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Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor
Definição de Calor,Condução, Convecção e Radiação
Prof. Msc. Pedro Marcelo Alves Ferreira PintoEngenharia Aeronáutica
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Com relação aos processos de transferência de energia, em um sistema
ou entre dois ou mais sistemas, existem basicamente três tipos de
processos de transferência de calor:
● Condução : processo de transferência de energia que ocorre dentro de
meio estacionário , que pode ser um sólido, ou um fluido líquido ou
gasoso, em virtude da diferença de temperatura ao longo do meio ;
● Convecção : processo de transferência de energia que ocorre entre
dois ou mais meios em contato direto , estacionários ou em movimento,
em virtude da diferença de temperatura entre os meios ;
● Radiação : processo de transferência de energia que ocorre entre dois
ou mais meios sem contato direto , estacionários ou em movimento, em
virtude da diferença de temperatura entre os meios ;
Processos de Transferência de Calor
Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor
Processos de Transferência de Calor
Processos de Transferência de Calor por Condução, C onvecção e Radiação
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor
Processos de Transferência de Calor
� Em processos de transferência de calor comumente são adotados os
valores referentes às taxas de transferência de calor , ou seja, as
quantidade de calor por unidade de tempo, representadas pelo ponto
sobre a notação de calor Q, em unidade Watt cujo símbolo é W;
� Matematicamente, a taxa de transferência de calor corresponde ao
incremento de calor dQ por incremento de tempo dt :
dt
dQQ =&
� As taxas de transferência de calor podem ser apresentadas ainda em
função da transferência de calor por unidade de massa m, nesse caso
representada pela notação q;
taxa de calor [ J/s ] ou [ W ]
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Conceitos e Definições Básicas de Transferência de Calor
Processos de Transferência de Calor
� A taxa de transferência de calor por unidade massa é dada por:
m
&
& =
� Mas ainda, a taxa de transferência de calor pode ser representada
também pela taxa de calor por unidade de comprimento L (Q’) ou pela
taxa de calor por unidade de área A (Q”):
L
&& ='
A
&& ="
taxa de calor por comprimento [ W/m ]
taxa de calor por área [ W/m2 ]
taxa de calor por massa [ J/kg.s ] ou [ W/kg ]
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Introdução a Condução Processo de Condução de Calor,
Condução de Calor em Placas Planas,Condução de Calor em Tubos e Esferas,
Condutividade Térmica em Série e Paralelo
Prof. Msc. Pedro Marcelo Alves Ferreira PintoEngenharia Mecânica
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Processo de Transferência de Calor por Condução
� O processo de condução pode ser visualizado como a transferência de
energia de partículas mais energéticas para partículas menos energética,
dentro de um único meio , devido a interações entre elas;
� Nesse caso, considerando que uma das faces da superfície do meio
esteja a uma temperatura T1, maior que a temperatura da outra face T2,
existirá transferência de calor ao longo do meio no sentido de T1 para T2;
T1
T2
Q
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Processo de Transferência de Calor por Condução
� Em condições experimentais verifica-se que o Fluxo de Calor ou a taxa
de calor por condução por unidade de área que atravessa um meio, ou
substância, é diretamente proporcional a diferença de temperatura do
meio:
( )12" TT
A
QQ −∝=
&&
� Entretanto, para duas substâncias diferentes, verifica-se que para uma
mesma diferença de temperatura , a taxa de transferência de calor é
diferente em cada substância;
� Por exemplo, para uma mesma diferença de temperatura, a taxa de
calor por condução no cobre será diferente da taxa de calor por condução
no alumínio;
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Processo de Transferência de Calor por Condução
� Em condições experimentais verifica-se também que o Fluxo de Calor ou
a taxa de calor por condução por unidade de área que atravessa um
meio, ou substância, é inversamente proporcional ao comprimento (L)
do meio:
LA
1 " ∝=&
&
� Dessa forma, para uma mesma substância , quanto maior for o
comprimento do meio (comprimento da direção do processo de
condução), menor será a taxa de condução de calor;
� Entretanto, para substâncias diferentes de mesmo comprimento verifica-
se que a condução de calor também é diferente, ou seja, a condução no
cobre e no alumínio serão diferentes para um mesmo comprimento;
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Processo de Transferência de Calor por Condução
� Esse fato comprova que a taxa de calor por condução por área ou
Fluxo de calor, depende de uma constante de proporcionalidade,
