Στην διάταξη του σχήµατος (1) το σώµα Σ1 έχει µάζα m1 και εφάπτεται σε οριζόντιο έδαφος, ενώ το σώµα Σ2 µε µάζα m2 είναι σε επαφή µε οριζόντιο δίσκο Δ. Το κατακόρυφο ελατήριο είναι αβαρές έχει σταθερά k και οι άκρες του είναι στερεωµένες στον δίσκο και στο σώµα Σ1. Μετατοπίζουµε κατακόρυφα τον δίσκο µαζί µε το σώµα Σ2 κατά x0 από την θέση ισορροπίας τους και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. i) Εάν η µετατόπιση x0 έχει τέτοια τιµή, ώστε το σώµα Σ2 να αποσπά ται από τον δίσκο, να δείξετε ότι την στιγµή της απόσπασης το σώµα Σ1 διατηρεί την επαφή του µε το έδαφος. ii) Nα βρείτε για ποιές τιµές του x0 το σώµα Σ1 αποσπάται από το έδα φος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Στην θέση ισορροπίας Ο του συστήµατος δίσκος-σώµα Σ2 το ελατήριο είναι συµπιεσµένο κατά x0 από την φυσική του κατάσταση και ισχύει η σχέση:

�

(m2 + M)g = kx0

�

!

�

x0 = (m2 + M)g/k (1) Eξετάζουµε το όλο σύστηµα οτην περίπτωση που το σώµα Σ1 διατηρεί την επα φή του µε το οριζόντιο έδαφος και το σώµα Σ2 δεν έχει εγκαταλείψει τον δίσ κο. Το Σ2 δέχεται το βάρος του

�

m2

! g και την δύναµη επαφής

�

! A

2 από τον δίσκο,

λόγω δε της αρµονικής ταλάντωσης που εκτελεί ισχύει η σχέση:

�

-m2g + A2 = -m2!2x

�

!

�

A2 = m2(g -! 2x) (2)

Σχήµα 1

όπου ω η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης και

�

! x η αποµάκρυνση του σώ

µατος από την θέση ισορροπίας του Ο την στιγµή που το εξετάζουµε. Το σώµα Σ2 χάνει την επαφή του µε τον δίσκο στην θέση

�

! x

* για την οποία µηδενίζεται η

δύναµη

�

! A

2, δηλαδή στην θέση αυτή θα ισχύει:

�

g -! 2x* = 0

�

!

�

x* = g/!2

�

!

�

x* = g(m + M)/k (3) διότι ω2=k/(m2+Μ). Παρατηρούµε από την (3) ότι την στιγµή που το σώµα Σ2 χάνει την επαφή του µε τον δίσκο το ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατά σταση. Αυτό σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή το σώµα Σ1 δέχεται το βάρος του

�

m1

! g και την δύναµη επαφής

�

! A

1 από το οριζόντιο έδαφος και επειδή δεχθήκα

µε ότι ισορροπεί θα ισχύει:

�

-m1g + A1 = 0

�

!

�

A1 = m1g > 0 (4) δηλαδή η αρχική µας υπόθεση ότι το Σ1 διατηρεί την επαφή του µε το έδαφος είναι αληθής. ii) Ας δεχθούµε ότι µετά την απόσπαση του σώµατος Σ2 από τον δίσκο το σώµα Σ1 απόσπάται από το έδαφος και ότι ο δίσκος την στιγµή αυτή έχει ταχύτητα

�

! v . Την ίδια στιγµή µηδενίζεται η δύναµη επαφής του Σ1 µε το έδαφος και το σώµα ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του

�

m1

! g και της δύναµης

�

! F

1 από το ελατήριο που σηµαίνει ότι η

�

! F

1 είναι ανίθετη προς το βάρος

�

m1

! g ,

δηλαδή έχει φορά προς τα πάνω, που σηµαίνει ότι το ελατήριο την στιγµή αυτή είναι τεντωµένο. Άρα ο δίσκος την ίδια στιγµή δέχεται από το ελατήριο δύναµη

�

! F

2 αντίθετη της

�

! F

1 και ισχύει:

�

F2=F

1

�

!

�

kx!=m1g

�

!

�

x!=m1g /k (5)

όπου xΔ η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση. Εφαρµό ζοντας για το σύστηµα δίσκος-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της θέσεως Ο* όπου αποσπάται το Σ2 και της θέσεως ΟΔ την στιγµή που το Σ1 χάνει τη επαφή του µε το έδαφος, παίρνουµε:

�

Mv*2

2=

Mv2

2+ Mgx

!+

kx!

2

2

�

!

(5)

�

Mv*2

2=

Mv2

2+ Mg

m1g

k

!

" #

$

% & +

k

2

m1g

k

!

" #

$

% &

2

�

!

�

v*2 = v2 + 2g2 m1

k

!

" #

$

% & + g2 m1

2

Mk

!

" #

$

% &

�

!

�

v2 = v*2 - 2g2 m1

k

!

" #

$

% & - g2 m1

2

Mk

!

" #

$

% & (6)

όπου

�

! v

* η ταχύτητα του δίσκου στην θέση Ο*. Εφαρµόζοντας εξάλλου το θεώ

ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την αρµονική ταλάντωση του συστήµατος δίσκος-σώµα Σ2 µεταξύ της κατώτατης θέσεώς του και της θέσεως Ο* παίρνουµε την σχέση:

�

kx0

2

2=

(M + m2)v*2

2+

kx*2

2

�

!

�

v*2

=k(x0

2- x*

2)

M + m2

�

!

(3)

�

v*2 =

k

M + m2

x0

2 -g2(M + m2)

2

k2

!

"

#

$

%

& (7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε:

�

v2 =k

M + m2

x0

2 -g2(M + m2)

2

k2

!

"

#

$

%

& - 2g2 m1

k

'

( )

*

+ , - g2 m1

2

kM

'

( )

*

+ ,

�

!

�

v2 =kx0

2

M + m2

- g2 M + m2

k+

2m1

k+

m1

2

Mk

!

"

#

$

%

& (8)

H (8) είναι αποδεκτή εφ’ όσον ισχύει:

�

v2! 0

�

!

(8)

�

kx0

2

M + m2

!g2

Mk(M + m2)M + 2m1M + m1

2[ ]

�

!

�

x0

2!

g2(M + m2)

Mk2(M + m2)M + 2m1M + m1

2[ ]

�

!

�

x0 !g

k

M + m2

M(M + m1)

2 + m2M[ ] (9)

Για να εφησυχάσουµε ότι η (9) είναι η ζητούµενη σχέση, πρέπει να εξετάσουµε αν το δεύτερο µέλος της υπερβαίνει την ποσότητα x*=g(M+m2)/k. Aν δεχθούµε ότι:

�

g

k

M + m2

M(M + m1)

2 + m2M[ ] >g(M + m2)

k

τότε θα έχουµε:

�

M + m2

M(M + m1)

2+ m2M[ ] > (M + m2)

2

�

!

�

(M + m1)2+ m2M > M(M + m2)

�

!

�

(M + m1)2

> M2

η οποία είναι αληθής.

P.M. fysikos

Μονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει ασθενή απόσβεση, µε σταθερά απόσβεσης b και κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0. Στην διάρκεια της ταλάντωσης της µάζας m η ταχύ τητά της µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

�

v = -x

0!

0

2

!e

-bt/2m"µ!t (α)

όπου ω η κυκλική ψευδοσυχνότητα του ταλαντωτή και x0 η αποµάκ ρυνσή του από την θέση αναφοράς x=0 την στιγµή t=0 της έναρξης της φθίνουσας ταλάντωσής του. Να δείξετε ότι η απώλεια µηχανικής

ενέργειας του ταλαντωτή ανά περίοδο δεν είναι ίδια για όλες τις πε ριόδους, δηλαδή εξαρτάται από την τάξη της περιόδου. ΛΥΣΗ: Η απώλεια µηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή σε ορισµένο χρόνο είναι ίση µε το αντίστοιχο έργο της δύναµης τριβής

�

! F !" που δέχεται κατά την

εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσής του. Αν εποµένως αναφερθούµε στο χρονι κό διάστηµα [t* , t*+T], όπου t* µια χρονική στιγµή που η αποµάκρυνση του ταλαντωτή παρουσιάζει µέγιστο και Τ η ψευδοπερίοδός του, τότε η απώλεια ΔΕ µηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή στο χρονικό αυτό διάστηµα θα είναι:

�

!E = F"#vdt

t*

t* + T

$ = -bvvdt

t*

t* + T

$ = -b v2dt

t*

t* + T

$

�

!

(" )

�

!E =-bx

0

2"0

4

" 2e

-bt/m#µ2"tdt

t*

t* + T

$

�

=-bx0

2! 0

4

2! 2e-bt/m[1 - "#$2!t]dt

t*

t* + T

%

�

!

�

!E = -bx

0

2"0

4

2" 2e

-bt/mdt - e

-bt/m#$%2"tdt

t*

t* + T

&t*

t* + T

&'

(

)

)

*

+

,

,

(1)

Με παραγοντική ολοκλήρωση προκύπτει ότι το δεύτερο ολοκλήρωµα της αγκύ λης είναι µηδέν, οπότε η (1) γράφεται:

�

!E = -bx

0

2"0

4

2" 2e

-bt/mdt

t*

t* + T

#

�

!

�

!E =bx0

2" 0

4

2" 2

m

b

#

$ %

&

' ( e-bt/md(-bt

t*

t* + T

) /m)

�

!

�

!E =mx0

2" 0

4

2" 2e-bt/m[ ]

t*

t* + T

=mx0

2" 0

4

2" 2e

-(bt* + T)/m- e

-bt*/m( )

�

!

�

!E=mx

0

2"

0

4

2"2

e-bt*/m e

-bT/m- 1( )= -

mx0

2"

0

4

2"2

e-bt*/m 1 - e

-bT/m( ) (2)

Παρατηρούµε από την (2) ότι η απώλεια ενέργειας του ταλαντωτη στην περίοδο από [t* , t*+T] εξαρτάται από την χρονική στιγµή t* , που σηµαίνει ότι η απώλει α µηχανικής ενέργειας σε χρόνο µιας περιόδου δεν είναι ίδια για κάθε περίοδο. Παρατήρηση: H άσκηση µπορεί να λυθεί και µε στοιχειώδη τρόπο, δηλαδή χωρίς την χρήση ολοκληρωµάτων µε τον εξής τρόπο: Eξετάζουµε τον ταλαντωτή µεταξύ των χρονικών στιγµών tn-1 και tn, κατά τις οποίες η αποµάκρυνσή του παρουσιάζει τις διαδοχικές µέγιστες τιµές (πλάτη) Αn-1 και Αn. Κατά τις στιγµές αυτές η ταχύτητα του ταλαντωτή είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η µηχανική του ενέργεια είναι µόνο δυναµική και οι αντίστοι χες τιµές της Εn-1, En είναι:

�

En-1= (m! 2/2)An-1

2

En= (m! 2/2)An

2

"

#

$

(3)

Η απώλεια µηχανικής ενέργειας ΔΕ του ταλαντωτή κατά το θεωρούµενο χρο νικό διάστηµα είναι ίση µε την διαφορά En-Εn-1, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!E= En- E

n-1

�

!

(2)

�

!E=m"

2

2A

n

2-m"

2

2A

n-1

2=

m"2

2A

n

2- A

n-1

2( ) (4)

Όµως τα διαδοχικά πλάτη Αn-1 και Αn συνδέονται µε την σχέση:

�

An-1

/An= e

bT/2m

�

!

�

An= A

n-1e

-bT/2m (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

!E=m"

2

2A

n-1

2e

bT/m- A

n-1

2( )

�

!

�

!E=m"

2A

n-1

2

21 - e

bT/m( ) (6)

Παρατηρούµε από την (6) ότι η απώλεια ενέργειας ΔΕ του ταλαντωτή εξαρτάται από το πλάτος του Αn-1 κατά την έναρξη της περιόδου στην οποία αντιστοιχεί η ΔΕ, το oποίο όµως δεν έχει την ίδια τιµή για κάθε περίοδο.

P.M. fysikos

Μονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει ασθενή απόσβεση, µε σταθερά απόσβεσης b και κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0. Την στιγµή t=0 o ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση x=0 και έχει ταχύτητα v0 µε θετική κατεύθυνση. i) Nα βρείτε την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή. ii) Ποιά µορφή θα λάβει η εξίσωση αυτή στην περίπτωση που ο ταλαν τωτής τείνει στην κατάσταση της κρίσιµης απόσβεσης (ω0→b/2m) και ποιά θα είναι η γραφική της παράσταση; ΛΥΣΗ: i) Eπειδή ο ταλαντωτής παρουσιάζει ασθενή απόσβεση (ω0>b/2m) η εξί σωση κινήσεώς του έχει την µορφή:

�

x(t) = Ae-bt/2m!µ ("t +#) (1)

όπου Α, φ σταθερές ολοκληρώσεως που οι τιµές τους καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του ταλαντωτή και ω η κυκλική του ψευδοσυχνο τητα για την οποία ισχύει:

�

! = ! 0

2 - (b/2m)2 (2) Η (1) για t=0 δίνει 0=Αηµφ, δηλαδή φ=0, οπότε η (2) γράφεται:

�

x(t) = Ae-bt/2m!µ"t (3)

Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα (αλγεβ ρική τιµή) του ταλαντωτή, δηλαδή θα έχουµε:

�

v(t) = A[(-b/2m)e-bt/2m!µ"t +"e-bt/2m

#$%"t] (4) H (4) για t=0 δίνει v0=Aω, δηλαδή Α=v0/ω, οπότε η (3) γράφεται:

�

x(t) =v0

!e-bt/2m

"µ!t (5)

Η (5) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή. ii) Όταν η κατάσταση της φθίνουσας ταλάντωσης τείνει να γίνει κρίσιµη (ω0= b/2m), τότε ω→0 και η (5) µεταπίπτει στην απροσδιόριστη µορφή 0/0. Για την άρση της απροσδιοριστίας εφαρµόζουµε τον κανόνα de L’ Hospital, οπότε θα έχουµε:

�

x(t) = lim!"0

v0

!e-bt/2m#µ!t

$

% &

'

( ) =

lim!"0

d(v0e-bt/2m#µ!t)/d!

lim!"0

d(!)/d!

�

!

�

x(t) =lim!"0

(v0te-bt/2m

#$%!t)

1

�

!

�

x(t) = v0te-bt/2m (6)

H (6) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή, στην περίπτωση που αυτός παρουσιάζει κρίσιµη απόσβεση. Ας εξετάσουµε αν η x(t) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Προς τούτο µηδενίζουµε την παράγωγο dx(t)/dt, οπότε θα έχουµε:

�

dx(t)

dt= v0e

-bt/2m -v0bt

2me-bt/2m = 0

�

!

�

dx(t)

dt= v0e

-bt/2m 1 -bt

2m

!

" #

$

% &

�

!

�

1-bt

2m= 0

�

!

�

t =2m

b

H δεύτερη παράγωγος της x(t) ως προς τον χρόνο είναι:

�

d2x(t)

dt2= -

v0b

me-bt/2m + v0

b

2m

!

" #

$

% &

2

te-bt/2m (7)

H (7) για t=2m/b δίνει:

�

d2x(2m /b)

dt2= -

v0b

me+

v0

e

b

2m

!

" #

$

% &

2

2m

b

!

" #

$

% & = -

v0b

2me< 0

δηλαδή για t=2m/b η x(t) παρουσιάζει µέγιστη τιµή xmax για την οποία ισχύει:

�

xmax

=2mv

0

be (8)

Σχήµα 2

Eξάλλου για t=0 είναι x(0)=0 ενώ για t→

�

+! προκύπτει µε χρήση του κανόνα

de L’ Hospital ότι x→0. Mε βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της (6) είναι η καµπύλη του σχήµατος (2).

P.M. fysikos

Ένα σφαιρίδιο µάζας m είναι στερεωµένο στη µιά άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου η άλλη άκρη είναι στερεωµένη σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και αρχι κά ισορροπεί. Κάποια στιγµή επί του σφαιριδίου εφαρµόζεται δύναµη

�

! F , της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε τον άξονα x’x του ελατηρίου και της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι µια συνάρτηση του χρόνου της µορφής F=F(t). i) Nα δείξετε ότι η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου έχει την µορφή:

�

x(t) =!µ"t

m"F(#)$%&"# d#

0

t

' -$%&"t

m"F(#)!µ"# d#

0

t

'

όπου ω2=k/m. ii) Eάν η δύναµη είναι της µορφής F=F0συνΩt, όπου F0, Ω θετικές και σταθερές ποσότητες, να δείξετε ότι η κίνηση του σφαιριδίου έχει την µορφή διακροτήµατος, εφ’ όσον οι ποσότητες Ω και ω διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σφαιρίδιο όταν η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του Ο είναι

�

! x . Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του

�

m! g , την κατακόρυφη αντίδραση

�

! N του λείου οριζόντιου επίπεδου, που εξουδε

τερώνει το βάρος, την δύναµη

�

! F !"

από το παραµορφωµένο ελατήριο και τέλος

την εξωτερική δύναµη

�

! F (t). Εφάρµόζοντας στην θέση αυτή για το σφαιρίδιο

τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

md

2x

dt2

= F!"

+ F(t)

�

!

�

md

2x

dt2

= -kx + F(t)

�

!

�

d2x

dt2

= -k

mx +

F(t)

m

�

!

�

d2x

dt2

+!2x +

F(t)

m (1)

µε ω2=k/m. H (1) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συνελεστές της οποίας η αντίστοιχη οµογενής εξίσωση δέχεται λύση της µορφής:

�

x1(t)= C1!µ"t + C2#$%"t (2)

Σχήµα 3 όπου C1, C2 σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Δοκιµάζουµε αν η (1) δέχεται µερική λύση της µορφής:

�

x2(t)= A1(t)!µ"t + A2(t)#$%"t (3) όπου Α1(t), A2(t) κατάλληλες συναρτήσεις του χρόνου. Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε:

�

x'2 (t)= A'1 (t)!µ"t + A1(t)"#$%"t + A'2 (t)#$%"t - A2(t)"!µ"t (4) Παραγωγίζοντας εκ νέου την (3), παίρνουµε:

�

x''2 (t)= A''1 (t)!µ"t + A'1 (t)"#$%"t + A'1 (t)"#$%"t - A1(t)"2!µ"t +

�

+A''2 (t)!"#$t - A'2 (t)$%µ$t - A'2 (t)$%µ$t - A2(t)$2!"#$t

�

!

�

x''2 (t)=A''1 (t)!µ"t + A''2 (t)#$%"t + 2" [A'1 (t)#$%"t - A'2 (t)!µ"t] -

�

-!2[A1(t)"µ!t + A2(t)#$%!t] (5)

Αν απαιτήσουµε οι συναρτήσεις Α1(t), A2(t) να ικανοποιούν την σχέση:

�

A'1 (t)!µ"t + A'2 (t)#$%"t = 0 (6) τότε µε παραγώγιση της (6) ως προς τον χρόνο t θα έχουµε:

�

A''1 (t)!µ"t + A'1 (t)"#$%"t + A''2 (t)#$%"t - A'2 (t)"!µ"t = 0

�

!

�

A''1 (t)!µ"t + A''2 (t)#$%"t = "[A'2 (t)!µ"t - A'1 (t)#$%"t] (7) Συνδυάζοντας τις (5) και (7) παίρνουµε:

�

x''2 (t)=![A'2 (t)"µ!t - A'1 (t)#$%!t] + 2! [A'1 (t)#$%!t - A'2 (t)"µ!t] -

�

-!2[A1(t)"µ!t + A2(t)#$%!t]

�

!

�

x''2 (t)=! [A'1(t)"#$!t - A'2 (t)%µ!t] -!2[A1(t)%µ!t + A2(t)"#$!t] (8)

Όµως η x2(t) είναι λύση της (1) και εποµένως ικανοποιεί την σχέση:

�

x''2 (t) +!2x2(t) =

F(t)

m

�

!

(3),(8)

�

F(t)

m-!

2[A1(t)"µ!t + A2(t)#$%!t] =

�

=! [A'1(t)"#$!t - A'2 (t)%µ!t] -!2[A1(t)%µ!t + A2(t)"#$!t]

�

!

�

F(t)

m!= A'1(t)"#$!t - A'2 (t)%µ!t (9)

Oι αναζητούµενες λοιπόν συναρτήσεις Α1(t), A2(t) θα προκύψουν από τις σχέ σεις (6) και (9). Εξάλλου η (6) δίνει:

�

A'2 (t)= - A'1(t)!µ"t /#$%"t (10) οπότε η (9) γράφεται:

�

F(t)

m!= A'1(t)"#$!t + A'1 (t)

%µ2!t

"#$!t

�

!

�

F(t)!"#$t

m$= A'1(t)!"#

2$t + A'1 (t)%µ

2$t

�

!

�

A'1(t) =F(t)!"#$t

m$ (11)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10) και (11) παίρνουµε:

�

A'2(t) = -F(t)!µ"t

m" (12)

Ολοκληρώνοντας τις (11) και (12) παίρνουµε:

�

A1(t) =1

m!F(")#$%!" d"

0

t

& και

�

A2(t) = -1

m!F(")#µ!" d"

0

t

$

Μια εποµένως µερική λύση της (1) έχει την µορφή:

�

x2(t) =!µ"t

m"F(#)$%&"# d#

0

t

' -$%&"t

m"F(#)!µ"# d#

0

t

' (13)

H γενική λύση της (1) είναι:

�

x(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(2),(13)

�

x(t)= C1!µ"t + C2#$%"t +

�

+!µ"t

m"F(#)$%&"# d#

0

t

' -$%&"t

m"F(#)!µ"# d#

0

t

' (14)

όπου οι σταθερές C1, C2 θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κινήσεως x(0)=0 και v(0)=0 του σφαιριδίου. Η (14) για t=0 δίνει:

�

0= C10 + C2 + 0 - (1/m!)0

�

!

�

C2

= 0 διότι τα δύο ολοκληρώµατα του δεύτερου µέλους της (14) την χρονική στιγµή t=0 είναι µηδενικα. Εξάλλου παραγωγίζοντας την (14) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα v του σφαιριδίου (αλγεβρική τιµή), δηλαδή θα έχουµε:

�

v =dx(t)

dt= C1!"#$!t - C2!%µ!t +

"#$!t

mF(&)"#$!& d&

0

t

' +

�

+!µ"t

m"F(t)!µ"t -

!µ"t

mF(#)!µ"# d#

0

t

$ -%&'"t

m"F(t)!µ"t (15)

Η (15) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει C1=0, οπότε η εξίσωση κινή σεως του σφαιριδίου παίρνει την µορφή:

�

x(t) =!µ"t

m"F(#)$%&"# d#

0

t

' -$%&"t

m"F(#)!µ"# d#

0

t

'

�

!

�

x(t) =!µ"t

m"F(#)$%&"# d#

0

t

' -$%&"t

m"F(#)!µ"# d#

0

t

' (16)

ii) Eάν η εξωτερική δύναµη µεταβάλλεται µε τον χρόνο σύµφωνα µε την σχέση F=F0συνΩt, τότε η εξίσωση κινήσεως του σφαιριδίου θα έχει την µορφή:

�

x(t) =F0

m!"µ!t #$%!&#$%'& d&

0

t

( - #$%!t "µ!&#$%'& d&0

t

()

* +

,

- . (17)

Θα υπολογίσουµε τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώµατα του δεύτερου µέλους της (17) χρησιµοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση. Θα έχουµε:

�

!"#$%!"#&% d%' =1

$d((µ$%)!"#&%' =

1

$(µ$%!"#&% - (µ$% (!"#&%)'d%'[ ] =

�

=1

!"µ!#$%&'# +' "µ!# "µ'#d#([ ] =

1

!"µ!#$%&'# -

'!

d($%&!#)"µ'#()

* +

,

- . =

�

=1

!"µ!#$%&'# -

'!

$%&!# "µ'# + $%&!# ("µ'#)'d#(( ))

* +

,

- . =

�

=1

!"µ!#$%&'# -

'!

$%&!# "µ'# +'2

!$%&!#$%&'#d#(

)

* +

,

- .

�

!

�

!"#$%!"#&% d%' =$

$ 2-&2

(

) *

+

, - .µ$%!"#&% -

&$ 2

-&2

(

) *

+

, - !"#$% .µ&%

�

!

�

!"#$%!"#&% d%0

t

' =$

$ 2-&2

(

) *

+

, - .µ$t!"#&t -

&$ 2

-&2

(

) *

+

, - !"#$t.µ&t (18)

Με ανάλογους υπολογισµούς καταλήγουµε στην σχέση:

�

!µ"#$%&'# d#0

t

( =-"

" 2-'2

)

* +

,

- . $%&"t$%&'t -

�

-!

" 2-!2

#

$ %

&

' ( )µ"t)µ!t +

"" 2

-!2 (19)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (17), (18) και (19) παίρνουµε:

�

x(t) =1

m

F0

! 2-"2

#

$ %

&

' ( )µ

2!t*+,"t -F0

m!"

! 2-"2

#

$ %

&

' ( )µ!t*+,!t)µ"t +

�

+1

m

F0

! 2-"2

#

$ %

&

' ( )*+

2!t)*+"t+F

0

m!"

! 2-"2

#

$ %

&

' ( ,µ!t)*+!t,µ"t-

F0

m

#

$ %

&

' (

)*+!t

! 2-"2

�

!

�

x(t) =F0!"#$t

m(%2-$

2)-

F0!"#%t

m(%2-$

2)=

F0

m(%2-$

2)!"#$t - !"#%t( ) (20)

H σχέση (20) εκφράζει ότι, στην περίπτωση που οι κυκλικές συχνότητες Ω και ω διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, τότε η κίνηση του σφαιριδίου έχει την µορφή διακροτήµατος.

P.M. fysikos

Δύο σφαιρίδια της ίδιας µάζας m είναι στερεωµένα στις άκρες ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτ ρησης του χρόνου, εφαρµόζεται επί του ενός σφαιριδίου δύναµη

�

! F ,

της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε τον άξονα του ελατηρίου η δε αλ γεβρική της τιµή είναι συνάρτηση της µορφής: F=F0συνωt όπου F0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες,

i) Nα βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων. ii) Επιλύοντας το σύστηµα των δύο διαφορικών εξισώσεων να καθορί σετε την µορφή κίνησης των σφαιριδίων. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή t που οι αποµακ ρύνσεις των δύο σφαιριδίων Σ1 και Σ2 απο τις θέσεις ισορροπίας τους Ο1, Ο2 είναι

�

! x

1 και

�

! x

2 αντιστοίχως (σχήµα 4). Η κίνηση του σφαιρίδιου Σ1 επηρεάζεται

µόνο από την δύναµη

�

! F

1 που του εξασκεί το παραµορφωµένο ελατήριο (το βά

ρος του σφαιριδίου αναιρείται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόν τιου επίπεδου) και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει:

�

md

2x

1

dt2

= F1

= k!x

�

!

�

d2x

1

dt2

=k

m!x (1)

Σχήµα 4 όπου Δx η µεταβολή του µήκους του ελατηρίου από την φυσική του καταστα ση. Εάν L είναι το φυσικό µήκος του ελατηρίου είναι εύκολο να διαπιστώσουµε την σχέση:

�

L+ x2- x

1= L+ !x

�

!

�

!x = x2- x

1

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

d2x

1

dt2

=k

mx

2- x

1( )

�

!

�

d2x

1

dt2

-k

mx

2- x

1( ) = 0 (2)

Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σφαιρίδιο Σ2 τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα παίρνουµε την σχέση:

�

md

2x

2

dt2

= F - F2

�

!

�

md

2x

2

dt2

= F0!"#$t - k%x

�

!

�

d2x

2

dt2

=F

0

m!"#$t -

k

mx

2- x

1( )

�

!

�

d2x

2

dt2

+k

mx

2- x

1( ) =F

0

m!"#$t (3)

όπου

�

! F

2 η δύναµη που δέχεται το σφαιρίδιο Σ2 από το παραµορφωµένο ελατήρι

ο, αντίθετη της

�

! F

1. Οι διαφορικές εξισώσεις (2) και (3) καθορίζουν την κίνηση

των δύο σφαιριδίων πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο.

ii) Για την επίλυση του διαφορικού συστήµατος των (2) και (3) τις προσθέτουµε και τις αφαιρούµε κατά µέλη, οπότε θα έχουµε:

�

d2(x1 + x2)

dt2

=F0

m!"#$t

�

!

�

d2y

dt2=

F0

m!"#$t (4)

και

�

d2(x1 - x2)

dt2

+2k

mx1 - x2( ) = -

F0

m!"#$t

�

!

�

d2z

dt2

+!2z = -

F0

m"#$%t (5)

όπου τέθηκε y=x1+x2, z=x1-x2 και Ω

2=2k/m. H (4) µετασχηµατίζεται ως εξής:

�

d

dt

dy

dt

!

" #

$

% & =

F0

m'()*t

�

!

�

ddy

dt

!

" #

$

% & =

F0

m'()*tdt

η οποία µε ολοκλήρωση δίνει:

�

dy

dt=

F0

m!"µ!t + C1 (6)

όπου C1 σταθερά ολοκληρώσεως. Όµως την χρονική στιγµή t=0 τα δύο σφαι ρίδια έχουν µηδενικές ταχύτητες, οπότε την στιµµή αυτή η (6) δίνει C1=0 µε αποτέλεσµα να γράφεται:

�

dy =F0

m!"µ!tdt

�

!

�

y = -F0

m!2"#$!t + C2 (7)

όπου C2 σταθερά ολοκληρώσεως. Eπειδή την χρονική στιγµή t=0 τα σφαιρίδια βρίσκονται στις θέσεις ισορροπίας τους θα ισχύει y(0)=0 και η (7) δίνει:

�

0 = -F

0

m!2

+ C2

�

!

�

C2

=F

0

m!2

οπότε η (7) γράφεται:

�

y = -F0

m!2"#$!t +

F0

m!2

�

!

�

x1+ x

2=

F0

m!2

1 - "#$!t( ) (8)

Εξάλλου η διαφορική εξίσωση (5) είναι µια γραµµική µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και η γενική λύση της θα προκύψει ως άθροισµα της λύσεως z1(t) της αντίστοιχης οµογενούς και µιας µερικής λύσεως z2(t) της (5). Η λύση της οµογενούς είναι της µορφής:

�

z1(t) = A1!µ"t+ A2#$%"t (9) όπου A1, A2 σταθερές ολοκληρώσεως που θα πρισδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης των σφαιριδίων. Στην συνέχεια δοκιµάζουµε ως µερική λύση της (5) την συνάρτηση:

�

z2(t) = K1!µ"t+ K2#$%"t (10)

οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε:

�

dz2(t)

dt= K1!"#$!t- K2!%µ!t

�

!

�

d2z2(t)

dt2

=- K1!2"µ!t-K2!

2#$%!t (11)

Αντικαθιστώντας στην (5) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της (11) παίρ νουµε την σχέση:

�

-K1!2"µ!t-K2!

2#$%!t +&

2(K1"µ!t+ K2#$%!t) = -(F0 /m)#$%!t

�

!

�

(!2 -" 2)K1#µ"t + (!2K2 -" 2K2 + F0/m)$%&"t = 0 (12) Επειδή η (12) πρέπει να ισχύει για κάθε t>0, αυτό εξασφαλίζεται µε τις σχέσεις:

�

(!2 -" 2)K1 = 0

(!2 -" 2)K2 + F0/m = 0

#

$

%

�

!

�

(!2 -" 2)K1 = 0

(" 2 -!2)K2 = F0/m

#

$

%

�

!

�

K1 =0

K2=F0/m(! 2-"2)

#

$

%

µε

�

! " # (13)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10) και (13) παίρνουµε:

�

z2(t) =F0!"#$t

m($2-%

2) (14)

Η γενική λύση της (5) είναι:

�

z(t) = z1(t) + z2(t)

�

!

(9),(14)

�

z(t) = A1!µ"t+ A2#$%"t +F0#$%&t

m(&2-"

2) (15)

Παραγωγίζοντας την (15) ως προς τον χρόνο έχουµε:

�

dz(t)

dt= A1!"#$!t- A2!%µ!t -

F0&%µ&t

m(&2-!

2) (16)

Για t=0 z(0)=0 και dz(0)/dt=0, οπότε οι σχέσεις (15) και (16) δίνουν:

�

0=F0/m(! 2-"2)+A2

0=A1"

#

$

%

�

!

�

A2 =- F0/m(! 2-"2)

A1 = 0

#

$

%

Η τελική εποµένως µορφή της (15) είναι:

�

z(t) = -F0!"#$t

m(%2-$

2)+

F0!"#%t

m(%2-$

2)

�

!

�

x1 - x2 =F0 !"#$t - !"#%t( )

m($2-%

2)

(17)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (17) παίρνουµε τις εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων, οι οποίες έχουν την µορφή:

�

x1 =F0

2m!2

1 - "#$!t( ) +F0 "#$!t - "#$%t( )

2m(!2-%

2)

�

!

�

x1=

F0

2m

1-!"#$t

$ 2+!"#$t-!"#%t

$ 2-%2

&

' (

)

* + µε

�

! " # (18)

και

�

x2 =F0

2m!2

1 - "#$!t( ) -F0 "#$!t - "#$%t( )

2m(!2-%

2)

�

!

�

x2=

F0

2m

1-!"#$t

$ 2-!"#$t-!"#%t

$ 2-%2

&

' (

)

* + µε

�

! " # (19)

P.M. fysikos

Σώµα µάζας m συνδέεται µε δύο οριζόντια ιδανικά ελατήρια της ίδιας σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα (5) και µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώµα συνδέεται µέσω αβαρούς και µη ελαστικού νήµατος, µήκους L, µε σφαιρίδιο µά ζας m και στην θέση ισορροπίας του συστήµατος τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος. Εκτρέπουµε το σύστηµα από την θέση ισορρο πίας του και το αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί. Αν κατά την κίνηση του συστήµατος η γωνία που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι πολύ µικρή και η σταθερά k έχει επιλεγεί ώστε να ισχύει k=2mg/L, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρεθούν:

i) οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση των δύο µα ζών, ii) οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήµατος και iii) οι λόγοι των πλατών ταλάντωσης των δύο σωµάτων που αντιστοι χούν στους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, όπου η αποµάκρυνση του σώµατος είναι

�

! x

1 και η αποµάκρυνση του σφαιριδίου

�

! x

2

(σχήµα 5). Το σώµα Σ την στιγµή αυτή δέχεται το βάρος του

�

! w , την κατακόρυ

φη αντίδραση

�

! N του λείου οριζόντιου επίπεδου, την τάση

�

!

F '1 του νήµατος, την

δύναµη

�

!

F !"

από το τεντωµένο ελατήριο και τέλος την δύναµη

�

!

F '!"

απο το συµ πιεσµένο ελατήριο. Εφαρµόζοντας για το σώµα κατά τον οριζόντιο άξονα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

�

md

2x

1

dt2

= -F!"-F'

!"+F'

1x

�

!

�

md

2x

1

dt2

= -kx1-kx

1+F'

1x

�

!

�

md

2x

1

dt2

= -2kx1+ F'

1!µ" (1)

Σχήµα 5

Εξάλλου το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του

�

! w και την τάση

�

!

F 1 του νήµατος και

επειδή η γωνία φ του νήµατος µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µικρή, µπο ρούµε να ισχυριστούµε ότι η κίνηση του σφαιριδίου είναι οριζόντια, οπότε θα ισχύει:

�

w - F1y= 0

�

!

�

mg - F1!"#$ = 0

�

!

�

F1 ! mg (2) Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την οριζόντια διεύθυνση, παίρνουµε:

�

md

2x

2

dt2

= -F1x

�

!

�

md

2x

2

dt2

= -F1!µ"

�

!

(2)

�

md2x2

dt2= -mg

(x2-x1)

L

�

!

�

d2x2

dt2= g

(x1-x2)

L (3)

Επειδή F’1=F1 η σχέση (1) γράφεται:

�

md

2x1

dt2

= -2kx1+ F1

(x2-x1)

L

�

!

(2)

�

md2x1

dt2= -2kx1+ mg

(x2-x1)

L

�

!

�

d2x1

dt2= -

2k

mx1+ g

(x2-x1)

L

�

!

�

d2x1

dt2= -

2k

m+

g

L

!

" #

$

% & x1+

gx2

L

Όµως από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε 2k/m=4g/L, οπότε η παραπά νω σχέση γράφεται:

�

d2x1

dt2= -

5gx1

L+

gx2

L (4)

Οι σχέσεις (3) και (4) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την

κίνηση του σώµατος και του σφαιριδίου. ii) Θα εξετάσουµε κάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατός ένας κανονικός τρόπος ταλάντωσης του συστήµατος, δηλαδή αν υπάρχει δυνατότητα το σώµα και το σφαιρίδιο να ταλαντεύονται µε την ίδια συχνότητα. Προς τούτο εξετά ζουµε το ενδεχόµενο το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων (3) και (4) να δέχε ται λύση της µορφής:

�

x1 = A1!µ ("t+#)

x2 = A2!µ ("t+#)

$ % &

Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε:

�

dx1/dt= A1!"#$(!t+%)

dx2/dt= A2!"#$(!t+%)

&

'

(

�

!

�

d2x1/dt2 = -A1!2"µ(!t+#)

d2x2/dt2 = -A2!2"µ(!t+#)

$ % & (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) µε τις εξισώσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

-A1!2"µ(!t+#) = -A1 (5g/L)"µ(!t+#) +A2(g/L)"µ(!t+#)

-A2!2"µ(!t+#) = A1 (g/L)"µ(!t+#) -A2 (g/L)"µ(!t+#)

$ % &

�

!

�

-A1!2= -A1 (5g/L) +A2(g/L)

-A2!2= A1 (g/L) -A2 (g/L)

"

#

$

�

!

�

(5g/L -! 2)A1 = (g/L)A2

-(g/L)A1 = (! 2 -g/L)A2

"

#

$

�

!

(:)

�

5g/L -! 2)

-g/L=

g/L

!2 -g/L

�

!

�

5g! 2/L -! 4 - 5g2/L2 + g! 2/L = -g2/L2

�

!

�

!4 - (6g/L)! 2 + 4g2/L2 = 0 (6)

Η (6) αποτελεί µια δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς ω2 και οι ρίζες της είναι:

�

!1

2 = g(3 + 5)/L

! 2

2 = g(3 - 5)/L

"

# $

% $

�

!

�

!1= g/L(3 + 5)1 /2

! 2= g/L(3 - 5)1 /2

"

# $

% $

�

!

�

f1=g(3 + 5)

2! L

f2=g(3 - 5)

2! L

"

#

$

$

%

$

$

όπου f1, f2 οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήµατος iii) Από την παραπάνω διαδικασία συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει την δύ νατότητα να εκτελεί δύο κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Ο τρόπος ταλάντω σης που αντιστοιχεί στην µεγαλύτερη συχνότητα f1 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

-g

LA1=

g

L(3 + 5) -

g

L

!

" #

$

% & A2

�

!

�

A2

A1

= 2 - 5 < 0

δήλαδή στην περίπτωση αυτή οι αποµακρύνσεις του σώµατος και του σφαιρι δίου είναι κάθε στιγµή αντίρροπες, που σηµαίνει ότι κατά την γρήγορη ταλάν τωση του συστήµατος υπάρχει αντίθεση φάσεως µεταξύ σώµατος και σφαιριδί ου. Εξάλλου ο τρόπος ταλάντωσης του σύστήµατος που αντιστοιχεί στην µικρό τερη σύχνότητα f2 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

-g

LA1=

g

L(3 - 5) -

g

L

!

" #

$

% & A2

�

!

�

A2

A1

= 2 + 5 > 0

δηλαδή κατά την αργή ταλάντωση του σύστήµατος υπάρχει συµφωνία φάσεως ανάµεσα στο σώµα και το σφαιρίδιο, που σηµαίνει ότι κάθε στιγµή οι αποµακ ρύνσεις τους είναι οµόσηµες.

P.M. fysikos

Μονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβε ση, δέχεται εξωτερική δύναµη της µορφής:

�

F = F0!"#$t

όπου F0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. Η σταθερά απόσβεσης του ταλαντωτή είναι b, η µάζα του m και η κυκλική του ιδιοσυχνό τητα ίση µε την κυκλική συχνότητα ω της διεγείρουσας εξωτερικής δύναµης. i) Nα βρείτε την εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του ταλαντωτή κατά το µόνιµο σταδιο. ii) Να δείξετε ότι η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή παραµένει χρονικά αµετάβλητη. iii) Nα δείξετε ότι το εργο της εξωτερικής δύναµης σε µια χρονική διάρκεια είναι αντίθετο προς το αντίστοιχο έργο της δύναµης τριβής. ΛΥΣΗ: i) ) Εάν x είναι η µετατόπιση του ταλαντωτή από τη θέση αναφοράς x=0 κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, τότε η αντίστοιχη δύναµη επαναφοράς που δέχεται θα έχει αλγεβρική τιµή -m

�

!0

2x ή –mω2x, δίότι η κυκλική του ιδιοσυχνότητα ω0 είναι ίση µε την κυκλική συχνότητα ω της εξωτερικής δύνα µης που τον διεγείρει σε ταλάντωση. Εξάλλου επί του ταλαντωτή ενεργεί δύναµη τριβής της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι –bv, όπου v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητάς του, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η διαφορική εξίσωση:

�

md

2x

dt2=- bv-m!

2x+F

0"#$!t

�

!

�

md

2x

dt2=- b

dx

dt-m!

2x+F

0"#$!t

�

!

�

md

2x

dt2

+ bdx

dt+m!

2x=F

0"#$!t (1)

H (1) είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η δε γενική της λύση είναι άθροισµα µιας µερικής λύσεως αυτής και της λύσε ως της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης. Όµως η λύση της οµογενούς εκφρά ζει ή µια φθίνουσα ταλάντωση ή µια απεριοδική ταλάντωση που σηµαίνει ότι αργά ή γρήγορα η κίνηση που αντιστοιχεί στην λύση της οµογενούς θα σταµα τήσει. Tο γεγονός αυτό µας επιτρέπει να παραλείψουµε την λύση της οµογε νούς εξίσωσης και να περιορισθούµε µόνο στην µερική λύση της (1), η οποία περιγράφει την µόνιµη κινητική κατάσταση του ταλαντωτή. Eίναι λογικό να δεχθούµε ότι στην µόνιµη κατάσταση η δύναµη F=F0συνωt, λόγω του συνηµι τονικού της χαρακτήρα επιβάλλει στο σφαιρίδιο αρµονική κίνηση που περιγρά φεται από µια συνάρτηση της µορφής:

�

x = x0!µ ("t +#) (2) όπου x0 και φ σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Η (2) µε διπλή παραγώγιση ως προς το χρόνο δίνει:

�

dx/dt = x0!!"#($t +%)

d2x/dt2 = -x0!2"µ ($t +%)

# $ % (3)

Έτσι η σχέση (1) γράφεται:

�

-mx0!2"µ (!t +")+ bx0!#$%(!t +")+m!

2x0"µ (!t +") =

�

=F0!"#$t

�

!

�

bx0!!"#($t +%)=F0"#$!t (4) Η (4) για t=0 δίνει:

�

bx0!!"#$ =F

0

�

!

�

x0=F

0/b!!"#$ (5)

H (4) για t=π/2ω δίνει:

�

bx0!!"#("/2 +$)=F0!"#("/2)

�

!

�

- bx0!"µ! =0

�

!

�

! =0 οπότε η (5) παίρνει την µορφή:

�

x0=F

0/b!

Mε βάση τους παραπάνω υπολογισµούς η εξίσωση κίνησης του εξαναγκασµένου ταλαντωτη στο µόνιµο στάδιο της θα έχει την µορφή:

�

x =F

0

b!"µ!t (6)

ii) H µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή είναι κάθε στιγµή ίση µε το άθροισµα της κινητικής του και της δυναµικής του ενέργειας, δηλαδή ισχύει:

�

Eµ!" = K + U =mv

2

2+

m#0

2x

2

2=

mv2

2+

m#2x

2

2

�

!

�

Eµ!" =m

2(dx/dt)2+# 2x2[ ]

�

!

(6)

�

Eµ!" =m

2(#F0/b#)2$%&2#t+# 2(F0/#b)2!µ 2#t[ ]

�

!

�

Eµ!" =mF

0

2

2b2

#$%2&t + !µ 2&t( ) =mF

0

2

2b2

δηλαδή η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι για ω≠ω0, η παραπάνω ιδιότητα δεν ισχύει για τον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή. iii) Eαν εξετάσουµε τον ταλαντωτή µεταξύ των χρονικών στιγµώς t1 και t2, τότε για το αντίστοιχο έργο της εξωτερικής δύναµης θα ισχύει:

�

W!

F = Fdx

t1

t2

! = Fvdt

t1

t2

! = F0"#$%t

F0

b"#$%tdt

t1

t2

! =F

0

2

b"#$2%tdt

t1

t2

! (7)

Tο αντίστοιχο έργο της δύναµης τριβής είναι:

�

W!

F ! "= -bvdx

t1

t2

# = -bvvdt

t1

t2

# =- bF

0

2

b2$%&2'tdt

t1

t2

# =-F

0

2

b$%&2'tdt

t1

t2

# (8)

Aπό τις (7) και (8) προκύπτει η αποδεικτέα σχέση

�

W!

F = - W!

F ! ".

P.M. fysikos

Μονοδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβε ση, δέχεται εξωτερική δύναµη της µορφής:

�

F = F0!µ"t

όπου F0 θετική και σταθερή ποσότητα, ενώ η κυκλική συχνότητα ω της διεγείρουσας εξωτερικής δύναµης είναι διαφορετική της κυκλι κής ιδιοσυχνότητας ω0 του ταλαντωτή. i) Να δείξετε ότι η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή µεταβάλεται χρο νικά. ii) Nα δείξετε ότι το έργο της εξωτερικής δύναµης σε κάθε περίοδο της εξαναγκασµένης κίνησης του ταλαντωτή είναι αντίθετο προς το αντίστοιχο έργο της δύναµης τριβής. ΛΥΣΗ: i) Ο αρµονικός ταλαντωτής στο µόνιµο στάδιο της εξαναγκασµένης κινήσεώς του εκτελεί αρµονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση της µορφής:

�

x =x0!µ ("t +#) (1) όπου x0 το πλάτος της ταλάντωσης του και φ η διαφορά φάσεώς του σε σχέση µε την φάση της διεγείρουσας εξωτερικής δύναµης. Για τις ποσότητες x0, φ ισχύουν οι σχέσεις:

�

x0 =F0

m2(! 0

2-!

2)2+ b

2!

2 και

�

!"# =b$

m($ 0

2-$ 2

)

Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του ταλαντωτη, δηλαδή θα ισχύει:

�

v =dx/dt= x0!"#$(!t +%) (2) Εάν Κ είναι η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή κατά µια τυχαία στιγµή t και U η αντίστοιχη δυναµική του ενέργεια που απορρέει από την δύναµη επαναφο ράς -mω0

2x, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

K = mv2/2

U = m!0

2x

2/2

"

#

$

�

!

(1),(2)

�

K = mx0

2! 2"#$2(!t +%)/2

U = mx0

2! 0

2&µ2(!t +%)/2

' ( )

�

!

(+ )

�

K + U =mx0

2

2!

2"#$

2(!t +%) +! 0

2&µ 2

(!t +%)[ ]

�

!

�

Eµ!" =mx0

2

2# 2$%&2

(#t +') +# 0

2!µ 2(#t +')[ ] (3)

Aπό την (3) παρατηρούµε ότι η µηχανική ενέργεια Εµηχ του ταλαντωτή εξαρτά ται από τον χρόνο, δηλαδή δεν διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της εξαναγ κασµένης κινήσεώς του. Μόνο στην περίπτωση που ισχύει ω=ω0, η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή διατηρείται σταθερή και ίση µε mx0

2ω02/2.

ii) Το έργο

�

W!

F της εξωτερικής δύναµης

�

! F σε χρονο µιας περιόδου Τ της εξα

ναγκασµένης ταλάντωσης υπολογίζεται από την σχέση:

�

W!

F = (Fdx)

0

T

! = (F0"µ#tvdt)

0

T

!

�

!

(2)

�

W!

F = (F0!µ"tx0"#$%("t +&)dt

0

T

'

�

!

�

W!

F =F0x0! "µ!t#$%(!t +&)dt

0

T

' (4)

Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα:

�

!µ"t#$%("t+&)=1

2!µ ("t+"t-&)+!µ ("t-"t+&)[ ] =

1

2!µ (2"t-&)+!µ&)[ ]

οπότε η σχέση (4) γράφεται:

�

W!

F =F0x0!

2"µ (2!t-#)+"µ#)[ ]dt

0

T

$ =F0x0!

2"µ (2!t-#)dt

0

T

$ + "µ#dt

0

T

$%

&

' '

(

)

* *

�

!

�

W!

F =F0x0!

2"µ (2!t-#)dt

0

T

$ +T"µ#%

&

' '

(

)

* * (5)

Eξάλλου έχουµε:

�

!µ (2"t-#)dt

0

T

$ =1

2"!µ (2"t-#)d(2"t-#)

0

T

$ =1

2"-%&'(2"t-#)[ ]

0

T

�

!

�

!µ (2"t-#)dt

0

T

$ =1

2"-%&'(4( -#) +%&'(-#)[ ] = 0

οπότε η σχέση (5) γράφεται:

�

W!

F =F

0x

0

2!T"µ# =

F0x

0

22$"µ# = $F

0x

0"µ# (6)

Για τον υπολογισµό του ηµφ θεωρούµε το ορθογώνιο τρίγωνο µε µήκη καθέ των πλευρών bω και m(ω0

2-ω2), οπότε η αντικείµενη προς την πλευρά bω γωνία θα είναι ίση µε φ, αφού η εφαπτοµένη της θα είναι ίση µε bω/m(ω0

2-ω2).

Eξάλλου η ποσότητα

�

m2(!0

2-!

2)2+b

2!

2 αποτελεί το µήκος της υποτείνουσας του τριγώνου, οπότε για το ηµφ θα ισχύει:

�

!µ" =b#

m2(# 0

2-# 2)2+b2#

2=

b#

F0 /x0

=b#x0

F0

(7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε:

�

W!

F = !F

0x

0

b"x0

F0

#

$ %

&

' ( =!b"x

0

2 (8)

To αντίστοιχο έργο

�

W!

F ! "της δύναµης τριβής –bv που δέχεται ο ταλαντωτής υπο

λογίζεται από την σχέση:

�

W!

F ! "= (-bvdx)

0

T

# = -b (v2dt)

0

T

#

�

!

(2)

�

W!

F ! "=-b x0

2# 2$%&2(#t+')dt

0

T

( =-bx0

2# 2

21-$%&2(#t-')[ ]dt

0

T

(

�

!

�

W!

F ! "= -

bx0

2# 2

2dt -

0

T

$ %&'2(#t-()[ ]dt

0

T

$)

*

+ +

,

-

.

. = -

bx0

2# 2

2T - 0( )

�

!

�

W!

F ! "= -

bx0

2# 2

2

2$#

%

& '

(

) * = -$b#x

0

2 (9)

Aπό τις σχέσεις (8) και (9) προκύπτει η αποδεικτέα σχέση

�

W!

F = - W!

F ! ".

Παρατήρηση: Η σχέση

�

W!

F = -W!

F ! " µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι η ενέργεια που χάνει ο

ταλαντωτής σε κάθε περιόδο της εξαναγκασµένης ταλάντωσής του, µέσω του έργου της δύναµης τριβής, αναπληρώνεται από την ενέργεια που εισπράτει µέ σω του αντίστοιχου έργου της εξωτερικής δύναµης. Αυτό ισοδυναµεί µε το ότι η µέση ισχύς της δύναµης τριβής σε κάθε περίοδο Τ είναι κατ’ απόλυτη τιµή ίση µε την αντίστοιχη µέση ισχύ της εξωτερικής δύναµης. Η ιδιότητα αυτή είναι εύκολο να αποδεικτεί ότι δεν ισχύει για τις στιγµιαίες ισχείς των δύο δυ νάµεων.

P.M. fysikos

Ένα σωµατίδιο µαζας m κινείται εντός δυναµικού πεδίου, το οποίο εκτείνεται στον τρισδιάστατο χώρο. Η δύναµη που εξασκεί το πεδίο στο σωµατίδιο απορρέει απο συνάρτηση δυναµικής ενέργειας που έχει την µορφή:

�

U =k

2x2 + 4y2 +16z2( ) (α)

όπου k θετική και σταθερή ποσότητα και x, y, z οι χωρικές συντεταγ µένες του σωµατιδίου. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου το σωµατίδιο αφήνεται ελευθερο σε σηµείο Α του πεδίου, που δεν συµπίπτει µε την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σωµατίδιο είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδό της. ΛΥΣΗ: Η δύναµη

�

! F που δέχεται το σωµατίδιο από το πεδίο είναι συντηρητική

αφού απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας, υπολογίζεται δε µέσω της σχέσεως:

�

! F = -

! ! U = -

"U"x

! i +

"U"y

! j +

"U"z

! k

#

$ %

&

' ( (1)

όπου

�

! i ,

�

! j ,

�

! k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox, Oy Oz αντιστοίχως.

Εξάλλου εάνFx, Fy, Fz είναι οι αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών της

�

! F στους

τρείς άξονες, θα έχουµε την σχέση:

�

! F = Fx

! i + Fy

! j + Fz

! k

η οποία συνδυαζόµενη µε την (1) δίνει τις σχέσεις:

�

Fx = -!U/!x

Fy = -!U/!y

Fz = -!U/!z

"

# $

% $

�

!

(" )

�

Fx = -kx

Fy = -4ky

Fz = -16kz

!

" #

$ #

(2)

Εφαρµόζοντας για το σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κινήσεως του νευτωνα κατα τις διευθύνσεις των αξόνων Ox, Oy, Oz παίρνουµε τις σχέσεις:

�

m(d2x/dt2) = Fx

m(d2y/dt2) = Fy

m(d2z/dt2) = Fz

!

" #

$ #

�

!

(2)

�

m(d2x/dt2) = -kx

m(d2y/dt2) = -4ky

m(d2z/dt2) = -16kz

!

" #

$ #

�

!

�

d2x/dt2 +(k/m)x = 0

d2y/dt2 +4(k/m)y = 0

d2z/dt2 +16(k/m)z = 0

!

" #

$ #

�

!

�

d2x/dt2 +! 2x = 0

d2y/dt2 +(2!)2y = 0

d2z/dt2 + (4! 2)z = 0

"

# $

% $

(3)

όπου

�

!2=k /m. Οι σχέσεις (3) αποτελούν τρεις οµογενείς γραµµικές διαφορι

κές εξισώσεις δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχονται ως λύ σεις ηµιτονικές συναρτήσεις, που εκφράζουν τρεις αρµονικές ταλαντώσεις κατά µήκος των αξόνων Οx, Oy, Oz µε αντίστοιχες κυκλικές συχνότητες ω, 2ω και 4ω. Εαν Τx, Ty, Tz είναι οι περίοδοι των τριών αυτών ταλαντώσεων θα έχουµε:

�

Tx = 2!/"

Ty = 2!/2"

Tz = 2!/4"

#

$ %

& %

�

!

�

Tx = 4Tz

Ty = 2Tz

!

"

#

δηλαδή οι περίοδοι Τx, Ty, είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου Tz. Αυτό σηµαίνει ότι αν το σωµατίδιο την χρονική στιγµή t=0 αφήνεται ελευθερο σε σηµειο Α(x0, y0, z0), µετά από χρόνο Τx θα βρίσκεται πάλι στο σηµείο Α, αφού οι συντεταγµένες του θα λάβουν τις αρχικές τους τιµές ανακτώντας την ενεργει ακή του κατάσταση, αφου η µηχανική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται λόγω της συντηρητικής δύναµης που ρυθµίζει την κίνησή του. Κατα µία λοιπόν έννοια το σωµατίδιο αποτελεί ένα τρισδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή που εκτελεί στον χώρο µια περιοδική κίνηση, της οποίας η περίοδος είναι ίση µε Τx.

P.M. fysikos

Mικρό σώµα Σ µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου αµελητέας µάζας καί σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι δεµένο στο κατακόρυφο τοίχωµα ενός ευκίνητου µικρού οχήµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου αναγκάζουµε

το όχηµα, µε κατάλληλη εξωτερική επέµβαση, να τεθεί σε οριζόντια ταλάντωση η οποία στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους περιγράφεται από την εξίσωση κίνησης:

�

X=X0!µ"t

όπου

�

! X η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας του οχήµατος από µια

αρχή αναφοράς Ο και Χ0, ω σταθερές θετικές ποσότητες. i) Eάν την στιγµή t=0 το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και το σώµα ακινητεί στην αρχή Ο, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Eάν ω2≠k/m να βρείτε την εξίσωση κίνησης του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Τι θα συµβεί αν ω2=k/m; Nα δεχθεί τε ότι η τριβή ανάµεσα στο σώµα και στο δάπεδο του οχήµατος είναι αµελητέα. ΛΥΣΗ: i) Ας εξετάσουµε αρχικά την κίνηση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος.. Στο σύστηµα αυτό το σώµα δέχεται το βάρος του

�

! w

που εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση

�

! N του δαπέδου, του

οχήµατος, την δύναµη

�

! F !"

από το ελατήριο και την αδρανειακή ψευδο δύναµη d’ Alempert

�

! ! =-m

! a , όπου

�

! a η επιτάχυνση του οχήµατος στο σύ στηµα

αναφοράς του εδάφους. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

ma!" = -kx!" - ma (1)

Σχήµα 6

όπου

�

! a !" η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος

(σχετική επιτάχυνση του σώµατος ως προς το όχηµα) και

�

! x !" η αντίστοιχη

µετατόπισή του, µετρούµενη ως προς την αρχή Ο. Όµως για την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης

�

! a ισχύει η σχέση:

�

a = d2X/dt

2=- X

0!

2"µ!t = -!

2X (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

ma!" = -kx! + m#2X

�

!

�

ma!" + kx! = m#2X (3)

Όµως, αν

�

! a ! είναι η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του

εδάφους και

�

! x

! η αντίστοιχη µετατόπισή του, θα έχουµε, σύµφωνα µε τα

γνωστά των σχετικών κινήσεων, τις σχέσεις:

�

a!" = a# - a και

�

x!" = x# - X

oπότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή:

�

m(a!- a) + k(x

!- X) = m"

2X

�

!

�

ma!- ma + kx

!= kX + m"

2X

�

!

(2)

�

ma!+ m"

2X + kx

!= kX + m"

2X

�

!

�

ma!+ kx

!= kX

�

!

�

mdx

!

2

dt2

+ kx!

= kX

�

!

�

dx!

2

dt2

+k

mx! =

kX0

m"µ#

�

!

�

dx!

2

dt2

+"!

2x! =

F0

m#µ" (4)

όπου τέθηκε ωΣ=k/m και F0=kX0. H (4) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του σώµα τος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Η µορφή της εξίσωσης (4) µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι το σώµα Σ συµπεριφέρεται ως εξαναγκασµένος αρµονι κός ταλαντωτης χωρίς απόσβεση. ii) H (4) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες. Για τη λύση της εξίσωσης αυτής ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση της (4) την συνάρτηση:

�

x1(t) = A!µ"t + B#$%"t (5) όπου Α, Β σταθεροί συντελεστές, οπότε µε διπλή παραγώγιση της (5) θα έχου µε:

�

dx1(t)

dt= A!"#$!t - B!%µ!t

�

!

�

d2x1(t)

dt2

= -A!2"µ!t - B!

2#$%!t (6)

Η (4( λόγω των (5) και (6) γράφεται:

�

-A!2"µ!t - B!

2#$%!t +!&

2(A"µ!t + B#$%!t) = F0"µ!t/m

�

!

�

(!"

2A -! 2A - F0/m)#µ!t + (!"

2B - B!2)$%&!t = 0 (7)

Επειδή η (7) πρέπει να ισχύει για κάθε t>0, αυτό εξασφαλίζεται από τις σχέσεις:

�

!"2B -! 2

B = 0

!"2A - A! 2

- F0/m = 0

#

$

%

�

!

�

B(!"2 -! 2) = 0

A(!"2 -! 2) = F0/m

#

$

%

�

!

�

B = 0

A =F0/m(!"2-! 2)

#

$

%

(8)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (8) παίρνουµε:

�

x1(t) =F0!µ"t

m("#

2-"

2) (9)

Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της (4) έχει την µορφή:

�

x2(t) = C1!µ"#t + C2$%&"#t (10) όπου C1, C2 σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Η γενική λύση xΣ(t) της (4) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων x1(t) και x2(t), δηλάδη:

�

x!(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(9),(10)

�

x! (t)=F0"µ#t

m(#!

2-#

2)+C1"µ#!t+C2$%&#!t (11)

Παραγωγίζοντας την (11) ως προς τον χρόνο έχουµε:

�

dx! (t)

dt=

F0"#$%"t

m("!

2-"

2)+ C1"!#$%"!t - C2"!&µ"!t (12)

Για t=0 οι σχέσεις (11) και (12) δίνουν:

�

0=C2

0 = !F0/m(!"2-! 2)+C1!"

#

$

%

�

!

�

C2 = 0

C1 = -!F0/!"m(!"2-! 2)

#

$

%

Η τελική εποµένως µορφή της (11) είναι:

�

x! (t)=F0"µ#t

m(#!

2-#

2)-

#F0"µ#!t

#!m(#!

2-#

2)

�

!

�

x! (t)=F0

m("!2-" 2

)#µ"t -

""!

#µ"!t$

% &

'

( ) (13)

Η (13) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Όταν ω2=k/m τότε ωΣ=ω και το δευτερο µέλος της (13) παίρνει την µορφή 0/0, δηλαδή καθίσταται απροσδιόριστο και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L’ Ηοspital, οπότε θα έχουµε:

�

lim!"!#

$µ!t - (! /!# )$µ!#t

!#2 -! 2

%

& '

(

) * =

lim!"!#

d[$µ!t - (! /!# )$µ!#t]/d!

lim!"!#

d(!#2 -! 2)/d!

=

�

=

lim!"!#

(t$%&!t-'µ!#t /!# )

lim!"!#

(-2!)='µ!#t /!# -t$%&!#t

2!#

='µ!#t-t!#$%&!#t

2!#

2

Άρα η οριακή µορφή της xΣ(t) όταν ω→ωΣ, είναι:

�

x! (t)=F0

2m"!

2#µ"!t - t"!$%&"!t( )

�

!

�

x! (t)=X0

2"µ#!t - t#!$%&#!t( ) (14)

Η σχέση (14) δεν εκφράζει αρµονική ταλάντωση, αλλα µια πολύπλοκη κίνηση κατά την εξέλιξη της οποίας η αποµάκρυνση του σώµατος παίρνει τιµές που αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο Χ0tωΣηµωΣt/2. Άρα κάποια στιγµή η επιµήκυνση του ελατηρίου θα λάβει τέτοια τιµή που θα οδηγήσει σε θραύση του.

P.M. fysikos

Ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής L συνδέ εται σε σειρά µε ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C και το σύστηµα τροφοδοτείται µέσω διακόπτη Δ µε γεννήτρια αρµονικά εναλλασσό µενης τάσεως της µορφής:

�

U=V0!µ"t

όπου V0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Eάν την χρονική στιγµή t=0 που κλείνει ο διακόπτης το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρευµατος στο πηνίο έχουν µηδενική τιµή, να βρείτε πως µεταβάλλεται σε συνάρηση µε τον χρό νο η ένταση i του ρεύµατος στο πηνίο. Είναι δυνατόν το ρευµα αυτό να είναι περιοδικό; ii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης i=i(t) στην περίπτωση που η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος L-C είναι ίση µε ω. iii) Εάν τα στοιχεία L, C συνδέονται παράλληλα, να δείξετε ότι το ρεύµα που διαρρέει την γεννήτρια είναι αρµονικά εναλλασόµενο. Είναι δυνατόν το ρεύµα αυτό να αποκοπεί, ενώ στο πηνίο και στον κλάδο του πυκνωτή να κυκλοφορεί ρεύµα;

ΛΥΣΗ: i) Όταν κλείσει ο διακόπτης Δ, η δράση της γεννήτριας επιβάλλει στο πηνίο του κυκλώµατος ρεύµα µεταβλητής έντασης, µε αποτέλεσµα να µεταβάλ λεται το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και η τάση στις άκρες του. Kαθώς εξελίσσεται η κυκλοφορία του ρεύµατος µεταβάλλεται η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, η δε γεννήτρια που διεγείρει το κύκλωµα συµµετέχει στην παραπά

Σχήµα 7

νω διαδικασία ανταλλάσοντας ενέργεια µε το σύστηµα L-C. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του συστήµατος L-C είναι ίσος µε τον ρυθµό ανταλλαγής ηλεκτρικής ενέργειας της γεννήτριας µε το σύστηµα (ηλεκτρική ισχύς της γεννήτριας). Έτσι, εάν κάποια στιγµή η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι i και το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή q, θα ισχύει η σχέση:

�

d

dt

Li2

2+

q2

2C

!

" #

$

% & = Ui !

�

Lidi

dt+

q

C

dq

dt= iV0!µ!t (1)

Όµως το διαφόρικό πηλίκο dq/dt απότελεί την ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά την στιγµή που το εξετάζουµε, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

Lidi

dt+

q

Ci = iV0!µ!t !

�

Ldi

dt+

q

C= V0!µ!t (2)

Παραγωγίζοντας την (2) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την σχέση:

�

Ld2i

dt2+

1

C

dq

dt= V0!"#$!t !

�

d2i

dt2

+i

LC=

V0!

L"#$!t !

�

d2i

dt2

+!0

2i =

V0!

L"#$!t µε

�

!0

2=

1

LC (3)

όπου ω0 η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος σειράς L-C. H (3) είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, για την λύση της οποίας ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση της (3) την συνάρτηση:

�

i1(t) = A!µ"t + B#$%"t (4) οπότε µε διπλή παραγώγιση αυτής θα έχουµε:

�

di1(t)

dt= A!"#$!t - B!%µ!t

�

!

�

d2i1(t)

dt2

= - A!2"µ!t-B!

2#$%!t (5)

Αντικαθιστώντας στην (3) την δεύτερη παράγωγο εκ της (5) παίρνουµε την σχέ ση:

�

-A!2"µ!t - B!

2#$%!t +! 0

2(A"µ!t + B#$%!t) = (V0! /L)#$%!t

�

!

�

(! 0

2A -! 2A)"µ!t + (! 0

2B - B!2 - V0!/L)#$%!t = 0 (6)

Επειδή η (6) πρέπει να ισχύει για κάθε t>0, αυτό εξασφαλίζεται µε τις σχέσεις:

�

!0

2A -! 2

A = 0

!0

2B - B! 2

- V0!/L = 0

"

#

$

�

!

�

A(! 0

2-! 2)=0

B(! 0

2-! 2)=V0!/L

"

#

$

�

!

�

A=0

B=V0!/L(! 0

2-! 2)

"

#

$

Έτσι η σχέση (4) γράφεται:

�

i1(t) =V0!"#$!t

L(! 0

2-!

2) (7)

Η αντίστοιχς οµογενής εξίσωση της (3) δέχεται λύση της µορφής:

�

i2(t) = C1!µ"0t + C2#$%"0t (8) όπου C1, C2 σταθερές ολοκληρώσεως, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται το κύκλωµα. Η γενική λύση i(t) της (3) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων i1(t) και i2(t), δηλάδη:

�

i(t) = i1(t) + i2(t)

�

!

(7),(8)

�

i(t) =V0!!"#$t

L($ 0

2-$

2)+ C1%µ$0t + C2!"#$0t (9)

Παραγωγίζοντας την (9) ως προς τον χρόνο έχουµε:

�

di(t)

dt= -

V0!2"µ!t

L(! 0

2-!

2)+ C1! 0#$%!0t - C2! 0"µ!0t

οπότε η σχέση (2) γράφεται:

�

-V0!

2"µ!t

! 0

2 -! 2+ C1L! 0#$%!0t - C2L! 0"µ!0t +

q

C= V0"µ!t

�

!

�

q

C= V0!µ!t +

V0"2!µ"t

" 0

2 -" 2- C1L" 0#$%"0t + C2L" 0!µ"0t (10)

Όµως για t=0 έχουµε q(0)=0 και i(0)=0 όπότε οι σχέσεις (9) και (10) δίνουν:

�

0=V0!/L(! 0

2-! 2)+C2

0=-C1L! 0

"

#

$

�

!

�

C2 =- V0!/L(! 0

2-! 2)

C1 = 0

"

#

$

Η τελική εποµένως µορφή της (9) είναι:

�

i(t) =V0!"#$!t

L(! 0

2-!

2)-V0!"#$!0t

L(! 0

2-!

2)

�

!

�

i(t)=V0!

L(! 0

2-!

2)"#$!t-"#$!0t( ) (11)

Παρατηρούµε από την (11) ότι η συνάρτηση i(t) προκύπτει ως σύνθεση δύο συνηµιτονικών συναρτήσεων µε διαφορετικές κυκλικές συχνότητες ω κα ω0 και το ερώτηµα που εγείρεται είναι ποιά είναι η φυσιογνωµία του ηλεκτρικού ρεύµατος. Μπορούµε να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Αν οι κυκλικές συχ νότητες ω, ω0 έχουν τυχαίες τιµές. η χρονική µεταβολή της έντασης του ρεύµα τος είναι πολύπλοκη και δεν εκφράζει κάποιο συγκεκριµένο νόµο. Αν όµως οι κυκλικές συχνότητες ω, ω0 έχουν λόγο που είναι ρητός αριθµός, δηλαδή ικανο ποιούν µια σχέση της µορφής ω/ω0=n1/n2 όπου n1, n2 θετικοί ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους, τότε η συνάρτηση i(t) είναι περιοδική µε περίοδο Τ που δινεται από την σχέση: Τ=2π/n1ω= 2π/n2ω0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή το ρεύµα θα µεταβάλλεται περιοδικά, αλλά όχι αρµονικά µε τον χρόνο που σηµαίνει ότι στο κύκλωµα θα συµ βαίνει περιοδική µετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου από τον ένα οπλισµό του πυκνωτή προς τον άλλο, µέσω του πηνίου και της γεννήτριας. ii) Εάν η κυκλική συχνότητα ω της τάσεως της γεννήτριας γίνει ίση προς την κυκκλική ιδιοσυχνότητα ω0 του κυκλώµατος σεράς L-C, τότε το δεύτερο µέλος της σχέσεως (11) παίρνει την απροσδιόριστη µορφή 0/0 και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L’ Ηοspital, οπότε θα έχουµε:

�

lim!"! 0

#$%!t - #$%!0t

! 0

2 -! 2

&

'

(

)

*

+ =lim!"! 0

d(#$%!t - #$%!0t)/d!

lim!"! 0

d(! 0

2 -! 2)/d!=

�

=

lim!"! 0

(-t#µ!t)

lim!"! 0

(-2!)=

t#µ!0t

2! 0

Άρα η οριακή µορφή της i(t) όταν ω→ω0 είναι:

�

i(t) =V0!

L

t"µ!0t

2! 0

=V0

2Lt"µ! 0t (12)

Η σχέση (12) δεν εκφράζει ηµιτονική µεταβολή του ρεύµατος, αλλα µια πολύπ λοκη εξέλιξη αυτού κατά την οποία παίρνει τιµές που αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο tηµω0t. Για να γίνει αυτό αντιληπτό χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση:

�

- 1 ! "µ (# 0t) ! +1

�

!

(" )

�

-1 !2Li(t)

V0t! +1

�

!

�

-V0t

2L! i(t) ! +

V0t

2L (13)

Από την (13) παρατηρούµε ότι οι ευθείες q(t)=

�

± V0t/2L αποτελούν την περιβά λουσα της συνάρτησης (12), η οποία οριοθετεί τις τιµές του ρεύµατος i και το κατευθύνει προς το άπειρο (σχήµα 8). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή έχει καθαρά θεωρητικό χαρακτήρα, διότι στην πράξη καµιά γεννήτρια δεν έχει

Σχήµα 8

την απαιτούµενη ισχύ, ώστε να διακινήσει ηλεκτρικό ρεύµα που τείνει προς το άπειρο και κανένας πυκνωτής δεν έχει την απαιτούµενη διηλεκτρική αντοχή, ώστε να δεχθεί στους οπλισµούς του απεριόριστο ηλεκτρικό φορτίο. iii) Εάν τα στοιχεία L, C συνδέονται παράλληλα (σχήµα 9) τότε κάθε στιγµή η τάση στις άκρες του πηνίου και του πυκνωτή θα είναι ίση µε την τάση στις άκρες της γεννήτριας, δηλαδή θα έχουµε:

�

Ldi

L

dt= V

0!µ!t

�

!

�

diL=

V0

L!µ!tdt (14)

όπου iL η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο την στιγµή που εξετάζουµε το κύκλω µα. Oλοκληρώνοντας την σχέση (14) παίρνουµε:

�

iL=

-V0

!L"#$!t + K (15)

όπου Κ σταθερά ολοκλήρωσης που µπορούµε να την προσδιορίσουµε αναφερό µενοι στο παρελθόν του πηνίου, δηλαδή στο χρονικό διάστηµα (-

�

! , 0). Είναι λογικό να δεχθούµε ότι i(-

�

!)=0, οπότε η (15) για t→ -

�

! δίνει:

�

i(-!) =V0

L"limz# -!

($%&"z) + K

�

!

�

0 =V0

L!limz" -#

($%&!z) + K

Aν δεχθούµε ότι όλες οι συνθήκες εγγυώνται την σχέση

�

limz! -"

(#$%&z) = 0, τότε

η σταθερά ολοκληρώσεως Κ είναι µηδενική και η σχέση (15) γράφεται:

�

iL=-V0

!L"#$!t =

V0

!L%µ (!t - &/2) (16)

Εξάλλου κάθε στιγµή για το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή ισχύει η σχέση:

�

q

C= V0!µ!t

�

!

�

q = V0C!µ!t

η οποία µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t δίνει:

�

dq

dt= V0!C!"#$t

�

!

�

iC=V0!C!"#$t=V0!C%µ (!t + &/2) (17)

όπου iC η ένταση του ρεύµατος στον κλάδο του πυκνωτή την στιγµή που εξετά

Σχήµα 9 ζουµε το κύκλωµα. Για την αντίστοιχη ένταση i του ρεύµατος στην γεννήτρια ισχύει:

�

i = iL

+ iC

�

!

(15),(16)

�

i=-V

0

L!"#$!t + V

0!C"#$!t

�

!

�

i=V0!C -

1

L!"

# $

%

& ' ()*!t (18)

δηλαδή το ρεύµα στην γεννήτρια είναι αρµονικά εναλλασσόµενο κυκλικής συχνότητας ω το δε πλάτος του i0 είναι:

�

i0=V

0|!C - 1/L! | (19)

Στην περίπτωση που ισχύει ωC=1/ωL, δηλαδή όταν η κυκλική συχνότητα της τάσεως τροφοδοσίας είναι ίση µε την κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος L-C, τότε i=0 που σηµαίνει ότι το ρεύµα στην γεννήτρια έχει αποκοπεί, ενώ στον κλάδο του πυκνωτή και στο πηνίο κυκλοφορεί κοινό ρεύµα που η εντασή του µεταβάλλεται µε τον χρόνο σύµφωνα µε την σχέση:

�

iL=i

C=V

0!

0C!"#$

0t

�

!

�

iL=i

C=V

0

C

L!"#

t

LC

$

% &

'

( ) (20)

Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι το κύκλωµα L-C µε τα στοιxεία του παράλ ληλα συµπεριφέρεται ως εξαναγκασµένος αρµονικός ηλεκτρικός ταλαντωτής,

όταν τροφοδοτείται µε αρµονικά εναλλασσόµενη τάση και στην κατάσταση συντονισµού (ω=ω0) µετατρέπεται σε ελεύθερο αρµονικό ταλαντωτή. Στο σχήµα (9) φαίνεται το διάγραµµα της συνάρτησης i0=f(ω).

P.M. fysikos

Στο κύκλωµα του σχήµατος (10) η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε και αµελητέα εσωτερική αντίσταση, το πηνίο είναι ιδανικό τα δε στοιχεία R, C, L του κυκλώµατος ικανοποιούν την σχέση (4L/C)>R2. Την στιγµή t=0 η γεννήτρια αποσυνδέεται από το κύκλωµα µε την βοήθεια του διακόπ τη Δ1, ενώ µέσω του διακόπτη Δ2 συνδέεται στο κύκλωµα ο αφόρτι στος πυκνωτής. i) Να δείξετε ότι το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

�

q =E

R!e-Rt/2L

"µ!t

όπου ω η λεγόµενη κυκλική ψευδοσυχνότητα του κυκλώµατος, για την οποία ισχύει ω2=1/LC-(R/2L)2. ii) Nα δείξετε ότι η ένταση i του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο και τον αντιστάτη µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

�

i =E! 0

R!e-Rt/2L

"#$(!t +%)

όπου συνθ=ω/ω0 και ω0

2=1/LC. iii) Nα βρείτε την θερµότητα Joule που ελευθερώνει ο αντιστάτης στο χρονικό διάστηµα [0, 2π/ω]. ΛΥΣΗ: i) Όταν η γεννήτρια αποσυνδεθεί από το κύκλωµα µε την βοήθεια του διακόπτη Δ1, τότε σε πρώτο στάδιο η ένταση του ρεύµατος στον κλάδο R-L τείνει να µηδενιστεί, µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη που διατηρεί το ρεύµα (κανόνας του Lenz) µε αποτέλεσµα να φορτίζεται ο πυκνωτής. Με τον τρόπο αυτόν αρχίζει παραγωγή ηλεκτρικής ταλάντωσης στο κύκλωµα R-L-C, η οποία λόγω του αντιστάτη είναι φθίνουσα. Εφαρµόζοντας στο κύκλωµα κατά µια τυχαία χρονι κή στιγµή t τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παιρνουµε την σχέση:

�

E!"#

- VC= iR

�

!

�

-Ldi

dt-q

C= iR

�

!

�

Ldi

dt+

q

C+ iR = 0 (1)

όπου i η ένταση του ρεύµατος στον κλάδο R-L κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή και di/dt η αντίστοιχη ταχυτητα µεταβολής της έντασης i. Eάν dq είναι η µεταβολή του φορτίου του πυκνωτή µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt θα ισχύει:

�

i =dq

dt

�

!

�

di

dt=d2q

dt2

και η (1) παίρνει την µορφή:

�

Ld2q

dt2+ R

dq

dt+q

C= 0

�

!

�

d2q

dt2+

R

L

dq

dt+

q

LC= 0 (2)

Σχήµα 10 H (2) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συν τελεστές η δε χαρακτηριστική της εξίσωση έχει την µορφή:

�

!2+

R

L! +

1

LC= 0 (3)

H διακρίνουσα της (3) είναι:

�

! =R

2

L2

-4

LC< 0

διότι τα στοιχεία του κυκλώµατος ικανοποιούν την σχέση R2<4L/C. Δηλαδή η (3) έχει ρίζες µιγαδικές που σηµαίνει ότι η διαφορική εξίσωση (2) δέχεται λύση της µορφής:

�

q = Ae-Rt/2L!µ ("t +#) (4)

όπου Α, φ σταθερές ολοκληρώσεως που οι τιµές τους θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες του κυκλώµατος και ω η λεγόµενη κυκλική ψευδοσυχνό τητά του για την οποία ισχύει:

�

! =1

LC-

R

2L

"

# $

%

& '

2

= !0

2-

R

2L

"

# $

%

& '

2

(5)

Tην χρονική στιγµή t=0 που κλείνει ο διακόπτης Δ2 και ανοίγει ο Δ1 ισχύει q(0)=0, οπότε την στιγµή αυτήν η (4) δίνει:

�

0 = A!µ"

�

!

�

! = 0 και η (4) γράφεται:

�

q = Ae-Rt/2L!µ"t (6)

Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την στιγµιαία ένταση i του ρεύµατος, δηλαδή θα έχουµε:

�

i =dq

dt= A

d

dte-Rt/2L

!µ"t( )

�

!

�

i=A-R

2Le

-Rt/2L!µ"t+"e-Rt/2L#$%"t

&

' (

)

* +

�

!

�

i=Ae-Rt/2L -R

2L!µ"t+"#$%"t

&

' (

)

* + (7)

Όµως την χρονική στιγµή t=0 ισχύει i(0)=E/R, οπότε η (7) δίνει:

�

E/R=A!

�

!

�

A=E/R! (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (8) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

�

q =E

R!e-Rt/2L

"µ!t (9)

ii) H σχέση (7) γράφεται:

�

i=E

Re

-Rt/2L -R

2!L"µ!t+#$%!t

&

' (

)

* +

�

!

�

i=E

Re

-Rt/2L-!µ"t#$%+&'("t( )

�

!

�

i=E

Re

-Rt/2L-!µ"t

!µ#$%&#

+$%&"t'

( )

*

+ ,

�

!

�

i=E

R!"#$e

-Rt/2L-%µ$%µ&t+!"#$!"#&t( )

�

!

�

i=E

R!"#$e-Rt/2L

!"#(%t +$) (10)

όπου τέθηκε εφθ=R/2ωL. Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα:

�

!"#$ =1

1+ %&2$=

1

1+ (R/2'L)2=

2'L

4' 2L2 + R2

�

!

�

!"#$ =2%L

4L2(% 0

2 - R2/4L2) + R2=

2%L

4L2% 0

2 - R2 + R2=

%

% 0

(11)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10) και (11) καταλήγουµε στην αποδεικτέα σχέση:

�

i =E! 0

R!e-Rt/2L

"#$(!t +%) (12)

iii) H θερµότητα Joule QR που ελευθεώνει ο αντιστάτης στο χρονικό διάστηµα [0, 2π/ω] υπολογίζεται µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας, συµφωνα µε την οποία η είναι ίση µε την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου την στιγµή t=0, ελαττωµένη κατά την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή την χρονική στιγµή t=2π/ω και κατά την αντίστοιχη ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

QR =1

2L

E

R

!

" #

$

% &

2

-1

2LiT

2 -qT

2

2C (13)

όπου iT η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο την χρονική στιγµή Τ=2π/ω και qT το αντίστοιχο φορτίο του πυκνωτή. Όµως από τις σχέσεις (9) και (12) έχουµε:

�

iT =E! 0

R!e-2"Rt/2!L

#$%(2" +&) =E! 0

R!e-"Rt/!L

#$%& =E

Re-"Rt/!L

και

�

qT =E

R!e-2"Rt/2!L

#µ 2" =0

οπότε η (13) γράφεται:

�

QR =1

2L

E

R

!

" #

$

% &

2

-1

2L

E

R

!

" #

$

% &

2

e-2'Rt/(L =LE2

2R21 - e-2'Rt/(L( )

P.M. fysikos

Ένα κύκλωµα σειράς R-L-C τροφοδοτείται µε αρµονικά εναλλασσόµενη τάση της µορφής: U=V0ηµωt όπου V0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Xρησιµοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας να δείξετε ότι, το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή προκύπτει ως λύση της δια φορικής εξίσωσης:

�

d2q

dt2+

R

L

dq

dt+

q

LC=

V0

L!µ"t

ii) Eάν η διαφορική αυτή εξίσωση δέχεται, κατά το µόνιµο στάδιο κυκλοφορίας του ρεύµατος στο κύκλωµα, λύση της µορφής: q = q0ηµ(ωt+φ)

να δείξετε τις σχέσεις:

�

q0 =V0

R2!

2 + L(! 2 -! 0

2)2 και

�

!"# =R$

L($2

-$0

2)

µε

�

!0

= 1/ LC iii) Nα βρείτε για ποιά τιµή της κυκλικής συχνότητας ω της τάσεως τροφοδοσίας το πλάτος q0 του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή παίρ νει την µεγαλύτερη τιµή του και να βρεθεί η προϋπόθεση για την ύπαρξη αυτού του τοπικού µεγίστου. iv) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης q0=f(ω), όταν 0<ω<+

�

!, για δυό διαφορετικές τιµές R1 και R2 της ωµικής αντί στασης, µε R1 >R2. ΛΥΣΗ: i) Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του συστήµατος L-C είναι ίσος µε το άθροισµα του ρυθµού εκποµπής θερµότητας Joule από την ωµική αντίσταση R και του ρυθµού ανταλλαγής ηλεκτρικής ενέργειας της γεννήτριας µε όλο το σύστηµα. Έτσι, εάν κάποια στιγµή η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι i και το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή q, θα ισχύει η σχέση:

�

d

dt

Li2

2+

q2

2C

!

" #

$

% & = -i2R + Ui !

Li

di

dt+

q

C

dq

dt= -i

2R + iV0!µ"t !

Li

di

dt+

q

Ci = -i

2R + iV0!µ"t !

L

di

dt+

q

C+ iR = V0!µ"t (1)

‘Οµως για την στιγµιαία ένταση i ισχύει:

�

i =dq

dt !

�

di

dt=

d2q

dt2

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

Ld2q

dt2+

q

C+ R

dq

dt= V0!µ"t !

�

d2q

dt2+

R

L

dq

dt+

q

LC=

V0

L!µ"t (2)

ii) H (2) είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τά ξεως µε σταθερούς συντελεστές, η οποία όταν εκλείψουν τα µεταβατικά φαινό µενα της κυκλοφορίας του ρεύµατος στο κύκλωµα δέχεται λύση της µορφής q=q0ηµ(ωt+φ), οπότε θα έχουµε:

�

dq/dt = q0!"#$(!t +%)

d2q /dt2 = -q0!2&µ (!t +%)

' ( ) (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

-q0!2"µ (!t +#) +

q0R!

L$%&(!t +#) +

q0

LC"µ (!t +#) =

V0

L!µ"t (4)

Η (4) για t=π/ω δίνει:

�

-q0!2"µ (# +$) +

q0R!

L%&'(# +$) +

q0

LC"µ (# +$) =

V0

L!µ# !

�

q0!2"µ# -

q0R!

L$%&# -

q0

LC"µ# =0 !

�

! 2"#$ -R!

L-"#$

LC=0 !

�

!"# $ 2-

1

LC

%

& '

(

) * =

R$L

!

�

!"# $ 2-$

0

2( ) =R$

L !

�

!"# =R$

L($ 2-$ 0

2) (5)

Εξάλλου η (4) για ωt+φ=π/2 δίνει:

�

-q0!2"µ (# /2) +

q0R!

L$%&(# /2) +

q0

LC"µ (# /2) =

V0

L!µ(# /2 - ') !

�

-q0!2 +

q0R!

L0 +

q0

LC=

V0

L"#$% !

�

q0

1

LC-! 2

"

# $

%

& ' =

V0

L

±1

1+ ()2* !

�

q0 ! 0

2 -! 2( ) =±V0

L 1+ "#2$

�

!

(5)

�

q0 ! 0

2 -! 2( ) =V0

L

± L|! 2 -! 0

2 |

L2(! 2 -! 0

2)2 + R2!

2 !

�

q0 =V0

R2!

2 + L2(! 0

2 -! 2)2 (6)

iii) Θετουµε:

�

R2!

2+L

2(!0

2- !

2)

2= "

2 !

�

R2!

2+L

2(!0

4+!

4-2 !0

2!

2)= "

2

!

�

L2!

4+ (R

2- 2L

2!0

2)!

2+ L

2!0

4-"

2= 0 (7)

H (7) είναι διτετράγωνη εξίσωση ως προς ω και πρέπει οι ρίζες της αντίστοιχης επιλύουσας εξίσωσης να είναι πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα της επιλύουσας εξίσωσης να είναι µη αρνητική, που σηµαίνει ότι:

�

(2L2!0

2-R

2)

2- 4L

2(L

2!0

4-"

2) ! 0

�

!

�

(2L2!0

2-R

2)

2! 4L

2(L

2!0

4-"

2)

�

!

�

L2!

0

4- "

2 !2L

2!

0

2- R

2

2L

"

# $

%

& '

2

�

!

�

!2! L

2"

0

4-

2L2"

0

2-R

2

2L

"

# $

%

& '

2

�

!

�

!2!

4L4 "0

4-4L4 "

0

4- R

4+4L2 "

0

2R

2

4L2

�

!

�

! ! R "0

2 - (R/2L)2

�

!

�

!min= R "0

2 - (R/2L)2 (8) Tότε όµως η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το πλάτος q0 του ηλεκτρι κού φορτίου του πυκνωτή είναι:

�

q0

(m!x)=V0

!min

�

!

(8)

�

q0

(m!x)=V0

R "0

2 - (R/2L)2 (9)

Η σχέση (8) έχει νόηµα εφ’ όσον ισχύει:

�

!0

2 - (R/2L)2 > 0

�

!

�

!0> R/2L

�

!

�

1/ LC > R/2L

�

!

�

1/LC > R2/4L

2

�

!

�

L/C > R2/4 (10)

Η (10) αποτελεί την αναγκαία προυπόθεση για την ύπαρξη τοπικού µεγίστου του πλάτους του φορτίου του πυκνωτή.

Σχήµα 11 iv) Aπό την σχέση (6) προκύπτουν τα εξής: α. Για ω→0 ισχύει q0→V0/Lω0

2 β. Όταν η ποσότητα q0 παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της τότε η διτετράγωνη εξίσωση (7) έχει διπλή ρίζα, που δίνεται από τη σχέση:

�

!* 2

= -(R

2- 2L

2!0

2)

2L2

=!0

2-

R2

2L2 !

�

!*= !

0

2-

R2

2L2

(11)

δηλαδή για ω=ω* η συνάρτηση q0=f(ω) παρουσιάζει τοπικό µέγιστο. γ. Για ω→+

�

! ισχύει q0→0, δηλαδή η συνάρτηση q0=f(ω) πλησιάζει ασυµπτωτικά προς τον άξονα ω. Σύµφωνα µε τα παραπάνω το διάγραµµα της συνάρτησης q0=f(ω) για δύο διαφορετικές τιµές R1, R2 της ωµικής αντίστασης µε R1>R2, έχει την µορφή του σχήµατος (11). Παρατήρηση: Aπό την σχέση (6) προκύπτει ότι, εάν R1>R2, τότε για κάθε 0<ω<+

�

! θα ισχύει q0(R1)<q0(R2). Άρα και q0(R1)

max< q0(R2)max.

P.M. fysikos

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (12) στην οποία τα δύο πηνία είναι ιδανικά και διαρρέονται µε ρεύµα τα εντάσεων i1 και i2. i) Nα εξετάσετε κάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατόν τα δύο ρεύ µατα να είναι αρµονικά εναλλασσόµενα. ii) Eίναι δυνατον τα δύο ρεύµατα να έχουν την µορφή διακροτήµατος και αν ναι να γράψετε τις εξισώσεις των εντάσεων i1 και i2, σε συνάρ τηση µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το κύκλωµα κατά µια τυχαία στιγµή t που τα ηλεκτρι κά φορτία των ακραίων πυκνωτων είναι q1, q2 και του µεσαίου πυκνωτή q, τα δε ρεύµατα στα πηνία έχουν εντάσεις i1, i2, (σχήµα 12).Εφαρµόζοντας στον βρόχο (ΑΒΖΗΑ) τον δευτερο κανόνα του Κirchoff παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 12

�

-Ldi1

dt-q

C+

q1

C= 0 (1)

Όµως για την ένταση i1 ισχύει:

�

i1= -dq1

dt

�

!

�

di1

dt= -

d2q1

dt2

οπότε η (1) γράφεται:

�

Ld2q1

dt2-q

C+

q1

C= 0

�

!

�

Ld2q1

dt2=

q

C-q1

C (2)

Aκόµη ισχύουν οι σχέσεις:

�

i2=dq2

dt

�

!

�

di2

dt=

d2q2

dt2 (3)

και

�

i1-i2=dq

dt

�

!

�

-dq1

dt-dq2

dt=

dq

dt

�

!

�

dq= -dq1- dq2

�

!

�

q= -q1- q2 (4) οπότε η σχέση (2) γράφεται:

�

Ld2q1

dt2= -

q1+ q2

C-q1

C

�

!

�

Ld2q1

dt2= -

2q1

C-q2

C (5)

Εφαρµόζοντας στον βρόχο (BΓΔΖΒ) τον ίδιο κανόνα παίρνουµε την σχέση:

�

-Ldi2

dt-q2

C+

q

C= 0

�

!

(3),(4)

�

-Ld2q2

dt2-q1

C-q1 + q2

C= 0

�

!

�

Ld2q2

dt2= -

q1

C-2q2

C (6)

Προσθέτοντας κατά µέλη τις (5) και (6) παίρνουµε την σχέση:

�

Ld2(q1+q2)

dt2= -

3q1

C-3q2

C

�

!

�

d2(q1+q2)

dt2+

3

LC(q1+q2) = 0

�

!

�

d2(q1+q2)

dt2+!1

2(q1+q2) = 0 µε

�

!1

2=

3

LC (7)

Εξάλλου αφαιρόντας κατά µέλη τις (5) και (6) παίρνουµε:

�

Ld2(q1-q2)

dt2= -

q1

C+q2

C

�

!

�

d2(q1-q2)

dt2+

1

LC(q1-q2) = 0

�

!

�

d2(q1-q2)

dt2+! 2

2(q1-q2) = 0 µε

�

!2

2=

1

LC (8)

Οι (7) και (8) αποτελούν δύο οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις δευτέ ρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχονται λύσεις της µορφής:

�

q1+q2 =A1!µ("1t+#1)

q1- q2 =A2!µ("2t+#2)

!

"

#

�

!

�

q1= (A1/2)!µ("1t+#1)+(A2/2)!µ("2t+#2)

q2 =(A1/2)!µ("1t+#1)-(A2/2)!µ("2t+#2)

!

"

#

(9)

όπου Α1, Α2, φ1, φ2 σταθερές ολοκληρώσεως εξαρτώµενες από τις αρχικές συνθή κες του συστήµατος. Παραγωγίζοντας τις (9) ως προς τον χρόνο παίρνουµε τις εντάσεις i1, i2, δηλαδή έχουµε:

�

i1 = -dq1/dt = -d[(A1/2)!µ("1t+#1)+(A2/2)!µ("2t+#2)]/dt

i2 = dq2/dt = d[(A1/2)!µ("1t+#1)-(A2/2)!µ("2t+#2)]/dt

!

"

#

�

!

�

i1 = -(A1!1/2)!"#(!1t+"1)- (A2!2/2)!"#(!2t+"2)

i2 = (A1!1/2)!"#(!1t+"1)- (A2!2/2)!"#(!1t+"1)

$

%

&

(10)

Aς δεχθούµε ότι την στιγµή t=0 που κλείνουν οι διακόπτες Δ1 και Δ2 είναι q1=q2=q0 και i1=i2=0. Tότε από τις σχέσεις (9) θα έχουµε:

�

q0 = (A1/2)!µ"1 + (A2/2)!µ"2

q0 = (A1/2)!µ"1 - (A2/2)!µ"2

!

"

#

�

!

�

A2!µ"2 = 0

από την οποία προκύπτει ή Α2=0 ή φ2=0. Εξάλλου οι σχέσεις (10) για t=0 δίνουν:

�

0= -(A1!1/2)!"#"1- (A2!2/2)!"#"2

0 = (A1!1/2)!"#"1 - (A2!2/2)!"#"2

$

%

&

�

!

�

A1!"#!

1= 0

από την οποία προκύπτει ή Α1=0 ή φ2=π/2. Τα παραπάνω συµπεράσµατα είναι συµβιβαστά µε τις αρχικές συνθήκες αν δεχθούµε Α2=0 και φ1=π/2. Τότε θα εί ναι Α1=2q0, και οι εξισώσεις (9) και (10) παίρνουν την µορφή:

�

q1= q0!µ("1t+!/2)= q0"#$"1t

q2 =q0!µ("1t+!/2)= q0"#$"1t

%

&

'

και

�

i1= -q0!1!"#(!1t+$/2)= q0!1"µ!1t

i2= q0!1!"#(!1t+$/2)= -q0!1"µ!1t

%

&

'

Παρατηρούµε ότι µε αρχικές συνθήκες q1(0)=q2(0)=q0 και i1(0)=i2(0)=0 τα ρεύµατα στο κύκλωµα είναι αρµονικά εναλλασσόµεα κυκλικής συχνότητας ω1 και µάλι στα κάθε στιγµή τα ηλεκτρικά φορτία των πυκνωτών είναι ίσα. Αν οι αρχικές συνθήκες είναι q1(0)=q0, q2(0)=-q0 και i1(0)=i2(0)=0 τότε εργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο θα καταλήξουµε στις σχέσεις:

�

q1= q0!µ("2t+!/2)= q0"#$"2t

q2 =-q0!µ("2t+!/2)= -q0"#$"2t

%

&

'

και

�

i1=-q0!2!"#(!2t+$/2)= q0!2"µ!2t

i2=-q0!2!"#(!2t+$/2)=q0!2"µ!2t

%

&

'

Παρατηρούµε ότι και σε αυτήν την περίπτωση τα ρεύµατα στο κύκλωµα είναι αρµονικά εναλλασσόµεα κυκλικής συχνότητας ω2 κάθε δε στιγµή τα ηλεκτρικά φορτία των πυκνωτών είναι αντίθετα ii) Aς εξετάσουµε την περίπτωση που οι αρχικές συνθήκες είναι q1(0)=2q0, q2(0)=0 και i1(0)=i2(0)=0. Tότε οι σχέσεις (9) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

�

2q0 = (A1/2)!µ"1 + (A2/2)!µ"2

0 = (A1/2)!µ"1 - (A2/2)!µ"2

!

"

#

�

!

�

2q0=A1!µ"1 (11)

Εξάλλου οι σχέσεις (10) για t=0 δίνουν:

�

0= -(A1!1/2)!"#"1- (A2!2/2)!"#"2

0 = (A1!1/2)!"#"1 - (A2!2/2)!"#"2

$

%

&

�

!

�

A1!"#!

1= 0

από την οποία προκύπτει ή Α1=0 ή φ1=π/2. Η Α1=0 απορρίπτεται διότι τότε θα οδηγούσε σε Α2=0 και δεν θα υπήρχε φαινόµενο κυκλοφορίας ρευµάτων στο σύ στηµα. Άρα θα έχουµε:

�

A1!µ"1=A2!µ"2

�

!

�

A1=A2!µ"2 και

�

2q0 = A1/2 + A1/2

�

!

�

A1=2q0 Χρησιµοποιώντας και την σχέση (11) προκύπτει ηµφ2=1 δηλαδή φ2=π/2. Έτσι η σχέση (9) για την περίπτωση που εξετάζουµε παίρνει την µορφή:

�

q1= q0!µ("1t+! /2)+q0!µ("2t+! /2)

q2 =q0!µ("1t+! /2)-q0!µ("1t+! /2)

"

#

$

�

!

�

q1= q0!"#!1t+q0!"#!2t

q2 =q0!"#!1t-q0!"#!2t

$

%

&

�

!

�

q1= q0(!"#!1t+!"#!2t)

q2 =q0(!"#!1t-!"#!2t)

$

%

&

�

!

�

q1 = 2q0!"#(!1-!2)t

2!"#

(!1+!1)t

2

q2 = -2q0"µ(!1-!2)t

2"µ

(!1+!2)t

2

$

%

&

'

&

H τελευταία σχέση δηλώνει ότι τα ηλεκτρικά φορτία των πυκνωτών µεταβάλ λονται µε την µορφή διακροτήµατος.

P.M. fysikos

Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (13) στην οποία τα δύο πηνία είναι ιδανικά η δε επαγωγική τους σύ ζευξη θεωρείται πολύ χαλαρή, δηλαδή ο συντελεστης M αµοιβαίας

επαγωγής των δύο πηνίων είναι πολύ µικρότερος από τον συντελεστή αυτεπαγωγής τους L (M<<L). O πυκνωτής του αριστερού κυκλώµατος L-C φέρει φορτίο q0 ενώ ο άλλος πυκνωτής είναι αφόρτιστος. i) Nα δείξετε ότι, όταν κλείσει ο διακόπτης Δ τα ηλεκτρικά φορτία των δύο πυκωτών µεταβάλλονται µε την µορφή διακροτήµατος. ii) Eάν E1, E2 είναι οι ολικές ενέργειες των δύο κυκλωµάτων L-C και E0 η ολική ενέργεια του συστήµατος, να δείξετε τις σχέσεις:

�

E1=E0 1+!"#(!1-!2)t[ ] /2

E2=E0 1 - !"#(!1-!2)t[ ] /2

$

% &

' &

µε

�

!1= 1/C(L - M) και

�

!2= 1/C(L+ M) .

ΛΥΣΗ: i) Έστω q1, q2 τα ηλεκτρικά φορτία των πυκνωτών ύστε ρα από χρόνο t αφότου έκλεισε ο διακόπτης Δ και i1, i2 οι αντίστοιχες εντάσεις των ρευµάτων στο πρωτεύον και το δευτερεύ ον κύκλωµα του συστήµα τος. Εφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t τον δεύτερο κανόνα του Kirc hoff στα δύο αυτά κυκλώµατα παιρνουµε τις σχέσεις:

�

q1

C- L

di1

dt- M

di2

dt= 0

-q2

C- L

di2dt

- Mdi1dt

= 0

!

"

#

#

$

#

#

(1)

Σχήµα 13 Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις σχέσεις (1) έχουµε:

�

dq1

dt

1

C- L

d2i1

dt2- M

d2i2

dt2= 0

-dq2

dt

1

C- L

d2i2

dt2- M

d2i1

dt2= 0

!

"

#

#

$

#

#

(2)

Όµως για τις εντάσεις i1, i2 ισχύουν i1=-dq1/dt και i2=dq1/dt οπότε οι σχέ σεις (2) γράφονται:

�

-i1

C- L

d2i1

dt2

- Md

2i2

dt2

= 0

-i2

C- L

d2i2

dt2

- Md

2i1

dt2

= 0

!

"

#

#

$

#

#

!

�

Ld

2i1

dt2

+ Md

2i2

dt2

= -i1

C

Ld

2i2

dt2

+ Md

2i1

dt2

= -i2

C

!

"

#

#

$

#

#

(3)

Προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά µέλη τις διαφορικές εξισώσεις (3), παίρνου µε τις σχέσεις:

�

Ld

2(i1+i2)

dt2

+ Md

2(i1+i2)

dt2

= -i1+i2

C

Ld

2(i1-i2)

dt2

- Md

2(i1-i2)

dt2

= -i1-i2

C

!

"

#

#

$

#

#

!

�

L + M( )d

2(i1+i2)

dt2

= -i1+i2

C

L - M( )d

2(i1-i2)

dt2

= -i1-i2

C

!

"

# #

$

# #

!

�

d2(i1+i2)

dt2

= -i1+i2

C(L+ M)

d2(i1-i2)

dt2

= -i1-i2

C(L - M)

!

"

#

#

$

#

#

!

�

d2(i1+i2)

dt2

+!1

2(i1+i2) = 0

d2(i1-i2)

dt2

+! 2

2(i1-i2) = 0

"

#

$

$

%

$

$

(4)

όπου τέθηκε ω1

2=1/C(L+M) και ω22=1/C(L-M). Οι διαφορικές εξισώσεις (4) δέχον

ται λύσεις της µορφής:

�

i1+i2 =A1!µ("1t+#1)

i1- i2 =A2!µ("2t+#2)

!

"

# !

�

i1= (A1/2)!µ("1t+#1)+(A2/2)!µ("2t+#2)

i2 =(A1/2)!µ("1t+#1)-(A2/2)!µ("2t+#2)

!

"

# (5)

όπου Α1, Α2, φ1, φ2 σταθερές ολοκληρώσεως εξαρτώµενες από τις αρχικές συνθή κες του συστήµατος. Επειδή την χρονική στιγµή t=0 που κλείνει ο διακόπτης Δ είναι i1=i2=0, οι σχέσεις (5) δίνουν:

�

0 = (A1/2)!µ"1 + (A2/2)!µ"2

0 = (A1/2)!µ"1 - (A2/2)!µ"2

!

"

# !

�

A2!µ"2=A1!µ"1= 0 !

�

!1=!

2=0

Έτσι οι σχέσεις (5) παίρνουν την µορφή:

�

i1= (A1/2)!µ"1t+(A2/2)!µ"2t

i2 =(A1/2)!µ"1t- (A2/2)!µ"2t

!

"

# (6)

Eξάλλου κάθε στιγµή στο σύστηµα ισχύουν οι σχέσεις:

�

i1 = -dq1/dt

i2 = dq2/dt

!

"

#

�

!

(6)

�

dq1 = -(A1/2)!µ"1tdt -(A2/2)!µ"2tdt

dq2 = (A1/2)!µ"1t dt -(A2/2)!µ"2tdt

!

"

# (7)

Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις (7) παίρνουµε:

�

q1 = (A1/2!1)!"#!1t + (A2/2!2)!"#!2t + K1

q2 = -(A1/2!1)!"#!1t + (A2/2!2)!"#!2t + K2

$

%

& (8)

όπου Κ1, Κ2 σταθερές ολοκληρώσεως. Όµως την στιγµή t=0 είναι q1=q0 και q2=0 οπότε οι σχέσεις (8) δίνουν:

�

q0 =A1/2!1+A2/2!2+K1

0= -A1/2!1+A2/2!2+K2

!

"

#

Eάν oι σταθερές Κ1, Κ2 επιλεγούν αυθαίρετα µηδενικές, τότε θα είναι:

�

A1=2q0!1

A2= 2q0!2

!

"

#

µε αποτέλεσµα οι σχέσεις (8) να παίρνουν την µορφή:

�

q1 = q0!"#!1t + q0!"#!2t = q0(!"#!1t +!"#!2t)

q2 = -q0!"#!1t + q0!"#!2t = - q0(!"#!1t - !"#!2t)

$

%

& !

�

q1 = 2q0!"#(!1-!2)t

2!"#

(!1+!1)t

2

q2 = 2q0"µ(!1-!2)t

2"µ

(!1+!2)t

2

$

%

&

'

&

(9)

Oι σχέσεις (9) δηλώνουν ότι από την στιγµή που θα κλείσει ο διακόπτηε Δ τα ηλεκτρικά φορία των δύο πυκνωτών του συστήµατος θα µεταβάλλονται χρονι κά, η δε µεταβολή τους θα έχει την µορφή διακροτήµατος. ii) Επειδή η σύζευξή των δύο πηνίων είναι χαλαρή (Μ<<L), µπορούµε να δεχ θούµε µε καλή προσέγγιση ότι η ενεργεια η οφειλόµενη στην σύζευξη των δύο πηνίων είναι ασήµαντη. Εξάλλου στην διάρκεια κάθε περιόδου Τ=4π/(ω1+ω2) της “γρήγορης”* ηλεκτρικής ταλάντωσης του πρωτεύοντος κυκλώµατος τόσο το πρωτεύον όσο και το δευτερεύον κύκλωµα συµπεριφέρονται περίπου σαν αρµονικοί ταλαντωτές µε πλάτη ρευµάτων που µεταβάλλονται βραδέως µε τον χρόνο µε περίπου την ίδια κυκλική συχνότητα ω=ω1≈ω2=(1/(LC)1/2 διότι Μ→0, οπότε η ολική ενέργεια του συστήµατος κάθε στιγµή θα είναι: ------------------------------------------ * Η γρήγορη ταλάντωση για το πρωτεύον κύκλωµα περιγράφεται από τον όρο ηµ[(ω1+ω2)t]/2) και για το δευτερεύον κύλωµα από τον όρο συν[(ω1+ω2)t]/2).

�

E0=E1+E2=1

2C2q0!"#

(!1-!2)t

2

$

% &

'

( )

2

+1

2C2q0*µ

(!1-!2)t

2

$

% &

'

( )

2

=2q0

2

C

+

, -

. - (10)

Η διαφορά των ολικών ενεργειών των δύο κυκλωµάτων είναι:

�

E1-E2=1

2C2q0!"#

(!1-!2)t

2

$

% &

'

( )

2

-1

2C2q0*µ

(!1-!2)t

2

$

% &

'

( )

2

!

�

E1-E2=2q0

2

C!"#(!1-!2)t

�

!

(10)

�

E1-E2= E0!"#(!1-!2)t (11)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10) και (11) παίρνουµε:

�

E1=E0 1+!"#(!1-!2)t[ ] /2

E2=E0 1 - !"#(!1-!2)t[ ] /2

$

% &

' & (12)

Aπό τις σχέσεις (12) παρατηρούµε ότι την στιγµή που η ενέργεια Ε1 γίνεται µέγιστη η Ε2 µηδενίζεται και αντίστροφα, δηλαδή παρουσιάζεται περιοδική ροή ενέργειας από το ένα κύλκωµα στο άλλο.

P.M. fysikos