Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 1 Mã đề TPHA
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
Câu 1. Cho 1 2
0
1 ln 2 ln3ln( 2)
2 4
a bc cx x dx
x
− + + + = +
,với , ,a b c . Tính T a b c= + + .
A. 13T = . B. 15T = . C. 17T = . D. 11T = .
Câu 2. Cho ( )3
2
0
1 ln 2 ln5ln 1 d
1 4
abc b cI x x x
x
− − = + − =
+ , với , ,a b c . Tính T a b c= + + .
A. 13T = . B. 15T = . C. 10T = . D. 11T = .
Câu 3. Cho ( )1
2
0
1 ln 2 ln3ln 2 d
1 4
ab bc cI x x x
x
+ − = + − = + , với , , a b c . Tính T abc= .
A. 18T = − . B. 16T = . C. 18T = . D. 16T = − .
Câu 4. Cho ( )f x là hàm liên tục và 0a . Giả sử rằng với mọi 0;x a , ta có ( ) 0f x và
( ) ( ) 1f x f a x− = . Tính ( )0
1d
1
a
I xf x
=+
.
A. 3
a. B. 2a . C. ( )ln 1a a+ . D.
2
a .
Câu 5. Cho ( )f x la ham liên tục trên 0;1 . Giả sử rằng với mọi 0;1x , ta co ( ) 0f x va
( ) ( ). 1 4f x f x− = . Tinh ( )
1
02
dx
f x+ .
A. 1. B. 2 . C. 1
2. D.
1
4.
Câu 6. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) ( ) 23 2 tanf x f x x− − = . Tính ( )4
4
df x x
−
.
A. 12
− . B. 1
2
− . C. 1
4
+ . D. 2
2
− .
Câu 7. Biết
1 3 3
0
2 . .2 1 1.ln
.2 ln
x x
x
x e x edx p
e m e n e . Với , ,m n p là các số nguyên dương .
Tính tổng S m n p
A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục va co đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
1
2
0
. 12x f x dx và
2 1 1 2f f . Tính
1
0
f x dx
A. 10 . B. 14 . C. 8 . D. 5 .
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 83
0 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
0
A. 1. B. 11. C. 8 − ln3. D. 8 + ln3.
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 2 Mã đề TPHA
Câu 10. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và thỏa mãn ( ) ( )2018 sin .f x f x x x− + = Tính
( )2
2
I f x dx
−
=
A. 2
2019. B.
1
2019 . C.
1
1009. D.
1
2018.
Câu 11. Cho hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( ) 0; \ e+ thỏa mãn ( )( )
1
ln 1f x
x x =
−,
2
1ln 6f
e
=
và ( )2 3f e = . Giá trị của biểu thức ( )31
f f ee
+
bằng
A. ( )3 ln 2 1+ . B. 2ln 2 . C. 3ln 2 1+ . D. ln 2 3+ .
Câu 12. Cho hàm số ( ) 3 2y f x ax bx cx d= = + + + co đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số ( )y f x= tiếp xúc với trục hoành tại điểm co hoanh độ âm. Khi đo đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm co tung độ là
A. 4− . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Câu 14. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) ( )2
1
.ln 1f x f x dx = và ( )1 1f = , ( )2 1f . Giá trị của ( )2f
bằng
A. ( )2 2f = . B. ( )2 3f = . C. ( )2f e= . D. ( ) 22f e= .
Câu 15. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )2
0
d 3f x x = và ( )2 2f = . Tính ( )4
0
df x x
A. 2I . B. 3I . C. 5I . D. 1I .
Câu 16. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên và thỏa ( ) ( )4f x f x− = . Biết ( )3
1
d 5xf x x= .
Tính ( )3
1
df x x .
A. 5
2. B.
7
2. C.
9
2. D.
11
2.
Câu 17. Cho hàm số ( )f x co đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn ( ) ( )1
0
2 d 1x f x x f − = . Giá
trị của ( )1
0
dI f x x= bằng
A. 1. B. 2 . C. 1− . D. 2− .
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 3 Mã đề TPHA
Câu 18. Cho hàm số f x co đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
0
4 d 1x f x x f . Giá trị
của
1
0
dI f x x bằng
A. 0. B. 2 . C. 1. D. 2.
Câu 19. Cho hàm số ( )f x liên tục trên thỏa
1
0
1 d 10x f x x và 2 1 0 2f f . Tính
1
0
dI f x x .
