1

סטטיסטיקה למדעי החברה ר שמואל אבן זהר"ד

הגדרות ומושגים )נוסחאות בדפים נפרדים(

מסקנות והסקת ,ניתוח ,ארגון , איסוףל כלי עזר מדעי - סטטיסטיקה

על סמך הנתונים שנאספו

מושגי יסוד מעבדת , מארגנת, אוספת - )(descriptive statistics סטטיסטיקה תיאורית. 1

). של נתוני המדגםארגון והאיסוףשלב ה (ומציגה את הנתונים או התוצאות בטבלאות ובגרפים הכללה של המדגם - inferential statistics)) (היקשית(סקית יסטטיסטיקה ה. 2

מה הסיכוי שמה שנמצא במדגם נכון -) P(ההכללה באחוזי הסתברות . הילאוכלוסי ).הסקת המסקנותו ניתוחה שלב(יה יגם באוכלוס

. מכלול תופעות מסוים-) population(יה יאוכלוס. 3 .יחסים במחקרסך כל הפריטים או הנבדקים עליהם מתי -ית המחקר יאוכלוס

ים בסימון אותיות ומקובל,פרמטרים –מכונים ) 'ודממוצע וכ (אוכלוסייה מדדים שונים בסימונים של: הערה .יווניות

יה ימתוך האוכלוס) כ אקראית"בד(תת קבוצה שנדגמה - (Sample) מדגם. 4

יה הנבחרים על מנת יחלק מתוך האוכלוס. (יהיהנחקרת ואשר ממנה רוצים להסיק על האוכלוס

.מסמן את גודל המדגם N ).הילהסיק מסקנות על כלל האוכלוסי ). גפרורים: דוגמא" (הורס"והן משום שלעיתים המחקר , הן מבחינה תקציבית, המדגם נוח יותר לחישובים:הערה ים בסימון אותיות לטיניות ומקובל,סטטיסטים – מכונים דדים שונים במדגם מסימונים של :הערה

.תהליך של בחירת הנבדקים למדגם -דגימה . 5 לאף , כלל במדגםי תהליך בו לכל נבדק סיכוי שווה לה-) (random דגימה אקראית. 6

.כלל במדגםיאו סיכוי אפסי לה, כלל במדגםינבדק אין סיכוי ודאי לה .וכדומהדגימת שכבות , דגימה הזדמנותית, דגימת אשכולות -מות אחרות סוגי דגי

הליך מחקרי בו נותנים ייצוג מספרי לתכונות . ( ייחוס מספרים לאובייקטים - מדידה. 7

.)איכותיות

י "י מדידה אלא ע"לא ע, הליך מחקרי בו מתקבלים נתונים על המדגם - תצפית. 8

).סופרים התנהגויות(ה וסיכום יצפי ). (observationאו סדרת נתונים של נבדק מסוים, )value ( לנתון בודדתצפית לעיתים מתכוונים ב:הערה

סטיית , שכיח, חציון, ממוצע-לדוגמא (מספר בודד המסכם תופעה שלמה - מדד. 9

). מדד המחירים לצרכן, תקן

. תחום ערכים של תופעה מסוימת אותה אנו חוקרים-) (variable משתנה. 10

. בניגוד למשתנה) מספרי או לא מספרי(תכונה שיש לה תמיד ערך אחד -קבוע . 11 הוא 9/5למשל . (ני משתניםיש חוקים המקשרים קבוע עם משתנה או בין ש. אין קבועים) בדרך כלל(במדעי החברה

).הקבוע המקשר בין טמפרטורה בפרנהייט לצלסיוס

2

או המשתנה ( המשתנה הנמדד העיקרי עליו נערך המחקר -משתנה תלוי . 12

). רמה בריאותית, מספר תאונות דרכים, כמו ציון בכיתה(). המושפע

י או שאינו משתנה קבוע שמשפיע על המשתנה התלו- משתנה בלתי תלוי . 13 .)עישון, מהירות נסיעה, כמו אינטליגנציה(מתופעל או ניתן לשינוי במחקר

לכל נבדק ישנה שורת (. אובייקט המשתתף במדגם/ פרט הנוטל חלק במחקר - נבדק. 14 ).או סדרת משתנים, תצפיותמשתנים ו) ורותבש( נבדקיםהמכילה ) טבלה (מטריצת נתונים עיבודים סטטיסטיים מסתמכים על :הערה

). טליגנציהינא, מין, גיל, למשל(יכולים לקבל ערכים שונים לכל נבדק X, Y, Z משתנים). בעמודות(

. רמה מסוימת של משתנה- ( score)ציון . 15 .וכן הלאה, ציון של הנבדק השני- X2, של הנבדק הראשוןX ציון משתנה - X1:סימונים מקובלים

Xi - ציון של הנבדק ה-i . Xn -ציון של האדם ה -n) האחרון במדגם.(

ΣXi - כל ערכי המשתנה) סיגמא(משמעו סכום.

n - גודל המדגם

תוצאות מדידה שלא עברו שום עיבוד עדיין- )raw score(ציונים גולמיים . 16 .) לפני היפוך סקלה–למשל (

, ערכי הגיל למשל( תוצאה של מדידה אפשרית או תצפית אחת של המשתנה -ערך . 17

).אלא שלא חייבת להיות בפועל במדגם ציון-ההגדרה דומה ל). (120- ל0נעים בין

. או יורדערכי משתנים המוצגים בסדר עולה -סדרה . 18

, מין, צבע: כמו( משתנה שערכיו מובעים בצורה איכותית - משתנה איכותי. 19משתנה -, להלן(ידי תכונות מספריות -לא על, כלומר, ) תימה של טכסט-גם , מוצא

). קטגורי-שמי או /נומינלי

.י מספרים"משתנה שערכיו מובעים ע -משתנה כמותי . 20

יש מספר שלו משתנה שבין כל שני ערכים- (discrete variable)משתנה בדיד . 21: הגדרה אחרת). (כמו מספר ילדים במשפחה(כ מספרים שלמים "ובד, של ערכיםסופי

.)שלו אין שום ערך נוסףסמוכים כאשר בין כל שני ערכים , משתנה הוא בדיד

י ערכים סמוכים שלו משתנה שבין כל שנ - )continuous variable (משתנה רציף. 22ציוני , גובה-המשתנה הרציף מובע בדרך כלל בשברים עשרוניים . (ישנם אינסוף ערכים אפשריים

).גיל, אחוזים

.בדיד או רציף למשתנה כ" הכוונה בד–סוג המשתנה . 23

). מעבר מסולם לסולם - להלן גם(שינוי ערכים של משתנה -טרנספורמציה של משתנים . 24

הרמות קובעות את מידת ( רמות שונות של מדידה הניתנות לביצוע - סולמות מדידה .25

).ואלו חישובים סטטיסטיים ניתן לערוך על המשתנה, הדיוק

מדידה שבה הערכים הניתנים למשתנה הם לצורך זיהוי -) נומינלי(סולם שמי . 26 (=) שווההאפשרית היא היחידה הפעולה המתמטית . והבחנה, לשם סיווג, בלבדמספרים , .ז.ת, מין, צבע, למשל( אין יחסי גודל בין ערכים מספריים . שונה בלבדאו

. חס מספרים לאובייקטים לצורך מיון והבחנה הסולם הנומינלי מיי).ארץ מוצא, על חולצות כדורגלנים .אפשרית טרנספורמציה שומרת זהות בלבד

3

מדידה שבה הערכים יוצרים סדר -) ליאאורדינ( סדרתי /רוגי יסולם ד. 27, דירוג שירים, דרגות בצבא, רמות חרדה, למשל. (לצורך מיון, )מספרים סידוריים(

) >,<( היא גדול או קטן ) וסף לקודמתבנ(הפעולה המתמטית האפשרית ). רמות יופי, לי כל תת קבוצה המופיעה אחר זו שלפניה גדולה ממנה במשהואאורדינבסולם . קטן, גדול, שונה, שווה-כלומר

.אפשרית טרנספורמציה שומרת זהות וסדר. אך לא יודעים בהכרח בכמה

המשתנה מדידה שבה הערכים של -) ליוונטריא( מרווחי /סולם רווחים . 28אלא , אינו חוסר המדד הזה0-ה. מוחלט0אין . נמצאים במרווחים שווים ביניהם

הפעולה ). גובה הרים, אינטליגנציה, בצלסיוםטמפרטורה, דוגמא(הוא ערך אפשרי , מינוס, פלוס(טרנספורמציה ליניארית אפשרית). -(+ המתמטית האפשרית היא סיכום וחיסור

.סדר ורווחים, ותשומרת זה) כפל וחילוק

מדידה שבה הערכים של המשתנה נותנים גם -) ליארציונ(יחסי / סולם מנתי. 29

הפעולה המתמטית . מוחלטאפס לו ישו, )שווה ביניהםהמרווח , וגם כמובן(יחס קבוע , גיל, למשל. (ביו ערכים )פי כמה(וניתן להביע יחס , האפשרית היא כפל וחילוק

.רווחים ויחס, סדר, הטרנספורמציה האפשרית שומרת זהות, ליא רציונבסולם). משקל, גובה

ם יסטטיסטיקה העוסקת בסולמות מדידה אינטרוול -סטטיסטיקה פרמטרית . 30 ).שניתן לחשב לגביהם ממוצעים (םיליאורציונ

סטטיסטיקה העוסקת בסולמות מדידה -פרמטרית -סטטיסטיקה נון. 31 ).א ניתן לחשב לגביהם ממוצעיםשל (יםילאים ואורדינינומינל

.

