52

2.Pevnosťastabilitaprútovadosiek

2.1 Pojem stability pružného telesa Trvalá požiadavka znižovania hmotnosti leteckej konštrukcie núti konštruktérov

používať stále štíhlejšie prvky s veľmi tenkými stenami. Sú to predovšetkým štíhle prúty a dosky. Tieto komponenty sú zaťažované pozdĺžnym tlakovým napätím, alebo diagonálnym tlakovým napätím. Takže ich únosnosť je podstatne ovplyvnená stratou stability. Klasické poznatky o vzpernej stabilite štíhleho prúta v pružnej oblasti (Euler) poslúžili v teórii pevnosti tenkostennej ľahkej konštrukcie ako základ výpočtových metód pre určenie únosnosti otvorených profilov, rúrok, dosiek nevystužených aj vystužených. O strate stability tvaru hovoríme vtedy, ak sú vytvorené podmienky pre prechod telesa zo stabilnej do labilnej rovnováhy, pričom tento prechod je charakterizovaný zmenou tvaru telesa. K strate stability pružných telies dochádza najčastejšie pri dlhých tenkých prútoch, tenkostenných konštrukciách a všade tam, kde aspoň jeden rozmer telesa je voči ostatným veľmi malý.

Ak vzrastie osová sila nad určitú (tzv. kritickú) hodnotu Fkr, prút sa plasticky zdeformuje, alebo sa zlomí, pretože nemôže zachovať svoj tvar priameho prúta. Hovoríme tomu, že prút stratil stabilitu.

V statike rozoznávame tri druhy statickej rovnováhy tuhého telesa. Uvedené tri druhy rovnováhy pružného telesa si vysvetlíme na príklade prúta zaťaženého osovou tlakovou silou F (obr.2.1):

1. Stabilná rovnováha (F<Fkr). Ak vychýlime takto zaťažený prút priečnou silou FT, tak sa po odstránení sily FT prút vráti do pôvodnej priamej polohy. So vzrastajúcou silou F bude návrat do tejto priamej polohy pomalší.

2. Indiferentná rovnováha (F=Fkr). Po dosiahnutí určitej veľkosti sily F ostane prút priečne vychýlený aj po odstránení priečnej sily FT. Odpovedajúca sila F=Fkr sa nazýva kritická.

3. Labilná rovnováha (F>Fkr). Po priečnom impulze silou FT stratí prút rovnováhu a zbortí sa.

Obr. 2.1 Obr. 2.2

53

2.2 Eulerov výraz pre kritickú silu Uvažujme priamy prút konštantného priečneho prierezu s plochou S o tuhosti v ohybe E.Jx=konšt., ktorý je zaťažený osovou tlakovou silou F (obr.2.2). Vyšetrime, či okrem priameho prúta môže byť v rovnováhe aj tento prút priečne deformovaný. Priehyb prúta je:

y y z= ( )

V dôsledku priehybu vznikne v priereze C ohybový moment, ktorý vyvolá sila F na ramene y: M z F y z( ) . ( )=

Ak dosadíme tento moment do diferenciálnej rovnice priehybovej čiary, dostaneme:

E Jd y

dzM z

E Jd y

dzF y

x

x

. . ( )

. . .

2

2

2

2

= −

= − (2.1)

Ak zavedieme označenie: F

E Jp

x.= 2 (2.2)

kde: p - je konštanta, môžeme rovnicu (2.1) prepísať do tvaru:

0.22

2

=+ ypdz

yd (2.3)

Je to diferenciálna rovnica 2. rádu s konštantným koeficientom p, ktorej všeobecné riešenie (ako sa môžeme presvedčiť spätným dosadením) je: y A p z B p z= +.sin . .cos . (2.4)

kde: A, B - sú konštanty, ktoré sú dané okrajovými podmienkami úlohy. Je zrejmé, že priehyb prúta na obr.2.2 musí pre z=0 a z=l spĺňať tieto podmienky:

y( )0 0= , y l( ) = 0 (2.5)

Ak dosadíme prvú podmienku do všeobecného riešenia (2.4) dostaneme B=0. Z druhej podmienky po dosadení do (2.4) vyplýva: A p l.sin . = 0 (2.6)

Táto podmienka bude splnená pre A=0 (t.j. keď sa prút neprehýba), alebo pre A≠≠≠≠0 a:sin .p l = 0 , t.j. pre: p l k. .= π , kde: k = 0 1 2, , ,... (2.7)

Prvá z hodnôt k, t.j. k=0 odpovedá nezaťaženému stavu a nemá teda fyzikálny význam. Z odvodenia teda vyplýva, že existuje aj rovnováha v prehnutom prúte, kde priehybová čiara je vzhľadom k (2.4), (2.7) a B=0 popísaná rovnicou:

y Ak z

l= .sin

. .π , kde: k = 1 2, ,... (2.8)

54

Najmenšiu silu, pri ktorej môže nastať rovnováha deformovaného prúta dostaneme z výrazu (2.2) a rovnice (2.7) pre k=1:

FE J

lkrx=

π 2

2

. . (2.9)

je to tzv. Eulerova kritická sila. Výraz (2.9) odvodil v r.1744 matematik L. Euler. Pri náraste osovej sily F na kritickú hodnotu Fkr stráca prút na obr.2.2 stabilitu - prechádza zo stabilnej do indiferentnej rovnováhy. Ak dosiahne teda osová sila kritickú veľkosť (2.9) je priehyb prúta ľubovoľný (ale dostatočne malý, pretože by neplatil zjednodušený tvar diferenciálnej rovnice priehybovej čiary). Je to dané tým, že priehyb (2.8) je určený až na konštantu A, ktorá je ľubovoľná. Ako vyplýva z rovnice (2.8), má táto konštanta fyzikálny význam maximálneho priehybu prúta (obr.2.3).

Obr. 2.3

Na obr.2.3 je tvar priehybovej čiary pre k = 1, 2, 3. Sila, pri ktorej nastáva rovnováha, má všeobecne veľkosť:

F k Fkr= 2 .

kde: Fkr - je daná výrazom (2.9). Prípady pre k>1 nemajú praktický význam, pretože medzi

k=1 a k=2 leží labilná oblasť.

2.3 Vplyv uloženia koncov prúta Eulerov výraz pre kritickú silu v tvare (2.9) platí iba pre prút s kĺbovo uloženými koncami. Pre iné prípady uloženia koncov prúta by sme odvodili veľkosť kritickej sily z rovnice (2.3) a (2.4) analogickým spôsobom, zmenia sa len okrajové podmienky úlohy. Ostatné prípady uloženia je možné previesť na základný prípad zavedením tzv. redukovanej dĺžky prúta lr.

• Je to dĺžka prúta uloženého obojstranne kĺbovo, ktorý má rovnakú vzpernú tuhosť ako uvažovaný prút s iným uložením, ale s rovnakou tuhosťou v ohybe E.Jx.

55

Prehľad redukovaných dĺžok pre najčastejšie prípady uloženia koncov prútov sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Body A, B, C sú inflexné body priehybových kriviek.

Tabuľka 2.1 Prípad 1 2 3 4 Uloženie koncov prúta

Redukovaná dĺžka

l lr = l lr = 2. l

lr =

2 l

lr =

2

Eulerova kritická sila má všeobecne veľkosť, ktorú určíme zo vzťahu (2.9) náhradou dĺžky l tzv. redukovanou dĺžkou lr :

FE J

lkrx

r

=π 2

2

. . (2.10)

Kritickej sile odpovedá kritické tlakové napätie:

σπ π

krkr x

r

x

r

F

S

E J

l S

E i

l= = =

2

2

2 2

2

. .

.

. . (2.11)

kde: iJ

Sxx= - je polomer zotrvačnosti priečneho prierezu.

Vzťah (2.11) môžeme ešte zjednodušiť zavedením tzv. štíhlostného pomeru:

λ =l

ir

x

(2.12)

σπλkr E=

2

2 . (2.13)

2.4 Medze použiteľnosti Eulerovho výrazu Ak znázorníme závislosť kritického napätia (2.13) ako funkciu štíhlostného pomeru λλλλ, dostaneme hyperbolu. Pretože rovnica (2.1) je dôsledkom platnosti Hookovho zákona, bude výraz (2.13) platiť len pre napätie, ktoré neprekročí veľkosť napätia na medzi úmernosti σσσσU (obr.2.4).