A. 12I . B. 8I . C. 12I . D. 8I .
Câu 20. Biết rằng hàm số ( )=y f x liên tục trên thỏa ( ) ( )2
0
2 16; 4.= =f f x dx Tính ( )1
0
2= I xf x dx
A. 13=I . B. 12=I . C. 20=I . D. 7=I .
Câu 21. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) 22 1 3 6 , 0;1f x f x x x x+ − = − . Tính ( )1
2
0
1I f x dx= −
A. 4
15I = . B. 1I = . C.
2
15I = − . D.
2
15I = .
Câu 22. Cho hàm số ( )y f x= liên tục với mọi 1x thỏa mãn 1
3, 11
xf x x
x
+ = +
− . Tính
( )1
2
e
I f x dx
+
= .
A. 4 1I e= − . B. 2I e= + . C. 4 2I e= − . D. 3I e= + .
Câu 23. Cho hàm số ( )y f x= liên tục với mọi 0x thỏa mãn ( )1
2 3 , 0f x f x xx
+ =
. Tính
( )2
1
2
f xI dx
x= .
A. 3
2I = . B.
9
2I = . C.
1
2I = . D.
4
3I = .
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 4 Mã đề TPHA
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
Câu 1. Cho 1 2
0
1 ln 2 ln3ln( 2)
2 4
a bc cx x dx
x
− + + + = +
,với , ,a b c . Tính T a b c= + + .
A. 13T = . B. 15T = . C. 17T = . D. 11T = .
Lời giải
Chọn A
Phân tích:
Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích
phân dạng thường gặp. Một là tích phân của ham đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng
phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
Ta có: 1 1 1
1 2
0 0 0
1ln( 2) ln( 2)
2 2
xI x x dx x x dx dx I I
x x
= + + = + + = + + +
*Tính 1
1
0
ln( 2)I x x dx= +
Đặt 2
ln( 2) 2
2
dxdu
u x x
dv xdx xv
== + +
= =
Khi đo :
1 12 2 2
1
0 0
1 2
0
1 1 1 1 4 4ln( 2) ln 3
02 2 2 2 2 2
11 1 4 1 1ln 3 ( 2 ) ln 3 ( 2 4ln 2 )
02 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3ln 3 ( 2 4ln 3) 2ln 2 ln 3 2ln 2
2 2 2 2 4
x x xI x dx dx
x x
xx dx x x
x
− += + − = −
+ +
= − − + = − − + ++
= − − + + = − + +
*Tính 1
2
02
xI dx
x=
+
1 1 1
2
0 0 0
12 2 2(1 ) ( 2 ln 2 )
02 2 2
1 2ln 3 2ln 2
x xI dx dx dx x x
x x x
+ −= = = − = − +
+ + +
= − +
2
1 2
7 7 4 ln 2 2.7ln3 74ln 2 ln3
2 4 4I I I
− += + = − + =
Ta có 4, 2, 7a b c= = = . Vậy 4 2 7 13T a b c= + + = + + = .
Câu 2. Cho ( )3
2
0
1 ln 2 ln5ln 1 d
1 4
abc b cI x x x
x
− − = + − =
+ , với , ,a b c . Tính T a b c= + + .
A. 13T = . B. 15T = . C. 10T = . D. 11T = .
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 5 Mã đề TPHA
Chọn C
Ta có ( )3 3
1 22
0 0
ln 1 d d1
xI x x x x I I
x= + − = −
+ .
* Tính ( )3
1
0
ln 1 dI x x x= + .
Đặt ( )
2
dd
ln 1 1
d d
2
xu
u x x
xv x xv
== + +
= =
.
Khi đo : ( )3 3 32 2
1
0 00
1 9 1 1ln 1 d ln 4 1 d
2 2 1 2 2 1
x xI x x x x
x x
= + − = − − +
+ + 3
2
0
9 1ln 4 ln 1
2 2 2
xx x
= − − + +
9 1 9 3ln 4 3 ln 4 4ln 4
2 2 2 4
= − − + = −
.
* Tính 3
2 2
0
d1
xI x
x=
+ .
Đặt 2 1 d 2 du x u x x= + =
Đổi cận: 0 1; 3 10x u x u= = = =
Khi đo :
1010
2
11
1 1 1 1d ln ln10
2 2 2I u u
u= = = .
Suy ra ( )3 3
1 22
0 0
ln 1 d d1
xI x x x x I I
x= + − = −
+ 3 1 5.2.3ln 2 2ln 5 3
4ln 4 ln104 2 4
− −= − − =
Ta có 5, 2, 3a b c= = = . Vậy 10T a b c= + + = .
