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2020.02.24
中学数学卒業マラソン中１編 １ 正の数と負の数 （１）次の数の中から、⾃然数を全て選びなさい。
４、−３、 ４
７ 、＋７、０、２.５、−
１５
（２）次の数を、絶対値の⼩さい⽅から順に並べなさい。
２、５
３ 、−１.７、０、−
９５
（３）−25+19−(−15)−12＝ （４）(−2.4)÷0.6＝
（５）（ −２１２２
）÷(−７
１１)＝
（６）−２０３
÷(−１６
９)÷（−6）＝
（７）24−｛4$−(−3)×５｝＝ ２ ⽂字の式 （１）上底が a cm、下底が b cm、⾼さが h cm の台形の⾯積を表す式を書きなさい。
（２）花１本の値段が𝑥円であるとき、次の式は何を表していますか。1000−8𝑥 (円) （３）𝑎 = −2, 𝑏 = 3のとき、−5𝑎 + 2𝑏式の値を求めなさい。
（４）次の２つの式をたしなさい。また、左の式から右の式をひきなさい。
3𝑎 − 4, 5𝑎 + 4
（５）$.(9𝑥 + 15) − 3(3𝑥 − 4)＝
（６）2000m のランニングコースを、分速𝑥m で⾛ると、かかる時間は y 分である。このことを等式か不等式で表しなさい。
（７）1000 円出して、１本𝑥円のバラの花を６本買うと、おつりがあった。このことを等式か不等式で
表しなさい。
３ ⽅程式
（１）34= 10
（２）17𝑥 − 5 = 9𝑥 − 5 （３）0.6𝑥 − 3 = −𝑥 + 1.8 （４）（ ）にあてはまる式や⾔葉を書き⼊れなさい。
a : b =c : d のような⽐が等しいことを表す式を、（ ）といい、外側の項の積と内側の項の積は等しく、a : b =c : d ならば、（ ＝ ）が成り⽴つ。
（５）𝑥 ∶ 16 = ;<∶ $.
（６）何⼈かの⼦どもで、あめを同じ数ずつ分けます。３個ずつ分けると、１２個あまり、５個ずつ分
けると２０個⾜りません。⼦どもの⼈数とあめの個数を求めなさい。 （７）表が⿊、裏が⽩の⽯があります。はじめは⿊も⽩も２０個ずつ並んでいましたが、このうち、何
個かの⿊をひっくり返して⽩に変えると、⿊と⽩の個数の⽐が 3：5 になりました。何個の⽯をひっくり返したでしょうか。
４ 変化と対応 （１）𝑦は𝑥に⽐例し、𝑥 = 2のとき、𝑦 = 6である。𝑥と𝑦の関係を式に表しなさい。
（２）𝑦は𝑥に反⽐例し、𝑥 = .$のとき、𝑦 = <
.である。𝑥と𝑦の関係を式に表しなさい。
（３）𝑦 = <
.𝑥のグラフをかきなさい。
（４）𝑦 = − <
3のグラフをかきなさい。
（５）（４）のグラフのような、２つの曲線のことを何といいますか。
（６）次の（ア）〜（ウ）から、𝑦が𝑥に⽐例するものと、反⽐例するものを、それぞれ答えなさい。
（ア）⻑さ 20m のテープを𝑥⼈で等分したときの 1 ⼈分の⻑さ𝑦m （イ）ガソリン１L で、10km ⾛る⾞が、ガソリン 𝑥L で⾛る距離𝑦km （ウ）⾯積 18 ㎠のひし形で、２本の対⾓線の⻑さ𝑥cm と𝑦cm
（７）底辺が𝑥cm、⾼さが𝑦cm の三⾓形の⾯積が 18 ㎠であるとき、𝑥と𝑦の関係を式に表しなさ
い。
（８）(7)で、⾼さが５cm のとき、底辺は何 cm になりますか。 ５ 平⾯図形 （１）⻑⽅形 ABCD において、辺 AB と辺 BC が垂直であることを記号を使って表しなさい。 （２）△ABC を、直線 l を対象の軸として対称移動した図をかきなさい。 （３）下の△ABC で、∠B の⼆等分線と∠C の⼆等分線の交点 P を作図しなさい。 （４）下の図で、線分 BC を利⽤して、45°の⼤きさの∠ABC を作図しなさい。
A
B
D
C
A
B