56

Vzťah (2.13) bude teda platiť len pre:

λ λ π σ≥ =UU

E. (2.14)

kde: λλλλU - je štíhlostný pomer, pre ktorý je kritické napätie (2.13) rovné napätiu σσσσU pre daný materiál. Pre oceľ pevnosti asi 420 MPa (σσσσU ≈ 200 MPa) je λλλλU ≈ 100. Pre tento prípad platí časť Eulerovej hyperboly I. vyznačená na obr.2.4 plnou čiarou. Je to oblasť pružného vzperu.

Obr. 2.4

Pre kritické napätie v intervale σσσσkr ∈∈∈∈ (σσσσU, σσσσKd), teda pre oblasť pružne-plastického vzperu II. už neplatí vzťah pre Eulerovu kritickú silu. Kritické napätie v závislosti na štíhlosti sa v tejto oblasti určuje najčastejšie experimentálne. Tetmajer a Jasinskij túto závislosť

nahradzujú pre húževnaté materiály priamkou v tvare: σ λkr a b= − . (2.15)

a pre krehké materiály použili kvadratickú závislosť: σ λ λkr a b c= − +. . 2

Hodnoty koeficientov a, b, c pre niektoré materiály sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Tabuľka 2.2 Materiál

( hranica pevnosti [MPa] ) a b c

Oceľ ( 300 ÷ 400 MPa ) Oceľ ( 400 ÷ 500 MPa ) Liatina

310 464 776

1,14 3,26 12,0

- -

0,053

Rovnice (2.15) platia pre: σ σkr Kd≤

kde: σσσσKd - je napätie na medzi skĺzu v tlaku. Odpovedajúca veľkosť štíhlostného pomeru je λλλλK. Vzťahy (2.15) teda platia pre štíhlostný pomer v intervale λλλλ ∈∈∈∈ (λλλλK, λλλλU). Pre štíhlostný

pomer λλλλ ∈∈∈∈ (0, λλλλK), teda pre relatívne krátke prúty: σ σkr Kd= (2.16)

Ide o oblasť III. na obr.2.4. V tomto prípade už nie je potrebné kontrolovať prúty na vzper, pretože materiál prúta sa poruší pri prekročení medze skĺzu.

57

2.5 Výpočet prútov na vzper Napätie v súčiastkách namáhaných na vzper musí vyhovovať podmienke:

σ σσ

≤ =D

kr

k (2.17) resp. v tvare: F

F

k

E J

k lkr x

r

≤ =π 2

2

. .

. (2.18)

kde: σ =F

S - je veľkosť tlakového napätia, σ D - je veľkosť dovoleného napätia

σ kr - je veľkosť kritického napätia, k - je miera bezpečnosti proti vybočeniu.

Miera bezpečnosti proti vybočeniu: Tabuľka 2.3

Súčiastky k Oceľové vzpery Liatinové vzpery Drevené vzpery Ojnice spaľovacích motorov Ojnice čerpadiel

2 - 3 5 - 6 3 - 4

4 - 10 20 - 40

Postup pri návrhu prierezu prúta namáhaného na vzper:

1. Zo vzťahu (2.18) sa vypočíta najmenší osový moment zotrvačnosti pre danú osovú silu F,

požadovanú mieru bezpečnosti k, dĺžku a spôsob uloženia lr : ( )JF k l

Exr

min

. .

.=

2

2π

2. Na základe vypočítanej hodnoty (Jx)min sa navrhne tvar a veľkosť prierezu prúta. Musí

platiť: ( )J Jx x≥min

3. Zistí sa štíhlostný pomer navrhnutého prúta podľa (2.12) : λ = =l

il

S

Jr

xr

x

.

4. Ak vyjde 200 ≥≥≥≥ λλλλ ≥≥≥≥ λλλλU , ide o oblasť pružného vzperu a návrh prierezu je ukončený. Norma

z bezpečnostného dôvodu nepripúšťa väčší štíhlostný pomer ako 200.

5. Ak vyjde λλλλK ≤≤≤≤ λλλλ <<<< λλλλU , ide o oblasť pružne plastického vzperu. Je potrebná kontrola napätia

podľa Jasinského-Tetmajera. Podľa (2.17) musí platiť: σσ

= ≤F

S kkr

kde: σσσσkr - je dané vzťahom (2.15). Ak nebude táto podmienka splnená, je potrebné

previesť opravu veľkosti prierezu.

6. Ak vyjde λλλλ <<<< λλλλK , stačí previesť pevnostnú kontrolu na tlak. V podmienke (2.17) je potom

σσσσkr dané vzťahom (2.16).

58

Príklad Úlohou je navrhnúť veľkosť prierezu vzpery 1 konštrukcie rámu (obr.2.5a), ktorá má byť zhotovená z dvoch paralelných tyčí prierezu U. Je dané: F = 5.104 N, h = 2,5 m, l = 2 m a súčiniteľ bezpečnosti zvolíme k = 3. Materiál vzpery je 10370.

Obr. 2.5

Vzpera má dĺžku: l h l m m12 2 2 22 5 2 3 2= + = + =, ,

Zo zložkového obrazca síl (obr.2.5b): Fl

hF N N1

1 4 43 2

2 5510 6 4 10= = =.

,

,. . , .

Najmenší osový moment zotrvačnosti pri uvážení obojstranne kĺbového uloženia

koncov prúta (lr = l1) : ( )JF k l

Em mx min

. .

.

, . . . ,

. , ..= = = −1 1

2

2

4 2

2 114 8 46 4 10 33 2

2 1109510

π π

Volíme prierez: 2 61

2xU , pre ktorý: Jx = 2 . 57,5 cm4 = 115 . 10-8 m4

S = 2 . 9,03 cm2 = 18,1 . 10-4 m2

Štíhlostný pomer vzpery: λ = = =−

−lS

Jx1

4

83 218 110

11510127. , .

, .

.

Pretože λλλλ > λλλλU ≈≈≈≈ 100, ide o oblasť pružného vzperu, pre ktorú je použitie Eulerovho výrazu oprávnené a návrh prierezu vzpery je ukončený.

V opačnom prípade, ak by λλλλ <<<< λλλλU, išlo by o oblasť pružne plastického vzperu a bola by potrebná kontrola napätia podľa Jasinského-Tetmajera. Navrhnutý prierez by musel vyhovovať pevnostnej podmienke:

σ σσ

≤ =D

kr

k kde: σ λkr a b= − .

Hodnoty koeficientov a, b sú uvedené v tabuľke 2.2.

59

2.6 Kontrola na vzper podľa súčiniteľa vzpernosti V praxi pri navrhovaní oceľových konštrukcií je výpočet tlačených prútov normalizovaný. Pritom sa obvykle nepoužíva kritické napätie vo vzpere, ale redukuje sa na napätie v tlaku pomocou súčiniteľa vzpernosti ϕϕϕϕ. Posúdením na vzper prútov, alebo sústav vytvorených z prútov sa potvrdzuje stabilita proti zmene tvaru vybočením, skrútením, klopením alebo pri kombinácii týchto deformácií. Centricky tlačený prút sa pritom posudzuje podľa vzťahu:

N

S D≤ ϕ σ. (2.19)

kde: N - je maximálna osová sila, S - je plná (neoslabená) plocha prierezu, ϕϕϕϕ - je súčiniteľ vzpernosti odpovedajúci štíhlosti prúta λ, σσσσD - je dovolené napätie (základná výpočtová pevnosť materiálu).

Súčinitele vzpernosti sú uvedené v nasledujúcej tabuľke: Tabuľka 2.4

λσ

.D

210

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2503)

A1) 0,99 0,96 0,90 0,77 0,60 0,46 0,35 0,27 0,22 0,18 0,15 0,12 B2) 0,99 0,94 0,86 0,71 0,55 0,42 0,32 0,25 0,20 0,17 0,14 0,11 C2) 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,32 0,25 0,20 0,17 0,14 0,11

Poznámky

1. Súčinitele boli vypočítané zo vzorca:

ϕ λ σ λ σ λ σ= + +

− + +

−

1

21

93 210 1

41

93 210 93 2100

2

0

2 2 2

. . . . .a aD D D

kde: a0 = 0,17 pre hodnoty riadku A a0 = 0,26 pre hodnoty riadku B

2. Súčinitele boli vypočítané pre: 0 210 126< <λ σ. /D zo vzorca:

ϕλ σ

= −1210 210

. D

Pre λ σ. /D 210 126≥ platia hodnoty riadku B.

