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Plan de Nivelación Académica

Autores:Orlando Zúñiga - Ramiro Cuero G.

Física

TALENTOS

Coordinador: Orlando Zúñiga Ph. D.

ventosvibratorios y ondulatorios

Una oscilación (o vibración) corresponde a un movimiento periódico; mien-tras una onda se genera cuando una oscilación se propaga en el espacio (se des-plaza).

Por ejemplo para una partícula en un movimiento circular uniforme: ω es constante y la posición angular θ=ω t, y se generan las ecuaciones presentadas en la figura 1.1.

Figura 1.1. Posición de una partícula en movimiento circular uniforme

Lección 1

E

18Un movimiento rectilíneo con este comportamiento se denomina movimiento

vibratorio armónico simple o sinusoidal, donde:

Para realizar una oscilación equivalente a una vuelta:

Se escribe el tiempo de una oscilación con letra mayúscula y se denomina periodo (T).

De manera general cuando existe una posición angular diferente de cero (ϕ ≠ 0) se tiene:

Donde: (r) es la amplitud (A) del movimiento: máxima elongación.(T= 2π/ω) es el periodo: tiempo que se gasta en efectuar una oscilación

completa.(f= 1/T = ω/2π) es la frecuencia: número de oscilaciones completas en

una unidad de tiempo (por ejemplo las oscilaciones por segundo de tiempo se denominan herz, Hz).

Desplazamiento de la gráfica cuando la posición inicial no es cero= - ϕ/ωElongación (x): Distancia de alejamiento de un cuerpo desde su posición de

equilibrio.

Ejemplo 1Si un resorte oscila con la ecuación y= 3 sen 2 t:Calcular amplitud, periodo, frecuencia, desplazamiento, velocidad máxima y

aceleración máxima (unidades en cm y s).R/ Se debe comenzar comparando la ecuación con la forma general:y= r sen (ω t+ϕ), entonces: r=3, ω =2 y ϕ = 0.

Convenio Universidad del Valle - Alcaldía de Santiago de Cali

19Por lo tanto:

Amplitud A= r = 3 cm.Periodo T= 2π/ω = (2π/2) s= π sFrecuencia f= 1/T = 1/(π s) = (1/π) Hz

Desplazamiento = -ϕ/ω =-0/(2rad/s)=0, significa que la gráfica no está desplazada y comienza en cero.

Velocidad máxima = rω = (3 cm)(2 rad/s) = 6 cm/s

Aceleración máxima = rω2 = (3 cm)(2 rad/s)2 = 12 cm/s2

1.1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

El movimiento vibratorio armónico simple es un movimiento generalmente rectilíneo basado en oscilaciones o vibraciones periódicas en el que la aceleración es proporcional a la posición o desplazamiento pero de sentido contrario a ella.

Como:

Se demuestra que la aceleración es proporcional a la posición, pero con un coeficiente negativo (-ω 2), es decir, la aceleración es contraria a la posición.

Figura 1.2. Gráfica de la función y = 3 sen 2 t.

Plan de nivelación académica Talentos FÍSICA

20Ejemplo 2

Deducir la ecuación de M.A.S. para un sistema masa-resorte:

R/ Para un resorte F = - kx.Pero como la fuerza también está dada porF = ma = - kx, entonces:

Si el resorte oscila en un M.A.S.

Figura 1.3. Ejemplo de Movimiento Armonico Simple


211.2 ONDAS

Una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad en un medio. Las ondas tienen un movimiento oscilatorio a través de la materia (ondas mecánicas como el sonido) o en ausencia de ésta (ondas electromagnéticas como la luz).

Existen ondas longitudinales (el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda), transversales (se caracteriza porque sus oscilaciones ocurren perpendiculares a la dirección de propagación) y en tres dimensiones.

Figura 1.4. Ondas longitudinales.

Figura 1.5. Ondas transversales.

Para una onda que se desplaza en x la velocidad de propagación es , donde λ es la longitud de onda: distancia mínima entre dos puntos semejantes en una onda.

Por lo tanto:


22

Figura 1.6. Longitud de onda (λ) y amplitud (A).

La ecuación de una onda es donde A es la am-plitud y t el tiempo. Si la fuente emite ondas en un M.A.S:

Siendo x la posición en cualquier punto. Como:

Entonces:

Por lo tanto:

Y si se define una variable k= 2π/λ:

Ecuación que facilita el cálculo de la amplitud (A), el periodo (T=2π /ω),

la frecuencia (f=1/T), el desplazamiento (-kx/ω), etcétera.

1.3 CUERDAS

Imaginemos una cuerda de una guitarra, la cual tiene sus extremos fijos. Cuan-do creamos una onda en la cuerda, ésta onda debe cumplir unas condiciones en la forma de su vibración para mantener dichos extremos fijos. Por ejemplo una


23cuerda entre dos nodos puede vibrar cada λ/2 formando un huso (una cresta o media onda).

Como: entonces: de ahí las frecuencias asociadas a las vibraciones de una cuerda con extremos fijos:

Figura 1.7. Armónicos en un cuerda con extremos fijos.

Se dice que una cuerda con huso tiene un armónico (y su f=v/(2L) es la deno-minada frecuencia fundamental), con dos husos se conoce como segundo armó-nico y así sucesivamente.

Ejemplo 3En una cubeta de ondas una esfera movida por un motor toca el agua en un

punto 10 veces por segundo generando ondas circulares. En la cubeta la veloci-dad de propagación de las ondas depende de la profundidad del agua. Sobre las ondas generadas así, podemos afirmar que la frecuencia es independiente de la profundidad (la frecuencia depende del motor) pero su longitud de onda sí depen-de de la profundidad.

Si su velocidad es 10 cm/s, la longitud de onda será:

Es decir, 1 cm.


241.4 SONIDO

El sonido se produce por la vibración de un cuerpo en movimiento periódico. Por ejemplo un sonido con una frecuencia entre 16 Hz y 20000 Hz puede ser escuchado por un humano común.

La intensidad del sonido (I) hace referencia a la cantidad de energía (E) por unidad de tiempo que se transporta en una onda por unidad de superficie; o mejor, la cantidad de potencia (Po) por unidad de superficie:

Para una onda en tres dimensiones con forma esférica se calcula la intensidad del sonido según la ecuación del área de una esfera:

Donde r correspondería a la distancia desde el objeto emisor hasta el cuerpo receptor (por ello entre más cerca se esté del emisor, se escuchará con más inten-sidad el sonido).