específica para cada substância, a qual é denominada condutividade
térmica , expressa pela notação k;
� A condutividade térmica corresponde a taxa de calor que a substância é
capaz de conduzir por unidade de comprimento por unidade de
temperatura, expressa em unidade W/m.K ;
( )L
TTk
A
QQ" 12 −==
&&
Lei de Fourier (estabelece que o fluxo de calor é
diretamente proporcional a temperatura e inversamente proporcional ao comprimento)
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Processo de Transferência de Calor por Condução
materialcondutividade
térmica (W/m.K)
prata 426
cobre 398
alumínio 237
ferro 80
água destilada 0,61
fibra de vidro padrão 0,046
espuma de poliestireno 0,033
ar atmosférico puro 0,026
polipropileno 0,25
Condutividade Térmica de Alguns Materiais a 300K
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Exemplo 1: Considerando uma sala contendo uma janela de vidro. A temperatura
na face interna da janela é de 20ºC (293K) e a temperatura na face externa é 10ºC
(283K). A sala e o ambiente externo estão separados por uma janela de vidro com
5mm (0,005m) de espessura e condutividade térmica igual a 1,4W/m.K. A janela de
vidro possui dimensões de 1m de altura por 0,5m de largura. Pede-se:
a) determine o fluxo de calor por condução que é transferido da sala para o
ambiente através da janela de vidro;
b) determine o calor por condução que é transferido da sala para o ambiente
através da janela de vidro;
K283K293 21 =>= TT
Condução de Calor em Placas Planas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
resolução:
a) determine o fluxo de calor por condução que é transferido da sala para o
ambiente através da janela de vidro;
( ) ( ) 212 W/m2800005,0
2932834,1 −=−=−=
L
TTk Q"&
b) determine o calor por condução que é transferido da sala para o ambiente
através da janela de vidro;
W14005012800 −=⋅⋅−== ,AQQ "&&
Condução de Calor em Placas Planas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Exemplo 2: Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m
de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de
25 cm de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 W/m.k
e a área das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das
paredes pode estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de
calor pelo piso e pelo teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído
da sala e a potência requerida para o condicionador de ar ( em HP ).
Condução de Calor em Placas Planas
m
mcmL
kmWk
kT
kT
3156 : sala
25,025
./14,0
15,295
15,313
2
1
××==
==
=
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
resolução:
a) Determinar a área total das paredes da sala;
b) Determinar o Calor por condução da sala
b) determinar a potência requerida pelo condicionador de ar, sabendo que 1HP
equivale a 746 W. ;
Condução de Calor em Placas Planas
( )L
TTAKQ 12.
−=&
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de placas planas, como mostrado abaixo, o processo de
condução de calor ao longo da placa pode ser visualizado em termos do
decremento de temperatura dT em função do incremento de comprimento
linear dx ao longo da placa
Q&
Condução de Calor em Placas Planas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Escrevendo a Lei de Fourier para a condução e introduzido a relação
entre os incrementos de temperatura e comprimento:
L
TTk
A
QQ 12"
−==&
&
� Reescrevendo para a taxa de calor na placa plana:
L
TTAkQ 12
−=&
Condução de Calor em Placas Planas
Equação da taxa de condução para uma placa plana
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de várias placas planas combinadas, pode-se determinar o
calor por condução através das placas utilizando a analogia com a
diferença de potencial elétrico;
� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em termos de
uma única fração para a diferença de temperatura:
( )12
TT
L
AkQ −=&
� Como o denominador da equação acima é expresso por constantes, essa
combinação de constantes equivale a resistência térmica da placa, ou
seja, a resistência a condução de calor;
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
( )12
1TT
Ak
LQ −=&
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Dessa forma, fazendo a analogia com a corrente elétrica, dada em função
de uma diferença de potencial elétrico (U) e uma resistência elétrica (R):
( )12
1TT
Ak
LQ −=&
� A resistência térmica da condução de calor em uma parede plana pode
ser interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico
( )12 1
UUR
i −=⇒=− 12 iRUU
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Considerando um sistema de 3 (três) placas planas combinadas
linearmente , submetidas em um dos lados a uma fonte de calor de
temperatura constante T1 e no lado oposto temperatura constante T4;
� Cada placa possui valores característico de comprimento (L1, L2 e L3) e
de condutividade térmica (k1, k2 e k3):
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q.
