conduongcoxua.files.wordpress.com · Web viewA. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề: - Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung và mục tiêu tầm quan trọng

www.huongdanvn.comSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ”

A. MỞ ĐẦUI. Đặt vấn đề:

- Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung và mục tiêu tầm quan trọng của môn Toán nói riêng.

- Giáo dục phổ thông nhằm giáo dục học sinh phát triển toàn diện, không những nâng cao hiểu biết về kiến thức văn hoá mà phát huy năng khiếu khác.

- Xuất phát từ yêu cầu của việc đổi mới phương pháp là phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh. Có như vậy các em mới có điều kiện khắc phục khó khăn tiếp nhận kiến thức mới.

- Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh là lứa tuổi nhạy cảm hiếu động ham chơi. Nếu giáo viên gây được hứng thú trong bài dạy sẽ tạo cho học sinh sự phấn chấn, hào hứng để tiêp thu bài học một cách có hiệu quả.

- Từ thực tiễn giảng dạy cũng như thực tiễn của học sinh nông thôn ít có điều kiện để tiếp nhận tri thức. Nếu giáo viên tạo được hưng thú trong giảng dạy và học tập sẽ giúp cho học sinh say mê học tập.

Từ những lý do nói trên, bản thân tôi nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán là một trong những giải pháp hết sức quan trọng trong việc nâng cao chất lượng trong việc dạy và học. Vì vậy nó là động lực giúp tôi đi sâu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm này. Trong quá trình thực hiện tôi đã hiểu được phần nào khó khăn chung của học sinh nông thôn và những hoàn cảnh mà chúng ta cần chung tay để khắc phục.1. Thực trạng vấn đề.a. Thực trạng chung.*Ảnh hưởng của sự phát triển xã hội theo cơ chế thị trường :

- Xã hội phát triển là điêù đáng mừng, nhưng khi phát triển theo cơ chế thị trường nó kéo theo một bộ phận không lành mạnh khác như dịch vụ giải trí không lành mạnh, phim ảnh bạo lực, tình cảm lứa đôi quá trớn …

- Hiện nay, do sự quản lí không chặt chẽ của nhà nước, các dịch vụ bida, internet, karaokê … được tổ chức gần trường học, lôi cuốn, hấp dẫn các em vào các trò chơi vô bổ. Các em lao vào các trò chơi đó dẫn đến bỏ giờ trốn học và những vi phạm khác. Đồng thời các kênh truyền hình chiếu một số bộ phim có mang những hình ảnh bạo lực làm cho các em dễ dàng bắt chước. Ngoài ra những tụ điểm ăn chơi hàng ngày nhan nhãn, đập vào mắt các em làm cho các em không tự chủ, tham gia không có ý thức dần dần tiêm nhiễm dẫn đến việc học sa sút.*Ảnh hưởng của môi trường giáo dục gia đình:

- Thời gian HS học tập, sinh hoạt ở nhà trường chỉ từ 4-5 giờ trong ngày, việc sinh hoạt học tập đều có sự quản lí hướng dẫn của GVCN, GVBM, cán bộ lớp, nhà trường, đó là điều kiện để các em học tập tốt và rèn luyện nhân cách. Nhưng phần lớn thời gian các em sinh hoạt ở gia đình: tự học, lao động, vui chơi. Với thời gian đó đối với hầu hết HS đều có thời khóa biểu học tập ở nhà, ý thức được việc học tập ở nhà là thời gian giúp các em ghi nhớ lại bài cũ, luyện tập và nghiên cứu bài mới, chuẩn bị cho

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 1


ngày học hôm sau, đồng thời tham gia giúp đỡ công việc gia đình. Đó là những HS thực sự tự giác trong học tập và được sự quản lí giáo dục của gia đình.

- Nếu các em chưa ý thức được việc học tập, đồng thời gia đình không quan tâm và không tạo điều kiện cho các em học tập thì việc học tập các em không đến nơi đến chốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, các em học tập yếu, thua sút bạn bè. *Gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn:

- Từ những khó khăn về đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, không quan tâm đến việc học tập của con em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc con cái phải lao động, làm cho các em không có thời gian học tập ở nhà như soạn bài, học bài cũ, do đó khi đến lớp việc tiếp thu bài mới rất khó khăn, không làm được bài kiểm tra, lo lắng sợ sệt khi thầy cô giáo kiểm tra bài cũ . . .*Gia đình chỉ lo làm ăn, không quan tâm đến việc học của con cái:

- Nhiều gia đình vì kế sinh nhai, cả vợ chồng đều đi làm ăn xa, phó mặc con cái cho ông bà hoặc chị em chăm sóc lẫn nhau, một số HS chưa tự giác và thiếu sự quản lí chặt chẽ của người lớn nên nảy sinh những tư tưởng không lành mạnh.

- Có gia đình tuy không khó khăn về kinh tế nhưng có tham vọng làm giàu, bỏ mặc con cái, không quan tâm đến việc học tập của con cái kể cả những thói hư tật xấu của con cái, cha mẹ cũng không biết để răn dạy.*Gia đình có cha mẹ bất hòa, không có hạnh phúc:

- Lứa tuổi các em rất nhạy cảm, những cuộc cải vả của cha mẹ, sự to tiếng quát nạt, bạo lực của người cha làm cho các em dần dần bị ảnh hưởng, từ đó nẩy sinh những việc làm không lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà đi chơi không thíêt tha đến việc học.b. Thực trạng cụ thể.

Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy khi gặp các dạng bài tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lúng túng. Qua đó tôi thấy được phần lớn học sinh mắc phải một số sai lầm như sau:*Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp bài toán:*Ví dụ 1:

- Phân tích đa thức x2 – 4 + y2 + 2xy thành nhân tửSai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu vì cho rằng có dạng hằng đẳng thức A2 – B2 và nhóm hai hạng tử cuối vì cho rằng nhân tử chung là y

Học sinh thực hiện: x2 – 4 + y2 + 2xy = (x2 – 4) + (y2 + 2xy)

= (x + 2)(x - 2) + y(y + 2x) không thể thực hiện tiếpLời giải như mong muốn:

x2 – 4 + y2 + 2xy = (x2 + 2xy + y2 ) – 4 = (x + y)2 – 22 = (x + y + 2 )(x + y -2)

- Hay phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + 4 thành nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:

x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 – y2)+ (4x + 4) = (x – y)(x + y) + 4(x + 1) bế tắcLời giải như mong muốn:

x2 – y2 + 4x – 4 = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x+ y +2)(x – y +2)



*Ví dụ 2: - (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu

học sinh rút gọn phân thức:

Sai lầm: Nhiều học sinh cho rằng ba hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là xHọc sinh đưa ra lời giải như sau:

= (lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)

- Hay phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử. nhiều học sinh hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x, hai hạng tử tiếp theo có nhân tử chung 3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa ra lời giải như sau:

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được nữa)Lời giải đúng:

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)= (x + y)3 – (x + y)= (x + y)[(x + y)2 – 1]= (x +y)(x + y + 1)(x +y – 1)

*Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a)-SBT-tr6) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2

= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2

= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy

Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu

- Hoặc trường hợp phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2. Nhiều học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng chưa đúng phương pháp đưa ra lời giải như sau.

