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7/24/2019 01-intro AULA 1
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Matemtica Discreta
Introduo
Matemtica Discreta
1
7/24/2019 01-intro AULA 1
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Matemtica Discreta
Introduo
Apresentao
Alexandre Noma
Cincia da Computao
Instituto de Matemtica e Estatstica- Universidade de So Paulo
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 2
7/24/2019 01-intro AULA 1
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Matemtica Discreta
Introduo
Cronograma estimado:Aula Contedo
1 Introduo: teoria dos conjuntos
2 Princpio da Induo Matemtica;Princpio Aditivo e Multiplicativo
3 Permutao e Arranjo
4 [RECESSO]
5 Combinao
6 Equaes lineares com coeficientes unitrios
7 Permutaes circulares
8 Binmio de Newton
9 Exerccios
10 [Prova 1]
3
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Matemtica Discreta
Introduo
Cronograma estimado:Aula Contedo
11 PIE: Princpio da Incluso e Excluso
12 PIE
13 Funes geradoras14 [RECESSO]
15 Torres de Hanoi, Introduo Recorrncias
16 Funo log, rvores de Recorrncia
17 rvores de Recorrncia
18 Teoria dos Grafos
19 ?
20 [Prova 2]
21 [Prova Substitutiva]
22 [Recuperao]
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Matemtica Discreta
Introduo
Bibliografia Bsica:
[1] J. Plnio O. Santos, M. P. Mello, I. T. C. Murari. Introduo a Anlise
Combinatria. Editora Cincia Moderna. 2008.
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Matemtica Discreta
Introduo
2 provas:
P1: 26/06/2015
P2: 31/07/2015
Prova substitutiva: 05/08/2015.
Recuperao: 07/08/2015.
Avaliao:
6
(A SUB fechada, isto , somente para quem perder a P1 ou P2.)
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Matemtica Discreta
Introduo
Material e outras informaes no site...
Aulas
Slides / PDFs
Calendrio das aulas
Data das provas, bibliografia, ...
Pgina da disciplina
https://sites.google.com/site/alexnoma/home/md
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Matemtica Discreta
Introduo
Tarefa
Exerccios:
Lista 1
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Matemtica Discreta
Introduo
Uma breve reviso sobre
Teoria dos Conjuntos...
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Matemtica Discreta
Introduo
Um conjunto uma coleo de objetos,
chamados de elementos.
(ex. pessoas, plantas, animais, fenmenos, etc)
Notao:
representamos conjuntos por letras maisculas A, B, C, ...
e os seus elementos por letras minsculas a, b, c, ...
Exemplos:A = {a, b, c}
B = {6, 8, 10, 12, 14} = {x | 4 < x < 15 e x par}
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Matemtica Discreta
Introduo
A cardinalidadede um conjunto A
o nmero de elementosde A e denotado por |A|.
O conjunto vazio tem zero elementos e denotado
por .
Um conjunto unitriose possui um nico elemento.
Ex. A = {a}
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Matemtica Discreta
IntroduoRelaes
"Pertence"
: a pertence a A;
indica que a um elemento do conjunto A.
: a no pertence a A para caso contrrio.
"Contido"
: A est contido em B;
A um subconjuntode B.
Todo elemento de A tambm um elemento de B.
: caso contrrio
Aa
Aa
BA
BA
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Matemtica Discreta
IntroduoRelaes
"Contm"
: B contm A;
A um subconjuntode B.
Todo elemento de A tambm um elemento de B.
: caso contrrio
AB
AB
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Matemtica Discreta
Introduo
Exemplo 1
SejamA = {0, 2, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {1, 3, 5}.
Ento:
(a) Todo elemento deA elemento de B, ou seja,
(b) Como e , ento
BA
C5 B5 BC
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Matemtica Discreta
IntroduoExemplo 2
SejamA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ento:
(a) A' = {x A | x par} = {2, 4, 6, 8}.