Câu 3. Cho ( )1
2
0
1 ln 2 ln3ln 2 d
1 4
ab bc cI x x x
x
+ − = + − = + , với , , a b c . Tính T abc= .
A. 18T = − . B. 16T = . C. 18T = . D. 16T = − .
Lời giải
Chọn A
- Ta có ( )1
2
0
1ln 2 d
1I x x x
x
= + − + ( )
1
2
0
ln 2 d1
xx x x
x
= + − +
( )1 1
2
0 0
ln 2 d d1
xx x x x
x= + −
+
- Đặt ( )1
1
0
ln 2 dI x x x= + và
1
2 2
0
d1
xI x
x=
+ .
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 6 Mã đề TPHA
+ Tính ( )1
1
0
ln 2 dI x x x= + . Ta đặt ( )
2
1d
ln 2 2
d
2
du xu x x
dv x x xv
= = + +
= =
, khi đo ta co:
( )1 12 2
1
00
1ln 2 d
2 2 2
x xI x x
x= + −
+
1
0
1 1 4ln3 2 d
2 2 2x x
x
= − − +
+
12
0
1 1ln 3 2 4ln 2
2 2 2
xx x
= − − + +
1 1 1
ln 3 2 4ln 3 4ln 22 2 2
= − − + −
3 3
2ln 2 ln 32 4
= − +
+ Tính 1
2 2
0
d1
xI x
x=
+( )21
2
0
11
2 1
d x
x
+=
+1
2
0
1ln 1
2x= +
1ln 2
2= .
- Khi đo 1 2
3 3 12ln 2 ln 3 ln 2
2 4 2I I I= − = − + −
3 3 3
ln 2 ln 32 2 4
= − +
3.2.ln 2 3.2.ln 3 3
4
− +=
( ) ( )3.2.ln 2 2. 3 .ln3 3
4
+ − − −= .
Ta suy ra:
3
2
3
a
b
c
=
= = −
. Vậy ( ). . 3.2. 3 18T a b c= = − = − .
Câu 4. Cho ( )f x là hàm liên tục và 0a . Giả sử rằng với mọi 0;x a , ta có ( ) 0f x và
( ) ( ) 1f x f a x− = . Tính ( )0
1d
1
a
I xf x
=+
.
A. 3
a. B. 2a . C. ( )ln 1a a+ . D.
2
a .
Lời giải
Chọn D
Ta có ( )0
1d
1
a
I xf x
=+
( )0
1d
11
a
x
f a x
=
+−
( )
( )0
d1
a f a xx
f a x
−=
− + .
Đặt a x t− = thì d dx t= − . Với 0x a t= = ; 0x t a= = .
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 7 Mã đề TPHA
Ta được ( )
( )
0
d1
a
f tI t
f t= −
+( )
( )0
d1
a f xx
f x=
+
Do đo, ta co ( )
( )
( ) 0
0 0 0
12 d d d
1 1
a a aaf x
I x x x x af x f x
= + = = =+ + . Vậy
2
aI = .
Câu 5. Cho ( )f x la ham liên tục trên 0;1 . Giả sử rằng với mọi 0;1x , ta co ( ) 0f x va
( ) ( ). 1 4f x f x− = . Tinh ( )
1
02
dx
f x+ .
A. 1. B. 2 . C. 1
2. D.
1
4.
Lời giải
Chọn D
Ta co ( )
( )
( )( )
1 1
0 0
1.
2 2 2 1
f xdxI dx
f x f x
−= =
+ + −
Đặt 1t x dt dx= − = − , đổi cận : 0 1x t= = ; 1 0x t= = .
( )
( )( )( )
( )( )
0 1
1 02 2 2 2
f t f xI dt dx
f t f x= − =
+ + .
( )
( )
( )( )
1 1
0 0
1 12
2 2 42 2
f xdxI dx I
f x f x = + = =
+ + .
Câu 6. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và ( ) ( ) 23 2 tanf x f x x− − = . Tính ( )4
4
df x x
−
.
A. 12
− . B. 1
2
− . C. 1
4
+ . D. 2
2
− .
Lời giải
Chọn D
Theo đề bài, ta có ( ) ( ) 23 2 tanf x f x x− − = ( )1
Thay x bởi x− ta được: ( ) ( ) ( )2 23 2 tan tanf x f x x x− − = − = ( )2
Từ ( )1 và ( )2 suy ra: ( ) 2tanf x x= .