(2x - 1)2 – (x + 3)2 = 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9 = 3x2 – 10x – 10 ....(đây là lời giải sai)

Lời giải như mong muốn: (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]

= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = (x - 4)(3x + 2)

*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)



Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2y thì hạng tử thứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0)

Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + 1 )

*Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử. Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến:9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai

- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)

Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày.*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Nhận dạng đặc trưng(bài toán thuộc dạng nào)- Mục đích của việc nhóm hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức cho bài toán

*Sai lầm về vận dụng kiến thức cho bài toán:*Ví dụ 6:

- Phân tích đa thức 2x2 - 7 – 4x + 14 thành nhân tửSai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm về dấu khi nhóm các hạng tử nên thực hiện như sau:

2x2 - 7 – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x + 14)= x(2x – 7) – 2(2x + 7) không phân tích được

Lời giải như móng muốn:2x2 - 7 – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x – 14)

= x(2x – 7) – 2(2x – 7)= (2x – 7)(x – 2)

- Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lời giải sau: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)Lời giải đúng:x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) - Trường hợp phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Một số

học sinh đưa ra lới giải sau. 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y



= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)*Ví dụ 8: Hay khi phân tích đa thức x2 – 5x + 6 thành nhân tử. Học sinh thường mắc sai lầm khi tách (b1x + b2x = bx) và b1x.b2x = acx2. Trong thực hành học sinh thường giải như sau:

x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6 = (x2 – 2x) – (3x + 6)= x(x – 2) – 3(x + 2) không phân tích được nữa

Lời giải đúng:x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6

= (x2 – 2x) – (3x – 6)= x(x – 2) – 3(x – 2 )= (x -2)(x - 3)

- Hay tìm ĐKXĐ của phương trình: . Học sinh gặp rất nhiều lúng

túng và chưa tìm ra cách giải.Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức

thành nhân tử một cách thành thạo. Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử

thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do các em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý. Các em mới chỉ biết vận dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:

- Khi nhóm hạng tử cần chú ý dấu của mỗi hạng tử (nếu trước dấu ngoặc là dấu “– ” thì đổi dấu hạng tử bên trong dấu ngoặc)

- Định hướng cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các nhóm- Định hướng cho học sinh hiểu được khi thực hiện tách hạng tử

bx = (b1 + b2)x =b1x + b2x*Sai lầm về vận dụng kiến thức trong giải bài toán ứng dụng:*Ví dụ 9: Giải phương trình 2x3 + 6x = x2 + 3x (bài 25a tr17 SGK)Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế không đổi dấu dẫn đến phương trình có nghiệm sai và thực hiện như sau:

2x3 + 6x = x2 + 3x<=> 2x3 + 6x + x2 + 3x = 0<=> (2x3 + x2 ) + (3x+ 6x) = 0<=> x2(2x + 1 ) + 3x(1+ 2x) = 0<=> x(x + 3)(2x + 1) = 0

<=>

Vậy tập nghiệm của phương trình: lời giải sai

Lời giải như mong muốn:2x3 + 6x = x2 + 3x



<=> 2x3 + 6x - x2 - 3x = 0<=> (2x3 - x2 ) + (6x -3x) = 0<=> x2(2x - 1 ) + 3x(2x -1) = 0<=> x(x + 3)(2x - 1) = 0

<=>

Vậy tập nghiệm của phương trình:

*Ví dụ 10: Giải phương trình (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (bài 25b tr17 SGK)Sai lầm thứ nhất: Chia hai vế của phương trình cho đa thức 3x -1 dẫn đến phương trình mất nghiệm và thực hiện như sau:

(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)<=> x2 + 2 = 7x - 10<=> x2 - 7x +12 = 0<=> x2 - 3x - 4x +12 = 0<=> x(x - 3) - 4(x- 3) = 0<=> (x - 3)(x - 4) = 0

<=>

Vậy tập nghiệm của phương trình là lời giải saiSai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu cả hai nhân tử

(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1) - (7x - 10) = 0 bài toán sai

Lời giải đúng: (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1)(7x - 10) = 0<=> (3x - 1)(x2 - 7x +12) = 0<=> (3x - 1)(x2 - 3x - 4x +12) = 0<=> (3x - 1)(x - 3)(x - 4) = 0

<=>

Vậy tập nghiệm của phương trình là

*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:- Nhắc lại cho học sinh hai quy tắc biến đổi phương trình(quy tắc chuyển vế và

quy tắc nhân với một số)



- Biến đổi phương trình có bậc lớn hơn 2 về dạng phương trình tích(phân tích vế trái thành nhân tử)

- Chuyển vế các hạng tử thì đổi dấu các hạng tử, chuyển vế tích các nhân tử chỉ cần đổi dấu một trong các nhân tử.*Sai lầm về việc phân tích bài toán chưa triệt để:*Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x

TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3 (x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)

Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)

= x[(x3 – 9x2) + (x – 9)] = x[x2(x – 9) + (x – 9)] = x(x – 9)(x2+ 1)

Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăn trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)

Bài 52a. phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử. Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm như thế nào?

Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã đề cập ở ví dụ trên)

Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Mỹ Cát về bộ môn Toán nhóm toán đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, nhóm toán đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như trên trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Mỹ Cát.

Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên chứng tỏ trong những năm qua kết quả học tập bộ môn Toán của học sinh trường THCS Mỹ Cát là chưa tốt, chỉ có một số học sinh giỏi, khá so với mức độ học sinh ở các trường THCS. Vậy tại sao lại có kết quả trên, theo tôi chủ yếu do các nguyên nhân sau.

* Nguyên nhân khách quan:- Trường THCS Mỹ Cát là một trường nằm ở vùng điều kiện kinh tế kém phát triển- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em

mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà.* Nguyên nhân chủ quanMôn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học sinh phải

có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện.



Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. 2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Giúp học sinh phân tích tốt một đa thức thành nhân tử, vận dụng giải một số phương trình và các dạng toán có liên quan. Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát và phân tích bài toán một cách phù hợp nhằm đưa ra cách giải hợp lý.3. Phạm vi nghiên cứu đề tài.

- Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

- Đối tượng: là học sinh khối 8- Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định

II. Phương pháp tiến hành.1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:a. Cơ sở lí luận:

- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.

- Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt. Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.

- Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân tử” là một dạng toán rất quan trọng (của môn đại số 8) đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này. Nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, …

- Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử.

- Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như: quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán. Tuỳ



theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.

- Học sinh thường lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các bài tập tương tự dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.

- Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như: Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức. Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đó.

- Trong việc dạy và học bộ môn toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.

- Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sao cho các em có thể giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử một cách dễ dàng nhất, cũng như giúp các em hệ thống được các dạng loại bài tập, theo mức độ khó dần, nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán ở mỗi đối tượng học sinh.b. Cơ sở thực tiễn:

- Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ giữa các giáo viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi. Tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ...vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. - Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém. - Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. - Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.

- Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là



công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

- Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (sgk – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không có phương pháp tổng quát để giải). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác (ngoài sách giáo khoa) như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó.

- Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp mới:

- Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên trong mỗi tiết dạy theo các yêu cầu và mức độ khác nhau. - Lựa chọn bài tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với từng đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo của học sinh. - Thông qua các tiết bài tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp phân tích, suy luận, tìm tòi… từ đó giáo viên có thể giao công việc, bài tập về nhà để học sinh tìm tòi cách giải quyết nhanh hơn, gọn hơn… - Qua mỗi tiết ôn tập cần cho thêm các bài tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức đồng thời móc xích được các đơn vị kiến thức. - Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt được các dạng toán… có thể gắn vào việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.

