Χ Χαραλάμπους ΑΠΘusers.auth.gr/hara/.../2012/Presentation15_03_12.pdf · ΧαράΧαραλάμπους ΤμήμαΜαθηματικών ΑΠΘ ΙστορίατωνΜαθηματικών

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Εαρινό εξάμηνο 201215.03.12

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ


ΑΠΘ


Έργα

ΣτοιχείαΔεδομέναΦαινόμενα ή ΣφαιρικάΟπτικάΚατοπτρικάΣτοιχεία ΜουσικήςΒιβλίο περί διαιρέσεωνΠορίσματαΚωνικάΤόποι προς επιφάνειεςΨευδάριαΜηχανικήΠερί βαρέων και ελαφρώνσωμάτων


ΑΠΘ



ΑΠΘ



ΑΠΘ


Έργα

ΣτοιχείαΔεδομέναΦαινόμενα ή ΣφαιρικάΟπτικάΚατοπτρικάΣτοιχεία ΜουσικήςΒιβλίο περί διαιρέσεωνΠορίσματαΚωνικάΤόποι προς επιφάνειεςΨευδάριαΜηχανικήΠερί βαρέων και ελαφρώνσωμάτων

Ευκλείδης


ΑΠΘ


Συλλογή από 13 βιβλία-κεφάλαια:

Παρουσιάζονται με λογική σειρά οι βάσεις για τα στοιχειώδη μαθηματικάτης εποχής: οι βάσεις για την αριθμητική (θεωρία αριθμών), για τηνγεωμετρία (σημεία, ευθείες, επίπεδα, κύκλοι, σφαίρες) και για τηνγεωμετρική άλγεβρα.

Το περιεχόμενο των Στοιχείων του Ευκλείδη στηρίχτηκε κατά ένα μεγάλομέρος στο έργο προηγούμενων μαθηματικών.

Όμως η διάταξη (σειρά) των προτάσεων (φαίνεται να) οφείλεται στονΕυκλείδη όπως και πολλές από τις αποδείξεις.


ΑΠΘ


Ύπαρξη άλλων «Στοιχείων»

Ο Ιπποκράτης της Χίου (~470 π.Χ‐410 π.Χ.)είχε γράψει και αυτός (νωρίτερα) «Στοιχεία», όπως καιάλλοι μαθηματικοί.

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη ξεχώρισαν από τιςπαλαιότερες εργασίες χάρις στη λογική δομή καιμαθηματική αυστηρότητα τους. Έτσι τα παλαιότερα δεναναπαράχθηκαν και σώζονται μόνο μέσα από τα«Στοιχεία» του Ευκλείδη .


ΑΠΘ


Τα βιβλία 1-6 αναφέρονται στη στοιχειώδη γεωμετρία τουεπιπέδου

Τα βιβλία 7-9 αναφέρονται στη θεωρία των αριθμών.

Το βιβλίο 10 αναφέρεται στους άρρητους.

Τα βιβλία 11-13 αναφέρονται στη στερεομετρία.


ΑΠΘ


Κάποια από τα Μαθηματικά αποτελέσματα πουπεριέχονται στα 13 βιβλία των Στοιχείων

αποδίδονται σε μαθηματικούς που έζησαν πριν τονΕυκλείδη.

Στους Πυθαγόρειους και κυρίως στον Αρχύτατον Ταραντίνο (428 ‐ 347 π.Χ.) «περιστερά»βιβλία 1,2,6,7,8,9,11

Εύδοξος από την Κνίδο (408‐355 π.Χ.) βιβλία 5, 12

Θεαίτητος ο Αθηναίος(417‐369 π.Χ.) βιβλία 10,13


ΑΠΘ


Βιβλίο 1: αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας με 23 ορισμούς, 5 αιτήματα και 9 κοινές έννοιες, (δηλαδή τααιτήματα και κοινές έννοιες αποτελούν αυτά πουσήμερα θα λέγαμε στα αξιώματα). Ακολουθούν οιπροτάσεις. Το βιβλίο τελειώνει με την απόδειξη τουΠυθαγορείου Θεωρήματος και του αντιστρόφου του.

Βιβλίο 2: Θεωρήματα της Γεωμετρικής Άλγεβρας(αποδείξεις αλγεβρικών ταυτοτήτων όπωςa(b+c)=ab+ac με χρήση εμβαδών).

Βιβλίο 3: Ιδιότητες κύκλων


ΑΠΘ


Βιβλίο 4: Κατασκευές (με κανόνα και διαβήτη) κανονικών πολυγώνων, (3,4,5,6 πλευρές). Τελειώνειμε τη κατασκευή του κανονικού 15‐γωνου.

