Dr Mirko DEJICBeograd

Naucni radPEDAGOGIJAXL, 1-2, 2002.

UDK: 372.371.3

POVEZANOST METODIKE NASTAVEMATEMATIKE SA DRUGIM NAUKAMA

Rezime: U pogledu mesta i uloge metodika razredne nastave nema jedinstve­nog stava. Po jednima ona je pedagoska naucna disciplina, po drugima ona pripadanaukama (naucnim oblastima) ciji se sadriaji putem nastave prenose ucenicima, a ima ionih koji smatraju da su metodike nastave odredenih predmeta samo aplikativne vestineizvodenja nastave. Maida je najbliie istini tvrdenje da "metodike predstavljaju relativnosamostalno i interdisciplinarno naucno-nastavno podrucje, izmedu odredene maticnenauke, pedagogije (didaktike) i relevantnih nauka sa kojima su metodike povezane i nako}e se oslanjaju" (Dordevic, 1., 1998). Imajuci ovakav stav u vidu, u nasem radu poka­zujemo vezu metodike nastave matematike sa drugim naukama, isticuci na tal nacin njeninterdisciplinarni multidisciplinarni karakter. Veza izmedu metodike nastave matematikei drugih nauka u velikoj meri moie da pomogne u odredivanju njenog predmeta i utvrdi­vanju autonomnosti.

Kljucne reci: metodika, nastava, matematika, nauka

Iako se metodika nastave matematike u resavanju svojih problema naj­vise oslanja na bazicne nauke, matematiku i didaktiku, ona ne bi mogla da resimnoge probleme bez koriscenja dostignuca i drugih nauka, pre svega psiholo­gije, logike, metodike nastave matematike u visim razredima, filozofije itd. DrDordevic, 1. (1998) istice da "metodika uzima svoju predmetnost iz brojnih me­todoloskih postavki i raznih naucnih saznanja sto je cine multidisciplinamomdisciplinom". Vezu metodike nastave matematike sa drugim naukama mozemoprikazati sematski na sledeci nacin.

PEDAGOGIJA, 1-2/02. 93

Didaktika Matematika

'htl .. 1t k fil tfi' . dpSI 0 ogija ogi a I ozo IJa It .

Ukazimo sada na vezu metodike nastave matematike sa pojedinim nau-kama.

Veza metodike nastave matematike sa matematikom. U resavanju prob­lema sadrzaja i nastavnih metoda, metodika nastave matematike u velikoj merivezana je za matematiku. Izbor sadrzaja nastave matematike u razrednoj nastaviuvek je zavisio od vodecih ideja i metoda u matematici kao nauci, u odredenimperiodima. Iz metodologije matematike, metodika nastave matematike koristiputeve formiranja i nacina sistematizovanja matematickih pojmova, metode ioblike resavanja matematickih zadataka i dokazivanja matematickih tvrdenja,postupke primenjivanja maternatickog znanja, matematicki jezik, matematickosudenje itd. Iz istorije matematike dobijaju se znacajne informacije 0 razvojumatematickih pojmova, metoda, ideja i jezika. Cesto i u nastavi matematike uce­nici formiraju matematicke pojmove na nacin kako su ti pojmovi i nastali: nepo­srednim brojanjem, merenjem, zapazanjem itd. realnih objekata. Naravno, uce­nici ne prelaze potpun istorijski put (koji nekada traje vekovima) u formiranjuodredenih matematickih pojmova, vee se za to koriste najkraci putevi koje jepripremila metodicka prerada sadrzaja. Treba imati u vidu da neki putevi formi­ranja matematickih pojmova kod dece ne teku onako kako je to teklo u istorijirazvoja tih pojmova. Na primer, geometrijske predstave i pojmove deca usvajajuu obmutom redosledu od onoga kako su ti pojmovi nastali kroz istoriju. Istorij­ski, najpre nastaje euklidska geometrija (zasnovana na Euklidovim aksiomama,geometrijske figure imaju svojstva koja su priblizna svojstvima realnih obje­kata), zatim projektivna (bavi se perspektivom; izucava projektivna svojstva fi­gura, tj. takva svojstva figura koja se ne menjaju pri svim projektivnim tran­sformacijama ravni (prostora) u istu ravan (isti prostor) i na kraju, u 19. veku,topologija (pravi razliku izmedu otvorenih i zatvorenih formi, izmedu onoga stose nalazi unutra ili spolja, izmedu bliskosti i razdvojenosti). Saznanja kod dece,kao sto je receno, teku u obmutom redu, deca najpre otkrivaju topoloske poj­move. Trogodisnje dete razlikuje otvorene od zatvorenih formi. Ako se trazi dasa slike precrtaju kvadrat iii trougao, deca crtaju zatvoren krug, krst crtaju kaodye odvojene linije, sposobni su da nacrtaju manji krug u vecern, dva kruga kojise dodiruju, manji iznad veceg itd. Deca sve ovo mogu da urade pre nego sto suu stanju da nacrtaju pravougaonik iIi trougao.

94 PEDAGOGIJA, 1-2/02.

Treba naglasiti da matematika nema uvek presudnu ulogu u brzini pri­hvatanja njenih sadrzaja u nastavi matematike, vee su ponekad presudniji tren­dovi i opsta drustvena klima. Na primer, trebalo je da prode oko 100 godina odstvaranja Teorije skupova do njihovog uvodenja u razrednu nastavu.

Odabrani sadrzaji podlezu didaktickoj preradi. Treba naglasiti da se prididaktickoj preradi matematickog materijala metodika nastave matematike, po­red matematike kao nauke, u velikoj meri oslanja i na pedagogiju (didaktiku),psihologiju, logiku itd., koje uticu na konacan rezultat te obrade. Nove metodezavise od toga kakve ce maternaticke ideje prev1adati u razrednoj nastavi. Ma­tematika daje razlicite nacine zasnivanja jedne iste teorije. Ovo cesto utice i narazlicite metodicke puteve pri formiranju matematickih pojmova. Tako na pri­mer, u zasnivanju teorije prirodnih brojeva izdvajaju se dva nacina: aksiomatski iskupovni. Ovo direktno utice metodicke puteve formiranja pojmova prirodnihbrojeva. I u metodici nastave matematike izdvajaju se dva puta: skupovni i aksi­omatski. Naglasimo da teorijske osnove pocetne nastave matematike ne mogu dase temelje na logicki savrsenim maternatickim teorijama, vee za te osnove trebauzimati ona matematicka znanja, koja prethode stvaranju tih teorija.

Na kraju, istaknimo kao vezu metodike nastave matematike sa matemati­kom i to da ucitelji moraju dobro da poznaju matematicke sadrzaje, zasnivanje ma­tematickih teorija (prirodnih brojeva) i tokove savremene nastave matematike.

Veza metodike nastave matematike sa pedagogijom (didaktikom). Poredsadrzajne komponente metodike nastave matematike, koja nas upucuje na vezusa matematikom, druga vazna komponenta svake metodike jeste nastava. Zaresavanje mnogih problema u vezi nastave, metodika nastave matematike koristirezultate didaktike. Od didaktike se koriste rezultati 0 zakonitostima koje v1adajuu nastavnom procesu, postupci odabiranja nastavnih sadrzaja, metode, tehnike,organizacija i nacin vrednovanja efekata nastave, postavljanje ciljeva i zadatakanastave matematike itd. Opste nastavne metode, koje razraduje didaktika, kon­kretizuju se i prilagodavaju nastavi matematike. Njihovi oblici zavise od kon­kretnih sadrzaja nastavnog gradiva, uzrasta ucenika, cilja casa, spreme i sposob­nosti ucenika, efikasnosti i svesnosti u usvajanju znanja itd. Pored opstih nastav­nih metoda, koje obezbeduje didaktika, u nastavi matematike koriste se i speci­jalne nastavne metode, koje se prilagodavaju matematici i koje omogucavaju dase formira matematicko misljenje, formiraju i razvijaju matematicke sposobno­sti, formiraju i razvijaju matematicke ideje koje se nalaze u naucnim osnovamanastave matematike. Napomenimo da se opste i posebne metode prozimaju,

Treba imati u vidu da se problemi metodike nastave matematike ne svo­de iskljucivo na nastavu koja podrazumeva sarno obrazovanje, vee metodikanastave matematike resava i probleme vaspitanja i formiranja licnosti ucenika.Nastavom matematike kod ucenika razvijamo razne sposobnosti, koje leze u os­novi stvaralackog misljenja. Zadatak metodike nastave matematike jeste da pre-

PEDAGOGIJA,I-2/02. 95

ko sadrzaja obezbedi probleme i zadatke koji ce razvijati originalnost, fleksi­bilnost, fluentnost, redefiniciju, osetljivost za probleme i elaboraciju. Treba imatiu vidu da sarna matematika ne resava probleme razvijanja logickog i stvaralac­kog misljenja, Ona ne daje odgovor na pitanje kako rasudujemo i kako stvaramo.

Didaktika, metodici nastave matematike obezbeduje didakticke sisteme,koje sve vise usavrsava,

Veza metodike nastave matematike sa psihologijom i logikom. Kako na­stavni proces podrazumeva misaonu aktivnost ucenika, metodika nastave mate­matike mora da se bavi psiholoskom i logicko stranom misljenja. Ovo upucujena njenu povezanost sa psihologijom i logikom.

Oslanjajuci se na istrazivanja u psihologiji metodika nastave matematikeresava probleme sadrzaja, metoda, organizacije i postupaka u radu sa decom,shodno njihovim razvojnim mogucnostima. Metodika nastave matematike, osla­njajuci se na psihologiju odreduje nivoe matematickog misljenja, bez kojih nemauspesnog formiranja matematickih pojmova. Oslanjajuci se na psihologiju, od­reduju se misaone operacije, koje treba razvijati i koristiti u resavanju matemati­ckih problema na nivou razredne nastave. Treba imati u vidu da i sami materna­ticki sadrzaji (geometrija, aritmetika, algebra) za usvajanje zahtevaju razlicitemisaone operacije i razlicite vrste misljenja.

Deca u razrednoj nastavi nalaze se na nivou konkretnih operacija, a saz­nanja 0 tome sta ta deca mogu u matematickoj nastavi daje psihologija. U razre­dnoj nastavi dete moze da zamisli vise materijalnih skupova, da izdvoji zajedni­eke osobine posmatranih objekata, ureduje elemente prema velicini, trazi uzrokemnogim pojavama itd. Vazna strana psihickog razvoja dece na nivou razrednenastave jeste sposobnost uocavanja nepromenljivosti nekih objekata realnog sve­ta pri izvesnim operacijama (na pro duzina kanapa se ne menja kako god da gasavijemo, tezina predmeta od plastelina ostaje ista kako god da ga oblikujemoitd.). Deca su dakle sposobna da vrse operacije unazad, imaju sposobnost rever­zibilnog misljenja. Zahvaljujuci reverzibilnosti dete je sposobno za niz saznajnihoperacija: grupisanje, klasifikacija, serijacija itd. Sve ovo stoji u osnovi sposob­nosti za pravilno shvatanje pojma broja, brojevnog niza i elementarnih matema­tickih operacija. Na posmatranom uzrastu dolazi do manifestacije logicko-ma­tematickih i kombinatornih sposobnosti.

Mnogi eksperimenti pokazuju da se specijalnim vidovima nastave mozeubrzati prelazak sa nizeg na visi razvojni nivo. Tako, recimo, ranije se smatraloda su ucenici na nivou razredne nastave sposobni da savladaju sarno sadrzajearitmetike, koji se odnose na usmeno i pismeno racunanje, Sada, posle mnogiheksperimenata, zna se da su deca sposobna da se uklope u ideje savremene ma­tematike (funkcija, skup, jednacine, nejednacine itd.), ako se ti sadrzaji adekva­tno didakticki oblikuju.

96 PEDAGOGIJA, 1-2/02.

Naglasimo da koriscenje psihologije u resavanju problema metodike na­stave matematike nije sarno prosto prilagodavanje nastave matematike psiholo­giji deteta, vee koriscenje nastavnih metoda koje nas brze dovode do viseg nivoamisljenja dece.

Pored psiholoske, postoji i logicka strana misljenja, Logika je nauka ko­ja proucava vrste pravilnog misljenja. Osnova svakog misljenja jesu iskazi, re­cenice koje su ili tacne ili netacne. Neki iskazi se utvrduju kao polazni (premise),a zatim se, koristeci odredene pravilnosti, iz njih izvodi novi iskaz (zakljucak).Zadatak logike jeste da odredi put od premise ka zakljucku, kao i pravilnosti ko­je se na tom putu koriste. I u metodici nastave matematike mnogi zakljucci izve­deni su logickim putem iz ranijih zakljucaka, dobijenih eksperimentalnim ili 10­gickorn putem. U istrazivanjima pedagoskih pojava koriste se dedukcija i induk­cija. Iako negde preovladuje jedna, a negde druga, ti putevi nisu iskljucivi, veese koriste u sintezi. Krajem 19. veka logika pocinje da se obogacuje matematic­kim sadrzajima. Matematika nudi logici nov aparat za proucavanje logickih za­konitosti, a matematicke metode koriste se za ispitivanje raznih logickih sistema.Postepeno nastaje nova matematicka disciplina - matematicka logika.

Koriscenje logike u metodici nastave matematike ima dvojaki karakter, pr­YO, logika se koristi u resavanju pedagoskih problema nastave matematike, kao stoje na primer logicka analiza strukture matematickih sadrZaja u nastavi. Drugo, ele­menti matematicke logike koriste se u pocetnoj nastavi matematike. Iako ti elemen­ti nisu ugradeni u nastavne programe eksplicitno, reci "i", "ili", "ako ...tada", "isti­nit", "lazan" sa uspehom se koriste u nastavi. Napominjemo da ucitelj mora dobroda poznaje osnove matematicke logike da bi te reci ispravno koristio.

Metodika nastave matematike u razrednoj nastavi u tesnoj je vezi sa me­todikom nastave matematike u visim razredima osnovne skole. Tu vezu ne pos­matramo kao medupredmetnu, vee unutarpredmetnu. Metodika nastave ma­tematike u razrednoj nastavi za resavanje problema vezanih za dalje skolovanjedece koristi saznanja metodike nastave matematike u visim razredima. Materna­ticki sadrzaji koji se obraduju u pocetnoj nastavi matematike predstavljaju os­novu za dalje skolovanje. Brojevi, geometrija i algebra obraduju se u visim raz­redima, ali se u pocetnoj nastavi vodi racuna 0 psiholoskim karakteristikamadece, kao i ciljevima i zadacima pocetnog ucenja,

Svoje probleme metodika nastave matematike u razrednoj nastavi resavai uz pornoc filozofije (posebno gnoseologije). Uticaj gnoseologije na metodikunastave matematike zasniva se na cinjenici da su proces saznanja i proces subje­ktivnog usvajanja tudih iskustava sa gledista ucesnika u njima veoma slicni, Po­sebno treba istaeifilozofiju matematike, granu filozofije, koja se bavi filozofskimproblemima matematike. Filozofska shvatanja 0 raznim matematickim sadrza­jima (broj, geometrija) pomazu metodici nastave matematike da resi probleme u

PEDAGOGIJA, 1-2/02. 97

vezi tretiranja matematickih pojmova, ispravnog shvatanja njihovog porekla,odabiranja metoda rada, odredivanja ciljeva nastave matematike itd. Znacajnuulogu u procesu saznanja igra intuicija, koju shvatamo kao naslucivanje, predo­secanje. Iako su istine do kojih se dolazi intuicijom nepouzdane, moraju se logi­cki dokazati, ona u matematici mnogo znaci i naziva se matematicka intuicija.Ona predstavlja oblik neposrednog saznanja neke matematicke istine ili nasluci­vanje te istine, koju zatim uzimamo kao polaznu u dokazivanju logickim putem.Metodika nastave matematike, zbog vaznog mesta intuicije u nastavi matema­tike, uz pomoc filozofije matematike, resava probleme njenog koriscenja. U os­posobljavanju ucenika da intuitivno otkrivaju matematicke istine koristi se indu­ktivni nacin zakljucivanja. Ucenici u razrednoj nastavi, pri formiranju maternati­ckih pojmova i pravila, posle niza konkretnih primera, naslucuju odredenu is­tinu. Ideje za resavanje matematickih problema takode se naslucuju. Na taj nacinucenici razvijaju intuiciju, a ovo na svoj nacin razvija matematicko misljenje.

Metodika matematike mora da resi pitanje 0 tome sta uzeti oda logike, agde je intuicija koja je antagonizam stroge logike.