( )4 4 4
2 2
0
4 4
d tan d 2 tan dI f x x x x x x
− −
= = = ( )4 4
2
2
0 0
12 1 tan 1 d 2 1 d
cosx x x
x
= + − = −
( )2 tan 242
0
x x= − = −
.
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 8 Mã đề TPHA
Câu 7. Biết
1 3 3
0
2 . .2 1 1.ln
.2 ln
x x
x
x e x edx p
e m e n e . Với , ,m n p là các số nguyên dương .
Tính tổng S m n p
A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
11 1 13 3 43
00 0 0
.22 . .2 2 1
.2 .2 4 e ln 2 .2
xx x x
x x x
d ex e x xdx x dx
e e e
1
0
1 1 1 1 2 1 1ln .2 .ln .ln 1 .
4 e ln 2 4 e ln 2 4 e ln 2
x e ee
e e
Vậy
4
2 7
1
m
n m n p
p
.
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục va co đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
1
2
0
. 12x f x dx và
2 1 1 2f f . Tính
1
0
f x dx
A. 10 . B. 14 . C. 8 . D. 5 .
Lời giải
Chọn D
Đặt
2 2du xdxu x
v f xdv f x dx. Khi đo
11
2
00
. 2 .I x f x x f x dx .
Đặt 2 2u x du dx
dv f x dx v f x. Suy ra
1 11
0
0 0
2 . 2 . 2x f x dx x f x f x dx
Do đo
1 1
0 0
12 1 2 1 2 5f f f x dx f x dx
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 83
0 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
0
A. 1. B. 11. C. 8 − ln3. D. 8 + ln3.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng phương pháp tinh tich phân từng phần.
Từ giả thiết đề cho, Đặt {𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 => {𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Khi đo:
𝐼 = 𝑥𝑒𝑓(𝑥)|03 − ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
0
=> 8 = 3𝑒𝑓(3) − ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥3
0
Suy ra ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥3
0= 9 − 8 = 1
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 9 Mã đề TPHA
Câu 10. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và thỏa mãn ( ) ( )2018 sin .f x f x x x− + = Tính
( )2
2
I f x dx
−
=
A. 2
2019. B.
1
2019 . C.
1
1009. D.
1
2018.
Lời giải
Chọn A
Đặt t x dt dx= − = − 2 2
x t −
= = ;
2 2
x t −
= =
( ) ( )2 2
2 2
I f t dt f x dx
−
−
= − − = −
Suy ra ( ) ( )2 2 2
2 2 2
2019. 2018. sin 2I f x dx f x dx x xdx
− − −
= − + = =
2
2019I =
Câu 11. Cho hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( ) 0; \ e+ thỏa mãn ( )( )
1
ln 1f x
x x =
−,
2
1ln 6f
e
=
và ( )2 3f e = . Giá trị của biểu thức ( )31
f f ee
+
bằng
A. ( )3 ln 2 1+ . B. 2ln 2 . C. 3ln 2 1+ . D. ln 2 3+ .
Lời giải
Chọn A
Ta có: ( ) ( )( )
( )ln 11ln ln 1
ln 1 ln 1
d xf x f x dx dx x C
x x x
−= = = = − +
− − với ( ) 0; \x e + .
• Trường hợp 1: ln 1 0 ln 1x x x e−
( ) ( ) 1ln ln 1f x x C = − + , ( )2
13 3f e C= = ( ) ( )ln ln 1 3f x x = − + .
( ) ( )3 3ln ln 1 3 3 ln 2f e e= − + = + .
• Trường hợp 2: ln 1 0 ln 1 0x x x e−
( ) ( ) 2ln 1 lnf x x C = − + , 2 22
1ln 6 ln 3 ln 6 ln 6 ln 3 ln 2f C C
e
= + = = − =
.
( ) ( )ln 1 ln ln 2f x x = − +
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 10 Mã đề TPHA
1 1ln 1 ln ln 2 2ln 2f
e e
= − + =
.
Vậy ( ) ( )212ln 2 3 ln 2 3 ln 2 1f f e
e
+ = + + = +
.
Câu 12. Cho hàm số ( ) 3 2y f x ax bx cx d= = + + + co đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số ( )y f x= tiếp xúc với trục hoành tại điểm co hoanh độ âm. Khi đo đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm co tung độ là
A. 4− . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Lời giải
Chọn A
Ta có ( ) ( )2f x ax x = + mà
( ) ( ) ( ) ( )2 3 21 3 3 3 6 3f a f x x x f x f x dx x x C − = − = = + = = + + .