Βιβλία 5 και 6: θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου καιπροτάσεις Γεωμετρικής Άλγεβρας και ομοιότητατριγώνων.

Βιβλία 7,8,9: Θεωρία Αριθμών


ΑΠΘ


Βιβλίο 10: (το μεγαλύτερο και το δυσκολότερο). Με τησημερινή ορολογία: επεκτάσεις σωμάτων βαθμού 2 και4 πάνω από τους ρητούς, (θέμα παρουσίασης).

Βιβλίο 11: Βασικά Θεωρήματα στερεομετρίας.

Βιβλίο 12: όγκους πυραμίδας, κώνου και σφαίρας.

Βιβλίο 13: πλατωνικά στερεά. Για κάθε ένα από αυτάυπολογίζει λόγο ακμής με ακτίνα περιγεγραμμένηςσφαίρας.


ΑΠΘ


Παρατήρηση για τα κατασκευάσιμα κανονικάπολύγωνα:

Το επόμενο κανονικό πολύγωνο μετά τον Ευκλείδηκατασκευάσθηκε το 1796 από τον Gauss (1777‐1855): το κανονικό 17‐γωνο .

Υπάρχουν άλλα κατασκευάσιμα πολύγωνα?(Θέμα παρουσίασης)


ΑΠΘ


Αἰτήματα (Βιβλίο 1)α΄. Αιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴνἀγαγεῖν.

β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν.

γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.

δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.

ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰαὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύοεὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶνἐλάσσονες.


ΑΠΘ


Ορισμός 10 (ορθών γωνιών): όταν μία ευθεία τέμνειμία άλλη έτσι ώστε οι εφεξής γωνίες να είναι ίσες, τότε οι γωνίες αυτές λέγονται ορθές και οι ευθείεςκάθετες η μία προς την άλλη

Αίτημα 4: όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες η μία προςτην άλλη


ΑΠΘ


Αίτημα 5: Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει μεαυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών μεάθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείεςτέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες.

Ορισμός 23: Παράλληλες είναι οι ευθείες που ανήκουν στο ίδιοεπίπεδο και που δεν τέμνονται


ΑΠΘ


Πρόταση 1, βιβλίο 1


ΑΠΘ


Δίνεται το ΑΒκατασκευή

κύκλου με κέντρο το Α,κύκλου με κέντρο το Β

(ακτίνα ΑΒ)

έστω C το σημείο τομής. ABC είναιισόπλευρο τρίγωνο. Χρησιμοποιεί:1. Αίτημα 3 (κατασκευή κύκλου)2. Αίτημα 1 (κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος)3. Κοινή έννοια 1 (ίσα προς τρίτο και μεταξύ τους ίσα)


ΑΠΘ


Πρόταση 32, βιβλίο 1

Το άθροισμα των γωνιών ενόςτριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές


ΑΠΘ


Πρόταση 47, (Πυθαγόρειο Θεώρημα)


ΑΠΘ


Στο παραπάνω σχήμα: ΑΒΔ=ΒΓΖ,ΑΒΔ=1/2 κόκκινου ΒΔΛΜ, ΒΓΖ=1/2 ΒΖΗΑΆρα ΒΖΗΑ=κόκκινο ΒΔΛΜ

ΑΓΚΘ=κόκκινο ΛΜΓΕ

ΒΖΗΑ+ΑΓΚΘ=ΒΓΕΔ


ΑΠΘ


Θέμα παρουσίαση ή μέρους παρουσίασης

Ποιες προτάσεις χρειάστηκαν στην απόδειξη της πρότασης 47?Φτιάξτε ένα διάγραμμα που να δείχνει τις εξαρτήσεις. Αντίστοιχο διάγραμμα για τη πρόταση 48 (αντίστροφο τουΠυθαγορείου)


ΑΠΘ


Τι σημαίνει εμβαδόν? (δεν είναι ανάμεσα στουςορισμούς!


ΑΠΘ


Βιβλίο 2

a (b+c+d)= a b+ a c +a d

(γενικευμένο παράδειγμα)

Γεωμετρική Άλγεβρα


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Βιβλίο 2


ΑΠΘ


Ερμηνεία:τμήμα =ΑΒ=α, ΑΒDC τετράγωνο,χωρίζουμε ΑΒ σε ΑΗ και ΗΒ.θέλουμε το x=AH να είναι τέτοιο ώστε

HBDΚ =HGFA.Λύση:

Έστω Ε το μισό του AC,ΕF=EB

AFGH τετράγωνοτότε ΑΗ=x


ΑΠΘ


Η προηγούμενη Πρόταση δίνει

Τη γεωμετρική επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Ποια είναι η κατηγορία εξισώσεων δευτέρου βαθμούπου μπορούν να επιλυθούν γεωμετρικά σύμφωνα μεαυτή τη μέθοδο?

