Embed Size (px)
Citation preview
Le c t u r e 8
การแปลงเชิงปริพันธ์
ในบทนีจะศกึษาการแก้ปัญหา ทงั
หรือ ด้วยการแปลงเชิงปริพนัธ์ โดยจะศึกษา
การแปลงลาปลาซ ( )
การแปลงฟูเรียร์ ( )
ทงัสองวิธีใช้ในการแก้ เชิงเส้นได้หลากหลาย ทงั
สมการทีมีสมัประสิทธิเป็นคา่คงทีหรือไมค่งที นอกจากนี
ยงัประยกุต์ใช้ได้กบั สมการเชิงไฮเพอร์โบลา สมการเชิง
พาราโบลา หรือ สมการเชิงวงรี
สําหรับการแปลงลาปลาซโดยทวัไปจะใช้เมอืระบบ
หรือสมการมตีวัแปรเวลา เข้ามาเกียวข้อง
การแปลงฟเูรียร์จะใช้กบัปัญหาทีมีตวัแปรมีคา่ในช่วง
เช่นตวัแปรเชิงพืนที
Le c t u r e 8
แนวคิดของการแปลงเชิงปริพนัธ์ในหาผลเฉลยของ
ปัญหา แสดงได้ดงัรูป
โดยเมือแปลงผลเฉลย ได้ฟังก์ชนั และ เดิม
แปลงเป็นสมการทีงา่ยกวา่ เช่น ของฟังก์ชนั
หรือ
หรือ
หรือ
Le c t u r e 8
การแปลงลาปลาซ
การแปลงลาปลาซนิยามดงันี
บทนิยาม ให้ ผลการแปลงลาปลาซ
ของ คือฟังก์ชนัทีนิยามโดย
โดเมนของ คือค่า ทงัหมดทีอินทิกรัลลูเ่ข้า
ตัวอย่าง ให้ โดย ได้
โดยโดเมนคือ
นอกจากสมบตัิตา่ง ๆ ทีเคยเรียนในวิชา แล้วยงั
มีสมบตัิทีสําคญัสําหรับนําไปแก้ปัญหา ดงัตอ่ไปนี
Le c t u r e 8
บทตัง ให้ และ เป็นค่าคงตวั
บทพิสจูน์ จากนิยามได้
ให้ จะได้
บทตัง ถ้า เป็นฟังก์ชนัทีมีขอบเขตจะได้
บทพิสจูน์ จาก มีขอบเขตได้ ดงันนั
ดงันนั
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงใช้สมบติั แสดงว่า
วิธีทํา ให้ แทน ได้
โดยสมบตัิเชิงเส้นได้
จากนิยามของการแปลงลาปลาซและฟังก์ชนัแกมมาได้
เพราะฉะนนั
เป็นจริงตามต้องการ
Le c t u r e 8
บทตัง ให้
จะได้ผลการแปลงลาปลาซ
บทพิสจูน์ ให้ จากนิยามการแปลงลาปลาซ
เปลียนตวัแปร จะได้ และ
ดงันนั
Le c t u r e 8
จาก ดงันนั
ได้ เพราะฉะนนั สอดคล้อง
คํานวณค่า ได้
ให้ ได้ และ
เพราะฉะนนั
ตามต้องการ
Le c t u r e 8
ทฤษฎีบท ให้ เป็นค่าคงตวัและ
จะได้
บทพิสจูน์ แทน ในบทตงัก่อนหน้าได้
ดงันนั
ซงึคือเอกลกัษณ์ทีต้องการ
Le c t u r e 8
ทฤษฎีบท ให้ จะได้
วิธีทํา ให้ จากนิยามของ ได้
/
หาอนพุนัธ์เทียบ ได้
ได้
ดงันนั
Le c t u r e 8
การแปลงลาปลาซจะใช้แปลงฟังก์ชนัทีมีตวัแปรหนึง
มีค่าในช่วง ไปเป็นฟังก์ชนัของตวัแปรใหม่
ในทีนีจะพิจารณา ทีมีตวัแปรเวลา พร้อมทงั
กําหนดเงือนไขคา่เริมต้น และเงือนไขคา่ขอบให้ ให้ผล
เฉลยของสมการคือ เมือใช้การแปลงลาปลาซใน
ตวัแปร จะได้ฟังก์ชนั
ผลการแปลงลาปลาซของอนพุนัธ์เทียบ ได้จาก
เนืองจากการแปลงลาปลาซในตวัแปร และการหา
อนพุนัธ์เทียบกบัตวัแปร มีสมบตัิสลบัทีได้ ดงันนั
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของ
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
นนัคือ แก้สมการได้
จากเงือนไขคา่ขอบ ดงันนั
ดงันนั เพราะฉะนนั
จากสมบตัิของการแปลงลาปลาซได้
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงแก้ปัญหา
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
สมการช่วย ดงันนั
ได้ผลเฉลยของ คือ
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
ดงันนั ทําให้ได้
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงแก้ปัญหา ของสมการความร้อน
วิธีทํา แปลงลาปลาซในตวัแปร ได้
จาก ได้ สอดคล้อง ในตวัแปร
สมการช่วย ได้ ดงันนั
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
จาก เป็นฟังก์ชนัมีขอบเขตได้
Le c t u r e 8
เพราะฉะนนั
จากทฤษฎีบท
ดงันนัเราได้ว่าผลเฉลยของ คือ
Le c t u r e 8
ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยทีมีขอบเขตของ
โดยการแปลงลาปลาซ
วิธีทํา ให้ แปลงลาปลาซได้
ได้
สมการช่วย ดงันนั
ดงันนั
จากเงือนไขคา่ขอบ ได้
จากผลเฉลยมีขอบเขตได้
Le c t u r e 8
ดงันนั และได้ นนัคือ
แปลงลาปลาซผกผนัได้
