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OPTIMIZACIÓNOPTIMIZACIÓN¡¡ la ciencia de lo mejor !!
2012 12012 - 1
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 1
EL PROBLEMA DUAL
Definición:
Problema Primal Problema Dual
(P) Min z = c·xs.a.
( D) Max ω = y·bs.a.
Ax ≥ bx ≥ 0
AT y ≤ cy ≥ 0
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 2
EL PROBLEMA DUAL
Problema Primal(P) Min z = c·x
Problema Dual( D) Max ω = y·b
s.a. Ax ≥ b
x ≥ 0
s.a.yT A ≤ c
y ≥ 0x ≥ 0 y ≥ 0
(D) Max ω = 4y + 3 y(P) Min z = 2x1 + 5x2 - x3
s.a.
(D) Max ω = 4y1 + 3 y2s.a.
2y1 + 5y2 ≤ 22x1 - x2 + 4x3 ≥ 45x1 + x2 - 2x3 ≥ 3
x1 x2 x3 ≥ 0
-y1 + y2 ≤ 54y1 - 2y2 ≤ -1
y1 , y2 ≥ 0
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 3
x1 , x2 , x3 ≥ 0 y1 , y2
El d l d l bl li l tá d
EL PROBLEMA DUAL
El dual del problema lineal estándar
Problema Primal(P) Min z = c·x
Problema Dual( D) Max ω = y·b
s.a. Ax = b
x ≥ 0
s.a.yT A ≤ c
x ≥ 0 y irrestricto
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 4
EL PROBLEMA DUAL
(D) Max ω = 4y1 + 6y2(P) Min z = 2x + 3x + 5x s.a.
4y1 + 3 y2 ≤ 23 2 ≤ 3
(P) Min z = 2x1+ 3x2+ 5x3s.a.
4x1 + 3x2 - 2x3 = 4 → (y1)3y1 - 2y2 ≤ 3-2y1 + y2 ≤ 53x1 - 2x2 + x3 = 6 → (y2)
y1 , y2 irrestricto.x1 , x2, x3 ≥ 0
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 5
EL PROBLEMA DUAL
Problema de minimización
Problema de maximización
Si la restricción es: la variable asociada es:
≥ ≥ 0 ≤=
≤ 0irrestricta
la restricción asociada es:Si la variable es:
≥ 0 ≤≥ 0 ≤ 0
irrestricta
≤≥=
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 6
EL PROBLEMA DUAL
El dual del dual es el primal
Problema Primal Problema Dual(P) Min z = c·x
s.a. A ≥ b
( D) Max ω = y·bs.a.
T A ≤ Ax ≥ bx ≥ 0
yT A ≤ cy ≥ 0
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 7
EL PROBLEMA DUAL
(P) Min z = 6x1 + 4x2+2x3 (D) Max ω = 6y1 + 8y2s.a.
x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 6s.a.
y1 + 4y2 ≤ 6→ (y1)
4x1 - 2x2 + 2x3 = 8
0
2y1 - 2y2 ≤ 43y1 + 2y2 = 2
→ (y2)
x1 , x2 ≥ 0
x3 irrestrictay1 ≥ 0
y2 irrestricta.x3 irrestricta
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 8
T d bil d d lid dTeorema debil de dualidadSi •el problema primal es de minimización en x•el problema dual es de maximización en y
Entonces para todo ⎯x e ⎯y factiblesse cumple que:se cumple que:
z (⎯x ) ≥ ω(⎯y )z ( x ) ≥ ω( y )
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 9
RELACIONES DE DUALIDAD(P) Min z = 2x1 + 4x2 (D) Max ω = -4y1 + 3y2
s.a.-2x1 + x2 ≥ -46x1 + 2x2 ≥ 3
( ) y1 y2s.a.
-2y1 + 6 y2 ≤ 2y1 + 2 y2 ≤ 4
x2
x1 , x2 ≥ 0 y1 , y2 ≥ 0
y22
1
zy2
2ω
x11 2
1y1-1 1 2 3 4
1
-1
-2 x1* = ½ x2 ∗ = 0
y1* = 0 y2 ∗ = 1/3
y11 1 2 3 4
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 10
-3
-4
2 y2 3
ó
RELACIONES DE DUALIDAD
El valor de z para cualquier solución factible del problema deminimización, provee una cota superior del valor óptimo delproblema de maximización.
x2
2 z = 2x1 + 4x2
1 2
1 z = 101 2
∀ y factible: ω (y) ≤ 10
x11 2
-1
2-2
-3
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 11
-4
RELACIONES DE DUALIDAD
El valor de ω para cualquier solución factible del problema demaximización, provee una cota inferior del valor óptimo delproblema de minimización.