3. Súčinitele vzpernosti pre: λ σ. /D 210 250> môžeme brať:

ϕ ϕ λ σ=

250

2250 210

. .D

kde: ϕ250 - je súčiniteľ vzpernosti pre λ σ. /D 210 250=

60

Pri výpočte súčiniteľa vzpernosti sa počíta s najväčšou hodnotou základnej výpočtovej pevnosti materiálu. Zníženie vzhľadom na hrúbku materiálu a zníženie súčiniteľa podmienok pôsobenia sa neuvažuje. Súčinitele vzpernosti z jednotlivých riadkov sa vyberajú podľa tvaru prierezu a priradenie k tvarom je uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Poznámky k nasledujúcej tabuľke

1. Riadok C platí pre štíhlosť ramien: b d D/ . /> 8 210 σ

2. Riadok B platí pre prierez jednoosovo symetrický s pomerom plôch pásnic: S S2 1 0 5/ ,>

Tabuľka 2.5

61

V praxi sa v prípade tenkostenných profilov často používajú diagramy stability pre určenie kritického tlakového napätia (obr.2.6).

a.) Obr. 2.6 b.)

Pre určenie kritického napätia potom môžeme použiť odvodené vzťahy (pre µ = 0,3)

v prípade tenkostenných profilov s otvoreným prierezom (obr.2.6a): 2

.

=b

tEKKRσ

a v prípade tenkostenných profilov s uzavretým prierezom (obr.2.6b):

( )2

1

2

12

2

..9,0112

=

−=

h

tEK

h

tEKKR µ

πσ

2.7 Prút zaťažený osovou a priečnou silou Medzi nelineárne úlohy patria prípady, ak nosník prenášajúci priečne sily je súčasne zaťažený osovou silou. Budeme uvažovať najnepriaznivejší prípad, keď osová sila je tlaková. Tento prípad zaťaženia sa označuje bežne ako vzper s ohybom, hoci sa nejedná o stabilitný problém. Uvažujme nosník zaťažený ľubovoľným priečnym zaťažením a tlakovou osovou silou F (obr.2.7). Celkový priehyb nosníka y(z) je súčtom priehybu od priečnych síl y0(z) a priehybu od sily F pôsobiacej na ohnutý nosník. Rovnako ohybový moment v mieste z nosníka môžeme vyjadriť v tvare:

( ) ( ) ( )M z M z F y z= +0 . (2.20)

kde: M0(z) - je moment od priečnych síl.

1

2

33

4

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

bh

K t

b

b

h

1

2

33

4

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

bh

K

5

6

7

b

h

t1t2

t t = 2,02 1

1,0

0,5

62

Ak je nosník tuhý a prídavný ohybový moment F.y(z) od tlakovej osovej sily je malý v porovnaní s momentom M0(z), priehyb y(z) sa málo odlišuje od priehybu y0(z). V takomto prípade môžeme využiť princíp superpozície a výsledné hodnoty napätí a deformácií získať súčtom hodnôt od ohybu a od tlaku.

Obr. 2.7

Ak je tuhosť nosníka taká, že tlaková sila F značne ovplyvňuje veľkosť výsledného priehybu y(z) je potrebné riešiť úlohu ako nelineárnu. Najčastejšie sa používajú napr. metóda riešenia integráciou diferenciálnej rovnice alebo tzv. metóda Howard - Čencevova.

Riešenie integráciou diferenciálnej rovnice Ak vychádzame z rovnice (2.20) môžeme postupovať dvoma spôsobmi. Pri prvom spôsobe získame diferenciálnu rovnicu pre neznámu hodnotu y(z), pri druhom diferenciálnu rovnicu pre neznámu hodnotu M(z). Diferenciálna rovnica priehybovej čiary nosníka namáhaného priečnymi a osovými silami má tvar:

( ) ( )E J y z M zx. . ′′ = − (2.21)

Dosadením (2.20) do (2.21) a zavedením označenia:

pF

E Jx

2 =.

(2.22)

dostaneme diferenciálnu rovnicu pre neznámu y(z) v tvare:

( )

′′ + = −y z p y zM z

Fp( ) . ( ) .2 0 2 (2.23)

Riešenie diferenciálnej rovnice má tvar: y z A p z B p z y zy y P( ) .cos . .sin . ( )= + + (2.24)

Integračné konštanty Ay a By určíme z okrajových podmienok závisiacich od uloženia nosníka, partikulárne riešenie yP(z) závisí od priečnych síl pôsobiacich na nosník. Ak poznáme funkciu y(z), ohybový moment M(z) určíme zo vzťahu (2.20).

63

Pri druhom spôsobe dvakrát derivujeme vzťah (2.20) podľa premennej z, čím dostaneme:

′′ = ′′ + ′′M z M z F y z( ) ( ) . ( )0 (2.25)

Dosadením zo vzťahu (2.21) a využitím (2.22) získame diferenciálnu rovnicu pre neznámu M(z) v tvare:

′′ + = ′′M z p M z M z( ) . ( ) ( )20 (2.26)

Riešenie rovnice má tvar: M z A p z B p z M zM M P( ) .cos . .sin . ( )= + + (2.27)

Integračné konštanty AM a BM určíme z okrajových podmienok, partikulárne riešenie MP(z) závisí od priečneho zaťaženia nosníka. Priehyb y(z) určíme z (2.20):

[ ]y zF

M z M z( ) . ( ) ( )= −1

0

Príklad Závesné rameno nosného systému tvorené dvoma uholníkmi L 100x63x10 je podopreté v mieste A a upevnené lanom v mieste B (obr.2.8). Rameno je v mieste B zaťažené silou Q. Je potrebné určiť maximálne napätie v nosníku a bezpečnosť nosníka proti vybočeniu. Pri výpočte je potrebné uvážiť vlastnú silu tiaže ramena. Rozmery l = 5m, a = 2m. Modul pružnosti v ťahu E = 2.105 MPa, Q = 5000 N. Profily sú navzájom spojené tak, že pri strate stability ich môžeme považovať za jeden celok.

Obr. 2.8

64

Rameno konzoly je zaťažené spojitým zaťažením q od vlastnej sily tiaže a osovou silou F od sily N v lane, pričom: F N= .cosα

Priebeh momentov určíme riešením diferenciálnej rovnice (2.26).

Ohybový moment od priečnych síl: M z A zq z q l z q z

y0

2 2

2 2 2( ) .

. . . .= − = −

Dosadením do (2.26) dostaneme diferenciálnu rovnicu:

′′ + = −M z p M z q( ) . ( )2

Jej riešenie má tvar: M z A p z B p zq

pM M( ) .cos . .sin .= + − 2

Z okrajových podmienok: z = 0 , M(0) = 0 a z = l , M(l) = 0

dostaneme rovnice: 0 2= −Aq

pM

0 2= + −A p l B p lq

pM M.cos . .sin .

Odtiaľ: Aq

pM = 2 a Bq

p

p l

p lM =−

2

1.

cos .

sin .

Priebeh momentov je určený rovnicou: M zq

pp z

p l

p lp z( ) . cos .

cos .

sin ..sin .= − +

−

2 1

1

Maximálny moment je uprostred rozpätia: zl

=2

Ml

Mq

p

p l

p l2

12

2

2

= =

−max .

cos.

cos.

Výsledné normálové napätie v konzole je súčtom napätia od ohybu a tlaku. Maximálne napätie (tlakové) bude v bode C (obr.2.8), kde:

σ σ σC C M C NO

M

W

F

S= + = − −, ,

max

Z tabuliek pre profil L 100x63x10 je: Jx1 = 1,539.106 mm4 , ey = 34,4 mm Jy1 = 0,476.106 mm4 , ex = 16,2 mm S1 = 1,519.103 mm2 q1 = 119,2 N.m-1 = 0,1192 N.mm-1 Osová sila pôsobiaca na konzolu:

F Nq l

Q g= = +

= +

−

.cos.

.cot. , . . .

. .α α2

2 119 2 10 510

2510

5

2

3 33 , F ≅ 14 kN

Podľa (2.22): pF

E Jmm

x

23

5 68 214 10

210 21 539102 27310= = = −

.

.

. . . , ., .

65

Maximálne napätie:

( )σC

O

qp l

W pp l

F

SMPa= −

−

− = −−

− = −−

−

. cos.

. .cos.

. , . , .

, . . , . . ,

.

. , .,

12

2

2 119 2 1 0 9298 10

4 692 10 2 27310 0 9298

1410

21 5191020 308

2

3

4 8

3

3

kde: WJ

ymmO

x

C

= =−

=21539 10

100 34 44 69210

64 3. , .

,, .

cos.

cos, . . .

