،�=+ ،�FyE،�وא�H� ������א%�����I4��א�<^ � �����������I4�Fx�E��א)� � ������و�yא%�r>I4�����e،�א�
�������9CDא���� H$>�Lא�,*��$�Dوج�א%���7وKوא�Fyx,�E��$4�،T->�%א����������H[�j �>����D�$4��Iא����� H$>א���$�D��Q0�� H$>L�74�%د�א� �HOW ��א� �
�Cא���@&F8–�3�����Eθsinry =����,������θcosrx =� �
الوحدة الثانية
243
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
∴��������אf "�א�b�Fyx,�E��I��)sincos θθ , r(rK�E� ����22 yxr +=��-�*��-لF&� س��E،�74�%د�א� 8 ��א� �د�א%�θ74א��K� �
� �����F8–�3E� �
���-ض�����@�6 $�������yx,��,Q} ���8د�א%�����7���4א���� yixz +=��V9-א�������Wא�<� � �
)in (cosin cos
θθθθ
sirzrsirz+=∴
+=
��L�V9-$��*,+�א�����د�א%�74 �� ���� Iא����K� �
y>א���Cא��������א�� ��+,*�j�و�@C[وW� �
���������������������������������������θierz =� �
E ���θθθ sincos iie +=�K� �
�K(Euler’s formula)� ���0و�D��*,+�א�� �����L$��و �
الوحدة الثانية
244
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
�������������������� H$>א�������1b�א�Gא� $� "�א���L���j�t�@&و����lو����mو$��6������C[و �د�א%�74����Iא���K� �
���F8–�6Eل� �
������bWذא�4ن �
)sin(cos .22222
θθ irz += ��,��)sin(cos .11111
θθ irz +=� �
).,( )/( ����������������������W{و�1 2121 zzzz�,�21
zz −�,�21
zz +�� �
� ��א �
)sinsin()coscos(2211221121
θθθθ rrirrzz +++=+� �
)sinsin()coscos(2211221121
θθθθ rrirrzz −+−=−
( )( ))( sin)( (cos
) sin coscos (sin) sin sin cos (cos
) sin (cos ). sin (cos.
212121
2121212121
22211121
θθθθθθθθθθθθ
θθθθ
+++=
++−=
++=
irr
irr
irirzz
( )
( ))( sin)( (cos
sincos
) sincos cos (sin)sinsincos (cos
) sin (cos
) sin (cos.
) sin (cos
) sin (cos
) sin (cos
) sin (cos
21212
1
2
2
2
2
2121212121
22
22
222
111
222
111
2
1
θθθθ
θθ
θθθθθθθθθθθθ
θθθθ
θθθθ
−+−=
+
−++=
−
−
+
+=
+
+=
ir
r
irr
i
i
ir
ir
ir
ir
z
z
� �
الوحدة الثانية
245
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
���F8–�7Eل� �
b��� 1ذא�4�;� iz +=� �
�� Iא�����د�א%�0��74و��1א�� �� � zZ> ��0�5fو��1�-��Zو8 �
W�א
z = r (cos θ + i sin θ).
r = | z | = 22 yx + ,
r = 22 11 + = 2,
cos θ = x/r = 1/ 2, sin θ = y/r =1/ 2 ,
∴ z = 2 ( cos 4
π + i sin 4
π ), | z | = r= 2,
arg z = 4
π .
�z א��-�Tא��� ����� �د�א%��74 �
���������������������������������),in2 2(cos
in cos22 θθ
θθsirz
rsirz
+=∴+=� �
���������������������������( ))in(-2 )2cos(22 θθ sirz +−= −−� �
�&�����Lو�� �nد����T��nن�s��W� �
����������������������������������( )θθ nin cos sinrz nn +=� �
الوحدة الثانية
246
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
I8–10@HbèmbÔîjİmë@ŠÏì¹…@òíŠÄã@@ De Mover's equation@ @
�� ==��������1-�و�������� rz���� א��������������������( )θθ nin cos sinrz nn +=���������8W� �
��������������( ) ( )θθθθ nin cosin cos sinnsizn +=+=� �
��د]-���و*�L���Q9ج���ق�*�,א�א��>C����mو*,+��*S&��$���،��� I���5�*0�@�&و����� �د�א%�74���� �-���bKد�א:,و�9א� �
����د�s���7�1-&�� ��nن�א:�,�9א��-����M,א��������������nد�&��7�4و�������bzذא�4ن���
nא� �د�*-�
1
zK�� �
����F8–�8Eل� �
b 33232ذא�4�;� iz +−=� �
��،�0�5fو��1א:,�9א��دس�M,א�א� �د�z 0و��1�-ل�و8 �Zא� �د�א%�74 �
� Wא� �
r = | z | = 22 yx + ,
r = 2323232 ×+ = 64,
arg z = 3
2π .
الوحدة الثانية
247
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
��2א:,و�9*∴ �
+=
+=
9in
9 cos2
182
in 182
cos6
1
6
1
ππ
ππ
si
sirz� �
I8–@11@Hë†Ûaòj׊½a@Þa@ Complex functions @ @
����������E��Hא��m�Iא��������� �L،����6{�-א����א%^<�����������وאل�א)� � ���������������q-�8و n�R-�9א��وאل�ذא"�א%<���א%�74L�*�K� �
&���@�א�����وאل�אM&�����������א������אد�א%����I4��،�א��א������א�D�����C����א�<������������א����� �����������)/(1)( assf +=���E �s�74�&د����K���������r � و&@�א� i�Gא%�$�����*,+��א��א���*-��
�� ��6�r �5א�����������T0����D��#���&�ybل�������א��א������� �و*���*�������polesא����ط�א�<����=asא�� $���� �،�و�z�,��4&��@�א����وאل�אM&���������א�����אد�א%���I4��א��א�����א���8 �����=−
ze���E ��Q}W,�א�� ���א�<� � �
( )yiyxiyxz sincoseee +=+= � �
�}�0نx��$4W� �
( )
xyxx
yiyxiyxiyxz
e2sin2cose
sincosee.eee
=+=
+==+=
arg ze = y± 2 n π , (n=0,1,2,3,...),
الوحدة الثانية
248
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
����F8–�9Eل� �
�����א��C$%0و��4��1א)�-ل�א iz 43e +=� �
���Wא� �
��������( )
xyxx
yiyxiyxiyxz
e2sin2cose
sincosee.eee
=+=
+==+=� �
��������������������������525242343 ==+==+ ri� �
609.15ln 5e
==⇒=∴
x
x
�Kو*,א�א:�GKא)� ������Cא)�-ل �
���������������������������������������������������������
927.0
8.05
4sin
,6.05
3cos
5
,4sin
,3cos
=∴
==
==∴
=
=
=
y
y
y
xe
yxe
yxeQ
� �
..),.........3,2,1,0( =n πniz 2927.0 609.1 ±+=∴� �
����Kא)� �����د�#������&@�א)�-ل]��Hو*,א� �
الوحدة الثانية
249
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
I8–@12@HapbÔibİn½@ @ @
��V��� �&�"���L�>&א)���-ل��������j �>�����|��8و�6-א�����א��@D���(��8<^�אم�ذא"�אL
�,���Q}Lna�E��� ��a���@D����(������5<^�م�ذא"�א���f�7���4�&د��������z����( )n na x iy= +��LK8<^�אم�א:�GKא)� ��2و�א�<^ �2 �
�H&F8–10Eل� �
�z���@D�(ذא"�א�)�bذא�א8<^�& )1n
i+0ن����W� �� �
( )0
10 2 4 1 3 5
nn k
k
n n n n n n ni i i
k=
+ = = − + + + − + +
∑ L L
� ��@Cو���� �
( ) / 41 2 ii eπ+ =� ���bذא� �
( ) ( )/ 2 / 4 / 21 2 2 cos 2 / sin 2 /n n in ni e n i nπ π π+ = = +�� �
��و�&0����Zن �
/ 2(1) 2 cos 2 /0 2 4
nn n nnπ
− + + =
L
�� ��و �
� �
/ 2(2) 2 sin 2 /1 3 5
nn n nnπ
− + + =
L
� �� �
�0���<� �jא)�-ل�����&<��LI�>L�T�Q0�" ~��$� ��א:$�jو��{�#�H&�T�Q0�"�L�>&و��r>�L�>%א�����l�א��W� �
الوحدة الثانية
250
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
� �
(3) 20 1 2
nn n n + + + =
L
� ���و �
(4) 00 1 2
n n n − + − =
L
� �
����F8–11Eل� �
��D�م�א���^>��x�0�W+���د�אB$-ع� �
0 2 3
n n n n
m m m
+ + + +
L
� ��E �0m>م��^>���� �nد����/i me πω 2=�� �
�}�0نxو��W� �
2 ( 1) |(*) 1
0s s m s m m s
otherwiseω ω ω −
+ + + + =
L
� ��}�0ن�#�zذ��T��
( 1)0 1 ( 1)(1 )sm s s s mω ω ω ω −= − = − + + +Lذא�s��m�#�
�5��Dsن�s��1 0sω − )�و�L�>�s��2ن�≠ 1)1 0s s mω ω −+ + + =Lن�ذא�4b�&0�|m sن�s��1skω =��C��kن��s��2�>�Lو��( 1)1 s s m mω ω −+ + + =L�K� �
���0نm<^�م�ذא"�א)�D@�א�ن�����+��&�W� ��� �
0
2n
n
k
n
k=
=
∑
� �0
(1 )n
n k
k
n
kω ω
=
+ =
∑
� �2 2
0
(1 )n
n k
k
n
kω ω
=
+ =
∑
� �1 ( 1)
0
(1 )n
m n m k
k
n
kω ω− −
=
+ =
∑
� �� �
الوحدة الثانية
251
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
��& �$�j*,+�א%<��L"����0ن�&
n
k
-*�@[א��q�א�����W�
( 1)1 k k mω ω −+ + +Lذא�b�3��nن�-C 8�0و�*,א� k m< b�|mذא��mو�> kذא�b���WB$-ع�*-� �
*0 2 3
n n n nm
m m m
+ + + +
L
�� ��Wو�&s��Zن �
2 12 (1 ) (1 ) (1 )
0 2 3
n n n m nn n n n
m m m m
ω ω ω − + + + + + + ++ + + + =
L
L
� �D�@[א��q�����78&��I <$ 6������$���bد��m�&���xH&�6m=�
�C>8W-ن �
2 / 6ie πω �}�0ن�=x��3 1ω = �و�−5 1ω ω
ω= =
�و�
____4 2
2
1ω ωω
= =�� �
Z�Wو�& �
�___________
5(1 ) (1 ) (1 )n n nω ω ω+ = + = �bذא�+5(1 ) (1 ) 2Re(1 )n n nω ω ω+ + + = +�
�7>Cא��,M�~��&��I ����������3 3
12 2
iω+ = +������ Iא����V9-א�����
�0Wن �
�
223 3 12
32 2 4
r = + = = و��
1 3 1
2 23ie iθ ω+= = +
�� �
�303 1
cos ,sin2 2
θ θ= =b�6ذא�
πθ =� � Dא�,*�
/ 2 / 6(1 ) 3n n ine πω+ =�� ��bذא� �
/ 22Re(1 ) 2*3 cos / 6n n nω π+ =�� �
الوحدة الثانية
252
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
�E ��Z�0������L�&���D��Lو�2 4 / 6 1 3
1 12 2
ie iπω+ = + = +�� Iא����Z>� n�
ireθ�E ��
221 3
12 2
r = + = و��
1 3
2 2ie iθ = +
�30�/ 3θ π=��� �
�sن�2 4 /3(1 ) (1 ) 2Re 2cos / 3n n ine nπω ω π+ + + = =�� �
�bذא��sن�
/ 26* 2 2cos /3 2*3 cos / 60 6 12 18
n nn n n nn nπ π
+ + + + = + +
L
� �
� �
الوحدة الثانية
253
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
@åí‰b·I8–@1H@ @
F1�E����;�4ذא�b iz +−= 21 , iz 251 ��0Wو���1=+ �
| z1|, | z2| , z1 + z2 , z1 – z2 , z1 z2 , z1 1z�
F2�Eא��������}D�&��H&� Iא����V9-
a) 2 i , – 2 i b) 1�H i , – 3 c) 6 + 8 i
d) i
i
−+
1
1 e) i
i
44
2
+
F3�E� �>א���I4�%א���אد�א�� �-ل�و8�r�W
a) – 6 – 6 i b) – 10 – i d) 2 +2 i e) – π
F4�Ec�L�V9-n������}D�&�x + i y
a) 4 [cos( 3
π ) +i sin(3
π )] b)2 2[cos(4
3π )+ i sin (4
3π )]
c) cos ( – 1.8) + i sin ( –1.8) d) 10 cos ( – 0.4) + i sin ( – 0.4)
F5�E� �>א��"DI>%א�@*�LW
| Re z | ≤ | z | , | Im z | ≤ | z |.
F6�Eد�א)� ���وא�<^ ������وאل� �0و��1א� �
���������������������������ƒ(3 + i), ƒ( – i), ƒ( – 4 + 2i) � �
الوحدة الثانية
254
òj׊½a@…a†Çþa Ûa@Ý–ÐÛaßbrå@
E �W� �
a) =)(zf z2 + 2z b) =)(zf 1/ z3 c) =)(zf 1 / (1 – z)
d) ƒ(z)= z / (1+ z) e) ƒ(z)= 2 z3 – 2z
F7E0ن��;If0�W
�������( )
−+−=+ θπθπθθ2
sin2
coscossin ini� �
F8Eא:,�9א����>��HW���p��Eאد�א%�I4��א�<� �0و��1 �
������ic +3 )������������������ib 3 ) −������������ia 6 )�
� �
� �
� �
� �
� �
� �
��א�א�������� �
� �
��� ������א�� �
Trigonometric � �� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة الثانية
256
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
pbrÜr½a@lb�y@ @
Trigonometric� �
� �
�א���א� �
����������� ����د�א�����א�א��������ن����א�س�א�W� �
Kא� "!�! �א��אو�� •
Kא��وאل�א'&�&"��و�����!%$! •
Kא��"/�א.-,�א�"�����وא�!�א+!د�وא��وא�!�א*!(� •
! �א'&�& •� K"��א1!��א',0!
I9–@1H������� �
��א��������������א���א������א����������� ���א������א�������������������������������������و�ل�����*�אع���و�������ذ�'���&�%����א$��א����א��#"�،�������و-,��������א�������*�����
�;��&�:�����א����0�א����9�ن�و��7�6و�5وو0��4�א�א$�����א���01�/��������2�3/�������א.�������،��%�#�;3��א�������،������=א>/�،���9����>�وא@,�א�?����%�����Cא�Dא���B*�;Cو�Aن��
B����Eא���م�������ول�C%���������850;���نא������د�א���B*���;Cو���Aن�Kوא��B���H6Iو*���FGא����2�Mא�����N��אOPع�א���K� �
�4#ع�و�ن�W:�א��א��V#"��5=���&�����M�90زوא6��S�����W��"#"��،��2א���Q��R�ن�������و�� ���א����א*<�����?��������א��������?�H�Xد*������ل����א���S��0א��Aא��������و���و���������Z6�A=א����،,Gא�א��=��& �د���:6��R��9��180������:�2�R�Mא�=\�]�9�ع�زوא���5��2،�
����,H��و��]A���Kد�A�R���180�:6و\� M/�]9�ع�א�Iوא��2 �
الوحدة الثانية
257
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
I9@–2@HòíëaŒÛa@pb�bîÔÛa@Angular Measurements@ @
����Wو���� ��א����F�����אE� �
����^M;��Mא��b<�������cW����:6وא��Eא����F��:6א�Iאو����2>����س�%��;������2א������<������60�����MHدF60��d�E����MHوא����cW60���M*�"�F60�e��Eس����&�����M �&����א�Iאو�����2>���Zא��:��د
�cW�Z�@א��א�IA��360�،��2و�;���9H�&92�f���#A���M�M;���:6د�F1��E�K� �
����W�א��א�� �א���� �
6�5�س���������I��A���\���@س�دא���H��7�ل��>��%��Cא�;������2א����א@�\���Iאو�������2��א�����������Eא���gG*�>%و��fM0�4�>%�6�Ghאو��2وIא������2�0%#&�������א���f��MH�Z��ن�و�Q<و�،
��2�EH�gGא��Fradian�E�& ��9A�,QiF9–�1EK������������������������������� �
rad. r
d=θ� �
� ����������F9–�1E
����S���5و�������jوא�B@����fא����f0���4وو�B����S$א��f0���4و�B���������"#"��M������$אو�����2אIא���������������������k���,��0;�7/�و�����*�������E�*ل������;���l��M�;���س�دو6אن����&����A�3א
��������,��H��\��B��M@س�א�����Mאو����2ذא��א��I360א��������f���m���E*�����]Q<�n�360وא���
�و���
الوحدة الثانية
258
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
����������gMo�*��C�������2אوIل�א����و��f<����o�360����W�,o��2د�א�Iوא���������2�و�����f<����oو�����
�cW180�Z6�ipא�Zא�����k���.��Mא�����N��א��������K� �
����������������������M9&�א���وאل�א�����<�Nو���س��������א������������]9���������א���و &��=א�א���NG�;��,Gد6א�;�����&�>���Fא����Nא�������Mوא�����H#0%�<�א���وאل����������������
;��qوא��& �k�<�&;א��q��،��2�;��K��א������Mא� �
� W�א���&%$#��"�א��س�א������وא�א�� �
��r�0<&�2��9AWא��א@��qא�;�M&�و��H#0%<�א�;����2א� �
0
0
57.3 rad 1
rad 2360
=∴
= π� �
@I9–3@HòßbÈÛa@bíaëŒÜÛ@òîrÜr½a@Þaë†Ûa@ @
��tن�א����وאل�א��������Mא���;��.��=�5א�Iאو�q$θ�,Qs����%����9A�F9–�2�E���0<����2زאو����2�r�c�;��AW� �
ot tan
sec cos
osec sin
y
xc
x
yx
r
r
x
y
rc
r
y
==
==
==
θθ
θθ
θθ
الوحدة الثانية
259
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
����F9–�2E� �
�M��;א����H#0א��b;�;*�N�Wو����=�5א�� �
tan
1ot
cot
1tan
sin
cosot
cos
sintan
cos
1sec
sec
1cos
sin
1osec
cos
1sin
θθ
θθ
θθθ
θθθ
θθ
θθ
θθ
θθ
==
==
==
==
c
c
cec
� �
@I9–4HòîrÜr½a@Þaë†ÜÛ@òîÈîiŠÛa@pa‰b‘⁄a@ @
���Eא���gG*ن���RM�r6%��ع�����������&� ���Mא�����N �tن���Z6��iWא����'�=���،�N�:����9@دא����Z6�iW�&����9;yx,F��,Qi9�–�3�KEא�uو�6>0 �
c�;��A��Mא�����N�Wو>Q�ن��Z6�iWא�� �
1K �2אوIא��X0Hذא�وWθ�C:����Mא�����N &�א��%�kא$ول� tن��kMvא���K� �
الوحدة الثانية
260
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
2K ���2אوIא��X0Hذא�وWθ������������Mא�����N �&�א��%��kא����*&�>�Q�ن�א����θθ eccos,sin���C����N���C:��Kو%���Mא�� �
3K ���2אوIא��X0Hذא�وWθ���������������Mא�����N &�א��%�kא����Q<�R�ن�א���θθ cot,tan��C����N���C:��Kو%���Mא�� �
4K ��������2אوIא��X������0Hذא�وW����������θ�����������Mא�����N ������&�א��%�������kא��א%������������Q<��k�ن�א������������θθ sec,cos�C����N ��C:���Kو%���Mא��
����F9–3E� �
@I9–5Hòßb�a@bíaëŒÛa@œÈjÛ@òîrÜr½a@Þaë†Ûa@ @