Υπάρχουν άλλα τέτοια παραδείγματα στα Στοιχεία τουΕυκλείδη?


ΑΠΘ


Βιβλίο 9Βιβλίο 7

ΘεωρίαΑριθμών


ΑΠΘ


«Αν δοθεί οποιοδήποτε πλήθος πρώτων αριθμώντότε υπάρχουν πάντα περισσότεροι από αυτό τοπλήθος»

Ορισμός 12: πρώτος λέγεται ο αριθμός πουμετριέται μόνο από τη μονάδα

Απόδειξη με γενικευμένο παράδειγμα (δίνονται 3 πρώτοι και αποδεικνύεται ότι υπάρχει τέταρτος) καιμε εις άτοπον απαγωγή.


ΑΠΘ


2 2: :a A d D=


ΑΠΘ


Είναι το 5ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση ?


ΑΠΘ


Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει μεαυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών μεάθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείεςτέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες.


ΑΠΘ


μήπως στη πραγματικότητα το 5ο αίτημα προκύπτει απότα άλλα 4 αιτήματα και μπορεί να παραληφθεί?

το 5ο αίτημα είναι ισοδύναμο με τα εξής:

στο επίπεδο, από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μίαπαράλληλος, (μία ευθεία που δεν τέμνει την αρχική)

οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άθροισμα δύο ορθές γωνίες.

(και πολλές άλλες προτάσεις που αφορούν παράλληλες ευθείες)


ΑΠΘ


Το πέμπτο αίτημα είναι γνωστό και ως αίτημα τωνπαραλλήλων.

Για να αποδείξει ο Saccheri (1667‐1733) το πέμπτο αίτημαεφάρμοσε τη μέθοδο της επαγωγής σε άτοπο. Δηλαδήπροσπάθησε να απορρίψει τις εξής προτάσεις:

Από σημείο εκτός ευθείας δεν μπορούμε να φέρουμεευθεία παράλληλη προς την ευθεία

Από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμεπερισσότερες από μία ευθεία παράλληλες προς τηνευθεία.


ΑΠΘ


Ο Saccheri απέδειξε ότι η παραπάνω πρόταση οδηγείσε άτοπο με τη χρήση του δεύτερου αιτήματος.

(β΄ αίτημα: Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐθείας ἐκβαλεῖν)


ΑΠΘ


Καινούρια γεωμετρίαGauss (1810?), 1832 Bolyai, 1829 Lobachevsky

Υπερβολική γεωμετρία:

Στο επίπεδο, από σημείο εκτός ευθείας διέρχονταιδύο ευθείες που δεν τέμνουν την αρχική


ΑΠΘ


Υπερβολική γεωμετρία:

στο επίπεδο, από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται δύο ευθείεςπου δεν τέμνουν την αρχική (δηλαδή οι δύο ευθείες είναι«παράλληλες» προς την αρχική)

Ισχύει ότιτο άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο τωνδύο ορθών και ότι

τα όμοια τρίγωνα είναι ίσα!


ΑΠΘ


Gauss


ΑΠΘ


Lobachevsky


ΑΠΘ


Bolyai


ΑΠΘ


Μοντέλο του Poincare (1854-1892) για τηνΥπερβολική Γεωμετρία: Υπερβολικό επίπεδο: σημεία στο εσωτερικό κύκλουΕυθείες στο Υπερβολικό επίπεδο: διάμετροι, και τόξα άλλων κύκλωνπου τέμνουν κάθετα τον αρχικό.

Παραπάνω βλέπουμε 2 ευθείες που τέμνονταικαι είναι «παράλληλες» προς τρίτη


ΑΠΘ


Escher και το υπερβολικό επίπεδο.

http://euler.slu.edu/escher/index.php/Hyperbolic_Geometry

Στο έργο «Παράδεισος και Κόλαση»(1960) Όλοι οι άγγελοι και όλοι οιδιάβολοι είναι ίσοι.


ΑΠΘ


Riemann (1826‐1866)Υπερβολική γεωμετρία, (1854)

Δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες.

