บทท 7การดลและโมเมนตม

เครองบนโบอง 767-200ER  ขณะทพงเขาชนตกเวลดเทรดมโมเมนตม และพลงงานจลนเทาไร (ยงไมรวมพลงงานของเชอเพลง) และถารวมพลงงานของเชอเพลงดวยแลวมพลงงานรวมเทาไร ทดลองเทยบกบระเบดปรมาณทหยอนลงทญปนเปนกลก (กำาหนดให 1,000,000 ตนของระเบดทเอนท เทากบพลงงาน  4.2 x 1015 จล แรงระเบดของปรมาณ 1 ลกเทากบระเบดทเอนท  13,000 ตน) สามารถหาคำาตอบได คลกครบ

ฟสกสราชมงคล

151

บททแลวเราได ศ กษา แนว ค ด เก ยว ก บพลงงาน และการประยกตเพอแกปญหาโจทย แตในบทน เราจะพฒนาแนวความคดจากเดมยงขนไปอก โดยขยายออกไปอก 2 แ น ว ค อ ก า ร ด ล แ ล ะโมเมนต ม เพ ออธบาย

การกอวนาศกรรมตกแฝดเวลด เทรด เซนเตอร ทมหานครนวยอรกไดเกดขนแลว พรอมกบคำาถามมากมาย โดยเฉพาะกบขอสงสยทวา ตกอนสงสงาเชนน ถงกาลอวสานไดอยางไร  นกศกษาสามารถชมภาพวดโอได คลกครบ

7-1 ก า ร ด ล แ ล ะโมเมนตม__________________________________________

พจารณาอนภาคมวล m กำาลงเคลอนทเปนเสนตรง มแรง F คงท ก ร ะ ท ำา ก บ อ น ภ า ค ใ น แ น วการเคลอนท v0 คอ ความเรวเรมตน

ดงนน ความเรว ณ เวลาใด ๆ v = vo + at

คณสมการทงสองขางดวย m และแทน ma ดวย F ผลกคอmv = mv0 + Ft

จดรปใหม mv - mv0 = Ft................... (7-1)สมการขวาเปนผลคณของแรงกบเวลา มชอเรยกวา การดล แทน

ดวยสญลกษณ J และแรงททำาใหเกดการดลเราเรยกวา “แรงดล”แรงดลขนาดคงท F กระทำากบมวลในชวงเวลา t1 ถง t2 จะได การดล = J = F(t2 - t1)................... (7-2)สมการขางซายของ (7-1) คอผลตางของมวลคณกบความเรว

เรยกปรมาณใหมนวา โมเมนตม บางครงเรยกวา โมเมนตมเชงเสน แตกตางจากโมเมนตมเชงมม ซงจะอธบายตอไปในภายหลง ใหใชสญลกษณ P แทนโมเมนตมเชงเสน

โมเมนตม = P = mv................... (7-3)

แปลความหมายสมการ (7-1) ไดวา การดลคอการเปลยนแปลงโมเมนตม ให v1 เปนความเรวของอนภาค ท t = t1 และ v2 คอความเรว ท t = t2 ดงนน

F (t2 - t1) = mv2 - mv1.................... (7-4)

ฟสกสราชมงคล

152

โมเมนตมขนอยกบการเคลอนทของอนภาค สวนการดลเกยวกบแรงทกระทำาในชวงเวลาหนง ดงนน สมการ (7-4) เปนความสมพนธระหวางแรงกบการเคลอนท จากกฎขอทสองของนวตน

F = ma =

การดลและโมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร เขยนอยในรปของเวกเตอรไดดงน

การดล = J = F (t2 - t1).................... (7-5)

โมเมนตม = P = mv.................... (7-6)

เขยนสมการ (7-4) ใหมในรปของเวกเตอร F (t2 - t1) = mv2 - mv1................... (7-7)

การเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงเสน มลกษณะคลายกบการเปลยนแปลงของงาน พลงงานจลนและพลงงานศกย ดงทไดอธบายจากบททแลว แตกมความแตกตางอย อยางแรก การดล เปนผลคณของแรงกบเวลา ขณะทงานคอผลคณของแรงกบระยะทางตามแนวแรง อยางทสอง การดลและโมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร แตงานและพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร

ตวอยาง 7-1 กลองมวล 2 kg เคลอนทไปบนแกน x ดวยความเรวเร มต น 3 ms-1 ม แ ร ง F = -6 N (ทศ -x) กระทำากบกลองเปนเวลา 3 วนาท จงหาความเรวสดทายหลกการคำานวณ

จากสมการ (7-4) (-6 N)(3 s) = (2 kg)(v2) - (2 kg)

(3 ms-1) v2 = -6 ms-1

เครองหมายลบ แสดงวาอนภาคกำาลงเคลอนทอยบนแกน -xหนวยของการดลคอ 1 นวตนวนาท (1 Ns)หนวยของโมเมนตมคอ 1 กโลกรมเมตรตอวนาท (1 kg ms-1)

ฟสกสราชมงคล

153

1 kgms-1 = (1 kgms-2)s = 1 Nsขอสงเกต หนวยของโมเมนตมกบการดลจะเหมอนกน

เราพงจะอธบายการดลในกรณทแรงคงท แตถากรณทแรงไมคงท จ ะ เ ข ย น ส ม ก า ร ใ น อ กรปแบบหนง

พจารณามวล m ถกกระทำาดวยแรง F ทไมคงท เคลอนทบนระนาบ xy จ า ก ก ฎ ข อ ท ส อ ง ข อ งนวตน

F = ma = หรอ Fdt = mdvถา v1 เปนความเรวของอนภาค ท t = t1 และ v2 คอความเรว ท

t = t2 ดงนน

=

................... (7-8)อนทกรลของสมการขางซายคอการดล J ของแรง F ในชวงเวลา

t1 ถง t2

การดล = J =

เราสามารถหาผลของการอนทกรลได ถาทราบฟงกชนของ F กบเวลาเปนอยางไร

อนทกรลสมการทางขวาของสมการ (7-8)

= = m (v2 -

v1)

แทนลงไปในสมการ (7-8) จะได

= mv2 - mv1

................... (7-9)

ฟสกสราชมงคล

154

รป 7-1 พนทสเหลยมเลกแรเงา คอการเปลยนโมเมนตมในชวงเวลา tถาแรง F คงท ใชสมการ (7-7) ได แตถาแรง F ไมคงท เราก

สามารถหาคาเฉลยของ F กอน แลวคอยคณกบเวลา ดงน Fav (t2 - t1) ซงกคอพนทใตกราฟ รป 7-1 ดงสมการ

Fav (t2 - t1) = J = mv2 - mv1 ................... (7-10)จากสมการ (7-9) ถาแรงและความเรวกระทำาอยบนระนาบ xy ก