- Tổ chức lồng ghép trong mỗi tiết dạy chính khoá cũng như tự chọn có liên quan đến từng dạng loại. - Đưa chuyyên đề trên thực hiện trong các tiết học tự chọn, trong tiết thao giảng để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm.

- Thảm khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để xây dựng, hoàn thiện đề tài.

- Lựa chọn các bài tập liên quan đến phần phân tích đa thức thành nhân tử ở sách giáo khoa, sách bài tập lớp 6,7,8,9 một số đề thi học sinh giỏi toán 8, một số tài liệu khác.

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:

Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9Sách giáo viên 6, 7, 8, 9Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GD



Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GDNhững vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GDPhương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản

ĐHSPGiáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy

Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP - Thời gian: Thực hiện từ năm học 2008 - 2012

- Trong qua trình như vây, tôi sử dụng các phương pháp trong qua trình thực hiện đề tài:

Phương pháp nghiên cứu lý luận.Phương pháp khảo sát thực tiễn.Phương pháp phân tích.Phương pháp tổng hợp.Phương pháp khái quát hóa.Phương pháp quan sát.Phương pháp kiểm tra.Phương pháp tổng kết kinh nghiệm



B. NỘI DUNGI. Mục tiêu.

Tên đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”

Nhiệm vụ: - Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS Mỹ Cát. -Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh, kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.

- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Phát triển ở học sinh lòng ham thích, hứng thú, say mê học toán. - Giúp học sinh khái quát hóa, hệ thống hóa, có khả năng tự giải nhiều dạng bài tập. Gây hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác tiết học nhẹ nhàng cho cả thầy và trò. Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nó trong cuộc sống.

- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.

- Qua đó học sinh thấy được vai trò và ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của môn toán 8II. Mô tả giải pháp của đề tài.

*Bản đồ tư duy mô tả kết quả tìm hiểu về sai lầm của học sinh trong giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm đưa ra các phương pháp giải quyết và ứng dụng trong giải toán:



1. Thuyết minh tính mới.Nhằm giúp học sinh học tập tốt tất cả các môn học nói chung và môn Toán nói

riêng chúng ta phải làm tốt công tác giáo dục học sinh. Từ đó áp dụng các giải pháp dạy học theo hướng tích cực mới đạt hiệu quả tốt. Điều quan trong là sự kết hợp chặt chẽ giữa công tác giáo dục học sinh cùng với giải pháp mới trong đề tài mới đem lại hiệu quả trong quá trinh ứng dụng vào giảng dạy. Công tác giáo dục học sinh.

* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường: - Tổ chức cho HS thảo luận nội qui nhà trường và hướng dẫn cho các em thực hiện nội qui, có chế độ khen chê công bằng, khách quan .

- Trong buổi chào cờ đầu tuần, cần phải đánh giá nhận xét chu đáo, nêu gương người tốt, việc tốt để các em noi theo, hạn chế những vi phạm nội qui lớp học , trường học .

* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt lớp: Ngoài việc giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường, giờ sinh hoạt lớp

(SHL) cũng rất quan trọng trong vấn đề này. Bởi vì thông qua giờ SHL, GVCN, CB lớp kịp thời uốn nắn những sai trái khuyết điểm của HS khi bị vi phạm, lấy tình cảm bạn bè, lấy nghĩa thầy trò làm cho các em thấy được khuyết điểm của mình. Đồng thời với sự chân thành của GVCN, HS trong lớp, HS khi vi phạm sẽ sớm nhận ra lỗi lầm của mình mà sửa chữa .

Trong khi giáo dục các em, GVCN không nên nặng về kiểm điểm, phê bình, mà phải tìm ra và xác định đúng nguyên nhân đã tác động đến các em làm cho các em mắc sai lầm, vi phạm, vận dụng những điều khoản trong nội qui, trong qui định xếp loại của TT40 làm cho các em thấy được phạm vi vi phạm ở mức độ nào và nêu ra hướng cho các em khắc phục. GVCN nêu những việc làm tốt, những cố gắng nổ lực của các thành viên trong lớp để xây dựng tập thể lớp thành lớp tiên tiến … với thành tích như vậy thì không được bất cứ thành viên nào trong lớp phá vỡ.

* Kết hợp với Hội PHHS để giáo dục HS:



- Hội PHHS là cầu nối giữa nhà trường, GVCN với gia đình HS. Tổ chức Hội ngoài việc giúp nhà trường xây dựng CSVC còn góp phần cùng nhà trường giáo dục HS.

- Thực tế, những năm qua Thường trực Hội PHHS đã giúp cho nhà trường, GVCN bằng cách tác động với PH để giáo dục HS từ chỗ bỏ học, trốn học đến đi học chuyên cần và học tập nghiêm túc. Mặt khác, TT Hội PHHS đã tác động đến gia đình các em để cha mẹ các em quan tâm và có trách nhiệm đối với con cái của họ hơn, từ đó sẽ hạn chế được HS hoang nghịch .

* Phối hợp với các Đoàn thể và các lực lượng khác trong xã hội: Hiện nay ở địa phương đã hình thành các khu dân cư và nhiều nơi đã xây dựng

khu dân cư, thôn văn hóa, đó là điều kiện tốt để các Đoàn thể cùng với nhà trường, qua đó giáo dục HS. Các đoàn thể, chính quyền địa phương giúp cho các thành viên xây dựng gia đình văn hóa, hạn chế tình trạng cha mẹ bỏ mặc con cái đi làm ăn, những mối bất hòa trong gia đình dần dần chấm dứt, từ đó cha mẹ sẽ có điều kiện chăm sóc giáo dục con cái tốt hơn .

* Dùng phương pháp kết bạn: Thường lứa tuổi HS dễ bị ảnh hưởng những thói hư tật xấu nhưng cũng dễ tiếp

thu những điều hay lẽ phải, dễ hòa mình vào những trò chơi có tính tập thể, tính giáo dục cao . Do đó GVCN nên phân công một nhóm bạn tốt, cùng hoàn cảnh, cùng sở thích, uớc mơ ... sinh hoạt, học tập với đối tượng này dần dần lôi kéo các em hòa nhập vào các cuộc chơi bổ ích, từ đó xóa bỏ các mặc cảm là HS hư để rồi cùng với các thành viên trong lớp xây dựng tập thể vững mạnh .

Mặt khác, thông qua nhóm bạn tốt, GVCN giao cho HS thực hiện một số công việc, tạo những điều kiện để những HS hoàn thành và động viên khích lệ. Ngoài ra có thể vận động gia đình của nhóm bạn tốt tham gia vào việc giúp đỡ những HS này bằng cách tạo cho các em tâm lý xem gia đình của bạn như gia đình mình, tạo điều kiện cho các em cùng tham gia học tập với con em mình để tách dần ra khỏi nhóm bạn chưa ngoan. Việc làm này cả là một cố gắng trong đó vai trò của GVCN rất quan trọng và sự tham gia của Hội PHHS là rất cần thiết. Giải pháp mới của đề tài

Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.

Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp Đặt nhân tử chungNhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các

hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức

- Giúp học sinh thấy được các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức:Xác định biểu thức A, BSố lượng biến và bậc của đa thức

+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tửDựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.



- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: Mỗi nhóm đều phân tích được.

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.- Dùng hằng đẳng thức nếu có.- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là

hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.+ Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.+ Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.+ Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.+ Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).

Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.

