02 - Limites e derivadas de funções reais

UERJ / Mestrado em EconomiaMétodos Quantitativos / 2010

Prof. Antônio Salazar P. Brandão

Universidade do Estado do Rio de JaneiroMétodos Quantitativos


Limites e derivadas de funções reais



Limites e continuidade de funções

Seja RRf →: e seja b ∈∈∈∈ R.

O conceito de limite caracteriza o comportamento de f para valores de x próximos de b. Valores próximos podem ser superiores ou inferiores a b. Note que o valor de f no ponto b, f(b) não tem interesse quando estamos tratando de limites

Seja f(x) = 1 + x2 e seja b = 2. Como f se comporta àmedida em que x se aproxima de b?

Consideremos os seguintes valores: 2 + 1/n sendo n = 1, 2, 3,.......




2 + 1/n > 2 qualquer que seja n. Notar também que 2 + 1/n se aproxima de 2 à medida em que n cresce.

O que ocorre com f(2+1/n) à medida em que n cresce?

2

2

2

145

1441

121

12

nn

nnnnf

++=

=

+++=

++=

+

f(2+1/n) se aproxima de 5 à medida em que n cresce.



Consideremos agora os seguintes valores: 2 - 1/n sendo n = 1, 2, 3,.......


2 - 1/n < 2 qualquer que seja n. Notar também que 2 - 1/n se aproxima de 2 à medida em que n cresce.

f(2-1/n) se aproxima de 5 à medida em que n cresce.

O que ocorre com f(2-1/n) à medida em que n cresce?

2

2

2

145

1441

121

12

nn

nnnnf

+−=

=

+−+=

−+=

−




Portanto quer no aproximemos de 2 por valores superiores ou por valores inferiores a função se aproxima de 5. Dizemos que o limite de f quando x tende para 2 é 5.

Notação: 5)1(lim 2

2=+

→x

x

De maneira mais geral, se c é o limite de f quando x se aproxima de b, usamos a notação: cxf

bx=

→)(lim

Outro exemplo

=≠

=

→

1 se,10

1 se ,)(

:

x

xxxf

RRf




?)(lim1

=→

xfx

Vamos proceder como anteriormente. Sejam as sequências

1+1/n e 1-1/n, sendo n = 1, 2, 3, 4...

nnf

nnf

11

11

11

11

−=

−

+=

+

1)(lim1

=→

xfx

Portanto:




Mais exemplos

Pode-se observar que quando x se aproxima de 0 por valores positivos, f se aproxima de 1.

Entretanto quando x se aproxima de 0 por valores negativos, f se aproxima de 0.

Portanto o limite de f não existe quando x se aproxima de zero

<≥+

=

→

0 se,

0 se ,1)(

:

xx

xxxf

RRf

x

f(x)

1




Diz-se que f é contínua no ponto b ∈∈∈∈ domínio se existe o limite de f quando x se aproxima de b e se o limite é igual a f(b).

A partir da análise que fizemos anteriormente podemos dizer que f(x) = 1 + x2 é contínua em b = 2. Entretanto:

=≠

=

→

1 se,10

1 se ,)(

:

x

xxxf

RRf Não é contínua no ponto b = 1 pois o limite de f quando x se aproxima de 1 é diferente de f(1) = 10.




<≥+

=

→

0 se,

0 se ,1)(

:

xx

xxxf

RRfNão é contínua no ponto b = 1 pois o limite de f quando x se aproxima de 1 não existe.




Teoremas sobre limites

baaxaaxfxaaxf obx

obx

o 111 )(lim)(lim)( +=+=⇒+=→→

obx

o axfaxf =⇒=→

)(lim)(

Rkbxfxxf k

bx

k ∈=⇒=→

,)(lim)(

[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfbxbxbx →→→

+=+

[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfbxbxbx →→→

=

0)(lim se ,)(lim

)(lim

)(

)(lim ≠=

→→

→

→xg

xg

xf

xg

xfbx

bx

bx

bx



4042016)(lim

45)(

4

2

=++=

++=

→xf

xxxf

x

Exemplos

800)4(lim)45(lim)()(lim

4)(,45)(

2

4

2

44

22

=+++=

+=++=

→→→xxxxgxf

xxgxxxf

xxx

220

40

)4(lim

)45(lim

)(

)(lim

4)(,45)(

2

4

2

4

4

22

==+

++=

+=++=

→

→

→ x

xx

xg

xf

xxgxxxf

x

x

x





Exemplos

200

2

1lim

)(

)(lim

)(,1)(

xxg

xf

xxgxf

xx →→=

== Como x2 tende para zero quando x tende para zero, o teorema anterior não se aplica

