卒業研究 Treedecomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験

卒業研究Treedecomposition を生成する

ヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験

４年：山下　由展

目次 Tree decomposition の定義について Tree decomposition を生成するヒュー

リスティックアルゴリズムの紹介卒業研究について

Tree decomposition の定義グラフ G=(V,E) に対して、木 T と V （ G) のある部

分集合族 X= ｛ Xi|i∈V(T)} の対（ T,X) を考える。木Ｔ１

ｐＸｐ

※ ｐはＴの頂点の番号（ここでは１≦ｐ≦ |V(G)|)

Ｘｐ＝Ｖ（Ｇ）のある部分集合

Ｘ１

Tree decomposition の定義グラフ G=(V,E) に対して、木 T と V （ G) のある部

分集合族 X= ｛ Xi|i∈V(T)} の対（ T,X) を考える。Ｖ（Ｇ）＝ {a,b,c,d,e,f ｝だとすると

１

２

３a,b

c,d

e,fb,c,d,e

d a,b

e,fd,e,f

c

f1

23

4 5(T,X) は２ｎｍ通りある

ｎ＝ |V(G)|ｍは木の頂点数

（Ｔ，Ｘ）（Ｔ，Ｘ）

Tree decomposition の定義グラフ G に対して、木 T と V （ G) のある部分集

合族X= ｛ Xi|i∈V(T)} の対（ T,X) が以下の３つの条件を

満たすとき、 (T,X) を G の Tree decomposition とい

う。

（１）∪ i∈V(T)Xi=V(G)

１２

３４７

５６

１，２，４

１，３，４

３，４，５４，５，６

４，６，７

1

2

3 4

5

G).（ T,X)

頂点集合｛ 1,2,3,4,5,6,7}




う。

（ 2)∀v,w∈V(G)[(v,w)∈E(G)⇒∃i∈V(T)[v,w∈Xi]]

１２

３４７

５６３，４，５４，５，６

1

2

3 4

5

G).（ T,X)1 ， 2， 4

１，３，４４，６，７




う。

（ 3)∀i,j,k∈V(T)[j が T における i からｋへの道上にある　　　⇒ Xi∩Xk⊆Xj

１２

３４７

５６

１，２，４

１，３，４

３，４，５４，５，６

４，６，７

1

2

3 4

5

G).（ T,X)

Tree decomposition の定義幅＝ maxi∈I|Xi|-1

木幅＝グラフＧからつくられる Tree decomposition がもつ

幅のなかで一番小さい値

1,2,4

1,3,4

3,4,5 4,5,6

4,6,7 幅＝２



s-t separating setグラフ G=(V,E) の頂点ｓから頂点ｔへのどんな道も集合 S （⊆ V∖ ｛ｓ、ｔ｝）の頂点を通る時、この集合 Sを s-t 　 separating set という。

例）

Ｓｔｓ

Minimum separating vertex set の定義グラフ G ＝ (V,E) の互いに隣接しない頂点全ての組み合わせで st-separating set をすべて求めた時、その中で位数が最小のものをminimum separating 　 vertex set と呼ぶ。

ｓｔｔ

ｓ

ｔ

Tree decomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズム（ Aire M.C.A Koster 等の論文に載っているもの )

G=(V 、 E)

|i|=1 かつX1=V のTree decompositionをつくる

∃i∈I:Gi≠ クリーク

Tree decomposition をつくる操作をする目標の

Tree decomposition完成

yes

no

G=(V 、 E)はグラフで、(T,X) は G の Tree Decompositionである ( ここで、T=(I,F) はノードＩと辺 F の木。そして、 X ＝｛ Xi ： i∈I}は V の部分集合族

V （ G ）＝｛ｖ１、ｖ２、…、ｖｎ｝

ｖ１、ｖ２、…、ｖｎ

頂点を分割して幅の小さいTree decomposition をつくる

（Ｔ，Ｘ）

準備ここで、 Gi ＝ (Vi 、 Ei) を次で定める。Vi ＝ Xi 、 Ei ＝ E(G[Xi])∪E(∪ ｋ∈ N(i)C(Xi∩X ｋ ))b

a

d

c

f

e

i k

jh

g

abd acd cde

egh

def1 2 3

4

5

G3

d

c e

ここで、 N(i) は頂点ｋに隣接する頂点の集合

G).

G のTree 　 decomposition の作成途中

↑

・・・

C はクリーク

Tree decomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズム（ Aire M.C.A Koster 等の論文に載っているもの )

G=(V 、 E)

|i|=1 かつX1=V のTree decompositionをつくる

∃i∈I:Gi≠ クリーク

Tree decomposition をつくる操作をする

目標のTree decomposition完成

yes

no

G=(V 、 E)はグラフで、(T,X) は G の Tree Decompositionである ( ここで、T=(I,F) はノードＩと辺 F の木。そして、 X ＝｛ Xi ： i∈I}は V の部分集合族

Tree decomposition を生成するヒューリスティクアルゴリズム

･･･

Xi

Xk 、ｋ∈ N(i)

Gi

Minimumseparatingvertex set S

･･･

Gi[Vi/S] はｍ個の連結成分に分割されたとする。

Gi[Vi/S]Yi1

Yi2

Yim-1

YimXi2

Xim

Xim-1

Xi1

S

S

S

Sはグラフはその頂点集合

･･･

Xi0

Xi1 Xi2 Xim

i0i

i1 i2 im

= SXi0

グラフから Tree decompositionをつくってなにか役にたつの？

グラフの Treewidth を定数で押さえることができる場合、最大独立集合問題やハミルトンサイクル問題などの NP 困難問題を多項式時間でとくことができる。

実演 Java



卒業研究内容

･･･

Xi

Xk 、ｋ∈ N(i)

Gi

Minimumseparatingvertex set S

･･･

Gi[Vi/S]

はグラフはその頂点集合

･･･

i

何ペアかの頂点ペアをランダムに選び、その頂点ペアの st separating vertex set の中で位数最小のもの

Ｓは何ペアかの頂点ペアの中で位数最小のminimum st separating vertex set

頂点ペアを何ペアか選択する時Ｇｉの頂点数の１割、２割、３，４，５，６，７、８、９，１０割の場合の１０通り試している。

それぞれについて、できたTree decomposition の幅を評価する

現在の状況

頂点数１０、２０のグラフそれぞれ２００個

Ｔｒｅｅ decomposition

Tree decomposition を作る際、Minimum separating 　 vertex set を用いたアルゴリズム ,頂点数の１割をランダムに選び、その頂点ペアのst separating set の位数の最小のものを採用したアルゴリズム、頂点数の２割の・・・、頂点数の３割の・・・、・・・、頂点数の１０割の・・・。

２００個のTree decomposition の幅の平均値をそれぞれ求める

この過程を３回繰り返す

現在の状況

幅

４．６

４．４

４．５

１０割ペア１割ペア

minimum sepa の幅

頂点数１０のグラフ２００個をそれぞれの方法でTree decomposition に変えて、その幅の平均を求める操作をそれぞれ３回ずつ行った時の幅の平均値の分布

現在の状況

幅１２

１１．８

１１．９

１０割ペア１割ペア

minimum sepa の幅

頂点数２０のグラフ２００個をそれぞれの方法でTree decomposition に変えて、その幅の平均を求める操作をそれぞれ３回ずつ行った時の幅の平均値の分布

１１．７

これからの課題

グラフの頂点数と生成数を増やしていったり、ランダムに生成したグラフだけではなく、ある特定の種類のグラフにたいしても同様のことをやってみるなど、いろいろな場合を試してみる。

Fin

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