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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELOFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ADMINISTRATIVAS
Carrera Profesional de Administración Turística, Hotelería y Gastronomía
MATEMÁTICA FINANCIERA
Econ. Marlon Silva Castillo
INTERÉS COMPUESTO
OBJETIV0S Diferenciar los factores que intervienen
en el cálculo del interés compuesto. Uniformizar las unidades de tiempo de la
tasa efectiva y los períodos de capitalización.
Deducir correctamente las fórmulas que se deriven del interés compuesto.
OBJETIV0S Representar gráficamente los diagramas
tiempo - valor, flujos de caja. Plantear y resolver las ecuaciones
equivalentes. Adquirir la destreza y habilidad para los
cálculos de los factores: Monto, capital, tasa efectiva (tasa nominal ), períodos de capitalización.
INTERÉS COMPUESTO
En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo.
INTERÉS COMPUESTOSi en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo, y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.
INTERÉS COMPUESTO
En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta cada final de período, pues se le adicionan los intereses vencidos a la tasa convenida.
El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que después del primer período de capitalización su monto constituye el capital inicial en el siguiente período de capitalización y así sucesivamente.
Definición:
0 n-1 n1
PF1 FnFn-1F2
2 3
F3
CÁLCULO DEL MONTO
CÁLCULO DEL MONTO
nnnnnn iPiiPiFiFFF
iPiiPiFiFFF
iPiiPiFiFFF
iPiPPF
1111
1111
1111
1
1111
322223
21112
1
CÁLCULO DEL MONTO
niPF 1
n
mj
PF
1
f
H
mj
PF
1
Donde:
P=Capital inicial, valor presente, valor actual.F=Monto o valor futuro de un capital a interés compuesto. Es
el valor del capital final o acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.
i=Tasa efectiva fijada por períodos de capitalización.j=Tasa nominal anual (TNA), mensual (TNM), semestral (TNS).m= Número de períodos de capitalización en el año, mes, semestre.
m
ji
Donde:N=Períodos de capitalización en el horizonte
de tiempo.H=Horizonte de tiempo. Es el número de días
de la operación financiera. f=Número de días del período de
capitalización.
f
Hn
1.- Calcular el monto de un capital inicial de S/. 5 000 colocado durante 2 3/4 de año a una tasa efectiva anual (TEA) del 24 %.
F= ?P= S/. 5 000 n= 2 3/4 año =2.75 años i= 0.24 (tasa efectiva anual)
9034./)24.01(5000 75.2 SF
2.- Halle el monto de un capital inicial de S/. 3 000, colocado durante 10 meses a una tasa efectiva mensual (TEM) de 2.75 %.
953934./)027501(3000 10 SF
3.- Cuál es el monto de un depósito de S/. 10 000, impuesta a una tasa efectiva quincenal (TEQ) de 0.75% durante 3 1/2 meses.
=10000*(1+0.0075)^7
10536.9613
niPF 1
1
1
n
PF
i
)1(
)(
iLogPF
Logn
niFP 1
4.- Qué capital inicial debe colocarse en una entidad financiera que paga una tasa efectiva anual (TEA) del 25%, para que en 1 1/2 año pueda obtenerse un importe capitalizado de S/. 8 500.P=?F=8 500n = 1.5 añosi = 0.25
11.6082./)25.01(
8500
11.6082./25.018500
5.1
5.1
SP
SP
5.- A qué tasa efectiva anual (TEA) ha sido colocado un capital de S/. 6800, si al cabo de 1 ½ año se obtuvo una capitalización de S/. 10 300.
P=6 800F=10 300 n=1.5 años
%8921277.31
318921277.016800
10300
16800
10300
5.1
5.1
1
i
i
i
6.- Determine el tiempo en años de un capital de S/. 5000, colocado al 30% de tasa efectiva anual (TEA), el cual permitió un monto de S/. 7913.54.