Tổng quát: Khi phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho

= hay b1b2 = ac

Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Lập tích ac.Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.+ Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức.+ Phương pháp hệ số bất định.+ Phương pháp xét giá trị riêng.Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình độ

nhận thức của học sinh. Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6). Các phương pháp còn lại (phương pháp 7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu.2. Khả năng áp dụng.

a. Thời gian áp dụng.- Sau khi thực hiện đề tài GV thấy các em làm bài tập toán với một phong cách

nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán - Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải dễ dàng hơn và hệ thống được kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy toán học linh họat hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dạy của giáo viên. Và điều dễ thấy nhất là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.



- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi dưỡng cho một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt. - Hình thành cho học kỹ năng giải quyết một vấn đề có phương pháp, làm việc có khoa học. - Đối với việc giải các bài toán nâng cao, học sinh quen dần việc vận dụng và mở rộng các kiến thức, hình thành và khái quát thành những phương pháp giải, để giải toán có hiệu quả. - Các tiết học toán ngày càng có chất lượng khi giáo viên biết phối hợp, lồng ghép các kiến thức, các phương pháp giải toán, nhàm phát triển tư duy cho học sinh. - Mong rằng đây sẽ là một tài liệu để GV tham khảo khi dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử sao cho có một kết quả tốt nhất.

- Tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào mặc dù rất dễ. Sau khi được học và giới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được cách giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tăng lên rất rõ rệt. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS.

- Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm dạy học theo đề tài đã thực hiện, tôi nhận thấy như sau:

+ Về tâm lý: Đã từng bước tạo được sự hứng thú, khơi dậy lòng say mê học tập môn Toán ở học sinh. Chính vì vậy mà các em không còn xem nhẹ trong việc học tập.

+ Về kiến thức: Học sinh hoạt động tích cực chủ động hơn, đa phần học sinh đã chiếm lĩnh được kiến thức một cách nhanh chống và chắc chắn

+ Về kỷ năng: Kỹ năng trực quan, tư duy, phân tích, tổng hợp của học sinh được nâng cao hơn và hoàn thiện hơn. Đồng thời học sinh vận dụng được các liến thức vào cuộc sống thực tiễn một cách dễ dàng và hiệu quả.

Chính vì vậy mà sau khi tiến hành vận dụng một số kinh nghiệm dạy học theo PP mới trong năm học 2011-2012 thu được kết quả như sau:

Năm học Sĩ số Phạm vi Giỏi Khá Tbình Yếu Kém TB2008-2009 155

Đại số 8

8 45 87 14 1 1402009-2010 145 12 55 70 8 1372010-2011 140 16 65 55 4 1362011-2012 134 20 76 38 134

*Nhận xét: - Học sinh nắm vững chắc các kiến về phân tích đa thức thành nhân tử, vận

dụng thành thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống và logic, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.

- Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.

*Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 16


tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy khả năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.

*Trong HKI năm học 2011 – 2012, tôi và các đồng nghiệp trong nhóm tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất. Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng được vào các bài tập tương đối tốt

b. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: . Lý thuyết

* Định nghĩa: Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó thành một tích của những đa thức

. Các phương pháp cơ bản * Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung

a) Phương pháp - Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử

vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.b) Ví dụ

Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử.Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 )

Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2

= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy)

Phân tích ví dụ. - Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 và

ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3. Lũy thừa

bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x là 2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x2y

Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 3 x2yVí dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.

Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định nhân tử chung. Giái viên có thể đưa gợi ý:

? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định được )



- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:

Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y)) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)

Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )

= 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))

c) Bài tập áp dụng * Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

1. 12x2y - 18y3

2. 5x(x - 1) – 3x(x - 1)3. x(x + y) – 2xy(y - x)4. x2 + 5x3 + x2y

5. x(y - 1) - y(1 - y)

6. 3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2

7. 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y) * Dạng 2: Tính nhanh:

1) 85.12,7 + 5.3.12,72) 52.143 – 52.39 – 8.26

*Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức:1. 15.91,5 + 150.0,852. x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999 3. x2 + xy + x tại x = 77; y = 224. x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3

* Dạng 4: Tìm x, biết:1. 5x(x-2000) – x + 2000 = 02. x3 – 13x = 03. x + 5x2 = 0 4. x + 1 = (x + 1)2

5. x3 + x = 0 * Dạng 5: Chứng minh tính chia hết:

1. Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)2. Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số

nguyên n. * Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức

a) Phương pháp- Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về

“dạng tích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)



4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

- Giúp học sinh thấy được các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức:Xác định biểu thức A, BSố lượng biến và bậc của đa thức

b) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2

Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + 9 = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Ví dụ 2.3: a. (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]

= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy

b. 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2

= (x - 3y)(7x + y)Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3

= (2x + y)3

Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = (3 - x)3

Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)Ví dụ 2.7: 1 - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 1. 3xy2 + (3xy2)2 ]

= (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 ) Khai thác ví dụ: Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và vận

dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:

- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A2 và B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ 2.1; 2.2)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3). (Ví dụ 2.3)

- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5). (Ví dụ 2.4; 2.5)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7). (Ví dụ 2.6; 2.7)Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thứcVí dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:

Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) =[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2



c) Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a. x2 + 6x + 9 b. 10x – 25 – x2

2. a. x2 + 4y2 – 4xy b. 6x – 9 – x2

3. a, 4x2 – 25 b. (3x + 1)2 - (x + 1)2 c. x2 – 64y2

4. a. x3 + b. 8x3 - c. (a + b)3 – (a - b)3

5. x3 + y3 + z3 – 3xyz Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

do đó : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz] = (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y

+z) = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy)

*Tính nhanh:1. a. 252 – 152 b. 372 – 132 c. 20092 - 92

2. 872 + 732 – 272 - 132

* Tìm x .biết: 1. 2 – 25x2 = 0

2. x2 – x + = 0

3. x3 – 0,25x = 04. x2 – 10x = - 25

*Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a) Phương pháp Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: - Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. - Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm đều phân tích được. + Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. b)Ví dụ * Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)b. xy - 5y + 2x – 10 c. 2xy + z +2x +yz

Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )

= x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y)

b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 20


= y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)

c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)

Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có . 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

*Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a. x2 – 2x + 1 – 4y2 b. x2 + 4x – y2 + 4

Giải: a. x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

b.Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x) - (y2 - 4 ) = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức không thể phân tích tiếp) Cách 2. Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2

= (x + 2 – y)(x + 2 +y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a. x2 – 2x – 4y2 – 4y b. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

Giải: a. Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)

= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp được)

Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

b. Cách 1: Nhóm (x3 – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y ) = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1) = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)

(Đa thức không thể phân tích tiếp ) Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)



Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau khi nhóm.

ở ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Học sinh có thể đưa ra lới giải sau. Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là: - Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: -Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. -Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. * Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải được tiếp tục nếu không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong quá trình nhóm, phải thực hiện lại. (Ví dụ 3.1c. Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)

c ) Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử.1. x2 – x – y2 – y2. x2 – 2xy + y2 – z2

3. 3x2 – 3xy – 5x + 5y4. xz + yz – 5(x + y)5. a3 – a2x – ay + xy6. xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz7. x2 + 4x – y2 + 48. x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2

9. 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

10. 2x3 – 3x2 + 2x – 3* Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức1. x2 – 2xy – 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 452. 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5* Tìm x ; biết1. x(x - 2) + x - 2 = 02. 5x(x - 3) – x + 3 = 0Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không thể chỉ

vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích được cần phải có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngoài 3 phương pháp đã nêu ở trên, trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệu thêm một phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

*Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp



a) Phương phápLà sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt

nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.

Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.- Dùng hằng đẳng thức nếu có.- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng

thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.b) Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 4.1: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung) =3x (y - 2 )2 ( Dùng hằng đẳng thức)

Ví dụ 4.2: 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) ( Đặt nhân tử chung)= 2[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)= 2[(x + 1)2 – y2] ( Dùng hằng đẳng thức)= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)

Ví dụ 4.3: 2x – 2y – x2 + 2xy – y2

= (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử)= 2(x - y) – (x - y)2 ( Dùng hằng đẳng thức)= (x - y)[2 – (x - y)] ( Đặt nhân tử chung)= (x - y)(2 – x + y)

Ví dụ 4.4: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung)= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử)= 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng hằng đẳng thức)= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)

Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) =3xy (Nhóm các hạng tử)

=3xy ( Dùng hằng đẳng thức)

=3xy (Dùng hằng đẳng thức) =3xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )

Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. (Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1);

Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.

Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).

Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z)



Khai thác ví dụ:Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Ta sử

dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức. Ví dụ 4.3 ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phân tích từng nhóm( bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức ) xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp. Các ví dụ còn lại làm tương tự.

Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào. Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bài toán cụ thể.* Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó một cách triệt để.

c) Bài tập áp dụng* Phân tích đa thức thành nhân tử.1. x4 + 2x3 + x2

2 .x3 – 2x2 + x3. 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2

4. x3 + 2x2y + xy2 – 9x5. x4- 2x2

6. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y7. 5x2 + 5xy – x – y8. 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2

* Tìm x .biết :1. 5x(x - 1) = x – 12. 2(x + 5) – x2 – 5x = 0

3. x3- x = 0

4. (2x2 - 1) – (x + 3)2 = 05. x2(x - 3) + 12 – 4x = 0* Tính nhanh :

1. x2 + x + tại x = 49,75

2. x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6* Chứng minh : 1) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. 2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau: 1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) Hướng dẫn:

Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0; x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)



Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.

. Các phương pháp khác (nâng cao) *Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc

hai ax2 + bx + c ).b) Phương pháp - Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất hiện

dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức. b)Ví dụ

Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử. Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không có

dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng tử.

Giải: Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2 )

x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]= (x - 2)(x - 4)

Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x) x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8

= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do: )

x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)

Cách 4: ( tách hạng tử tự do: )x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1

= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12

= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24

= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.

Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)Giải: Cách 1 (tách hạng tử bậc hai : 3x2)

3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)= (x – 2)(3x – 2)

Cách 2 (tách hạng tử bậc nhất: – 8x)



3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4= 3x(x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(3x – 2)

Cách 3 (tách hạng tử tử do : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16

= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2)

Nhận xét: Từ ví dụ trên (5.2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (Ví dụ 5.2cách 1) - Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2. (ví dụ 5.3cách 2) - Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (ví dụ 5.2cách 3)

Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.

* Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:Nhận xét:- Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là đơn giản và

dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 5.2) thành 2 hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là: 3, – 6, –2, 4 các hệ

số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước và tỷ lệ nhau hay

(– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2).Phân tích: - Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 có a = 3, b = – 8, c = 4

Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)

Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho

= hay b1b2 = ac

Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Lập tích ac.Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7)Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1Bước 3: b = 7 = 4 + 3Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x

Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1)



Chú ý:*. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức

bậc 2 một biếnVí dụ 5.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2

GiảiCách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2

= 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2

= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

*. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ. Nếu:

- Khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b.

Ví dụ: đa thức x2 + 4x + 6 có a = 1; b = 6 => a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)

không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình

phương của một số hữu tỷ.Ví dụ: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 - (- 2);

(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích.Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.

Ví dụ 5.4: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3 – 7n + 6 Giải: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6

= n(n2 – 1) – 6(n – 1)= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6)= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3)

Ví dụ 5.5: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)

c) Bài tập áp dụng* Phân tích đa thức thành nhân tử:1) a. x2- 3x + 2 b. x2 + x – 6 c. x2 + 5x + 6 d. x2 – 4x + 3 e. 6x2 – 11x + 3 f. 9x2 + 12x – 5 g. 4x2 - 4x – 3 h. 2x2 + 3x – 27



2) a. 2x2 5xy + 2y2 ; (áp dụng ví dụ 5.3) b) 2x2 – 5xy – 3y2.

Giải: a. 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y)

= (x 2y)(2x y)3) a) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y).

b) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ;d) (x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ;e) x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ;f) x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1).

Hướng dẫn: 3a. Nhận xét z x = (y z) (x y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :

x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z)Chú ý : - Ơ câu 3a ta có thể tách y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y))- Đa thức ở câu 3.a là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta

thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta con cách phân tích bằng cách xet giá trị riêng (Phương pháp 10)

4) a) x3 – 4x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; ( áp dụng ví dụ 5.4)*Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tửa) Phương phápThêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm

nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt.b) Ví dụ * Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức

Ví dụ 6.1: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử. Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

Ta có x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung ) x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)

= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1). Cách 3: Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)

Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1

= (x4 – x) + (x2 + x + 1)



= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)Ví dụ 6.2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1

= (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)= x3(x2+ x + 1) - ( x - 1 )(x2+ x + 1)= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 và 4 = 22 để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 vậy cần bớt 4x2 để giá trị của đa thức không đổi. Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) Khai thác bài toán:

* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4

Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)

x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)

* Thay x4 thành 4x4 và 4 thành 81 ta có bài toán : 4x4 + 81 Hướng dẫn giải: Thêm 2. 2x2.9 = 36x2 và bớt 36x2

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2

= ( 2x2 + 9)2 - (6x)2

= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)*Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 6.4: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)

Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )

Ví dụ 6.5: Phân tích đa thức x5 + x 1 thành nhân tử Giải:

Cách 1: Thêm x4 , x3 , x2 và bớt x4 , x3 , x2 x5 + x 1 = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x 1

= x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1).

Cách 2. Thêm và bớt x2 :x5 + x 1 = x5 + x2 x2 + x 1 = x2(x3 + 1) (x2 x + 1)

= (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1).Ví dụ 6.6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử. Giải : x7 + x2 +1 = x7 - x + x2 + x + 1

= x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)



Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1.

c) Bài tập áp dụng* Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a. 4x4 + 1 ; b) 4x4 + y4 ; c.4x4 - 324 d. x5 + x4 + 1 ; e) x5 + x + 1 ; f) x8 + x7 + 1 ; g) x5 x4 - 1 ; h) x7 + x5 + 1 ; t) x8 + x4 + 1.Hướng dẫn giải: Câu 1.a,b,c áp dụng ví dụ 6.3. Câu 1.d, e ,h, f ap dụng ví dụ 6.2Câu 1.g áp dụng ví dụ 6.4; câu 1.f áp dụng ví dụ 6.1*Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số)a) Phương pháp- Đặt ẩn phụ, đổi biến của đa thức đã cho thành đa thức mới có bậc nhỏ hơn và

đơn giản hơn. Thực hiện phân tích đa thức theo các phương pháp cơ bản.b) Ví dụ

Ví dụ 7.1: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3 thành nhân tử . Giải: đặt x2 = y ta được 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)Ví dụ 7.2: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử. Giải: đặt x2 + x = y ta được y2 + 3y + 2 = (y +1)(y+2)

Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)Ví dụ 7.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

Hướng dẫn: Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12.Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12

= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)

= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)

Ví dụ 7.4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

Hướng dẫn: Biến đổi đa thức đã cho(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24= (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)Đặt x3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24= y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)= (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)

Ví dụ 7.5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Giảix(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :(y 12)(y + 12) + 128

= y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)



= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) c) Bài tập áp dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử.a) (x2 + x)2 2(x2 + x) 15 ; b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ;c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 ; *Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức

a. Phương pháp: Cách 1:Dựa vào kết luận: - Nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì đa thức chứa một nhân tử là: (x - a)

- Nếu đa thức f(x)có một nghiệm là thì đa thức chứa một nhân tử là(qx - p)

Dựa vào đó ta sẽ tách đa thức f(x) sao cho xuất hiên nhân tử (x - a) hoặc (qx - p) Cách 2: Dựa vào định lý Bơ du - Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a). Vậy f(x) = (x-a)g(x)

Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (x-a)

- Đa thức f(x) có nghiệm là thì f(x) chia hết cho (qx - p).