,p l

2

1 50810 510

20 9298

4 3

= =

Kritická vzperná sila: FE J

lkr

y

r

=π 2

2

. . pre vybočenie v rovine z-x.

Pritom:

( )( ) ( )( )J J e S mmy y x= + + = + + =2 5 2 0 47610 16 2 5 151910 2 317101

2

16 2 3 6 4. . . , . , . , . , .

Potom: F kNkr = =π 2 5 6

2 6

210 2 317 10

5 10182 9

. . . , .

.,

Štíhlostný pomer: λyr

y

l

i= = =

510

2 317 10

2 1 519 10

1813

6

3

.

, .

. , .

t.j. možno použiť riešenie pomocou Eulera, lebo sme v oblasti pružného vzperu.

Bezpečnosť: kF

Fkr= = =

182 9

1413 06

,,

Metóda Howard - Čencevova Pri určitých typoch zaťaženia je možné riešiť úlohu graficko-analytickým spôsobom. Uvažujme prút zaťažený podľa obr.2.9.

Obr. 2.9

66

Pre moment v mieste z platí:

M z MM M

lz

q lz

q zF y zA

B A( ) ..

..

. ( )= +−

+ − +2 2

2

(2.28)

Ak rovnicu (2.28) derivujeme dvakrát podľa premennej z dostaneme: ′′ = − + ′′M z q F y z( ) . ( ) (2.29)

Ak využijeme približnú diferenciálnu rovnicu priehybovej čiary, dostaneme:

′′ + = −M z p M z q( ) . ( )2 (2.30)

Riešenie (2.30) má tvar:

M z A p z B p zq

p( ) .cos . .sin .= + − 2 (2.31)

Zaveďme nové integračné konštanty: A C p= .cos .ε a B C p= .sin .ε (2.32)

Dosadením (2.32) do (2.31) a využitím trigonometrických vzťahov dostaneme:

( )M z C p zq

p( ) .cos .= − −ε 2 (2.33)

Rovnicu (2.33) je výhodné znázorniť v polárnych súradniciach podľa obr.2.10. Narysujeme dve polpriamky so spoločným bodom 0. Ľavá polpriamka odpovedá súradnici z=0, pravá polpriamka súradnici z=l. Polpriamky z=0 a z =l zvierajú uhol:

)ϕπ

π π= = = =p lF

E Jl

F l

E J

F

Fkr

..

..

. .. .

2

2 (2.34)

Obr. 2.10

67

Hodnoty momentu M(z) na polpriamkach z=0 a z=l určíme z okrajových podmienok:

z=0 : M M Cq

pC

q

pA( ) .cos( ) .cos0 2 2= = − − = −ε ε (2.35)

z=l : M l M C p lq

pB( ) .cos( . )= = − −ε 2

Teda platí:

C Mq

p

C p l Mq

p

A

B

.cos

.cos( . )

ε

ε

= +

− = +

2

2

(2.36)

Na polpriamku z=0 vynesieme hodnotu 0A2 = MA + q / p2, na polpriamku z=l hodnotu

0B2 = MB + q / p2. V bode A2 vedieme kolmicu k 0A2, v bode B2 kolmicu k 0B2. Priesečník

kolmíc vymedzuje konštantu C = 0C2 a uhol εεεε. Úsečka 0C2 je priemerom kružnice, ktorá prechádza bodmi 0, A2 , B2 , C2. Výrazy C.cos(p.z-εεεε) a q/p

2 v (2.33) predstavujú v polárnom diagrame na obr.2.10 kružnice k1 a k2 so stredmi v bodoch S a 0. Priebeh momentu M(z) je ohraničený kružnicami k1 a k2 a priamkami z=0, z=l. Maximálny moment je v mieste p.z=εεεε , t.j. pre:

zp

=ε

a má hodnotu: M mMmax max .= η (2.37)

kde: ηηηηmax - je odmeraná poradnica v mieste Mmax , mM - je mierka momentov.

Maximálne napätie v krajnom vlákne určíme zo vzťahu:

σ maxmax= +

F

S

M

WO

(2.38)

Príklad Nosník s prierezom v tvare medzikružia, na koncoch podopretý, je zaťažený silou F=80kN, momentami MA=10kNm, MB=25kNm a spojitým zaťažením o intenzite q=2kNm-1 (obr.2.11a). Je potrebné určiť mieru bezpečnosti k hranici skĺzu, ak je dĺžka l=104 mm, hranica skĺzu Re = 215 MPa, modul pružnosti E = 2,1.105 MPa a geometrické charakteristiky prierezu: J = 18,99 . 106 mm4, W = 2,375 . 105 mm3, S = 7,24 . 103 mm2.

Veličiny p a q.p-2 majú hodnoty: p

F

E Jmm= = = − −

.

.

, . . , ., .

8010

2 110 18 99 101 4210

3

5 64 1

q

pkNm2 4 2

2

1 421099= =−( , . )

68

Medzné hodnoty uhlu ϕϕϕϕ = p.z sú rovné: 0 ≤ ≤ϕ p l.

ϕπ π0

04 4

00180

1 4210 10180

81 4= = =−p l. . , . . . ,)

Z okrajových hodnôt pre ohybový moment vyplýva:

M z M Cq

pA( ) .cos( )= = = − −0 2ε z čoho: Cq

pM A.cosε = +2

M z l M C p lq

pB( ) .cos( . )= = − = − −ε 2 z čoho: C p lq

pM B.cos( . )− = −ε 2

Obr. 2.11

Priebeh ohybových momentov dostaneme grafickou konštrukciou, ktorá bola

popísaná. Riešenie je na obr.2.11b, z ktorého vyplýva:

ηη

max

max max

,

. , .

.

== = =

= −

12 5

12 5 2 25

2 1

mm

M m kNm

m kNm mm

M

M

69

Najväčšie normálové napätie určíme zo vzťahu (2.38):

σ maxmax .

, .

.

, .,= + = + =

F

S

M

WMPa

8010

7 24 10

2510

2 37510116 31

3

3

6

5

Mieru bezpečnosti pri kombinácii vzperu a ohybu nie je možné určiť z pomeru hranice skĺzu a maximálneho napätia, pretože závislosť medzi zaťažením a napätím je nelineárna. Vyjdeme zo skutočnosti, že miera bezpečnosti vyjadruje koľkokrát môže prevádzkové zaťaženie (pri lineárnej závislosti aj napätie) vzrásť v dôsledku nepredvídaných okolností, pričom za limitný považujeme stav, pri ktorom je maximálne napätie rovné pri kombinácii vzperu a ohybu hranici skĺzu. Mieru bezpečnosti odhadneme a zvýšime zaťaženie k - krát. Pomocou Howard - Čencevovej metódy určíme maximálne normálové napätie a porovnáme s hranicou skĺzu. Ak σσσσmax <<<< Re , musíme po prísušnej korektúre hodnoty k výpočet opakovať. Predpokladajme v našom prípade k = 1,6. Zaťaženia majú hodnoty:

F kN

M kN

M kN

q kNm

A

B

= == == =

= = −

801 6 128

101 6 16

251 6 40

21 6 3 2 1

. ,

. ,

. ,

. , ,

Platí:

pF

E Jmm

q

pkNm

p l

= = =

= =

= = =

− −

−

−

−

.

.

, . . , ., .

, .

( , . )

. . . , . . ,

12810

2 110 18 99 101 79610

3 2 10

1 7961099

180 1801 79610 10 102 9

3

5 64 1

2

3

4 2

0

0 04 4 0ϕ π π

)

Grafické riešenie je na obr.2.11c. Maximálny ohybový moment má hodnotu:

M m kNmMmax max . .= = =η 24 2 48

Maximálne normálové napätie je:

σmaxmax .

, .

.

, .,= + = + =

F

S

M

WMPa

12810

7 24 10

4810

2 37510213 6

3

3

6

5

Bezpečnosť k = 1,6 bola odhadnutá správne, pretože σσσσmax ≅≅≅≅ Re .

• Príklady leteckých konštrukcií s charakteristickými prvkami prútov sú zobrazené na obr.2.12a, letecké konštrukcie s charakteristickými prvkami dosiek a stien sú zobrazené na obr.2.12b.

70

a.) Obr. 2.12 b.)

2.8 Rozdelenie dosiek Dosky sú tuhé telesá, ktoré majú jeden rozmer (hrúbku) pomerne malý v porovnaní s ostatnými dvoma rozmermi, ktoré určujú plochu dosky pri danom tvare. Hrúbka dosky môže byť konštantná alebo premenlivá. Doska môže byť rovinná alebo zakrivená. Geometrický tvar tenkej dosky je pre účel výpočtu pevnosti a stability vhodne určený rozmerom a tvarom tzv. strednice dosky (plochy idúcej uprostred hrúbky dosky).