סולם המדידה , )בדיד או רציף(לפי סוג המדד –) מימדי המשתנה(סיווג משתנה . 32 .)תלוי או בלתי תלוי( הוא מוצב במחקר ך ואי)רציונאלי, אינטרוולי, אורדינאלי, נומינלי(

התפלגות שכיחויות

. אוסף כל הערכים של משתנה מסוים - התפלגות. 33

מספר הפעמים שמופיע כל ערך -) F-מסומן ( (frequency) שכיחות. 34 .מסוימת) בקטגוריה(שכיחות המשתנה ברמה מסמל Fx .בהתפלגות

פי השכיחות של כל ערך בטבלה - הצגת ערכי המשתנה על -התפלגות שכיחות . 35 ) ראה להלן, גם באחוזים–הצגת טבלת שכיחויות . הצגת שכיחות כל הערכים של משתנה מסוים(או בגרף

).קבוצות גיל, למשל. (תערכי משתנה למחלקו )או כיווץ(קיבוץ -נתונים מקובצים . 36

).91-100, 81-90למשל (קטגוריה או הקבצה של מספר ערכי משתנה יחד -מחלקה . 37

).לי בדרך כללאאורדינ, לעיתים ההקבצה מהווה מעבר של המשתנה מסולם מדידה גבוה לסולם מדידה נמוך יותר

. הגדרת גבול תחתון וגבול עליון של המחלקה -גבולות מחלקה . 38

גבול דמיוני בין מחלקות כאשר הגבול התחתון איננו מתלכד -גבולות מדומים . 39 ).21-30, 31-40למשל בגילים שלמים (עם הגבול העליון של המחלקה שמתחתיה

כאשר הגבול העליון של מחלקה תחתונה , גבול בין מחלקות -גבולות אמיתיים . 40 במקום 20.5-30.5: למשל בגילים(יו מתלכד עם הגבול התחתון של המחלקה הגבוהה שמעל

).מדויקים הםמתלכדים גבולות. 21-30

.לי או הנמוך ביותר במחלקהאהערך המינימ -גבול תחתון . 41

4

.לי או הגבוה ביותר במחלקהאהערך המקסימ -גבול עליון . 42

בין או הפרש (הפרש בין גבול עליון אמיתי לגבול התחתון האמיתי -רוחב מחלקה . 43 )גבול עליון מדומה לבין גבול תחתון מדומה בתוספת יחידה אחת

). מדומה או אמיתי ( של מחלקהממוצע של גבול עליון ותחתון Mp) (-אמצע מחלקה . 44

אך לא (מחלקה שאיננה מוגבלת בגבול עליון או בגבול תחתון -מחלקה פתוחה . 45 ).תמחלקה זו יכולה להיות רק בקצה ההתפלגו. בשניהם

.ידי גבולות תחתון ועליון-מחלקה המוגבלת ומוגדרת על -מחלקה סגורה . 46

מספר המקרים בכל . השכיחות היחסית בכל מחלקה-) P (שכיחות יחסית . 47 שכיחות חלקי כל המקרים -" הסתברות"במונחי (n /F= P.מחלקה ביחס לכלל המקרים

).probability -האפשריים

מספר המקרים בכל מחלקה ביחס לכלל המקרים כפול -באחוזים שכיחות . 48 ).(F% = F*100/nמאה

מספר המקרים המצטברים בכל מחלקה ומחלקה החל -שכיחות מצטברת . 49

).Cf - cumulative frequency(מהמחלקה התחתונה

סכום המקרים המצטברים בכל מחלקה ומחלקה -שכיחות מצטברת באחוזים . 50 ).cf%= cf*100/n(המחלקה התחתונה חלקי סך כל הנבדקים כפול מאה החל מ

, )או המחלקות שלו(טבלה בה מוצגים טווחי המשתנה -טבלת שכיחויות . 51

והשכיחות , השכיחות המצטברת, השכיחות באחוזים, השכיחות בכל קטגוריה .המצטברת באחוזים

בדרך כלל (. פקיים ואנכייםוהצגה חזותית של הנתונים באמצעות צירים א - גרף. 52

).תלוי ובציר האנכי המשתנה התלוי-בציר האופקי מופיע המשתנה הבלתי

קי מוצג בציר האופ. גרף המציג חזותית טבלת שכיחויות-גרף שכיחויות . 53

.F) ( ובציר האנכי מוצגת השכיחות)X (המשתנה

.הצגה חזותית של משתנים נומינליים במלבנים מופרדים -) מקלות(גרף מוטות . 54

)גובה המלבן מייצג שכיחות(

הצגה חזותית של שכיחויות באמצעות מלבנים המייצגים - מהסטוגריה. 55 .בשטחם את החלק היחסי של השכיחויות

גרף שכיחויות בו מחוברים אמצעי הצלעות -) פוליגון(מצולע שכיחויות . 56

. חצי יחידה מכל צדX-הקצוות נסגרות אל ציר ה. סטוגרמהיהעליונות של מלבני הה ) המדגם100%שטח ההיסטוגרמה והוא מכיל שטח הפוליגון שווה ל(

חלקיו . הצגה חזותית של שכיחויות בעיגול- Pie chart)( עוגה -מת מעגל אדיאגר. 57

). נעדרת בו0שכיחות . (מייצגים את החלק היחסי של השכיחויות) הזווית(

. הצגה חזותית של הצטברות השכיחויות-) אוגיבה(מצולע שכיחות מצטברת . 58

5

ציון מסוים בהתפלגות של משתנה , ) P ( percentile-) פרסנטיל, מאון( אחוזון. 59נוסחת האחוזון .P100- - ומעליו, אוכלוסיה/שעד אליו נמצאים אחוז מסוים מהמדגם

)n/4 או n/2במקום (.n/100 -בשינוי ) להלן(כנוסחת החציון או הרבעונים

מיקום הציון . שכיחות מצטברת באחוזים לגבי ציון מסוים -דירוג אחוזוני . 60

).להלן(באיזה אחוז הוא מדורג . אוכלוסיה/מבחינת האחוז המצטבר שלו במדגם . כקו העוני) לעיתים, במשכורת( מוגדר 20, שווה לעשירון העליון90 –לדוגמה

:ומדדי פיזורמדדים מרכזיים

ציון מסוים . ים את הנטייה המרכזית של ההתפלגותמדדים הקובע -מדדי מרכז . 61 ). להלן-שכיח , אמצע טווח, חציון, ממוצע. (אוכלוסיה/המתאר באופן הטוב ביותר את כל ציוני המשתנה במדגם

מדד מרכזי המתאים ) גג (X, M - mean, average -) חשבוני-אריתמטי (ממוצע. 62

) הלא מוחלטות( את סכום הסטיות 0-מוצע הוא אותו ציון המביא להמ. ליאנטרוולי ורציונילסולם א

הוא מספר שמחושב מתוךממוצע . הסטיות ממנוריבועיהממוצע מביא למינימום את סכום . יהיאוכלוס/ממנו במדגם .הקבוצה מבחינת גודל המספרים" מרכז"ומתאר את , מספריםשל קבוצה סופית

