Cours

MPSI 831

0 Analyse dimensionnelle etordres de grandeur

Dans ce chapitre, nous allons revoir l’analyse dimensionnelle (primordiale en physique) ainsi que les unitésdu système international. Nous ferons également un rappel sur les chiffres significatifs ainsi que sur lamanière de mener proprement un calcul.

Toutes les notions abordées dans ce chapitre ont sûrement déjà été vues au lycée mais doivent être maitriséessans hésitations dès le début de l’année !

Table des matières1 Les dimensions 1

2 Les unités 3

3 Les chiffres significatifs 4

4 Le calcul numérique et littéral 5

5 Les ordres de grandeur et l’analyse d’un résultat numérique 5

1 Les dimensionsLes grandeurs physiques peuvent posséder une dimension qui nous renseigne sur sa nature physique. On peutmontrer que la dimension de n’importe quelle grandeur physique peut toujours s’exprimer en fonction de septdimensions. Le choix n’est pas unique mais sept dimensions de base ont été historiquement retenues. Il s’agitdes dimensions du système international (S.I). Il est constitué des dimensions suivantes (avec leur notationstandard) :

• La longueur (L)• Le temps (T)• La masse (M)• La température (θ)

• La quantité de matière (N)• L’intensité électrique (I)• L’intensité lumineuse (J)

Exemple : La vitesse à la dimension d’une longueur divisée par un temps :

[v] =LT

= L.T–1

Il existe également des grandeurs sans dimensions (on dit aussi adimensionnée). Par exemple, un angle α est lerapport de deux longueurs et n’a donc pas de dimension. On note ainsi :

[α] = � ou encore [α] = 1

Exemple 1 : Dimension de l’énergie :Pour cela, on utilise n’importe quelle formule faisant apparaitre une énergie, par exemple l’énergiecinétique :

Ec =12mv2 =⇒ [Ec] = [mv2] car

[12

]= 1⇒ [Ec] = M.L2.T–2

Par conséquent une énergie s’exprime en kg.m2.s–2 nommé aussi Joule (1 J = 1 kg.m2.s–2)

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Exemple 2 : Dimension de l’accélération de la pesanteur gOn peut utiliser une formule utilisant l’énergie potentielle :

Ep = mgh =⇒ [Ep] = [Ec] = M.L2.T–2 = M[g]L =⇒ [g] = L.T–2

Par conséquent g s’exprime en m.s–2. g est bien une accélération !

L’une des principales utilités de l’analyse dimensionnelle est de vérifier si un résultat obtenu est faux. Eneffet, dans une égalité A = B, on a nécessairement [A] = [B]. Si ce n’est pas le cas, l’égalité est fausse.

On retiendra que :

Une équation non homogène est fausse.

Ainsi, vérifiez l’homogénéité de ses équations permet de repérer directement une équation fausse. (Attention,cela ne veut pas dire que l’équation est bonne !).

En pratique, afin de vérifier l’homogénéité d’une expression, on utilise les règles suivantes :• Les deux membres d’une égalité A = B ont la même dimension, c’est-à-dire [A] = [B] ;• Les termes d’une somme ou d’une différence ont la même dimension (on n’ajoute pas des vitesseset des longueurs par exemple) ;

• L’argument x des fonctions mathématique (exp(x), cos(x), ln(x)...) est toujours sans dimension, cesfonction étant elles-mêmes sans dimension ;

• La dimension des dérivées et intégrales se détermine comme suit :

[dxdt

]=

[x][t]

∫x dt

= [x][t]

On gardera toujours à l’esprit la règle suivant :

Au cours d’un calcul, il est impératif de vérifier fréquemment les dimensions de vos équations

C’est également un moyen puissant d’avoir une idée du résultat en limitant les calculs au maximum. Pour lecomprendre, prenons l’exemple du raisonnement effectué par le physicien Geoffrey Ingram Taylor en 1950 pourestimer la puissance de la bombe atomique américaine. A cette époque, cette valeur était secrète mais l’arméea publié une série de clichés sur lesquels on voit la taille du nuage formé par l’explosion en fonction du tempsécoulé.

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Selon Taylor, 3 paramètres doivent être pris en compte pour estimer le rayon du nuage :• Le temps écoulé depuis l’explosion t• L’énergie de la bombe E• La masse volumique de l’air ρ

Ainsi Taylor essaya de relier le rayon de l’explosion à ces trois paramètres. Il posa donc :

R ∝ Eα tβ ργ

R ∝(M.L2.T–2

)αtβ(M.L–3

)γ

ce qui donne le système suivant :

2α – 3γ = 1

α+ γ = 0

–2α+ β = 0

Après résolution, on aboutit à :

E ∝ R5ρ

t2

L’inconvénient de cette méthode est que nous ne connaissons pas la valeur du coefficient de proportionnalité.Sans indication complémentaire, on le prendra égal à 1. Ainsi, Taylor estima l’énergie à environ 1014 J (équivalentà Hiroshima : 6, 3.1013 J), ce qui est le bon ordre de grandeur.

2 Les unitésPour exprimer des grandeurs physiques, on choisit des unités. Par exemple, une longueur peut s’exprimer enm, en km, en pouces, en miles...

Une grandeur sans dimension peut également posséder une unité. Un angle, par exemple, peut s’exprimer endegré, en radians (on rappelle que 2π rad = 360 ◦),...

Un résultat numérique doit toujours être accompagné d’une unité.

Exemple : célérité de la lumière c.Ecrire c = 3.108 n’a aucun sens ! Il faut préciser l’unité : c = 3.108m.s–1.

Il existe un système international d’unité (U.S.I.) pour les 7 dimensions de base :• Longueur : le mètre (m)

La définition du mètre est liée à celle de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est :

c = 2, 99792458.108m.s–1

C’est une valeur fixée. Elle ne se mesure pas !

Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458seconde.

• Temps : la seconde (s)

Il s’agit de la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deuxniveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133 (13355Cs ).

• Masse : le kilogramme (kg)

1 kg représente la masse du prototype international du kilogramme.

Ce prototype international du kilogramme est conservé au Bureau International des Poids et Mesures(BIPM), dans l’air et sous trois cloches de verre. C’est un cylindre constitué d’un alliage de 90% en massede platine et de 10% en masse d’iridium. Il est conservé dans un coffre-fort spécial dans la cave la plus

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basse du pavillon de Breteuil à Sèvres dans la banlieue de Paris. Il n’est sorti que très rarement (tousles 50 ans environ) pour des besoins de traçabilité. De nombreuses copies sont réalisées. Le kilogrammeest la seule unité qui n’est pas définie à partir d’une mesure basée sur des constantes fondamentales dela nature. Depuis sa 24ème session de 2011, la Conférence Générale des Poids et Mesure, au nom duBIPM, a exprimé le souhait de modifier cette définition. Lors de la session suivante en novembre 2014,il a été acté qu’aucune définition expérimentale ayant la précision souhaitée n’existait à ce moment. Lesouhait de modification de cette définition a été reconduit pour la session suivante qui se tiendra dans lesprochaines années.

• Température : le kelvin (K)

Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermody-namique du point triple de l’eau.

T(kelvin) = T(◦C) + 273, 15

Attention : On dit "kelvin" et non "degré kelvin".

• Quantité de matière : la mole (mol)

1 mole est le nombre d’atomes contenus dans 12 g de 126C c.à.d. 6, 02.1023 atomes. Le nombre d’Avogadro

Na est le nombre de particules par mole :

Na = 6, 02.1023mol–1

• Intensité électrique : l’ampère (A)

• Intensité lumineuse : le candela (Cd)

Rem : Pour plus d’informations, on pourra consulter le très intéressant site du Bureau International des Poidset Mesures.

Il existe de nombreuses unités dérivées souvent beaucoup plus pratique à utiliser.Exemple : Le Newton (N)

P = mg⇒ [P] = [mg] = M.L.T–2 ⇒ 1N = 1kg.m.s–2

3 Les chiffres significatifsPour déterminer le nombre de chiffres significatifs (CS) d’un nombre, le plus simple est de le mettre sous formescientifique. Le nombre de CS sera le nombre de chiffres inscrits. Attention, un zéro final compte !

Exemple :0, 00278.105 = 2, 78.102 compte trois chiffres significatifs, alors que 2, 78000.102 en compte six.

D’une manière générale, le résultat d’un calcul ne peut pas être plus précis que la donnée la moins précise.Cela nécessite d’arrondir le résultat numérique donné par la calculatrice ou l’ordinateur, qui calculent comme sichaque nombre se terminait par une infinité de zéros significatifs. Ainsi, on utilisera les deux règles suivantes :

La résultat d’une addition ou d’une soustraction ne doit pas avoir plus de décimales que la donnée qui en a lemoins.

Le résultat d’une mutliplication ou d’une division ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la donnéequi en a le moins.

Exemple1 :

Incorrect 3, 00 – 0, 8 = 2, 20 3, 00× 0, 8 = 2, 4

Correct 3, 00 – 0, 8 = 2, 2 3, 00× 0, 8 = 2

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Exemple 2 :Calcul de l’énergie cinétique d’un corps de masse 1, 5 kg (2 CS) et de vitesse 756, 7m.s–1 (4 CS) :

Ec ≈ 4, 3.105 J ( 2CS)

(Valeur calculatrice : 4, 29446168.105 J)

4 Le calcul numérique et littéral

En physique tous les calculs sont effectués de manière littérale c’est-à-dire que les seuls nombres intervenantdans les expressions doivent être sans dimension ni unité.

L’application numérique (A.N.) est réalisée en dernière en remplaçant les différentes grandeurs par leurs valeursnumériques. Celle-ci arrive en dernier où on remplace simplement les différentes grandeurs par leurs valeursnumériques. Ainsi, on peut vérifier en permanence la dimension des formules utilisées et on peut réutiliser lecalcul littéral avec d’autres données numériques.

Exemple : On lance une balle de m = 1kg verticalement avec une vitesse initiale de 2m.s–1. Quelle estla hauteur maximale atteinte par la balle ?

L’énergie mécanique est conservée :

Em =12mv2 +mgz = cte =

12mv20

Ecrire :Em =

12v2 + gz car la masse m vaut 1 kg sera sanctionné !

Lorsque la balle atteint l’altitude maximale h, la vitesse s’annule. On obtient donc :

h =v202g

A.N. : h ≈ 0, 2m

5 Les ordres de grandeur et l’analyse d’un résultat numériqueIl est important de savoir mener un calcul d’ordre de grandeur.

Le but est d’obtenir rapidement et sans calculatrice une valeur approchée. On se contente souvent la puissancede 10 la plus proche du résultat.

Les calculs d’ordre de grandeurs sont très pratiques pour vérifier la cohérence d’un résultat numérique.

Exemple :La vitesse de rotation d’un corps de masse m en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude deh est :

v =

√GMTRT + h

G = 6, 67.10–11N.m2.kg–2 MT = 6.1024 kg RT = 6400 km h = 1000 km

Un étudiant effectue l’AN et trouve 50m.s–1. En effectuant un calcul d’ordre de grandeur, on se rendimmédiatement qu’il y a une erreur :

v ∼(10–101025

107

)1/2∼ 104m.s–1

Ainsi, lorsque c’est possible, il faut essayer d’analyser son résultat avec un regard critique !

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Ces calculs supposent de bien maitriser les puissances de 10. On rappelle les plus utilisées en physique :

Puissance de 10 Nom (symbole)

10–15 fento (f)

10–12 pico (p)

10–9 nano (n)

10–6 micro (µ)

10–3 milli (m)

10–2 centi (c)

102 hecto (h)

103 kilo (k)

106 méga (M)

109 giga (G)

1012 téra (T)

1015 péta (P)

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