ส า ม า ร ถ เ ข ย น อ ย ใ น ร ป ข อ งสมการสเกลารแตละแกนไดดงน

= mv2x - mv1x

= mv2y - mv1y

คอพนทใตเสนกราฟ จาก t1 ถง t2 ซงกคอการดลจาก t1

ถง t2 นนเองถาการดลมเครองหมายเปนบวก แสดงใหเหนวาโมเมนตมกำาลงเพม

ข น แ ต ถ า ก า ร ด ล ม เครองหมายเปนลบ แสดงใหเหนวาโมเมนตมกำาลงลดลง และถาการดลเปนศ น ย แ ส ด ง ว า ไ ม ม ก า รเปลยนแปลงโมเมนตม

ฟสกสราชมงคล

155

……………

ตวอยาง 7-2

รป 7-2 การดล คอพนทใตกราฟระหวางแรงดลกบเวลาจงอธบายการดลและการเปลยนแปลงของโมเมนตมดวยแรงตาง ๆ

เหลาน (ถาพนไมมแรงเสยดทาน) มวลไดรบแรงกระทำาดงนก) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ดงรป 7-2aข) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนนเปลยนทศทาง

ของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 2s ดงรป 7-2bค) 10 N เปนเวลา 2 s ไปทางขวา ตอจากนนเปลยนทศทาง

ของแรงไปทางซาย 20 N เปนเวลา 1s ดงรป 7-2cหลกการคำานวณ

ก) การดลจากกราฟรป 7-2a คอ (10 N)(2 s) = + 20 Ns

การดลมเครองหมายเปนบวกแสดงวาโมเมนตมกำาลงเพมขน 20 kgms-1

สมมตใหมวลมขนาด 2 kg เร มจากหยดนง ความเรวสดทายคำานวณไดเทากบ 10 ms-1 มทศไปทางขวา

กรณแรก ถาเรมตนมวลมความเรว 5 ms-1 ไปทางขวา แสดงวามโมเมนตมเร มตนอยแลวเทากบ 10 kgms-1 โมเมนตมสดทายคำานวณไดเทากบ 30 kgms-1 หาความเรวสดทายไดเทากบ 15 ms-1 ไปทางขวา

กรณทสอง ถาเรมตนมวลมความเรว 5 ms-1 ไปทางซาย แสดงวามโมเมนตมเร มตนอยแล ว เทาก บ -10 kgms-1 โมเมนตมสดทายค ำา น ว ณ ไ ด เ ท า ก บ 10 kgms-1 ห า ค ว า ม เ ร ว ส ด ท า ย ไ ด เ ท า ก บ 5 ms-1 ไปทางขวาขอสงเกต สำาหรบกรณทสองเรมตนมวลเคลอนทไปทางซาย สดทายมวลกลบทศทางไปทางขวา เนองมาจากแรงคงท 10 N มทศตานการเคลอนท

ฟสกสราชมงคล

156

ข) การดลจากกราฟ รป 7-2 b คอ(10 N)(2 s) - (20 N)( 2 s) = - 20 Ns

การดลมเคร องหมายเปนลบ แสดงวาโมเมนตมลดลง 20 kgms-1

ค) การดลจากกราฟ รป 7-2 c คอ (10 N)(2 s) - (20 N)( 1 s) = 0

การดลเปนศนยแสดงวาโมเมนตมรวมของมวลไมมการเปลยนแปลง จ า ก ก ร า ฟ โ ม เ ม น ต มเพมขน 2 วนาทแรก และจะลดลงดวยขนาดทเทากนใน 1 วนาทหลง

ตวอยาง 7-3

รป 7-3 การดลคอพนทใตกราฟระหวางแรงดลกบเวลา

ลกบอลมวล 0.40 kg ถกขวางไปทางซายดวยความเรวในแนวระดบ 30 ms-1 กระทบกบกำาแพงสะทอนกลบมาทางขวาดวยความเรว 20 ms-1

จงหาแรงดลทกำาแพงกระทำากบลกบอล ถาลกบอลสมผสกบกำาแพงเปนเวลา 0.010 s

หลกการคำานวณโมเมนตมเรมตนของลกบอลเทากบ (0.40 kg)(-30 ms-1) = -

12 kgms-1

โมเมนตมสดทายเทากบ 8.0 kgms-1

ดงนน การเปลยนโมเมนตม mv2 - mv1 = 8.0 kgms-1 - (-12 kgms-1)

ฟสกสราชมงคล

157

= 20 kgms-1 = การดล

การดลมเครองหมายเปนบวก แสดงวา แรงดลกมเครองหมายเปนบวกมทศไปทางขวา ลกษณะของกราฟรป 7-3 ทง a, b และ c แรงดลเปนศนยกอนกระทบ ตอมาแรงดลจะสงสดและลดลงเปนศนยอกครง หลงสะทอนจากกำาแพง ในกรณทลกบอลคอนขางแขง เพราะสบลมเขาไปมาก เวลาของการชนจะสน แรงดลจะพงขนไปสง ดงกราฟรป (a) แตถาลกบอลคอนขางนม เวลาของการชนจะมากขน ดงกราฟรป (b) อยางไรกตามไมวาจะเปนกรณใด พนทใตกราฟจะเทากบ 20 Ns ทกกราฟ

ถาลกบอลสมผสกบกำาแพงเปนเวลา 0.010 s จากสมการ (7-10) Fav (0.010 s) = 20 Ns Fav = 2,000 Nแรงเฉลย (Fav) สามารถแสดงไดดวยเสนขนาน ดงรป (c)

ตวอยาง 7-4 จากตวอยาง 7-3 ใหลกบอลมความเรวเร มตนไปทางซาย 30 ms-1 หลงกระทบกบกำาแพง ความเรวเปลยนไปทางขวาทำามม 45o กบระดบเทากบ 30 ms-1 จงหาแรงดลและแรงเฉลย ถาลกบอลสมผสกบกำาแพงเปนเวลา 0.010 sหลกการคำานวณ

เนองจากความเรวกอนกระทบและหลงกระทบกำาแพงไมไดอยในทศทางเดยวกน เวลาคำานวณการเปลยนโมเมนตมและการดลจะตองแยกเปนแกน x และ y อสระจากกน ดงนน

ใหแกน x เปนแกนทอยในแนวระดบ ไปทางขวาเปนบวก และไปทางซายเปนลบ และใหแกน y เปนแกนทอยในแนวดง ขนเปนบวก และลงเปนลบ

v1x = -30 ms-1 , v1y = 0 v2x = v2y = (0.707)(30 ms-1) = 21.2 ms-1

เขยนโดยมเวกเตอร 1 หนวยกำากบv1 = (-30 ms-1) i ,v2 = (21.2 ms-1) i + (21.2 ms-1) j

การดลบนแกน x คอการเปลยนโมเมนตมบนแกน x ; สวนบนแกน y กคดแบบเดยวกน

Jx = m (v2x - v1x)