Είναι αναγκαία η τροποποίηση του δεύτερου αιτήματος, (βλ. Saccheri) ωςεξής:

Κάθε ευθεία γραμμή έχει το ίδιο πεπερασμένο μήκος.

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο των δύο ορθών


ΑΠΘ


Μοντέλο Ελλειπτικής Γεωμετρίας (Klein 1849‐1925)

Η επιφάνεια μίας σφαίρας:

τα αντιδιαμετρικά σημείαταυτίζονται και αντιστοιχούν σεένα ελλειπτικό σημείο

ευθείες είναι οι «μέγιστοι κύκλοι»της σφαίρας (που έχουν ακτίναόσο η ακτίνα της σφαίρας)


ΑΠΘ


Συλλογή 23 προβλημάτων το 1900 στο διεθνέςσυνέδριο σο Παρίσι (υπόθεση του Riemmann, Goldbach)

Πανεπιστήμιο του Göttingen από το 1895

69 Ph.D., (Felix Bernstein , Hermann WeylRichard Courant, Erich Hecke , …)

επηρέασεErnst Zermelo, John von Neumann, Emmy Noether

….

Στη Θεωρία των αναλλοίωτων ο Hilbert το 1888 απέδειξε θεώρημα ύπαρξης πεπερασμένου σύνολογεννητόρων

Gordan : Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.(απορρίπτοντας την πρώτη φορά την εργασία στοMath. Annalen)

http://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Bernstein

http://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Weyl

http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant

http://en.wikipedia.org/wiki/Erich_Hecke

http://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Zermelo

http://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether


ΑΠΘ


Στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη υπάρχουν κάποια κενά καιελλείψεις

(χρειάζονται και άλλοι ορισμοί και αξιώματα.)

ενδεικτικάπρόταση 1, βιβλίο 1: Για τη κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου. Γιατί οι δύο κύκλοι τέμνονται?

Πολλές αποδείξεις βασίζονται στη διαίσθηση ή στο σχήμα. Αυτό έγινε περισσότερο αντιληπτό με την ανακάλυψη των μηΕυκλείδειων Γεωμετριών.


ΑΠΘ


Πλήρης αξιωματοποίηση της Ευκλείδειας γεωμετρίαςεπιχειρήθηκε από τον Hilbert το 1899 στο βιβλίο τουGrundlagen der Geometrie (βάσεις της Γεωμετρίας).

Πρότεινε 21 αξιώματα: αξιώματα σχέσεων, διάταξης, ισότητας, συνέχειας και το αξίωμα των παραλλήλων.

Άφησε τις έννοιες του σημείου, ευθείας, επίπεδο χωρίς να τιςορίσει. Καθόρισε όμως τις μεταξύ τους σχέσεις. Συνολικάχρησιμοποίησε 9 «πρωταρχικές έννοιες» από τις οποίες 6 οι βασικές σχέσεις (όπως ανήκει και ισότητα) .

Το 1902 αποδείχτηκε ότι ένα από τα 21 αξιώματα ήταν περιττό.


ΑΠΘ


1920: πρόγραμμα του Hilbert =«μεταμαθηματικά». Ήθελε ναδείξει ότι

1. Όλα τα μαθηματικά παράγονται από ένα σωστάδιαλεγμένο πεπερασμένο σύνολο αξιωμάτων και2. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων μπορεί νααποδειχθεί ότι είναι συνεπές

όμωςτο 1931 ο Godel με το Θεώρημα της μηπληρότητας απέδειξε ότι είναι αδύνατο νααποδειχθεί η συνέπειαή ασυνέπεια.


ΑΠΘ


Θέμα Παρουσίασης:

23 προβλήματα του Hilbert.


ΑΠΘ



ΑΠΘ


Για παρουσίασηΘεμελίωση των πραγματικών αριθμών.


ΑΠΘ


Ασκήσεις

Να αποδείξετε την πρόταση 2.11, [Στοιχεία]

Να χρησιμοποιήσετε τη πρόταση 2.11 για να βρείτε τη γραφικά τη λύσητης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Η επόμενη πρόταση περιγράφει τον τρόπο εύρεσης του κέντρουδοθέντος κύκλου. Να κάνετετο αντίστοιχο σχεδιάγραμμακαι να αποδείξετε (σύγχρονα)την αντίστοιχη πρόταση.

Documents

Χ Χαραλάμπους ΑΠΘusers.auth.gr/hara/.../2012/Presentation15_03_12.pdf · ΧαράΧαραλάμπους ΤμήμαΜαθηματικών ΑΠΘ ΙστορίατωνΜαθηματικών