Notemos que à medida em que x se aproxima de zero, a fração 1/x2 assume valores cada vez mais elevados. Na verdade, dado qualquer número real positivo, podemos encontrar um valor de x que torna a fração maior do que o número real escolhido. Neste caso dizemos que o limite é igual a mais infinito.

+∞=→ 20

1lim

xx




Exemplos

4

)2(lim

)(

)(lim

4)(,)2()(

2

2

22

22

−−=

−=−=

→→ x

x

xg

xf

xxgxxf

xx

Como (x2 – 4) tende para zero quando x tende para dois, o teorema anterior não se aplica.Note que o numerador tende para zero também e portanto o raciocínio do exemplo anterior não pode ser usado. Porém:

( )( ) ( ) 04

0

2

)2(lim

22

)2(lim

4

)2(lim

2

2

22

2

2==

+−=

+−−=

−−

→→→ x

x

xx

x

x

xxxx




Terminamos aqui esta introdução superficial ao conceito de limites.

Quando necessário – nesta ou em outra disciplina –retornamos ao assunto para aprofundar algum aspecto.


Prof. Antônio Salazar P. BrandãoDerivadas de funções reais

Seja a função 21 xxfRRf +=→ )(,:

Tomemos dois valores distintos de x: x0 = 5 e x1 = 8

Temos que: f(5) = 26 e f(8) = 65

Seja ∆x = x1 – x0. ∆x é a variação em x. Algumas vezes usamos também a expressão acréscimo em x quando nos referimos a ∆x. Quando esta última expressão é usada, entenda-se que o acréscimo pode ser negativo. No exemplo ∆x = 3

Seja ∆f = f(x1) – f(x0). ∆f é a variação em f ou o acréscimo em f. No exemplo ∆f = 39



∆f∆f

∆x

∆x

133

39 ==∆∆

x

f

Notar que por cada unidade de acréscimo em x o correspondente acréscimo em f foi de 13 unidades

1

x

f(x)

5 8

26

65

Gráfico de f



Tomemos outros dois valores de x: x0 = 1 e x1 = 4

Temos que: f(1) = 2 e f(4) = 17

Mais uma vez temos ∆x = 3

∆f = 15

53

15 ==∆∆

x

fObservar que

A relação de acréscimos depende do valor inicial de x

Neste caso para cada unidade de acréscimo em x o correspondente acréscimo em f é de 5 unidades



Calculemos a relação de acréscimos de forma geral

211

200

1)(

1)(

xxf

xxf

+=

+=

Lembrete: a2 – b2 = (a + b)(a - b). Faça o cálculo para se convencer

( ) ( ) ( )( ) ( ) xxxxxxxxxxxxf ∆+=−+=−=+−+=∆ 01010120

21

20

210 11)(

( ) ( )010 xxxx

f +=∆∆



xxxxxx ∆+=⇒−=∆ 0101

Escrevamos o quociente de maneira mais conveniente

( ) xxxxxx

f ∆+=+=∆∆

0010 2)(

Terminologia: )( 0xx

f

∆∆

é o quociente diferencial em x0.



x0 ∆x x1 =x0+∆x ∆f

1 3 4 15 5

5 3 8 39 13

10 -3 7 -51 17

20 -30 -10 -300 10

-3 2 -1 -8 -4

Derivadas de funções reais

( )0xx

f

∆∆

Valores ilustrativos do quociente diferencial para diferentes valores de x0 e de ∆x



x0 ∆x x1 =x0+∆x

5 1 6 11

5 1/2 5,5 10,5

5 1/20 5,05 10,05

5 1/200 5,005 10,005

5 1/2000 5,0005 10,0005


( )0xx

f

∆∆

Valores ilustrativos do quociente diferencial para valores cada vez menores de ∆x

Quando ∆∆∆∆x se aproxima de zero o quociente diferencial se apr oxima de 10 = 2x5



Definição. Seja f:A → B, A ⊂⊂⊂⊂ R e B ⊂⊂⊂⊂ R e seja x0 ∈∈∈∈ A.