T
TT
1
23
4T
Q&
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� O taxa de calor por condução que atravessa a parede composta pode ser
obtido em cada uma das paredes planas individualmente:
( )121
11 TTL
AkQ −=&
( )232
22 TTL
AkQ −=&
( )343
33 TTL
AkQ −=&
11
112
Ak
LQTT
&
=−
22
223
Ak
LQTT
&
=−
33
334
Ak
LQTT
&
=−
ou
ou
ou
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Somando as diferenças de temperatura para todas as parcelas da taxa
de calor por condução na parede composta e isolando a taxa de
calor por condução:
( ) ( ) ( )33
3
22
2
11
1342312
Ak
LQ
Ak
LQ
Ak
LQTTTTTT
&&&
++=−+−+−
++=−
33
3
22
2
11
114
Ak
L
Ak
L
Ak
LQTT &
++
−=
33
3
22
2
11
1
14
Ak
L
Ak
L
Ak
L
TTQ&
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Reescrevendo em termos das resistências térmicas obtidas em analogia
as resistências elétricas:
( )321
14
33
3
22
2
11
1
14
RRR
TT
Ak
L
Ak
L
Ak
L
TTQ
++−=
++
−=&
� A equação acima demonstra que para a configuração de placas planas
combinadas linearmente , a resistência térmica equivalente das placas
(Req) corresponde a resistência elétrica de uma associação em série :
321
14
eq RRR
TT
R
TQ Total
++−=∆=&
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Considerando um sistema de 2 (três) placas planas combinadas
sobrepostas , submetidas em um dos lados a uma fonte de calor de
temperatura constante T1 e no lado oposto temperatura constante T2;
� Os comprimentos das placas são iguais (L1 e L2), entretanto, cada placa
possui condutividade térmica diferente (k1 e k2):
Q&
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� A taxa de calor por condução que atravessa a parede composta pode ser
obtido em cada uma das paredes planas individualmente:
( )121
111 TT
L
AkQ −=&
( )122
222 TT
L
AkQ −=&
11
1112
Ak
LQTT
&
=−
22
2212
Ak
LQTT
&
=−
ou
ou
� A taxa de calor por condução total na parede composta é dada por:
21 QQQ &&& +=
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Substituindo as equações da taxa de calor em cada parede e colocando a
diferença em evidência na equação:
( ) ( ) ( )122
22
1
1112
2
2212
1
1121 TT
L
Ak
L
AkTT
L
AkTT
L
AkQQQ −
+=−+−=+= &&&
� Introduzindo a resistência térmica para cada placa plana, como obtido
através da analogia com resistências elétricas:
Rk A
LL
k A 11 ==
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Substituindo as relações de resistência térmicas para cada placa:
( ) ( )1221
122
22
1
1121
11 TT
RRTT
L
Ak
L
AkQQQ −
+=−
+=+= &&&
� A equação acima demonstra que para a configuração de placas planas
combinadas sobrepostas , a resistência térmica equivalente das placas
(Req) corresponde a resistência elétrica de uma associação em pararelo :
( )1221
Totaleq
11
1
TTRR
TR
Q −
+=∆
=&
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Combinação de Placas Planas via Método das Resistên cias Térmicas
exemplo de cálculo de condução de calor via resistências tér micas
Considerando uma parede composta por 7 partes (enumeradas de a até g), isolada
termicamente na parte superior e inferior, com temperaturas e dimensões
apresentadas na figura abaixo. A largura da parede é de 10m. Determine a taxa de
calor por condução:
30cm 20cm 30cm
1000K
300K
Q.
120cm
20cm
20cm
40cm
60cm
W/m.K1
W/m.K2
W/m.K5,0
W/m.K20
W/m.K30
W/m.K40
W/m.K80
=
======
g
f
e
d
c
b
a
k
k
k
k
k
k
k
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de um tubo formado por um cilindro vazado, como mostrado
abaixo, considerando que a parede interna possui raio interno r1 e esta a
uma temperatura T1, maior que a temperatura da parede externa T2 que
possui raio externo r2.