Vậy f(x) = (qx-p)g(x)Tìm g(x) bằng cách lấy f(x) chia cho (qx - p).* Cách tìm nghiệm của đa thứcCho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa

thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 – 4 Nếu đa thức P có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c) => -ac = - 4 vậy a là ước của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.(hạng tử tự do)

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).

b. Ví dụ:Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – 4 thành nhân tử. Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2

Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) = ( x - 1)(x + 2)2

Chú ý:- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức có một nghiệm là 1 (hay

chứa nhân tử (x-1))- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử

bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1). Ví dụ 8.2: a. Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)



Giải: x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4 = (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4) = x2(x - 1) – 4(x - 1)2

= (x - 1)(x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2

b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = 5 + 3 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1).

Vậy f(x) = ( x + 1).g(x) ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13)Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13) + Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu

tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là

ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử có bậc cao nhất.Ví dụ 8.3: phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x – 3 thành nhân tử.

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là:(-1), 1, ( ), ( ),( ),(- 3),... Sau khi

kiểm tra ta thấy x = là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x – )

hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1) Giải: Cách 1: 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du

f( x ) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 có một nhgiệm là : .

Vậy f ( x ) = ( 2x – 1 )g(x).g(x ) = ( 2x3 – 5x2 + 8x – 3) : ( 2x – 1 ) = x2 – 2x + 3.Suy ra f ( x ) = (2x – 1 ) ( x2 – 2x + 3 ).

Ví dụ 8.4: Phân tích đa thức f ( x ) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 thành nhân tử.Giải: f(x) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 có một nghiệm là -1 ( -1 là ước của12.)

f( x) = ( x + 1).g(x).g(x) = (5x3 –15 x2 – 32x –12 ):( x +1) = 5x2 –20x –1.

f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1).Ví dụ 8.5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8Giải:

Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)



Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1)Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :

1 6 13 14 12 8-2 1 4 5 4 4 0

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :

1 4 5 4 4-2 1 2 2 2 0

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau :

1 2 2 2-2 1 0 1 0

Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)

c) Bài tập áp dụngPhân tích đa thức thành nhân tử:a) x3 – 2x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ;d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ;

h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).* Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định

a) Phương pháp Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc

nhất,một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.

b)Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3Các hệ số 1; 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên đa

thức không có nghiệm nguyên.Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)Phép nhân này cho kết quả:x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bdĐồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được

a + c = - 6ac + b + d = 12ad + bc = - 14bd = 3

Xét bd = 3 với b, d z; b { 1; 3}; với b = 3 thì d = 1.



Hệ trên thành:a + c = - 6ac = 8a + bc = -14

2c = -14 + 6 = - 8 do đó c = - 4; a = - 2Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải bài toán trên như sau:x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

c) Bài tập áp dụngPhân tích đa thức thành nhân tửa) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + 1 ;c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.*Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riênga) Phương pháp

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.

b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tửP = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)Nên thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P

chứa (x – y) thì cũng chứa (y – z) và (z – x).Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, zTa có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với x, y, z.Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng. ví dụ x = 1, y = 0, z = -1Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)2 = - 2k => k = - 1Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)= (x - y)(y - z)(x - z)

. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử *Dạng 1 : Rút gọn biểu thức

Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.Ví dụ : Rút gọn biểu thức:

Giải: Ta có



Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5

Do đó

*Dạng 2 : Chứng minh chia hết Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách

giải nhưng ở đây nhóm toán chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải.Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6)

GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15

Đặt t = x2 + 8x +11(t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1

= (t + 1)(t - 1)Thay t = x2 + 8x +11 , ta có

(x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6).Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.

Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)

= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.Cách 2: (4x + 3)2 - 25

= 16x2 + 24x + 9 - 25 = 16x2 + 24x - 16 = 8 (2x2 + 3x - 2).

Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyênDo đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức.

A= là số nguyên.

Ta có:

Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3

chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.



Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2)= n (2 + 2n + n + n2) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)]= n (n + 1) (n + 2).

Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6.

Vậy mọi số nguyên n biểu thức A= là số nguyên.

Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16 + x15 + ... + x2 + x + 1.

Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia như sau:

x50 + x49 + ... + x2 + x + 1= (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1.= (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x16 ... +x2

+ x + 1= (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1)Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x16 + x15 + ... x + 1. Kết quả của

phép chia là : x34 + x17 + 1 Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c

Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.

Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có một nhân tử là a + b + c.Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc

= a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)= B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.

Ví dụ 6: Cho

CMR: với n lẻ.

Ta có:

=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc. => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc

=> (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0=> bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0=> (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 -> (a + b) (b + c) (a + c) =0=> a + b = 0 => a = - hoặc b + c = 0 => b = - cHoặc a + c = 0 => a = - cVì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn

Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh.Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 36


Dạng 3 : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình, bất phương trình.a) Giải phương trình nghiệm nguyên.Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.

3x2 + 10xy + 8y2 = 96Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2

= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96

Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3Ta có các hệ phương trình sau:x + 2y = 4 x + 2y = 63x + 4y = 24 3x + 4y = 16x + 2y = 8 x + 2y = 123x + 4y = 12 3x + 4y = 8Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại).Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại)Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1.Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x3 + xy - 7 = 0Ta có: 2x3 + xy - 7 = 0

=> 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7

x = 1 x = 1 2x2 + y = 7 y = 5

x = 7 x = 72x2 + y =1 y = - 97

x = - 1 x = - 12x2 + y =-7 y - 9

x = - 7 x = - 7 2x2 + y = - 1 y = -99

Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãnx3 + 7 y = y3 + 7x

=> x3 - y3 - 7x + 7y = 0 => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 Vì x > y > 0=> x2 + xy + y2 - 7 = 0=> x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy=> (x - y)2 = 7 - 3xy

=> 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy <

x.y 2 => x = 2; y = 1b) Giải phương trình bậc caoVí dụ 1: Giải phương trình


(I) (II)

(III) (IV)

=>=>=>=>

=>

Hoặc

Hoặc

Hoặc


( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0Giải: Ta có:

( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0<=> ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0<=> ( 4x - 6)(2x - 4) = 04x - 6 = 0 <=> x = 3/2hoặc 2x - 4 = 0 <=> x = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2Ví dụ 2: Giải phương trình

x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0Giải : Ta có

x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0<=> x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0<=>x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0<=>(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0

hoặc (x + 1) = 0 <=> x = -1hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1

c) Giải bài toán giải bất phương trình* Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay bất phương trình thường.* Ví dụ: Giải các bất phương trình

> 1

> 0

Nhận xét: vì (- 2) < 0 (x- 2)(x - 3) < 0 2 < x< 3 3x2 - 10x - 8 > 0 <=> (3x+ 2)( x- 4) > 0

Ta lập bảng xét dấu tích .Kết quả x < hoặc x > 4 .