Osnovni metodoloski postupak na koji se metodika nastave matematike os­lanja pri formiranju matematickih pojmova jeste: od opaianja ka apstraktnom poj­mu. Saznanje 0 pojmu pocinje posmatranjem primera (neposredno okruzenje, slike,modeli itd.) vezanih za taj pojam. To saznanje se neposredno zasniva na opazanju(culnom saznanju) na osnovu kojeg se stice predstava (mentalna slika) 0 pojmu.Ovaj proces, koji pocinje posmatranjem i zavrsava se formiranjem mentalne slike(predstave) zove se razvijanje matematickog pojma. Ovako stecena "znanja" su nanivou prepoznavanja. Dalja, misaona obrada culno-iskustvenog saznanja uz pomocmisaonih operacija dovodi nas do izgradivanja matematickog pojma. Ako se misao­na obrada ne zasniva direktno na neposrednom opazanju, vee je to obrada culnogiskustva koje je steceno ranijim opazanjem (predstave secanja) onda govorimo 0

formiranju matematickog pojma. Iznete faze u saznajnom procesu 0 matematickompojmu predstavljaju matematicko rasudivanje 0 pojmu.

Veza metodike nastave matematike sa drugim naukama, koju smo izneli,osim sto ukazuje na njen interdisciplinami i multidisciplinami karakter, ukazujei na posebne probleme, kojima se sarno ona bavi. Ovo ide u prilog tvrdnji da jemetodika nastave matematike autonomno naucno podrucje.

Literatura:

1. Bandic I.: Znaca] metodike matematicke nauke, Problemi nastave matematike (Zbomik),Savezni zavod za proucavanje skolskih i prosvetnih pitanja, Beograd, 1961.

2. Bantova, M.A., Beltjukova, G.V.: Metodika prepodavanija matematiki v nacalnih k/assah,Moskva, 1984.

3. Barker S.: Filozofija matematike, Nolit, 1973.

4. Vilotijevic M.: Odnos didaktike i metodike, Metodicka praksa 3(1999),5-14, Beograd.

98 PEDAGOGIJA, 1-2/02.

5. Dejic M.: Metodika nastave matematike 1, Uciteljski fakultet, Jagodina, 2000.

6. Dejic M.: Kratak pregled istorije metodike matematike, Metodika naucna i nastavna disci­plina (Zbomik), 1998.

7. Drozd, V.L. i dr.: Metodika nacalnogo obucenija matematike, Minsk, 1988.

8. Dordevic J.: Didaktika i posebne metodike, Metodika naucna i nastavna disciplina (Zbornik),1998.

9. Dordevic B.: Neke psiholoske pretpostavke za metodike osnovnoskolskih predmeta, Metodikanaucna i nastavna disciplina (Zbornik), 1998.

10. Malinovic T.: Matematicko rasudivanje 0 pojmu u pocetnoj nastavi matematike, Zbomikradova 5, Uciteljski fakultet, Vranje, 1998.

11. Metalski, N.V.: Puti soversenstvovanija obucenija matematike, Minsk, 1989.

12. Moro, M.L, Piskalo, A.M.: Metodika obucenija matematike v 1-3 klassah, Moskva, 1978.

13. Piaget, J.: Logic and Psychology, Manchester Universitety Press, Manchester, 1953.

14. Stoljar, A.A.: Pedagogika matematiki, Minsk, 1969.

15. Freudenthal, H.: Enseignement des mathematiques modemes ou enseignement modeme desmathematiques? L'Enseignement mathematique, 1963, s.II,v.IX, 1-2.

16. Cvetanovic V.: Metodika nastave izmedu nastavne i naucne discipline, Uciteljski fakultet,Beograd, 2001.

CONNECTIONS OD METHODS OF TEACHING MATEMATHIC WITHQTHER SCIENCES

Summary: Concerning the place and role of the methods of primary schoolcourses, the unique attitude does not exist. According to some it is a pedagogical disci­pline, according to others it belongs to sciences (scientific fields), which contents,through courses, is transmitted to students, and there are some who think that methodsofcourses ofcertain subjects are only applicative skills ofperforming courses. The clos­est to the truth might be the statement that "methods represent relatively individual andinterdisciplinary scientific-teaching field, between a certain source science, pedagogy(didactic) and relevant sciences which methods are connected with and which they leanon" (Djordjevic, 1., 1998). Having such an attitude, we show in this paper connectionbetween the methods ofmathematic and other sciences, stressing in this way its interdis­ciplinary and multidisciplinary character. Connection between methods of teachingmathematics and other sciences can in a large extent help determination of its subjectand autonomy.

Key words: methods, teaching, matemathic, sciences

PEDAGOGIJA,I-2/02. 99