Condução de Calor em Tubos Cilíndricos
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Condução de Calor em Tubos Cilíndricos
� Escrevendo a Lei de Fourier para a taxa de calor por condução,
introduzindo os incrementos de temperatura e de posição radial, e
também a área da parede interna do tubo:
dr
dTLrk
dr
dTAk
dx
dTAkQ 2 π===&
� Separando as variáveis posição radial e temperatura na equação acima,
em função dos respectivos incrementos:
dTLkdrr
Q 2 1
π=&
LrA 2 π=
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Condução de Calor em Tubos Cilíndricos
� Integrando ambos os lados da equação:
∫∫ = dTLkdrr
Q 2 1
π&
( ) ( )1212 2 lnln TTLkrrQ −=− π&
( )121
2 2 ln TTLkr
rQ −= π&
� Dessa forma, a taxa de calor em um tubo cilíndrico será dado por:
( )12
1
2
ln
2 TT
r
rLk
Q −= π&
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de várias tubos cilíndricos combinadas, pode-se determinar o
calor por condução através de cada tubo utilizando a analogia com a
diferença de potencial elétrico;
� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em tubos
cilíndricos, conforme obtida anteriormente:
� Como o termo fora do parênteses na equação acima é expresso por
constantes, essa combinação de constantes equivale a resistência
térmica do tubo cilíndrico, ou seja, a resistência a condução de calor;
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
( )12
1
2
ln
2 TT
r
rLk
Q −= π&
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Dessa forma, fazendo a analogia com a corrente elétrica, dada em função
de uma diferença de potencial elétrico (U) e uma resistência elétrica (R):
� A resistência térmica da condução de calor em um tubo cilíndrico pode
ser interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico
( )12 1
UUR
i −=⇒=− 12 iRUU
( )⇒−= 12
1
2
ln
2 TT
r
rLk
Qπ
&
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
Lk
r
r
R 2
ln 1
2
π=
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
Q&
� Considerando um sistema de 3 (três) tubos cilíndricos combinados
coaxialmente , submetidos internamente a uma fonte de calor de
temperatura constante T1 e no lado externo temperatura constante T4;
� Cada tubo cilíndrico possui valor característico de raio (r1, r2 e r3) e de
condutividade térmica (k1, k2 e k3):
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� O taxa de calor por condução que atravessa o tubo composto pode ser
obtido em cada uma dos tubos cilíndricos individualmente:
ou
ou
ou
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
( )12
1
2
1 ln
2 TT
r
rLk
Q −= π&
( )23
2
3
2 ln
2 TT
r
rLk
Q −= π&
( )34
3
4
3 ln
2 TT
r
rLk
Q −= π&
1
2
112 ln
2 r
r
Lk
QTT
π&
=−
ln 2 2
3
223 r
r
Lk
QTT
π&
=−
ln 2 3
4
334 r
r
Lk
QTT
π&
=−
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Somando as diferenças de temperatura, para todas as parcelas da taxa
de calor por condução no tubo composto e isolando a taxa de
calor por condução:
( ) ( ) ( )3
4
32
3
21
2
1342312 ln
2 ln
2 ln
2 r
r
Lk
Q
r
r
Lk
Q
r
r
Lk
QTTTTTT
πππ&&&
++=−+−+−
++
−=
Lk
r
r
Lk
r
r
Lk
r
rTT
Q
2
ln
2
ln
2
ln
3
3
4
2
2
3
1
1
2
14
πππ
&
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Reescrevendo em termos das resistências térmicas:
� Para a configuração de tubos combinados coaxialmente , a resistência
térmica equivalente (Req) corresponde a de uma associação em série :
321
14
eq RRR
TT
R
TQ Total
++−=∆=&
321
14
3
3
4
2
2
3
1
1
2
14
2
ln
2
ln
2
ln
RRR
TT
Lk
r
r
Lk
r
r
Lk
r
rTT
Q++
−=
++
−=
πππ
&
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
Lk
r
r
R 2
ln 1
2
π=
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
exemplo de cálculo de condução de calor via resistências tér micas
Considerando um tubo cilíndrico formado pela combinação de três tubos cilíndricos
dispostos coaxialmente. As paredes dos tubos possuem raios, em ordem
crescente de dentro para fora, de 15, 25, 45 e 50cm. A temperatura interna no tubo
é de 600K e a temperatura externa é de 300K. O comprimento de todos os tubos é
de 10m. Determine a taxa de calor por condução:
W/m.K1,0
W/m.K2,0
W/m.K5,0
3
2
1
=
=
=
k
k
k
Q&
Combinação de Tubos via Método das Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de uma esfera oca, como mostrado abaixo, considerando que
a parede interna possui raio interno r1 e esta a uma temperatura T1, maior
que a temperatura da parede externa T2 que possui raio externo r2.