).ΣXi/n-נוסחה פשוטה (ה לחלק למספרםהוא סכום ציוני המשתנהרגיל הממוצע

.ממוצע המדגם מסומן ). מיו ( -ממוצע האוכלוסייה מסומן

ממוצע המבוסס על סכום אמצעי המחלקות כל אחת כפול - משוקללממוצע. 63

.n - לחלק למספר המקרים, השכיחות שלה

בהינתן סדרה של . שונה) משקל(ממוצע משוקלל הוא ממוצע חשבוני שבו לערכים שונים ניתנת חשיבות :הממוצע המשוקלל מוגדר כךומשקלים ערכים

.הממוצע החשבוני הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל כאשר כל המשקלות שווים זה לזה μ - מיו –ל הסימון היווני מקוב)פרמטר (לאוכלוסייה). סטטיסטי(ג מקובל למדגם גXהסימון : הערה

. 64 . אבריםNי של מכפלת -N שורש - )הנדסי (ממוצע גיאומטרי

:בחזקת המספר ההופכי למספר הערכים, ממוצע הנדסי של ערכים חיוביים הוא מכפלת הערכים

של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מכפלתה: לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבונילממוצע ההנדסי תכונה .מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה

ה אם מחליפים כל אחד של קבוצת מספרים אינה משתנמכפלתה: דומה לזו של הממוצע החשבוני .מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה

). התרבות וכדומה, טוב לבעיות קצבממוצע גיאומטרי(

6

חיוביים מספרים ממשיים של וצע ההרמוני הממ - ממוצע הרמוני. 65 :הוא

. של ההפכייםהממוצע החשבוניזהו ההפכי של , כלומר - הפשוטההנוסחא . אבריםNשל ) X1/( לחלק לסכום ציונים הופכיים N: במילים פשוטות

n/Σ(1/Xi) . ,זמן, לבעיות מהירות, כלומר, )rates(בדרך כלל משמש למיצוע של קצבי שינוי ממוצע הרמוני

)S=Vtנוסחאות מהסוג של (.וכדומה

. 66 –מתקיים , חיוביים מספרים ממשיים של לכל קבוצה - אי שוויון הממוצעים

, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע , הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי: כלומר

שווים זה אלא אם כל המספרים , שוויון לא מתקיים בשני המקרים. החשבוני .לזה

.לי ומעלהא מדד מרכזי לסולם אורדינ)50-האחוזון ה -גם ((Mdn - Median) - חציון. 67החציון ). 50-הציון של האחוזון ה( נמצאים מתחתיו 50%-מצאים מעליו ו מהמדגם נ50%-חציון הוא אותו ציון ש

/ Mdn=l + (n/2 - fb): נוסחת חציון לנתונים מקובצים. מביא למינימום את סכום הסטיות המוחלטות ממנוfw * i גבול תחתון של המרווח בו נמצא החציון- l :כאשר

n -גודל המדגם

fb -ולא עד בכלל(רווח בו נמצא החציון השכיחות עד למ.(

fw -השכיחות בתוך המרווח בו נמצא החציון .

i -גודל המרווח .

.החציון אינו רגיש כלל לערכי קצה

השכיח מביא למינימום את אחוז . ה מדד מרכזי לסולם נומינלי ומעל(Mo - Mode) - שכיח. 68

הערך .בו נמצאת השכיחות הגדולה ביותר במדגם) או אמצע המחלקה(השכיח הוא אותו ציון . הטעויות בניחוש מקרי .הנפוץ ביותר בסדרת ערכים

. בקירובMo = 3Mdn - 2M: הערה . בה נמצאת השכיחות הגבוהה ביותראמצע המחלקההוא שכיח שהוא -שכיח מחושב

לי המציין את אמדד מרכזי לסולם אורדינ (MR - Mid Range) -אמצע טווח . 69 המרחק בין אמצע). 2-לי לחלק לאלי פחות ציון מינימא ציון מקסימ-הציון האמצעי של הטווח (אמצע הטווח

. זהלית מציוןאיה המקסימיאמצע הטווח מביא למינימום את הסט. הערך הנמוך ביותר לבין הערך הגבוה ביותר

MR= (Xmax.+ X min )/ 2.

).71-77סעיף ( מדדים סטטיסטיים של הפיזור סביב המדד המרכזי -מדדי פיזור . 70

. אחוז המקרים שאינו בקטגוריה של השכיח. מדד פיזור למשתנה נומינלי-אחוז השגיאות . 71

100( ) פחות השכיחות הגבוהה ביותר באחוזים

7

לי פחות אהציון המקסימ. ליאמדד פיזור למשתנה אורדינ - (R) )תחום התפלגות(טווח . 72

).(R= X max. - X min .ליאהציון המינימ

.לית ממדד המיקום המרכזיאיה המקסימיהסט - ליתאיה המקסימיגודל הסט. 73

לי או משתנה המתפלג לא אמדד פיזור למשתנה אורדינ - רבעוני-ןטווח בי. 74 ציון רבעון עליון ). Q3 (75-למאון ה) Q1 (25- הוא התחום שבין המאון התחום בין רבעוני ).ראה להלן (ליאנורמ

.)2-לחלק ב -בחלק מהספרים (פחות רבעון תחתון ) להלן(

סכום הסטיות . ליא מדד פיזור למשתנה אורדינ-ממוצע הסטיות המוחלטות . 75

.לחלק במספר המקרים, מהממוצע) ביטול מינוס(המוחלטות

שורש של ממוצע ריבועי הסטיות : הגדרה .לי ומעלהוורמדד פיזור למשתנה אינט - ית תקןיסט. 76 היא סטיית התקן של הנתונים .מהממוצע

,

.ממוצע הוא הכאשר

.σ - סיגמא –מקובל הסימון היווני ) פרמטר(לאוכלוסייה ). סטטיסטי( מקובל למדגם sהסימון : הערה

.N -1 במונה – פ מדגם"עהערכת סטיית תקן של אוכלוסייה . 77

. - הפך ל-השוני הוא ש

- ) גודל המדגם( מספר האיברים במדגם -, איברי המדגם-, המדגםממוצע

:נוסחאות נוחות יותר לחישוב –סטיית תקן הערכת נוסחאות חישוב ל. 78

.ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע ). 2s(מדד פיזור שהוא ריבוע סטיית התקן - שונות. 79

. רבעונים4בכל התפלגות . מההתפלגות25%ציון המשקף -רבעון . 80

. קיבלו יותר ממנו75% -ו, ממנו מהמקרים קיבלו פחות25% -אותו ציון ש -רבעון תחתון . קיבלו יותר ממנו25% -ו, מהמקרים קיבלו פחות ממנו75% -אותו ציון ש -רבעון עליון

.בכל התפלגות עשרה עשירונים. עשרה אחוזים מההתפלגות -עשירון . 81

. קיבלו יותר ממנו90% -ו, מהמקרים קיבלו פחות ממנו10% -אותו ציון ש -עשירון תחתון . קיבלו יותר ממנו10% -ו, מהמקרים קיבלו פחות ממנו90% -אותו ציון ש -עשירון עליון

.פרסנטיל, אחוזון–מאיון . 82

. קיבלו יותר ממנו99% -ו, מהמקרים קיבלו פחות ממנו1% -אותו ציון ש -מאיון תחתון

8

. קיבלו יותר ממנו1% -ו, מהמקרים קיבלו פחות ממנו99% -תו ציון שאו -מאיון עליון

. 83 במאון, למשל. בהתאם n/2 כמו חציון בתיקון - מאיונים, עשירונים, חישובי רבעונים . הוא הפרסנטיל המבוקשpכאשר , p/100 יוצב n/2 במקום

.מוצע סכום ריבועי הסטיות של הציונים מן המ -סכום ריבועים . 84

מחולק הסטיות מהממוצע סכום ריבועי -השונות / ממוצע סכום ריבועים . 85 ). סטיית התקן בריבוע-למעשה (לגודל המדגם

עקומת התפלגות

המציין התפלגות םסימטרי מסוי) עקומה(קו עקום -התפלגות סימטרית . 86 . שכיחויות הסימטרית סביב המדדים המרכזיים

התפלגות שכיחויות סימטרית בה השכיח - ליתאנורמ) קומהע(התפלגות . 87

). מטי בנוסחהניתנת לתיאור מת. עקומת גאוס -נקראת גם (.החציון והממוצע נופלים בנקודה אחת

התפלגות המבוססת על -)Zהתפלגות (לית סטנדרטית אעקומה נורמ. 88 העקומה סימטרית .1-השטח הכולל תחת העקומה שווה ל). הכול-ךיחס השכיחות לס(פורציות ופר

