MATEMTICAS

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarn los alumnos del 2do de Ciencias, refleja en forma sencilla y prcticolos objetivos bsicos del programa de Matemtica.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediantelo prctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Septiembre del 2003

CONTENIDO

. Polinomios, tipos de polinomios................5

. Grado de un polinomio, completar, ordenar polinomios.............6,7

. Adicin de polinomios, propiedades............8,9,10,11,12

. Sustraccin de polinomios..............11,12

. Multiplicacin de polinomios, propiedades................12,13,14,15,16

. Divisin de polinomios..........16

. Regla de Ruffini............17,18,19

. Teorema del Resto...........19,20

. Teorema de Descartes.............20,21

. Factorizacin de polinomios..............22,23,24,25

. Inecuaciones lineales en R.................26,27,28,29,30,31

. Variacin ordinaria................32,33,34

. Combinacin ordinaria...................35,36

. Nmeros combinatorios..........37,38

. Tringulo de Tartaglia................39,40

. Binomio de Newton.............41,42

. Sistema de coordenadas en el espacio................41,42

. Puntos en el plano...............43,44

1

. Vectores..............44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54

. Distancias entre dos puntos en R3............54,55,56

. Ecuacin de la recta en el espacio.............56,57,58

. Ecuacin del plano..............59,60

. Matrices...............60,61,62,63,64.

. Regla de Sarrus..................65,66,67.

. Teorema RoucheFrobenius...............68

. Teorema de Crammer................69

. Lugar geomtrico, secciones cnicas.............70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,

82,83,84,85,86

. Estadstica...........87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,

105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,

120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,

135,136,137,138.

. Probabilidad estadstica..............139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,

150,151

. Pginas de resolucin de ejercicios.................152,153,154,155,156,157,158,159,

160,161,162

. Bibliografa............163

Polinomios:

Se denomina funcin o simplemente polinomio a toda funcin que se obtiene combinando sumas y productosde funciones idnticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x A3x......An

A0 = trmino independiente.

x = variable.

2

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Tipos de Polinomios:

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el trmino independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos trminos.

Trinomio: polinomio que consta de tres trminos.

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable.

a. p(x) = 2 + 3x + 5x segundo grado

b. q(x) = 3x 4x + 9 tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidaden unidad desde el trmino de mayor grado hasta el trmino independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio est ordenado cuando se suceden de unidad en unidad.

3

Decreciente: cuando los exponentes estn ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable estn ordenados de menor a mayor.

Valor Numrico de un Polinomio: es el nmero que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, lavariable por su valor y se efectan las operaciones indicadas.

Ejemplo: Dado P(x)= 2x + 3 dnde x = 3

P(3) = 2(3) + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

1. p(x) = 2x 4 dnde x = 3

2. q(x) = 4x + x dnde x = 2

3. t(x) = x 2 dnde x = 4

4

4. p(x) = 3x + 2x dnde x = 3

5. q(x) = x + 4x 2 dnde x = 3

6. p(x) = 4x x + 5 dnde x = 2

Adicin de Polinomios:

Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos unoa continuacin del otro, enlazados por el signo (+).

Regla para sumar polinomios:

1. Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros.

2. Se coloca uno debajo del otro, quedando trminos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera:

P(x) = 5x + 4x 6x + 8

Q(x) = 3x 4x + 3

5x +7x10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x 3/5x + 4/3 operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 3 + 3 = 6+15 = 9

2/2x2+9/10x+31/12 5 2 10 10

4 + 5 = 16+15 = 31

3 4 12 12

5

Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 5x +8 ; q(x) = 2x3 2x2 + 4x

t(x) = 5x3 + 6x2 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x 7/2 ;

h(x) = 2/5x2 + 3/4x 7/4

Hallar la suma de los polinomios:

1. p(x) + q(x) 2. p(x) + t(x) 3. q(x) + t(x)

4. r(x) + s(x) 5. r(x) + h(x) 6. s(x) + h(x)

Propiedades de la Adicin de Polinomios:

a. La adicin de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composicininterna.

b. La adicin de polinomios es conmutativa.

c. Es asociativa.

d. El elemento neutro para la adicin es el polinomio nulo.

e. El polinomio simtrico de p(x) es p(x).

