04. Modul 2_noPW

Modul 2

Pangkat, Akar, Logaritma dan DeretDrs. Wahyu Widayat, M.Ec

PE NDAH ULUA N odul ini menjelaskan pengertian pangkat, akar, logaritma, banjar dan deret yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi ini disajikan kembali untuk membantu Anda mengingat kembali sehingga Anda menjadi lebih paham tentang konsep ini. Di dalam modul-modul selanjutnya akan tampak bahwa konsep pangkat, akar dan logaritma sering sekali digunakan. Demikian juga untuk banjar dan deret. Dengan demikian pendalaman terhadap materi ini bukanlah merupakan pekerjaan yang sia-sia. Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar, logaritma, banjar dan deret dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma. 2. mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma. 3. menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma. 4. menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal 5. menjelaskan fungsi eksponensial. 6. membedakan pengertian banjar dan deret. 7. membedakan antara banjar hitung dan deret hitung. 8. membedakan antara banjar ukur dan deret ukur. 9. menentukan suku-suku banjar maupun deret. 10. menghitung jumlah suku.

M

2.2

Matematika Ekonomi 1

Kegiatan Belajar 1

Pangkat, Akar, dan LogaritmaA. PANGKAT Suatu ekspresi an dibaca "a pangkat n"; a disebut basis dan n disebut pangkat. Jika n merupakan suatu bilangan bulat positif, maka an = a x a x ........x a di mana a merupakan perkalian sebanyak n kali. Menurut definisi di atas, jika n = 0 dan a 0, maka a0 = 1. Jadi untuk a yang berupa bilangan riil tidak sama dengan nol berlaku a0 = 1. Hal tersebut sama dengan peristiwa berikut ini:am = am - m = a0 =1 m a Jika n merupakan bilangan bulat positif dan a 0, maka 1 a -n = n a Kaidah-kaidah Perpangkatan:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

am x an = am + n am = am-n an (a m) n = a m.n(a m.b m ) n = a mn.b mn

a am = m untuk b 0 b b 1 = a -m m a

m

Contoh 2.1: a. 6 4 x 6 7 = 611

ESPA4112/MODUL 2

2.3

b. c. d. e. f.

47 = 47 - 3 = 44 43 (32) 3 = 32x3 = 36(3x4) 2 = 3 2 x 4 2 = 9 x 16 = 144

3 32 ( )2 = 2 5 5 1 = -2 2 3 3

Suatu fungsi yang variabelnya berpangkat suatu konstan disebut fungsi berpangkat. Contoh dari fungsi berpangkat adalah y = xa, di mana a merupakan suatu konstan. Apabila suatu fungsi mempunyai konstan yang berpangkat variabel, maka fungsi itu disebut fungsi eksponensial. Contoh dari fungsi eksponensial adalah y = ax, di mana x adalah variabel dan a adalah konstan. Fungsi eksponensial yang sederhana mempunyai bentuk umum y = ax di mana a > 0 Grafik fungsi y = ax terletak pada kuadran I dan kuadran II. Grafik fungsi eksponensial tersebut akan merupakan kurva yang menaik untuk nilai a > 1 dan merupakan kurva yang menurun untuk 0 < a < 1. Pada kedua kasus di atas, kurva memotong sumbu y di titik (0,1). Ingat nilai a0 = 1.a=0,4 a=2 y y a=10 a=e a=0,6

a=0,9

0 0 0 dan a 1 maka n merupakan logaritma dari y dengan basis a atau ditulis: n = alog yKaidah-kaidah Logaritma

Untuk setiap bilangan riil positif x dan y, setiap bilangan riil r dan bilangan riil positif b = 1, berlaku: (1) alog x.y = alog x + alog y (2) alog x/y = alog x - alog y

ESPA4112/MODUL 2

2.7

(3) alog xr = r a log x (4) alog x = alog b . blog x (5) alog b . blog a = 1 atau ( a log b) = (6) alog a = 1 (7) alog 1 = 0Contoh 2.5: a. 2log (8 . 16) = 2log 8 + 2log 16 =3+4=71 ( log a)b

b.

5log (625/125) = 5log 625 - 5log 125 =4-3=1 10log 1000 = 10log 103 = 310log 10 = 3 Mengubah basis 2 menjadi basis 4 2log 16 = 2log 4 . 4log 16 = 2 . 2 = 4 6log 6 = 1 8log 1 = 0

c.

d.

e. f.

Seperti telah disebutkan di atas nilai a sebagai basis harus merupakan bilangan yang positif dan tidak sama dengan satu. Dari sekian banyak bilangan, yang paling banyak digunakan sebagai basis adalah 10 dan e = 2,7182818. Logaritma yang mempunyai basis angka 10 dinamakan logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg, sedangkan logaritma dengan basis e yang nilainya e = 2,7182818 dinamakan logaritma alam atau logaritma Napier. Logaritma Brigg ditulis 10 log x atau hanya log x tanpa mencantumkan basisnya. Sedangkan logaritma Napier menggunakan simbol ln x. Baik logaritma Brigg maupun Napier, keduanya tunduk pada kaidah-kaidah seperti yang telah ditulis di atas.

2.8


Contoh 2.6: 10 2 a. log 3 = log 10 2 - log 10 3 = 2 - 3 = 1 10 b. log 100 = log 102 = 2 c. log 3 10 1 = log 101/3 = 1/3 d. log 103 = 3log 10 = 3 e. ln e = 1 f. ln e 2 = ln e1/2 = 1/2 g. ln 1 = 0 L A TIH A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Sederhanakan ekspresi berikut ini! 1) 4-2 . 43 2) (23)2 3) (4y)2 4) (12 . 5)2 3x 5) ( ) 2 5y 6) 7) 8) 9)(32.x 3) 2

x 4y 3 x 3y (

2

33 -2 ) 42 (4 -1) 3

10) (103)2 2xz -2 -2 11) ( ) 3yz -323 x3 12) ( 2 ) -3( 2 ) -2 3 y

ESPA4112/MODUL 2

2.9

13) 3x-1(3y) 14) (3x)-1(2y) 15)x -2 y 1 x -4y-3

16) (3x)2 + (5y)0 17) (2x)-1 (y)2 (y-1)2 Gambarkan fungsi berikut. 18) y = 2x 19) y = 22x 20) y = ax Untuk a = 1, 2, e dan 10 Sederhanakan ekspresi berikut ini : 21) 251/2 22) 163/4 23) 32-2/5 24) 6251/4 25) 16-1/4 26) 8-2/3 Ubahlah ke bentuk perpangkatan. 27) ( 1 2 ) 2 28) 5 3 3

5

4

29)

x y

30) x -1/2y-1/4 Ubahlah ke bentuk akar. 31) 2X2/3 32) X1/3Y-1/4 33) (3X)4/5 34) X-1/2Y-1/4 35) 4X-1/5

2.10


Sederhanakan ekspresi berikut ini: 36) 4log (4.32) 37) 8log 64-3 38) 5log (25/625) 39) 3log (1/27) 40) 7log (49/343) Tukar basisnya dengan yang ditunjukkan berikut : 41) 25log 625 dengan basis 5 42) 64log 8 dengan basis 2 43) 9log 243 dengan basis 3 44) 3log 81 dengan 9 45) 4log 2 dengan basis 16Petunjuk Jawaban Latihan

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

4 26 16y2 602 9x 225y 2 34.x 6 x y 44 36 1

43 10) 106 9y 2 11) 4x 2 z 2

12)

36 y 29 x 6

4

ESPA4112/MODUL 2

2.11

9y x 2y 14) 3x

13)

15)

x2 y2

16) 9x2 + 1 1 17) 2x 18) Gambar fungsi y = 2xy

0

x

19) Gambar fungsi y = 22x

y

0

x

2.12


20) Gambar fungsi y = ax untuk a = 1, 2, e dan 10a=10 y a=2 a=e

a=1

0

x

21) 5 22) 8 1 23) 4 24) 5 1 25) 2 1 26) 4 27) 125

28) 5 3 29)1 x3 1

y2

30)

11 1 x 2 y4 3

31) 2 x 2

ESPA4112/MODUL 2

2.13

3

32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45)

x y(3x) 4 1

45

( x )( 4 y) 4 x log (4.32) = 3 4log 2 8 log 64-3 = -6 5 log (25/625) = -2 3 log (1/27) = -3 7 log (49/343) = -1 25 log 625 = 5log 25 64 log 8 = 2log 4-1 9 log 243 = ()3log 243 3 log 81= 2. 9log 81 4 log 2 = 2. 16log 24

5

RA NGK UMA N

Perpangkatan merupakan suatu bentuk singkat dari bentuk perkalian sesuatu yang sama lebih dari satu kali. Bentuk akar merupakan pengubahan bentuk perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan, demikian juga sebaliknya, bentuk perpangkatan dapat ditemukan dari bentuk akar. Pengakaran memiliki sifat-sifat sebagai berikut:m m

a n = a n/m a.b = m a.m b

m

a = a1/ma= m.n a m m

mn

m

a = b

a b

2.14


Logaritma merupakan proses penentuan pangkat apabila bilangan dasar dan nilai perpangkatan telah diketahui. Sifat-sifat dasar logaritma yang dapat digunakan dalam operasi logaritma adalah: (1) alog x.y = alog x + alog y (2) alog x/y = alog x - alog y (3) alog xr = r a log x (4) alog x = alog b . blog x 1 (5) alog b . blog a = 1 atau ( a log b) = b ( log a) (6) alog a = 1 (7) alog 1 = 0

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 54 36 2 1) Hasil perpangkatan bilangan 3 . 3 adalah . 6 8 A. 0,014305114 B. 0,00170859375 C. 69,90506667 D. 585,2766347 25 2 9 2 2) Nilai dari . adalah . 49 16 135 A. 448 448 B. 135 7168 C. 1215 1215 D. 71681 5

1

ESPA4112/MODUL 2

2.15

3) Hasil dari 5 4 9 2 4 9 adalah . A.

(10 9 )4

(

)(

)

B. 90 C. 63 D. 30 4) Jika diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 maka hasil dari log 12 adalah . A. 2,778 B. 1,556 C. 1,079 D. 0,2872 5)7

( )3 4

5

75

jika diubah ke bentuk perpangkatan adalah .

A. B. C. D.

7 127 127

7 12 7512

17

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

Tingkat penguasaan =

100%

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

2.16


Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

ESPA4112/MODUL 2

2.17

Kegiatan Belajar 2

Banjar dan DeretA. BANJAR

Banjar dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah: a1, a2, a3, . . . . . an di mana suku ke 1 = S1 = a1 suku ke 2 = S2 = a2 suku ke 3 = S3 = a3 .. .. suku ke n = Sn = an Banjar di atas dapat disimbolkan dengan [an], sehingga kalau ditulis lagi dengan lengkap menjadi: [an] = a1, a2, a3 , . . . . . an Suatu banjar yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan banjar tak terhingga. Sedangkan banjar yang banyaknya suku tertentu dinamakan banjar terhingga. Bilangan alam yang terdapat pada suatu banjar pada umumnya tersusun secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dengan memperhatikan pola yang terdapat pada suku - sukunya, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung, banjar ukur dan banjar harmoni. Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Jadi, suatu banjar [an] = a1, a2, a3 , . . . . . an akan disebut dengan banjar hitung apabila

2.18


a2 - a1 = b a3 - a2 = b a4 - a3 = b ... an - an-1 = b di mana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif atau negatif.Contoh 2.7: a. [n] = 1 , 2 , 3 , 4, . . . . . n b = Sn - Sn-1 = 1

b.

[5n] = 5 , 10 , 15 , 20 , . . . 5n b = Sn - Sn-1 = 5 [12 - 2n] = 10 , 8 , 6 , 4 , .... (12 - 2n) b = Sn - Sn-1 = -2

c.

Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang sama besarnya. Jadi untuk banjar : [an] = a1 , a2 , a3 , . . . . . an akan disebut sebagai banjar ukur kalau S2 / S1 = p S 3 / S2 = p ... Sn / Sn-1 = p di mana p merupakan nilai banding (= ratio) yang besarnya tetap dan dapat bertanda positif atau negatif.Contoh 2.8: a. [apn-1] = a , ap , ap2 , . . . ,apn-1

b. [5. 2n-1] = 5 , 10 , 20 , 40 , ...., 5(2n-1) Banjar harmoni adalah banjar yang sukunya merupakan kebalikan dari suku banjar hitung.

ESPA4112/MODUL 2

2.19

Contoh 2.9: 1 1 1 1 1 a. = 1 , , , , . . . , n 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 = , , , , ... , b. 5n 5 10 15 20 5n B. DERET

Bila suku-suku pada suatu banjar dijumlah, maka jumlah tersebut dinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua suku suatu banjar. Seirama dengan pembedaan banjar, maka deret dapat dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni. Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung, deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur dan deret harmoni merupakan jumlah suku-suku banjar harmoni.Contoh 2.10: a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + . . . + n

b. c.

Deret ukur : 5 + 10 + 20 + . . + 5(2n-1) 1 1 1 Deret harmoni: 1 + + + . . . + 2 3 n

Karena sampai saat ini belum diketemukan rumus untuk menjumlahkan deret harmoni, maka untuk selanjutnya deret harmoni tidak akan dibahas. Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai: Jn = a1 + a2 + a3 + . . . . + an Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda dan dibaca "sigma", sehingga deret dapat ditulis menjadi :

ai=1

n

i

untuk deret terhingga

dan

2.20


ai =1

i

untuk deret tak terhingga

Deret ukur dan deret hitung sering digunakan dalam matematika ekonomi. Sebagai Contoh, Malthus, seorang ahli ekonomi teori, pernah menyatakan bahwa penduduk mempunyai kecenderungan untuk tumbuh seperti deret ukur, sedangkan bahan makanan tumbuh menurut deret hitung. Anda telah mengenal deret ukur dan deret hitung, maka pernyataan Malthus tersebut mengandung arti bahwa pertumbuhan penduduk sangat cepat dan lebih cepat dibanding pertumbuhan makanan. Apabila a adalah suku pertama suatu banjar dan b adalah beda antara dua suku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung: suku pertama = a suku kedua = a + b suku ketiga = a + 2b suku keempat = a + 3b ..... suku ke n = a + (n - 1)b = Sn Jadi suku ke n suatu banjar hitung, ditentukan oleh Sn = a + (n - 1)b Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:1 J = n(a + S n ) 2

di mana n = banyaknya suku a = suku pertama Sn = suku ke n

ESPA4112/MODUL 2

2.21

Contoh 2.11: Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang suku pertamanya = 1 dan beda = 2 adalah:

Sn = a + (n - 1)b = 1 + (7 - 1)2 = 13 Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah: 1 Jn = n(a + S n ) 2 1 J7 = 7(1+13) 2 = 49 Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai oleh banjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan. Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan suatu pengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar ukur memiliki suku pertama a dan pengali sebesar p, maka secara matematis dapat ditulis: suku pertama = a suku kedua = ap suku ketiga = ap2 ... suku ke n = apn-1 = Sn Jadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh Sn = apn-1 Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus 1 p n a pSn J= a = 1 p 1 p

2.22


Rumus di atas tidak berlaku untuk p = 1. Pada kasus p = 1, telah diketahui bahwa satu dipangkatkan berapa saja hasilnya adalah satu, sehingga suku ke n nilainya akan sama dengan suku pertamanya. Sehingga jumlah n sukunya sama dengan hasil kali antara a dengan n. Bila p < 1 dan jumlah sukunya tak terhingga, maka jumlahnya dihitung dengan menggunakan rumus: a J= 1- pContoh 2.12: Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinya p = 2 , maka besarnya suku ke 5 adalah: Sn = apn-1 S5 = 1(25-1) = 16

dan jumlah 5 sukunya adalah: 1 - p n a - pS n = J= a 1- p 1- p1 - 2.16 1 - 32 = 1- 2 -1 = 31

=1

1.

Bunga Pinjaman Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah p dengan bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun, maka besarnya bunga yang harus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam, atau

I = P.r.t

ESPA4112/MODUL 2

2.23

Contoh 2.13: Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen? Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau waktu peminjamannya 8/12 = 2/3 tahun. Besarnya bunga pinjaman: I = P.r.t = 2.500 (0,14) (2/3) = 233,33

Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, atau Rp2.500,- + Rp233,33 = Rp2.733,332. Nilai Sekarang Nilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r, maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiah adalah:

I = P.r.t dan uang setelah t tahun menjadi: P + P.r.t = P(1 + rt) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka P(1 + rt) = A atau P= A 1 + rt

2.24


Contoh 2.14: Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000,00. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? Dalam masalah ini, A = 10.000,- r = 0,13 dan t = 1 10.000 P= 1 + (0,13)(1)

= 8.849,56Bunga Majemuk Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang. Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan. Misalkan seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah satu tahun ia mendapatkan bunga sebesar: 3.

bunga tahun pertama = P.i Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi: P + P.i = P(1 + i) Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir tahun kedua bunga yang diterima sebesar : P(1 + i)(i) Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi ; P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2 Dengan cara yang sama, maka di tahun ke tiga seluruh uangnya menjadi = P(1 + i)3

ESPA4112/MODUL 2

2.25

dan dalam n tahun seluruh uangnya menjadi = P(1 + i)n Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun. Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), pada tingkat bunga i pertahun, maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periode pembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh uangnya menjadi: i A = P(1 + ) n.m mContoh 2.15: Misalkan ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun? Dari rumus i A = P(1 + ) n.m m

P = 1.000, i = 5% = 0,05 , m = 1 ,dan n = 6. Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi: 0, 05 6.1 A = 1.000(1 + ) 1 = 1.000(1,05)6 = 1.000(1,34010) = 1.340,10

2.26


L A TIH A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Bila suku pertama deret hitung adalah 2 dan bedanya tiga, hitunglah suku ke-5 dan suku ke-8! 2) Bila suku kelima dari suatu deret hitung ditambah dengan suku ketiganya sama dengan 22 dan suku kelima dikurangi dengan suku ketiga sama dengan empat, maka berapakah nilai suku keempatnya? 3) Badu meminjam uang sebanyak Rp100.000,00 dengan bunga sebesar 18 persen pertahun. Berapa lamakah ia meminjam uang tersebut kalau bunga yang kemudian harus dibayar ternyata sebanyak Rp27.000,00 4) Godril memiliki uang sebesar Rp500.000,00. Berapakah nilai uang tersebut pada lima tahun yang akan datang bila tingkat bunga per tahun adalah 17 persen? 5) Paijo pada saat berumur 10 tahun pernah menyimpan uang di bank sebanyak Rp2.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 15 persen yang dibayar oleh bank setiap bulan. Kini Paijo berumur 25 tahun dan ingin mengambil uang simpanannya itu. Berapa jumlah yang akan diterima Paijo?Petunjuk Jawaban Latihan

1) 2) 3) 4) 5)

suku ke-5 = 14 dan suku ke-8 = 23 Suku ke-4 = 11 1,5 tahun. Rp925.000,-. Rp16.274,12RA NGK UMA N

Banjar Hitung merupakan banjar yang memiliki pola perubahan tambah dengan besar tambahan tetap. Nilai sukunya mengikuti Rumus: Sn = a + (n - 1) b Deret hitung merupakan jumlah suku-suku banjar hitung. Deret ditentukan dengan Rumus-rumus:

ESPA4112/MODUL 2

2.27

Jn = n.a + {1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)} b n (a + Sn ) Jn = 2 Banjar Ukur merupakan banjar yang memiliki pola perubahan kelipatan yang tetap. Faktor pelipat disimbolkan dengan r dan banjar ukur biasa disajikan dalam bentuk: a, ap, ap2, ..., ..., ..., ap(n-1) Nilai suku banjar ukur mengikuti rumus: Sn = a . p(n-1) Deret ukur merupakan jumlah suku-suku banjar ukur. Ditentukan dengan rumus: (1- p n ) a pSn Jn = a = 1- p 1 pTES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui suatu banjar hitung = 90, 78, 66, , , A. 18 B. 6 C. -6 D. -12 2) Sebuah banjar hitung mempunyai suku pertama 500, suku terakhir 60 dan jumlah suku sebanyak 12. Maka deret banjar tersebut adalah . A. 6720 B. 3360 C. 1680 D. 572 3) Diketahui suatu banjar ukur = 9, -18, 36, , Maka deret 10 suku pertama adalah . A. 3069 B. 1533 C. -1533 D. -3069

2.28


4) Diketahui suatu banjar ukur memiliki suku pertama: a, r = 6 dan jumlah sukunya 7, maka deret banjar ukur tersebut adalah . (1 67 ) .a A. 5 B. C. D.(1 + 67 ) .a 5 (1 67 ) .a 7 (1 + 67 ) .a 7

5) Suatu banjar ukur mempunyai deret ukur = -1364, r = -2 dan jumlah sukunya 10, maka suku pertama deret ukur tersebut adalah . A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6) Diantara pernyataan di bawah ini yang paling menguntungkan, jika bunga 18% setahun adalah . A. sekarang menerima uang Rp1.700.000,00 B. 2 tahun kemudian menerima Rp2.500.000,00 C. 3 tahun kemudian menerima Rp3.000.000,00 D. 5 tahun kemudian menerima Rp4.000.000,00 7) Total penerimaan sebuah perusahaan pada bulan 2 sebesar Rp8 juta, bulan 3 Rp10,4 juta dan bulan 4 Rp13,52 juta. Apabila perusahaan tersebut berkembang seperti bulan-bulan tersebut maka total penerimaan perusahaan tersebut pada bulan 10 adalah . A. Rp31,92 juta B. Rp65,2584 juta C. Rp84,836 juta D. Rp110,2872 juta 8) Ratih menyimpan uangnya di Bank sebesar Rp800.000,00 dengan bunga sederhana 14% setahun. Maka uang Ratih setelah 10 tahun adalah . A. Rp1.920.000,00 B. Rp2.720.000,00

ESPA4112/MODUL 2

2.29

C. Rp2.965.777,05 D. Rp11.200.000,00 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal 100%

Tingkat penguasaan =

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

2.30


Kunci Jawaban Tes FormatifTes Formatif 1 1) B 2) D 3) D 4) C 5) C Tes Formatif 2 1) C 2) B 3) D 4) A 5) C 6) C 7) B 8) A

ESPA4112/MODUL 2

2.31

Daftar PustakaBaldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc, Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited. Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Weber, Jean E., (1982). Mathematical Analysis: Business and Economic Applications, New York: Harper & Row.Kembali ke Daftar Isi

Documents

04. Modul 2_noPW