Upload
ndarimuah
View
330
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
1/25
2/3/2016
1
KL3201, Kelas 02Semester II 2015/2016
Persamaan gerak getaran paksa merupakanersamaan diferensial non-homo en:
Solusi dari persamaan di atas berupa gabunganantara solusi pers. diferensial homogen (getaran
bebas) dengan solusi particular .
( )mu cu ku F t + + =&& &
( ) ( ) ( )h pu t u t u t = +
2
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
2/25
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
3/25
2/3/2016
3
Simpangan maksimum untuk kasus ini mencapai2 kali sim an an statik.Respons dinamik mencerminkan efek tumbukan(impact ), di mana gaya tiba-tiba bekerja padastruktur saat t = 0.
5
Persamaan gerak: mu cu ku F + + =&& &
Solusi particular :
Respons teredam akibat beban konstan:
pu k =
( )cos sint D DF
u e A t B t ζω ω ω −= + +
Untuk kondisi awal diam:
21 cos sin
1
t D D
F u e t t
k ζω ζ ω ω
ζ
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟
⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦6
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
4/25
2/3/2016
4
1.8
2
ζ = 2%
ζ = 5%
0.8
1
1.2
1.4
1.6
x / x
s t
=
ζ = 20%
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
t / T
7
Suatu sistem SDOF tanparedaman diketahui memiliki
F (t ) [kN]
massa 150 kg dan kekakuan 20kN/m. Sistem tersebut dikenai
beban konstan 5 kN selama 0.5detik seperti tergambar.Sebelum dikenai beban, struktur
t [detik]
5
0.5
era a a am on s am.
Tentukan simpangan struktur pada saat t = 0.2detik dan pada saat t = 0.7 detik.
8
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
5/25
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
6/25
2/3/2016
6
0.4
0.5
0
0.1
0.2
.
P e r p
i n d a
h a n
[ m ]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2
-0.1
Waktu [detik]
11
0.4
0.5
ζ = 5%
ζ = 0
0
0.1
0.2
.
P e r p
i n d a
h a n
[ m ]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2
-0.1
Waktu [detik]
12
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
7/25
2/3/2016
7
Beban: ( )r
t F t F
t =
Respons tak teredam akibat beban konstan:
cos sinr
F t u A t B t
k t ω ω = + +
1sin
r r
F t u t
k t t ω
ω
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
13
2
1
1.5
e r p
i n d a
h a n ,
i n c
h
0 2 4 6 8 100
.
Waktu, detik
F =2 lbt r = 10 detik k = 1 lb/in.T = 4 detik
14
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
8/25
2/3/2016
8
Gambarkan respons dari struktur tanpa redamanden an arameter dinamik berikut:◦ koefisien kekakuan k = 1 lb/in.◦ perioda alami T = 4 detik akibat beban yang meningkat linier dari 0 hingga 2lb selama 10 detik, kemudian bernilai konstansebesar 2 lb. Kondisi awal diam.
F t lb
t [detik]
2
1015
Frekuensi alami:2 2
1.57 rad/detik 4T
π π ω = = =
Simpangan statik: st 2 in.F
uk
= =
Saat 0 ≤ t ≤ 10 detik, struktur mengalamigetaran paksa akibat beban meningkat linier:
( )( ) ( ) ( )12 sin 1.57 0.2 0.0636sin 1.57
10 1.57 10t
u t t t ⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )( ) ( )( ) ( )10 0.2 10 0.0636sin 15.7 2 in.
10 0.2 0.1cos 15.7 0.3 in./detik
u
u
= − =
= − =&
16
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
9/25
2/3/2016
9
Untuk t ≥ 10 detik, struktur mengalami getaranpaksa akibat beban konstan, dengan kondisiawal dari persamaan sebelumnya:
( ) ( )cos 1.57 sin 1.57 2u A t B t = + +( )
( )
10 2 0
0.310 0.3 0.191
1.57
u A
u B
= ⇒ =
= ⇒ = − = −&
0.191sin 1.57 2u t = − +
17
2
2.5
1
1.5
P e r p
i n d a h a n ,
i n c
h
0 5 10 15 200
0.5
Waktu, detik
18
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
10/25
2/3/2016
10
Beban: F (t ) = F sin Ωt
di mana:
2
1cos sin sin
1F
u A t B t t k
ω ω β
= + + Ω−
β ω
Ω=
( )21
sin sin1
F u t t
k β ω
β = Ω −
−
19
F (t )
T = 2π / Ω
F (t ) = F sin ΩtΩ/ ω = 0.2
x 0 = 0v0 = ω F / k.