71

Rozdelenie materiálov dosiek, ktoré je nutné zohľadniť pri riešení pružnosti a stability: • izotropné - o rovnakých základných charakteristikách pružnosti E, µµµµ vo všetkých

smeroch strednice dosky, • anizotropné - o rozdielnych charakteristikách pružnosti v rôznych smeroch, • ortotropné - u ktorých v každom bode dosky je možné viesť kolmo k jej strednici dve

vzájomne kolmé roviny, ktoré sú rovinami súmernosti pre charakteristiky pružnosti materiálu v rôznych smeroch.

Zaťaženie dosky je možné rozdeliť na: • kolmé k strednici dosky, pôsobiace spojito na časť alebo celý povrch dosky, • pozdĺžne so strednicou dosky, • kombinované, kolmé a pozdĺžne súčasne.

Zaťaženie na medzi únosnosti dosiek môže byť určené: • podmienkou pevnosti, keď nastáva porucha materiálová, pretože vnútorné napätie

v materiáli vyvolané deformáciou dosky dosiahne príslušnú medzu pevnosti, • podmienkou stability, keď nastáva porucha stabilitná, pretože rovnovážny stav

vnútorných napätí v materiáli a vonkajších zaťažení nie je stabilný pri deformovanom tvare dosky.

Pri riešení napätosti v doskách je nutné rozlišovať obor pružný (keď napätie je úmerné deformácii) a obor nepružný, kde sa uplatňuje vplyv plasticity materiálu. Zaťaženie na medzi únosnosti závisí okrem geometrického tvaru dosky, usporiadaní zaťaženia a mechanických vlastnostiach materiálu aj na okrajových podmienkach uchytenia dosky a spôsobe zavedenia zaťaženia.

Základné rozdelenie dosiek: • hrubé, ktorých hrúbka t >>>> 0,2.b (kde b - je menší rozmer strednice obdĺžnikovej

dosky), • tenké, ktorých hrúbka t ≤≤≤≤ 0,2.b , ktoré sa ďalej delia na:

o Dosky ohybovo tuhé, ktoré držia v rovnováhe kolmé zaťaženie podobne ako nosníky ohybovou napätosťou v priečnych rezoch. V strednici je napätie nulové (obr.2.13a). Ohybovo tuhé dosky sú určené kritériom, že maximálny priehyb strednice wm dosky nepresahuje polovičnú hrúbku t : wm ≤≤≤≤ 0,5.t Uchytenie okrajov je nutné rozlišovať:

� jednoducho podoprené, vyvodzujúce spojito rozložené reakcie na okraje dosky a nebrániace nakláňaniu okrajov pri priehybe dosky,

� votknutie, ktoré vyvodzuje na okraje okrem spojito rozložených reakcií aj spojito rozložený moment.

a.) b.) c.)

Obr. 2.13

72

o Dosky dokonale ohybné (blany, membrány), ktoré držia v rovnováhe kolmé zaťaženie iba ťahovým napätím v smere prehnutej strednice podobne ako krivá stena tenkostennej nádoby zaťaženej vnútorným pretlakom (obr.2.13b). Ťahové napätie je možné považovať za konštantné po celej hrúbke t. Ako membrány je možné približne riešiť aj veľmi tenké dosky, ktoré nemajú nulovú ohybovú tuhosť, pokiaľ maximálny priehyb: wm >>>> 5.t Okrajové uchytenie musí byť nepohyblivé (tuhé) v smere kolmom aj rovnobežnom k strednici ohybnej dosky, aby vyvodilo ťahovú napätosť v jej okraji.

o Dosky ohybné, pri ktorých sa pri zachytení kolmého zaťaženia uplatňuje

kombinácia ohybovej napätosti a ťahovej (membránovej) napätosti v priečnom reze (obr.2.13c).

Uchytenie okrajov ohybnej dosky má byť tuhé aj v smere rovnobežnom k strednici, aby sa mohla vyvinúť a uplatniť okrem ohybovej napätosti aj membránová ťahová napätosť. Riešenie napätosti, deformácií a pevnosti dosiek rôzneho tvaru, spôsobu okrajového uchytenia a rôzneho rozloženia a charakteru zaťaženia je pomerne zložité a náročné. Preto ďalej uvedieme iba základné jednoduché úvahy potrebné pre získanie predstavy o funkcii tenkých dosiek.

2.9 Ohybovo tuhé rovinné dosky pri kolmom spojitom zaťažení

Obdĺžniková doska predĺženého tvaru (a ≥≥≥≥ 4.b) Pri jednoduchom podoprení všetkých štyroch okrajov dosky je možné pri

rovnomernom spojitom zaťažení predpokladať, že tvar plochy prehnutej strednice je v strednej časti dosky približne valcový, pokiaľ je dlhší rozmer a ≥≥≥≥ 4.b (obr.2.14).

Obr. 2.14

V tejto časti dosky má ohyb v smere dlhšieho rozmeru a dosky zanedbateľný vplyv, t.j. prevláda ohybová napätosť ako pri nosníku s veľmi plochým prierezom, jednoducho podopreným na oboch koncoch o rozpätí b.

73

Na jednotkovej šírke prierezu v smere osi y nastane priečna kontrakcia:

ε µ εy x= . (2.39)

Pri valcovom tvare prehnutej strednice tenkej dosky je priečna kontrakcia znemožnená, lebo by spôsobila opačné prehýbanie tenkej dosky v smere y povrchových priamok valcovej plochy. Pri malej hrúbke dosky prehnutej do valcovej plochy si ťahaná a tlačená strana prierezu vzájomne znemožňujú opačnú kontrakciu naprieč tlačených a ťahaných vlákien, takže vzniká napätie σσσσy v smere znemožnenej kontrakcie súčasne s pozdĺžnym ohybovým napätím σσσσx. Pri tejto dvojosovej napätosti sú vyjadrené pomerné predĺženia (s ohľadom na priečnu kontrakciu) pomocou rovníc:

εσ

µσ

εσ

µσ

xx y

y

y x

E E

E E

= −

= −

.

.

(2.40)

Úplné zabránenie priečnej kontrakcie je vyjadrené pretvárnou podmienkou, že v smere povrchových priamok valcovej priehybovej plochy strednice dosky je pomerné predĺženie εεεεy rovné nule.

Z druhej rovnice (2.40): εσ

µσ

y

y x

E E= − =. 0

sa vypočíta priečne napätie: σ µ σy x= .

a po dosadení do prvej rovnice: εσ

µσ

xx x

E E= − 2 .

po úprave: ( )εσ

µσ

xx x

E E= − =

′. 1 2 , ′ =

−E

E

1 2µ (2.41)

vyjde, že vplyv zabránenia priečnej kontrakcie pri ohybe tenkej dosky na ohybovú deformáciu je možné vyjadriť zavedením korigovaného (efektívneho) modulu E’ do vzorcov odvodených pre priehyb nosníkov. Deformáciu dosky je možné potom počítať ako pri jednoosovej napätosti, keď sa do ohybovej tuhosti dosadí korigovaný modul E’. Spojité rovnomerné zaťaženie p (MPa) vyvodí uprostred prúžka dosky o šírke a = 1 a dĺžke b (uvažovaného v smere menšieho rozmeru dosky - obr.2.14) maximálny ohybový

moment: Mp b

max

.=

2

8 (2.42)

pretože spojité zaťaženie pôsobí na prúžok o šírke a = 1 je q = 1.p Moment zotrvačnosti J a modul prierezu v ohybe W uvažovaného prúžka o priereze

s rozmermi 1.t sú:

Jt

=1

12

3. a W

t=

1

6

2. (2.43)

Maximálne napätie v ohybe:

σmaxmax . .

.. . . .= = =

=

M

W

p b

tp

b

tA p

b

t

6

8

3

4

2

2

2 2

(2.44)

74

V tomto vzorci vystupuje bezrozmerný súčiniteľ A, ktorého hodnota 3/4 bola odvodená pre najjednoduchší prípad obdĺžnikovej dosky predĺženého tvaru na celom obvode jednoducho podoprenej a na celom povrchu spojito rovnomerne zaťaženej. Platnosť vzorca pre iné tvary a spôsoby uchytenia okrajov dosiek je možné rozšíriť určením odpovedajúcich hodnôt súčiniteľa A. Minimálna hrúbka tmin dosky je určená podmienkou, že maximálne napätie v ohybe σσσσmax nesmie prekročiť dovolené napätie:

σ σmaxmin

. .=

≤A p

b

t D

2

t A bp

B bp

D Dmin . . . .= =σ σ (2.45)

Pre maximálny priehyb uprostred nosníka pri spojitom rovnomernom zaťažení q celého poľa o dĺžke l je odvodený vzťah:

wq l

E Jm =5

384

4

..