Dạng 4 : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, hoặc không âm.a) Đường lối: Bài toán này kích thích tư duy của học sinh phải đi tìm đường lối giải và khi giải phải nắm được kiến thức:

- Biểu thức luôn dương ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu- Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của

biểu thức khác.- Bên cạnh đó cần chú ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn

dương hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu trong dấu nguyên.b) Ví dụ:Ví dụ 1: Cho biểu thức P = 4x 2 - 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x

Giải:Ta có P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 0



Vậy P 0 với x . Hay biểu thức P không âm với x.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng biểu thức M = 223

1234

34

xxxxxxx

không âm với mọi xGiải

Ta có : M = 223

1234

34

xxxxxxx =

223)1()1(

234

3

xxxx

xxx = 223

)1)(1(234

3

xxxxxx

= )1)(2()1()1(

22

22

xxxxxx

=)2(

)1(2

2

xx

Vì x2 +x +1 = x2 +x + 41

+43

=(x+21

)2 +43

>0 x

Mặt khác (x-1)2 x và x2 +2 > 0 xVậy M 0 x . Hay M không âm x.

*Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em được rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khácDạng 5 : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. a)Đường lối giải: Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức A2 + m , A2 - m , A2+B2 . . .(m là hằng số) rồi nhận xét để đi đến kết quả cuối cùng.b)Ví dụ: ví dụ 1: Chứng tỏ x2+x+1 > 0 x

Ta viết : x2+x+1 = x2+2. x+ = (x+ )2 + ≥ >0 x.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y (Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y ) Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

= (x2+ y2+16+xy+8x+4y) + ( y2- 3y) + 2005 -16

= (x+ y+4)2+ ( y2 - 2. y+ )+1989-

= (x+ y+4)2+ (y- )2+ ≥

Vì (x+ y+4)2≥ 0 , (y- )2 ≥ 0.Dấu " =" xảy ra

. Vậy A(x,y) đạt GTNN là

Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự .Dạng 6 : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán chứng minh đẳng thức.

- Loại toán này đường lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhưng cũng có bài ta phải biến đổi



rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau. Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : 78

552

xx

x=

75x

Giải:

Biến đổi VT ta có : VT =78

552

xx

x= )7)(1(

)1(5

xx

x=

75x

=VP

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau 1

2

xx

=)42)(1(

82

3

xxxx

Giải:

Biến đổi VP ta có : VP = )42)(1(

82

3

xxxx

= )42)(1()42)(2(

2

2

xxxxxx

=x

x

12

Biến đổi VT ta có : VT =1

2

xx

= 1

)2(

xx

=x

x

12

VT =VP Vậy đẳng thức được chứng minh.*Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây

là dạng toán đã cho sẵn kết quả.Dạng 7 : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên.

- Để giải bài toán này đường lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở dạng đơn giản hơn ( Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức đơn giản hơn ). Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn đạt được giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ước của tử thức. Từ đó ta tìm được giá trị của biến.

Ví dụ: Cho P = 78

552

xx

x Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên.

Giải:

Ta có: P= 78

552

xx

x= )7)(1(

)1(5

xx

x=

75x

P đạt giá trị nguyên x+7 là ước của 5 (1; 5)Do đó x+7 =-1 x=-8

x+7 = 1 x=-6x+7 =-5 x=-12x+7 = 5 x=-2

Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyên. . Biện pháp

*Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:

*Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7.

*Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức.Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần:Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 40


- Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến)

- Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp)

- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán Lưu ý: Kinh nghiệm khi giải toán phân tích đa thức thành nhân tử.

* Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo

đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức.

- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. Chý ý:

- Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền

- Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền- Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước

liền* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử* Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến

đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp.

Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.

Hướng phổ biến áp dụngĐề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số

lớp 8, cho các năm học sau, cho những trường cùng loại hình. 3. Lợi ích kinh tế - xã hội.

- Trong quá trình thực hiện và thử nghiệm đề tài, tôi thấy được những hiệu quả bước đầu trong quá trình giảng dạy: các em đa phần đều hứng thú trong học tập, biết suy nghĩ phân tích và tìm tòi lời giải, trình bày một cách cẩn thận mặc dù còn những sai sót nhỏ. Từ đó tạo điều kiện cho giáo viên thuận lợi hơn trong công tác quản lý giáo dục học sinh, có thời gian tìm hiểu những cái mới trong việc áp dụng vào quá trình giảng dạy.

- Bước đầu các em được hình thành các kĩ năng khi giải toán nói chung và ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng. Với những phương pháp



mà các em đã áp dụng trong đề tài đã tạo cho các em sự tự tin và sáng tạo khi giải toán.

- Sau khi dạy học theo hướng phát triển cái mới của đề tài tôi thấy được chất lượng học tập của học sinh có tiến triển hơn trước, học sinh có ý thức làm việc cẩn thận, có tinh thần đoàn kết giúp đỡ nhau cùng học tập.

- Qua đề tài, giúp học sinh thấy được sự quan trọng trong giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh hiểu việc tiếp thu được những kiến thức đã được học và giáo dục trong nhà trường làm những điều có ích cho xã hội, có ý thức vận động gia đình tham gia giữ gìn vệ sinh chung của xã hội, tích cực tham gia các buổi lao động công ích vừa sức của học sinh nhằm tạo ra một môi trường trong lành đem lại sức khỏe tốt cho mỗi người. Từ đó giúp học sinh hiểu được việc giúp đỡ người khác là niềm vui, hạnh phúc của bản thân và là nguồn động viên tích cực đem lại hạnh phúc và thực hiện những việc làm có ích cho xã hội.

C. KẾT LUẬNI. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp.1. Điều kiện để thực hiện tốt đề tài.Giáo viên: Phạm Đình Trưởng Trang 42


- Có sự lãnh đạo, chỉ đạo cụ thể sát sao và sự quan tâm đúng mức của Đảng và chính quyền xã, các ban ngành đoàn thể và nhân dân địa phương.

- Có đủ cơ sở vật chất, trang bị tối thiểu phục vụ cho dạy và học.- Tăng cường quản lý, giáo dục học sinh, cải tiến phương pháp giảng dạy, chú

trọng và nâng cao công tác đoàn đội trong nhà trường. Xây dựng tốt mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh. - Xây dựng cơ chế hợp lý về công tác thi đua khen thưởng và động viên khuyến khích học sinh giỏi. Quan tâm giúp đỡ những học sinh có hoàn cảnh khó khăn. - Đội ngũ giáo viên đủ về số lượng, đồng bộ về chuyên môn, có tinh thần nhiệt tình và trách nhiệm, có chuyên môn vững vàng và hết lòng vì học sinh thân yêu.

- Giáo viên chuyên trách phải nhiệt tình, tích cực và có tâm huyết với công việc. Cần có tính cẩn thận, tỉ mỉ trong công việc, đặc biệt là trong việc cập nhật, thống kê số liệu.

- Giáo viên chuyên trách phải nắm rõ đầy đủ, khoa học tiến trình thực hiện hồ sơ sổ sách cũng như các phương pháp để thống kê số liệu kết quả học tập của học sinh một cách chính xác.

- Tích cực tham mưu cho nhà trường, Ban chỉ đạo, phối kết hợp với các ban ngành đoàn thể thực hiện tốt cuộc vận động “Ngày toàn dân đưa trẻ đến trường”, duy trì sỉ số các lớp chính quy và bằng nhiều cách mở nhiều lớp phổ cập THCS để nâng cao trình độ dân trí của địa phương.