שטחים תחת ). בהתאמה3, 2, 1לציוני תקן (0.0228, 0.1359, 0.3413 -השטחים סביב האמצע . Z=0 הנקודהסביב .ופורציות שכיחויותרומייצגים הצטברות פ, מבטאים הסתברות אמפירית -לית אהתפלגות נורמ

. התפלגות שכיחויות בעלת נטייה ימינה או שמאלה-התפלגות אסימטרית . 89

. התפלגות אסימטרית בעלת שכיח הנוטה לכיוון שמאל-התפלגות זנב ימין . 90 ).בוה מהשכיחהממוצע גבוה מהחציון והחציון ג(

. התפלגות אסימטרית בעלת שכיח הנוטה לכיוון ימין-התפלגות זנב שמאל . 91

).הממוצע נמוך מהחציון והחציון נמוך מהשכיח(

שהוא, מספר חיובי, לכל מאורע אפשרי, המתאימה, נוסחה או טבלה - התפלגות בדידה. 92 .ההסתברות של אותו מאורע

, את ההסתברות של אותו קטע, ממשי קטעלכל , יה המתאימה פונקצ- התפלגות רציפה. 93

לכל נקודה היא אפסוכך שההסתברות , אקסיומות ההסתברותבאופן שמקיים את

9

:שונותהתפלגויות . 94 .התפלגות בעלת שכיחות אחידה לכל ציון -מלבנית / התפלגות אחידה

קלפים, יהיקוב, מטבע–דוגמה . ( סופית הסתברות שווהקבוצהלכל האיברים ב

.סתברות בה0 והערך מתקבל בהסתברות 1הערך - התפלגות ברנולי . לא בלתי תלויים/מתארת את מספר ההצלחות בסדרה סופית של ניסויי כן, התפלגות בינומית

הניסויים הראשונים מתוך -את מספר ההצלחות במתארת - ,התפלגות ההיפרגאומטרית כאשר מספר ההצלחות הכולל אינו ידוע, לא בלתי תלויים/ ניסויים כןסדרה של

סיונות הדרושים לקבלת ההצלחה הראשונהימתארת את מספר הנ - התפלגות גאומטרית .בלתי תלויים לא/כן בסדרה של ניסויי . מתארת את מספר המאורעות הנדירים שהתרחשו בפרק זמן מסוים- התפלגות פואסון

.וותבקצהתפלגות בעלת שכיחות גבוהה - Uהתפלגות .שכיחות גבוהה משמאל ונמוכה מימין. התפלגות פואסונית - Jהתפלגות

.) בחירות לכנסת–לדוגמה (התפלגות בעלת שתי שכיחויות - שכיחית-התפלגות דו

. 95 – )בהתפלגות נורמאלית (חוק יחס שכיח חציון וממוצע . זנב שמאלת התפלגות בעלתמהממוצע מתקבל> מהחציון > אם השכיח

. זנב ימני-ת ממוצע מתקבלהמ< מהחציון < אם שכיח

של הציונים ממדד אחד ) העברה(מציה טרנספור -ציון מוצפן / טרנספורמציה. 96גם קיבוץ . Y = a + bX : נוסחת הקו הישר. )אריי הלינ- הקו הישר נוסחתפ "בדרך כלל ע(לאחר

כמו בטמפרטורה , לעיתים עולים בסולם.מסולם מדידה לסולם נמוך ממנו בדרך כלל, נתונים זו טרנספורמציה . כמו מצלסיוס לפרנהייט, לםלפעמים נשארים באותו סו, מצלסיוס לקלווין

ידי הפחתת- עללייםאאוניברס הפיכת ערכי המשתנה לערכים - )Z( ציון תקן. 97 הוא מספר המתקבל מחיסורציון תקן. הציון מהממוצע וחלוקה בסטיית התקן

. של הקבוצהסטיית התקן וחלוקת התוצאה במנתון מסוים בקבוצה זו) אוכלוסייה( קבוצת נתונים ממוצע

= X ציון התקן = Z, סטיית התקן של הקבוצה = σ, ממוצע הקבוצה = μ, הנתון הגולמי

, מבטא את המרחק של הנתון הגולמי מהממוצעציון התקן .תיקנוןפעולת חישוב ציון התקן מכונה שר השוואה בין מדדים מאפZ. המרחק של כל ציון מהממוצע בממדים של סטיית תקן( ביחידות של סטיית התקן

.)בתכנים שונים

Z בעזרת טרנספורמציות נוספות. 98

והוספת 15 - שלהם בZי הכפלת "טרנספורמציה ליניארית של ציוני תקן ע - .I.Qציון )Z.Q.I * 15 + 100 = . ( 100המספר

והוספת 100 - בZי הכפלת "טרנספורמציה ליניארית של ציוני תקן ע -ציון פסיכומטרי .Z + 500 = (PSY*100 (. 500המספר 5רמה . סטיות תקן0.5 רמות בהפרשים של 9-חלוקת ציוני התקן ל -) דפר(עונים יתש .0.5והשאר בהתאם מעל ומתחת בהפרשים של , Z=0.25 עד Z=-0.25 -נעה מ) האמצעית(

– )וכלוסייהאו בא (במדגםמדד למיקום יחסי -הפרסנטיל -מדדי מיקום . 99

פ שכיחות יחסית " ע- המדרג אותו ציון לכל נבדק :הדירוג האחוזוני .מצטברת

ציון לכל נבדק :Z -)או במדגם( יהיבאוכלוסמדד למיקום יחסי -ציון תקן . ביחס לממוצעהמייצג את מיקומו היחסי

10

חוזוני קשר חד חד ערכי בין דירוג א -) Zטבלת (לית אטבלת התפלגות נורמ. 100 .לציוני התקן

קשרים וגורמים

מושגים המתארים קשר ישר ליניארי בין שני -מתאם ורגרסיה -קשר קווי . 101

ורגרסיה מאפשרת גם ניבוי , פירסון הוא קשר) קורלציה(מתאם . ברמה אינטרוולית ומעלהמשתנים

.לפי הנוסחה

.בין שני משתנים) יארילא לינ(מושג המתאר קשר לא ישר -קשר לא קווי . 102( ).מתאם קרמר ועוד, מתאם ספירמן, אריתירגרסיה לא לינ

ותמה המתארת את הנקודאדיאגר -סקטרגרם / מת פיזור אדיאגר. 103

.Y- וX במערכת צירים Y ומשתנה Xת של משתנה והמשותפ

.מדד של קשר בין שני משתנים -) r(קורלציה / מתאם. 104 . ובגודל המדגם הקורלציהתלויה בגובה ) ראה להלן(מובהקות ה: הערה

.טבלה המרכזת את המתאמים בין מספר משתנים -מטריצת מתאמים . 105לכל מתאם בטבלה .1.00הטבלה בנויה משתי מטריצות משולשת חופפות ואלכסון הטבלה תמיד

.n - התלויה בגובה המתאם ובמספר הנבדקים ,צמודה מובהקות סטטיסטית להכללה לאוכלוסיה

יה במשתנה אחד גוררת יחיובי קיים כאשר על קשר - 0/ שלילי/ קשר חיובי. 106קשר שלילי קיים כאשר עליה במשתנה אחד גוררת ירידה . ה במשתנה השנייעלי

ם עקשורהאשר עליה במשתנה אחד אינה קיים כ0קשר של . במשתנה השני ולהיפך .משתנה שני

הוא מדד המתאר את העוצמה ואת מקדם המתאם של פירסון – (Rp) מתאם פירסון .107 .-1.00 - ל1.00ע בין והוא נלי בלבד אים בסולם אינטרוולי ורציונמשתנ הכיוון של הקשר בין שני

סכום מכפלת ציוני התקן של זוג משתנים בהתאמה (r=Σ(Zx*Zy)/n -נוסחא כללית מקוצרת

).י רו- ρ -ובמדגם , r –סימון מתאם באוכלוסיה . (גםדלחלק לגודל המσY- וσX סטיות תקן וμY- וμX תוחלות עם Y- וX משתנים מקרייםהקורלציה בין שני : ונוסחה מורחבת

: על פי הנוסחה הבאהתמוגדר

-ו , מאחר ש ). covariance (שונות משותפת היא cov- ותוחלתשה פירוEכאשר

אפשר לרשום את מקדם המתאם בצורה, Y-ובאופן דומה גם ל

. קשר בין ציון בפיזיקה לציון במתמטיקה–למשל

הוא מדד המתאר את העוצמה ואתמקדם המתאם של ספירמן – (Rs) ספירמןמתאם .108

.r=1-6*Σd2/(n*(n2-1)) - נוסחה. ליתאקשר בין שני משתנים ברמה אורדינהכיוון של

מהתצפית הנמוכה ביותר ועד , המשתנים בנפרד לפי ערכןמדד זה מחשבים על ידי דירוג התצפיות של שני :היא ρ .שבין הדירוגים, D את סכום ההפרשים יםחשבומ) n- ועד ל1ממספר (לגבוהה ביותר

11

:כאשר

D =סכום ההפרשים שבין דירוגי ה-Xוה -Y . N = מספר הזוגות .