ฟสกสราชมงคล

158

= (0.4 kg)[21.2 ms-1 - (-30 ms-1)]= 20.5 kgms-1

Jy = m (v2y - v1y)= (0.4 kg)[21.2 ms-1 - 0 ms-1]= 8.48 kgms-1

เขยนรวมไดJ = (20.5 kgms-1)i + (8.48 kgms-

1)j

แรงเฉลยแยกเปนแกน x และ y ไดดงน

Fx = = 2,050 N , Fy

= = 848 N

เขยนรวมไดFav = (2,050 N)i + (848 N)j

ขนาดและทศทางของแรงเฉลย คอFav =

= 2,218 N = tan-1

= 22.5o

รป 7-4 ถายภาพดวยการใชเทคนคพเศษ โดยการใหสญญาณไฟแฟลซสมำาเสมอ เปดหนากลอง

ฟสกสราชมงคล

159

บนทกภาพลงบนฟลม เปนภาพของลกบอลขณะสมผสกบไมแรกเกตเปนเวลา 0.01 s

7-2 ก ฎ ก า ร ค ง ต ว ข อ งโมเมนตม______________________________________

ขณะทวตถ 2 อน เคลอนทเขาชนกน วตถอนแรกมแรงกระทำากบวตถอนทสอง ตามกฎขอท 2 ของนวตน จะเกดการเปลยนโมเมนตมและการด ล แ ล ะ จ า ก ก ฎ ข อ ท 3 ว ต ถ อ น ท ส อ ง ก จ ะ ม แ ร ง ป ฏ ก ร ย า ท เทากนกระทำาตอวตถอนแรก

ใหโมเมนตมรวมของระบบเปน P ดงนน P = mv1 + mv2 + mv3 + .... = P1 + P2

+ ... .............(7-12)

ถาโมเมนตมรวมของระบบคงท แสดงวาในระบบมโมเมนตมยอยหนงเพมขน กตองมโมเมนตมยอยอกอนหนงลดลง เพอใหผลรวมโมเมนตมของระบบคงทนนเอง

ฟสกสราชมงคล

160

การทดลอง

  การทดลองเสมอนจรงเรองการดลและโมเมนตม กดท รป หรอท

แรงทกระทำาอยภายในระบบ (ดงตวอยางบนประกอบขนดวยมวล 2 อนเคลอนทเขาชนกน) เรยกวา แรงภายใน สวนแรงจากภายนอกทกระทำากบระบบเรยกวา แรงภายนอก ถาไมมแรงภายนอกกระทำากบระบบ ระบบนนเรยกวา ระบบอสระ สามารถใชกฎการคงตวของโมเมนตมได ดงนน สามารถสรปไดวา โมเมนตมของระบบอสระจะคงทหรออนรกษ

กระนน ถามแรงภายนอกกระทำากบระบบ แตถาแรงสทธเปนศนย โ ม เ ม น ต ม ร ว ม ย ง ค ง ท สวนแรงภายในแมจะมผลเปลยนโมเมนตมยอยภายในระบบ แตเมอรวมทงระบบแลว โมเมนตมคงท

ขอสงเกต แมแรงภายในจะไมอนรกษ กฎการคงตวของโมเมนตมยงค ง ใ ช ไ ด เ ห ม อ น ก บ แ ร ง อนรกษ

ตวอยาง 7-5 มวล A และมวล B เคลอนทเขาชนกนบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน แรงลพธสทธทงแนวดงและแนวระดบมคาเทากบศนย ดงนน โมเมนตมรวมของระบบคงท กำาหนดใหหลงจากมวลทงสองชนกนแลว มวล B เคลอนทดวยความเรว + 2 ms-1 มวล A มความเรวเปนเทาไรหลงชน

รป 7-5 แผนภาพโมเมนตมของตวอยาง 7-5

หลกการคำานวณกำาหนดใหความเรวหลงชนของ A แทนดวยตวแปร vA2

เนองจากโมเมนตมรวมของระบบคงท โมเมนตมรวมกอนชน =

โมเมนตมรวมหลงชน (5.0 kg)(2 ms-1) + (3.0 kg)(-2 ms-1) = (5.0 kg) vA2 + (3.00 kg)(2 ms-1)

ฟสกสราชมงคล

161

แกสมการ จะได vA2 = - 0.4 ms-1

เครองหมายลบแสดงวา มวล A หลงชนเคลอนทไปทางซายดวยความเรว 0.4 ms-1

ตวอยาง 7-6 ลกเหลก 2 ลกเคลอนทเขาชนกนบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน กำาหนดใหลกเหลก A มมวล 5 kg เคลอนทดวยความเรวตน vA1

= 2 ms-1 บนแกน x ชนกบลกเหลก B มวล 3 kg หยดนงอยกบท หลงจากการชน ความเรวสดทาย vA2 = 1 ms-1 ทำามม = 30o กบแกน x ความเรวสดทายของ B จะเปนเทาไร

รป 7-6 แผนภาพโมเมนตมของตวอยาง 7-6

หลกการคำานวณลกษณะการชนเกดขนบนระนาบ ดงนน เวลาคำานวณการเปลยน

โมเมนตมจะตองแยกเปนแกน x และ y อสระจากกนเนองจากโมเมนตมรวมของระบบคงทสำาหรบบนแกน x จะไดโมเมนตมกอนชนบนแกน x = โมเมนตมหลงชนบน

แกน x(5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1

ms-1) (cos 30o )+ (3 kg) vB2xแกสมการ จะได

vB2x = 1.9 ms-1

สำาหรบแกน y จะได

ฟสกสราชมงคล

162

(5 kg)(0) + (3 kg)(0) = (5 kg)(1 ms-1)(sin 30o) + (3 kg) vB2y

แกสมการ จะได vB2y = -0.83 ms-1

ขนาดและทศทางของ vB2 หาไดจาก vB2 =

= 2.07 ms-1

มม วดจากแกน x หาไดจาก = tan-1

= - 24o

เครองหมายลบ แสดงวาวดตามเขมจากแกน x

7-3 ก า รชน______________________________________________________

รป 7-7 มวล A ตดกบสปรงเคลอนทเขาชนกบมวล B บนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน

หลกการคงตวของโมเมนตมแตเพยงอยางเดยวไมสามารถใหรายละเอยดของการชนไดทงหมด ตวอยางเชน มวล mA และ mB มความเรวเรมตน vA1 และ vB1 เคลอนทเขาชนกน หลงจากชนกนแลวความเรวสดทายเปน VA2 และ VB2 เนองจากไมมแรงภายนอกกระทำากบระบบ ดงนน โมเมนตมรวมของระบบคงท

mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2

................... (7-13)

เราทราบแตความเรวเรมตน vA1 และ vB1 แตความเรวสดทาย vA2

แ ล ะ vB2 ไ ม ท ร า บ ค า

ฟสกสราชมงคล

163

แตมเพยงสมการ (7-13) เพยงสมการเดยว ไมสามารถหาคาของตวแปรทง 2 ไ ด เ พ ร า ะ จ ำา น ว น ส ม ก า รไมเทากบตวแปร จงไมสามารถหาได