El tono de un sonido aumenta con la frecuencia de la onda y el timbre depen-de del armónico.

1.5 EFECTO DOPPLER

Si la fuente (F) tiene una frecuencia fF y se encuentra en reposo, respecto al observador (O) y la velocidad (c) de la onda en el medio es:

Entonces:

Si F se aleja de O, en un t estará en F’ y:


25

Por lo tanto tendrá una nueva longitud de onda λ‘ respecto al observador:

Ahora si el observador se acerca a la fuente con velocidad vO las ondas se aproximan al observador con velocidad relativa c+vO. De aquí se deduce la fre-cuencia de la onda para el observador fO:

Figura 1.8. Efecto Doppler: la fuentecada vez se aleja más del observador


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Si se incluye el movimiento de la fuente:

Se logra la ecuación general para el Efecto Doppler:

Convenciones:Para la aplicación de la ecuación general del Efecto Doppler se debe tener

presente la convención de signos:c siempre es positiva (+)vO es positiva (+) si el observador (O) se dirige a la fuente (F)vF es negativa (-) si la fuente (F) se acerca al observador (O)

Ejemplo 4Un motociclista alega a un Policía de Tránsito, que él se pasó el semáforo en

rojo porque vio la luz verde debido a que viajaba muy rápido ¿Físicamente será esa una explicación válida?

R/ Conociendo las longitudes de onda de los colores rojo (λr= 6x10-7 m) y verde (λv= 5x10-7 m) y la velocidad de la luz (c=3x108 m/s), se tiene:

Figura 1.9. Efecto Doppler: el observador cada vez se acerca más a la fuente


27

Aplicando la ecuación general del Efecto Doppler:

Quiere decir que para observar la luz verde, siendo roja, el motociclista ten-dría que viajar a 60000 km/s; entonces si realmente la vio verde es porque tiene problemas de daltonismo.

Ejercicios propuestos1) Para un objeto ubicado en la Línea Ecuatorial de la Tierra (radio r ≈ 6370

km), hallar la amplitud, el periodo, la frecuencia, el desplazamiento, la velocidad máxima y la aceleración máxima.

2) La variación de la temperatura (Θ ) del día en una ciudad del trópico está caracterizada por:

Con Θ en ºC y t en horas a partir de la hora cero del día, según dicha ecuación:A. Trace la gráfica de Θ en función del tiempo t.B. ¿Cuál es la temperatura a las 8:00 am?, ¿Cuál es la temperatura a las 12:00 m?C. ¿A qué hora Θ = 23 º C?D. ¿Cuáles son las Θ máxima y Θ mínima del día? ¿A qué hora se alcanza

cada una?


283) Un péndulo es un sistema físico ideal constituido por un hilo inextensible

y de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente con un periodo que no depende de la masa del objeto oscilante pero si de la longitud del péndulo y la gravedad. Investigue y/o deduzca la ecuación de M.A.S. para un sistema péndulo simple (cuando θ≤10º):

Figura 1.10. Péndulo simple.

4) Una cuerda entre dos nodos vibra con f = 200 Hz y v= 100 m/s:

A. ¿Cuál es la distancia entre dos nodos?B. Si la cuerda es de longitud 2,0 m ¿cuántos husos se visualizarán?

5) El nivel de intensidad del sonido medido en decibeles (dB) se define por:

Donde I es la intensidad del sonido en vatios/cm2 e I0 =1x10-16 W/cm2 es la in-tensidad del sonido más débil que pueda oírse (0 dB) complete la siguiente tabla:


29

R/ b=120; 90; 70; 50; 20

5) Una fuente de sonido con una frecuencia de 1000 Hz se acerca al observa-dor con una velocidad de 170 m/s, mientras el observador permanece inmóvil, relativamente. Calcule la frecuencia con la que el observador capta el sonido (utilice v= 340 m/s para la velocidad del sonido propagado en el aire).

R/ 2000 Hz

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30

Finalmente se origina la Cordillera Occidental (≈50 millones de años) resultado de la dinámica de la Placa Marítima del Pacífico y el flanco oc-cidental de la Cordillera Central. Así se origina el valle geográfico del río Cauca.

TEMAS DE PROFUNDIZACIÓN: TÓPICOS DE FÍSICA AMBIENTAL

Fuerzas lsostáticas y formación de cordilleras en ColombiaLa primera cordillera en formarse en Colombia es la Central (≈250 mi-

llones de años) a partir del choque tectónico entre la Placa Marítima y la Continental.

Después se origina la Cordillera Oriental (≈100 millones de años) resulta-do del choque tectónico de la placa de la Cordillera Central y el Precámbrico de Venezuela.


Es la rama de la física que estudia el comportamiento y propagación de la luz.La velocidad de la luz en el vacío, denotada con la letra c, es una de las cons-

tantes más importantes de la naturaleza, se aproxima a 300000 km/s, lo cual sería casi como recorrer la distancia de la Tierra a la Luna en un segundo. La velocidad de la luz es constante no importa si te diriges a ella o te alejas. La mejor descrip-ción actualmente de la luz es que ella tiene un comportamiento dual de partícula y de onda, dependiendo del experimento que se realice.

Una luz que incide sobre un cuerpo es reflejada en parte. Cuando todas las frecuencias son reflejadas el cuerpo será blanco (si la reflexión es grande), gris (si la reflexión es mediana) y negro (si la reflexión es nula). Cuando algunas frecuen-cias se reflejan mejor que otras se tiene la sensación de color.

Cada punto de un frente de onda actúa como una nueva fuente de onda, enton-ces se dice que la luz se difracta.

Figura 2.1. Difracción de un frente de onda

ptica

Lección 2

Ó

322.1 LEYES DE SNELL

En un rayo de luz que incide sobre una superficie traslúcida presenta el si-guiente comportamiento:

El ángulo de llegada del rayo incidente con respecto a la normal es igual al ángulo de salida con respecto a la normal del rayo reflejado. El rayo emergente es paralelo al incidente, aunque un poco desplazado.

Figura 2.2. Trayectoria de un haz de luz incidente

El índice de refracción es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío, aproximada a la del aire (c), y la velocidad de la luz en el medio (v), es decir, n=c/v. Algunos valores típicos son:

n=1,5 aire - vidrion =4/3 aire - aguan =2,4 aire – diamante (por su alto índice de refracción da origen a múltiples

destellos).