y2
4ω = - 4y1 + 3y2
2
1
ω =−4y1 y2
y11 1 2 3 4
1
y1-1 1 2 3 4
∀ x factible: z(x) ≥ -4
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 12
ó
RELACIONES DE DUALIDAD
El valor de z para cualquier solución factible del problema deminimización, provee una cota superior del valor óptimo delproblema de maximización.
x2
2
(P) Min z = 2x1 + 4x2
s.a.2
1-2x1 + x2 ≥ -46x1 + 2x2 ≥ 3
x1 x2 ≥ 0z = 12
⎯x = (2,2) ⇒ z( ⎯x ) = 12 ⇒ ω∗ ≤ 12x11 2
-1
x1 , x2 ≥ 0 z = 8z = 6
z = 1⎯x = (2,1) ⇒ z( ⎯x ) = 8 ⇒ ω∗ ≤ 8⎯x = (1,1) ⇒ z( ⎯x ) = 6 ⇒ ω∗ ≤ 6
-2
-3
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 13
⎯x = (1/2,0) ⇒ z( ⎯x ) = 1 ⇒ ω∗ ≤ 1 -4
RELACIONES DE DUALIDAD
El valor de ω para cualquier solución factible del problema demaximización, provee una cota inferior del valor óptimo delproblema de minimización.
(D) Max ω = - 4y1 + 3y2
s a
y2
2 ω = − 5ω =1
s.a.-2y1 + 6 y2 ≤ 2
y1 + 2 y2 ≤ 40
1 ω = − 16
⎯ y = (4 0) ⇒ ω(⎯y ) = -16 ⇒ z∗≥ -16
y1 , y2 ≥ 0y1-1 1 2 3 4
y (4,0) ⇒ ω( y ) -16 ⇒ z∗≥ -16
⎯ y = (2,1) ⇒ ω(⎯y) = -5 ⇒ z∗≥ -5
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 14
⎯ y = (0, 1/3) ⇒ ω(⎯y ) = 1⇒ z∗ ≥ 1
RELACIONES DE DUALIDAD
Corolario 1 del Teorema Débil
Dado un par de problemas primal-dual,
si uno de los problemas es factible,pero no acotado,
entonces, el otro problema es infactible.
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 15
RELACIONES DE DUALIDAD
(P) Min z = 2x1 - 3x2s.a.
3x1 + 2x2 ≥ 6
(D) Max ω = 6y1 + 8y2s.a.
3y1 + 2y2 ≤ 23x1 + 2x2 ≥ 62x1 + 4x2 ≥ 8
x1 , x2 ≥ 0
3y1 + 2y2 ≤ 22y1 + 4y2 ≤ −3
y1 , y2 ≥ 0
x2 z y2
yx1
y1
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 16
No acotado (z → − ∞) Infactible
¡¡ Ambos problemas pueden ser infactibles !!
RELACIONES DE DUALIDAD
(P) Min z = 2x1 - 3x2
¡¡ Ambos problemas pueden ser infactibles !!
(D) Max ω = 2y1 + y2s.a.
x1 - x2 = 2- x1 + x2 = 1
s.a.y1 - y2 ≤ 2-y1 + y2 ≤ − 31 2
x1 , x2 ≥ 0y1 y2
y1 , y2 irrestricta
x2 y2y1
x1
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 17
RELACIONES DE DUALIDAD
Corolario 2 del Teorema Débil
Dado un par de problemas primal-dual,
si uno es factible y el otro es infactible,entonces
el problema que admite solución factible es no acotado.
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 18
no acotado.
RELACIONES DE DUALIDAD
si uno es factible y el otro es infactible,entonces el problema que admite solución factiblees no acotado
(P) Min z = x1 - 2x2s a
es no acotado.
(D) Max ω = 3y1 + y2s as.a.
x1 - x2 ≤ 3- x1 + x2 ≤ 1
x1 , x2 ≥ 0
s.a.y1 - y2 ≤ 1-y1 + y2 ≤�� 2
y1 , y21 2 y1 y2≥ 0
x2 zy2
x1 y1
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 19
RELACIONES DE DUALIDAD
Corolario 3 del Teorema Débil
Dados un par de problemas primal-dual,
si ⎯x e ⎯y son soluciones factibles del primal y dual,
respectivamente, tales que:
z ( ⎯x ) = ω ( ⎯y ) ⇔ c ·⎯ x = y ·⎯ bz ( x ) ω ( y ) ⇔ c x y b
entonces ⎯x e ⎯y son las respectivas soluciones óptimas.
Optimización – Carmen Ortiz Z. © 20