. (2.46)

t.j. pre prúžok tenkej dosky bude mať tvar:

wp b

E J

p b

E t

p b

E tC

p b

E tm =′

=′

=′

=′

5

384

512

3840 156

4 4

3

4

3

4

3..

.

..

.

., .

.

..

.

. (2.47)

kde: E’ - je korigovaný modul pružnosti.

Maximálny priehyb wm je vypočítaný pre dosku podoprenú jednoducho na dlhších stranách vo vzdialenosti b (s kratšími voľnými stranami) a platí približne aj pre dosky predĺženého tvaru a ≥≥≥≥ 4.b podoprené na celom obvode. Ohybová tuhosť dosky:

D E J= ′. (2.48)

predstavuje ohybovú tuhosť prúžka dosky o jednotkovej šírke pri dokonalom zabránení priečnej kontrakcie.

DE t

=−.

.( )

3

212 1 µ (2.49)

Ohybová tuhosť dosky D je základným pojmom zavedeným v teórii pružnosti a stability dosiek bežne používaným v odbornej literatúre.

Dosky s inými pravidelnými tvarmi Odvodenie vzťahov pre Mmax , tmin , wm pre dosky s inými tvarmi, iným spôsobom uchytenia okrajov a pre rôzne typické zaťaženia je dosť zložité. Pri rovnomernom spojitom zaťažení dosky je vplyv tvaru dosky a uchytenie jej okrajov vyjadrené rôznymi hodnotami bezrozmerných súčiniteľov A, B, C, ktoré sú pre potreby technickej praxe uvedené v tabuľke. Pritom platia vzťahy:

σmax . .= A p

b

t

2

t B b

p

Dmin . .= σ

w C

p b

E tm =′

..

.

4

3 B A= ′ =−

EE

1 2µ

75

Pre membrány boli odvodené vzťahy (2.50) platné v celej pružnej oblasti za predpokladu dokonalo tuhého uchytenia okrajov a rovnomerne spojitého zaťaženia na celom povrchu tlakom p. Súčinitele Am , Bm , Cm sú uvedené v tabuľke 2.7.

tE

bpbC

EbpB

t

bpEA m

dovmmm .

.. w,.. t,

.m3min

3

2

′=

′=

′=σ

σ (2.50)

Tabuľka 2.6

Doska Uchytenie A B C miesto σm kruhová, uchytená na celom obvode,

jednoducho podoprená

0,310 0,556 0,048 stred

priemer = b votknutá 0,1875 0,433 0,0118 okraj obdĺžnik, pomer strán b/a = αααα<<<< 1

jednoducho podoprená

0 75

1 1 6 3

,

, .+ α A 0,154

1 2 21 3+ , .α

stred dosky

uchytenie na celom obvode

votknutá 0 5

1 0 623 6

,

, .+ α A 0,0313

1 1 056 5+ , .α

okraj - stred dlhšej strany

obdĺžnik 4.b ≤≤≤≤ a uchytený na celom obvode, alebo

jednoducho podoprená

0,75 0,866 0,156 stred dosky

doska uchytená na dvoch stranách o dĺžke a

votknutá 0,5 0,707 0,0312 votknutý okraj

Tabuľka 2.7

Doska Am Bm Cm

kruhová membrána o priemere b 0,246 0,122 0,254

dlhý obdĺžnik, kratšia strana b 0,347 0,204 0,360

obdĺžnik, pomer strán b/a = αααα<<<< 1, kratšia strana b ( ) 5,141

347,0

α+

3mA

3 41

360,0

α+

2.10 Pozdĺžne zaťaženie nevystužených dosiek Základné rozdelenie pozdĺžneho zaťaženia dosiek je ťahové, tlakové, šmykové

a ohybové. V praxi sa tieto druhy zaťaženia vyskytujú v rôznych kombináciách a môžu byť zavedené na okraje dosky rôznymi spôsobmi. V ďalšom si rozoberieme jednoduché prípady zaťaženia obdĺžnikovej dosky.

76

Spojité rovnomerne rozložené ťahové zaťaženie qx (qy) pôsobiace na okraje dosky vyvodí ťahovú jednoosovú alebo dvojosovú napätosť rozdelenú rovnomerne po celej doske (obr.2.15).

Obr. 2.15

Rovnovážny stav pri ťahovom namáhaní je stabilný v celom rozsahu a pri kombinácii s kolmým zaťažením k strednici odľahčuje ohybové momenty a zmenšuje priehyby vyvolané kolmým zaťažením, podobne ako ťahová osová sila v prúte pri kombinácii so zaťažením kolmým k jeho osi.

Tlakové zaťaženie vyvodí tlakovú napätosť rozdelenú taktiež rovnomerne po celej doske, ale rovnovážny stav je stabilný len pokiaľ zaťaženie nedosiahne hodnotu tzv. kritického zaťaženia Fkr (obr.2.16).

Obr. 2.16

Kritické zaťaženie odpovedá kritickému napätiu σσσσkr , pri ktorom nastáva v zaťaženej doske indiferentná rovnováha. V skutočnosti nastáva vybočenie dosky v dôsledku výrobných nedokonalostí pri zaťažení blížiacom sa kritickej hodnote podobne ako u štíhlych prútov zaťažených osovou tlakovou silou. Vybočenie dosky je charakterizované tvarom plochy prehnutej strednice, ktorý je závislý na tvare a rozmeroch dosky a spôsobe uchytenia jej okrajov. V kombinácii s priečnym zaťažením zväčšuje priehyby a ohybové momenty od priečneho zaťaženia podobne ako u prútov pri pôsobení tlakovej pozdĺžnej sily súčasne s priečnym zaťažením.

Šmykové zaťaženie vzniká pôsobením šmykového toku qt zavedeného na okraje dosky (obr.2.17). Pri pôsobení rovnomerného toku qt vzniká rovnomerne rozložená čistá šmyková napätosť v celej doske. Takto sú napríklad zaťažené polia poťahov pri krútení dutých tenkostenných konštrukcií. Pritom vznikajú v rezoch sklonených o 450 hlavné napätia ťahové σσσσ1 a tlakové σσσσ2 :

τ xytq

t= (2.51) pričom:

σ σ τ1 2= = xy

(2.52)

77

Rovnovážny stav takto zaťaženej dosky je opäť stabilný, pokiaľ zaťaženie a napätie dosky nedosiahne kritickú hodnotu ττττkr, pri ktorej nastáva indiferentná rovnováha. Pri jej prekročení nastane zvláštny druh vybočenia - doska sa zvlní v diagonálnom smere.

Obr. 2.17

Ohybový moment zavedený v rovine strednice na okraj dosky spojitým zaťažením s priamkovým priebehom (obr.2.18) vyvolá ohybovú napätosť v celej doske s napätím rozloženým podľa základnej Navierovej teórie.

Obr. 2.18

Rovnovážny stav zaťaženej dosky je opäť stabilný, pokiaľ zaťaženie nedosiahne kritickú hodnotu, pri ktorej nastane vybočenie (zvlnenie) tlačenej časti tenkej dosky. Toto zaťaženie sa vyskytuje v kombinácii so šmykovým tokom qt u polí stojín nosníkov, zaťažených ohybovým momentom a posúvajúcou silou.

Strata stability rovinnej izotropnej obdĺžnikovej dosky v tlaku Doska uchytená len na dvoch rovnobežných stranách, do ktorej je zavedené spojité rovnomerné tlakové zaťaženie qx = σσσσx . t , vybočí pri prekročení kritického zaťaženia tak, že prehnutá strednica má tvar rozvinutej valcovej plochy. Na obr.2.19 je znázornené vybočenie dosky s dvoma zaťaženými okrajmi a.) jednoducho podoprenými, prípadne b.) dokonalo tuho votknutými.