Cuando la luz penetra de un medio menos denso (ópticamente) a uno más denso r < i, y se acerca a la normal. Cuando la luz penetra de un medio más denso a uno menos denso r > i, y se aleja de la normal.

Cuando sen rc = n sen 90º; rc se denomina ángulo de refracción límite o críti-co. Si i > rc éste no se refracta y por lo tanto se refleja totalmente.


33Según la teoría ondulatoria de la luz:

Donde las velocidades dependen de cada uno de los medios.Si v’= v1= c en el vacío ≈ c en el aire; v’’= v2; para el rayo incidente i

=i1 y para el rayo refractado i’ =i2 , entonces:

Figura 2.3. Rayo de luz refractado


34Ejemplo 1Un rayo de luz en el agua (n=4/3) incide sobre un vidrio (n=1,6) con

i1=37º ¿Cuál es el ángulo de refracción (i2) dentro del vidrio?R/ Utilizando:

2.2 ESPEJOS

En un espejo plano la imagen de la mano derecha es una mano izquierda de-bido a la simetría de la imagen, y si un objeto gira a la derecha la imagen gira a la izquierda.

En los espejos esféricos un cuerpo A en el eje de simetría que se proyecta con un ángulo (θ ) se refleja haciendo un ángulo i respecto a la normal CM y corta al eje en A’ que hace un ángulo θ’ con el eje.

Figura 2.4. Formación de una imagen en un espejo plano

Figura 2.5. Formación de una imagen en un espejo esférico


35

Entonces θ + θ ’ = 2 α , como:

Siendo R el radio del espejo esférico, y sustituyendo, se obtiene:

Ecuación que es válida para todos los rayos que salen de A y convergen en A’.Si A está en el infinito sobre el eje, su imagen A’ se denomina foco y estará

situada a la distancia s’= f del vértice V. Entonces: s = ∞, mientras s’ = f.

Convenciones:Dibujando siempre la luz de izquierda a derecha, donde se ubica el espejo:s y s’ son positivos (+) si están a la izquierda del espejo.La dimensión del objeto (y) y la dimensión de su imagen reflejada (y’) son

positivos (+) si están por encima del eje de simetría.f y el radio de curvatura R son positivos (+) si C está a la izquierda.


36El aumento de un espejo se analiza de la siguiente manera:Una flecha AB=y a una distancia s se refleja como A’B’=y’, donde:

2.3 LENTES

En una lente delgada las normas de formación de imágenes son como en los espejos; sólo hay que incluir la refracción.

Un punto A en el eje de simetría a una distancia s de una lente esférica de radio R y centro de curvatura C que separa dos medios de índices n y n’, se proyecta con un ángulo θ e incide sobre la superficie de la lente con un ángulo i y se re-

Figura 2.6. Formación de una imagen en aumentada en un espejo

Figura 2.7. Formación de una imagen en una lente


37fracta con un ángulo r y se corta en A’ con el eje de simetría a una distancia s’. De las Leyes de Snell sabemos que:

Como i= α + θ entonces:

Y como α = r+θ’, entonces:

Como también se tiene que:

Entonces:

Ecuación que es válida para todos los rayos que salen de A y convergen en A’.


38Convenciones:Dibujando siempre la luz de izquierda a derecha, donde se ubica el lente:s es positiva (+) si está a la izquierda de la lente.s’ es positiva (+) si está a la derecha de la lente.La dimensión del objeto (y) y la dimensión de su imagen reflejada (y’) son

positivos (+) si están por encima del eje de simetría.

El radio de curvatura R es positivo (+) si C está a la derecha.

La imagen de una lente se resume en la aplicación de la ecuación:

sólo que el objeto para una segunda superficie es la imagen formada por la primera superficie, y la ecuación que se obtiene, finalmente, es similar a la de los espejos esféricos:

Figura 2.8. Forma de algunos lentes


39El cristalino del ojo humano se comporta como una lente biconvexa elástica,

es decir, convergente y que da sobre la retina una imagen real e invertida y muy pequeña, el nervio óptico transmite dicha imagencita al cerebro, el cual la inter-preta como una imagen derecha.

Un miope por ejemplo tiene ojos muy convergentes y el punto próximo (P.P. distancia mínima de visión) está muy cerca; mientras el punto remoto (P.R. dis-tancia máxima de visión) tiene un máximo, de ahí en adelante la imagen se torna borrosa. Para corregir hay que disminuir la convergencia utilizando una lente divergente.

Un hipermétrope tiene ojos poco convergentes por lo tanto la imagen de un objeto muy lejano se forma detrás de la retina, el ojo puede ver nítido de lejos pero el punto próximo está alejado. Para corregir se le adapta una lente conver-

Figura 2.9. Esquema de mecanismo de visión de un ojo humano

Figura 2.10. Aplicación de la óptica en la corrección de la miopía


40gente para que el P.P. se aproxime a 25 cm, normal para una persona de unos 30 años.

El astigmatismo sucede cuando la cornea se deforma y pierde su esfericidad; para corregir la imagen se formulan lentes tóricos.

Ejercicios propuestos

1) La frecuencia de la luz no varía al pasar de un medio a otro ¿Cuál es la lon-gitud de onda λ’ de la luz en un medio de n=1,6 si en el vacío λ=0,64 μm?

2) En un espejo cóncavo de R = 20 cm se coloca un objeto de 2,0 cm de altura a 30 cm del espejo sobre el eje de simetría ¿Cuál es el tamaño de la imagen pro-yectada y dónde estará?

3) Un objeto de 2,0 cm se encuentra a 60 cm de una lente convergente de f=20 cm ¿Cuál es el tamaño de la imagen proyectada y dónde estará?

4) Si la distancia máxima de visión (punto remoto P.R.) de un miope es de 50 cm ¿Cuál es el foco (f) del lente que debe usar la persona para ver muy bien de lejos (P.R.≈∞)?


Figura 2.11. Aplicación de la óptica en la corrección de la hipermetropía


La materia (sólida, líquida y gaseosa) está formada por átomos o moléculas en constante movimiento. El calor (Q) es energía cinética microscópica (debida al movimiento de moléculas individuales) transferida entre dos cuerpos en interac-ción que tengan diferencia de temperatura:

Si T1> T0, entonces hay flujo de energía de B hacia A, siempre del más caliente al más frío. Si T1 = T0, no hay trasferencia de calor: se dice que los cuerpos están en equilibrio térmico.