6

f. Todos los polinomios son regulares para la adicin.

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios:

a. p(x) = 2x2 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x 5

b. p(x) = 3x3 + 4x2 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x 7

c. p(x) = 6x2 + 6x 10 ; q(x) = 5x2 + 4x 6

d. p(x) = 12x2 4x 8 ; q(x) = 6x2 + 7x 6

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)

7

Ejercicios:

a. p(x) = 2x2 + 3x 6 ; q(x) = 3x2 + 4x 8 ; h(x) = 2x 6

b. p(x)= 7x2 5x + 8 ; q(x) = 6x 9 ; h(x) = 3x + 6

c. p(x) = 7x2 + 6x 4 ; q(x) = 9x2 + 8x 6 ; h(x) = 4x 9

d. p(x) = 11x 7 ; q(x) = 4x2 + 3x 6 ; h(x) = 4x 10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

8

Ejercicios:

a. p(x) = 5x2 + 3x 6 c. p(x) = 8x2 3x + 2

b. q(x) = 4x2 6x + 5 d. q(x) = 7x2 + 6x 12

Elemento Simtrico: p(x) + p(x)

9

a. p(x) = 5x2 3x + 8 c. p(x) = 3x3 8x2 + 4x 2

b. q(x) = 2x2 7x + 9 d. q(x) = 3x3 4x2 + 8x + 9

Sustraccin de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simtrico, es

decir q(x). P(x) q(x) = p(x) + q(x) p(x) = minuendo

q(x) = minuendo

10

Ejercicios:

a. p(x) = 3x + 8 ; q(x) = 5x 4 c. p(x) = 3x2 5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b. p(x) = 5x2 5x + 6 ; q(x) = 4x 8 d. p(x) = 4x2 8x + 9 ; q(x) = 3x2 7x +6

Multiplicacin de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra funcin polinomio formada por la

suma algebraica de los productos parciales de cada trmino de uno de ellos por

todos los de la otra.

Ejemplo: En forma Entera:

Dado p(x) = 2x2 5x + 6 ; q(x) = x2 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)

q(x) = x2 3x + 5

p(x) =2x2 5x + 6

2x4 6x3 + 10x2

5x3 + 15x2 25x

11

6x2 18x + 30

2x4 11x3 + 31x2 43x + 30

Ejemplo: En forma Racional:

p(x) = 2/3x2 + 4/6x 3/2

q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:

4 x3 + 8 x2 6 x 8 + 8 = 312

15 30 10 30 9 270

8 x2 + 16 x 12 6 + 16 = 52

9 18 6 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x 12

15 270 180 6

Ejercicios: Hallar la multiplicacin de los siguientes polinomios:

1. p(x) = 3x2 + 5x 5 ; q(x) = 4x 8

2. p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3. p(x) = 2x3 + 5x2 7x + 3 ; q(x) = 3x 7

12

4. p(x) = 6x2 + 8x 4 ; q(x) = 3x + 7

5. p(x) = 4x3 + 6x2 9x + 9 ; q(x) = 3x 6

6. p(x) = 3/4x2 + 6/3x 5/2 ; q(x) = 4/4x 6/2

7. p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x 7/2

8. p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

Propiedades de la Multiplicacin de Polinomios:

a. En la multiplicacin de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo

tanto; es una ley de composicin interna.

b. Es conmutativa.

c. Es asociativa.

d. El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicacin.

e. El elemento absorbente es el elemento nulo.

f. Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g. Es distributiva respecto a la adicin y sustraccin de polinomios.

h. El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los

polinomios factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)

a. p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x 2

b. p(x) =4x 6 ; q(x) = 5x + 6

c. p(x) = 4x2 6x + 8 ; q(x) = 3x 7

d. p(x) = 6x2 7x + 6 ; q(x) = 6x 2

2. Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)

13

a. p(x) = 3x 5 ;, q(x) = 4x 8 ; h(x) = 5x + 3

b. p(x) = 4x 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x 1

c. p(x) = 4x2 + 6x 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x 1

d. p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 7x + 2 ; h(x) = 3x 4

3. Distributiva: p(x) . q(x) h(x) = p(x) . q(x) p(x) . h(x)

14

a. p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x 9 ; h(x) = 3x + 2

b. p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x 9 ; h(x) = 5x + 12

c. p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x 1 ; h(x) = 6x + 1

d. p(x) = 6x 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x 2

4. Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

15

a. p(x) = 5x2 + 3x 6 c. p(x) = 4x2 6x + 5

b. q(x) = 6x 8 d. h(x) = 4x3 5x2 + 7x 2

Divisin de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

16

Ejercicios:

a. Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e. Dividir (20x + 10x 5) : (5x + 5)

b. Dividir (4x3 + 4x2 29x + 21) : (2x 3) f. Dividir (10x + 13x 2) : (5x 1)

c. Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g. Dividir (4x 2x x + 1) : (2x 3)

d. Dividir (x4 x2 2x 1) : (x x 1) h. Dividir (5/2x2 + 2/2x 1/3):(1/2x+3)

Regla de Ruffini:

Se descompone el trmino independiente de la ecuacin en sus divisores. Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero. El nmero de races de un polinomio, es igual al mayor exponente de la incgnita.

Ejemplo: Resolver x3 + 2x2 x 2 = 0

17

divisores de 2 = (1 , 2) 1 2 1 2

1 1 3 2

1 3 2 0

1 1 2

1 2 0 x1=1

2 2 x2=1

1 0 x3=2

Ejercicios:

Resolver x411x218x8=0

b) Resolver x33x24x+12=0

c) Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0

d) Resolver x3+ x25x+3=0

e) Resolver x33x+2=0

f) Resolver 6x4+ x3+ 5x+ x1=0

Divisin de un polinomio p(x) entre un binomio (x a) :

18

Ejemplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4+ 2x3+ x) : (x +1)

1 cambia a 1

1 2 0 1 0 cociente: x3+ x2 x + 2

1 1 1 1 2 residuo: 2

1 1 1 2 2

Ejercicios:

a) (2x3+ 3x24x+3) : (x + 2) b) (x2+ 4x8) : (x6)

c) (3x3+ 2x26x+2) : (x7) d) (3x2+ 5x9) : (x + 3)

e) (6x46x28) : (x + 4) f) (2x38x2+ 5x7) : (x + 2)

Teorema del Resto:

El residuo de una divisin entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la forma de x a, es igual alvalor numrico del polinomio para x a.

Ejemplo: Calcular el resto de la divisin ( 4x2+ 5x3) : (x + 1)

19

calculamos el valor numrico para x = 1

p(x) = 4x2+5x3 p(1) = 4(1)2+5.13

p(1) = 453 resto = 4

Ejercicios:

a) (3x2+ 4x6) : (x + 3) b) (4x32x26x+1) : (x6)

c) (2x35x24x+9) : (2x3) d) (6x27x+2) : (x4)

Teorema de Descartes:

La condicin necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea divisible por x a es que seanule para x = a.

Ejemplo: Averiguar sin hacer la divisin, si el polinomio p(x) = 2x2+ 6x20 es divisible por x 2 .

p(x) = 2x2+6x20 p(2) = 2 . 22+ 6 . 2 20

p(2) = 8 + 12 20

p(2) = 0 si es divisible

20

Ejercicios:

a) (5x2+ 2x6) : ( x2) b) (4x26x+5) : (x3)

c) (3x2+ 5x+6) : (x3) d) (5x27x+2) : (x4)

e) (2x35x2+ 4x+5) : (x1) f) (4x36x2+ 6x8) : (x5)

Clculo de races enteras mediante Ruffini:

Regla:

Se descompone el trmino independiente en todos sus divisores y despus tanteamos con esos divisorespositivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que el residuo valga cero es una raz cuadrada.

Este mtodo se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

Ejemplo: Resolver la ecuacin x3+ 6x2+ 11x+6 = 0

divisores de 6 = (1,2,3,6)

1 6 11 6

1 1 5 6 races: x1 = 1

21

1 5 6 0 x2 = 2

2 2 6 x3 = 3

1 3 0

3 3

0

Ejercicios:

a) Resolver x3 7x 6 = 0 b) Resolver x4 5x2 + 4 = 0

c) Resolver 10x4 20x2 + 10 = 0 d) Resolver x4 x3 7x2 + x + 6 = 0

Factorizacin de polinomios mediante la regla de Ruffini:

Regla:

Aplicamos Ruffini hasta que se pueda. El polinomio dado es igual al ltimo cociente que da como residuo cero por cada uno de los binomios de laforma x, menos cada una de las races obtenidas.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x4 + 4x3 + 3x2 4x 4 = 0

22

divisores de 4 = (1,2,4)

1 4 3 4 4

1 1 3 0 4

1 3 0 4 0

1 1 4 4 x1 = 1

1 4 4 0 x2 = 1

2 2 4 x3 = 2

1 2 0 x4 = 2

2 2

1 0 al factorizar cambiamos de signos las x, y el ltimo

cociente va de primero.

(1). (x +1).(x1).(x +2).(x + 2)

a) Factorizar x4 + 8x2 16 b) Factorizar x3 + x2 x 1 = 0

c) Factorizar x3 8x2 + 17x 10 = 0 d) Factorizar x44x3+ 3x2+ 4x4 = 0

e) Factorizar x3+ 4x2+ 5x+2 = 0 f) Factorizar x3 +x25x+3 = 0

23

Races fraccionarias aplicando Ruffini:

Ejemplo: Calcular x3 3x 2

x3+ 4x2+ 5x+2

factorizamos numerador: 1 0 3 2

1 1 1 2

1 1 2 0

1 1 2

1 2 0

2 2

0

races: x1 = 1 (x + 1).(x + 1).(x2)

x2 = 1

x3 = 2

factorizamos denominador: 1 4 5 2

1 1 3 2

1 3 2 0

1 1 2

1 2 0

2 2

0

races: x1 = 1 (x +1).(x + 1).(x + 2)

x2 = 1

x3 = 2 simplificamos: (x +1).(x +1).(x2) = (x 2)

(x +1).(x +1).(x +2) (x + 2)

24

Ejercicios:

x3+ x25x+3 b) x521x3+16x2+108x144

x33x+2 x3+x2x1

c) x4+5x3+8x2+7x+3 d) x4 + 8x2 16

x3+2x2x2 x33x24x+12

Inecuaciones Lineales en R:

Propiedades de las desigualdades:

1) a > 0 ; mnimo. Races reales distintas.

2) a > 0 ; mnimo. Races dobles.

3) a > 0; mnimo. Races imaginarias conjugadas.

4) a < 0. mximo. Races reales y distintas.

5) a < 0; mximo. Races dobles.

a < 0; mximo. Races imaginarias

25

Inecuaciones en una Variable:

Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de las variables.

Ejemplo: Resolver 3x + 2 < 2

3

3.(3x + 2) < 2 9x + 6 < 2 x < 2 6

9

x < 4

9

1 0 1

4

9

Ejercicios:

a) 5x 4 < 3 2 c) 2x + 3x 5 > 4 x

26

44 6x x > 4x + 6 d) 3x 5 2 < 2x 4

3 2 5

Inecuaciones de segundo grado en una variable:

Ejemplo: Representar grficamente el trinomio y = x2 6x 7

a = 1 aplica la ecuacin de segundo grado

b = 6

c = 7

x = b b2 4 . a . c

2 . a

x = 6 (6)2 4 .(1).(7) x = 6 36 + 28

2 . 1 2

x = 6 + 64 x1 = 6 + 8 x1= 7

2

2

x2 = 6 8 x2 = 1

2

factorizamos y = (x7).(x +1) se calcula el mnimo: y = 4.a.c b2

4.a

y = 4 . 1.(7) (6)2 y = 2836 y = 16

4

x = b x = 6 x = 3

2.a 2

races x1 = 7 vrtices x = 3

x2 = 1 y = 16

Representacin grfica:

27

yx

1 0 3 7

7

16

Ejercicios:

a) Representar y = x2 6x + 9 b) Representar y = x2 +3x + 2

c) Representar y = x2 4x + 3 d) Representar y = x2 + 5x + 4

e) Representar y = x2 +6x + 5 f) Representar y = x2 8x + 7

Variacin Ordinaria:

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.

Frmula: Vm,n = m . (m 1) . (m 2) . (m 3) .......... (m n + 1) donde n! representa el producto de todoslos enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definicin.

28

Ejemplo: Calcular V10,3 m = 10

n = 3

V 10,3 = 10 . (101). 10(102) V10,3 = 10 . 9 . 8

V10,3 = 720

Ejercicios:

a) Calcular V7,2 b) Calcular V8,5

c) Calcular V12,4 d) Calcular V11,4

e) Calcular V9,6 f) Calcular V8,2

Ecuaciones de Variaciones:

Ejemplo: Resolver la ecuacin 5Vx,2 = 30

5x(x 1) = 30 5x2 5x = 30 5x2 5x 30 = 0

Ecuacin de 2do grado x = 5 52 4 . 5 . (30)

. 5

x = 5 25 + 600 x = 5 + 625

10

29

x = 5 + 25 x = 30 x1= 3

10

x2 = 5 25 x2 = 20 x2 = 2 no es solucin

10 10

Ejercicios:

a) Resolver 4Vx , 3 = 25 b) Resolver 6Vx , 4 = 12

c) Resolver 8V x , 2 = 10 d) Resolver 10V x , 6 = 20

e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x f) Resolver 4Vx , 2 +3V x , 310Vx,1= 42x

Permutaciones Ordinarias:

Una permutacin es una variacin, cuando m = n, o sea una permutacin es una biyeccin del conjunto enel conjunto A.

Frmula : Pm = Vm , n = m . (m 1) . (m 2)..........(m m + 1)

Ejemplo: Resolver P3,3

30

m = 3 P3,3 = 3.(31).(32)

n = 3 P3,3 = 3.2.1

P3,3 = 6

Ejercicios:

a) Resolver P4,2 b) Resolver P6,2 c) Resolver P8,5

d) Resolver P12,4 e) Resolver P9,3 f) Resolver P24,6

Combinacin Ordinaria:

Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinacin ordinaria de n elementos de A, con n " m,a cualquier subconjunto de A con n elementos. Dos combinaciones se consideran igual si y solo si, estnformados por los mismos elementos.

Frmula: Cm,n = Vm,n

Pn

Ejemplo: Hallar C8,3

C8,3 = V8,3 = C8,3 = 8.(81).(82) = C8,3 = 8.7.6

31

P3 3.(31).(32) 3.2.1

C8,3 = 336 = C8,3 = 56

6

Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x

Cx,3 = x.(x1).(x2) = 2x = Cx,3 = x2 2x x + 2 = 2

3.(31).(32) 6

Cx,3 = x2 3x + 2 = 12 = Cx,3 = x2 3x 10 = 0

a = 1 x = 3 32 4 . 1 .(10) = x = 3 9 + 40

b = 3 2 . 1 2

c = 10

x1 = 3 + 7 = x1 = 10 = x1 = 5

2 2

x2 = 3 7 = x2 = 4 = x2 = 2

2 2

Ejercicios:

32

a) C3,2 b) C8,3 c) C12,5 d) C7,3

e) Cx+ 1,2 = 2x f) Cx,4 = 3x g) Cx+ 2,4 = 6 h) Cx2,6 = 9

Nmero Combinatorio:

a) Dados dos nmeros naturales m ( " 0) y n, tales que m " n " 0, se denomina nmero combinatorio de mbase n y se denota por m

n

b) Son los nmeros de la forma m , tambin se les llama coeficientes binmicos

n

m es el numerador o base n es el orden.

Propiedades de los Nmeros Combinatorios:

a) Todo nmero combinatorio cuyo orden es el nmero cero es igual a la unidad.

m = 1 ; m = m ; m = 1

0 1 m

b) Se dice que dos nmeros combinatorios son complementarios cuando tienen el mismo numerador y losordenes son tales, que sumados dan el numerador comn.

m = m

n m n

La suma de dos nmeros combinatorios del mismo numerador y rdenes consecutivos, es otro nmerocombinatorio cuyo numerador es una unidad mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.

m + m = m + 1

n n + 1 n + 1

m! + m! = m! + m!

n!(mn)! (n + 1)! (m(n + 1)! n!(mn)! (n + 1)! (mn1)!

Ejemplo: Resolver 20 = 20

3y+3 9y7

33

(3y + 3) + (9y 7) = 20

3y + 9y = 20 3 + 7 12y = 24

y = 24 = y = 2

12

Ejercicios:

a) Resolver 12 = 12 b) Resolver 7 = 7

x2 1 x2 + 5 4y + 2 2y 1

c) Resolver 16 = 16 d) Resolver 20 = 20

5y 1 2y + 3 2y + 6 5y 1

Tringulo de Trtaglia:

1 1

1

34

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

Ejemplo: Construir un tringulo con los lados, con nmeros iguales a la unidad.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Binomio de Newton:

(a + b) = n a0 b0 n an1 b n an2 b2 +

0 1 2

De la formula se deduce lo siguiente:

a) Los coeficientes de los diferentes trminos corresponden a los elementos de las filas del tringulo dePascal. As, por ejemplo, los coeficientes de los trminos de

(x + y)4 son los elementos de la cuarta fila del tringulo de Pascal.

b) El nmero de trminos es una unidad mayor que el exponente del binomio.

35

c) Cuando nos movemos de un trmino al otro de izquierda a derecha, el exponente de x disminuye en 1,mientras que el de y se incrementa en 1.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5:

(x + 1)5 = 5 x510 + 5 x4 11 + 5 x3 12 + 5 x2 13 + 5 x1 14+ 5 x0 15

0 1 2 3 4 5

= 5! x5 + 5! x4 + 5! x3 + 5! x2 + 5! x + 5! x0

0!(50)! 1!(51)! 2!(52)! 3!(53)! 4!(54)! 5!(55)!

Ejercicios:

a) (x y)3 b) (3x + y)4 c) (1 x2)5

d) (2 + 2y)4 e) (4x 2y)5 f) (2 + 3x)3

Sistema de Coordenadas en el espacio:

Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c) / a ,b c; R/} donde R es el conjunto de los nmeros reales.

: E R3 / p (a, b, c)

36

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t, donde junto con la funcin , lo llamaremossistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se llamarn ejes de coordenadas. Si las tres rectas sonperpendiculares entre s, diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x

Eje s = eje de las y

Eje t = eje de la z

Z

(t)

(s) y

( r ) a

x

Puntos en el Espacio:

Ejemplo: Dadas las rectas paralelas A1 y A2 . (A1 // A2) y las paralelas horizontales B1 y B2 . (B1 // B2)secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son puntos de corte. Representarlo grficamente.

A1 A2

a b B1

c d B2

ab = paralelo cd y ac paralelo bd

37

Ejercicios:

1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos decorte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos decorte.

Vector Ligado:

Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta de4 origen a y extremo b.

segmento

a b

Un vector ligado est determinado por:

a) Direccin ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Mdulo.

Cuando el mdulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero, vector nulo.

38

Componentes de un vector ligado:

El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de las abscisas y como ordenadalas diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( 4,7) ; b = (3,8)

ab = ( a2 a1 , b2 b1 ) ab = ( 3 (4) , 8 7)

ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios:

1) a = ( 4,7) ; b = (5,7) 2) a = ( 5,8) ; b = (6,9)

3) a = ( 4,7) ; b = (5,9) 4) a = ( 12,8) ; b = (6,9)

Vector Libre:

Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes ab forman la clase de dicho

39

vector.

Vector Equipolente:

Son los que tienen la misma direccin, el mismo sentido y el mismo mdulo. Geomtricamente son iguales.

Vector Posicin:

Llamamos vector posicin ab al vector de origen a, ligado al mismo origen

Adicin de Vectores:

Se define como la adicin de a con b y se anota a + b el vector libre S de componente igual a la suma de loscomponentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ; S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

Ejercicios: Dados los vectores a = (4,8) ; b = (5,9) ; c = (4,6) ; d = (4,8)

e = (5,7).

1) a + b 2) a + b + c 3) a + b + d

4) b + c + e 5) a + c + e 6) b + d + e

7) a + d + c 8) b + e 9) b + e + d

40

Sustraccin de Vectores:

Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a b = a + (b)

Ejercicios: Dados los vectores a = (4,9) ; b = (8,5) ; c = (6,11) ; d = (6,4)

1) a b 2) a c 3) a d 4) b c

5) b d 6) c d 7) c a 8) d b

Producto de un vector por un nmero real:

Dado un vector a = (x , y) un nmero real K, llamamos producto del nmero real por el vector a, a otrovector cuyas componentes del vector por el mismo nmero real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,1). Hallar 3 . a ; 2 . a

3 . a = {3 . 3 , 3 . (1)} = (9,3)

41

2 . a = {2 . 3 , 2 . (1)} = (6,2)

Ejercicios: Dados los vectores a = (4,8) ; b = (5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ;

d = (4/2,3). Hallar :

1) 3 . a 2) 5 . b 3) 3/6 . c 4) 8 . d

5) 4/5 . b 6) " 2 . c 7) 4 . d 8) 7 . a

Combinacin Lineal:

Un vector u se dice que es combinacin lineal de los vectores a y b si existen nmeros reales p y q tales que: u= p . a + q . b

Un vector puede ser combinacin lineal de ms de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (1,3). Hallar los componentes del vector 3 . a + 2 . b

3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6)

2 . b = ( 2 . (1), 2 . 3 ) = (2,6)

3 . a + 2 . b = {9+(2),6+6} = U = (7,12)

42

Ejercicios:

Dados a = (4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a 4 . b Dados p = ( 4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q Dados x = (5,4) ; y = (5,2). Hallar: 3 . x + y Dados a = (3,9) ; b = (2,8). Hallar: 6 . a 4 . b

Vectores Colineales:

Son los que tienen la misma direccin y por lo tanto sus componentes son proporcionales es decir: uno escombinacin lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (1,0) y c = (3,5) expresar a como unacombinacin lineal de b y c.

a = p . b + q . c (3,4) = p(1,0) + q(3,5)

(3,4) = (p3q,0 +5q) = 3 = p 3q despejamos q: 4 = 5q

4 = 0 + 5q q = 4/5

despejamos p: 3 = p3q 3 = p3(4/5)

3 = p 12 p = 12 3 = p = 27

43

5 5 5

empleamos una combinacin: a = 27 b + 4 c

5

Ejercicios:

1) Expresar a = (3,5) como combinacin lineal de b = (4,3) y c = (2,1)

2) Expresar c = (3,2) como combinacin lineal de z = (2,1) y t = (3,5)

3) Expresar h = (4,3) como combinacin lineal de a = (2,3) y b = (3,1)

4) Expresar a = (3,7) como combinacin lineal de b = (5,4) y c = (3,5)

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relacin directa entre dos vectores dadosinicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si en algn caso existe un escalar no nulo, sonlinealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y 3 z , x + 3 y z , y + z son dependientes.

Son dependientes si existen escalares , , no todos nulos.

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(x + y 3 z ) + ( x + 3 y z ) + ( y + z )

x + y 3 z + x + 3 y z + y + z = 0

Se asocian los vectores x , y , z , luego se eliminan los vectores x, y, z

+ = 0

+ 3 + = 0

3 + = 0

Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones dadas.

= = 3 = 3 3

Vectores Linealmente Independientes:

Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones y tres incgnitas, porejemplo, es determinado, es decir, admite nicamente una solucin y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes:

x + y +2 z , 4 x 3 z , 2 x + 7 y 2 x + 3 y z , 3 y 4 z , x + y z

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