Condução de Calor em Cascas Esféricas
T2T1
r2r1
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Escrevendo a Lei de Fourier para a taxa de calor por condução,
introduzindo os incrementos de temperatura e de posição radial, e
também a área da parede interna da esfera:
dr
dTrk
dr
dTAk
dx
dTAkQ 4 2π===&
� Separando as variáveis posição radial e temperatura na equação acima,
em função dos respectivos incrementos:
dTkdrr
Q π 4 1
2
=&
2 4 rA π=
Condução de Calor em Cascas Esféricas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Integrando ambos os lados da equação:
∫∫ = dTkdrr
Q 4 1
2
π&
( )122112
4 11
11
TTkrr
Qrr
Q −=
−=
−−− π&&
� Dessa forma, a taxa de calor por condução em uma esfera será dado por:
( )12
21
11
4 TT
rr
kQ −
−
= π&
Condução de Calor em Cascas Esféricas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Para o caso de várias esferas combinadas, pode-se determinar o
calor por condução através de cada casca esférica utilizando a analogia
com a diferença de potencial elétrico;
� Reescrevendo a Lei de Fourier para a condução de calor em cascas
esféricas, conforme obtida anteriormente:
� Como o termo expresso pela fração na equação acima é expresso por
constantes, essa combinação de constantes equivale a resistência
térmica da casca esférica, ou seja, a resistência a condução de calor;
( )12
21
11
4 TT
rr
kQ −
−
= π&
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Dessa forma, fazendo a analogia com a corrente elétrica, dada em função
de uma diferença de potencial elétrico (U) e uma resistência elétrica (R):
� A resistência térmica da condução de calor em uma esfera pode ser
interpretada como a resistência elétrica em um circuito elétrico
( )12 1
UUR
i −=⇒=− 12 iRUU
( )12
21
11
4 TT
rr
kQ −
−
= π&
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas
k
rrR
4
11
21
π
−
=
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Considerando um sistema de 2 (duas) cascas esféricas combinadas
internamente , submetidos internamente a uma fonte de calor de
temperatura constante T1, e no lado externo, temperatura constante T3;
� Cada casca esférica possui valores característicos de raio (r1 e r2) e de
condutividade térmica (k1 e k2):
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� A taxa de calor por condução que atravessa cada casca esférica pode ser
obtido em cada uma das cascas individualmente:
ou
ou
( )12
21
1 11
4 TT
rr
kQ −
−
= π&
( )23
32
2 11
4 TT
rr
kQ −
−
= π&
1
2112 4
11
k
rrQTT
π
−
=− &
2
3223 4
11
k
rrQTT
π
−
=− &
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Somando as diferenças de temperatura, para todas as parcelas da taxa
de calor por condução nas cascas esféricas e isolando a taxa de
calor por condução:
( ) ( )2
32
1
212312 4
11
4
11
k
rrQ
k
rrQTTTT
ππ
−
+
−
=−+− &&
2
32
1
21
13
4
11
4
11
k
rr
k
rr
TTQ
ππ
−
+
−
−=&
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas
Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
� Reescrevendo em termos das resistências térmicas:
� Para a configuração de cascas esféricas combinadas , a resistência
térmica equivalente (Req) corresponde a de uma associação em série :
21
13
eq RR
TT
R
TQ Total
+−=∆=&
21
13
2
32
1
21
13
4
11
4
11 RR
TT
k
rr
k
rr
TTQ
+−=
−
+
−
−=
ππ
&
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Introdução a Condução
Termodinâmica Aplicada [Transferência de Calor]Universidade de Taubaté 2013
exemplo de cálculo de condução de calor via resistências tér micas
Considerando uma esfera formada pela combinação de duas esferas, uma dentro
da outra. As paredes das esferas possuem raios, em ordem crescente de dentro
para fora, de 200, 210 e 215cm. A temperatura interna na esfera é de 350K e a
temperatura externa é de 300K. Determine a taxa de calor por condução:
W/m.K1,0
W/m.K1
2
1
=
=
k
k
Combinação de Cascas Esféricas via Resistências Tér micas