El calor es energía en tránsito debido a una diferencia de temperatura entre dos cuerpos que interactúan: el calor no se contiene, se transfiere.

3.1 TEMPERATURA

Como el calor es energía tiene por unidad en el Sistema Internacional de Uni-dades el joule (J); sin embargo, se utiliza la temperatura como indicador de la energía interna de los cuerpos. La temperatura nos da la idea de lo que se consi-dera caliente o frío con respecto a un cuerpo.

La temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a un tipo de escala específico, en el Sistema Internacional de Unidades se aceptan las escalas kelvin (llamada temperatura absoluta) y los grados celsius (centígrados).

Figura 3.1. Recipientes cercanos a diferente temperatura

ermodimámica

Lección 3

T

42

La temperatura generalmente se mide utilizando como principio el equili-brio térmico. Si un cuerpo patrón está en equilibrio térmico con un cuerpo A y también está en equilibrio térmico con un cuerpo B, entonces A y B estarán en equilibrio térmico: ésta es denominada la Ley Cero de la Termodinámica.

Se utiliza como propiedad de medición la dilatación térmica (expansión – contracción): cuando se transfiere calor a un cuerpo las moléculas de éste vibran con mayor rapidez haciendo que el cuerpo aumente su tamaño.

La variación de la longitud (∆ l) depende de la longitud inicial (li) y del incremento de la temperatura (∆T), así:

Donde α es el llamado coeficiente de dilatación lineal del material. También se puede estimar el coeficiente de dilatación para dos (β=2α) y tres dimensiones (γ=3α).

Para una lámina del mismo material el incremento de la superficie (∆S) está dada por:

Figura 3.2. Escalas de temperatura

Figura 3.3. Esquema de la dilatación térmica en una dimensión


43Y para un objeto volumétrico el incremento del volumen (∆V) está dado

por:

Algunos valores típicos de α son:α del vidrio = 9x10-6ºC-1; α del cobre = 16x10-6ºC-1

α del aluminio = 24x10-6ºC-1; α del mercurio = 60x10-6ºC-1

Ejemplo 1¿Cuál será el área de una placa de acero a 100 ºC si a 0 ºC mide 100,00 cm2?R/ El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12x10-6 ºC-1. Entonces:

Aquí se observa que los valores de α son relativamente bajos y por lo tanto no se generan cambios bruscos de tamaño.

3.2 CALORIMETRÍA

Para hacer cálculos termodinámicos se puede trabajar el calor en joules o en calorías.

Una caloría (cal) es la cantidad de calor que hay que suministrar (extraer) a 1,0 g de agua para aumentar (disminuir) su temperatura en 1,0 ºC (1 cal=4,186 J).

Cuando se le suministra calor a un cuerpo, normalmente éste aumenta su tem-peratura. Hay cuerpos que necesitan absorber más calor que otros para realizar un mismo cambio de temperatura. Así, se define calor específico (Cesp) de una sustancia como el calor aplicado a 1,0 g para aumentarle la temperatura en 1,0ºC. De lo anterior se obtiene:

Algunos valores usados de calor específico se presentan a continuación:Cesp del agua = 1,0 cal/gºC;Cesp de la leche = 0,93 cal/gºC;Cesp del aire = 0,24 cal/gºC;Cesp del aluminio = 0,22 cal/gºC;Cesp del cobre ≈ Cesp del hierro ≈ 0,10 cal/gºC


44Se denomina calor latente a la cantidad de calor que se suministra a una sus-

tancia para que realice un cambio de fase (por ejemplo de hielo a agua líquida) sin que exista un cambio de temperatura.

Figura 3.4. Temperatura vs. Calor, para el agua

3.3 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

La energía cinética interna de los cuerpos puede generar choques entre las moléculas y transferir dicha vibración: este proceso se denomina conducción. Si se toca un cuerpo de mayor temperatura, la energía cinética puede transferirse a nuestro cuerpo generando la sensación de quemazón; esa sensación de caliente o frío depende del valor de conductividad térmica (λ) del material y no necesaria-mente de la diferencia de temperatura. Algunos valores comúnmente usados son:

λ del cobre = 0,92 cal/cm.s.ºC;

λ del acero = 0,12 cal/cm.s.ºC;

λ del concreto = 0,002 cal/cm.s.ºC;

λ del agua = 0,0014 cal/cm.s.ºC;

λ de la madera = 0,0002 cal/cm.s.ºC;

λ de la aire = 0,00006 cal/cm.s.ºC

La convección es la transferencia de energía calorífica por traslación de partí-culas que tienen energía cinética, principalmente fluidos que se mueven y arras-tran con ellos la energía de sus moléculas en movimiento.

La tercera y última forma de transferencia de calor es la radiación de on-das electromagnéticas. Todas las sustancias irradian calor (una forma de ondas


45electromagnéticas), pues, la materia no puede estar a 0 K (Tercera Ley de la Termodinámica: podemos aproximarnos al cero absoluto – 0 K – tanto como queramos, pero no es posible alcanzarlo). La intensidad de la radiación depende de la temperatura absoluta del emisor. Los cuerpos oscuros (negros) son buenos para absorber energía radiante (se calientan más rápido), pero también son bue-nos emisores de energía radiante (se enfrían más rápido), todo depende de los cuerpos que haya a su alrededor (si emiten más que él, el negro absorbe; si emiten menos, el negro se enfría).

3.4 LEYES DE LOS GASES

A temperatura constante el volumen es inversamente proporcional a la pre-sión.

A presión constante el volumen es directamente proporcional a la temperatu-ra.

Entonces:

Utilizando una constante de proporcionalidad k:

Como el volumen es proporcional al número de moles n, entonces k=nR, sien-do R la llamada constante de los gases:

Y la ecuación de estado para los gases perfectos o ideales, queda:

Donde R= 0,082 (atm.L)/(mol.K).

3.5 ENERGÍA INTERNA

Un sistema puede efectuar o recibir trabajo (W) y también puede entregar o recibir calor (Q) del exterior; el trabajo y el calor son los medios de transferir energía, son energías en transición.