20
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
11/25
2/3/2016
11
Respons terdiri atas 2 komponen getaran yangfrekuensin a berbeda:◦ Getaran transient , dengan frekuensi ω (frekuensi alami
struktur).◦ Getaran steady-state , dengan frekuensi Ω (frekuensi
beban).Getaran steady-state disebabkan oleh beban
,tergantung pada kondisi awal. Getaran transienttetap ada meskipun kondisi awal struktur diam.
21
Suatu struktur SDOF tanpa redaman diketahuimemiliki massa 1 0 k dan kekakuan 20 kN m.Dalam kondisi awal diam, struktur tersebutdikenai beban harmonik F = 5 sin 6 t kN.Tentukan respons perpindahan struktur tersebutdan gambarkan riwayat waktunya.
22
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
12/25
2/3/2016
12
Frekuensi alami: 20000 11.55 rad/detik 150
k
mω = = =
Frekuensi beban: 6 rad/detik Ω =
Respons tak teredam akibat beban harmonik,kondisi awal diam:
( )21
sin sinF
u t t β ω = Ω −
0.5211.55
β ω
= = =Rasio frekuensi:
( )( )2
5 1sin 6 0.52sin11.55
20 1 0.52
0.34sin 6 0.18sin11.55
t t
t t
−
= −−
= −
23
0.4
0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
S i m p a n g a
n ,
m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
Waktu, detik
24
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
13/25
2/3/2016
13
0.4
0.6steady statetransienttotal
-0.4
-0.2
0
0.2
S i m p a n g a n ,
m
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
Waktu, detik
25
Beban: F (t ) = F sin ω t 0 0
Amplitudo respons meningkat dengan bertambahnya waktu getaran.Kondisi ini disebut resonansi.
00 cos sin cos2
v F u u t t t t
mω ω ω
ω ω = + +
26
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
14/25
2/3/2016
14
F
2 m ω
–F
m ω
27
Solusi umum:
cos sin cos sint u e A t B t C t D t ζω ω ω −= + + Ω + Ω
di mana
( ) ( )2 22
2
1 2
F C
k ζβ
β ζβ = −
− +
transient steady-state
( ) ( )2
2 22
1
1 2
F D
k β
β ζβ
−=− +
28
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
15/25
2/3/2016
15
Respons steady-state untuk kasus ini dapatdituliskan dalam bentuk:
di mana
( ) ( )( )
2 22
1sin
1 2
F u t
k φ
β ζβ = Ω −
− +
1 2ζβ − ⎛ ⎞21 β −⎝ ⎠
29
Terdapat 3 komponen pada respons steady-stateakibat beban harmonik ini:◦ simpangan statik, u st = F / k◦ suatu faktor yang merupakan fungsi dari ζ dan β ◦ komponen sinusoidal yang bernilai antara nilai –1 dan 1
Faktor tersebut dinamakan dynamic amplification factor :
( ) ( )2 22
1
1 2 D
β ζβ =
− +
30
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
16/25
2/3/2016
16
31
Jika hanya respons steady-state yangdi erhitun kan:
( ) ( )max st2 22
1
1 2
F u u D
k β ζβ
= =
− +
32
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
17/25
2/3/2016
17
Ulangi problem pada Contoh 3 jika strukturdian a memiliki rasio redaman %.Tentukan simpangan maksimum untuk masing-masing getaran transient, steady-state, dan total.
33
Parameter dinamik yang telah dihitung pada Contoh 3:
st
11.55 rad/detik, 6 rad/detik, 0.52
0.25 mF
uk
ω β = Ω = =
= =
2
Respons akibat beban harmonik:
re uens ge aran ere am: . ra e Dω ω = − =
( )cos sin cos sint D Du e A t B t C t D t ζω ω ω −= + + Ω + Ω
Kondisi awal diam: 0 0u A C = → = −
0 0 0 D
D
v A B D
A D B
ζω ω
ζω ω
= → − + + Ω =− Ω=
34
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
18/25
2/3/2016
18
0.2
0.3
0.4
0.5transientsteady statetotal
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
P e r p
i n d a
h a n ,
m u tr-max = 0.16 mu ss-max = 0.34 mumax = 0.42 m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
- .
Waktu, detik
Setelah 3 detik: u ss-max = 0.34 mumax = 0.36 m 35
Respons maksimum steady-state :
( ) ( )max st2 22
1
1 2
F u u D
k β ζβ = =
− +
( )( ) ( )( )( )
( )( )
2 220.25
1 0.52 2 0.05 0.52
0.25 1.37 0.34 m
=− +
= =
36
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
19/25
2/3/2016
19
Impuls satuan (fungsi Dirac delta ):
( ) 0 untuk
untuk
t t
t
τ δ τ
τ
≠⎧− = ⎨∞ =⎩
( ) 1t dt δ ∞
−∞
=∫∞
( ) ( ) ( ) f t t dt f δ τ τ −∞
− =∫
37
Solusi persamaan gerak:=&& &
adalah sama dengan respons getaran bebas akibatsimpangan awal nol dan kecepatan awal 1/ m.
