Solución Desafío 36

Si la afirmación del enunciado es correcta implica que el triángulo EFH es isósceles por simetría

de EH y FH respecto de la mediatriz, y al ser HF la bisectriz de se cumple .

De la misma forma si se cumple implica que el triángulo EFH es isósceles,

entonces se cierta la afirmación del enunciado

Distintas formas de demostrar la relación de igualdad en los ángulos:

1.- Por suposición inicial

Suponiendo que se cumple

En el triángulo resultante, por teorema de senos; → →

Por teorema de cosenos; sustituyendo coseno y simplificando

queda

Al ser e = n, f = h y g = m-n tenemos → teorema de la altura

en el triángulo rectángulo inicial

Entonces se cumple el supuesto

2.- Por suposición en igualdad

El triángulo resultante de lados FG=n, EG=h y EF=m-n y ángulos opuestos α, β y γ

Por teorema de altura en el triángulo rectángulo y por teorema de senos en el

resultante >>>

Entonces de donde por proporcionalidad

desarrollando queda

, haciendo resulta

igualdad que se convierte en identidad si α=γ entonces

3.- Por teorema del coseno

Por Pitágoras AC=

Por teorema del cateto

Entonces

Entonces el triángulo EFG sus lados miden:

Este triángulo es semejante al triángulo de lados:

Por teorema del coseno

y

Por coseno de ángulo doble

entonces

4.- Por geometría analítica

Situamos el gráfico resultante del enunciado sobre unos ejes de coordenadas cartesianas de modo que la diagonal coincida con el eje de abscisas y su punto medio con el origen, siendo las coordenadas de los puntos A, E, F y C las que se reflejan en el gráfico

En el triangulo rectángulo ABC, AE=a-b y CE=a+b, por teorema de la altura y

siendo E(-b,0) el centro de la circunferencia de radio BE su ecuación es

,

la ecuación de la circunferencia de centro F(b,0) y radio CF=a-b es

, siendo G el punto de intersección de ambas cuyas cordenadas son

Calculadas la coordenadas del punto G y observando el gráfico es fácil por varios caminos

llegar a la demostración de

Por pendientes:

La tangente del ángulo es la pendiente (signo contrario) de la recta FG, entonces

, de la misma forma la tangente del ángulo es la pendiente de la

recta EG, entonces , y a partir de la relación

Entonces

Por rombo:

Si G’ es el simétrico de G respecto del eje de ordenadas, por sus coordenadas vemos que

por tanto FGG’J es un rombo en el cual FG’ es su diagonal y también bisectriz

de y por construcción simetrico del lado EG, por lo tanto

Por arco capaz:

El triángulo CEG por sus coordenadas calculadas anteriormente vemos fácilmente que es

isósceles, por arco capaz por tanto

Sebas