C
l
A
B C
B C
（５）半径 10cm、中⼼⾓ 36°のおうぎ形の弧の⻑さを求めなさい。 （６）（５）のおうぎ形の⾯積を求めなさい （７）半径 4cm、この⻑さ 2πcm のおうぎ形の中⼼⾓の⼤きさを求めなさい。 （８）（７）のおうぎ形の⾯積を求めなさい。 ６ 空間図形 （１）次の展開図を組み⽴ててできる⽴体の名前を答えなさい。
（２）下の図の四⾓柱について、直線 AB とねじれの位置にある直線を全て答えなさい。
（３）下の展開図を組み⽴ててできる⽴体について、辺 AB と平⾏な⾯をすべて答えなさい。
（４）（３）のとき、⾯カと垂直な⾯をすべて答えなさい。
（５）下の図は、正四⾓錐の投影図を途中までかいたものです。たりない線をかきいれて、投影図を完成させなさい。
（６）⺟線の⻑さが 12cm、底⾯は半径 8cm の円である円錐がある。この円錐の表⾯積を求めなさい。
（７）底辺が１辺 5cm の正四⾓形、⾼さが 6cm の正四⾓錐の体積を求めなさい。
X Y
（８）直径 12cm の球の体積を求めなさい。 ７ 資料の活⽤ （１）T 中学校の⽣徒 20 ⼈の通学時間（分）を調べ、数値が⼩さい順に並べると、下のようになりま
した。中央値を求めなさい。
（２）（１）のとき、最頻値を求めなさい。
（３）（１）のとき、平均値を⼩数第 1 位まで求めなさい。
（４）次の表は、U 中学校の⽣徒 40 ⼈の握⼒についてまとめたものである。空欄を埋めなさい。 階級（kg） 階級値（kg） 度数（⼈） 階級値×度数
10 以上〜14 未満 12 5 60 14 〜18 16 8 ③ 18 〜22 ① 18 ④ 22 〜26 24 7 168 26 〜30 ② 2 56
計 40 ⑤ （５）この表から、U 中学校の⽣徒の握⼒の平均を求めなさい。 （６）V 中学校の⽣徒 20 ⼈の通学時間（分）を調べると、下のようになりました。
最⼤値を求めなさい。
5 6 7 10 10 11 12 12 13 14 15 16 16 16 18 18 20 22 26 30
6 10 12 5 12 16 7 10 20 18 11 22 16 30 16 13 15 18 14 26
（７）（６）のとき、最⼩値を求めなさい。 （８）（６）のとき、範囲を求めなさい。 ――――――――――――――――――――――解答―――――――――――――――――――――― １ 正の数と負の数 （１）次の数の中から、⾃然数を全て選びなさい。
４、−３、 ４
７ 、＋７、０、２.５、−
１５
４、＋７
（２）次の数を、絶対値の⼩さい⽅から順に並べなさい。
２、５
３ 、−１.７、０、−
９５
０、５
３ 、−１.７、−
９５
、２
（３）−25+19−(−15)−12＝−3 （４）(−2.4)÷0.6＝−４
（５）（ −２１２２
）÷(−７
１１)＝
３
２
（６）−２０３
÷(−１６
９)÷（−6）＝−
５８
（７）24−｛4$−(−3)×５｝＝−７ ２ ⽂字の式 （１）上底が a cm、下底が b cm、⾼さが h cm の台形の⾯積を表す式を書きなさい。
>２
(a＋b)（㎠）
（２）花１本の値段が𝑥円であるとき、次の式は何を表していますか。1000−8𝑥 (円) 1000 円出して、花を８本買ったときのおつり
（３）𝑎 = −2, 𝑏 = 3のとき、−5𝑎 + 2𝑏式の値を求めなさい。 16
（４）次の２つの式をたしなさい。また、左の式から右の式をひきなさい。 3𝑎 − 4, 5𝑎 + 4
和：8𝑎、 差：−2𝑎 − 8
（５）$.(9𝑥 + 15) − 3(3𝑥 − 4)＝−3𝑥 + 22
（６）2000m のランニングコースを、分速𝑥m で⾛ると、かかる時間は y 分である。このことを等式か不等式で表しなさい。