Si se define la cantidad de energía de un sistema por un nivel inicial arbitrario denominado energía interna (U1), entonces en un estado 2: U2=U1+W-Q.


46Convenciones

El trabajo (W) hecho por el sistema es positivo (+); el trabajo (W) hecho sobre el sistema es negativo (-).

El calor (Q) que entrega el sistema es negativo (-); el calor (Q) que recibe el sistema es positivo (+).

Así:

Si el sistema es aislado (no hay intercambio de energía con el exterior) la energía interna (U) es constante: ∆U= 0 =Q-W: ésta es la Primera Ley de la Termodinámica.

Proceso cíclicoEl sistema vuelve a su estado inicial ∆U= 0; Q=W.

Proceso adiabáticoNo hay intercambio de calor con el exterior, es decir Q=0; ∆U= -W.

Proceso isócoroEs un proceso a volumen constante, en consecuencia el trabajo W =0, porque

W =P(∆V).Entonces: ∆U= Q

Proceso isobáricoEs un proceso a presión constante, W =P(∆V)=P(V2-V1).Entonces ∆U=Q-W=Q-P(V2-V1).

Proceso isotérmicoEs un proceso a temperatura constante en consecuencia la energía interna no

cambia. En un gas perfecto: U2=U1 , por lo tanto: ∆U=0=Q-W; y Q=W.

Ejemplo 21cm3 de agua se transforma en 1671 cm3 de vapor cuando hierve a presión

atmosférica p=1x105 N/m2. ¿Cuál es el incremento de su energía interna?R/ El trabajo que el sistema hace está dado por:

El calor en el sistema es el calor latente de transformación de líquido a gaseo-so:

Así, se puede determinar el cambio de energía interna:


47La Segunda Ley de la Termodinámica tiene como primer enunciado: “el calor

fluye espontáneamente de un foco más caliente a un foco más frío, y no al revés”; y como segundo enunciado: “no es posible transformar el calor totalmente en trabajo”.

3.6 LA MÁQUINA DE CARNOT

Todas las máquinas reversibles responden a la misma ecuación de máximo rendimiento (R):

Donde Qc es el calor del foco caliente y Qf es el calor del foco frío.La razón entre los calores Qf / Qc es igual a la razón entre las temperaturas Tf

/ Tc. Así que también:

Entonces el valor del rendimiento (R) siempre es inferior a 1,0; a no ser que la Tf = 0 K, lo cual no es posible según la Tercera Ley de la Termodinámica.


1) Una barra de aluminio de 10,00 cm y 38ºC se enfría hasta 0ºC ¿Cuál será la longitud final de la barra?

2) ¿Cuánto es la expansión térmica en un termómetro que contiene 20,00 cm3 de mercurio (γ=180x10-6 ºC-1) durante un incremento de 10,00 ºC? Si el área transversal del capilar es de tan sólo 2,500x10-4 cm2, ¿en cuánto se incrementa la altura del nivel del líquido?

R/ 1,4 cm

3) Un gas a baja presión tiene un volumen de 1,0 L a 0º C. Si se calienta a presión constante hasta 273º C ¿cuál es su nuevo volumen?

R/ 2,0 L

4) Dentro de un termo refrigerante de icopor (λ del icopor = 0,0001 cal/cm.s.ºC) de 20cm x 30cm x50 cm y de 5cm de espesor se encuentra 1 kg de hielo a 0ºC ¿Cuánto demora en fundirse en un medio ambiente exterior a 30ºC?

R/ 6 h


485) ¿Cuál es la masa de H2 contenido en un recipiente de 27 L a la presión de

141 atm y a 27ºC?

6) Un gas perfecto es sometido a las transformaciones representadas en la siguiente figura:

Calcular el valor de las variables P, V, T en los puntos 2,3 y 4¿Cuál es el trabajo neto realizado por el gas?R/ 600 J

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Los cuerpos estamos constituidos por átomos generalmente neutros. En ocasiones especiales puede ocurrir un desbalance en la cantidad de partículas subatómicas que poseen carga eléctrica: el protón positivo (+) y electrón negativo (-). Así, se pueden formar iones cargados positivamente (cationes) e iones cargados negativamente (aniones).

En un material conductor (como los metales) los electrones “libres” pueden moverse a través de los átomos, generando una corriente de electrones, lo que se denomina corriente eléctrica. En los materiales que tienen enlaces fuertes los iones no pueden trasladarse, y mucho menos los electrones; por lo tanto a estos materiales se les denomina aislantes o dieléctricos (tales como el caucho, la madera, los plásticos).

undamentos deelectricidad

Figura 4.1. Relación de fuerzas entre cargas eléctricas

Lección 4

F

50Dos cuerpos cargados con igual signo se repelen; mientras, dos cuerpos

cargados con signo contrario se atraen.4.1 FUERZA ELÉCTRICA

Lo anterior indica que un cuerpo cargado ejerce una fuerza sobre otra carga cercana. Esta fuerza eléctrica está dada por:

Denominada Ley de Coulomb, donde:k es una constante=1/(4πε0)r= distancia entre las cargas q y Qε0= permitividad eléctrica del vacío= 8,85x10-12C2/Nm2

4.2 CAMPO ELÉCTRICO

Las fuerzas eléctricas, al igual que las fuerzas gravitacionales, no requieren de contacto entre los cuerpos: son fuerzas de largo alcance. Estas fuerzas se produ-cen por el establecimiento de un campo (región del espacio en donde se sienten los efectos de la fuerza).

La magnitud del campo eléctrico (E) está dada por:

Al estimar su valor se facilita el cálculo de la fuerza eléctrica (FE) para cual-quier carga eléctrica (q) que caiga en dicho campo eléctrico: FE=qE

En una carga positiva (+) la fuerza se representa por líneas que salen del cuer-po. En una carga negativa (-) las líneas de campo eléctrico se representan entran-do al cuerpo.

Figura 4.2. Convencion de dirección de lineasde campo eléctrico de una carga


51La fuerza eléctrica está en el sentido de las líneas de campo para cargas posi-

tivas que ingresan a él; mientras, la fuerza eléctrica está en el sentido contrario a las líneas de campo para cargas negativas que ingresan a él.

4.3 CONDENSADORES

Entre dos o más cargas también se genera un campo eléctrico, el cual se puede representar igualmente por líneas de campo.