- Giáo viên phải giúp học sinh khai mở tri thức như vậy mới là người thầy thực thụ. Học sinh có thái độ động cơ học tập đúng đắn khi các em trả lời được câu hỏi: Học để làm gì? Giáo viên gắn bó với nghề không chỉ vì nhu cầu đồng lương mà còn vì nhu cầu giao tiếp, nhu cầu học tập và nhu cầu tự khẳng định mình;

- Giáo viên chủ nhiệm là người thay thế Hiệu trưởng quản lý toàn diện tập thể học sinh một lớp học. Người hiệu trưởng không thể quản lý, nắm chắc diễn biến của quá trình phát triển nhân cách từng học sinh trong trường giúp GVBM nắm tình hình học tập của từng đối tượng học sinh nhằm đưa ra cách truyền đạt kiến thức phù hợp với học sinh.

- Tổ chuyên môn thực hiện vai trò giao tiếp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy giúp GVBM hoàn thành tốt nhiệm vụ

- Gia đình là nguồn động viên tinh thần quý giá, là nơi kiểm tra, quản lý sát sao và cũng là nơi cung cấp phương tiện học tập cho các em.

Do đó, không chỉ mỗi CBGV là một nhà giáo dục mà cả phụ huynh, nhân viên trong trường cũng phải là nhà giáo dục. Khi các nhà giáo dục có trách nhiệm tương quan lẫn nhau thì trách nhiệm đó sẽ có tác động tốt đến từng HS. Người lớn không có văn hóa (nhất là các bậc cha mẹ học sinh) thì sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến trẻ nhỏ và con cháu của mình. Người lãnh đạo tìm ra cơ chế quản lý để phát huy mọi khả năng của từng cá nhân, các bộ phận. 2. Kinh nghiệm áp dụng và sử dụng tốt giải pháp.

* Đối với giáo viên:- Phải có tâm huyết với nghề, luôn luôn nghiên cứu SGK, SGV, tài liệu tham

khảo và các đồ dùng trực quan có liên quan đế nội dung bài học.- Luôn luôn học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, nâng cao nghiệp vụ

chuyên môn.- Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên

hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc



hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng hơn trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và trong học toán.

- Đầu tư nhiều hơn vào việc soạn bài theo tinh thần dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh. Giáo viên phải thể hiện rõ ràng mục tiêu ,nội dung bài học, hệ thống câu hỏi lôgic, phân chia thời gian hợp lý. - Đẩy mạnh việc đổi mới hoạt động dạy học trên lớp, giáo viên là người chỉ đạo, hướng dẫn, học sinh là người chủ động, sáng tạo chiếm lĩnh kiến thức.

- Chú trọng việc cũng cố và phát triển ở học sinh các kỷ năng: Kỹ năng sử dụng bản đồ, biểu đồ, lược đồ, kỹ năng phân tích bảng số liệu thống kê, kỹ năng xác lập mối quan hệ nhân quả....

- Vận dụng linh hoạt các PPDH tích cực vào trong một tiết dạy. Hình thành và phát triển các kỹ năng làm việc với các thiết bị học tập môn Toán ở học sinh

- Tạo được niềm tin, sự hứng thú, ham mê học tập môn Toán ở học sinh.- Có thái độ cởi mở, thân thiện đối với học sinh, biết khen thưởng và động viên

kịp thời, phê bình một cách tế nhị để giúp học sinh tự tin và tự nhiên hơn trong hoạt động học tập, hạn chế tính tự ti, lười hoạt động của học sinh.

- Thường xuyên kiểm tra việc học bài, làm bài tập, chuẩn bị bài mới của học sinh, quan tâm nhiều hơn đến học sinh yếu kém và có những biện pháp khắc phục kịp thời.

* Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.

* Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

* Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.

*Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. *Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề



tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài được hoàn chỉnh và đạt hiệu quả cao.II. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp.

- Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao)

- Đề tài nghiên cứu cho các đa thức phức tạp hơn, đi sâu vào việc nghiên cứu các đa thức đặc biệt.

- Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển chọn được nhiều học sinh giỏi cấp trường làm cơ sở để bồi dưỡng thi các cấp.III . Đề xuất, Kiến nghị.

- Muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức của mình, phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập thì chúng ta – những người thầy cần dạy cho các em cách nghiên cứu, tìm tòi kiến thức. Chúng ta cần sớm hướng dẫn các em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề”. Có như vậy thì sau này các em mới hiểu sâu sắc nội dung đã học, lưu giữ kiến thức mãi mãi. Và quan trọng hơn là giúp các em biết được khi gặp dạng toán này thì phải dùng phương pháp này đề giải, khi gặp dạng toán kia thì phải dùng phương pháp kia để giải.

- Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình của bộ môn toán 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 6 tiết (5 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. Vì vậy tôi xin kiến nghị với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.

- Do thời gian có hạn, chuyên đề tôi viết chỉ trong chương trình đại số 8, nên không mở rộng được nhiều và không sao tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong sự góp ý của các đồng chí, đồng nghiệp bổ sung những phần nào còn thiếu sót hoặc chưa hoàn chỉnh của chuyên đề. Để chuyên đề của tôi viết được hoàn thiện hơn và việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu quả hơn.

Xin chân thành cảm ơn !

Mỹ Cát, ngày 03 tháng 4 năm 2012Người thực hiện

Phạm Đình Trưởng



NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

NHẬN XÉT CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................



MỤC LỤCNội Dung Trang

A. MỞ ĐẦUI. Đặt vấn đề:1. Thực trạng của vấn đề.

a. Thực trạng chung.b. Thực trạng cụ thể.

2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.II. Phương pháp tiến hành:1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp mới.

B.NỘI DUNGI. Mục tiêu:II. Mô tả giải pháp của đề tài:1. Thuyết minh tính mới.

Công tác giáo dục học sinh.Giải pháp mới của đề tài.

2. Khả năng áp dụng.a. Thời gian áp dụng.b. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp 1: Đặt nhân tử chungPhương pháp 2: Dùng hằng đẳng thứcPhương pháp 3: Nhóm các hạng tửPhương pháp 4: Phối hợp các phương phápPhương pháp 5: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp 6: Thêm và bớt cùng một hạng tửPhương pháp 7: Đặt ẩn phụPhương pháp 8: Tìm nghiệm của đa thứcPhương pháp 9: Hệ số bất địnhPhương pháp 10: Xét giá trị riêng

*Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tửDạng 1: Rút gọn biểu thứcDạng 2: Chứng minh chia hếtDạng 3: Áp dụng giải phương trình, bất phương trìnhDạng 4: Chứng minh biểu thức luôn dương, luôn âm, không âm Dạng 5: Áp dụng tìm GTLN, GTNNDạng 6: Áp dụng chứng minh đẳng thứcDạng 7: Áp dụng tìm giá trị nguyên

3. Lợi ích kinh tế - xã hộiC. KẾT LUẬN

I. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng giải pháp:1. Điều kiện để thực hiện tốt đề tài2. Kinh nghiệm áp dụng và sử dụng tốt giải phápII. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải phápIII. Đề xuất, kiến nghị

11128888

10

121213131415151616181922252729303233

3434363738393940

4242424444




Documents

conduongcoxua.files.wordpress.com · Web viewA. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề: - Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung và mục tiêu tầm quan trọng