( ) ( )1 sint D D
u t e t h t m
ζω ω ω
−= =
Respons ini disebut fungsi respons impuls(impulse response function ).
38
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
20/25
2/3/2016
20
Jika impuls bekerja pada waktu t = τ :
( ) ( ) ( )1
sint D D
u t e t t m
ζω τ ω τ τ ω
− −
= −
⎡ ⎤= − ≥⎣ ⎦
39
Memanfaatkan hasil respons akibat beban impulssatuan res ons akibat beban F t sembarandengan kondisi awal diam dapat dituliskansebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( )0
1sin
t t
D D
u t F e t d m
ζω τ τ ω τ τ ω
− −⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
Bentuk di atas disebut juga “integral Duhamel”.
40
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
21/25
2/3/2016
21
Integral Duhamel yang diturunkan dari fungsires ons im uls men ambil asumsi kondisi awaldiam.Untuk kondisi awal yang lebih umum dapatditambahkan respons getaran bebas pada integralDuhamel tersebut:
t
0
0 00
sin
cos sin
D D
t D D
D
u t F e t d m
v ue u t t
τ
ζω
τ ω τ τ ω
ζω ω ω
ω
− −
−
= −⎣ ⎦
⎛ ⎞++ +⎜ ⎟⎝ ⎠
41
Model mekanik sistem dinamik yang dikenaierakan tanah misaln a akibat em a :
Free-bod dia ram:
c
k u
m
gu&&
, ,u u u& &&
gu&&= percepatan tanah
S f ku=
D f cu= & ( ) I g f m u u= +&& &&
42
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
22/25
2/3/2016
22
Persamaan gerak: ( ) 0gm u u cu ku+ + + =&& && &
atau
Gaya efektif akibat percepatan tanah:
gmu cu ku mu+ + = −&& & &&
eff gF mu= − &&
43
Jika perpindahan udianggap absolut: c
k
m
Free-body diagram: ( )S g f k u u= −
= −& & I f mu= &&
uug
Persamaan gerak:
D g
g gmu cu ku cu ku+ + = +&& & &
44
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
23/25
2/3/2016
23
Gaya yang ditransmisikan ke pondasi adalah gayae as dan redaman:
Untuk kondisi steady-state akibat bebanharmonik:
T S D f f f ku cu= + = + &
F s n cosT D t c t k φ φ = − + −
45
Definisi: rasio antara gaya maksimum yangditransmisikan ke ondasi terhada am litudo
beban harmonik.
( )2max1
22
1 2T r f T DF ζβ = = +
⎛ ⎞
( ) ( )2 221 2 β ζβ
⎜ ⎟=⎜ ⎟− +⎝ ⎠
46
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
24/25
2/3/2016
24
Sebuah mesin dengan massa 1750 kg terletak di tengah bentang balok sederhana seperti tergambar.Sebuah piston yang bergerak bolak-balik di dalam mesintersebut menghasilkan gaya vertikal harmonik denganamplitudo 30 kN dan frekuensi 60 rad/detik. Abaikan massa balok, anggap rasio redaman sebesar 10%,dan tinjau hanya respons steady-state .Tentukan am litudo sim an an an dialami mesintersebut, serta besarnya gaya yang ditransmisikan ketumpuan.
E = 200 GPa I = 50 × 10 6 mm 4
3 m47
Kekakuan, frekuensi alami, dan rasio frekuensi:( )( )
( )
6 6
33
48 200 10 50 104817778 kN/m
3
17778 60100.8 rad/detik, 0.595
EI k
L
k ω β
−× ×= = =
= = = = =. .m
Amplitudo simpangan:
( )( ) ( )( ) ( )( )max 2 22
30 117778
1 0.595 2 0.1 0.595
F u D
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎝ ⎠
. . . m . mm= = =
Gaya di tumpuan:( )( )( )( ) ( )
( )( )
2
max
1 2 0.1 0.595 1.523 1.534
30 1.534 46.02 kN
r
T
T
f
= + =
= =
48
8/18/2019 03 Getaran Paksa SDOF
25/25
2/3/2016
Akibat gerakan tanah harmonik:ersamaan erak men adi:
singu U t = Ω
Respons steady-state:
( ) ( )2cos sin
1 2 sin
mu cu ku cU t kU t
Uk t ζβ α
+ + = Ω Ω + Ω
= + Ω +
&& &
Transmisibilitas:
( ) ( )21 2 sinu U D t ζβ α φ = + Ω + −
( )( ) ( )
122
max2 22
1 2
1 2r
uT
U
ζβ
β ζβ
⎛ ⎞+⎜ ⎟= =⎜ ⎟− +⎝ ⎠
49