Gọi 0x la hoanh độ tiếp điểm ( )0 0x suy ra ( )
( )( )
0 0 3 2
0
0 23 4
40
f x xf x x x
Cf x
= = − = + −
= − =
.
Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm co tung độ là 4− .
Câu 13 Cho ( )y f x= là hàm số chẵn, liên tục trên . Biết đồ thị hàm số ( )y f x= đi qua điểm
1;4
2M −
và ( )
1
2
0
3f t dt = . Tính ( )0
6
sin 2 . sinx f x dx
−
A. 10I = . B. 2I = − . C. 1I = . D. 1I = − .
Lời giải
Chọn B
Đặt sin x t= ; đổi cận 1
; 0 06 2
x t x t
= − = − = =
( ) ( )0 0
1
6 2
sin 2 . sin 2 .I x f x dx t f t dt
− −
= = .
Đặt ( ) ( )
2 2t u dt du
f t dt dv f t v
= =
= = ( )( ) ( )
0
0
1
12
2
2 . | 2I t f t f t dt−
−
= −
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 11 Mã đề TPHA
( )y f x= là hàm số chẵn: ( ) ( )
1
0 2
1 0
2
2 2 2.3 6f t dt f t dt
−
= = =
Đồ thị hàm số ( )y f x= đi qua điểm 1
;42
M −
: 1
42
f − =
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1
20 0
1 1
2 20
1 12 . | 2 2 . | 3 2.0. 0 2. . 6 4 6 2
2 2I t f t f t dt t f t f f
− −
− − = − = − = − − = − = −
Câu 14. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) ( )2
1
.ln 1f x f x dx = và ( )1 1f = , ( )2 1f . Giá trị của ( )2f
bằng
A. ( )2 2f = . B. ( )2 3f = . C. ( )2f e= . D. ( ) 22f e= .
Lời giải
Chọn C
Đặt ( )
( )
lnu f x
dv f x dx
=
=
( )
( )
( )
f xdu dx
f x
v f x
=
=
.
Khi đo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
11 1
.ln .lnf x f x dx f x f x f x dx = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 .ln 2 1 .ln 1 2 1f f f f f f = − − −
( )
( ) ( ) ( )1 1
2 .ln 2 2f
f f f=
=
( )
( )2 1
ln 2 1f
f
= ( )2f e = .
Câu 15. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )2
0
d 3f x x = và ( )2 2f = . Tính ( )4
0
df x x
A. 2I . B. 3I . C. 5I . D. 1I .
Lời giải
Chọn A
Xét tích phân ( )4
0
df x x .
Đặt2 d 2 tx t x t x td= = = .
Đổi cận: Khi 4 2x t= = ; Khi 0x = thì 0t = .
Khi đo ( ) ( )4 2
0 0
d 2 dI f x x tf t t = = .
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 12 Mã đề TPHA
Đặt ( ) ( )
2 2
dt=dv
u t du dt
f t f t v
= =
= . Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 22
00 0 0
d 2 d 2 2 dI f x x tf t t tf t f t t = = = −
2
0
4 2 2 4.2 2.3 2f f x dx .
Câu 16. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên và thỏa ( ) ( )4f x f x− = . Biết ( )3
1
d 5xf x x= .
Tính ( )3
1
df x x .
A. 5
2. B.
7
2. C.
9
2. D.
11
2.
Lời giải
Chọn A
Ta có ( ) ( )3 3
1 1
5 d 4 d .xf x x xf x x= = −
Đặt
4
d dt4
1; 3
3; 1
x t
xt x
x t
x t
.
Do đo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 3 3
1 3 1 1 1
4 d 4 d 4 d 4 d dxf x x t f t x t f t x f t t tf t t− = − − = − = −
Suy ra ( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1
55 4 d 5 4 d 10 d
2f t t f t t f t t= − = = hay ( )
3
1
5d
2f x x = .
Câu 17. Cho hàm số ( )f x co đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn ( ) ( )1
0
2 d 1x f x x f − = . Giá
trị của ( )1
0
dI f x x= bằng
A. 1. B. 2 . C. 1− . D. 2− .
Lời giải
Chọn C
Đặt ( )d 2 d
u x
v f x x
=
= −
ta có ( )
d d
2
u x
v f x x
=
= −.
Khi đo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
00 0
1 2 d 2 2 d 1 2 1f x f x x x f x x f x x x f I= − = − − − = − − + .