$???3
= y または、 𝑥𝑦 = 2000
（７）1000 円出して、１本𝑥円のバラの花を６本買うと、おつりがあった。このことを等式か不等式で表しなさい。
1000 − 6𝑥 > 0 または、6𝑥 < 1000
３ ⽅程式
（１）34= 10 𝑥 = 50
（２）17𝑥 − 5 = 9𝑥 − 5 𝑥 = 0 （３）0.6𝑥 − 3 = −𝑥 + 1.8 𝑥 = 3 （４）（ ）にあてはまる式や⾔葉を書き⼊れなさい。
a : b =c : d のような⽐が等しいことを表す式を、（ ⽐例式 ）といい、外側の項の積と内側の項の積は等しく、a : b =c : d ならば、（ ad＝bc ）が成り⽴つ。
（５）𝑥 ∶ 16 = ;<∶ $. 𝑥 = 6
（６）何⼈かの⼦どもで、あめを同じ数ずつ分けます。３個ずつ分けると、１２個あまり、５個ずつ分
けると２０個⾜りません。⼦どもの⼈数とあめの個数を求めなさい。 ⼦どもの⼈数を𝑥⼈とすると、
3𝑥 + 12 = 5𝑥 − 20 𝑥 = 16
⼦どもの⼈数は 16 ⼈だから、あめの個数は、 3×16＋12＝60
A．⼦どもの⼈数 16 ⼈、あめの個数 60 個
（７）表が⿊、裏が⽩の⽯があります。はじめは⿊も⽩も２０個ずつ並んでいましたが、このうち、何個かの⿊をひっくり返して⽩に変えると、⿊と⽩の個数の⽐が 3：5 になりました。何個の⽯をひっくり返したでしょうか。
⿊の⽯を𝑥個ひっくり返したとすると、 (20 − 𝑥) ∶ (20 + 𝑥) = 3 ∶ 5
𝑥 = 5 A. ５個
４ 変化と対応 （１）𝑦は𝑥に⽐例し、𝑥 = 2のとき、𝑦 = 6である。𝑥と𝑦の関係を式に表しなさい。
𝑦 = 3𝑥
（２）𝑦は𝑥に反⽐例し、𝑥 = .$のとき、𝑦 = <
.である。𝑥と𝑦の関係を式に表しなさい。
𝑦 =2𝑥
（３）𝑦 = <.𝑥のグラフをかきなさい。
（４）𝑦 = − <
3のグラフをかきなさい。
（５）（４）のグラフのような、２つの曲線のことを何といいますか。
双曲線
（６）次の（ア）〜（ウ）から、𝑦が𝑥に⽐例するものと、反⽐例するものを、それぞれ答えなさい。 （ア）⻑さ 20m のテープを𝑥⼈で等分したときの 1 ⼈分の⻑さ𝑦m 𝑦 = $?
3
（イ）ガソリン１L で、10km ⾛る⾞が、ガソリン 𝑥L で⾛る距離𝑦km 𝑦 = 10𝑥 （ウ）⾯積 18 ㎠のひし形で、２本の対⾓線の⻑さ𝑥cm と𝑦cm 𝑦 = .B
3
⽐例するもの…イ、反⽐例するもの…ア、ウ （７）底辺が𝑥cm、⾼さが𝑦cm の三⾓形の⾯積が 18 ㎠であるとき、𝑥と𝑦の関係を式に表しなさ
い。
𝑦 =36𝑥
（８）(7)で、⾼さが５cm のとき、底辺は何 cm になりますか。 𝑦 = .B
3に𝑦 = 5を代⼊して、𝑥 = 7.2
底辺は 7.2cm ５ 平⾯図形 （１）⻑⽅形 ABCD において、辺 AB と辺 BC が垂直であることを記号を使って表しなさい。 AB⊥BC （２）△ABC を、直線 l を対象の軸として対称移動した図をかきなさい。 （３）下の△ABC で、∠B の⼆等分線と∠C の⼆等分線の交点 P を作図しなさい。 コンパスを使ってかきましょう。
A
B
D
C
A
B
C
l
A
B C
（４）下の図で、線分 BC を利⽤して、45°の⼤きさの∠ABC を作図しなさい。 線分 BC を延⻑して、点 B を通る垂線をかく。
垂線を書いたところに 90°⾓ができるので⾓の⼆等分線をかく。 （５）半径 10cm、中⼼⾓ 36°のおうぎ形の弧の⻑さを求めなさい。
弧の⻑さを𝑥cm とすると、
𝑥 = 2 ×π× 10 ×36360
𝑥 = 2π 弧の⻑さ 2πcm
（６）（５）のおうぎ形の⾯積を求めなさい