อยางไรก ตามถาระหวางการชนแรงทเก ดข นเป นแรงอนรกษ พลงงานจลนของระบบทงกอนชนและหลงชนจะคงท การชนลกษณะนเรยกวา การชนแบบยดหยน บางทกเตมใหยดยาวเพอใหชดเจนขนวา การชนแบบยดหยนสมบรณ ตวอยางเชน การชนของลกบอลทสบลมคอนขางแขง หรอลกบลเลยด อนโลมไดวาเปนการชนแบบยดหยน หรอการชนของรป 7-7 กอนโลมไดเชนเดยวกน ลกษณะการชนสามารถอธบายไดดงน มวล A กบมวล B เคลอนทเขาชนกน สปรงจะถกกดอดอยระหวางกลาง พลงงานจลนเปลยนรปไปเปนพลงงานศกยยดหยนทงหมด เมอสปรงถกกดอดจนเตมทสปรงจะขยายตวดนมวลทงสองออกมา เปลยนรปกลบไปเปนพลงงานจลน เหมอนกบกอนชน พลงงานไมมการสญเสย จงเปนการชนแบบยดหยน แตถาพลงงานจนลหลงชนนอยกวากอนชน เรยกวา การชนแบบไมยดหยน เชน หลงจากชนแลว มวล A และ B ตดไปดวยกน การชนลกษณะนพลงงานจะสญเสยไปในรปของความรอน

7-4 ก า ร ช น แ บ บ ไ ม ยดหยน________________________________________

หวขอนจะพจารณากรณเฉพาะ เมอมวล A เคลอนทเขาชนมวล B ท ห ย ด น ง ห ล ง จ า ก ช นแลวมวลทสองเคลอนทตดไปดวยกน ความเรวสดทายหลงชนจะเทากน

vA2 = vB2 = v2

จากสมการ 7-13 จะได

mAvA1 + mBvB1 = (mA + mB) v2.................... (7-14)

ถาทราบความเรวตนของ A และ B กสามารถคำานวณความเรวปลายได

ฟสกสราชมงคล

164

การชนแบบไมยดหยน พลงงานจลนหลงชนจะนอยกวากอนชน จากสมการ (7-14) จะได

v2 = .................... (7-15)

ให K1 และ K2 เปนพลงงานจลนกอนและหลงชนตามลำาดบ

K1 =

K2 =

อตราสวนพลงงานจลนกอนและหลงชน คอ

= .................... (7-16)

อตราสวนนจะนอยกวา 1 เสมอ

ตวอยาง 7-7 จากรป 7-5 ถามวลทงสองตดไปดวยกนหลงการชนหลกการคำานวณ

จากกฎการคงตวของโมเมนตม (5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(-2 ms-1) = (5 kg

+ 3 kg)(v2) ;จะได v2 = 0.5 ms-1

v2 มเครองหมายเปนบวก แสดงวา มวลทงสองเคลอนทไปทางขวาหลงจากชน

พลงงานจลนของ A กอนชนคอ = (5 kg)(2 ms-1)2 = 10 J

พลงงานจลนของ B กอนชนคอ = (3 kg)(-2 ms-1)2 = 6 J

พลงงานจลนรวมกอนชน คอ 16 J

ฟสกสราชมงคล

165

ขอสงเกต พลงงานจลนของ B เปนบวก แมวา vB1 และ mvB1 จะเปนลบทงค

พลงงานจลนรวมหลงชน คอ

= (5 kg + 3 kg)(0.5 ms-1)2

= 1 Jพลงงานจลนรวมหลงชนเปน เทาของพลงงานจลนกอนชน

เพราะฉะนน เทาของพลงงานจลนกอนชนจะสญเสยไปกบการชน พลงงาน

สวนนไมไดหายไปไหน แตเปลยนรปไปเปนพลงงานความรอน ถามวล A ตดสปรงไว ดงรป 7-7 หลงจากชนแลวมวล A และ B ตดไปดวยกน พลงงานทหายไปนไมไดหายไปไหนจะไปสะสมเปนพลงงานศกยยดหยนอยในสปรงขอสงเกต สำาหรบระบบอสระไมวาจะเปนการชนแบบไมยดหยนหรอยดหยนก ต า ม โ ม เ ม น ต ม ยงคงอนรกษเสมอ

ตวอยาง 7-8 ยงกระสนฝ ง เข า ไปใน Ballistic pendulum อปกรณนมไวสำาหรบวดความเรวของลกปน หลงจากถกยงแลว Pendulum จะแกวงขนไปเปนระยะ y

รป 7-8

ฟสกสราชมงคล

166

เพนดลมทำาดวยไม มวล M แขวนดวยเชอก 2 เสนในแนวดง ถกยงดวยลกกระสนมวล m ความเรว v ฝงเขาไปในเนอไม ถาไมมแรงภายนอกกระทำากบระบบ โมเมนตมรวมคงท

ให V แทนความเรวของเพนดลมและลกปนหลงถกยง, และ v แทนความเรวของลกปน

mv = (m + M)V, v =

พลงงานจลนของระบบหลงถกยง คอ K = (m + M)V2

เพนดลมแกวงขนไปเปนระยะ y จงหยด พลงงานจลนทงหมดจะถกเปลยนไปเปนพลงงานศกยโนมถวง ดงน

(m + M) V2 = (m + M) gy,V =

แทนลงไปในสมการบนจะได v =ถาทราบคา m, M และ y เรากคำานวณหาความเรวของกระสน v ไดสมมตให m = 5.00 g = 0.00500 kg, M = 2.00

kg และ y = 3.00 cm = 0.0300 m จะได V =

= 0.767 ms-1

v =

v = 307 m/sพลงงานจลนกอนยง คอ (0.00500 kg)(307 ms-1)2 =

236 Jพลงงานจลนหลงยง คอ (2.005 kg)(0.767 ms-1)2 =

0.589 Jพลงงานเกอบทงหมดสญเสยไปกบความรอน ทำาใหอณหภมของเพนดลมรอนขนหลงจากถกยง

ฟสกสราชมงคล

167

7-5 ก า ร ช น แ บ บยดหยน__________________________________________

การชนแบบยดหยนระหวางมวล A และ Bทงพลงงานจลนและโมเมนตมจะอนรกษ ดงนนจะได

=

และ mAvA1 + mB vB1 = mAvA2 + mB vB2

ถาทราบมวล และความเรวตนของมวลทงสอง กใชสมการบนห า ค ว า ม เ ร ว ส ด ท า ย ข อ ง ม ว ลทงสองได สมมตให mB เรมตนหยดนง และให v เปนความเรวเรมตนของ mA

vA และ vB เปนความเรวสดทายของมวลทงสอง จากกฎการคงตวของพลงงานกบโมเมนตม

mAv2 = ................... (7-17)

และ mAv = mAvA + mBvB

................... (7-18)

ถาทราบมวล และความเรวตน v กใชสมการ (7-17) และ (7-18) หาความเรว vA และ vB ไดจดสมการ (7-17) และ (7-18) ใหม จะได = = mA (v - vA)(v + vA)

.................... (7-19)

และ mBvB = mA(v - vA) .................... (7-20)

หารสมการ (7-19) ดวยสมการ (7-20) จะได

vB = v + vA.................... (7-21)

ฟสกสราชมงคล

168

แทนกลบลงไปในสมการ (7-20) ขจดเทอม vB เพอหา v mB (v + vA) = mA (v - vA)

vA = .................... (7-22)

แทนกลบลงไปในสมการ (7-21) จะได

vB = .................... (7-23)

วเคราะหสมการ ให A เปนลกปงปอง และ B เปนลกโบวลง เนองจากมวลของลกปงปองคอนขางนอยเมอเทยบกบลกโบวล ง จากสมการ (7-22) mA

<< mB ; vA = -v ลกปงปองจะสะทอนกลบดวยความเรวเกอบเทากบความเรวทวงเขาชน และจากสมการ (7-23) ความเรวของ B จะชามากเกอบเทากบศนย

ทดลองวเคราะหดวยตนเอง โดยให A เปนลกโบวลง และ B เปนลกปงปอง

ถามวลทงสองเทากน mA = mB จากสมการ (7-22) และ (7-23) จะได vB = v และ vA = 0 คอหลงจากมวลวงเขาชนแลว มวล A จะหยดนง มวล B จะเคลอนทตอไปดวยความเรวเทากบมวล A สำาหรบนกสนกเกอร เรองเหลานจะเปนททราบกนด

สมการ (7-21) เขยนใหมไดเปน

v = vB - vA.................... (7-24)

v คอความเรวสมพทธของ A เทยบกบ B กอนชน สวน vB -vA

คอความเรวสมพทธของ B เทยบกบ A หลงจากชนแลว น าแปลกทวา ความเรวสมพทธมขนาดเทากนกอนและหลงการชน มขอแมเพยงประการเดยวเทานน คอ ตองเปนการชนแบบยดหยนสมบรณ

ตวอยาง 7-9 สมมตใหการชนตามรป 7-5 เปนการชนแบบยดหยนสมบรณ จงหาความเรวของ A และ B หลงจากชนหลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

169

จากกฎการคงตวของโมเมนตม(5 kg)(2 ms-1) + (3 kg)(-2 ms-1) = (5 kg) vA2 +

(3 kg) vB25 vA2 + 3 vB2 = 4 ms-1

เพราะเปนการชนแบบยดหยนสมบรณvB2 - vA2 = - (vB1 - vA1)

= - (-2 ms-1 - 2 ms-1) = 4 ms-1

จาก 2 สมการบนจะได vA2 = -1 ms-1 ,

vB2 = 3 ms-1

มวลทงสองจะสะทอนกลบทศทางการเคลอนท A จะเคลอนทไปทางซายดวยความเรว 1 ms-1 และ B จะเคลอนทไปทางขวา 3 ms-1

พลงงานจลนทงหมดหลงจากชน คอ

(5 kg)(-1 ms-1)2

+ (3 kg)(3 ms-1)2 = 16 J

เทากบกอนชน แสดงวาเปนการชนแบบยดหยนตวอยาง 7-10 จากรป 7-6 ให mA = 5 kg มความเรวตน 4 ms-1 ทศ +x หลงจากชนกบมวล mB = 3 kg ความเรวเหลอเปน 2 ms-1 ไมทราบทศทาง ใหการชนเปนแบบยดหยนหลกการคำานวณ

เพราะเปนการชนแบบยดหยน พลงงานจลนหลงชนเทากบกอนชน

ดงนน (5 kg)(4 ms-1)2 = (5 kg)(2 ms-1)2

+ (3 kg)

จะได vB2 = 4.47 ms1

โมเมนตมบนแกน x และ y คงท

ฟสกสราชมงคล

170

ดงนน(5 kg)(4 ms-1) = (5 kg)(2 ms-1)cos +

(3 kg)(4.47 ms-1) cos

O = (5 kg)(2 ms-1) sin - (3 kg)(4.47 ms-1) sin

แกสมการทง 2 จะได = 36.9o , = 26.6o

ถาพลงงานอนรกษการชนนนเปนแบบยดหยน แตถาพลงงานจลนล ด ล ง เ ป น ก า ร ช น แ บ บไมยดหยน แตมกรณพเศษทพลงงานจลนสดทายมากกวาพลงงานเรมตน ทเรยกวา การดด

7-6 ก า รดด____________________________________________________

ฟสกสราชมงคล

171

วดโอเพอการศกษา

ดาวหางชเมกเกอรเลว เกา  วงเขาชนดาวพฤหสในเดอน กรกฎาคม 1994   ขณะทพงเขาสแรงโนมถวงอนมหาศาลของดาวพฤหส  ดาวหางถกแรงฉกออกเปน ชนเลกชนนอย ทงหมด 23  ชน  แตละชน มเสนผาศนยกลาง 3  ถง 4  กโลเมตร และเคลอนทดวยความเรว 60  กโลเมตรตอวนาท (134,000 ไมลตอชวโมง)  มพลงงานจลน 2 x 1022  จล

รป 7-9 โมเมนตมยงคงอนรกษสำาหรบกรณของการดด

รถยนต A และ B เขาเกยรถอยหลง อดสปรงไวตรงกลางและหยดรถโดยขนเบรกมอไวใหเปนตำาแหนงเรมตน โมเมนตม = 0 รถทงคปลดเกยรวางพรอมกน สปรงจะดดรถใหพงออกดวยความเรว vA และ vB ถอวาแรงเสยดทานนอยมาก ไมมแรงสทธกระทำากบระบบ ดงนน โมเมนตมของระบบคงท

จากกฎการคงตวของโมเมนตม เราจะได

mAvA + mBvB = 0 , = ................... (7-25)

ความเรวกบมวลเปนอตราสวนกลบกน รถยนตทมขนาดเลกกวาจะดดออกไปดวยความเรวทมากกวา รถยนตทมขนาดใหญกวาจะดดออกไปดวยความเรวทนอยกวา เราสามารถประยกตการดดไปใชกบการยงปนได กอนยงปนโมเมนตมของระบบเปนศนย ขณะยงปน ลกปนจะใหโมเมนตมพงไปขางหนา และปนจะถกดนใหถอยหลง ซงกมขนาดเดยวกบโมเมนตมทไปขางหนา แตเ น อ ง เ พ ร า ะ ม ว ล ข อ ง ป น ใ ห ญ มากกวามวลของลกปน ดงนนความเรวถอยหลงของปนจะนอยกวาความเรวของลกปน