Suy ra 1I = − .
Câu 18. Cho hàm số f x co đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
0
4 d 1x f x x f . Giá trị
của
1
0
dI f x x bằng
A. 0. B. 2 . C. 1. D. 2.
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 13 Mã đề TPHA
Lời giải
Chọn B
Đặt d d
4d 4 d
u x u x
v f x xv f x x
Khi đo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
00 0
1 4 d 4 4 d 1 4 2f x f x x x f x x f x x x f I= − = − − − = − − + .
Suy ra 2I .
Câu 19. Cho hàm số ( )f x liên tục trên thỏa
1
0
1 d 10x f x x và 2 1 0 2f f . Tính
1
0
dI f x x .
A. 12I . B. 8I . C. 12I . D. 8I .
Lời giải
Chọn D
Đặt 1 d
d
u x du x
dv f x x v f x.
Khi đo
1 11
00 0
1 d 10 1 d 10x f x x x f x f x x 2 1 0 10f f I .
Suy ra 8I .
Câu 20. Biết rằng hàm số ( )=y f x liên tục trên thỏa ( ) ( )2
0
2 16; 4.= =f f x dx Tính ( )1
0
2= I xf x dx
A. 13=I . B. 12=I . C. 20=I . D. 7=I .
Lời giải
Chọn D
Đặt ( ) ( )
12 2
2
==
= =
du dxu x
dv f x dx v f x
Ta có: ( ) ( ) ( )11 1
00 0
1 1 12 2 2 8
2 2 2= = − = − I xf x dx xf x f x dx A với ( )
1
0
2= A f x dx .
Đặt ( ) ( ) ( )1 2 2
0 0 0
1 12 2d 2 2.
2 2= = = = = = t x dt x A f x dx f t dt f x dx
Vậy1
8 7.2
= − =I A
Câu 21. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) 22 1 3 6 , 0;1f x f x x x x+ − = − . Tính ( )1
2
0
1I f x dx= −
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 14 Mã đề TPHA
A. 4
15I = . B. 1I = . C.
2
15I = − . D.
2
15I = .
Lời giải
Chọn C
Đặt 1 , 0;1 0;1t x x t= − .
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1 3 6 2 1 3 1 3f x f x x x f x f x x+ − = − + − = − −
( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 3 3 2 1 3 3f t f t t f x f x x − + = − + − = −
Ta có hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 3 6 2 1 3 6
2 1 3 3 4 2 1 6 6
3 3 6 6 2 2
f x f x x x f x f x x x
f x f x x f x f x x
f x x x f x x x
+ − = − + − = −
+ − = − + − = −
= + − = + −
Khi đo ( ) ( ) ( )2
2 2 2 4 21 1 2 1 2 4 1f x x x x x− = − + − − = − +
Suy ra ( ) ( )1 1
2 4 2
0 0
21 4 1
15I f x dx x x dx= − = − + = − .
Câu 22. Cho hàm số ( )y f x= liên tục với mọi 1x thỏa mãn 1
3, 11
xf x x
x
+ = +
− . Tính
( )1
2
e
I f x dx
+
= .
A. 4 1I e= − . B. 2I e= + . C. 4 2I e= − . D. 3I e= + .
Lời giải
Chọn C
Đặt 1 1
11 1
x tt xt t x x
x t
+ += − = + =
− −, suy ra ( )
1 23 4
1 1
tf t
t t
+= + = +
− − hay ( )
24
1f x
x= +
−
Ta có ( )1
1
22
24 4 2ln 1 4 2
1
ee
I dx x x ex
++
= + = + − = − −
.
Câu 23. Cho hàm số ( )y f x= liên tục với mọi 0x thỏa mãn ( )1
2 3 , 0f x f x xx
+ =
. Tính
( )2
1
2
f xI dx
x= .
A. 3
2I = . B.
9
2I = . C.
1
2I = . D.
4
3I = .
Lời giải
Chọn A
( ) ( )1
2 3 , 0 1f x f x xx
+ =
.
Nên ( ) ( )1 3
2 , 0 2f f x xx x
+ =
.
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM). Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh ! Trang 15 Mã đề TPHA
( ) ( ) ( )1 3
1 , 2 3 f x fx x
+ =
( ) ( )1 1
3f x f xx x
+ = +
.
( ) ( ) ( )2
2 , 3 f x xx
= − + .
( )2 2
21 1
2 2
22 2 3
1 12
2
f xI dx dx x
x xx
= = − + = − − =