c�;א�1ول�א��>C2����.وא��2אI����Mא�����N��Fא��Qi�4�،5،6–��9ل�KE�� �
الوحدة الثانية
261
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
θθθθ 0°°°° 30°°°° 45°°°° 60°°°° 90°°°° 180°°°° 270°°°° 360°°°°
θsin 0 0.5 2/1
2/3
-1 0 -1 0
θcos 1 2/3� �
2/1
0.5 0 -1 0 1� �
θtan 0 3/1 1 3 ∞ 0� � ∞ 0
θcot� � ∞ 3 1� � 3/3
0 ∞ 0 ∞
���
����F9–4E� �
� �
����F9–�5E� �
الوحدة الثانية
262
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
� �
����F9–�6E� �
ل� (F9–�1E� �
/M �k�<�q=א��k%د�א����θذא�Wن���AW� �
�F1�E����#Aθθ cos , sin�C�����������K� ��F2�E����#Aθθ an , sin t�C:������K� ��F3�E����#Aθsinو��C:�� secθ�C����K� �4�E����#Aθθ an , sec t�C������K� �
��א( �
�F1�EQ�rx
θ , ry
θ == cossinن����;Cא�� �
�∴�����#A�yx,��2אوI�� �>C����θ�Rא�����k%א���& �k�<�K� �
الوحدة الثانية
263
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
�F2�EQ�x
yθ ,
ry
θ == tansinن����;C:و� �
∴����#A��yx,��2אوI�� �>C:���θא$ول�k%א���& �k�<�K� �
F3�E��2אوIא�θ&*א����k%א���& �k�<�K� �
F4�E��2אوIא�θ�o2� &�א��%�kא���*&��k�<���K� �
ل� (F9–�2E� �
���/���M �k����<�q=א�����k���%د�א�������θא�Z6����iWوאل�و�����θθθ tan ,cos ,sin�,���Q���M��;אو��2א�Iא�W� �
���� 0c)480 0b)315 0125)a� �
��א( �
�Fa��E��2אوIא��وאل�����0125א��Z6�iWא���*&�و�k%א���& �k�<�� �
������θθθ tan ,cos ,sin�NM<Oא��&���&��،�−−+ , ,� �
Fb��E�2אوIא��وאل������0315א��Z6�iWو�k%א��א�k%א���& �k�<��� �
������θθθ tan ,cos ,sin�NM<Oא��&���&��،�−+− , ,� �
Fc��E�2אوI0804א��k%א���& �k�<א���B*א��وאل��������Z6�iWو�� �
������θθθ tan ,cos ,sin�NM<Oא��&���&��،�−−+ , ,���������������������������� �
الوحدة الثانية
264
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
@I9–6Hñ…b§a@bíaëŒÜÛ@òîÛaŒn�üa@Íî–Ûa@ @
tن��q$θزאو��2�W� �
������������
θθθθθθθθ
θθθθ
ecc
c
cos)( osec sec)( sec
cot)( cot tan)tan(
cos)( os sin)sin(
−=−=−−=−−=−
=−−=−� �
'�=AW� �
θθθθ
θθθθ
θθθθ
ecncn
nn
ncn
cos)360 ( osec sec)360 ( sec
cot)360 ( cot tan)360 tan(
cos)360 ( os sin)360 sin(
00
00
00
=+=+
=+=+
=+=+� �
�RM�n��Sو���Nو������N:���wMxSد����q��K� �
I9@–7H–ÛaòîÛaŒn�üa@ÍîòíëaŒÛa@Éß@90@@@ @
tن�θ�F�,Qi9�–�7�Eزאو$��2\�W� �
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
sec)90( cosec sec)90( cos
cos)90( sec cos)90( sec
tan)90(cot tan)90cot(
cot)90( tan cot)90tan(
sin)90( cos sin)90cos(
cos)90(in cos)90 sin(
00
00
00
00
00
00
=−=+
=−−=+
=−−=+
=−−=+
=−−=+
=−=+
ec
ecec
s
� �
الوحدة الثانية
265
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
I9@–8HòíëaŒÛa@Éß@òîÛaŒn�üa@Íî–Ûa180@@@ @
tن�θ�F,Qi9–�7�Eزאو$��2\�W� �
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
ececec
s
cos)180( cosec cos)180( cos
sec)180( sec sec)180( sec
cot)180(cot cot)180cot(
tan)180(an t tan)180tan(
cos)180( cos cos)180cos(
sin)180(in sin)018 sin(
00
00
00
00
00
00
=−−=+
−=−−=+
−=−=+
−=−=+
−=−−=+
=−−=+
� �
� �
����F9–7E� �
الوحدة الثانية
266
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
ل� (F9–�3E� �
>;��;y�>;�2�E%��C:����2دوאل�زאو���z�%��M��;א���Mא�����N��א����]�W� �
)0100sin() )0(325c)tan )0(300b)sin )0130sin() −da� �
��Wא( �
�Fa�����E����)40cos()40901sin(
)50sin()50902sin()130sin(=+×==−×=� �
�Fb��E�����)60cos()60904sin( )30sin()30903sin()300sin(
=−×=−=+×=� �
�Fc����E����)55cot()55903tan( )35tan()35904tan()325tan(
−=+×=−=−×=� �
�Fd���E)10cos()10901sin( )80sin()80902sin()100sin(
−=−×−=−=+×−=−� �
I9–9H@pbÓýÈÛaòîrÜr½a@Þaë†Ûa@´i@òî�b�þa@ @
,����Mد��C;א����H#00}�א�C��|C�����& ���4�0<����W� �
θθθθθθtan
1ot , cos
1sec , sin
1osec === cc� �
,����9�Wو6�P���H#0���'�=Aج�א�� �
���������������������������θθθθ
θθsincosot ,
cossin tan == c� �
الوحدة الثانية
267
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
�M"6�~��Mא�����H#09&�א�2���H#0א�����R��"و�����*�ع�W� �
tن�θزאو���2\�W� �
))) xxc
xxb
xxa
22
22
22
sec1tan
coseccotan1
1cossin
=+
=+
=+
� �
������&����q������f*$�،���Mא��������%�E;��%���%�9&�א����H#0א����M*�9א$�����Mא�<��θKدوאل�������MH�,Q���xMxS�/Mא�Iאو��2 �
ل (F9–�4E� �
&�2�����%W� �
����� cot.sec.sin) θθθb��������� 2sinsecsec) θθθ −a� ��� 2sec2sec.2sin) θθθ −d���������������)2cot(1 2sin) θθ +c� �
��א( �
��������������������
θθθ
θθθθ
θθθ
cos2coscos
1
2cossec)2sin1(sec
2sinsecsec)
==
=−=
−a� �
�������������������������
1cos.sin
cos.sin
sincos
cos1
sin
cot.sec.sin)
==
=
θθθθ
θθ
θθ
θθθb
� �
الوحدة الثانية
268
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
�����������������������������
12sin
1 2sin
2cos. 2sin
)2cot(1 2sin)
==
=
+
θθ
θθ
θθ
ec
c
� �
�����������������������
12cos
12cos
2sec.2cos
2sec).12(sin
2sec2sec.2sin)
−=−=
−=
−=
−
θθ
θθ
θθ
θθθd
� �
@I9–10@H´níëaŒÛ@òîrÜr½a@Þaë†Ûa@ @
��F,Qi�9�–�8EW.�-�א,+*��Wو� �
�q$βαزאو2;<� tن, �W� �
) ( )
) ( )
) ( )αββαβα
αββαβα
αββαβα
tantan1tantan
tan
sinsincoscoscos
cossincossinsin
−+=+
−=+
+=+
c
b
a
� �
الوحدة الثانية
269
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
� �
����F9–8E� �
����W/�0א�-�.� �
) ( )) ( )
) ( )αββαβα
αββαβααββαβα
tantan1
tantantan
sinsincoscoscos
cossincossinsin
+−=−
+=−−=−
c
b
a
� �
� �
��W�# �.�-�3&�2א1אو �
))
)α
αα
ααααα
ααα
2
2222
tan1
tan22tan
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
−=
−=−=−=
=
c
b
a
� �
الوحدة الثانية
270
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
��א&��W�# �.�-���24א1אو �
�������������������������������������������
) ( )
) ( )
)ααα
αα
αα
cos1
cos1
2tan
cos12
1
2cos
cos12
1
2sin
2
2
2
+−=
+=
−=
c
b
a
� �
òÛìܪ@òÜrßc@ @
ل (�F9–�5E� �
6���%��2:�������A#�����2>&��ل��<�cW�q�@��2دא��<F&�M;�WE� �
������������rad2
rad,3
rad,4
,rad6
rad, 0ππππ� �
��Wא( �
.0902
180rad
2 ,060
3
180rad
3
,0454
180rad
4 ,00 3
6
180 rad
6 ,00 rad 0
0180
01 ,0180
rad 1 ,0180 rad
=×==×=
=×==×==∴
===
ππ
πππ
π
ππ
πππ
π
ππ
πQ
الوحدة الثانية
271
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
ل (F9–�6E� �
،�>����2دא@�θ��cW��q=�030��ل3πα =%��2��<�cW��:6���K� �
��Wא( �
ل (F9–�7E� �
���cW>����2دא@�θ�،�q=�045��ل3
2πα =��:6���%��2��<�cWK� �
��א( �
����������������������������������� �
ل (�F9–�8E� �
�ن�XC"�W
الوحدة الثانية
272
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
��א( �
�,Qsא����F7�–�9�W�E� �
Q�12 == opop∴�R�2א���opp�\و�;�>H���Kא� �
وQ2�ن������������������22
1
222 == oppp� �
������������2
1
222
6sin . =====∴ oppp
UPOVaπ� �
2
3
2
11
6os .
2222 =
−=−==∴ UPOPOUcbπ� �
����F9–�9E
الوحدة الثانية
273
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
ل (F9–9�(
�ن�XC"�W� �
2
1
2cos =πa) � �
23
2sin =πb) � �
��א( �
��,Qsא������������F7�–�10�Eن��R����M�W�1==OPOAن�t���� ��W�Rא��������OAP�qو�����;��>H��Kא� �
2
1
23os ) ===∴ OA
OUcaπ� �
.2
3
2
111
3sin )
2222
22
=
−=−=
−==∴
OU
VPOPOVbπ
� �
� �����F9–�10E� �
الوحدة الثانية
274
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
ل (F9–�10E� �
��א���,QsF9–�11Eن��XC"��W� �
wxzx == cot ,tan� �
� �
����F9–�11E� �
��א( �
��>�s%/�א����<�� OPU و� OZA&<$ن������2א�Q2�W� �
������������������ZZ
OA
AZ
OU
UP
OU
OV
x
xx ======
1cos
sintan� �
�Q2�W�ن������2א$>&OVP و� OBW و���>�s%/�א����<� �
�����������ww
OB
BW
OV
VP
OV
OU
x
xx ======
1sin
coscot� �
الوحدة الثانية
275
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
ل (�F9–�11E� �
�,Qi���F9–�12�Eن��XC"�W�recqsexx == cos ,� �
� �
����F9–12E
��א( �
��>�s%/�א����<�� OQP و� OPU&<$ن������2א�Q2�W� �
OP
OQ
OU
OP
xx =====
1cos
1sec� �
�Q2�W�ن������2א$>&OPV و� ORP و���>�s%/�א����<� �
rr
OP
OR
OV
OP
xecx =====
1sin
1cos� �
الوحدة الثانية
276
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
@åí‰b·I9–@1H@ @
�F1Eل����#A�&<�2������:6���%��2��<�cW�q�@��2دא��<���F&�M;�EW� �
��������������rad5
2 rad,3
5 rad,4
3 ,rad6
2 ππππ� �
�F2Eq�@א�;����2א��א�cW�&�M;�2����#>&����א�;����2א�Aل����W� �
�����������������������������0122 ,072 ,040 === γαθ� �
�F3Eوא��2א����I���Mא��وאل�א������MH��:و����Wא�;��cא���RACB,Qs��%�w4א���@�� �
� �
F4E���2אوIא��k�<��2�αX*�Aذא�W�W� �
�Fa�Eαsin ؟������C:��������F��b�Eα cos ؟���C���� �F�c�Eα tan ؟��C����������������Fd�Eα sec ؟�������C:��� �
F5E�/M �k�<�q=א��k%د�א����θن��Aذא�W�W� �
F�a�E����#Aθθ cos , sin��C:��������K� �
الوحدة الثانية
277
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
F�b�Eθan tو���C:�� secθ��C������K� �
F�c�E����#Aθsinو� secθ�C���>;�K� �
F�d�Eθantو����C��� secθ��C:����K� �
�F6E���2אوI����Mא��وאل�א������MH�N�W�Wذא�α�X*�Aא� �
F�a��E16
7 sin =αF�������������������Kb��E
5
3 tan =������K� �
F�c��E5
4- cos =αF�������������������Kd��E
2
6 cot =������K� �
F7E�&<$א�N�Wא� �
0000 90sin072cos3180cos2 tan180) ++− eca0000 027cos4081sec590cos3sin0 ) ecb −++� �
F8�E������������������@א�����Rא�����&� א��=ACB���qא���MH�Nא���وאل�א����I������Mאو2;<�א��3د><��&��/�#4��7�אل�cba , ,RM��W� �
��Fi�Ecmbcma 1 , 2 ==������������Fii�Ecmccma 5 , 2 ==�� �F�iii�Ecmccmb 4 , 7 ==� �
�F9�E&<�2����6א����N�Wא� �
��������������������������������������������00
00
30tan60tan130tan60tan )
+−a��� �
�������������������000
000
30 sec60 sec0 sec90 cos60 cos30 cos )
++++ ecececb
الوحدة الثانية
278
pbrÜr½a@lb�y Ûa@Ý–ÐÛaÉ�bn@
� �
� �
� �
��א�א�א�א�א�����א�����א�����א�������������������� �� �� �� �
� ��� �������������א���א ������א���א ������א���א ������א���א �� �� �� �Coordinate Systems � �
� �
� �
� �
� �
الوحدة الثالثة
280
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
pbîqa†y⁄a@áÄãpbîqa†y⁄a@áÄãpbîqa†y⁄a@áÄãpbîqa†y⁄a@áÄã@ @@ @@ @@ @Coordinate Systems
�א���א�א���א�א���א�א���א� �� �� �� �
����� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א������������� ��د�א�����א�א��������ن�� �א�س�א��������WWWW� �� �� �� �
�KKKK!�'"&����!�'"&����!�'"&����!�'"&���א�א�א�א�א%$�א#"! �א%$�א#"! �א%$�א#"! �א%$�א#"! � •
KKKK$�א#"! �א��*("�$�א#"! �א��*("�$�א#"! �א��*("�$�א#"! �א��*("�א%א%א%א% •
�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא��*("�א�א�א�א� •��-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא��*("���-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא��*("���-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא��*("���-.KKKK
IIII10–@@@@1HHHH������������������������� �� �� �� � "��?<�=������->�;:�9�4!��8א��4אغ���4א43�56!ن��4!23!�0م��������@BC!ج�$�8"!'2!�א����������44444444��!44444444D�,B:44444444E�!444444442EF��9:44444444G-44444444>���44444444א�א����44444444��HB444444443!،�و�HB�
�!%$�א#"! �Coordinatesو��،��������� ��J���6�Kא���� 2���E!ن�����L����א�א�������NB:4E���4�M!�و�@4!������O4א��!�'"&���4א�4$%א#��א�4$%א#"! �א�� !"�(Rectangular
coordinates)א%$�א#"! �א��*("���و�F(polar coordinatesK� �
IIII10–2HHHH��&"'�!א%$�א#"! �א��!�'"&���א%$�א#"! �א��!�'"&���א%$�א#"! �א��!�'"&���א%$�א#"! �א������� Cartesian Coordinates� �� �� �� �
�����Q:4444E4444:���א�� 4444!�� �!�Q4444Rو�א��")'�Q'�!���44444�!�����U4444د���Q4444T� �!4444א�4444S2!م�F��44"2"'.�!����44 44��?د�44!ج����3E!�'"44:"�س�@��W�44و�א��،X44G����44و�א��" �2���44א%-Yא�K
"��3!ن���א�א�@��$!T!��8]!ل�������" HBא�����2Yא��\�،J]אא��وאل�و�א^4����و�د�א����244� �B44,�����44!� �1637'*��44���44��א�44S2!م���44_�B`�,B�!44B3�8�،�K�6&44G�8א
�L44��QE!44a�44א���א�*�b��44$0��44و���*�E�<44-����44��HB����44��Gא�c44'��� �!44م�د��d�44���،,�e443دא��� �"44!س��f!44�B��L���44gل�!@B44�!��،W�B:44h44��א ����44i�K�،�44��2Yو��8א
الوحدة الثالثة
281
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
�(�mذ3��jk���!4د��!� �a30���Lא�h!�"�9א��O�K4!م�����SE��@B:4��، !"4R!�و�8א� "M@44!��44!د�����m44 *��،L�44د���X44��W�B:44��8��44*�E��44��HB���44"'�!א�44$%א#"! �א����
Q#א�444$%א�U":444א�Fx��Eو�Q#א�444$%א�Wא��444!دF�y�K�E�444م���و�E�، !"#א�444$%א�j444�B���!ط�n*,��@�د�,����F�F�":א����g2! �0و�x���4א��4!دא �0و���gو���yE���p4q�!4@3�،
�L���rא�� ��!M2d")E�Oو$���א�*�ل،�و�א��j�'�s��3F���i�10� J1KE� �
� �
��i��i��i��iFFFF10� J� J� J� J1EEEE� �� �� �� �
�FFFF10–1EEEE�a!ل�a!ل�a!ل�a!ل �� �� �� �
�"�!Bא��J�2א��<Rא��د��$�����������W� �
)5.2,5.1( ),1 ,3( ),3,2( −−− PPP� �
�uא� �
الوحدة الثالثة
282
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
)3,2,( )3, 1,( )5.2,5.1(�?$�א#"!'M!א�Oא��2*��� −−− PPP��!M4 "av�L�w8��!�SE�"'�!������k!م�א%$�א#"! �א��Q�!Bא�W�� �
� �
���i���i���i���iFFFF10–2EEEE� �� �� �� �
@��SE0@��4444א�4444$%א#"! �א��و�B:4444'�4444�&"'�!���8'�4444�א��4444אغ��,8��4444R>�א���4444*�2")�!%$�א#"! �x , y , z(����!B���B��!�g�x.a���):2!و��#!�F���i10�–3EK�� �
� �
���i���i���i���iFFFF10–3EEEE� �� �� �� �
الوحدة الثالثة
283
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
W0����*�E�Fp�E8���X���0�x.aאد�$�"�"��،�'�!M2��X�SE!م�א%$�א#"! �א��!�'"&���������44�!B���44وB���L44��א44R>�א�J-!:44hא�@�د���44��44��L44_�א�n�x.44#�>?��44*�2*�44ط�#!