Za týchto okolností sa tenká doska správa podobne ako prút zaťažený osovou tlakovou silou. Rozdiel nastáva len v tom, že pri vybočení tenkej dosky sa uplatní vplyv zabránenia priečnej kontrakcie takmer dokonalo vplyvom pomerne veľmi malej hrúbky t

oproti rozmeru b dosky. Doska má teda pri ohybovom vybočení zvýšenú tuhosť v ohybe,

vyjadrenú korigovaným modulom pružnosti materiálu v ťahu (2.41):

′ =−

EE

1 2µ

78

Obr. 2.19

Ohybová tuhosť D odpovedajúca ohybovej tuhosti prúžka dosky o jednotkovej šírke je určená známym vzťahom (2.49):

D E JE t

= ′ =−

..

.( )

3

212 1 µ

Kritické zaťaženie qkr okraja dosky je v pružnej oblasti určené ako kritická sila na prúžok o jednotkovej šírke a vzpernej redukovanej dĺžke lr známym Eulerovým vzorcom:

FE J

lkrr

=π 2

2

. . , q

E J

l

D

ltkr

r rkr=

′= =

π πσ

2

2

2

2

. . .. (2.53)

Po dosadení za ohybovú tuhosť D vyjde pre kritické tlakové napätie rovinnej tenkej dosky v pružnej oblasti vzorec:

σπ

µkrr

E t

l=

−

2

2

2

12 1

.

.( ). (2.54)

Vzorec pre kritické napätie v popísanom jednoduchom prípade uchytenia dosky s dvoma nezaťaženými okrajmi mohol byť pre zväčšenie názornosti jednoducho odvodený aplikáciou výsledku známeho Eulerovho riešenia straty stability štíhleho prúta v pružnej oblasti pri dodatočnom zavedení vplyvu zabránenia priečnej kontrakcie, ktorý sa pri prútoch s bežnými prierezmi neuplatňuje. V odbornej literatúre sú uvedené teoretické riešenia straty stability obdĺžnikových dosiek pre všeobecnejšie spôsoby uchytenia, pri ktorých nie sú obidva nezaťažené okraje dosky voľné. Pri rôznych druhoch a rôznych kombináciách okrajových uchytení sa výrazne uplatňuje aj vplyv pomeru strán a/b obdĺžnika. Pri jednoosovom zaťažení dosky obdĺžnikového tvaru je zvykom označovať symbolom a - rozmer dosky v smere tlakového zaťaženia, b - rozmer kolmý k zaťaženiu. Vzorec pre kritické napätie sa uvádza jednotne v tvare:

σπ

µkr TKE t

b=

−.

.

.( ).

2

2

2

12 1 (2.55)

kde: KT - je bezrozmerný súčiniteľ vyjadrujúci vplyv usporiadania uchytenia okrajov a vplyv pomeru strán obdĺžnikovej dosky.

79

Pre kovové dosky je µµµµ = 0,3 potom:

σkr TK Et

b=

. , . .0 91

2

(2.56)

Je zrejmé, že uvedený vzťah platí len pre pružnú oblasť, kde E = konšt. V nepružnej oblasti sa používajú pre výpočet kritického napätia rôzne náhradné vzťahy (analogicky ako u prútov zaťažených tlakom).

Stabilita tenkej dosky pri šmykovom zaťažení Rovnomerne rozložený šmykový tok po obvode dosky vyvodí čistú šmykovú napätosť, (obr.2.20).

Obr. 2.20

Šmykový tok q vyvodí v doske v smeroch 450 k okraju dosky hlavné napätie ťahové σσσσ1, tlakové σσσσ2, ktorých veľkosť je σσσσ1 = σσσσ2 = ττττ. Kritické napätie, keď doska stratí stabilitu, je dosiahnuté pre µµµµ = 0,3 :

τ kr SK Et

b=

0 91

2

, . . . (2.57)

Po prekročení kritického napätia ττττkr rovnej dosky nedochádza k strate únosnosti, ale doska je schopná prenášať rastúce vonkajšie zaťaženie. Dôjde však k zmene rozloženia napätí σσσσ1 a σσσσ2. Hodnoty súčiniteľov KT a KS určíme z grafov v závislosti na pomere strán a/b (obr.2.21). Kritické napätie zakrivenej steny zaťaženej tlakom (obr. 2.22) je možné určiť za

predpokladu, keď a > b a 12.

2

≤tR

b zo vzťahu:

( )2

2

2

22

.413

+

−=

R

bE

b

tEKR πµ

πσ (2.58)

resp. z výsledkov skúšok:

R

tE

b

tEKR .24,0.3,3

2

+

=σ (2.59)

Kritické napätie uzavretej škrupiny zaťaženej tlakom po obvode (obr.2.23) vychádza z experimentálnych skúšok:

( )R

tEKR .3,012,0 ÷=σ (2.60)

80

Obr. 2.21

a.) Obr. 2.22 b.)

Obr. 2.23

Mo

Obr. 8.25: Zakřivená deska

a

Rb

t

R

t

a

81

2.11 Pevnosť a stabilita sendvičových nosníkov a dosiek Sendvičové konštrukcie sú ľahké, ohybovo tuhé konštrukčné panely, ktoré sa skladajú z ľahkého, pomerne hrubého, ale málo pevného materiálu jadra, na ktorom sú prilepené dva poťahy s vysokou membránovou tuhosťou, ale nízkou vlastnou ohybovou tuhosťou (obr.2.24). Tieto trojvrstvové dosky sú používané pri konštrukciách krídel lietadiel, predovšetkým klapiek a krídelko, kormidiel a trupu – nákladové dvere, kryty radarov, prúdnicové kryty a časti kabín.

Tabuľka 2.8

Obr. 2.24

Poťahy sú kovové, alebo nekovové a účelom je odolávať ohybovým a membránovým zaťaženiam pôsobiacim na panel. Tlakové a ťahové napätie v poťahoch pôsobí okolo neutrálnej osi a vyvažuje pôsobiaci ohybový moment. Pretože poťahy sú všeobecne tenké v porovnaní s celkovou hrúbkou sendviča, je možné predpokladať, že napätie v nich je po hrúbke konštantné. Materiál jadra môže byť kovový, alebo nekovový. Kovové jadrá majú bunkovú štruktúru rôzneho tvaru, najčastejšie šesťuholníkového tvaru (voštiny). Nekovové jadrá sa delia do dvoch hlavných skupín – s jadrom bunkovej štruktúry podobne ako kovové jadrá a peny. Peny majú taktiež bunkovú štruktúru, ale bunky majú rozmery o jeden, alebo dva rady menší a sú skôr guľového tvaru. Peny môžeme ďalej deliť na peny s otvorenými bunkami a peny s uzavretými bunkami. Účelom jadra je držať poťahy v správnej vzdialenosti od seba, prenášať šmykové zaťaženie pôsobiace po hrúbke, zabrániť relatívnemu šmykovému pohybu poťahov, pôsobiť ako prostriedok k rozloženiu bodového zaťaženia (ako sú napr. rôzne upevňovacie prvky) do konštrukcie a zabrániť miestnemu zborteniu poťahov pri zaťažení. Keď má výplň dostatočne veľkú tuhosť v šmyku a tlaku, je možné dosiahnuť u trojvrstvovej dosky vysokú ohybovú tuhosť a únosnosť pri pomerne nízkej hmotnosti (tab.2.8). Poťahy sú s jadrom spojené pomocou lepidla. Lepidlo musí mať dostatočný modul v šmyku, aby nedošlo ku kĺzaniu poťahov po jadre a dostatočnú pevnosť v šmyku pre bezporuchový prenos šmykového zaťaženia do jadra. Taktiež by malo mať dostatočnú pevnosť v ťahu, aby nedošlo k miestnemu odlepeniu následkom miestneho zbortenia (straty stability) poťahov.

Rozdelenie ohybového napätia Podľa obr.2.24 môžeme vyjadriť ohybovú tuhosť sendvičového nosníka na jednotku šírky vzťahom:

122

.

6

323 cE

dtE

tED c

ff

ff ++= (2.61)

82

kde: Ef a Ec – sú moduly pružnosti poťahu, resp. jadra. Pre kompozitné poťahy sa modul v smere x a y získa analýzou laminátu.

Prvé dva členy v predchádzajúcej rovnici predstavujú ohybovú tuhosť poťahov, tretí

člen je ohybová tuhosť jadra. Napätie ako funkcia vzdialenosti od neutrálnej osi v sendvičovom panely sa určí zo vzťahu:

D

EzME z

zzz

... == εσ (2.62)

V prípade jednotkového ohybového momentu udáva táto rovnica rozdelenie ohybového napätia po hrúbke nosníka. Modul má index z, pretože moduly pre poťah a jadro sú rôzne. Obrázok 2.25 ukazuje, ako sa rozdelenie napätia mení pre:

a.) Poťahy a jadro s rovnakým modulom (homogénny tuhý nosník). b.) Sendvičový nosník s pomerom Ec/Ef = 0,13 (jadro čiastočne prispieva k ohybovej

tuhosti). c.) Sendvičový nosník s pomerom Ec/Ef = 3.10-5 (jadro neprispieva k ohybovej tuhosti).