ตวอยาง 7-11 ยงลกปนมวล 5.00 g จากปนมวล 3.0 kg ดวยความเรว 300 ms-1 จงหาความเรวถบกลบ พลงงานจลนของปนและลกปนจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ

โมเมนตมของระบบกอนและหลงยงเปนศนย ดงนน

ฟสกสราชมงคล

172

0 = (0.00500 kg)(300 ms-1) + (3.00 kg) v,

v = - 0.500 ms-1

เครองหมายลบ แสดงวา ทศตรงขามกบลกปน

พลงงานจลนของลกปน คอ

K ลกปน= (0.00500 kg)(300 ms-1)2 = 225 J

พลงงานจลนของปน คอ

K ปน = (3.00 kg)(0.500 ms-1)2 = 0.375 J

จะไดอตราสวน

= = 600 =

สรปไดวา =....................(7-26)

7-7 จ ด ศ น ย ก ล า งมวล____________________________________________

จากการสงเกตการเคลอนทของระบบอนภาคใด ๆ กตาม แมระบบทมการระเบดชนดแตกกระจายออกเปนเสยง ๆ พบวามจดตวแทน ซงเปนคาเฉลยของการเคลอนทของระบบทงหมด จดตวแทนนเรยกวา จดศนยกลางมวล

สมมตวาระบบประกอบดวยอนภาค มวล m1 , m2 , m3 , ..... ให m1 อยทตำาแหนง (x1 , y1) และ m2 อยทตำาแหนง (x2 , y2) ตามลำาดบ นยามจดศนยกลางมวลแยกบนแกนพกด xy คอ

ฟสกสราชมงคล

173

X =

Y = ...................(7-27)

ความเรวของจดศนยกลางมวลบนแกน x และ y คอ vx =

และ vy = ตามลำาดบ

เขยนเปนความเรวรวมได ดงน

V =................... (7-28)

มวลทงหมดของระบบ M = m1 + m2 + m3

สมการบนเขยนไดใหมเปน

MV = m1v1 + m2v2 + m3v3 + ..... = P .................... (7-29)

ดานขวาของสมการคอโมเมนตมรวม P ซงกคอ มวลรวมคณกบความเรวของจดศนยกลางมวล สำาหรบระบบอสระทไมมแรงภายนอกมากระทำา โมเมนตมรวมจะคงท ความเรวของจดศนยกลางมวลจะคงทดวย

หาอนพนธเทยบกบเวลาของสมการ (7-29) จะไดสมการของมวลคณกบความเรงดงน

MA = m1a1 + m2a2 + m3a3 + ......................... (7-30)

m1a1 คอ แรงทกระทำาบนอนภาคตวทหนง , m2a2 คอแรงทกระทำาบนอนภาคตวทสอง และ m3a3 คอ แรงทกระทำาบนอนภาคตวทสาม ตามล ำาด บ ข างขวาของสมการบนค อมวลรวมคณก บความเรงของจดศนยกลางมวล เปนแรงสทธทงหมดทกระทำากบระบบอนภาค

ฟสกสราชมงคล

174

แรงสทธของระบบประกอบดวย แรงทกระทำาจากภายนอก + แรงจากภายใน เขยนเปนสมการไดวา F = Fนอก + F ใน จากกฎขอทสองของนวตน แรงกรยาและแรงปฏกรยาภายในของระบบอนภาคจะหกลางกนหมด ดงนน จะเหลอแตแรงทกระทำาจากภายนอกเทานน

ดงนน F นอก = MA................... (7-31)

เพราะจดศนยกลางมวลเสมอนกบเปนตวแทนของมวลทงระบบ แรงส ท ธ ท ก ร ะ ท ำา ท จ ดศนยกลางมวลจงเหมอนกบกระทำาบนมวลทงระบบ ตวอยางเชน จบประแจเลอนขวางทำามมกบแนวระดบออกไป ประแจเลอนจะหมนและเคลอนทเปลยนตำาแหนงไปพรอมกน ถาเราทราบวาจดศนยกลางมวลของประแจเลอนอยตรงไหน และสงเกตเฉพาะจดศนยกลางมวล จะเหนจดนเคลอนทเปนแนวโคงแบบโปรเจกไตล ราวกบวาเปนจดอนภาคเลก ๆ จดหนงเทานน

อกตวอยางหนง ยงลกปนใหญใหเคลอนทเปนโปรเจกไตล (ดงรป 7-10) ลกปนระเบดกลางอากาศ แตกออกเปน 2 สวน ทง 2 สวนยงคงเคลอนทเปนโปรเจกไตลตอไป กระนน ทจดศนยกลางของมวลทงสองยงคงเคลอนทแบบโปรเจกไตลตามแนวเดมเสมอนกบตอนทลกปนใหญยงไมไดระเบด

ฟสกสราชมงคล

175

รป 7-10 ลกปนใหญระเบดกลางอากาศ ชนสวนเคลอนทตอไป กระนนจดศนยกลางมวล

ยงคงเคลอนทเปนแบบโปรเจกไตลเหมอนกบตอนทยงไมไดระเบด

จดศนยกลางมวลจะชวยในการวเคราะหการเคลอนทของวตถแขงเกรง ซงจะมทงการเคลอนทแบบยายตำาแหนง และการหมน ซงจะอธบายอยางละเอยดตอไปในบทท 9

จาก MA = = ................... (7-32)สรปไดวา แรงภายนอกทกระทำากบระบบ คอ อตราการเปลยนแปลง

โมเมนตมตอหนวยเวลา

F นอก =ถา Fนอก = 0 , P = คาคงท มความหมายวา ถาไมมแรงภายนอก

โมเมนตมของระบบจะคงท

ตวอยาง 7-12 มวล 2 kg และ 3 kg กำาลงเคลอนทไปบนแกน x ณ เวลาหนง มวล 2 kg อยหางจากจดตงตน 1 m มความเรว 3 ms-1 และมวล 3 kg หางจากจดตงตน 2 m มความเรว -1 ms-1 จงหาตำาแหนงและความเรวของจดศนยกลางมวลและโมเมนตมรวมของระบบหลกการคำานวณ

จากสมการ (7-27)X =

= 1.6 mจากสมการ (7-28)

V = = 0.6 ms-1

ฟสกสราชมงคล

176

โมเมนตมรวมหาไดจากP = (2 kg)(3 ms-1) + (3 kg)(-1 ms-1)

= 3 kgms-1

หรอจะหาจากสมการ (7-29) โมเมนตมรวม = มวลรวมคณกบความเรวจดศนยกลางมวล

P = (5 kg)(0.6 ms-1)= 3 kgms-1

7-8 แ ร ง ข บ ด น ข อ งจรวด__________________________________________

เชอเพลงทถกขบดนออกมาจะผลกจรวดใหพงขนไป ยงเชอเพลงถกขบดนออกมามากเทาไหร มวลของจรวดกยงลดลงมากเทานน เปนความจรงท ว า ม ว ล ข อ ง จ ร ว ด ส ว น ใ ห ญ ค อ เ ช อ เ พ ล ง ด ง น น เ พ อ ใ ห การคำานวณงายขน ไมตองคดแรงเสยดทานของอากาศ