Las líneas de fuerza en los campos eléctricos tienen las siguientes propiedades:Las líneas de fuerza van siempre de las cargas positivas a las cargas negativas

(o al infinito).El número de líneas de fuerza es siempre proporcional a la carga.

Figura 4.4. Representación de las líneas de campo eléctrico entre dos cargas

Figura 4.3. Dirección de la fuerza eléctrica para un cuerpo cargado que ingresa en el campo


52La densidad de líneas de fuerza en un punto es siempre proporcional al valor

del campo eléctrico en dicho punto.Las líneas siempre salen (entran) simétricamente a las cargas.

En el caso de dos placas cargadas, suficientemente amplias en comparación con su distancia de separación, se considera que el campo eléctrico (E) entre ellas es uniforme. Este dispositivo así formado se denomina condensador plano.

Sobre la partícula cargada positivamente que ingresa a un condensador se ejerce una fuerza eléctrica correspondiente a:

Para la partícula de la figura que ingresa con velocidad horizontal constante (Vx) y perpendicular a las líneas de fuerza del condensador, entonces sufre una aceleración hacia abajo igual a:

Aplicando apropiadamente las ecuaciones cinemáticas para cada uno de los ejes se obtiene:

Que demuestra que la trayectoria de la partícula desviada es parabólica. Esta desviación de electrones se utiliza en la proyección de la imagen en los televiso-res y monitores de computador de tubo de rayos catódicos.

Figura 4.5. Desviación de una carga positiva al ingresar a un campo eléctrico uniforme


534.4 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

La energía potencial eléctrica (EPE) se define con base en el trabajo (W).

Si la distancia d=r:

De lo anterior se define la variable potencial eléctrico (V) que corresponde a la cantidad de energía eléctrica (EPE) por cada unidad de carga que viaja por el campo eléctrico:

El potencial eléctrico también se define como: el trabajo realizado por la fuer-za eléctrica producida por un campo eléctrico por cada unidad de carga que viaja por el campo eléctrico, y tiene por unidad en el Sistema Internacional de Unida-des el voltio (V).

Así,: W=qV , este trabajo se puede transformar en cualquier otra forma de energía (cinética, calor, luz, etcétera).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se produce un rayo cuando fluye carga eléctrica (principalmente electrones) entre el suelo y las nubes, el flujo carga que se produce llega hasta niveles próxi-mos a 20000C/s, y demora unos 100 μs. ¿Cuánta carga fluye entre las nubes y el suelo durante un rayo como éste? ¿Cuántos electrones fluye durante este “corto” tiempo?

2. La carga de un electrón e = -1,60x10-19C de masa 9,11x10-31kg es opues-ta a la carga de un protón de masa 1,67x10-27kg (es decir, tienen carga igual y opuesta; sin embargo, se observa que la masa del protón es casi 2000 veces la del electrón). Si el electrón de un átomo de hidrógeno está a 5,3x10-11m de su correspondiente protón, calcule la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas.

R/ 8,2x10-8N; 3,6x10-47N


543. Un electrón (e-) con velocidad 3,00x106 m/s ingresa perpendicularmente a

un campo eléctrico de 200 N/C formado por dos placas de 0,100m de longitud.

A) Halle la aceleración que sufre el electrón debido al campo eléctrico dentro del condensador

B) ¿Cuánto tiempo demora el electrón en atravesar el condensador?C) ¿Cuánto es el desplazamiento del electrón, respecto a su dirección de en-

trada al condensador?R/ -3,51x1013m/s2; 3,33x10-8s; 1,95 cm



5.1 CAPACITANCIAEn un condensador plano el campo eléctrico (E) es uniforme entre las placas.

Entonces:

Para un condensador con diferencia de potencial Vab, se tiene:

Un condensador permite almacenar cargas eléctricas (Q), según la ecuación Q=CVab, donde C es la capacitancia o capacidad del condensador.

ircuitoseléctricos

Figura 5.1. Condensador

Lección 5

C

56La carga (Q) depende de la diferencia de potencial (Vab) que pueda haber en el

condensador y esto corresponde al valor de la capacitancia del mismo, en unida-des denominadas faradios (F, en el S.I.).

Para condensadores en paralelo todas las placas de un lado se conectan a un punto común a ó b, por tanto tienen el mismo potencial (Vab). Si se quiere estimar la capacitancia equivalente (Ceq) o total a este circuito compuesto de varios con-densadores en paralelo se busca que un solo capacitor con capacidad Ceq pueda almacenar la misma carga.

Figura 5.2. Condensadores en paralelo y capacitancia equivalente


57Para condensadores en serie todos los condensadores logran almacenar la mis-

ma carga (Q). Se busca una equivalencia de capacitancia (Ceq) para facilitar los cálculos. La carga Q del capacitor equivalente es como si se tuviera un solo ca-pacitor con capacidad Ceq:

5.2 CORRIENTE ELÉCTRICA

Si dos cuerpos cargados positiva (+) y negativamente (-) se unen a través de un hilo conductor (alambre) la carga se traslada de un lado a otro hasta neutralizar el conjunto. En un conductor sólido sólo se trasladan electrones “libres” que se mueven debido a la fuerza eléctrica:

Figura 5.3. Condensadores en paralelo y capacitancia equivalente


58

El paso de la carga en un determinado tiempo se denomina corriente eléctrica o intensidad de corriente eléctrica (I):

La unidad obtenida para la corriente eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades se denomina el amperio (A=C/s). Si se mantiene constante la diferen-cia de carga, podría mantenerse constante la corriente y se denominaría corriente continua. Si las cargas cambian de signo con frecuencia se genera una corriente alterna, que es la que generalmente se utiliza en la industria y en el hogar.

5.3 RESISTIVIDAD ELÉCTRICA Y LEY DE OHMCon I=q/t y definiendo el término densidad de corriente por unidad de área

(J):

Se tiene que J es proporcional a la carga (q); además, dentro del alambre se tiene que E=qVab, es decir, el campo eléctrico también es proporcional a la carga (q); por tanto debe haber una relación entre E y J. Definiendo una constante de proporcionalidad llamada resistividad eléctrica (ρ), se puede expresar:

Figura 5.5. corriente electrica en un hilo conductor

Figura 5.4. Traslado de electrones libres en un conductor sólido


59Pero el campo eléctrico dentro del conductor también es E=Vab/L, entonces:

Si se agrupa ρ L/A en una sola variable denominada resistencia eléctrica (R) total al paso de corriente, se obtiene:

O resumida también:

Conjunto de ecuaciones que se denominan Ley de Ohm. Así, la resistencia eléctrica queda con unidades de ohmios (Ω) y la resistividad eléctrica queda en ohmios.metro (Ω.m) dentro del Sistema Internacional de Unidades.

5.4 RESISTENCIA Y POTENCIA ELÉCTRICA

En el caso de ubicar resistencias eléctricas en serie, la corriente eléctrica que pasa es la misma para cada resistencia, entonces una resistencia equivalente (Req) que facilite los cálculos está dada por:

Por ejemplo las luces de navidad comúnmente están conformadas por bom-billitas en serie, si se saca una de ellas (o se quema) se apagan todas porque el circuito queda interrumpido.

Figura 5.6. Resistencias en serie y resistencia equivalente


60Para resistencias eléctricas en paralelo, todas las resistencias se conectan a un

punto común a cada lado (a y b) por tanto tienen el mismo potencial (Vab). Enton-ces para una resistencia equivalente (Req) que facilite los cálculos, se observa que la corriente se divide en a (I=I1+ I2+ I3) y se vuelve a reunir en b:

Las luces de nuestras viviendas y los demás electrodomésticos están conec-tados en paralelo, pues no se puede permitir que se apaguen todos al fallar uno de ellos, ni encenderlos todos cuando se requiera utilizar al menos uno de ellos.

En una resistencia eléctrica los electrones que intentan pasar chocan con ma-yor frecuencia y se pierde parte de su energía cinética (energía potencial eléctri-ca) que se transforma en calor (Q), tal como se hace en las boquillas de la estufa eléctrica.

Figura 5.7. Resistencias en serie y resistencia equivalente


61Así, la potencia eléctrica Po = V I, pero también, como V=IR, se tiene:

Cualquiera de las ecuaciones que se forman de estas, para la potencia eléctri-ca, es válida para realizar los cálculos de la variable que se requiera obtener.

Ahora, como la EPE=Pt=(IV)t, ésta energía se puede calcular en su proceso de transformación a calor (Q) dentro de una resistencia, tal que:

Esta última expresión representa el llamado Efecto Joule o Ley de Joule.

5.5 FUENTES ELÉCTRICASLos generadores eléctricos producen un potencial constante (Vab), donde:

Donde ε se denomina fuerza electromotriz (fem) y corresponde al potencial generado por una batería, una dínamo o cualquier otra fuente de energía eléctrica.

Como la EPE=W= εq=Vq, entonces:

Figura 5.8. Fuente o generador eléctrico

Figura 5.9. Circuito eléctrico con fuente de potencia


62Convenciones:Para un circuito cualquiera tomando cualquiera de los dos sentidos de análisis

(hacia la derecha o hacia la izquierda):I es positiva (+) si está en el sentido del análisis.

Los potenciales ε son positivos (+) si están en el sentido del análisis.

También se sabe que para un punto común (nodo) la suma de todas las intensi-dades (I) que entran es igual a la suma de todas las intensidades que salen.

Las anteriores convenciones hacen parte de las llamadas Leyes de Kirchhoff.


1) Un capacitor se carga con 3,64x10-5C en cada una de sus placas, con lo cual se logra que la diferencia de potencial entre ellas sea de 1,0V ¿Cuál es el valor de capacitancia del condensador?

2) En un circuito eléctrico un resistor que se encuentra a un potencial de 15,0 V, entre su punto de entrada y de salida, emite 327 W en forma de calor.

A. ¿Cuál es el valor de resistencia del resistor?B. ¿Cuál es valor de la corriente electrica que pasa por el resisto?

3) Se arma un circuito compuesto por una batería de 28 V, de resistencia in-terna despreciable, y tres resistores de 1,60Ω; 2,40 Ω; y 4,80 Ω en conexión en paralelo. Calcular:

A. El valor de la resistencia equivalenteB. La corriente que circula por cada resistorC. La corriente total que circula a través de la bateriaD. La potencia que se disipa en cada resisitorE. ¿Cuál resistor disipa más energía?



63TEMAS DE PROFUNDIZACIÓN: TÓPICOS DE FÍSICA AMBIENTAL

TÉCNICA GEOELÉCTRICA (Cortesía del Grupo de Investi-gación en Ciencias Ambientales y de la Tierra - ILAMA)

El procedimiento general para la determinación de resistividad en cam-po consiste en colocar los cuatro electrodos (dos de corriente y dos de po-tencial) alineados y espaciados a igual distancia en la superficie de la zona de estudio. Luego se hace circular una corriente pulsante por el suelo entre los dos electrodos exteriores (AB) y con los electrodos interiores (MN) se mide la diferencia de potencial, la cual es directamente proporcional a la resistividad del suelo.

Aplicaciones y campos de estudio:• Localización de aguas subterráneas• Geotecnia• Propiedades físicas de suelos: humedad gravimétrica, compactación

y salinidad de suelos• Balance hídrico: suelo – planta –parámetros de riego


El magnetismo es uno de los fenómenos por los cuales los cuerpos ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros cuerpos. El caso más típico de un campo magnético , que generalmente se escribe B, es el observado en un imán, en el cual se observa un polo positivo (+ o norte N) y un polo negativo (- o sur S).

Entre dos cuerpos magnetizados se evidencia que:Al acercarlos por sus polos iguales (+ con +, ó – con -) se genera una fuerza

de repulsión.Al acercarlos por sus polos opuestos (+ con -) se genera una fuerza de atrac-

ción

Nuestro planeta Tierra, como seguramente muchos otros cuerpos celestes, tiene el comportamiento de un imán, presentando un campo magnético.

agnetismo

Figura 6.1. Reacción de fuerzas entre imanes

Figura 6.2. Comportamiento magnético de la tierra

Lección 6

M

666.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Una carga en reposo (Q) establece un campo eléctrico en el espacio que la rodea.

La carga en reposo (Q) ejerce una fuerza sobre una carga q situada en el campo eléctrico.

Una carga móvil establece o crea un campo magnético en el espacio que la rodea (además del campo eléctrico). En un imán permanente existe un movi-miento coordinado de electrones (e-) (como también puede ser el caso en los ma-teriales paramagnéticos que pueden conservar campo magnético), en un cuerpo no magnetizado no se coordinan los electrones (como en el caso de los cuerpos diamagnéticos).