A derivada de f no ponto x0 é o quociente diferencial quando ∆x se aproxima de zero.

Para a função f(x) = 1 + x2 a derivada em x0 é igual a 2x0.

A derivada contém a mesma informação que o quociente diferencial, mas temos que nos restringir a valores pequenosde ∆x.



f(xo + ∆x)

f(xo)

xo xo + ∆x

f(x)

x


Inclinação da reta que passa

pelos pontos (x0, f(x0)) e

(x0+∆x, f(x0+∆x)) é o

quociente diferencial:

( ) x

xfxxf

xxx

xfxxf

∆−∆+=

−∆+−∆+ )()()()( 00

00

00

Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x0+∆x, f(x0+∆x))



xx0

f(x0)

x0 +∆

o x

x0 +∆

1 x

x0 +∆

2 x

x0 +∆

3 x

Inclinação da reta tangente é a derivada de f no ponto x0



αx0 x1

y1

y

x

angular ecoeficientajacente cateto

oposto cateto

01

1 =−

==xx

ytgα

A derivada é a tangente trigonométrica do ângulo α

Reta tangente àfunção f no ponto x0



x

f(x)

x0

tg α = derivada de f no ponto x0

α

Reta tangente àfunção f no ponto x0



Notações:dx

xdfx

dx

dfxf

)(),(),(' 0

00

Quando escrevemos y = f(x), freqüentemente denotamos a derivada por:

dx

dy




Notar que a derivada também é uma função. No exemplo considerado anteriormente, a função derivada é:

xxfRRf 2)(',:' =→

Para lembrar:

a derivada é um quociente de acréscimos

a derivada é o coeficiente angular da reta tangente à função no ponto considerado




Fórmulas

dx

xgdxfxg

dx

xfd

dx

xgxfd

dx

xfdk

dx

xkfd

dx

xgd

dx

xfd

dx

xgxfd

))(()()(

))(())()((

constante umak sendo ,))(())((

))(())(())()((

000

000

00

0000

+=

=

+=+



( )

Rn seja quequalquer ,)(

)())((

Rn seja quequalquer ,

)(

)()(

)()()(

)(

010

0

1

20

00

00

0

0

∈=

∈=

−=

−

−

dx

xdfxnf

dx

xfd

nxdx

xd

xgdx

xdgxf

dx

xdfxg

dx

xg

xfd

nn

nn


Fórmulas




Fórmulas

0)(

)(

0 x

x

edx

xdf

exf

=

=

0

0 1)(

log)(,:

xdx

xdf

xxfRRf

=

=→++

Fórmulas apresentadas para referência futura quando estudarmos as funções logaritmo e exponencial.

Notar que logx é a notação para logaritmo de x na base e.




Exemplos

2126)('

523)(35

46

−+=

−−+=

xxxf

xxxxf

)5(2)4(3)('

)4)(5()(322

23

++−=−+=

xxxxxf

xxxf

( )( ) ( ) ( )2222

33

22

22

2

2

1

2

1

222

1

)2(12)('

1)(

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

x

xxf

+=

+−+=

+−+=

+=

)43()41(7)('

)41()(263

73

+++=++=

xxxxf

xxxf




Exemplos

( ) xx

xx

x

ee

eexf

exf

110)('

1)(

2 −=−=

= ( )( ) ( ) 1log

1log)('

log)(

+=+=

=

xx

xxxf

xxxf

( )

( ) ( )

+=+=

=

xxe

xexexf

xexf

xxx

x

1log

1log)('

log)(



Exercícios


Chiang e Wainwright 6.2 – 1, 2, 3

Chiang e Wainwright 7.2 – 1, 3, 7, 8,

Encontre a equação da reta tangente às funções abaixo, no ponto especificado

1 em,1

)(,:

2 em ,1)(,:

02

02

=+

=→

=+=→

xx

xxgRRg

xxxfRRfDica: para determinar a equação de uma reta basta saber sua inclinação e um ponto que pertence a ela.

Usando a definição de derivada, mostre que se f(x) éa função constante, então f’(x) = 0 para todo x




Algumas funções não possuem derivada. Diz-se que estas funções não são diferenciáveis.

Quando ∆+x aproxima-se de zero, o quociente diferencial éigual a +1

Vejamos o caso da função valor absoluto no ponto x0 = 0.

f(x) = |x|. Sabemos que f(0) = 0 e consideremos um acréscimo positivo a x: ∆+x.

1||)0()0( =

∆∆=

∆∆=

∆−∆+

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

fxfO quociente diferencial é



Consideremos agora um acréscimo negativo a x: ∆-x.


Quando ∆-x aproxima-se de zero, o quociente se aproxima de -1

Desta forma o quociente diferencial não se aproxima do mesmo número quando ∆x se aproxima de zero por valores superiores e por valores inferiores. Ou seja não existe o limite do quociente diferencial quando x = 0. A função não éderivável neste ponto .

0 01

( ) ( ) | |f x f x x

x x x

− − −

+ − −+ ∆ − ∆ −∆= = = −

∆ ∆ ∆O quociente diferencial é



Teorema: Toda função diferenciável é contínua.

Não iremos demonstrar o teorema.

Exercício. Mostre que a função valor absoluto é contínua no ponto b = 0, mas não é diferenciável neste ponto.





Derivada de função composta – regra da cadeia

))(()()(,: Seja

:,:

xfgxfgxhRRh

RRfRRg

==→→→

0

Note que dx

xfdg ))(( 0 é a derivada de g calculada no ponto f(x0)

dx

xdf

dx

xfdg

dx

xdh )())(()( 000 =




Algumas vezes, por simplicidade costuma-se escrever a regra da cadeia assim

( )( ) )('')(')('

)(),(

xfxfgxfygdx

dy

dy

dz

dx

dz

xfyygz

===

==

Notação menos precisa do que a anterior, porém amplamente usada em livros de cálculo e em livros de Teoria Econômica




Exemplos

6)3(2

37,52

−=−==

−=+=

dx

dy

dy

dz

dx

dz

xyyz

Outro procedimento

6

6195)37(2))(()(

;37)(;52)( 0

−=

−=+−==

=−=+=

dx

dh

xxxfgxh

fghxxfyyg

Com a regra da cadeia não é necessário encontrar g 0f explicitamente




Exemplos172 )23()( −+= xxxf

É conveniente transformar em duas funções e usar a regra da cadeia

))(()(

23)(,)( 217

xzgxf

xxxzyyg

=

−+==

( )( ) ( ) ( )322317321716216 +−+=+== xxxxy

dx

dz

dy

dg

dx

df




Exemplos

( )( ) ( )( )( ) ( ) xx

y

x

eexhxhgxf

eygexxhcomxhgxf

exf

αα

α

ααα

α

======

=

)('')('

)(,)(

real número um é ,)(

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )2

1

1

1

1

1

1

( ) , é um número real

, sendo ( ) e ( )

'( ) ' '

x

x

x

x

f xe

f x g h x g y h x ey

f x g h x h x e

e

α

α

αα

α

α

=+

= = =+

= = − +




Derivada de função inversa

Seja f uma função diferenciável que possui uma inversa, f-1. Seja z0 pertencente ao domínio de f-1. Então

dx

zfdfdz

zdf

))((

)(

01

01 1

−

−=




Derivada de função inversa

Usando uma notação mais informal a fórmula pode ser apresentada como abaixo

dx

dzdz

dx

zfxxfz

1

)(),( 1

=

== −




Exemplos

32

62

−=

+=

zx

xz

2

1

2

=

=

dz

dx

dx

dz

⇒⇒⇒⇒

xxz += 5Pode-se mostrar que a função possui uma inversa.

Portanto a derivada da inversa é 15

114 +

==x

dx

dzdz

dx



Seja f uma função diferenciável e seja f’ a função derivada de f. Se f’ também for uma função diferenciável, podemos definir a derivada segunda de f: f’’ = (f’)’.

De forma análoga podem ser definidas a derivada terceira, a derivada quarta e assim por diante.

As derivadas da função f nos ajudam a analisar o comportamento da função conforme veremos a seguir.


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