⾯積を𝑥㎠とすると、
𝑥 = π × 10$ ×36360
𝑥 = 10π ⾯積 10π㎠
（７）半径 4cm、この⻑さ 2πcm のおうぎ形の中⼼⾓の⼤きさを求めなさい。
中⼼⾓の⼤きさを𝑥°とすると、
2𝜋 = 2 ×π × 4×𝑥360
𝑥 = 90 中⼼⾓ 90°
（８）（７）のおうぎ形の⾯積を求めなさい。
⾯積を𝑥㎠とすると、
𝑥 = π × 4$ ×90360
𝑥 = 4π ⾯積 4π㎠
B C
６ 空間図形 （１）次の展開図を組み⽴ててできる⽴体の名前を答えなさい。
正四⾓錐
（２）下の図の四⾓柱について、直線 AB とねじれの位置にある直線を全て答えなさい。 直線 EH、直線 GH、直線 FG、直線 CG、直線 DH
（３）下の展開図を組み⽴ててできる⽴体について、辺 AB と平⾏な⾯をすべて答えなさい。 ⾯ウ、⾯エ
（４）（３）のとき、⾯カと垂直な⾯をすべて答えなさい。 ⾯ア、イ、エ、オ
（５）下の図は、正四⾓錐の投影図を途中までかいたものです。たりない線をかきいれて、投影図を完
成させなさい。
X Y
（６）⺟線の⻑さが 12cm、底⾯は半径 8cm の円である円錐がある。この円錐の表⾯積を求めなさい。側⾯は、半径 12cm、弧の⻑さが 16πcm のおうぎ形だから、
中⼼⾓の⼤きさを𝑥°とすると、
16𝜋 = 2 ×π × 12 ×𝑥360
𝑥 = 240 中⼼⾓は 240°だから側⾯積は、
π× 12$ ×240360 = 96π
側⾯積 96π 底⾯積 π×8$＝64π よって、表⾯積は、
160 ㎠ （７）底辺が１辺 5cm の正四⾓形、⾼さが 6cm の正四⾓錐の体積を求めなさい。
5×5×6× ;.
＝50 50 ㎤
（８）直径 12cm の球の体積を求めなさい。
<π×;$E
.=288π
288π㎤ ７ 資料の活⽤ （１）T 中学校の⽣徒 20 ⼈の通学時間（分）を調べ、数値が⼩さい順に並べると、下のようになりま
した。中央値を求めなさい。 資料の個数が 20 個で偶数なので、10 番⽬と 20 番⽬の平均値が中央値になる。 中央値：14.5 分
（２）（１）のとき、最頻値を求めなさい。 最頻値：16 分
（３）（１）のとき、平均値を⼩数第 1 位まで求めなさい。
平均値：14.9 分
5 6 7 10 10 11 12 12 13 14 15 16 16 16 18 18 20 22 26 30
（４）次の表は、U 中学校の⽣徒 40 ⼈の握⼒についてまとめたものである。空欄を埋めなさい。 階級（kg） 階級値（kg） 度数（⼈） 階級値×度数
10 以上〜14 未満 12 5 60 14 〜18 16 8 ③128 18 〜22 ①20 18 ④360 22 〜26 24 7 168 26 〜30 ②28 2 56
計 40 ⑤772 （５）この表から、U 中学校の⽣徒の握⼒の平均を求めなさい。
772÷40＝19.3 19.3kg
（６）V 中学校の⽣徒 20 ⼈の通学時間（分）を調べると、下のようになりました。 最⼤値を求めなさい。
最⼤値：30
（７）（６）のとき、最⼩値を求めなさい。
最⼩値：5 （８）（６）のとき、範囲を求めなさい。
30−5＝25 範囲：25
最後までよく頑張りました！！
6 10 12 5 12 16 7 10 20 18 11 22 16 30 16 13 15 18 14 26
⼀筆書きと数学 皆さんは⼀筆書きをしたことがありますか？⼀筆書きとは，⼀度書き始めたら，最後まで鉛筆を紙から離さず，同じ線を通らずに（交差するのは可）書き終わることができる図のかき⽅です。下の図に五芒星
ご ぼ う せ い
と六芒星ろくぼうせい
を⼀筆書きで書いてみましょう。
五芒星
六芒星