P=5000F=7913.54i=0.30
Si se hubiese pedido en meses sería: 1.75 x 12 = 21 meses.
añosLog
Logn 75.1
)30.01(
)5000
54.7913(
niFSCPF ,*
FSC i,n = (1+i)n
El factor simple de capitalización a una tasa “i” por período, durante “n” períodos transforma una cantidad presente “P” a un valor futuro “F”:
Factor simple de capitalización
FSA i,n= (1+i)-n
El factor simple de actualización a una tasa “i” por período, durante “n” períodos, tiene como función traer al presente “P” cualquier cantidad futura “F”.
niFSAFP ,*
Factor simple de actualización
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
1 2 3 4 5 6
Monto
Años
Gráfica de Monto simple vs Monto Compuesto
Interés Simple Interés Compuesto
F=P(1+in)
F=P(1+i)n
Tasa nominal y tasa proporcional
• Tasa nominal (j)
• Tasa proporcional (i)
23
%100m
ji
Tasa nominal.- Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente; o como unidad de medida para ser capitalizada “n“ veces en operaciones a interés compuesto. Donde “m” es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal anual.
Capitalización Operación m
Anual 360/360 1Semestral 360/180 2
Cuatrimestral 360/120 3Trimestral 360/90 4Bimestral 360/60 6
Cada 45 días 360/45 8Mensual 360/30 12
Quincenal 360/15 24Diarío 360/1 360
Capitalización Operación m
Anual 30/360 0.08333333Semestral 30/180 0.16666667
Cuatrimestral 30/120 0.25Trimestral 30/90 0.33333333Bimestral 30/60 0.5
Cada 45 días 30/45 0.66666667Mensual 30/30 1
Quincenal 30/15 2Diarío 30/1 30
“m” aplicable a una tasa “j” anual
m” aplicable a una tasa “j” mensual
Multiplicar o dividir o regla de tres simple
TED.
1
90TNT
diaríaproporc.tasaTES;
180
15TNQ
semestralproporc.tasa
TET;
90
120TNC
trimestralproporc.tasaTEB;
60
180TNS
bimestralproporc.tasa
TET
90
30TNM
trimestralproporc.tasaTEM;
30
360TNA
mensualproporc.tasa
f
30TNM
TEi;
f
360TNA
TEi
m
TN
m
jTEi
Tasa nominal Tasa proporcional (Tasa efectiva)
TASA EFECTIVA
Si en una operación financiera la tasa pactada es una tasa de interés efectiva, los cálculos financieros pueden realizarse directamente con esta tasa considerándose su período de vigencia como período de capitalización.
1m
j1i
n
Nota: Expresamos el tiempo en términos del período de capitalización; es decir, se adapta el “período de n” al “período de i” (i y n en la misma unidad de tiempo)
TASA EFECTIVA
La diferencia básica entre una tasa nominal y una tasa efectiva es que la primera está asociada a un período de capitalización, mientras que la segunda hace referencia sólo a su período de vigencia en forma explícita o implícita .
Por lo tanto, en el régimen de interés compuesto, una tasa nominal debe hacer obligatoriamente referencia a un período de capitalización, pues sin él no podríamos hallar la tasa proporcional (TE) respectiva.
De este modo, si la tasa que se nos informa no hace referencia a algún período de capitalización, debemos sobrentender que dicha tasa es EFECTIVA.
EJEMPLO:1.- Calcule la TET, si se tiene TNS=7.5% con
capitalización bimestral.
3.773%TET0.03773TET
1
60
1800.075
1TET
1m
j1
60
90
n
i
H=90
f = 60
2.- Calcule la TEQ, si se tiene una TNT = 6% con capitalización cada 30 días.
3.- Calcule la TED, si se conoce la TNA = 20% con capitalización cada 45 días.
0.995049%TEQ
0.00995049
30
906%
1
30
15
TEQ
%0.054888TEQ
0.000548881
45
36020%
1D
45
1
TE
Valor Futuro (F) y Valor Actual (P) con tasa constante
Actualización
niVAVF )1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+) (1+i) 1 2 3 4 ……… n-1 n
i
ni
VFVA
)1(
Capitalización
31
Tasa efectiva (ie)
niVAVF )1(
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
1 2 3 ……… n VA ie
32
%100
PPF
i
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
%100)1(
P
PiPi
n
e %1001)1( n
e ii por período
Tasa equivalente (ieq)
33
qe
peq ii )1()1(
%1001)1(
p
q
eeq ii por período
TASA EQUIVALENTE
Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal.