รป 7-11 (a) ณ เวลา t ใด ๆ ขณะทจรวดกำาลงพงขน จรวดมมวล m ความเรว v และมโมเมนตม mv (b) ณ เวลา t + dt มวลของจรวดลดลงเหลอ m - dm ความเรวเพมขนเปน v + dv จรวด มโมเมนตม (m - dm)(v + dv) สวนเชอเพลงจะมโมเมนตม = dm (v - vr) ; vr คอ ความเรวของเชอเพลงพงลงสมพทธกบจรวดมทศทางลง

ฟสกสราชมงคล

177

ณ เวลา t ใด ๆ จรวดมมวล m ความเรว v และโมเมนตม mv ในชวงเวลาสน ๆ ทเพมขน dt มวลของเชอเพลง dm ถกขบดนออกจากจรวด

กำาหนดให vr คอ ความเรวของเชอเพลงพงลงสมพทธกบจรวด และ ค อ ค ว า ม เ ร ว ข อ ง

เชอเพลงสมพทธกบโลก จะได v = v - vr โมเมนตมของเชอเพลง

dm v = dm (v - vr)

ชวงเวลาสน ๆ dt มวลของจรวดจะลดลงเหลอ m - dm ความเรวจะเพมขนเปน v + dv จรวดจะมโมเมนตม = (m - dm)(v + dv)

ดงนน โมเมนตมรวมทเวลา t + dt คอ (m - dm)(v + dv) + dm (v - vr)ถาไมคดแรงเสยดทานของอากาศ แรงภายนอกของจรวดกมเพยง

แรงเดยวเทานน คอ - mg (กำาหนดใหทศขนเปนบวกและทศลงเปนลบ ; mg มทศลงจงเปนลบ) จากสมการ (7-32)

F นอก = - mgdt = (m - dm)(v + dv) +

dm(v- vr) - mv - mgdt = mdv - dmvr – (dm)(dv)เทอม dmdv มคานอยมาก สามารถตดทงได หารแตละเทอมดวย

dt และจดเทอมใหมจะได

=................... (7-33)

คอความเรงของจรวด คณกบมวล เปนแรงสทธทกระทำากบ

จรวด ซงจะเทากบ แรงขบดนของจรวด ลบดวยนำาหนกของจรวด mg

ความเรงของจรวด = ................... (7-34)

ฟสกสราชมงคล

178

ขณะทจรวดพงสงขนเรอย ๆ คา g จะลดลงตามระดบของความสง ( อวกาศ g 0 )

คอมวลของเชอเพลง ทถกขบดนออกมาตอหนวยเวลา

จากสมการ (7-34) dv =

เนองจากมวลของจรวดลดลง dm จะตองแทนดวย - dmกำาหนดใหมวลและความเรวท t = 0 เปน m0 และ vo ดงนน

=

v - v0 = -vr n

v = v0 + vr n ................... (7-35)

ตวอยาง 7-13 วนาทแรก จรวดจะขบเช อเพลง 1/60 ของมวลทงหมด ดวยความเรวสมพทธกบจรวด = 2400 ms-1 ความเรงของจรวดจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ

ใชเชอเพลงไป dm = m/60 ในชวงเวลา dt = 1sจากสมการ(7-34)

= = 30.2 m.s-2

ตวอยาง 7-14 จากตวอยาง 7-13 อตราสวนมวลจรวดเร มตน m0

ตอมวลจรวด เมอเวลาผานไป 60 s เทากบ 4 จงหาความเรวของจรวด ณ เวลาน ถาจรวดเรมตนจากหยดนงหลกการคำานวณ

จากสมการ (7-35)

ฟสกสราชมงคล

179

v = (2,400 ms-1)( n 4) - (9.8 ms-2)(60 s)

= 2,740 ms-1

ขณะทจรวดกำาลงจะเร มเคลอนท ความเรวของจรวดเปนศนย แตความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลกเทากบ vr เมอความเรวของจรวดเพมขนเทากบ vr ความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลกจะเปนศนย และถาความเรวของจรวดเพมขนมากกวา vr ความเรวของเชอเพลงเทยบกบโลก ( v) กจะอยในทศเดยวกบการเคลอนทของจรวด ดงเชน

v = v - vr= (2,740 - 2,400) ms-1 = 340 ms-1

อยในทศทางเดยวกบจรวด ลองสงเกตการสงจรวดด จะเหนวาเชอเพลงวงตามจรวดขนไป

ฟสกสราชมงคล

180

บรรยายลงในกระดานฟสกส

วนท 10 สงหาคม ค . ศ . 1972 มลก อกกาบาตลกหนงพงผานโลก ทางฝงตะวนตกของทวปอเมรกาเหนอ เหนเปนทางสขาวพงผานทางขอบฟา สามารถ เหนไดในตอนกลางวนอยางชดเจนดงรป การเคลอนทของมนใกลโลกคอนขางมาก มโอกาสทจะพงเขาชนโลกตลอดเวลา มวลของลกอกกาบาตลกนมคาเทากบ 4,000,000 kg และมความเรว ประมาณ 15 กโลเมตรตอวนาท สมมตวา มนเปลยนทศทางพงเขาชนโลกในแนวดง

1. จงหาโมเมนตมของอนภาคมวล 3.0 kg ซงมความเรว (3i-4j) m/s [ ตอบ (9i-12j) kg.m/s ]

2. ลกปนมวล 10 g ถกยงเขาในเนอบลอกไมมวล 5 kg ทนทหลงกระทบบลอกไมทมลกปนฝงในเคลอนทไปดวยอตราเรว 0.6 m/s จงคำานวณหาอตราเรวของลกปนกอนกระทบกบบลอกไม [ ตอบ 300.6 m/s ]

3. ลกเบสบอลมวล 0.145 kg ลกหน งก ำาล งเคลอนทในทศ +y ดวยอตราเรว 1.30 m/s และลกเทนนสมวล 0.0570 kg ลกหนงกำาลงเคลอนทในทศ –y ดวยอตราเรว 7.80 m/s จงหาขนาดและทศของโมเมนตมทงหมดของระบบลกบอลสองลกน [ ตอบ 0.256 kg.m/s ทศ –y ]

4. ลกฮอกกมวล 0.160 kg กำาลงเคลอนทไปบนผวนำาแขงแนวระดบลนท t = 0 ลกฮอกกกำาลงเคลอนไปทางขวาเรว 3.00 m/s

ก) จงหาความเรวของลกฮอกก (ขนาดและทศทาง) หลงจากทแรง 25.0 N ทศไปทางขวาไดทำาตอ

ลกฮอกกนาน 0.050 s [ ตอบ 10.8 m/s ไปทางขวา ]

ฟสกสราชมงคล

181ทดสอบกอนและหลง

วธทำา ให ใสชอ  สกล  เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10  ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ  ให

เลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท

เรอง การดลและโมเมนตม 

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

แบบฝกหดเรองการดลและ

ข) ถาแรงขนาด 12.0 N ซงมทศไปทางซายทำาแทนจาก t = 0 ถง t = 0.050 s จงหาความเรว

สดทายของลกฮอกก [ ตอบ 0.75 m/s ไปทางซาย ]

.