どうでしょう。書けましたか？六芒星は少し難しかったですね。書けた⼈はすごいです。 実は、図形の中には⼀筆書きできるものとそうでないものがあります。下の○ア 〜○ウ の図形が⼀筆
書きできるかどうか試してみましょう。
○ア ○イ ○ウ この中で⼀筆書きができるのは○ア と○ウ だけです。どのような条件があれば⼀筆書きができるのか、点と線に注⽬して考えてみましょう。
○ア ○イ ○ウ ⻘⾊の点を通るときには、線をたどって、「⼊る出る」の関係があります。⾚⾊の点を通るときは、「⼊る出る⼊る」か「出る⼊る出る」のどちらかが考えられます。
○ア 〜○ウ の図形の交点に印をつけたものです。点から出る線の本数が偶数のときは⻘、奇数のときは⾚に⾊分けをしました。
⼊る
⼊る
出る
出る 出る
The Mathematics times No.10 2020.02.24
⻘島⽇本⼈学校 福留 さゆり
図形が⻘点のみで構成されている場合は「⼊る出る」が繰り返されるので、⼀筆書きるすことができます。図形に⾚点を含む場合は、⾚点が２つの場合のみ、「⼊る出る⼊る」→「出る⼊る出る」となり⼀筆書きすることが可能です。つまり、点から出る線の本数が、①全て偶数のとき、②２つの点が奇数のときに⼀筆書きができるとまとめることができます。また、②のときは、奇数の点のどちらかがスタートとゴールになります。
この⼀筆書きの秘密は、数学者であるオイラーさんが考え出しました。昔、ヨーロッパにはケーニヒスベルクという町がありました。町には⼤きな川が流れていて、7 つの橋がかけられていました。あるとき「7 つの橋全部をそれぞれ 1 回ずつわたって、もどってくることができるか」という問題が出されましたが、だれもこの問題を解くことができませんでした。オイラーさんは、この問題を⼀筆書きの図におきかえることで、⼀筆書きができない図であるとして問題を解決しました。この問題は、「ケーニヒスベルクの橋問題」といい、今でも重要な問いとして語り継がれています。
⼊る 出る ⼊る
バレンタインデーよりも…♡
バレンタインデーにチョコレートをもらえましたか？ちなみに私は⼀つももらえなかったので、⾃分で買いました。そんなこともあり、私はバレンタインデーよりもホワイトデーの⽅が好きです。 ホワイトデーは 3 ⽉ 14 ⽇ですね。3.14 の語呂合わせから円周率（π）の⽇ともいわれていま
す。昨年の円周率の⽇には、Google が 25 台の仮想マシンを使って円周率 31.4 兆桁の計算をし、ギネス記録に認定されました。このように、円周率の⽇として制定されている⽇が 3 ⽉ 14⽇以外にもあるのです。
⼀つ⽬は、7 ⽉ 22 ⽇です。 7 ⽉ 22 ⽇を$$F
と⾒てみます。22 を 7 で割った答えは 3.142 とな
ります。この値が円周率 3.14 の近似値になっているのです。これは、世界で最初に円周率を計
算したといわれているアルキメデスさんが、$$F
を⽤いて計算したことが由来となっています。
⼆つ⽬は 12 ⽉ 21 ⽇です。この⽇が 1 ⽉ 1 ⽇から数えて 355 ⽇⽬に当たることからきています。「355÷113 = 3.14…」となり、円周率を表す数字とされています。この⽇を円周率の⽇と
しているのは中国で、南北朝時代の数学者祖沖之そちゅうし
によって計算されました。この計算では⼩数
点以下 6 桁まで正しい値となり、３つの中で⼀番正確な⽇だといえます。 みんなが良いホワイトデーを過ごせますように！ また、⽇本パイ協会も「π」にちなんで 「パイの⽇」としているようです。
おすすめアプリ「One touch Drawing」 iPhone 版、Android 版、両⽅あります。ぜひダウンロ ードして、いろいろな問題に挑戦してみてください！