. קשר בין רמות יופי ורמות חוכמה–למשל

ני קשר בין שהוא מדד המתאר את מקדם המתאם של קרמר – (Rc) קרמרמתאם .109 לית עם מעט קטגוריותאאו משתנים ברמה אורדינ, )1.00-ל 0.00נע בין (משתנים ברמה נומינלית

.)להלן ( - מבוסס על חי בריבוע.והרבה נבדקיםr=sqrt(Χ2/(n*(L-1))) .X=בריבועחי ,L=שורש. הקטן בין מספר השורות והעמודות=sqrt.

מסיבה . ול לנוע עד אין סוף תלוי לא רק בעוצמת הקשר אלא גם במספר תאי הטבלה והוא יכגודלו של - ומוגדר -המסומן ב, אלא יש מדד שמבוסס עליו שנקרא מתאם קרמר, עצמו מדד קשרזו אין

.ות הוא המספר הקטן מבין מספר הטורים ומספר השור-ו, הוא סך המקרים בטבלהכאשר פרמטרית שאינה מסתמכת -נון-קרמר שייכים לתחום הסטטיסטיקה ה- מתאמי ספירמן ו–הערה

. על ממוצעים וסטיות תקן

מתאם בין שני משתנים כאשר משתנה -) partial correlation(מתאם חלקי . 110

rXY.Z=(rXY-rXZ*rYZ)/(sqrt(1-rXZשלישי מנוטרל 2)*sqrt(1-rYZ

2)).) sqrt=שורש(

חלק מנוסחת המתאם פירסון לפני . )cov ( שונות משותפת– וריאנס-קו .111מקדם "מתקבל מדד הנקרא , של המשתנים המעורביםסטיות התקןכאשר מחלקים את השונות המשותפת במכפלת .תקנון , "המתאם

השונות . -ו של המשתנים המקריים תוחלותאת ה -נסמן ב המשותפת של השניים מוגדרת להיות

. : הערה

היא כאשר, נובע שתמיד שוורץ-אי שוויון קושימכל אימת ) וסופית(השונות המשותפת קיימת , בפרט). Y -וכן ל (X של המשתנה המקרי שונותה

.1אינו עולה על של מקדם המתאםערך המוחלטה, מאותה סיבה). סופית( יש שונות Y - וXשלמשתנים

. באופן עקבימשהומודד בדיקה אם מדד מסוים . יציבות המדד – מהימנות .112 לכןt=o+e: תיאורטית.כדי שמדד ייחשב למהימן, ומעלה=0.80α )מהימנות(ה שדרו

12

כאשר. ן משתנה הטעות סטיית תקσe; סטיית תקן משתנה נצפהσo; סטיית תקן משתנה אמיתיσt: כאשרכאשר אין שונות במשתנה . 1 ומקדם המהימנות שווה 0שונות משתנה הטעות היא , אין שום טעות מדידה

שונות משתנה הטעות שווה לשונות , האמיתי וכל השונות של המשתנה הנצפה נובעת מטעויות מדידה 0המשתנה הנצפה ולכן מקדם המהימנות שווה

אלפא (או של שאלונים ) לחץ דם, משקל(י מדידה מהימנות של מכשיר: דוגמה ) ועודSplit half, קרומבך

המידה שבה התוכן של ( בדיקה אם מדד מסוים בודק מה שאמור לבדוק- תקיפות .113

.ומעלה r=0.50 דרוש . )תחום ההערכההמבחן משקף ומייצג את :סוגי תקיפויות

תחום ההערכה המידה שבה התוכן של המבחן משקף ומייצג את :תוקף תוכן סוג תוקף זה משווה בין ביצועי התלמידים במבחן לביצועיהם במשימה אחרת שנועדה למדוד את :תוקף קריטריון

.נו בוחנים את טיב המבחןהמשימה האחרת היא הקריטריון שמולו א. היא הביצוע המיועד-אותו התחום או שהיא המשתנה התלוי האם הגדרות – מתייחס לקשר בין המשתנים התצפיתיים למשתנים התאורטיים – תוקף מבנה

מייצגות את המונחים התאורטיים אותם התכוון החוקר לבדוק במסגרת המחקרהבלתי תלויו או לתנאים הספציפיים מעבדהר גם מחוץ ל מודד את המידה שבה ניתן להכליל את ממצאי המחק-תוקף חיצוני

שבהם נערך המחקרהיא זו שגרמה לשינוי ) השינוי במשתנה הבלתי תלוי המתופעל( עוסק בעיקר במידה בה המניפולציה -תוקף פנימי ולא גורמים אחרים, הנצפה במשתנה התלוי המשתנה התלוי לנבא את ערכיו של המשתנה הבלתי תלוי משמש להערכת יכולתו של -תוקף ניבוי

מדד גולמי המתאר עוצמת קשר בין שני משתנים -תלות - בריבוע לאיחי. 114

.)ם קרמרמתא( 1- ל0לפני העברתו לסקלה בין ,)או אורדינלית עם מעט קטגוריות(ברמה נומינלית

)Expected( שכיחות מצופה בתא – E) Observed( שכיחות נמדדת בתא Σ((Oi-Ei) 2/Ei) - O=חי בריבוע

) Expected: (הטבלה הצפויה. מסומנת באות ) Observed(הטבלה הנצפית : הטבלה המקורית ככל שההבדל - הטבלאות 2דד מבוסס על ההשוואה בין המ. טבלה צפויה לחוסר קשר- -מסומנת ב :את המדד לשוני בין שתי הטבלאות מכנים. ך חלש הקשר בין המשתניםכ, ביניהן קטן

: והוא מסומן) Chi-squared(חי בריבוע

.י-i-מציין את השכיחות הצפויה בתא ה. י-i- הנצפית בתא השכיחותמציין את ה: כאשר

ואחר כך לסכם את התוצאות כדי לחשב את המדד יש לחשב לכל תא את הביטוי

מדד סטטיסטי המתאר מרחק של התפלגות - לטיב ההתאמה-חי בריבוע . 115 .מסוימת מהתפלגות משוערת

ציונים של פי-ל עYמשוואה שמנבאת ציונים של משתנה -משוואת ניבוי . 116

).באמצעות כל נוסחה (Xמשתנה

המשמשת לבדיקה וניצול של , סטטיסטיתשיטה . ל"רטי של הנמקרה פ -ארית ירגרסיה לינ. 117 .י המדעבכל תחומ, נמצאת בשימוש נפוץ ביותר במחקרים כמותיים. קשרים ליניאריים בין שני משתנים או יותר

.)Y= a+bX :משוואת הרגרסיה(משוואת ניבוי ספציפית של הקו הישר

13

. , כלומר, מודל ליניארי המסביר את הקשר בין המשתנים הוא מודלה

מתקיים הקשר , דגימות nמניחים שבמדגם הכולל , ליתר דיוקואילו גורמי השגיאה , )שאינם ידועים( הם פרמטרים קבועים b - וaכאשר ,

, , והשונות שלה, 0שהתוחלת שלה , התפלגות נורמלית בעלי משתנים בלתי תלוייםהם . ידועXכאשר , Y אמידתארית היא לסייע ביהמטרה הראשונה של הרגרסיה הלינ. קבועה

( . )b עם aאות לעיל החלף חבנוס: הערה

a) intercept (-וך עם ציר נקודת חית. Y b) slope(–השיפוע ) .טנגנס הזוית.( b=r*Sy/Sx או b=Sxy/Sx2 או Y) גג-X)* (Yiגגb=Σ(Xi- , ו- Xגגb* -Yגגa=

)=Sxyשונות משותפת ,Sx=הכוונה הממוצע-גג, סטית תקן.(

. גורם למשתנה תלוי, מנבא, המשפיע, משתנה בלתי תלוי) X (-משתנה מסביר . 118

משתנה ה. תלוי-ידי המשתנה הבלתי-משתנה מנובא על) Y (-נה מוסבר משת. 119 .תלויה

עונה על . Y=a + bXמציין את השיפוע בנוסחת הרגרסיה - b מקדם -השיפוע .120 השיפוע כאשר המשתנים – Beta . משתנה ביחידה אחתX כאשר Yהשאלה בכמה משתנה

X Yבמדדים של ציוני תקן .Betaוהוא בעצם המתאם בין המשתנים)0,0נקודה ( עובר דרך הראשית .

. X = 0. 121 בנקודה של Yמציין את גובה - a מקדם -ך ותי נקודת ח

.ידי כמה משתנים- מוסבר עלYכאשר –רגרסיה מרובה . 122 .)מכפלת משתנים או אף גורמים שאינם ליניאריים(אפשר גם לכלול אינטראקציות ..

14

משקף את אחוז .בריבועהמתאם -) המשותפת(אחוז השונות המוסברת .123 ).X. r2) *100ידי - המוסבר עלY-השונות ב

. 124 . השגיאה.Xי " שלא מוסבר עY החלק בשונות של - אחוז שונות לא מוסברת

r2)) (1-*100.(

ידי השונות של - המוסבר עלYחלק השונות בציוני -יחס השונות המוסברת . 125X. r2) *S2

.(

ידי השונות - שאינו מוסבר עלYחלק השונות בציוני -נות לא מוסברת יחס שו .126X) .)1- r2של

(* S2 .(

ניתן לפרק שונות כללית לשני חלקים חלק שונות מוסבר -פירוק השונויות . 127

.סכומם שווה לשונות עצמה. וחלק שונות שאינו מוסבר

:הסתברות

).להלן (ההסתברות הצפויה להתרחשות אירוע / התחזית - הסתברות/סיכוי. 128

מאורע בלתי אפשרי הוא בעל . 1- ל0הסתברות ניתנת לכימות כמספר בין . מסויםמאורעהסתברות היא הסיכוי להתרחשות .1ומאורע ודאי הוא בעל הסתברות , 0הסתברות

:המורכבת מ שלשה -מרחב הסתברות . 129 . שאיבריה הם כל התוצאות האפשריות קבוצה-מרחב המדגם . המעניינים אותנו של כל המאורעותאלגברה-סיגמא זוהי - שדה המאורעות

המתאימה לכל מאורע את ההסתברות שהוא פונקציה זוהי - מידת הסתברות . פונקציית מידהפונקציה זו היא . יתרחש

המנתח באופן כמותי מאורעות שיש מתמטיקהענף של ה - תורת ההסתברות. 130

,בהם אקראיות וחוסר ודאות

.ודאות-ידי מקריות ואי- תופעה המאופיינת על-ניסוי מקרי . 131

). אומגה-סימון (.אפשריות של ניסוי מקרי אוסף כל התוצאות ה-מרחב מדגם . 132 .קיים מרחב מדגם רציף או בדיד

. כל תוצאה המורכבת מנקודה אחת או מספר נקודות במרחב המדגם-מאורע . 133

מתוך כלל המאורע המכיל תוצאה אחת אפשרית - פשוט/מאורע יסודי. 134 .התוצאות האפשריות

. תר מנקודת מדגם אחת מאורע המכיל יו-מאורע מורכב . 135

. קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי מקרי-מאורע ודאי . 136

מספר הנקודות המתארות מאורע לחלק במרחב - )הגדרה מתמטית() P( הסתברות .137

. P(A)<=1=>0 מתקייםAלכל מאורע .המדגם

מאורע וההסתברות של כל , מאורעות יסודייםN כאשר יש -הסתברות אחידה . 138 .N1/יסודי הוא

15

אירוע אחד או יותר . שניתן לחשבה מראש. הסתברות ידועה מראש-הסתברות אפריורי . 139

.חלקי סך כל האירועים האפשריים

.הסתברות לאור מידע שקיבלנו -הסתברות אפוסטריורי . 140

פ השכיחות היחסית של "הסתברות המחושבת ע -הסתברות אמפירית . 141 ).F/N= P(הסתברות כגבול שכיחות יחסית . האירוע

.דעה אישית של אדם לגבי סיכויים למאורע נתון -הסתברות סובייקטיבית . 142

.P(Ac) + P(A) = 1 מאורע במרחב המדגם אזי A אם -כלל המשלים . 143)Ac -המאורע המשלים .(

אין נקודות B- וAכאשר למאורעות -מאורעות זרים / מאורעות מוציאים . 144 ).לא יכולים לקרות יחד(משותפות

). 'או שלישי וכו(ההסתברות להתרחשות אירוע אחד או שני -חוק החיבור . 145מחברים את ההסתברויות -במאורעות זרים .או זה או זה או שניהם) B או A -איחוד מאורעות .P(A or B) = P(A) +P(B) - של האירועים

. P(A or B) = P(A) +P(B) - P(B and A) . 146-) למאורעות לא זרים (בור הכלליחוק החי

מכפילים הסתברויות של (הסיכוי להתרחשות שני אירועים או יותר -חוק הכפל . 147

.P(A and B) = P(A)*P(B) . גם זה וגם זה). B וגם A -חיתוך מאורעות ().אירועים

- B של מאורע Aהסתברות בתנאי - הסתברות מותנה. 148

P(B|A)=P(A or B)/P(A). הסתברות . קרהבהינתן שמאורע אחר , של מאורע כלשהו הסתברותה

.בהינתן ההסתברות של ונקראת מותנית נכתבת בתור

:ניתן לחשב הסתברות מותנית באמצעות הנוסחה

נקראים מאורעות בלתי תלויים אםB- וA מאורעות -מאורעות בלתי תלויים . 149. P(B|A) = P(B). P(A and B) = P(A) * P(B) - במאורעות בלתי תלויים

.מת עץ או במודל הכדאהניתן לתיאור בדיאגר ניסוי -ניסוי רב שלבי . 150

מכפלת ההסתברויות של קטעי -הסתברות מאורע של מסילה מסוימת . 151

.P(S and A) = P (S) * P(A|S) המסילה

. עוזר להבנת הסתברויות קשורות. קבוצות המבטא קשרים בין תרשים - רמת וןדיאג. 152

).חלופות ותמורות ( תורת הצירופים- קומבינטוריקה. 153

עצמים שונים בשורה nמספר האפשרויות לסדר – )ותפרמוטצי (תמורות. 154 .n! הנוסחה למציאת מספר התמורות היא . )קבוצה סידור מחדש של העצמים ב-תמורה (

16

n מתוך kבחורמספר האפשרויות ל - )מדגם סדור ללא החזרה(חליפות . 155לא ל N אברים מתוך Kמספר המדגמים הסדורים של ( .עם חשיבות לסדר הבחירהעצמים שונים

) תאיםn- כדורים בkאפשרויות לשים ' מס–למשל (.הנוסחה היא )החזרה

kבחורמספר האפשרויות ל - )מדגם סדור עם החזרה(חליפות עם חזרות . 156מספר הסדרות השונות בגודל ( .חשיבות לסדר ואפשרות לחזרותעם עצמים שונים nמתוך

K מאוכלוסיה בת Nאברים . kיכול להיות גדול מ -n .() הנוסחה היא ) אותיות5מספר הדרכים לכתוב מילה בת -למשלnk

.

n מתוך kבחורמספר האפשרויות ל -)N מתוך Kקומבינציות של (צירופים . 157

כלומר , )k על nקרי (הנוסחה היא בלי חזרות כשאין חשיבות לסדר הבחירהעצמים שונים

N- הצלחות בK-מספר האפשרויות ל . ). הסדר לא חשוב-מדגם לא סדור עם החזרה : למעשה(. ).P-1-או (Qמסומן . המאורע המשלים למבוקש-כשלון . Pמסומן . מאורע מבוקש-הצלחה .ניסויים

-ייתכן ש( בלי חזרות עצמים שונים n מתוך kבחור למספר האפשרויות -חלוקות . 158kגדול מ -n( ,עם חזרות ובלי חשיבות לסדר.) מספר הדרכים להכניס מספרים שלמים חיוביים ב -למשל-N

-נוסחה . kיתן תוצאה יכך שחיבורם , משתנים

אשר למאורע יסודי שלו שתי X התפלגות משתנה )הרחבה( התפלגות בינומית. 159

וההסתברות , כמפולג בינומית על ידי הסימון Xמסמנים משתנה מקרי . בלבדאפשרויות

: היא) ( הניסויים n הצלחות לאחר kלקבלת

הוא מספר הדרכים לבחור את " המקדם הבינומי"כאשר , kההצלחות מ - nהניסויים .

ואת הכישלונות , ) דרכים לעשות זאתיש (מסדרים את ההצלחות : אפשר גם להבין כך

.ולכן , -מכאן ש). דרכים . שבהגדרתהמקדמי הבינוםשבשמה מגיע מ" בינום"ה: מכאן גם שמה של ההתפלגות

. שלו היא שונות ואילו ה של משתנה מקרי בינומי היאתוחלתה

.איברים של שני סכום של קותחז לפיתוח נוסחה - הבינום של ניוטון. 160

.K מעל N משולש מספרים המציינים את המקדמים - משולש פסקל .161

17

התוחלת או (תוחלתה .משוקלל ברווח והפסד, ממוצע, המספר המצופה - תוחלת. 162 היא סכום כל המכפלות של כל אחד מן הערכים השונים אותם יכול לקבל משתנה מקרישל ) המתמטית

.המשתנה בהסתברויות המתאימות לקבלת אותם ערכים

.או או התוחלת מסומלת על ידי , בהתאמהp1 ,p2,... בהסתברויות x1 ,x2,... שמקבל את הערכים משתנה מקרי בדיד הוא Xכאשר

). הלן ):טורה לדוגמהכמו בדוגמת הרולטה לעיל וב(או (חושב על ידי הסכום ת :Ω מרחב המדגם במאורעותאפשר לסכם על ה, במקום לסכם על ערכי המשתנה

):היקשית(סטטיסטיקה היסקית

.סטיית תקןוממוצע כמו מדדים סטטיסטיים במדגם - משתנה /סטטיסטי . 163

).X ,s – באותיות לטיניותאותם מסומנים (

. הימדדים סטטיסטיים באוכלוסי -קבוע / פרמטר . 164

).μ ,σ - באותיות יווניותאותם מסומנים (

טכניקת דגימה שבה . Nהתפלגות ממוצעי כל המדגמים בגודל – התפלגות דגימה. 165

מחשבים את הממוצעים שלהם ומסדרים אותם , היי מהאוכלוסNמוציאים כל פעם מדגם בגודל .בטבלת התפלגויות

-הכללים בהתפלגות דגימה . 166אף אם ההתפלגות (לית א נוטה להיות נורמNההתפלגות של ממוצעי כל המדגמים בגודל . א

,)ליתאהמקורים אינה נורמ

,)M = μ (יהי שווה לממוצע האוכלוסNממוצע ממוצעי כל המדגמים בגודל . ב .s/(Nשורש (-סטיית התקן של ממוצעי כל המדגמים שווה ל. ג

.s/(nשורש (סטית תקן מחולקת לשורש גודל המדגם -שגיאת תקן . 167

שלושת הכללים בהתפלגות דגימה המנוסחים - משפט הגבול המרכזי. 168 )ראה ויקיפדיה(מתמטית

.ל"השלמה להנ – חוק המספרים הגדולים. 169

.ל" השלמה להנ– אי שוויון צבישב. 170

– מתודה סטטיסטית המסייעת להכרעה בין שתי אלטרנטיבות -השערה . 171

ההשערה כוללת לפחות משתנה תלוי .)H1 ( והשערה אלטרנטיבית)0H (השערת האפס .אחד ומשתנה בלתי תלוי אחד

ההשערה הבסיסית הטוענת שאין הבדל בין -השערת האפס / H0השערת . 172

).או ששני מדגמים לקוחים מאותה אוכלוסיה(יה יממוצע המדגם לממוצע האוכלוס

שממוצע המדגם שונה ערה הטוענתהש -השערת המחקר / 1Hהשערת . 173 .השערת האפס הפוכה מהשערת המחקר). או שיש הבדל בין שני מדגמים(ה ימממוצע האוכלוסי

)גדול או קטן(השערה הנבדקת בכיוון אחד )One tail (–השערה חד צדדית . 174

18

לאשש השערה חד צדדיתקל יותר. ולכן ההשערה תהיה בכיוון הידועממוצע האוכלוסייה ידוע ממוצע המדגם וגם

).שונה(השערה הנבדקת בשני הכיוונים )Two tails (–צדדית -השערה דו. 175 ואז משערים כי ממוצע המדגם שונה מממוצע האוכלוסייה כיוון ממוצע האוכלוסייה לא ידועידוע ממוצע המדגם אך

.שלא ניתן עדיין לציין בוודאות אם הוא גדול או קטן

מידת הביטחון שמודל שנדחה -) רמת מובהקות( מובהקות סטטיסטית. 176 של מקרה פרטי. אכן אינו מתאר את המציאותבדיקת השערות למבחן סטטיסטיב

רווח סמךמובהקות סטטיסטית הוא מידת הביטחון בכך שהפרמטר הנאמד שייך ל הוא H0. P- 1מאפשרות לדחות את - P – סטטיסטיתהמובהקות רמת ה .נתון

השטח בעצם הוא - Pערך .ון שלי בהכללה ממדגם לאוכלוסייהבעצם מידת הביטחמהסטטיסטי המחושב המחושב המתקבל מהניתוח הסטטיסטי כפי שהתקבל

לכל מדד . גודל המדגם– N-והוא פונקציה של הגודל הסטטיסטי ו, במדגם .P -צמודה רמת המובהקות) המחושב בסטטיסטיקה היקשית(סטטיסטי

כדי להחליט אם מדגםהיא הליך המשתמש בתוצאות - בדיקת השערות. 177

. סטטיסטית נתונההשערהלדחות או לקבל

)קרל פופרמייסדה (של מדעי החברה תפילוסופיגישה – הגישה הפופריאנית. 178 נכונות של השערת האפס כל עוד לא הופרכה ואוששה ההשערה המניחה

.האלטרנטיבית

העומדת בבסיס של ) ל"הנ( גישה הפופריאניתמושג מרכזי ב – הפרכה. 179ניסיונות ות במדעי החברה אלא כחות" הוכחות"אין . ילוסופיה של מדעי החברההפ

. לאישוש השערה אלטרנטיבית להשערת האפס

הקובע את רמת המובהקות ואת הנקודה הקריטית הקריטריון-ערך אלפא . 180 .0.01 או 0.05 -ערך אלפא מקובל , 0Hשעל פיה ניתן לדחות את ) הקריטי השטח(

.H1 ונקבל את H 0 את אם נדחה לטעות הסיכוי

).0.20-כ –מקובל (1H ונדחה את 0H את אם נקבלהסיכוי לטעות -ערך ביתא . 181

אזי לא דוחים את , P<אם מקבלים במחקר שאלפא - H0אזור / אזור קבלה . 182H0 .

.H0אזי דוחים את , P>אם במחקר אלפא - H1אזור / ה יאזור דחי. 183 . דוחים- 1H היא באזור P> אם אלפא . מקבלים - 0H הוא באזור - P< פא אם אל

. נכונהדחיית השערת האפס כאשר למעשה היא : Iשגיאה מסוג -סוגי שגיאות . 841 . קבלת השערת האפס כאשר למעשה היא איננה נכונה: IIשגיאה מסוג

Z=e*sqrt(n)/s -י לטעות גורמים המשפיעים על הסיכו. 185 הטעות קטןככל שההפרש (גודל הטעות , )בין המדגם לאוכלוסיה ( הממוצעים הפרש- e. א ).גדלה ). הטעות גדלהקטןככל שהמדגם ( גודל המדגם - n. ב ). הטעות גדלההגדולככל שסטית התקן (יה י סטית התקן של האוכלוס- s. ג

בהתפלגות ה יישטח רוב האוכלוס - סמך-רווח בר/ טחוןי מרווח הב.186 או ) מכל צד2.5%( 0.95 -ערך מקובל ). H0( עד הנקודה הקריטית נורמאלית

19

של המחקר ועל יכולתו עוצמה סטטיסטיתגודל מדגם משפיע על ה – nגודל מדגם . 187

רווח הסמך גודל המדגם הנדרש מושפע בעיקר מגודל .אוכלוסייה הנחקרתהיצג את כלל ישל המדגם לגודל המדגם הדרוש הוא .מגודל האוכלוסייה כולה ומהשונות שיש באוכלוסייה לגבי התכונה הנחקרת, הנדרש לתוצאות הסקר

2/ E) sigma) * alpha/2 ( Z( , של התכונה הנחקרת באוכלוסייהסטיית התקןכאשר סיגמא היא ,E הוא גודל רווח הסמך של חצי אלפא הוא גודל התלוי בהתפלגות הנורמאלית הסטנדרטית ובמובהקות הדרושהZ-ו, הדרוש

- Zכאשר Z - n=((Z*s)/e) 2ניתנת לפיתוח מנוסחת לגודל מדגם הנוסחא , כלומרתיעשה בחירת גודל מדגם . ודל השגיאה הרצוי ג - e=X - μ -ורמת הביטחון הרצוי

כלל הטעות - בדרך.וסטית תקן משוערת, טחוןירמת הב, לפי קביעת גודל הטעות הרצוי

.0.10-0.30נעה בין ) (s/eהיחסית

שהבדל הקיים במציאות בין שתי , מידת הביטחון - עוצמה סטטיסטית. 188 .בדיקת השערות למבחן סטטיסטיאכן יתגלה ב, אוכלוסיות

:מבחנים סטטיסטיים

מתחילים במציאת סטטיסטי במדגם וממנו מסיקים - אמידה סטטיסטית. 189בבדיקת השערות מתחילים בהשערה (. היבאוכלוסיהפרמטר מסקנה הסתברותית על

.)יהיהאוכלוס להפרמטר שסטטיסטית על

משתנה אקראי של ע מבחן סטטיסטי הבודק הבדל בין ממוצ - Zמבחן . 190 -או (ה כאשר ידועה סטיית תקןיאוכלוסיהמדגם לממוצע של המתפלג נורמאלי

.יהי של האוכלוס)השונות

של משתנה אקראי מבחן הבודק הבדל בין ממוצע ) מבחן סטודנט( - t מבחן. 911או (ה כאשר לא ידועה סטיית תקן יאוכלוסיהמדגם לממוצע פלג נורמאלי של המת

ידי -סטיית התקן נלקחת מהמדגם ומחשבים אותה על. יהישל האוכלוס) השונות ).פ מדגם"אומדן סטית התקן של האוכלוסייה ע. (N- במקום בN – 1 -חלוקה ב

.t למבחן Zמבחן אין הבדל בין ) 30מעל ( גדול Nכאשר

.הבדלים בממוצעים של שתי קבוצות שונות - לקבוצות בלתי תלויות tמבחן . 192 = 1X ,2X. (T=(X1-X2)/SE .)שגיאת התקן =SE . ממוצעי הקבוצות

20

, הבדלים בממוצעים של זוג משתנים באותה קבוצה - לקבוצות תלויות tמבחן . 193, בין המשתניםממוצע ההפרשים הזוגייםא הוT=d/SE. d . )וכדומה, בן-אב (.או בקבוצות תלויות

..בהתאמה

או למספר , בין ממוצע מדגם לממוצע אוכלוסייההבדל – חד מדגמי tמבחן . 194

ל שנעשה על ההפרשים "המבחן לקבוצות תלויות הוא מקרה פרטי של הנ. (כלשהוא )בין הזוגות

ום ריבועי סכ שורש של: פי מדגם-אומדן סטיית התקן של אוכלוסיה על. 195

. N – 1-הסטיות מהממוצע לחלק ב

כמו הבדלים בין שונויות , בחינת השערות התלויות במספר פרמטרים - Fמבחן . 196 . או כשישנם מספר משתנים בלתי תלויים.)מבחן לווין(

ניתוח סטטיסטי למציאת הבדלים בין ממוצעים של -ניתוח שונות חד כיווני . 197). או קבוצות(יותר משני מדגמים תנה הבלתי תלוי מכיל המשמשתנה תלוי כאשר

).Fהסטטיסטי מסומן (

במקרה (.כאשר יש שני משתנים בלתי תלויים, ל" כנ-ניתוח שונות דו כיווני . 198 )זה יתכן ולכל משתנה כזה ישנם שתי קבוצות או יותר

אחד שר כא, ל" כנ-עם מדידות חוזרות )דו כיווניחד או (ניתוח שונות . 199

.מכיל קבוצות תלויות) לפחות(מהמשתנים הבלתי תלויים

ניתוח שונות בו מתוקנן –) covarient-תשונות משותפ (וריאנט-ניתוח קו. 200 . פי משתנה רציף אחר-המשתנה התלוי על

ניתוח שונות כאשר ישנם מספר משתנים תלויים –) manova (ניתוח רב משתני. 201

.הקשורים זה עם זה

כאשר ההבדלים במשתנה התלוי -כיווני -בניתוח שונות דו. גורם מעורב- אינטראקציה. 202תלוי -שונים בין קבוצות המשתנה הבלתי) או-נובעים מ(בין קבוצות המשתנה הבלתי תלוי האחד

. משתנים בלתי תלויים שהם מכפלות המשתנים הבלתי תלויים-במשוואת הרגרסיה . השני

:)סטטיסטיקה מתקדמת(וספים נושאים נ

) יש או אין(מון ימהווים ס. 0 או 1 משתנים במשוואת רגרסיה שערכם -משתני דמה . 203 .שהיא-לתכונה כל

. מציאת אשכולות של משתנים הקשורים לאותו גורם- ניתוח גורמים.204

. )ותשיטת בניתוח מהימנ ( מתאם בין כל פריט לסכום המבחן- ניתוח פריטים. 205

.במספר שלבים) רגרסיות( בדיקת השפעות -) path analysis( ניתוח נתיבים .206

. ניבוי השתייכות לקבוצה מסוימת- )(discriminant ניתוח הפרשים .207

21

הצגה חזותית של -) SSA – Smallest space analysis(ניתוח המרחבים הקטנים . 208 . דו או תלת ממדית\מרחקים בין משתנים

ניתוח היררכי של משתנים בלתי תלויים - )cluster analysis (ניתוח אשכולות. 209

.בדידים

תהליך של רגרסיה בו –)gressionStepwise Re(רגרסיה ליניארית בצעדים . 102בעלי המתאם הגבוה (נכנסים למשוואת הרגרסיה המשתנים המסבירים ביותר

המשתנה הבא עם " מנוקה"בזה אחר זה כאשר בכל שלב ) ביותר עם המשתנה התלוי ).י חישוב מתאמים חלקיים"ע(המשתנים שכבר נכנסו למשוואה

שבכל שלב ישנן קבוצות משתנים ל אלא "דומה להנ –רגרסיה היררכית . 211

.מתוכם נכנסים למשוואה בצעדים המשתנים המנבאים ביותר, מאולצים

ארי בין המשתנה התלוי י רגרסיה מניחה קשר לא לינ- רגרסיה לא ליניארית. 212 .תלוי-והבלתי

.כאשר המשתנה התלוי מכיל שני ערכים רגרסיה - וגיסטיתרגרסיה ל. 213

ישנם כאשר ותרגרסימערך של –) Multilevel Models(תיים מודלים רב רמ. 214והבלתי תלוי הם המשתנה התלוי ו) בתי ספר, כיתות, ילדים(היררכיות של נתונים ). יודעת לטפל במקרים אלוHLMתוכנת (. ברמות נתונים שונות

שיטה –) Sem – Structural Equation Models(מודלים של משוואות מבניות . 215, )חיצים וקשתות(תלויים והקשרים ביניהם -ית להצגת משתנים תלויים ובלתיגרפ

במדדים , עם קשרים של רגרסיות וקורלציות, משתנים סמויים ומחושביםומתן ציונים של מדדי טיב ההתאמה של המודל , סטנדרטיים ולא סטנדרטיים

) למשלAMOSתוכנת . (למציאות

שיטה לבנייה ארגון וניתוח שאלונים או – )Facet Theory (-תורת השטחות . 216, )נתונים נומינליים או אורדינאליים(פריטים כאשר ניתוח גורמים רגיל אינו מספק

.ממדיםדו או תלת המסתמכת על מרחקים בין משתנים היוצרים שטחות ב

פרמטרית-סטטיסטיקה נון(

: מושגים ,)run test (מבחן הגושים

,)ועוד, ליתאבדיקת התפלגות נורמ(ב מבחן קולמוגורוב סמירנו ,מבחן בינומי

,ויטני-מבחן מן ,קרוסקל ואליס

,וילקוקסון ,נמאר-מק

,פרידמןמבחן ) ועוד