03vjezbe-simpleks

1

Simpleks metoda, standardni problem maksimuma

(nenegativna desna strana nejednakosti)

Problem 1

0,

12

8443

322

)8050max(

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xx

Kanonski oblik

0,,,,

12

8443

322

)8050max(

32121

32

221

121

21

uuuxx

ux

uxx

uxx

xx

x strukturne varijable, u dodatne varijable

Primijetimo da ovakav sustav ima beskonano rjeenja (ukoliko rjeenje postoji) jer je broj nepoznanica (n = 5) vei od broja jednadbi (m = 3). Bazina rjeenja se dobivaju rjeavanjem sustava u kojem je n m varijabli postavljeno na nulu. Ona odgovaraju tokama presjeka svih ogranienja problema, ukljuujui i uvjete

(20,6)

(8,12)

(28,0)

2)

(12,0)

A1

A2

2

nenegativnosti. Nas zanimaju samo bazina MOGUA rjeenja, dakle ona koja pripadaju skupu moguih rjeenja problema linearnog programiranja. Simpleks metoda iterativni proces, kretanje (Gauss Jordanov postupak) po bazinim moguim rjeenjima (vrhovima) pri emu se u svakom koraku poboljava vrijednost funkcije cilja (ovdje poveava).

U svakoj simpleks tablici je jedna baza (gledamo koji vektori su jedinini).

Varijable koje pripadaju bazi zovemo bazine i njihove vrijednosti itamo iz tablice.

Preostale varijable zovemo nebazine i sve imaju vrijednost 0 (postavljene su na nulu).

Simpleks metoda pomou programa WinQSB

1. Ukucajte program u Winqsb.

2. Napravite prvu iteraciju. Ispiite prvi vrh simplex metode: (X1,X2) = (0,0)

3. Ispiite trenutnu vrijednost funkcije cilja: 0

4. Ispiite odgovarajuu bazu programa u prvoj tablici: I1, I2, I3

A1 A2 I1 I2 I3

u1

u2

u3

3

5. Koji vektor ulazi u bazu? A2

6. Zato? max{cj-zj} = max{50,80} = 80 (uzimaju se samo nenegativne vrijednosti nebazinih varijabli)

7. Koji vektor izlazi iz baze? I3

8. Zato? min{16,21,12} = 12 (najmanji kvocijent desne strane)

9. Napravite sljedeu iteraciju. Ispiite drugi vrh simplex metode: (X1,X2) = (0,12)


11. Ispiite odgovarajuu bazu programa u drugoj tablici: I1, I2, A2


13. Zato? max{cj-zj} = max{50} = 50


15. Zato? min{8,12,} = 8

16. Napravite sljedeu iteraciju. Ispiite trei vrh simplex metode: (X1,X2) = (8,12)


18. Ispiite odgovarajuu bazu programa u treoj tablici: A1, I2, A2

19. Koji vektor ulazi u bazu? I3



22. Zato? min{,6,12} = 6

23. Napravite sljedeu iteraciju. Ispiite etvrti vrh simplex metode: (X1,X2) = (20,6)

4


25. Koji vektor ulazi u bazu? Niti jedan.

26. Zato? Nema pozitivnih vrijednosti koeficijenata nebazinih varijabli (onih koji nisu u bazi).

27. Ispiite optimalno rjeenje: (X1*,X2*) = (20,6)

28. Ispiite optimalnu vrijednost funkcije cilja: 1480

29. Odaberite non stop to finish pod simplex iteration i provjerite jeste li dobro odredili optimalno rjeenje.

Problem 2

0,

22

6

2

)44max(

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

xx


5

2. Napravite prvu iteraciju. Ispiite prvi vrh simplex metode: (X1,X2) = (0,0)


4. Ispiite odgovarajuu bazu programa u prvoj tablici: I1, I2, I3

5. Koji vektor ulazi u bazu? A1 (moe i A2)

6. Zato? max{cj-zj} = max{4,4} = 4 (uzimaju se samo nenegativne vrijednosti nebazinih varijabli)


8. Zato? min{2,6,1} = 1

9. Napravite sljedeu iteraciju. Ispiite drugi vrh simplex metode: (X1,X2) = (1,0)


11. Ispiite odgovarajuu bazu programa u drugoj tablici: I1, I2, A1




15. Zato? min{1,5,} = 1

16. Napravite sljedeu iteraciju. Ispiite trei vrh simplex metode: (X1,X2) = (1,1)


6

18. Ispiite odgovarajuu bazu programa u treoj tablici: A2, I2, A1

19. Moe li se vrijednost funkcije cilja jo poveati? Ne, jer nema pozitivnih cj-zj. No, postoji alternativno rjeenje! Jo jedno koje je optimalno (sa istom vrijednou funk. cilja).

20. Koji vektor moe ui u bazu? I3

21. Zato? max{cj-zj} = max{0} = 0 - postoji alternativno rjeenje, znai i vrh iz tekue iteracije je optimalno rjeenje i sljedei vrh e biti alternativno rjeenje) (uzimaju se samo nenegativne vrijednosti nebazinih varijabli)

22. Napravite sljedeu iteraciju tako to pod simplex iteration odaberete choose entering variable i tamo odaberete varijablu I3 (Slack_C3) za ulazak u bazu.

23. Ispiite etvrti vrh simplex metode: (X1,X2) = (0,2)


25. Ispiite odgovarajuu bazu programa u etvrtoj tablici: A2,I2,I3

26. Koji vektor ulazi u bazu? Niti jedan jer smo nali optimalno rjeenje i alternativno rjeenje pa je postupak gotov.

27. Ispiite optimalno rjeenje: (X1*,X2*) = (1,1)


29. Ispiite alternativno optimalno rjeenje: (X1*,X2*) = (0,2)


7

31. Odaberite non stop to finish pod simplex iteration i provjerite jeste li dobro odredili optimalno rjeenje.

Mogue je da problem ima dva optimalna rjeenja, no tada e optimalna vrijednost funkcije cilja biti u oba rjeenja jednaka, no razlikovat e se vrijednosti varijabli. U tom sluaju optimalna su sva rjeenja na pravocrtnoj spojnici dva dobivena optimalna rjeenja. Program WINQSB oznai da postoji alternativno rjeenje na nain prikazan na gornjoj slici. Da biste pogledali alternativno rjeenje potrebno je odabrati results pa zatim obtain alternate optimum.

8

Problem 4

0,

5

622

4

)max(

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

xx


2. Odaberite solve the problem pod solve. Uvjerite se da problem nema rjeenja te utvrdite ogranienja zbog kojih nema moguih rjeenja (eng. problem is infeasible).

Problematini su 1. i 3. ogranienje jer zbog da je 51x nije mogue da bude 421 xx .

Znai, problem nema moguih rjeenja tj. skup moguih rjeenja je prazan skup.

Documents

03vjezbe-simpleks