Obr. 2.25

Je zrejmé, že pre jadrá s nízkym modulom všetky ohybové napätia prenášajú poťahy.

V uvedenom príklade majú poťahy relatívne veľkú hrúbku v porovnaní s celkovou hrúbkou panelu.

Pretože panely majú malú vlastnú ohybovú tuhosť a pretože príspevok jadra k ohybovej tuhosti panelu je taktiež malý, môže sa prvý a posledný člen v rovnici (2.61) zanedbať:

2

. 2dtED f

f=

(2.63)

Pre široké nosníky je potrebné tiež uvažovať s aproximáciou vplyvu Poissonovej deformácie. Vo vzťahu pre tuhosť sendviča sa nahradí Ef hodnotou Ef / (1-µ

2).

Rozdelenie šmykového napätia Pre väčšinu skutočných sendvičových panelov je hrúbka poťahov malá v porovnaní s celkovou hrúbkou panela a Youngov modul jadra je všeobecne nízky oproti panelom, takže je možné použiť približnú hodnotu:

−+= 2

2

4..1 z

c

dtE

E

d

T

ff

czτ (2.64)

a) b) c)

83

kde: T – je šmyková sila, d – je vzdialenosť stredov poťahov, Ec a Ef – sú moduly pružnosti jadra a poťahu, c – je hrúbka jadra, z – je súradnica vzdialenosti od neutrálnej osi a v jadre má hodnoty –c/2 < z < c/2.

V tejto rovnici je pravý člen maximálny, ak je hodnota z nulová. Ak je hodnota

Youngovho modulu jadra nízka oproti modulu poťahov (určite to platí pre voštinové jadrá, nemusí to platiť pre peny), môžeme pravý člen zanedbať a rovnica sa redukuje na:

d

Tc =τ (2.65)

Vzťah (2.65) platí pre sendviče, kde c >> t a d ≈ c. Preto je šmykové napätie po priereze nepevného jadra v sendvičovom panely konštantné. Obrázok 2.26 ukazuje rozdelenie šmykového napätia pre kombinácie tuhých, stredne tuhých a poddajných jadier v sendviči s relatívne hrubými poťahmi.

Obr. 2.26

a.) Tuhý homogénny nosník. b.) Sendvičový nosník s pomerom Ec/Ef = 0,13. c.) Sendvičový nosník, kde Ec << Ef.

Priehyb sendvičového nosníka Celkový priehyb jednoducho podopreného sendvičového nosníka o dĺžke l, s centrickým zaťažením F na jednotku šírky je daný súčtom priehybu od ohybu a priehybu od šmyku:

dG

lF

D

lFwww

coS ..4

.

.48

. 3

max,max,max +=+= (2.66)

kde: D – je ohybová tuhosť sendviča, Gc – je modul v šmyku jadra sendviča.

Úprava rovnice na tvar:

dG

l

D

l

lF

w

c ..4.48.

2max += (2.67)

dáva priamkový priebeh, ak sa vynesie ako funkcia l

2. Úsek na zvislej osi je 1/4.Gc.d a smernica je 1/48.D. Skúškou sendvičového nosníka trojbodovým ohybom je možné určiť ohybovú tuhosť nosníka a šmykový modul jadra.

a) b) c)

84

Strata stability sendvičových dosiek Ku strate stability dochádza pri tlakovom zaťažení sendvičového panelu podobne ako u prútov a dosiek. Rozlišujeme ohybovú stratu stability, ktorá sa vyskytuje u relatívne štíhlych sendvičových konštrukcií a miestnu, tvarovú stratu stability u relatívne kratších prvkov.

• Ohybová strata stability (obr.2.27) - Pre výpočet kritickej sily ohybového vybočenia sendvičového panelu je možné použiť vzťah:

bdG

Dl

D

GS

F

FF

cc

EKR

EKRKR

..

.

.

.1

22

2

,

,

ππ

+=

+

= (2.68)

kde: FKR,E – je Eulerovo zaťaženie 2

2

, l

DF EKR

π= , D – je ohybová tuhosť sendvičového

panelu podľa rovnice (2.63), S.Gc – je tuhosť v šmyku, S – je prierezová plocha

c

dbS

2.= , dc

d ≈2

, pre jednotkovú šírku je b = 1, Gc – je modul v šmyku jadra.

Obr. 2.27 Obr. 2.28

Obr. 2.29 Obr. 2.30

• Šmyková strata stability (obr.2.28) – Následkom nedostatočnej hrúbky jadra

a šmykového modulu jadra vzniká šmyková strata stability jadra (šmykové zvlnenie) a kritickú silu je možné vypočítať zo vzťahu: bGcF cKR ..= (2.69)

• Zvlnenie poťahu (obr.2.29) – Zvlnenie poťahu vzniká tak, že poťahy sendvičového

nosníka zaťažené na koncoch tlakom stratia lokálne stabilitu. Dĺžka vlny je podstatne kratšia ako celková dĺžka nosníka. Rovnica pre určenie tlakového napätia v poťahu,

pri ktorom sa poťah zvlní je: ( ) 31..5,0 fccKR EEG=σ (2.70)

kde: Ec – je modul pružnosti v tlaku jadra v smere osi z. Neuvažuje sa hrúbka jadra

a poťahu. Závislosť na hrúbkach a spôsobe zvlnenia je zahrnutá v presnejších modeloch. Normálne výrobné chyby, ako je mierne zvlnenie povrchu a premenlivosť vlastností jadra spôsobí typické zníženie hodnoty kritického napätia pri zvlnení o 20 až 30%.

Obr. 8.35: Zvlnění potahu

85

• Interbunková strata stability (obr.2.30) – Na poťahu sendvičových panelov sa môžu pri zaťažení ohybom, alebo tlakom objaviť prehĺbenia veľkosti voštinových buniek. Jedná sa o vtlačenie poťahu účinkom tlaku do vnútra buniek (tlak pôsobí na jednoducho podoprenú šesťuholníkovú dosku). Napätie, pri ktorom vznikajú takéto

prehĺbenia sa vypočíta zo vzťahu:

2

.2

=

s

tE f

fKRσ (2.71)

kde: s – je veľkosť bunky, t.j. priemer kružnice vpísanej do šesťuholníkovej bunky. Takéto prehĺbenia poťahu sú obvykle obmedzené na panely s extrémne tenkými poťahmi a veľkými rozmermi buniek. Pre väčšinu praktických aplikácií je tento spôsob poškodenia nepravdepodobný.

V súčasnosti sa vo veľkej miere uplatňujú pri stavbe lietadiel predovšetkým materiály zložené z viacerých zložiek - kompozitné materiály (sklolaminát, CFRP kompozit). Majú výborné mechanické vlastnosti a chemickú odolnosť. Ponúkajú rôznorodé technologické možnosti využitia v leteckom priemysle. Vďaka ortotropii - schopnosti prenášať veľké zaťaženie v jednom smere, sa z nich dá vyťažiť maximum úžitkových vlastností pri minimálnej hmotnosti. Sú preto vhodné pre použitie v dopravnej a leteckej technike.

Sklolaminát je zmiešaný materiál, jeho hlavnými komponentmi sú sklenené vlákno (ako výstuž) a tepelne vytvrdený polymér (živica), odolný proti UV žiareniu. Vysoká tepelná odolnosť (-40°C +140°C) a výnimočné fyzikálno - mechanické vlastnosti v spojení s jeho životnosťou, nízkou hmotnosťou a jednoduchým spracovaním tak robia zo sklolaminátu ideálny materiál s mnohostranným použitím.

CFRP (carbon fibre reinforced polymer - polymér vystužený uhlíkovými vláknami). Tento kompozit tvorí 50% tkanina z uhlíkových vlákien (spletených v 90° uhle) a 50% epoxidová živica, ktorá predstavuje matricu kompozitného materiálu. CFRP sa vyznačujú väčšou tuhosťou a pevnosťou ako iné kompozity, ale na druhej strane sú oveľa nákladnejšie.

Príklad podielu rôznych typov materiálov vrátane kompozitov na konštrukcii dopravného lietadla Boeing 787 Dream Liner je na obr.2.31.

Obr. 2.31