Donde:iequiv.=Nueva tasa efectiva.Iefect =Tasa efectiva que se quiere transformar.n = Razón entre el período de vigencia de iequiv. y el período de vigencia
de iefect..
1efectfequivH
n)efectivai(1eequivalenti
TASA EQUIVALENTE
1.- Dada la TEA = 50%. Hallar la tasa equivalente: a.- TEM=
3.44%0.034410.50)(1 360
30
b.-TEB =
c.- TED =
%99.60699.01)50.01( 360
60
%11.00011.01)50.01( 360
1
2.- Sí la TET =20%. Hallar la TE cada 54 días RPTA =11.5601%
3.- Sí la TEM =5 %. Hallar la TE cada 17 días RPTA = 2.8034%
4.- Sí la TEA =20%. Hallar la TE cada 4 días RPTA = 0.2028%
5.- Sí la TET =15%. Hallar la TEB. RPTA = 9.7653%
6.- Sí la TES =10%. Hallar la TET. RPTA = 4.8809%
7.- Sí la TEA = 30%. Hallar la TEM. RPTA = 2.2104%
8.- Sí la TEC =10%. Hallar la TET. RPTA = 7.4099%
9.-Sí la TE cada 39 días =4.75%. Hallar la TEM = 3.6342%
Interés Devengado entre Períodos con Tasa Constante
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
0 k-1 k ………………… z n VA i por período
37
11 )1(
kk iPF z
z iPF )1(
1 kzkz FFI 1)1()1( kz
kz iPiPI
Valor Futuro (F) de un Valor Actual Variable con Tasa Constante
• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a la tasa constante cuando se produce un ingreso o un egreso.
38
Valor Futuro (F) de un Valor Actual (A) variable con Tasa Constante
• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso o un egreso y se resuelve como en los casos anteriores.
• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a la correspondiente tasa de interés.
39
Valor Futuro (F) y Valor Actual (P) con Tasa Variable
VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)
0 VA …...
1i 2i 3i ki
1n 2n 3n kn
40
Valor Futuro (F) y Valor Actual (P) con Tasa Variable
• Valor Futuro (F) de un Valor Actual (P) Constante con Tasa Variable
• Valor Actual (P) de un Valor Futuro (F) con Tasa Variable
41
knk
nnn iiiiPF )1(.....)1()1()1( 321321
knk
nnn iiii
FP
)1(.....)1()1()1( 321321
Valor Futuro (F) y Valor Actual (P) con Tasa Variable
• Interés con Valor Actual (P) Constante y Tasa Variable
• Interés con Valor Futuro (F) y Tasa Variable
42
IPF
PFI
PiiiiPI knk
nnn )1(.....)1()1()1( 321321
1)1(.....)1()1()1( 321321 kn
knnn iiiiPI
kn
knnn iiii
FI)1(.....)1()1()1(
11
321321
knk
nnn iiiiF
FI)1(.....)1()1()1( 321
321
Valor Futuro (F) de un Valor Actual (P) Variable con Tasa Variable
• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a las tasas variables y cuando se produce un ingreso o un egreso.
• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso, o un egreso o un cambio en la tasa de interés y se resuelve como en los casos anteriores.
43
Valor Futuro (F) de un Valor Actual (P) Variable con Tasa Variable
• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.
Interés devengado entre períodos con tasa variable• Para determinar el interés devengado entre el
período z-ésimo y el período k-ésimo del horizonte temporal se debe restar el Fz del Fk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.
44
Ecuaciones de Valor Equivalente
a Interés Compuesto
• En el interés compuesto un flujo de ingresos y un flujo de egresos ubicados en diferentes períodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.
• VA ó P (Ingresos) = VA ó P(Egresos)• VF ó F (Ingresos) = VF ó F (Egresos)
45
Ecuaciones de valor equivalente
a interés compuesto
• Propiedades– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos
son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.
– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.
46