5. คณกำาลงยนอยบนแผนนำาแขงแหงหนง มแรงเสยดทานนอยมากระหวางเทาของคณกบนำาแขง เพอนคนหนงโยนลกบอลมวล 0.400 kg ซงกำาลงเคลอนทดวยอตราเรว 10.0 m/s ใสคณ คณมมวล 70.0 kg

ก) ถาคณรบลกบอล คณและลกบอลจะเคลอนทดวยอตราเรวเทาใดหลงจากนน

[ ตอบ 5.68 x 10-2 m/s ]ข) ถาลกบอลโดนคณและกระดอนออกจากหนาอกของคณและทำาใหลกบอลเคลอนทออกไปในแนว

ระดบดวยอตราเรว 8.0 m/s ในทศตรงขาม อตราเรวของคณมคาเทาใด [ ตอบ 0.103 m/s ]

6. วตถ A ในรป มมวล 1.00 kg และวตถ B มมวล 3.00 kg วตถทงสองถกดนเขาหากนโดยการอดสปรง S ระหวางวตถทงสอง หลงจากนนกปลอยระบบจากหยดนงบนผวลนแนวระดบ สปรงซงมมวลนอยมากไมไดถกยดไวกบวตถใดและตกลงบนพนหลงจากทขยายตวออก วตถ B มอตราเรว 1.20 m/s หลงจากนน

ก) อตราเรวสดทายของ A มคาเทาใด [ ตอบ 3.60 m/s ]ข) พลงงานศกยทสะสมอยในสปรงมคาเทาใด [ ตอบ 8.64 J ]

7. นายเคนและนางสาวคมกำาลงสเกตไปดวยกนบนลานสเกตทอตราเรว 3.00 m/s นายเคนถามนางสาวคม อยนนแหละวาเธอหนกเทาไหร นางสาวคมร ำาคาญมากกเลยผลกตวจากนายเคน ทำาใหเธอมอตราเรวเปน

ฟสกสราชมงคล

182

4.00 m/s และเขามอตราเรวลดลงเปน 2.25 m/s ในทศเดยวกน แรงเสยดทานมขนาดนอยมากถานายเคนหนก 700 N นางสาวคมหนกเทาใด [ ตอบ 525 N ]

8. ระบบอนภาคกอนหนงตงอยในสภาพนง ในทนใด เกดระเบดออกเปนสามสวน คอ A B และ C ซงมมวลเปน 3 kg, 2 kg และ 1 kg ตามลำาดบ ถาหลงจากการระเบด A มความเรว ( 3.0 m/s ) i และ B มความเรว ( -1.0 m/s ) j จงหาความเรวของ C หลงจากการระเบด [ ตอบ ( - 9i +2j ) m/s ]

9. เมอวตถมวล 3 kg มความเรว (5 m/s) i ชนกบวตถมวล 2 kg ซงมความเรว ( - 3 m/s) j จงหาความ เรวหลงชนของมวลทงสองถาการชนครงนเปนแบบไมยดหยนอยางสมบรณ [ ตอบ (3i-1.1j) kg.m/s ]

10. คณอยทศนยควบคมเครองเรงอนภาคและกำาลงสงลำาโปรตอนอตราเรว 1.50 x 107 m/s (มวล m) ไปยงเปากาซของธาตทไมรชนด เคร องตรวจจบของคณบอกวาโปรตอนบางอนภาคกระดอนยอนกลบทางเดมหลงชนกบนวเคลยสของธาตทไมรชนดน โปรตอนเหลานกระดอนกลบดวยอตราเรว 1.20 x 107 m/s สมมตวาอตราเรวเดมของนวเคลยสทเปนเปามขนาดนอยมากและการชนเปนแบบยดหยน

ก) จงหามวลของนวเคลยสของธาตทไมรชนดนหนงอนภาค ใหตอบในรปของมวลโปรตอน m [ตอบ

9.00 m ]ข) อตราเรวทนทหลงการชนของนวเคลยสทไมรชนดนมคาเทาใด [

ตอบ 3.00 x 106 m/s ] 11. โครงแขวนมวล 0.150 kg อนหนงเมอแขวนจากขดสปรงขดหนงทำาให

สปรงขดนนยดออก 0.050 m ปลอยกอนดนนำามนมวล 0.200 kg กอนหนงจากหยดนงจากทสง 30.0 cm ลงมาบนโครง จงหาวาโครงยดลงมามากทสดจากตำาแหนงเดมเทาใด [ ตอบ 23.2 cm ]

ฟสกสราชมงคล

183

12. อนภาคโปรตอนมวล 1.66 x 10-27 kg พงชนโดยตรงกบอะตอมฮเลยมมวล 6.64 x 10-27 kg ซงอยนง ทำาใหอะตอมฮเลยมเคลอนทดวยความเรว 5 x 105 m/s จงหา

ก) ความเรวของโปรตอนกอนและหลงชน [ ตอบ 1.25 x 106 m/s, -7.5 x 105 m/s ]

ข) พลงงานทถายโอนใหกบอะตอมฮเลยมคดเปนรอยละ [ ตอบ 64% ]

13. ลกปนมวล 12 กรม ถกยงฝงอยในทอนไมมวล 100 กรม ซงอยนงบนพนระนาบทำาใหท อนไมไถลไป 7.5 m กอนทจะหยดเคลอนท ถ าสมประสทธความตานทานระหวางผวสมผสเปน 0.65 จงหาอตราเรวของลกปนในทนททนใดกอนชน [ ตอบ 91.2 m/s ]

14. ลกบลเลยดเคลอนทดวยความเรว 5 m/s พงเขาชนลกบลเลยดอกลกหนงซงมมวลเทากนแตอยนงกบท ทำาใหลกแรกเคลอนทดวยความเรว 4.33 m/s เปนมม 30 องศา กบแนวการเคลอนทเดม จงหาขนาดและทศทางของความเรวสำาหรบลกทสองซงถกชน โดยไมคำานงถงแรงเสยดทานใดๆ และการหมนของลกบลเลยด [ ตอบ 2.5 m/s ทำามม -60 องศา ]

15. ถาเครองยนตของจรวดเผาผลาญเชอเพลงในอตรา 80 kg/s และพนแกสออกมาดวยอตราเรว 2.5 km/s จงหาแรงผลกดนทเกดจากการพนเชอเพลงออกทางดานหลงของจรวด [ ตอบ 200 kN ]

ฟสกสราชมงคล

184