1

DepartamentoDepartamento de de RecursosRecursos HHíídricosdricos

U N S E U N S E -- F C E y TF C E y T

Hector Daniel FariasHector Daniel Farias

HidrHidrááulicaulica (I.C.)(I.C.)

FundamentosFundamentos dede

HidrocinemHidrocinemááticatica

Vector Vector Vector Vector Vector Vector Vector Vector PosiciPosiciPosiciPosiciPosiciPosiciPosiciPosicióóóóóóóónnnnnnnn de de de de de de de de unaunaunaunaunaunaunauna PartPartPartPartPartPartPartPartíííííííículaculaculaculaculaculaculacula

Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen

de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación

instantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).

2

Vector Vector Vector Vector Vector Vector Vector Vector DesplazamientoDesplazamientoDesplazamientoDesplazamientoDesplazamientoDesplazamientoDesplazamientoDesplazamiento

'( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ −r r r

Vector Desplazamiento: Supóngase que la partícula se

mueve durante un pequeño intervalo de tiempo ∆t hasta el punto P’, entonces su posición será: r’ (t + ∆∆∆∆).El desplazamiento es el vector dirigido desde P a P’ y se

expresa

VectoresVectoresVectoresVectoresVectoresVectoresVectoresVectores de de de de de de de de posiciposiciposiciposiciposiciposiciposiciposicióóóóóóóónnnnnnnn de de de de de de de de unaunaunaunaunaunaunauna partpartpartpartpartpartpartpartíííííííículaculaculaculaculaculaculacula fluidafluidafluidafluidafluidafluidafluidafluida

3

VelocidadVelocidadVelocidadVelocidadVelocidadVelocidadVelocidadVelocidad de de de de de de de de unaunaunaunaunaunaunauna partpartpartpartpartpartpartpartíííííííículaculaculaculaculaculaculacula fluidafluidafluidafluidafluidafluidafluidafluida

DescripcionesDescripcionesDescripcionesDescripcionesDescripcionesDescripcionesDescripcionesDescripciones del del del del del del del del MovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimiento de de de de de de de de FluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidos

• Descripción Lagrangiana: las propiedades de las

partículas individuales de fluido son definidas como

funciones del tiempo a medida que las mismas se

mueven en el seno del fluido; el movimiento global

del fluido se encuentra resolviendo las Ecuaciones del

Movimiento para todas las partículas fluidas.

• Descripción Euleriana: las propiedades del flujo son

definidas en puntos fijos en el espacio a medida que

el fluido pasa a través de esos puntos; esta es la

descripción más común y produce la representación

del flujo en campos.

4

EjemploEjemploEjemploEjemploEjemploEjemploEjemploEjemplo. . . . . . . . EnfoquesEnfoquesEnfoquesEnfoquesEnfoquesEnfoquesEnfoquesEnfoques ““““““““LagrangianoLagrangianoLagrangianoLagrangianoLagrangianoLagrangianoLagrangianoLagrangiano”””””””” y y y y y y y y ““““““““EulerianoEulerianoEulerianoEulerianoEulerianoEulerianoEulerianoEuleriano””””””””

Medición de la temperatura del agua (T) en un río

Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de aceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleraciones

De acuerdo a la descripción Lagrangiana:

De acuerdo a la descripción Euleriana:

5

Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de aceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleracionesaceleraciones

Derivada Material:

Pero:

Entonces:

Esta expresión es válida para

todas las partículas fluidas, por lo

que se puede hacer abstracción

del subíndice. Entonces:

El Campo de El Campo de El Campo de El Campo de El Campo de El Campo de El Campo de El Campo de VelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidades

Considérese un conjunto de sensores adecuadamente dispuestos

que pueden medir la magnitud y dirección de la velocidad del

fluido (en función del tiempo) en muchos puntos fijos. De esta

manera se podría disponer de información suficiente para definir

el campo de vectores velocidad:

kji ˆ)t,z,y,x(v ˆ)t,z,y,x(vˆ)t,z,y,x(v zyx ++=Vr

Las componentes del vector velocidad en las direcciones (x,y,z)

son, respectivamente: (vx,vy,vz).