و���SE!م�א�4$%א#"! �א��!�'"&����4��4Y�&4_�א4r!و���4!���ز���������������Faxes�KE':@��אr!و����x , y , z�p"'zא��� ��F���i10�–4�E�<"*B:4Eא��2*�����4،�و�L4��{)4Bא�� p(x , y ,
z)�!@3�8���kא��Q�!Bא�W� �
������������� �
��i��i��i��iFFFF10–4EEEE
��?�44$א#"!'M!א�O44א��Q44�����4*�2و�E��@:4'� x=0, y=0, z=0*0��44|��4א�44$%א#"! ��)0,0,0(�W
�FFFF10–2EEEE�a!ل�a!ل�a!ل�a!ل �� �� �� �
�"�!Bא��J�2א��<Rא��د��$�����������W� �
)5 ,4- ,4( ),5 ,4 ,3( −PP� �
�uא�uא�uא�uא� �� �� �� �
الوحدة الثالثة
284
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
P0�،W�x=3, y=4, z=5����!M)3, 4, 5( �?$�א#"!'M!א��Oא��2*��"av�L�w����k�!��Wא�SEQ�!B!م�א%$�א#"! �א��!�'"&��� �� �� �� �
� �� �
���i���i���i���iFFFF10–5EEEE����� �� �� �� �
P)4, -4, 5(��?�4$א#"!'M!�א�0�O4�4!�א��2*����4 −0�،W�x= – 4, y= – 4, z=5 ����k�!��!@3�!M "av�L�@"�Q�!Bא�W� �
� �
���i���i���i���iFFFF10–6EEEE����� �� �� �� �
الوحدة الثالثة
285
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
IIII10–3HHHH��")*א%$�א#"! �א��*("���א%$�א#"! �א��*("���א%$�א#"! �א��*("���א%$�א#"! �א��� Polar Coordinates� �� �� �� �44~�א�$"44!ن����44ن���L44א��p:44Eא��NB44אم�44SE!م�44g!و��{44n��44SE��44a!م�א44r!و��������8
������!:4h!�2!��4>�א���44rא������Q4א��θ�4��O44وא�&אو�r���4א��*("��4وא��44��W�4د���K�X44Bو'���4 K��������4و���4א�4$%א#"! �א������4|!n������L4$!�����4א%$�א#"! �א��*("�����4*�E�W0�4د�HB'و�4�����L_�א%$�א#"! �)�!),( θr���k�!��!@3F10–7E��K� �
� �
���i���i���i���iFFFF10–7EEEE����� �� �� �� �
�������������FFFF10–3EEEE�a!ل�a!ل�a!ل�a!ل �� �� �� �
�"�!Bא��2!ط�א��<Rא��د��$W� �
030 ,2 == θmr� �
0012 ,2 == θmr� �
�uא� �
الوحدة الثالثة
286
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
2, �030?$�א#"!'M!א�Oא��2*�� == θmr�!M "av�L�w�،8� !"#م�א%$�א!SE��!�����k*("��א�Q�!Bא�W� �� �� �� �
� �
���i���i���i���iFFFF10–8EEEE����� �� �� �� �
�?�44444$א#"!'M!א�0O44444�44444!�א��2*��444440012 ,2 == θmr030 ,2 == θmr�،
�!M "av�L�@"�8�k�!��Wא�SE���Q�!B!م�א%$�א#"! �א��*("�� �
� �� �� �� �
���i���i���i���iFFFF10–9EEEE����� �� �� �� �
الوحدة الثالثة
287
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
IIII10–4HHHH��")*א%$�א#"! �א��!�'"&���وא%$�א#"! �א���,���-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא%$�א#"! �א��*("���א���-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא%$�א#"! �א��*("���א���-.�,�א%$�א#"! �א��!�'"&���وא%$�א#"! �א��*("���א���-.� �א� �� �� �� ��-.���Y��")�F��i10�–10WE!�א��"��א�B!�"��א��!�'"&���وא��*א%$�א#"! ��,�א� �
.sin
,cos
θ
θ
ry
rx
=
=� �
,tanx
y=θ� �
22 yxr +=� �
���i���i���i���iFFFF10–10EEEE����� �� �� �� �
�������������FFFF10–4EEEE�a!ل�a!ل�a!ل�a!ل �� �� �� �
�2*����א��!�'"&! �א%$�א#"0و;����Oא��*("�א��!M'!"#א�$?�W� �
0240 ,5.5 == θmr� �
الوحدة الثالثة
288
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
�uא�uא�uא�uא����� �� �� �� �
,76.4
402sin5.5sin
,75.2
402cos5.5cos
0
0
m
ry
m
rx
−=
==
−=
==
θ
θ
� �
� �
� �� �� �� �
��i��i��i��iFFFF10–11EEEE����
�������������FFFF10–5EEEE�a!ل�a!ل�a!ل�a!ل �� �� �� �
���k�!���HR�h�2*��א ��Q�W��.5)m2- ,5.3(−Pא�Q�!Bא%$�א#"! �א��!�'"&���� �
��Y�K_�א�e��*�2و;��א%$�א#"! �א��*("�� �
الوحدة الثالثة
289
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
�uא� �
� �� �� �� ���i��i��i��iFFFF10–12EEEE����� �� �� �� �
22 yxr +=Q� �
mr 3.4)5.2()5.3( 22=−+−=∴� �
,tanx
y=θQ� �
714.05.3
5.2tan =
−
−=∴ θ
0216=∴ θ� �� �� �� �� �� �� �� �
الوحدة الثالثة
290
pbîqa†y⁄a@áÄã Ûa@Ý–ÐÛaŠ‘bÈ@
åí‰b·åí‰b·åí‰b·åí‰b·IIII10101010@M@M@M@M1111HHHH@ @@ @@ @@ @
F1�E�"�!Bא��2!ط�א��!M" �Wא���9אr!و��א��!�'"&���#�9و->�� �
)3 ,2 ,1() )1 ,0 ,3() )0 ,6 ,0()321PcPbPa −� �
�F2Eد��$�"�!Bא��2!ط�א��<Rא���W� �
060 ,3 == θmr� �
0512 ,22 == θmزr� �
�F3�E0و;��א%$�א#"! �א���")*��J�2 �Oא��!�'"&���א��!M'!"#א�$?�Q�W�� �
)5 ,1( ),1 ,2( , ),2 ,1( 321 −−− PPP� �
�F4�EBא��J�2 ��Q�W!�"�0و;��א%$�א#"! �א��!�'"&���� �
)4
- ,1( ),
2
3 ,2( , )
4 ,1( 321
πππ−− PPP� �
5�EBد� �א�!hم�א%$�א#"! �א�$�ل�א!SE�>?��"�!�")*�W� �
4) 7225)
2) 9)22
22222
=+=+−
=−=−−
zxdzyxc
zyxbzyxa� �
� �
د���א�א������� �
� �
���א������א� �Straight Line� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة الثالثة
292
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
Ûa�áîÔn�½a@Á‚@Straight Line
�א���א� �
������� ��������د�א�����א�א �������ن� ��א�س�אW� �
� K"�*د ��א()�א'&��%$�#���"��!� �
K"�*د ��א()�א'&��%$�#���"%��!� ���%,�و"&��%$���אز�,
���K"%��"&��%$���אز�,"%��א()�א'&��%$�#
K"%��א()�א'&��%$�#���"%��"&��%$��0د/��%,
@I11@M1H@òîݨa@òÛa†Ûa@ÑíŠÈm@@ @� �א���������� �� �א �aא��א� ���د �א���������� �א���� ���x� ،��������axد
��axא���د�و�� �!"#$�x�%�������&�%��'א������ �������FKא��א � �WF(x) = ax+*(�و
� ����.�ل �ذ�/ !� �א1��2 א��א�������W �3�4� ��5� �دא� ��
xxF 3)( =� �
�א��א���א�������W
6�E � �5W� ��و�9Fذא���'�8��5�����Kدא�4<�<���=>��;��م�xدא� �
1F(x)/x@ن��� ���K��������א��א��א �A�EB�C��W� �
F�3�D���5���F(3) = 7�*#E�، F(2)Kدא� ���;$���WF(3) = 79ذن��W�F(3)/3=7/3K�� ��F;و��W F(2)=(7/3)*2�G6��W(a=7/3)*f(2)=14/3K�� �
الوحدة الثالثة
293
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
@I11@M2@Haòîݨa@òÛa†ÜÛ@ïãbîjÛa@ÝîrànÛ@ @��� ���aذא�HאxF�����2)(א�+".���א�C��'�����א��א�>'�I������א>+#2��Jא�2
� K0,0(א(����A(1,a)Kوא�;<� �
��لF11� J1E� �
xxFyلدالة الخطية مثل ا 3)( بيانيا==
الحل
xy التمثيل البياني للدالة الخطية ).1-11شكل (D ھو المستقيم =3
)1- 11(شكل
الوحدة الثالثة
294
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
��لF11� J2E� �
ayمثل الدالة الخطية بيانيا=
الحل
).2- 11شكل (د يكون موجب أو سالب مقدار ثابت قaھنا
)2- 11(شكل
الوحدة الثالثة
295
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
I11@M3H½@òßbÈÛa@ñ‰ì–Ûa@áîÔn�½a@Á¨a@òÛ…bÈ@ @�J�>+#2א�� ��א�������د��א��Lא���&W� �
baxy +=
�G�56�Hא<M+��N���Wو�.>א�����(+*�א��2د� �
nmxy +=
�J�>+#���5��;$���OCL$�P��W� ���LQQQQ$9ل�QQQQ�>'�SQQQQ���QQQQ5�6�IQQQQ)R��Sن�QQQQTא���J�>+#QQQQ���QQQQ5�JQQQQT�'��),( 11 yx�،
),( 22 yx�����"����)UF11� J3EK
� �� �
)3- 11(شكل� �
من الخطوط نھائي= عدد نرى أن ھناك ) 4-11(شكل في الھو م5حظ كما ؟نفرق بينھماكيف السؤال و، المستقيمة المختلفة
الوحدة الثالثة
296
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
)4- 11(شكل )R�I��X��5Yو�J�>+#���5�S��B$�Z+א���$W�� �
1K � ��Kא>+#2��J���א �2K �N��N[�>+א���>'����Fא^�4א[���H\�و�\x �6و�����\yKE
� ���د���א�א����א����������א��W� �
baxy +=
��W� �1� J������2אa J�>+#2א�� ���K������א �2� J������2אb������\�Iع���א2<��`%aא� yF'��\�N��N[�>+א���>(y K� �� �
الوحدة الثالثة
297
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
I11@M4HáîÔn�½a@Á¨a@Ýîß@ @S��C#;א�����J�>+#2א�� ������א�\�!���S��>;א����� y ��Q���!��$�"���!Q���
����\xK� ���������I��<C�+א��I)R���c�$��'<�+���S���a��Fא>+#2��Jא �و�����X��M�LQ���
�F���)d11א�+��� J3EW�� �
12
12
xx
yya
−−=� �
��لF11� J3E� �
: الشكل التاليفيالمعطى �aلخط المستقيم أوجد ميل ا
)5- 11(شكل
الحل
: aميل الخط المستقيم 12
12
xx
yya
−−=
الوحدة الثالثة
298
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
4 : نحصل علىض يعوبالت1
4 ==a12
26
−−=a
.4لخط المستقيم ھو أي أن ميل ا
��لF11� J4E� �
: المعطى في الشكل التالي�aلخط المستقيم أوجد ميل ا
)5- 11(شكل
:في قانون الميل بالتعويض
12
12
xx
yya
−−=
12
28
−−−=a
23
6 −=−
=∴ a
J�>+#2א�� ���T�K*��<�א��F�-2E$#�و6�G6eن�����א �
الوحدة الثالثة
299
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
��� !W� �
����G���LQQ���QQ��J�>+#QQ2א��QQ ��א2��QQ���QQل���QQ!�6ن�א��QQd9ز��6و�QQ;�� ) طSSى الخSSر إلSSانظ
).6-11( شكلالمستقيم باتجاه السھم��gF11א�QQQQQ.2ل� J3E����QQQQQCh����QQQQQ�2א�����QQQQQd9�8QQQQQ'����F���QQQQQ ���QQQQQ5و�QQQQQ��Eא'��QQQQQiאG���L�F��)d11� J6EK� �
��gF11א2.�ل����6 J4Eو�C��T���2א����d9�8'א�$�;!�6ن���j���� ��;�ز��א>+#2��JאF��)d11� J6EK� �
)6- 11(شكل
������W� �
�QQ�>'N[�QQ>��J�>+#QQ2א���QQ\�NQQ� y ��QQא����QQ�>;�QQא�����QQ\�!QQ���NQQ>�yن��و��QQ)$���� ��jQ/�א�;<�Qط�א�Q���Q&��x=0 K�����NQ>���Q�����xא^�4א[��Q\��!Q��x����Qط����Q>;א��
�����&y=0 K����4yא[��$(�ن�א^�א�� �
الوحدة الثالثة
300
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
I11@M4@M1@H@Š‘´àîÔn�ß@ô‹aìm@ @
��eאز�"�ن��$+�9ذא�#+<���������lQ)وא����Q�2א�lQZ'��Q"&ن�����O�mQ ��KG6������Q�ن���Q9ذא���FQ'6��n9�I)Rم�������S"�>+#2��46אW�21د�����א>+#2��Jא�I���5oא���� mm =
@I11@M4@M2@H´àîÔn�ß@†ßbÈm@Š‘@ @
�m ��KG6�Oوא����A�c�� �4)1(−l)���"��$#�و�����eن���9ذא�#+<�"�ن��$+����������������IQQ���QQ5oא�J�>+#QQ2א��QQ�د���QQn9�IQQ)Rم��QQ�����S"�>+#QQ2א��QQ46���QQ�ن���QQ9ذא���FQQ'6
W 121א���� −=×mm� �
@I11@M4@M3@H@´i@†ÈjÛa@éu‰b�@ÉÔm@òİÔãë@áîÔn�ßIéîÜÇ@ÉÔm@üH@ @
�J�>+#2א�� �����Wد�+�Fא�Gjא��S����Cא �
0=++ CByAx� �
Fh��5�),(����N>��pE�F�Fو'<� 11 yxp��m+$�Wد���Iא���� �
2211
BA
CByAxd
+
++=� �
� �
��لF11� J5E� �
�����Wد�+Fא�Gjلخط المستقيم ا و−)3,2(أوجد البعد بين النقطة �
0343 =+− yx الحل
الوحدة الثالثة
301
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
221
)4(3
343 1
−+
+−=
yxd
35
15
)4(3
334)2(322
==
−+
+×−−×=∴ d
I11@M5HáîÔn�½a@Á¨a@òÛ…bÈß@…b¯g@Z@ @
I11@M5@M1HáîÔn�½a@Á¨a@òÛ…bÈß@…b¯g@ȶ@òîßìÜéîÜÇ@´nİÔã@@ @
),(�#+<�����S+�>;��J��9��������S+ذא�� 111 yxp���،�),( 222 yxpد���n9�I)"�1���F+د������א�+�����Lא��!��W� �
)( 112
121 xx
xx
yyyy −
−−=−� �
`%aא��.R�3�4W
12
12
xx
yy
−−
�����J�>+#2א�� �Kא �
��لF11� J6E� �
)3,13 ( ، ) 1,7(معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أوجد
:الحل :ھيالخط المستقيم معادلة
الوحدة الثالثة
302
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
)( 112
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
: وجد ميل الخط المستقيم من الع5قة ن12
12
xx
yya
−−=
326
13713 ==
−−=∴ a
: معادلة الخط المستقيم على الصورةوتصبح
)(3 11 xxyy −=−
على الخط المستقيم تحقق تقع نقطة أين ^(لمعطاة نقطة من النقاط اأي بنعوض 7,1 أي ): 1,7(نقطة بالنعوض . )المعادلة 11 == yx
)1(37 −=−∴ xy
:ھية وتكون معادلة الخط المستقيم المطلوب
43 += xy
).7-11شكل (ط المستقيم تصاعديالخ أن أيالميل موجب
الوحدة الثالثة
303
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
)7- 11(شكل
��لF11� J7E� �
��Wא�+����א�6g��)Uو�����hد��א ��א>+#2��Jא�2�!� �� �
-14
-9
-4
1
6
11
16
21
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
� �� �
)8- 11(شكل
الوحدة الثالثة
304
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
�qא� ����+r;T��>'�N��J�>+#2א�N[�>��G��\�H��]א^�4א�G6�)6,0(�،�)0,2(−�
�F�)d11وא��א��+���S!�א ��א>+#2��Jא�2�!� J9KE� � :ھيالخط المستقيم معادلة �
)( 112
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
: وجد ميل الخط المستقيم من الع5قة ن12
12
xx
yya
−−=
326
)2(006 ==
−−−=∴ a
:م على الصورةوتصبح معادلة الخط المستقي
)(3 11 xxyy −=− على الخط المستقيم تحقق تقع نقطة أين ^(نقطة من النقاط المعطاة أي بنعوض 0,2 أي ، −)0,2(نقطةبالنعوض . )المعادلة 11 =−= yx
))2((30 −−=−∴ xy :وتكون معادلة الخط المستقيم المطلوبة ھى
63 += xy ).8-11شكل (ط المستقيم تصاعدي الخ أن أيالميل موجب
@I11@M5@M2@Héí‹aìí@áîÔn�ßë@òİÔã@òϊȶ@áîÔn�ß@òÛ…bÈß@…b¯g@ @
:تتحدد معادلة مستقيم بمعلومية نقطة عليه ومستقيم مواز له من الع5قة
)( 11 xxmyy −=−
الوحدة الثالثة
305
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
),(حيث 11 yx إحداثيات النقطة الواقعة على الخط المستقيم ، يھ m ھو ميل .الموازىالخط
��لF11� J8E� �
6و�����hد��א ��א>+#2��Jא2�>;������)1,2( −�J�>+#2א��r���eאز�وא2�Gjא���F+د����W� �
� �
53 +−= xy الحل
J�>+#2א�� :ھي المطلوبة ���د��א
)( 11 xxmyy −=− :بالتعويض عن الميل وإحداثيات النقطة نحصل على
)2(31 −−=+ xy
53 +−=∴ xy ).=حظ أن المي5ن متساويان( وھى المعادلة المطلوبة
I11@M5@M3@H@áîÔn�ß@ë@òİÔã@òϊȶ@áîÔn�ß@òÛ…bÈß@…b¯gð…ìàÇ@éîÜÇ@@ @
: عليه من الع5قةعموديدلة مستقيم بمعلومية نقطة ومستقيم تتحدد معا
)( 111 xxmyy −=−
21
1m
m−=
الوحدة الثالثة
306
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
),(حيث 11 yx 1 إحداثيات النقطة الواقعة على الخط المستقيم ،ھيm ميل
: عليه بحيثديالعمو ميل 2mالخط المستقيم ،
121 −=×mm� �
��لF11� J9E� �
�6و�����hد��א ��א>+#2��Jא2�>;�������)1,1( −−�Gد�אو�"�!����� �J�>+#2אGjא��F+د�����W� �
� �
72 −= xy الحل
: عليه من الع5قةعموديتتحدد معادلة مستقيم بمعلومية نقطة ومستقيم
)( 111 xxmyy −=− :بالتعويض عن الميل وإحداثيات النقطة نحصل على
)1(21
1 +−=+ xy
)3(21
23
21 +−=−−=∴ xxy
.وھى المعادلة المطلوبة
:ملحوظة121الشرط −=×mmمحقق ^ن :
121
2 −=−×
الوحدة الثالثة
307
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
åí‰b·@I11–@1H@ @
F1E ��� �xy.��א��א��א 3−=���'���K� �
F2E �S+�>;�����)2,2(6و���h���א ��א>+#2��Jא�2 −−�،�)3,0(K F3E ��>;�����R�Gjא��J�>+#2א� �Wא>+#2����J"�د����G)1,5(6و�����hد�
75 −= xy� �
F4E �>;�����R�Gjא��J�>+#2א��א>+#2���J"�د����Gو�−)1,1(�6و�����hد�Gjא��eو�#$�F����-1/2K
F5E ��>;�����R�Gjא��J�>+#2א�)3,3(6و�����hد� −−�eو�#$�F����Gjوא���J�>+#2א�����P�cW� �
2−= xy� �
F6E ��>;�����R�Gjא��J�>+#2א��א��Gjא>+#2���e�Jو$�אز)7,2(6و�����hد�eو�#$�F���4K
F7E ��>;�����R�Gjא��J�>+#2א�)5,1(6و�����hد� −�eאز�و$�J�>+#2אW
43 += xy� �
�����Wد�+Fא�Gjلخط المستقيم وا−)5,1(أ وجد البعد بين النقطة )8 ( �
0122 =+− yx F���9E� لخط المستقيم وا)2/3,2/1(البعد بين النقطة أ وجدGjא�F+د�����W� �� �
02/73/1 =+− yx
الوحدة الثالثة
308
¨aáîÔn�½a@Á Š’Ç@ô…b§a@
� �
� �
��א�א������� ��� �
� �
��א���א� �Circle� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
الوحدة الثالثة
310
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
Ûa�ñŠöa†@Circle
�א���א� �
������� ������د�א�����א�א �������ن� ��א�س�א���W� �
�!د ��א •���!� �و$�א#"!�א� �Kא&
• �� �+*�!�(�)��א�#���!د��, �א� Kא �א&
• � K+.�.������4א 0!�����3א�12א 0/�.-�وא �א&
��!د ��א 5!س� ��א& •�K
@I12@M1Ha†Ûa@ÑíŠÈm@ñŠö@@ @
���א��������������� ������������������אא����א����������������� ����������� ����!��"���O������
���א#��א������א�)�����������������K&��������%����و���وא�-!����،���� ��+�א����א������O*����(�א�
0,(������+��1א����و���+�،���R�����.�/0א�)��&��( RCK��� �
I12@M2@HŠöa†Ûa@òÛ…bÈß@ñ@ @
I12@M2@M1H@@òÛ…bÈßaa†ÛñŠö@�Ûa@bçŒ×Šß@),( kh@ @
���+ ���!�د���א��א����א�"�),( khC�����.�/0�و�R���W� �
222 )()( kyhxR −+−=� �
1(����45א�!�د���������و��06��7�8-�������9�������<�א�-!����=�8>�;ن���K.����ن�א�-!������9��
)( 2d�9���),(���9א� 11 yx��،),( 22 yx��.?!א�����A��BCW@�د�4 �
الوحدة الثالثة
311
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
22
21
2 )()( yyxxd −+−=� �
1(�א�-!��D���9א��אE���R9و���-8�),(�א� yx،),( kh� �
��F=?��>�),( kh��G�8א��=Hא�I�����J������;�8*#�B%א���F��BL12� J1EK� �
� �
� ����F12� J1E� �
ل�F12� J1E� �
���+ ���!�د���א��א����א�"��O� 0/�.�����)3,1(א�ل��Qو�� cm 6K� �� ��Rא �� �
�!�د���א��א����א���+ ����cm 6���Wو�3,1(�����.�/0(�"� �
222 )3()1(6 −+−= yx� �22 )3()1(36 −+−=∴ yx� �
.ويمكن أن نفك األقواس ونبسط المعادلة أكثر ولكننا سنتركها اآلن على صورتها العامة
ل�F12� J2E� �
���+ ���!�د���א��א����א�"��O� 2,2(א( �����و−−������S)5,3( −K� �� �
الوحدة الثالثة
312
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
�Rא� �����א��א���%��Tد��0/�.��� ������S�"5,3(א�( ���א�!?.�−�W� �
34925
)3()5(
)25()23(
)2()2(
))2(())2((
22
22
22
222
=+=−+=
+−++=
+++=
−−+−−=
yx
yxR
������Wא��A���1ذن��!�د���א��א��� �22 )2()2(34 +++= yx� �
@ @
@I12@M2@M2@HÔã@bçŒ×Šß@�Ûa@ñŠöa†Ûa@òÛ…bÈß@Ý•þa@òİ)0,0(@ @
J�0=����� ���ن��=h�،0=k�،�;ن�;�),( kh�����EVא�������)�1 �7��-��*�)0,0(�WAول�X*د���א��א�����!��YZ Wن� �
222 yxR +=� �����+ �����אEV��و�0/�.�����و����!�د���א��א����א�"�RF��BL12� J2KE� �
� ����F12� J2E� �
الوحدة الثالثة
313
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
ل�F12� J3E� �
���+ ���!�د���א��א����א�"��O� 0/�.�����)0,0(א�ل��Qو��cm 6K� �� ��Rא� �� �
���+ ����cm 6���Wو�0/�.�����)0,0(�!�د���א��א����א�"� �
2226 yx +=� �2236 yx +=∴� �
@ @
I12@M2@M3@H@bèîÏ@ŠİÓ@bÏŠ�@�Ûa@ñŠöa†Ûa@òÛ…bÈßâìÜÈß@ @
8���א�"�!�د���א��א����Z���.��Z�Qط����),(א� 11 yx�،),( 22 yx���W� �
0)( )( )( )( 2121 =−−+−− yyyyxxxx� ��4�%���א�!�د���א�������!��א��!�%\�0���R/�.��دא����و����!�د����]��BC
������א�!�*#�E�)1 �BL12��Fوو^<��!�د���א��א���� J3KE� �
� ����F12� J3E� �
الوحدة الثالثة
314
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
ل�F12� J4E� �
���ن��8���א�Z���.���%��)7,5(;و_���!�د���א��א����א�"�� −�،)1,1(−�� �� ��Rא� �8���א�"א��א�����!�د���Z���.��Z�Q�)7,5( −�،)1,1(−��W� �� �
0))7(( )1( )5( ))1(( =−−−+−−− yyxx� �� �
01264
0))7( )1( )5( )1(22 =−+−+⇒
=+−+−+∴
yxyx
yyxx� �
.التالي البند في سوف نناقشها والتي صورتها العامة فيوهذه معادلة دائرة
I12@M4@HñŠöa†Ûa@òÛ…bȽ@òßbÈÛa@ñ‰ì–Ûa@ @�Wא������א��%�^����א��א������aא�`B����#�0א�!�����!�دא� �� �
022 =++++ CByAxyx� ��<8=CBA �د%�������,,�K� �
b-0*�91�� �9!�����#�E�)1 ���Wو��^<�א�!�د���א���� �� �
(1) 22
22
DB
yA
x =
++
+� �
<8=W� �
CBA
D −+=44
22
� �
الوحدة الثالثة
315
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
��#�LAوDא�!�م���B`د����[�د�א��!F1�E�8א�����d?(א��Ge�Rא��aو�W� �
eو;�W�&�� ذא�A��#�LAD��-_����W0;ن;�44
22
>−+= CBA
D� �
J��א�!�د���(g����R�45א��F1�E����Wدא������ +���א� �
���������������������������)2
,2
(BA
C−−� �
� �
CyxCو�0/�.�����BA
DR −+=−+== 20
20
22
44� �
� �
�8����W��#�LA�&�� ذא�AD��-��h�;ن;��W044
22
<−+= CBA
D� �
.مجموعة خالية) 1(تمثل المعادلة فى ھذه الحالة
�(����W�&�� ذא�A044
22
=−+= CBA
D� �
(تمثل نقطة وحيدة) 1(فالمعادلة 2
,2
(BA
C−−
.، أي مجموعة وحيدة العنصر
ل�F12� J5E� �
���W +�و�0/�.���א��א����א�"���aא���#�0א�!���;و_�� �� �
0124622 =−−−+ yxyx� � الحل�
b-0*�91�� �9!�����#�E�)1 ���Wو��^<�א�!�د���א���� �� �
( ) ( ) (1) 23 22 Dyx =−+−� �
الوحدة الثالثة
316
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
<8=W� �
251223 22 =++=D� �
0/�.��������א�!?���%�]��BCو�.W� �� �
525 === DR� ����+ ���BL12��5F و�i/�.�����)2,3(و��45א��א���� J4KE� �
���F12� J4E� �
I12@M5HáîÔn�ß@Á�@åÇ@ñŠöa†Ûa@Œ×Šß@†Èi@@ @وضع المستقيم بالنسبة للدائرة كما فى ستقيم يتحدد من م عن lبعد مركز الدائرة
: تاليةالالحا=ت
1( R<l 2. يتقاطعان بنقطتين مختلفتين ( R=l يتماسان بنقطة وحيدة
3 ( R>l يتقاطعان = .
),( ھو بعد نقطة lحيث 11 yxp فصل الحادي عشر انظر ال(عن المستقيم
) :3-4-11بند
الوحدة الثالثة
317
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
0=++ CByAx
�Wوא��T�%��5د����א�!?.� �
2211
BA
CByAx
+
++=l� �
يمكن دراسة الوضع النسبي للمستقيم مع الدائرة بحل جملة معادلتيھما حHو
.مشتركا
I12@M6@HñŠöa†ÜÛ@÷bà½a@òÛ…bÈß@ @
I12@M6@M1@H@ñŠöa†Û@÷b¾@òÛ…bÈß@†äÇ@òİÔãbèîÏ@@ @
�!�د�������Jس���א�����k���8Z�CyxM ∈),( 11���E�l�)1 ���د�e������.�/0��>����א���س���א�����!*K� �
���R�45א��Jد���א���س��!���������aWא�`B��א������وא���#�0א�!� �0)( )( )( )( 011011 =−−+−− yyyyxxxx� �
: م�حظة
Tא���O@1(�א��א���� �>*���� A�)1ذא��E�� 5%�nא=���m;ن�א���� �7���و.�
�Rא��א��א����.-K� �
I12@M6@M2@Hbèu‰b�@òİÔã@åß@ñŠöa†Û@÷b¾@òÛ…bÈß@@ @
���א����G��8א���45����#א�!�د���+=����� �)1 ����!*�o1���� :א�
)( m 11 xxyy −=−
بعد مركز الدائرة عن حزمة المستقيمات ( بعد نقطة عن مستقيم قانون ثم تطبيق
. S mيجاد )نصف قطرھا يساوى
الوحدة الثالثة
318
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
:م�حظة
: ينVVVتج ممVVVاس أول ويكVVVون الممVVVاس الثVVVاني ھVVVو m إذا نVVVتج قيمVVVة واحVVVدة لVVVـ -1
)( 1xx −
ما من نقطة خارجه نحل حزمة المستقيمات مع ى Sيجاد معادلة المماس لمنحن-2
.معادلته
ل�F12� J5E� �
: الخارجة عن الدائرة −)7,1(أوجد معادلة المماس المرسوم من النقطة
072822 =++−+ yxyx
الحل
b-0*�91�� �9!�����#�E�)1 ���Wو��^<�א�!�د���א���� �� �
( ) ( ) (1) 14 22 Dyx =++−� �<8=W� �
10=D� �
0/�.��������א�!?.����%�]��BCوW� �� �
10== DR� ����+ ��)1,4(و��45א��א���� �10K/�.�����و�0− �
� �
������א� ),( و�!�د���א���س� 11 yx���!.ج�א��#�lھيא��א��� :
)( m 11 xxyy −=−� �
الوحدة الثالثة
319
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
�<8=W� �� �
5
8
41
17 m
12
12
−=
−−+=
−−=
xx
yy� �
�!�د���א���س��b-0*وW� �� �
)1( 58-
7 +=− xy� �
@ @
I12@M6@M3@H@òÛ…bÈß½a÷bà@½a@ô‹aì½@âìÜÈß@áîÔn�@ @
���1(� ���������!�د������=+������א�������G��8א��אز%������������1�q8א�!����1م��א�!�د������*!�������
B`�������Wbmxy��א�!�����م� −+=0;و��=+ bymx�������!�������� �.�7����-�*�q������،�
����q8����� ����F��������.�/0���Iو��%�G��8���א���+=�� �� +�א��א������!��E
@Hد��bK� �
� �
� �
@ @
@ @
@ @
الوحدة الثالثة
320
ÛaŠöa†ñ @óãbrÛaŠ’Ç
åí‰b·@I12–@1H@ @
)1,3(أوجد معادلة الدائرة التي نهايتا قطر فيها النقطتان )1( − ،
)5,2( ثم أوجد معادلة المماس المرسوم لها عند النقطة −−
)7,5( −.
�ت عند النقطةأوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادا )2(
)7,3(وتمر بالنقطة −)0,2( −.
:عين مركز ونصف قطر الدائرة )3(
68422 22 =−++ yxyx
.)4,3( ثم أوجد طول المماس لها من النقطة
تقع على محيط دائرة نهايتاa−)2,5( إذا كانت النقطة )4(
),3(قطر فيها النقطتان −b ، )1,0( . أوجد معادلة المماس
.aعند
�א��א��� )5( �;ن &-�;088222 =−−++ yxyx�� � ،�sS
�q����80444א��� =++ yx�����aم��hل�א���س�א���Qذא� �ن�A�
���),1(א� −x��4%��و��K�����8.��_و;x.
1,2(−b( ، a)3,2(أوجد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطتين )6(
.ويقع محورها على محور السينات
أوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات عند النقطة )7(
)3,0(bالنقطة وتمر ب)5,2(a.
321
ÉuaŠ½a
ÉuaŠ½aÉuaŠ½aÉuaŠ½aÉuaŠ½a@@@@References@ @
��WWWWא�א���א�����א�א���א�����א�א���א�����א�א���א������W�W�W�Wو��و��و��و� �� �� �� �
1E ��������א�����א�����WدK���������������!א$א����–��"#د��"!� �%��������&�����3���1425–�م�F200א�0/���א.و-�–��K3ص���K–�+*�(�א�)#�'E
2E ���������4��������������Kد��W '�א��&�#�و:�89��ن�،���!و��5��&–����;�*�����<�دא$�א=�وא�?#ز��� J2006مK
3E ����������&!A&���������#م�אBدא$������������������!�אK��Cد��Wא���/D�E�����א�3���%���� �Fא�–����*G#�א�!H��I�א���/?J&�� H��–��-א.و���א�0/�F2003��1424–�م�3E
4E ���������Kد��–�ز��د�א�K������Aد��Wא���# �#���40K&�–����$#9�!��Lא. ?�ذ��–���������&�?N�O(����Nذ��?�������–�א. ;�������وא�*���D�/0�������J4�دא$�א�–�����������א�0/�����P�Q�א
F2004��1424–�م�3EK
5E ���������–א. ?�ذ���W������!"��R�$�O(N � ����א�;*���S4�وא�?#ز����دא$�א�3���1419–�م�F1998א�0/���א.و-���–EK
6E ������ز��#W��$#�Pא�F&����א����IPא��–���!�T�R������–م�����#�U���(� �F������&�Fא��א$�Aא�E�–�����;���#�Pل���*U�PWPא����Xد�Y������D�/0�وא�K���O�&����Z[
EKمF2001א.�#��
7E �����������د\�א���/&������K#ل������Wد�KCא�!���/D�D#���Fא�!����#$���Kد�–���"��P��!�(���א� ��&J?/��א��H��I!�א�#G*��������–�א�)��!��H���–���!�Uא�0/����א.و-����–�&J?/��א�
F2004��1425–�م�3EK
8E ����R���0���]�Fد\�א��/&F������HS?א��א�^�_����E�Wא��4K#����و�[Kس��K�a��b�–�5���K:%�K�P#�� �!$وز�cF$و��P�������J?�*!א�–���&������د��KEא �Z[�K�:و����&d����!א����/DE�
���K&���א���I �#د�–��#زd��5!�א��KeYfد�–��89ن
322
@ÉuaŠ½a
9E �^�KNBא�����&!A&�Wض�#D�!"ن���P!D�،����#���8/�D���W"�ن–��"!��Pא.$د�R?J�א�cY&F1997�KE
��P�h��P�h��P�h��P�hWWWW��/*�.א���א��א�א���א.�*/���א�א���א.�*/���א�א���א.�*/���א� �� �� �� �
1) ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS
Erwin Kreyszig, second edition – 1992
2) MATC Math on the Web
http://matcmadison.edu/ald/math/Default.htm� � �
3) Algebra 1 Online
http://teachers.henrico.k12.va.us/math/Alg10506/�
4) http://math.la.asu.edu/~surgent
1987
–1994
IISEE –
1996
–
IISEE –2000
1990
2002
2004
1426
2008
1430
20101431
2010IBC
محمود محمد سليم. د
المؤلف فى سطور