El campo magnético ejerce una fuerza magnética (FM) sobre una carga móvil que está en el campo magnético.

6.2 FUERZA MAGNÉTICA

La fuerza magnética (FM) se estudia de acuerdo a sus propiedades:

Además la fuerza magnética (FM) tiene la propiedad de ser perpendicular tanto al campo magnético (B) como a la velocidad (v); y es proporcional a la componente de v perpendicular a B. Lo anterior se expresa:

Siendo θ el ángulo entre la v y el B, y la unidad de medida del B en el Sistema Internacional de Unidades se denomina el tesla (1 T= 1 N/Am).

Si una partícula cargada (q) con velocidad (v) cae en un campo magnético (B), se tiene:

Donde el símbolo x no es una simple multiplicación, sino una operación entre vectores denominada producto cruz. En este caso esta operación indica la dirección de la fuerza magnética (FM) utilizando la “regla de la mano derecha”. En la figura se observa su aplicación para una carga positiva (+).


67

Por otro lado, se dibuja (X) cuando el campo magnético entra en la superficie

de la hoja; y se dibuja ( ⋅ ) cuando el campo magnético (B) sale de la superficie de la hoja.

Si la velocidad (v) y el campo magnético (B) son perpendiculares, la fuerza magnética (FM) es máxima y se produce una trayectoria circular para la partícula cargada, sea esta positiva (+) o negativa (-), porque la fuerza magnética siempre queda perpendicular a la velocidad (v no cambia de magnitud, sólo de dirección, entonces la FM no realiza trabajo sobre la carga). Como:

Si la carga es negativa se desplazará en el sentido de las manecillas del reloj para el arreglo mostrado en la figura 6.3.

6.3 SELECTOR DE VELOCIDADSi una partícula se desplaza a través de una región en el espacio donde existe

campo eléctrico (E) y campo magnético (B), se tiene:

Figura 6.3. Trayectoria de una carga positiva con velocidadperpendicular a las líneas de campo magnético


68En el caso que el campo eléctrico (E) sea perpendicular (⊥) al campo magnético

(B), entonces: -FE=FM, lo cual sirve como selector de velocidad de partículas cargadas.

Las anteriores ecuaciones quieren decir que sólo las partículas con v=E/B pasan sin desviarse.

6.4 MAGNETISMO EN LÍNEAS CONDUCTORAS DE CORRIENTE ELÉCTRICA

Las fuerzas magnéticas (FM) sobre las cargas en movimiento dentro de un conductor (I) se multiplican en el conductor y éste, como un todo, experimenta una fuerza total.

Para un conductor de longitud (l) y sección transversal (A= área) con un número de cargas por unidad de volumen (V=A l) entonces: q=nV=nAl y la fuerza magnética (FM=qvB) para todas las cargas dentro del conductor es:

Pero como J=nqv que es la densidad de corriente eléctrica por área, entonces,JA=I, y:

Figura 6.4. Campo magnético creado en un alambre por efecto de la circulación de una corriente eléctrica


69En un caso de que el cable no esté orientado perpendicularmente respecto al

campo magnético, se tiene:

Donde θ es el ángulo entre el alambre y la dirección del campo magnético.

En dos conductores paralelos por los que circulan corrientes eléctricas en la misma dirección, se tiene:

El conductor inferior produce una fuerzaFM=I2(l x B) sobre el conductor superior, donde:

Es la magnitud del campo magnético producido por el conductor inferior, y:

Donde µ0 se denomina permeabilidad magnética del vacío (µ0=4πx10-7 Tm/A).Por lo anterior se puede afirmar que dos conductores suficientemente largos

por los que circulan corrientes eléctricas en la misma dirección, se atraen; y con corrientes eléctricas en direcciones opuestas, se repelen.

De aquí la definición de 1 A de corriente eléctrica como unidad de corriente eléctrica (I ) en el Sistema Internacional de Unidades:

Figura 6.5. Fuerza magnética entre dos conductores con I en la misma dirección


70Un amperio (A) es la corriente eléctrica de cada uno de dos conductores

paralelos separados una distancia precisa de 1 m en el espacio vacío y que ocasionan que cada conductor experimente una fuerza exactamente de 2x10-7N por cada metro de longitud (l=1 m).

Ejercicios propuestos1) ¿Qué campo magnético se obtiene a partir de electrones viajando en trayec-

torias con frecuencia 2450 MHz?R/ 0,0876 T2) En un lugar cercano al Polo Norte el campo magnético de la Tierra tiene

una magnitud de 0,50x10-4T y está dirigido hacia abajo (hacia el centro del pla-neta). Si un protón se mueve, inicialmente, de manera horizontal hacia el Oriente dentro de este campo con una velocidad de 6,20x106m/s:

A. ¿Cuáles son la dirección y magnitud de la fuerza magnética que el campo magnético ejerce sobre la carga mencionada?

B. ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular que hace el protón?

3) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para seleccionar iones con velocidad de 2,000x106m/s, si el campo eléctrico es de 2,00x105N/C?

R/ 0,10 T4) Se desea generar un campo magnético de 5,50x10-4 T a una distancia de

0,040 m de un alambre recto y suficientemente largo:A. ¿Qué corriente eléctrica debe circular por el alambre para generar el cam-

po magnético deseado?B. ¿Cuál es la magnitud de este campo magnético a una distancia de 0,080 m

desde el alambre, y a 0,160 m?



71TEMAS DE PROFUNDIZACIÓN: TÓPICOS DE FÍSICA

AMBIENTAL

FERTIREACTORMAGNÉTICO – FRM (Cortesía del Grupo de Investigación en Ciencias Ambientales y de la Tierra - ILAMA)

Se utilizan campos magnéticos con frecuencias y tiempos de ex-posición específicas para la estimulación de biofertilizantes líquidos.

La magnitud del campo magnético B creado en el centro de un solenoide de radio a y N espiras por donde circula una corriente I está dada por la expresión:

Donde µ es la permeabilidad magnética del biofertilizante.

Este dispositivo se puede utilizar como un sistema de fertiriego uti-lizando biofertilizantes en lugar del uso intensivo de agroquímicos. Es decir, se trata de una tecnología limpia y de bajo costo.


BIBLIOGRAFÍA

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