(b) B = {x A | x mltiplo de 3} = {3, 6, 9}.
(c) C = {x A | x + 1 = 6} = {5}.
(d) D = {x A | x < 0} = .
(e) E = {x A | x < 10} = A.
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Matemtica Discreta
IntroduoConjuntos iguais...
Os conjuntos A e B so iguais se eles
possuem os mesmos elementos, ou seja:
Todo elemento de A tambm um elemento de B.
Todo elemento de B tambm um elemento de A.
Note que:
a ordemdos elementos em um conjunto irrelevante;
a repetiode elementos em um conjunto desnecessria,
embora no seja um erro.
AB
BA
)( BA
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Matemtica Discreta
Introduo
Exemplo 3
Diferentes representaes de um mesmo conjunto:
(a) Os conjuntosA = {5, 6, 7}eA' = {6, 7, 5} so iguais.
(b) Os conjuntos B = {2, 2, 1, 3} e B' = {2, 1, 3} so iguais.
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Matemtica Discreta
IntroduoComplemento
Para cada exemplo, o conjunto universoU aquele
que contm todos os elementos que esto sendo
considerados.
Se A um subconjunto de U, o complementarde A
definido por
}|{ AxUxA
(Diagrama de Venn)
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Matemtica Discreta
IntroduoOperaes
Diferena
eAxUxBA |{ }Bx
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Matemtica Discreta
IntroduoOperaes
Diferena
eAxUxBA |{ }Bx
M i Di
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Matemtica Discreta
Introduo
Exemplo 4
Diferena: e
(a) SejamA = {1, 3, 4, 5}eA' = {1, 2, 4}. Ento:
A-A'= {3, 5} e A'-A= {2}
(b) Sejam B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6}. Ento:
B - B' = B e B' - B = B'
AxUxBA |{ }Bx
M t ti Di t
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IntroduoOperaes
Unio
ouAxUxBA |{ }Bx
M t ti Di t
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Matemtica Discreta
Introduo
Exemplo 5
Unio: ou
(a) SeA = {1, 3, 4, 5} eA' = {1, 2, 4},
entoAUA'= {1, 2, 3, 4, 5}
(b) Se B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6},
ento B UB' = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
AxUxBA |{ }Bx
M t ti Di t
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Matemtica Discreta
IntroduoOperaes
Interseco
e
Dizemos que A e B so disjuntosse
AxUxBA |{ }Bx
BA
M t ti Di t
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Matemtica Discreta
Introduo
Exemplo 6
Interseco: e
(a) SeA = {1, 3, 4, 5} eA' = {1, 2, 4},
ento
(b) Se B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6},
ento
AxUxBA |{ }Bx
}4,1{AA
BB(B e B' so disjuntos)
M t ti Di t
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Matemtica Discreta
Introduo
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B,
o produto cartesianoA x B o conjuntos dos pares
(a, b), onde a elemento de A e b elem. de B. e
De maneira geral, o conjunto das n-uplas
onde , para i = 1, ..., n.
AabaBA |),{( }Bb
nAAAA 321),,,,( 321 naaaa
ii Aa
Matemtica Discreta
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Matemtica Discreta
Introduo
De maneira geral, ...
Unio
ou ou . . . ou
Interseco
1
1
|{ AxUxAn
i
i
}nAx2Ax
},,,|{ 211
n
n
i
i AxAxAxUxA
nAAAA 321
nAAAA 321
Matemtica Discreta
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Matemtica Discreta
IntroduoPropriedades
1. Para todo , temos que e
2.
3.
4.Associativa: e
5. Comutativa: e
6. Distributiva:e
7. , , ,
UA A A
BBABA
ABABA
CBACBA )()( CBACBA )()(
ABBA ABBA
)()()( CABACBA )()()( CABACBA
UAA AA U U
A
Matemtica Discreta
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Matemtica Discreta
Introduo
Propriedades
8. Leis de De Morgan:
eBABA )( BABA )(