La magnitud del vector velocidad es:

2

z

2

y

2

x vvvV ++== Vr

6

ConceptoConceptoConceptoConceptoConceptoConceptoConceptoConcepto de de de de de de de de DerivadaDerivadaDerivadaDerivadaDerivadaDerivadaDerivadaDerivada MaterialMaterialMaterialMaterialMaterialMaterialMaterialMaterial

Derivada Material

Derivada Material : ( . )D d

VDt dt t

∂= = + ∇

∂

uruv

Aceleración Material:

Derivada Material de Presión:

( , , , ) ( . )dV V

a x y z t V Vdt t

− ∂= = + ∇

∂

uv uvuruv uv

( . )DP dP P

V PDt dt t

∂= = + ∇

∂

uruv

Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de Campo de VelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidadesVelocidades

El Campo de Velocidades puede ser Unidimensional (1D) : (vx) ;

Bidimensional (2D) : (vx,vy) o Tridimensional (3D) : (vx,vy,vz).

Tuberías

Canales

1D1D 2D2D

Calles, calzadas,

Planicies inundables

3D3D

Lagos, embalses,

Estuarios

vy

vx

vx

vx

vxvx

vx vyvz

EjemplosEjemplos

7

ClasificaciClasificaciClasificaciClasificaciClasificaciClasificaciClasificaciClasificacióóóóóóóónnnnnnnn de de de de de de de de FlujosFlujosFlujosFlujosFlujosFlujosFlujosFlujos

De acuerdo a su variabilidad con el tiempo (t), el Flujo puede ser

“permanente” o “no-permanente”

)Permanente No (Flujo 0t

)Permanente (Flujo 0t

≠∂

∂

=∂

∂

V

V

r

r

LLLLLLLLííííííííneasneasneasneasneasneasneasneas de de de de de de de de CorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorriente

8

LLLLLLLLííííííííneasneasneasneasneasneasneasneas de de de de de de de de CorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorriente ((((((((ejemplosejemplosejemplosejemplosejemplosejemplosejemplosejemplos))))))))

Líneas de corriente a lo largo de un

modelo de un automóvil de competición

(Fórmula NASCAR) Líneas de corriente y superficies de presión en

un modelo de avión militar

TrayectoriasTrayectoriasTrayectoriasTrayectoriasTrayectoriasTrayectoriasTrayectoriasTrayectorias ((((((((visualizacivisualizacivisualizacivisualizacivisualizacivisualizacivisualizacivisualizacióóóóóóóónnnnnnnn en en en en en en en en laboratoriolaboratoriolaboratoriolaboratoriolaboratoriolaboratoriolaboratoriolaboratorio))))))))

Una técnica experimental moderna, llamada “velocimetría de

partículas por imágenes” [particle image velocimetry (PIV)] utiliza

(mediante trazadores) las líneas de corriente para medir el campo de

velocidades global en un plano de flujo (Adrian, 1991).

9

MovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimientoMovimiento de de de de de de de de FluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidosFluidos

• En Mecánica de Fluidos, un elemento puede desarrollar cuatro tipos fundamentales de movimiento: a) Traslación

b) Rotación

c) Estiramiento Lineal

d) Deformaciones angulares por corte

• Puesto que los fluidos están en constante movimiento, es conveniente introducir “tasas temporales”: a) velocidad: tasa de traslación

b) velocidad angular : tasa de rotación

c) tasa de estiramiento lineal

d) tasa de deformación angular

VorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidad y y y y y y y y RotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacional

El vector vorticidad se define como el rotor del vector velocidad

2ζ ω=r r

w v u w v ui j k

y z z x x yζ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

rr r r

( )1 z r z rr z

ruuu u u ue e e

r z z r r

θθθζ

θ θ

∂∂∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r r

V×∇=ζ

Es una medida de la rotación de una partícula fluida.

En coordenadas cartesianas

En coordenadas polares

Si ζ = 0, el flujo es irrotacional, de lo contrario es “rotacional”

10

VorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidad y y y y y y y y RotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacional

VorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidadVorticidad y y y y y y y y RotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacionalRotacional

Caso Especial: considérense dos flujos con líneas de corriente circulares

( ) ( )2

0,

1 10 2

r

rz z z

u u r

rru ue e e

r r r r

θ

θ

ω

ωζ ω

θ

= =

∂ ∂ ∂ = − = − = ∂ ∂ ∂

r r r r ( ) ( )

0,

1 10 0

r

rz z z

Ku u

r

ru Kue e e

r r r r

θ

θζθ

= =

∂ ∂∂= − = − =

∂ ∂ ∂

r r r r

11

TuboTuboTuboTuboTuboTuboTuboTubo de de de de de de de de CorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorrienteCorriente

A

Tubo de corriente simple Filamento de FlujodA

VisualizaciVisualizaciVisualizaciVisualizaciVisualizaciVisualizaciVisualizaciVisualizacióóóóóóóónnnnnnnn del Campo de del Campo de del Campo de del Campo de del Campo de del Campo de del Campo de del Campo de FlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujoFlujo