Centro Estudiantes ingenieraSecretar i a de Material deEstud i o y B i b li oteca .

TORSION UN%PORD1E

BE LAS B ARRAS LASTICAS PRISMTICAS

Por

Horacio Rezk

Profesor Titular del

Departamento de Esta bilidad

44.00.02 Ao 1985

PROLOGO

En este texto se desarrolla la tercera unidad temtica del

programa de Estabilidad IIIb. Con su publicacin aspiro a faili

tar la tarea de aprendizaje que realizan mis alumnos.Para realizar este trabajo he contado , con el apoyo del se-

fior Director del Departamento de Estabilidad Ingeniero Angel Bar

letta Blumetti , a quien agradezco las facilidades que me ha pro-

porcionado.

Debo asimismo agradecer al Ingeniero Jorge Hirthe , Ayudan-

te de Trabajos Prcticos de la ctedra, por la colaboracin prestada en la revisacin del manuscrito, con respecto al cual me hi

zo algunas observaciones que fueron tenidas en cuenta y por su -

trabajo de escribir las frmulas y realizacin de los dibujos.A la,Srta, Mara I. Lattuada le agradezco la dedicacin con

que realiz la escritura a mquina del texto y su ayuda en la co.

rreccin final de los originales.

}Buenos Aires, 22 de agosto de 1985.

H.R.

e

IN!! CE

Pg.

Prlogo.................. .............................. I

11. Introduccion ...........................:.................

2. El problema de torsin segn Sa int- Venant ................ 2

3. La resolucin del problema........ ..... .................. 4

4. Torsin de una barra de seccin elptica ................. 24

5. Torsin de una barra de seccin rectangular .............. 31

6. Algunas propiedades de las tensiones tangenciales........ 38

7. La analoga de la mem tirana ............................... 40

8. Algunas aplicaciones de la analoga de la membrana ....... 50

8.1. Barra de seccin rectangular alargada ............... 50

8.2. Barra de pared delgada de seccin simplemente conexay espesor constante ................................. 53

8.3. Barra de pared delgada de seccin simplemente conexay espesor variable .................................. 53

8.4. Perfiles laminados.... 54

8.5. Barras de pared delgada mltiplemente conexas ....... 57

8.6. Comparacin entre el comportamiento de las barras deparedes delgadas mltiplemente conexas y simplementeconexas ... ... ....................................... 63

8.7. Barras constituidas por chapas soldadas o remachadas 65

9. Referencias.............................................. 67

Anexo I. Las soluciones generales de los desplazamientos. 68

11

1 IN `RO RUCCION

Las barras elsticas prismticas solicitadas por esfuerzos

normales , momentos flexores y esfuerzos de corte pueden estudiar

se con los mtodos sencillos de la Resistencia de Materiales, ob

tenindose , en general, resultados satisfactorios desde un punto

de vista tcnico.

Cuando las barras estn solicitadas a torsin, mediante la

Resistencia , de. Materiales slo puede obtenerse la solucin si la

seccin transversal de la barra es un crculo, una corona circur

lar o se trata de una barra tubular de paredes delgadas. S la -

seccin transversal tiene una forma cualquiera, el problema pue-

de ser resuelto con la Teora de la Elasticidad, bajo ciertas --condiciones que explicamos detalladamente en los artculos que -

siguen,

En este texto estudiamos este problema clsico de la Teo-

ra de la Elasticidad, que fue resuelto por Saint-Venant en tr-

minos de desplazam ientos mediante su mtodo sem i-inverso. Se lodenomina problema de la torsin uniforme, o de torsin libre o -

torsin segun Saint-Venant.

La importancia de la solucin de Saint-Venant radica en el

hecho de que muchas veces es directamente aplicable a problemas

prcticos en que se satisfacen las condiciones de la torsin un

forme y adems porque sus resultados sirven de apoyo para resol-

ver los problemas de torsin no uniforme (ver por ejemplo refe-rencias 9.9 y 9.10).

En el presente trabajo se desarrolla la teora de torsinuniforme y se explica su resolucin mediante la funcin de ten---

sin de Prandtl, Se obtienen las soluciones analticas en el ca-so de barras de seccin elptica y rectangular. Mediante la ana-loga de la membrana se justifican soluciones aproximadas para -las barras de pared delgada de seccin abierta con espesor cons-

tante y variable, perfiles laminados, barras tubulares de pare-

des delgadas y barras constituidas por chapas soldadas o remacha

das.

2 EL PROBLEMA DE TORSION SEGUN SAINT- VENI.lT.

Supongamos un cuerpo prismtico eV9tico, homogneo e 86--

tropo cuya seccin transversal tiene una forma arbitraria que --

puede ser simple o mltiplemente conexa, es decir, llena o con -

uno o varios huecos.

Usamos un sistema de coordenadas- cartesianas ortogonales -

x ,j , Z de modo que el eje E tenga la direccin longitudinal -del prisma. El punto origen de coordenadas es un punto arbitra-

rio de una de las caras extremas del prisma, como se muestra en

la figura 2.1.

Fig. 2. 1

Supongamos que el slido se encuentra. en equilibrio bajo -la accin de fuerzas superficiales que actan sobre las caras extrenas.

Las fuerzas que actan sobre la superficie coordenada Z =i

1

2

son estticamente equivalentes a un torsor, cuyo vector re--

presentativo es M= Mzz y las que actan sobre la otra cara ex

trema ( =o) , son estticamente equivalentes a un par opuesto ---M . La superficie lateral del prisma est descargada y las fuer

za.s volumtricas son nulas.

Si estn especficamente determinadas las fuerzas superfi-

ciales que actan en las curas extremas, se est frente a un pro

blet a elstico che primera especie (ver ref. 9. 8 ) que, en gente--ral, presenta grandes dificultades matemticas. Su resolucin se

hace posible si se flexibilizan las condiciones de borde del pro

blema,- ranuiciann.4q a epecif icor completamente a las fuerzas su-

perf ie iales que actan en las oras extremas y estableciendo s-

lo la condicin global de ser estticamente equivalentes a un --

par torsor M1 y M rospectivumente.

Si las dim.er?siones. tranovorsales del prisma son pequetas -

fren.te a la longitud, la eoluoin que se halle bajo estas condi-ciones de borde ms flexibles, es aplicable a todos los puntos -

del prisma que no se enoueritrun en la inmediata vecindad -de las

caras extremas , cualquiera sea la distribtuoin efettiV de lat

fuerzas superficiales (principio de Saint- Venant).Adems, es conveniente destacar que, tratndose de un pro-

blema elstico de primera especie, la solucin es nica para las

tensiones y deformaciones, pero los desplazamientos quedan defi-

nidos como la suma de una solucin particular ma la que corres-

ponde a un desplazamiento rigide arbitrario muy pequeo del caer

Po prismtico.

3

3 LA RESOLUCION DEL PROBLEDIA.

Se comienza por aceptar una hiptesis respecto de la forma

de una solucin propuesta para las componentes u, V,W de los --

desplazamientos. La solucin completa del problema se obtiene ve

rificando que se cumplan todas: las ecuaciones bsicas de la teo-

ra lineal de la elasticidad y las condiciones de borde del pro-

blema en estudio. La hiptesis consiste en aceptar que

u Z. v= e.z. w = W (x,^) (3.1)

donde 6 es una constante y W(xJ ) una funcin desconocida.Puede comprobarse que esta hiptesis implica suponer que -

durante la deformacin de la barra, las secciones transversales

(superficies coordenadas i ) giran rgidamente en su propio pla-no alrededor del eje Z , en un ngulo proporcional a la coordenada 2 y adems sus puntos se desplazan normalmente al plano de -

la seccin en forma independiente de la coordenada i .

La rotacin rgida de las secciones en su plano puede ser

representada por el vector

0 = 4. Z (3.2)donde el mdulo de la rotacin es

=e.2 (3.3)De la ecuacin (3.3), se obtiene

(3.4)

que justifica el nombre de rotacin especifica con que se desig-na a la constante e .

El desplazamiento de un punto cualquiera puede entonces ex

presarse en la forma

Q = Qxf + w , e-Z (3.5)

4

donde es

=xx +^^^ (3.6)el vector posicin del punto considerado.

En la ecuacin ( 3. 5) , el primer trmino del segundo m iem--bro representa a la parte del desplazamiento debida al giro rc

do de la seccin en su plano y el segundo trmino la componente

de desplazamiento en direccin longitudinal.

Zas, componentes W(X,J de los desplazamientos pueden producir, en general, un alabeo de las secciones, es decir que debi

do a estas componentes de los desplazamientos, las posiciones f-i

nales de los puntos de una seccin pueden dejar de pertenecer aun plano. Como W es independiente de 7 , todas las secciones se

alabean del mismo modo.

Si en la ecuacin (3.5), se introducen las ecuaciones (3..2), (3.3) Y (3.6), se obtiene

=-6z^Y + 6^x^+

que es equivalente a las ecuaciones (3.1).Si admitimos las ecuaciones (3.1), de las relaciones cine-

mticas lineales

u dvx = ^ + ax

awaz -a

se obtienen las deformaciones

(3.7)

b- =^=^2=VxJ=0

Para obtener las tensiones, introti. ,;imos las ecuaciones -

(3.7) en la ley generalizada de Hooke (ver ec. (7.4) de ref. 9..8)

Gx 2 ( 1 -o) 2k) ZI)1-

2

20 i-2v 1-2u

i) 2(1-v) 2U1-

2

21-2U 1-2v

y 21) 21-u)E L- 2v 1-2v 1-21)

Cx^ 2 (1+v) 1 ^XJz 1 lis

. 1 r^z

y resulta

donde

(.3.8)

E2 (1 +U)

es el mdulo de elasticidad transversal del material. -

En lo que sigue , desarrollamos la solucin del problema ba

sada en la funcin de tensin de Prundtl. Este camino consiste -

en introducir una funcin de tensin Y _ T(x11) , tul que

t2 = Dy x 2

donde

l^ = Z Z) PY

(3.9)

(3.10)

es el vector tensin que acta en el plano de la seccin, y

Q^P = x k + 1 ej

es el gradiente de la funcin . (El simoolo es el operadorHam ilton fano) .

De las ecuaciones (3.9) y (3. 10) se obtienen las ecuacio-nes escalares equivalentes a la ecuacin (3.9)

Z x . ^ Zz _ ^ (3.11)a^ ^--ax

En el mtodo de Prandtl, la funcin P es la funcin incg

nita principal del problema, ya que se pretende obtener en base

a ella todas las dems funciones incgnitas ( tensiones, deforma-ciones y desplazami entos).

En primer lugar, podemos comprobar que si, adoptamos como -

funcin Y una funcin continua cualquiera con derivadas conti-

nuas , el equilibrio interno queda asegurado.

En efecto, si en las ecuaciones diferenciales de equili --

brio

3Gx a? x + ^Z^ _ o

ax + a2i +

+ aZy^+oax ^ a^

introducimos las ecuaciones ( 3.11) y las ecuaciones de la ltimafila de ecuaciones ( 3.8), puede comprobarse que el equilibrio --queda satisfecho , cualquiera sea la funcin 'Y elegida siempre -

que sea continua y con derivadas continuas.

Como a partir de la funcin Y se ha de obtener la funcin

desplazamiento W=W(x,,) , que debe ser uniforme para los pun-tos de una seccin de la barra, a continuacin veremos cuales --son las condiciones adicionales que tiene que cumplir la funcin

Si reemplazamos las ecuaciones ( 3.11) en las dos primerasecuaciones (3.8) , resulta

7

(3.12)0 (_e )^y

y si llamamos M (Xj) y N ( K,j) a las funciones

M=^ ^+ej

N ay - oxG ax

de las ecuaciones ( 3.12) se obtiene

aw =M=!-.a^P +o^x G d^

(3.13)

aw _ 1 'P (-3.14)a^ = N - 6 dx

Si en las ecuaciones ( 3.13) introducimos una funcin Y --continua y con derivadas continuas , ello no asegura que M y N

sean las derivadas de una funcin potencial W , a menos que

dw = Mdx + N d1

sea una diferencial total exacta.

En el caso de una seccin simplemente conexa, la condicin

necesaria y suficiente para que ello ocurra es

M _ N^ x

(3.15)

Si en la ecuacin ( 3.15) reemplazamos las ecuaciones (3. -.13), resulta la ecuacin diferencial

j2q ^x + _ -2G6

o ms brevemente

p2Ip = _ 2ge (3.16)

De modo que lu fuaciti "P , deoe satisfacer la ecuacin di-

f erenc al (3.16) para asa f;ur :r l e.x istenc la da la funcin p oten

cial 1,c/ eri el caso de erial garra cuy. seccin transversal es siw-

plemente conexa.

Si la secc in es :u1 ^ ij:lewc;n ^e conexa, la condicin (3.15),y por ende la ecuacin es condicin necesaria pero no su

f i c i ente, y se req uLere?ii condicin s a icLOr]aleS para asegurar -

la existencia de la iuncicl pO Ce.Lciaa1 W

Pura obtener esGLis cOridi^;LOUt;s udicioriaies consideraremos

i:rLLcerum(--nte el caso ae Tia :3C-ce16t. 3. 1) .Los resultados que se o l)t Leti ^^i . se f c ilmentey,ara secciones m ul t i 1eC :^ t : Or:t ;Cu:^ C l^llesu mera.

Fig. 3,1 Fig. 3.2

Si en la seccin de lu figura 3.1, efectuar os uri corte co-

co el indicado en la f ig:Lru 3. 2, lu seccin se convierte en sim-

y lemente conexa.

i la funcin Y sau e e u la e_ cuz., oioti d iferencial ( 3.16)Queda asegurada la existencial ue la f uncin potencial W en el -

aoininio SLwplewenue cone xo cio :strado en lu fig. 3.2. Los puntos -

A+. y A_ adyacentes que se encueci trae re:^pect ivaw n^e sobre una

y otra cara generadas por el corte podran tener, sin ewbargo, -

despluzumientos W difereritcs en el ioc^i:rio siuipleciente conexo.

Lo mismo podra ocurrir con otro par ^_ua.lquiera de puntos como -

los B+ y B- .

Para que un par de puntos como A+ y A- tengan el mismo -

desplazamientu W , debe cumplirse la condicin

Mdx + Nd^ =0 (3.17)c

donde la integral se extiende a una curva cualquiera C que va -

desde A+ hasta A- rodeando al hueco.

Puede demostrarse que la condicin ( 3.17) es suficiente para asegurar que todos los pares de puntos adyacentes tengan el -

mismo desplazamiento . En efecto , si suponemos un par de puntos -

cualquiera , como el B+ y B- , la condicin para que tengan --

igual desplazamiento Sri/ sera

MdY +N dj =o (3.18)Jc

donde C' es una curva cualquiera que va desde b+ hasta B- ro-

deando al hueco.\/

En particular esta curva C' puede tomarse desde Bt hasta

Ai. sobre el corte, desde A+ hasta A- siguiendo la curva C y des-

de A- hasta B_ sobre corte, de modo que la ecuacin (3.18) quedaaL o

Mdx+Nd^ =0J MdNd^ + Mdx+Ndj + ]A-c

(3.19)

Debemos notar que, si existe la funcin Y(K,j) en el do-minio mltiplemente conexo , tambin estn definidas en ese domi-

nio las funciones M y N (ver ecuaciones ( 3.12)) y, por conai--guiente

At

Mdx+Nd^ + Mdr+Nd^ = 0 (3.20)A_

pues se recorre en cada integral la misma curva en sentidos opues

tos.

La ecuacin (3.19) queda reducida entonces a la condicin

10

(3.17). Esto nos demuestra que basta la condicin adicional (30.17) para asegurar la existencia de W en la seccin doblementeconexa.

En el caso de una seccin con m huecos ser, necesario --efectuar nl cortes adecuados para convertir la seccin en simplemente conexa y debern plantearse m ecuaciones de la forma (3..17), o sea

JG

M.dx +Nd^ =o = 2, ....., m (3.21)donde CJ son curvas cerradas alrededor de cada uno de los hue-

cos.

En la figura 3.3 se representa una seccin cudruplementeconexa y las curvas Ci , C2 , C3 correspondientes.

F g. 3.3

Las ecuaciones de le, forma (3.21) deben plantearse en termanos de la funcin de tensin Y . Para ello introducimos en -la ecuacin (3.17) las ecuaciones (3.13), con lo que resulta

aQ dx di = e x d_d y dx (3.,22)G d^ x

c c

Esta ecuacin puede a su vez transformarse mediante las -

siguientes consideraciones. Sean

1 1

las ecuaciont: paramtricas de la curva C expresadas en funcin

de la coordenada curvilnea 5 , que es la longitud de la curva

medida a partir de un punto arbitrario (ver figura 3.4). El vec-tor posicin de los puntos de la curva es

= X(5) x t (s^ e

Fig. 3.4

El vector tangente a la curva es

e5 = d^ = dx x + -- eds ds ds

(3.23)

( 3.24)

y el vector normal a la curva de sentido saliente respecto de la

superficie encerrada por ella es

n=es xez_ ds K-dds xed (3.25)

El producto escalar de este vector por el gradiente de Y

es

1 2

o^p . . a ^ Y + lp e ) i e dx e 1dx al ^ ds ds

DUP. = ^ d - dW d5

(3. 26)

Si tememos en cuenta esta ecuacin, vemos que . el primer

miem bro de la ecuacin (3.22) puede ponerse en la forma

+ ^ dx d ds (3.27)G ^ ax G

c

Para transformar el segundo miembro de la ecuacin (3.22)usaremos el teorema de la divergencia en el plano , expresado en

general por la ecuacin

( ax + dx d^ _Ac

(3.28)

donde A c es la superficie encerrada por la curva C y P y Qson dos funciones de las coordenadas Y. e

Si en particular tomamos

p=

Q = ^

la ecuacin (3.28) nos da

JJ(1^l)dxd 1 = rd^ - JdxJAC c

o sea

xd^- ^dx = 2AcJc

(3.29)

Si reemplazamos las ecuaciones (3.27) y ( 3.29) en la ecuacin ( 3.22), se tiene la ecuacin

Dup. d5 = - 2 G5Acc

(3.30)

13

Esta es una manera conveniente de expresar las ecuaciones

del tipo de la (3.17), La forma (3.30) admite algunas variantes.

Por ejemplo, si tenemos en cuenta que

p^P=(Pan

es la derivada direccional de la funcin Y en la direccin de -la normal ^n a la curva, la ecuacin (3.30) puede reescribirse -en la forma

dy . ds 2 G 0Acdn

c

(3.31)

Esta ecuacin puede deducirse tambin de una de las ecua-

ciones integrales de compatibilidad (las dos restantes se convierten en identidades); este camino de obtencin es interesante conceptualmente ya, que esclarece el significado de la ecuacin (3..31), pero es ms engorroso que el que se ha seguido en este trabajo. (La deduccin de la ecuacin ( 3.31) partiendo de las ecua-ciones integrales de compatibilidad fue obtenida en referencia -

(9.13)).Existe otra forma de expresar las'ecuaciones (3.30) que a

veces resulta til en las aplicaciones. Para obtenerla, multipli

Gamos escalarmente ambos miembros de la ecuacin (3.9) por e.,con lo que se obtiene

t2.^s O^Q x

^^ es - - 0( ;s x g

y si tenemos en cuenta a la ecuacin (3.25), resulta

}Z. 5 = - aT (3.32)Si introducimos la ecuacin ( 3.32) en la ( 3. 30) , obtenemos '

1 iz -5 ds = 2 G9 AcJC

(3.33)

1 .1

Al primer miembro de esta ecuacin se lo denomina circular-

cin de a lo largo de la curva. C

Si la seccin es rn +1 -plemente conexa, debern plantearse

m ecuaciones del tipo de la (3.30) o sus equivalentes.La funcin 1 que satisfaga la ecuacin diferencial (3.

.16) y las ecuaciones integrales (3.30) si la seccin es mlti--

plemente conexa, asegura el cumplimiento de las ecuaciones bsi-

cas de la teora de la elasticidad en el interior del cuerpo con

siderado.

Debemos ahora plantear las condiciones de contorno que co-

rresponden al problema de torsin en estudio.

Para ello escribanos primeramente las ecuaciones generales

de equilibrio en la superficie

P =Zxjf +5m +ZZj.nf2 = ng ^ t m + GZ. n

(3.34)

En estas ecuaciones px , a , p son las componentes de -

las fuerzas exteriores, referidas a la unidad de rea, que actan

sobre la superficie de la barra y , m , n los cosenos directo

res de la normal saliente.

Si en las ecuaciones (3.34), introducimos las componentes-de tensin expresadas por la ltima fila de ecuaciones (3.8) y -las ecuaciones (3.11), se obtiene

( 3.35)

Apliquemos estas ecuaciones a un punto cualquiera de la su

perficie lateral de la barra, sea interna o externa . Como se tra

ta de una superficie cilndrica paralela al eje , n es cero

15

(ver figura 3. 5) y si expresamos la eciu-ci6n del contorno en la -

e X

Fig. 3.5

forma paramtricaX = )C(s)

los cosenos directores son

ds n=o (3.36)

donde S es la longitud del arco del contorno de la seccin medi-

do a partir de un punto arbitrario.

Si reemplazamos las ecuaciones (3.36) en las (3.35) se ob--t iene

Px =o

(3.37)Y dj cYP d x

p^- ds t dX ds

Las .condiciones de borde del problema planteado establecen

que en la superficie lateral no hay fuerzas superficiales actuan-tes.

Las dos primeras ecuaciones (3.37) satisfacen estas condi--

-I 01

ciones y es necesario establecer qu- tambin Pt sea nula, es de

ir

ay dx !v d^ _ odx ds } ^ ds

(3.38)

Si consideramos el. espacio unidimensional de los puntos del

contorno se tiene

y = ? [ (s),j)]y la ecuacin (3.38) puede escribirse

ds - (3.39)

Si integramos esta ecuacin, se tiene que para los puntos -

del contorno considerado es

y_Y (3.40)

donde YI es una constante.,

En general la funcin tomar un valor constante diferen-

te en cada uno de los contornos de la seccin (contorno exteriory contornos interiores si es mltiplemente conexa).

Supongamos ahora un punto sobre una de las bases del pris-

ma, o sea una de las secciones extremas de la barra. Para ese pun

to la normal saliente es paralela al eje 1 y por consiguiente --son nulos los cosenos directores ? y rn , mientras que n = } 1correspondiendo el signo + para la cara donde la normal saliente

coincide con ,

Si introducimos

1= o m =o n . i

en las ecuaciones (3.35), se tiene

(3.41)

1 '

3. 41)

Las condiciones de borde para esta cara establecen que las

fuerzas superficiales actuantes son estticamente equivalentes a

un par M = M2 2 . i reducimos entonces el conjunto de fuerzas -superficiales definidas por las ecuaciones (3.41) a un punto delplano de esa cara, la fuerza resultante debe ser nula y el siste

ma debe ser equivalente a un par.

En la figura 3. b se muestra una cara de una barra triple--

mente conexa y la uer^^; diferc^nci-_^l que acta sobre un elemento

r`ig. 3.6

de superficie.

Si reducimos las fuerzas superficiales al origen de

nadas se tiene una fuerza

y un par

co orde

(3.42)

M= p dxd^ 3.43)JJA

1d

En stas ecuaciones las in terTnuies dobles se extienden a -

la superficie de la cara, siendo

(3.44)la fuerza superficial cuyas componentes son las expresadas por -

las ecuaciones (3.41) y

r = Kext^e^ (3.45)el vector posicin de un punto genrico.

Si en la ecuacin ( 3.42) introducimos las ecuaciones (3.44)y (3.41 ), se o bt ieerie

F ` IJ

d'P dxdj ex - ^P dxd1A ^ A dx

(3.46)

Puede demostrarse que las dos componentes de esta fuerza -

son nulas . Para ello aplicamos _el teorema de la divergencia en -

el plano expresado por la ecuacin (3.28). Consideremos como curva C la indicada en la figura 33. Esta curva recorre el con--

torno exterior y todos los contornos interiores, a los que se --

llega por tramos que se recorren una vez en un sentido y otra --

vez en sentido contrario. La superficie encerrada por esta curva

es la de la seccin de la barra, cuya `rea es A

Si tomamos las funciones P= T y Q=0 , la ecuacin (3.28)queda

1I, dx dx do l) dx di (3.47).ic

El segundo miem bro de esta igualdad puede descomponerse en

una suma de integrales que corresponden a distintos tramos en --

que puede dividirse la curve. C . Las integrales que correspon-

den a un mismo tramo recorrido en un sentido y en el contrario -

se cancelan entre s y quedan las integrales extendidas a lo lar

go de cada contorno. Como de acuerdo con la ecuacin (3.40) lafuncin Y es constante en cada contorno, su valor puede ponerse

fuera de la integral y la ecuacin (3.47) queda

119

aI dxdjAax 1o

dxci

(3.48)

En esta frmula C^ , i = son los contornos, Y los

valores de la funcin de tensin en cada uno de. ellos y m el n

mero de huecos que presenta la seccin ( asignamos el ndice =opara el contorno exterior).

Como es

dx = oice

por ser una curva cerrada, se deduce que

dxd, = 0A

En forma similar, se demuestra que

1'dLd1 = 0

A

(3.49)

(3.50)

Reemplazando las ecuaciones (3.49) y (3.50) en la ecuacin( 3.46) , se deduce que

F . 0 (3.51)Calculemos ahora el par M expresado por la ecuacin (3.

.43). Para ello introducimos en esa ecuacin las ecuaciones (3.

.44)', (3.41) y (3.45), con lo que se obtiene

e, 5 e zdx d1 _ _11 (x + ) dxd1

^x4

20

o bien

m= MZ

donde

(xax+y^}dxdd (3.52)

Esta ecuacin establece la relacin ei'i.stente entre la fun

cin y el par torsor . M2 que solicita la barra.

El problema de torsin queda entonces resuelto si se obtie

ne la funcin Y tal que

a) Satisfaga la ecuacin diferencial de Poisson (3.16) -con las condiciones de borde ( 3.40), es decir , que 9 debe ser -constante en el contorno exterior ( y en los contornos interioressi la seccin es mltiplemente conexa ). Debemos s ealar que en -la ecuacin diferencial ( 3.16), 0 es una constante incgnita yque tambin son desconocidas las constantes YI

b) Si la seccin es mltipiemente conexa, la funcin 9debe satisfacer ecuaciones como la ( 3.30) de circulacin alrede-dor de cada uno de los huecos de la seccin . Estas m ecuaciones

permiten obtener las constantes Y ' ( = ...,m .La rotacin especifica 6 se determina mediante la ecua---

cin (3.52), que relaciona a la funcin P con el momento torsor.Ms abajo transformamos a la ecuacin (3.52) para darle una ex-presin ms conveniente.

Las dos componentes de tensin no nulas se obtienen luego

con las ecuaciones (3.11).

Conviene sealar aqu que puede atribuirse un valor arbi-

trario a 40 , constante correspondiente al contorno exterior. Es

to se debe a que en la ecuacin diferencial (3.1), las ecuacio-nes de circulacin (3.30), la relacin (3.52) y las ecuaciones -(3.11) que permiten el clculo de las tensiones , slo aparecen -las derivadas de la funcin P , pero nunca la funcin misma. --

Por consiguiente, si LP(c ) es una solucin del problema, tam-bin lo es En todo lo que sigue, supondremos arbi

i

21

trariamente que es

Ya . o

Conocl:-s las componentes de tensin, pueden hallarse las

deformaciones aplicando la ley generalizada de Hooke y luego los

desplazamientos se obtienen en base a las ecuaciones (3.1) y (3..14). (ver Anexo 1)

Como es un problema elstico de primera especie, la solu-

cin es nica en tensiones y- deformaciones, pero los desplaza---

mientos quedan definidos a menos de los que corresponden a un mo

vimiento rgido muy pequefo.

La resolucin efectiva de problemas 1e torsin ser ilus-

trada en los artculos que siguen con algunos ejemplos.Para terminar este artculo encontraremos una forma alter-

nativa de la ecuacin (3.52), que resulta ms conveniente en lasaplicaciones. Tomamos como ejemplo la seccin mostrada en la fi-gura 3.6 y aplicamos el teorema de la divergencia en el plano a

la curva C que encierra el rea A

En la ecuacin (3.28) introducimos

p=x.1P Q=^.Y

con lo que se obtiene

l l+ ^^^P)ldxd, CAl J

X

C

De esta ecuacin se deduce

(Y-!- + ^P +114 c

o sea

x ^Y + x.di = 2 T dx di j.du .A ( dx d^) 11A (3.53)

La segunda integral que aparece en el segundo miembro de -

esta ecuacin puede descomponerse en una suma de integrales ex--

tendidas a distintos tramos en que puede dividirse la curva C

Las integrales que corresponden a un mismo tramo recorrido en ur.

sentido y en el contrario, se cancelan entre s y quedan laq inte

grales extendidas a lo largo del contorno exterior y los contor-

nos interiores. En cada una de esas integrales P ,que es constan-

te, puede sacarse fuera de la integral. Si hacemos esto y reempla-

zamos la ecu-t c ' ) n ( 3 . 5 3 ) en la 52) , se obtiene

m - .

2 drdi - d 44 - dx. - Eg,. xd, - dx (3.54)A d i=1 C,

En estar ^e _a iad ^:ado con una flecha el sentido de

circulacin alrededor de lus curvas cerradas.

Si tenemos en cuenta la frmula podemos poner

Cpxd^-^dx xdj - jdx - -2A

donde At es el rea del hueco i , Como , adem . s tomamos q0=0 , la

ecuacin (3.54) queda

tg .2 Y dxdi + WL AL-A ice!

(3.55)

Cabe sfialar que, en el caso de una seccin simplemente co-

nexu, al no existir huecos, la ecuacin (3.55) se reduce u

2 r y d-cd1JA

(3.56)

La ecuacin (3.52) se su:-tituye entonces por la ecuacin(3.55) o (3.56), segn que la seccin sea ailtiplemente conexa osimplemente conexa, respectivamente,

4 TORilON DE UN BARRA DE SECCION ELI.PTICri.

Consideremos una barra prismtica cuya seccin transversal

es una elipse de semidimetros 4 y b . Para estudiar este pro-

blema disponemos los ejes x , ^ , 7 de la terna cartesiana de -modo que los ejes X e coincidan con los dimetros principa--les de la cara extrema, segn se muestra en la figura 4.1

..o

-o

Fig. 4.1

a

La ecuacin del contorno de la seccin de esta barra es

2 2 =0X- b2 _i

(4.1)

Como la seccin es simplemente conexa, la funcin. % debe-

r satisfacer a la ecuacin diferencial (3.16) con la condicinde borde Y=O en el contorno de la misma.

Supongamos una solucin de la forma

(p lx2Tn +

I2_ 1

i - a2 b2 (4.2)

donde m es una coristarite . Esta funcin satisface obviamente la

9l

condicin de borde, pues se anula en los puntos que satisfacen -

la ecuacin del contorno (4.1).Si reemplazamos la funcin (4.2) en la ecuacin diferencial

('.16), se obtiene

(4.3)'2G6

2 .:+ b2^ =-a

Para que la funcin (4.2) satisfaga a la ecuacin diferen-cial, la constante -rn debe tener el valor que surge al despejar-la de la ecuacin (4.3), o sea

Si reemplazamos este valor en la ecuacin (4. 2), se obtie-ne

Para hallar la constante & que aparece en esta expresin,

planteamos la ecuacin (3.56), con lo que resulta

M 2 eGdb2= 02+ b2

JJx2dx d t b ^2dxd -JJ d )xJJA

(4.4)

4.5)

(4.6)

Las integrales que aparecen en el segundo miembro de esta

ecuacin son, respectivamente, el momento de inercia de la sec-

cin respecto del eje d , el momento de inercia respecto del ejek y el rea de la seccin. Sus valores son los siguientes

Ij _

G 6a2b2a2+ b2

Gea2b2 ( X2Q2 + b2 02

x2dxd^ = tba4

J A

^2dxd^Ix= ^

A= dxd^ Tab

25

Si introducimos estos valores en la ecuacin (4.6), pode-mos despejar la rotacin especfica y se obtiene

e - M 1G d a3b3

a2+ b2

Esta ecuacin se puede escribir en la forma

G T

donde

r a3 b3IT= Q2tb2

(4.7)

(4.8)

(4.9)

es la constante de torsin libre de la seccin elptica.

En general, para una barra cuya seccin tiene una forma --

cualquiera, siempre es posible expresar la rotacin especfica -

6 mediante una frmula como la (4.8), donde IT depende slo delas propiedades geomtricas de la seccin.

La constante de torsin libre para una seccin circular --

puede obtenerse como un caso particular de la ecuacin (4.9), --cuando

-b2

siendo d el dimetro del circulo. Se obtiene

Ir=rd4

-IP32

(4.10)

o sea que coincide cori el momento de inercia polar respecto del

centro del crculo.

Si en la ecuacin ( 4.5), introducimos la ecuacin (4.7), -se obtiene la funcin de tensin

kP= _ M ( x2 }^abl az b2 JJ

(4.11)

26

El clculo de las tensiones se realiza con las ecuaciones

(3.11), donde reemplazamos la ecuacin (4.11) y resulta

2 Mtr, nb3

2MiC^^ =r 03b

(4.12)

En la figura 4. 2, representamos los diagramas de estas ten

siones

aj -4

- IQ

-o

P

2Mz.iinb2

1. 2 MfTi a2 b

r'ig. 4.2

En los puntos Pi y P2 , extremos del menor dimetro de -

la elipse se presentan las tensiones tangenciales de mayor valor

absoluto,

mnxI I`?': b2M2

T ab2(4.13)

En el caso de la seccin circular, de acuerdo con las

ciones (4.10), la ecuacin (4.13), nos da

96Mz-M Xj =L Ti d3

ecua

27

resultado que confirma al Obtenido en 1, esistenc la de Llateriales.

Para determ inar los desplazum ientos W , - primeramente reem-

plazamos la ecuacin (4.5), en las ecuaciones (3.12), con lo quese tiene

_ - e a2. b2 2 Jo2+b2 b2

- 8 a2_ b20 2+b2 (4.14)

aw= e Q2 b2 2 X _ 6_x _ _ e j- b2 . X

aj 02+b2 02 Q2 +b2

Sea Po (1Co,jo) un punto arbitrariamente elegido en una --seccin de la barra y P(Y,^) un punto genrico de la misma sec-cin . Se tiene que

P

W-wo - aW dx + aWdpo U ay

(4.15)

En esta ecuacin, W es el desplazamiento correspondiente

al punto genrico P-, Wo es el desplazam iernto correspondiente al

punto Po y a la derecha del signo igual tenemos una integral --

curvilnea entre los puntos Po y P , que es independiente del -

camino elegido.

Por comodidad adoptamos el camino mostrado en la figura --

4.3

Fig. 4.3

Si en la ecuacin (x+.15) introducimos las ecuaciones (4. -.14), se tiene

J- b2W- Wo = - 0 x.^ +a 2+ b2

dx

02- b2 90 X,1 1a + b 2 XPIO z, Jo J

a2- bZa2+ b2

e Q? bZ x d^o2+b2

P (x,4ya)

8 a 2 - b2 x^ ^a02+ b2

(4,,15)

En esta ecuacin la constante Wo es indeterminada, razn -

por la cual, el segundo trTi, irlo del segundo mies bro de la igual-

dad, que e9 cor stant,:, cure ce de importancia.

En realidad, a esta solucin para los desplazamientos W, -

as como a la solucin correspondiente a los desplazamientos U -

y V expresada por las dos primeras ecuaciones (3.11), podemos sumarle los desplazamientos correspondientes u un movimiento rgido

muy pequeo. La solucin general para lomos desplazamientos es en--

tonces (ver ecuaciones(iO.lO) die referencia 9.8)

ll=-ei1+uo +1,. ( -z0}-

v = e.zx +vo + w o K-Yo - wxo ( z -Z0) ( 4.17)

02- b2W . - 6Q 2

+ b 2 . x .t^ , l^o t L,,"> (1 - yo ) _ u (x YO)

1 ve u/o , W) f. i0 =1 ">^ O

En la ltima de las ecuaciones (4.17), el primer trmino --del segundo miembro describe el alabeo de una seccin cualquiera

de la barra ya que los trminos restantes, que son una funcin li

neal x e ^ , corresponden a un movimiento rgido durante el cual

p ^(9o)W-Wo a2-bz

02 +b1

Po(x0,0)

En estas ecuaciones x0 yo , Zo sorn ka s coordenadas de un

punto elegido arbitrariamente y U

son seis constantes inde ter: Triadas.

29

la seccin permanece plano.

Las lineas equipotenciales de la funcin

W = , g a2- b2 . x .Q2+ b2

son hiprbolas , segn se muestra en la figura 4. 3.

Fig. 4.3

(4.18)

Los puntos de los cuadrantes i y 3 tienen desplazamientos

del mismo signo, que es contrario al signo de los desplazamientos

en los cuadrantes 2 y A .

En el caso particular de una seccin circular , si en la

ecuacin ( 4.18) ponemos Q = 6 = P , , se obtiene

W=0

Este resultado nos indica que la seccin circular no se ala

bea durante la torsin, en concordancia con la hiptesis empleada

en Resistencia de Materiales.

30

5 TORSION DE UNA JE ;;UION RECTANGULhR.

Supongamos que la seccin de la barra sea un rectngulo de

lados 2a y 2b , segn se muestra en la figura 5.1

Fig. 5.1

Debemos encontrar la funcin de tensin Y que satisfaga -

la ecuacin diferencial (j.16) con las condiciones de borde

f7 )x=a = 0

(Y)rb=oPara ello se propone como solucin la serie

bn CO-.11 = 1,3,5,..

2a ir1

donde bt , b3 , b5 , .... son constantes y

^-,, - 1, (^)son funciones desCauocldus (le la coordenada 4

Puede comprobarse fcilmente que la serie

las dos primeras condiciones de borde (5.1).Las derivadas segundas de esta serie son

(5.2)

(5.2)

(5.3)

sat isface

^o pauP= ^bcC5nrx. un

x 12- 2 n n 2a d2dx n= ^,a,..G a 2a

31

Ll laplaciano es,

2 dZrn _ n2GZ

,n bn Coy n Y-\7-n 3,.. d 2 4 02 2a.

Desarrollemos ahora en serie de Vourier la constante -26@

que aparece a la derecha del si .o igual en- la ecuacin (3.16).Para ello suporigrawos que se t Lene una funcin par de X , -

peridica de perodo T_ 4q , como la que se representa grf icamer_-

te en la figura 5. 2. (pare. -a

se obtiene

00=o

n21 (5.7)n -i,

n = 2,4,...

Reemplazamos esto s valores en la serie ( 5.5) y resulta

n-12 0e 2 n Ti (-) 2 cos za

n=1,3,..

.r (5.8)

Esta funcin es el desarrollo en serie del segundo miembro

de la ecuacin diferencial (3.'1-6).i introducimos lis ecuaciones (5. 11 ) en la ecuacin

diferencial se o,-,tiene

ZIP n-1d?fn - n2C 2 . fn ) bn Cos n.r.r = - 2 G6 4 ( -i 2 cos 2^axd l- 4a2 20 n ra n.1,3..

igualamos los trm -no:3 que corresponden u un mismo n , con

lo que resultan las ecu,lcione-y dif er(enciulesn-1

d rn c5i _ 8C9d^t ^, a2 n f.bn n / n=1,3 , (5.9)

Las soluciones generale s de estas ecuaciones diferenciales

son

-i1Tn = ^^ 5 ni-( [^^ c ni^J + 32.690 2 ^_1) n 2

za 2a 3n3b.-7r1_ 1,3,... (5.10)

Como la funcin de ce satisfacer la segunda fila de con

diciones de borde (:. 1) , en la serie ( 5. 2), debe ser

! Cn )^.-b (5.11)

.33

Si introducimos la solucin ( 5.10) en las ecuaciones ( 5.11),se obtienen sistemas de dos ecuaciones lineales algebraicas en A. y

Bn que una vez resueltos permiten obtener

n-i_ 32 ' o2 2

1

An = o (-7, n;^6 ; nr 3 n3 bnza

Si introducimos estas constantes en las soluciones (5.10),se tiene

2 n-1 nu

fn326 9a

l1) 2 ^- t1 =1,3,...

u n 3 b l I G^. rt j bn Za

(5.12)

Reemplazando estas funciones en la serie (5.2), resulta lafuncin de tensin que resuelve el problema.

Ci,^n _ 32.G6Q -i 2 ( - Za l Cog n.ii.aC`r r3 n3 ` l C1 nb 2Q

n=1,3, .. 20

(5.13)

Las componentes de tensin tangenciul ce obtienen, de acuer

do con las ecuaciones ( 3.11), mediante lis derivadas primeras de

Y.

ZTk _ -

2 n_)2 s^ "16GAQ 1 _ 20 Cos n! x

TI 2 L/- n2 ck nb za20

(5.14):: Y)-1 ',nrr/16@Oa A ) Sen nx

1 n 1 ni b{ 2an= Za

La mxima tensin tangencial se produce en los puntos me---

dios de los lados mayores. Si suponemos b> Q , se tiene

} 7 _ c^en 1 _ (5.15)m nY I l^ I = (`Z^ ^Y_q r 2 r12 i n ^bO n'!3.

- .,

Si tenemos en cuenta que

4n

n_1, 3,..2

-2

8

( ver referencia 9.14, pg.346), la ecuacin ( 5.15) puede reescri-birse en la forma

mk It.I = 2G6ak

donde

k=1w

g L 12 2 L nb

2Q

(5.16)

(5,17)

es funcin de la relacin de lados b/Q . Sus valores se consig-nan en la segunda columna de la tabla 5.1.

Puede observarse que cuando la relacin b/Q es suficientemente grande , puede ponerse k=i y la ecuacin ( 5.16) queda

x 1Iz 1 = 2 G & o (5.18)Sobre este resultado volveremos m.s adelante.

Para determ inar la constante & , usamos la ecuacin (3.56).Reemplazamos en ella la ecuacin (5.13), con lo que resulta

Q bMZ = 2

w

1 32C^6o2) i^- il 3 L 3

-b n_1,3,..f

c& nii

2a Cos 2Q >< drdy =nb a

. 2a

n1 a nii^6L, G0 2Q i i Z 24 gen niixil3 L n3 n t ( a c, nrbJ-b -a 2a

32 Ge (2a)3/ ' 41,4 n yn-1,3,..

r 2Q n i b_ h> 20

nb2a i -b

35

m 32G6 (20)3 2b - 4o V 1 { ntb lli4 n4 Ti h5 2a /

n_ 1, 3,..

Si tenemos en cuenta que

n4 96

(ver referencia 9.14, pg. 346) , la ecuacin anterior puede escri-birse en la forma

M7 = Ge ITdonde la constante de torsin libre es

3IT- (a).(2 b)k1

y Ki es funcin de la relacin de lados b/p

n=i,&,..

192r5 n5 2a

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Los valores de ki se consignan en la tercera columna de la

tabla 5.1. Cuando b/a es grande, puede tomarse aproximadamente

k, = 1 ( - 0, 630 a )De la ecuacin ( 5.19) , obtenemos

(5.22)

(5.23)

Si reemplazamos esta ecuacin en la ( 5.16) y tenemos en --cuenta la ecuacin ( 5.20), se obtiene la mxima tensin tangencialen funcin del momento torsor

rnx I} I = Mik2 (zo)2 (Zb)donde es

(5.24)

1:.

(5.25)k

Los valores kz se consignan en la cuarta columna de la ta-

bla 5.1

Tabla 5.1

ba

k k, kz

1,0 0,675 0,1406 0,208

1,2 0,759 0,166 0,219

1,5 0,848 0,196 0,231

2,0 0, 930 0,229 0,2462,5 0,968 0,249 0,258

3 0,985 0,263 0,267

4 0,997 0,281 0,282

5 0 , 999 0 , 291 0 -, 29110 1,000 0,312 0,312

00 1,000 0,333 0,333

37

6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS TENSIONES T.L GENCIALES.

6.1. El vector tensin t. tiene direccin tangente a las l,--

neas equipotenciales de la funcin . Su mdulo es igual

al del gradiente de

Esto puede deducirse si tenemos en cuenta que, de acuerdo

con la ecuacin (3.9), el vector en un punto est conteni-do en el plano de la seccin y es perpendicular al vector gra-

diente de Y . Como O(Q es normal a las lneas equipotencia--les de , se deduce la propiedad enunciada. (Ver fig. 6.1)

Fig. 6.1

Las lneas Y= c.e pueden denominarse entonces como "tra--

yectoria" de las tensiones tangenciales. Los contornos de la -

seccin son lneas equipotenciales de Y y las tensiones en -

los puntos de los contornos son de direccin tangente al con--

torno.

De la ecuacin (3.9), se obtiene que It, I = IVYI6.2. Las componentes de tensin Z^z y en una seccin sim

plemente conexa toman sus valores mximos y mnimos sobreel contorno.

Esta es una propiedad de las funciones armnicas ( Princi-pie de mximo ; ver referencia 9.12, pg. 916). Por consiguientedebemos demostrar que 1-hr. y Zzi son funciones armnicas pa

ra que quede probado el enunciado.

Esto se prueba aplicando el operador laplaciario a ambos -

miembros de las ecuaciones (3.-U_--), con 1

Oz^^x = ^2^ ) = aa z,^

`^ l X-! - C

que resulta

Si tenemos en cuenta que de acuerdo con la ecuacin (3.16),^12^Q es constante, se obtiene

=0

lo que demuestra que las componentes de tensin son funciones -

armriica s.

6. El vector tz alcanza su mayor mdulo sobre el contorno de

una seccin simplemente conexa.

Esto puede prooarse por el absurdo de la p roposicin con-

traria. Si suponemos que I t I toma su vulor mxLwo en un punto

interior de lag seccin., '.oaramos adoptar un sistema de coorde-

nadas , tal cut: el t.; k fuera r;a:.ralelo al vector

con lo cual Z x^ tomwra :: ^ r^ ior ximc en un punto interior.

pero esto es (13 armnica respecto de las -coordenadas X' Por tiene su mximo so

bre el contorno. 4

7 LA ANALO GI? DE LA ME1 iBitxNtl.

Esta analoga permite obtener la funcin de tensin P de

una manera experimental.

Si bien en la actualidad los mtodos experimentales son ge

neralmente sustituidos con ventajas por mtodos nmericos de anlisis, la analoga de la membrana conserva su valor porque, me-

diante la misma y sin realizar experimento alguno es posible te-

ner una idea cualitativa de la distribucin de las tensiones tan

genciales en una barra prismtica :solicitada a torsin y de la -

ubicacin de los puntos donde se producen las tensiones mximas;

en el caso de las barras de paredes delgadas suministra los ele-

mentos bsicos para realizar los clculos de las tensiones de --

una manera aproximada que resulta. muy til en las aplicaciones.

En este articulo vamos a explicar el fundamento de esta

analoga en los casos de secciones simplemente conexas y mlti.--

plemente conexas . En el artculo que sigue explicamos sus aplica

ciones a las barras de paredes delgadas.

Consideremos en primer lugar el caso de una barra cuya seccin es simplemente conexa. En una chapa delgada se practica un

orificio cuyo contorno es igual al de la seccin de la barra que

se quiere estudiar. Se cierra el orificio con una membrana soli-

citada solamente con esfuerzos normales N por unidad de long--

tud, de magnitud constante en cualquier punto y en cualquier di-

reccin. Con tal fin se usa como membrana una pelcula de agua -

jabonosa.La chapa y la membrana constituyen el cierre de una amara

segn se muestra en la figura 7.1.

Si se establece una pequenzt dlferenci,.: de presin P en-

tre ambos lados de la membrana, asta se deforma abandonando su -

f orma plana inicial y adquiere anal f o=" curva.

Los desplazamientos de los puntos de la membrana en la

direccin normal al plano L.: la chapa son proporcionales a los -

valores de la funcin T . Esta propiedad puede demostrarse siem

pre que las pendientes que tome la membrana con respecto al pla-

a:

no de la chapa sean muy 1;.equt: :..,;3 en valor absoluto , o sea que con

sideramos slo pequeh,,,s eflex orr s de la membrana.

Membrana curvada.

chapa con or pComo ra

Membrana en conf,u rac,on

L-niCial U

La eCuaCLon ..1 r'":r1_ 1..1 .z(; 11 Lor o l^i a:em tirana se O b-

t Lene estudiando el e:; uzi i !;,zo T e lrl o _ ecta nr ular de la -

membrana en 1u corii 1; ^ .ac tn d ^i orz:T..l.^.l, se n e m ue^:otra en la f

u. a 7.2. (Los ejes x coro .erii!ob en cl plano dla chupa). E-r. l a t' 1 `ui , e Lrl? i...rT 1^. f'ue ^a , u;. el resto de lam:emborana ejerce sonrc 1J. 2 uerz,a exterioractuante sobr el m i smo.

Las in clinacior^ 1_: iu^- rzis Ndx Nd, con respecto -al plano ^e Ofe q !::Utir e n V--11 s.- ab s oluto y pueden

ser represente as wedt:.r t^ i4. seri r :i.:rira^ zis de C . La di-reccin de la fuerz :^xLerinr pdrd? _'orma. un ngulo muy pequeocon respecto a lai ao:^m l al 1...:o Xy

Si tenemos en CUeriL,, 1Z., de ,o;;tos ingulos, 1T;, ecua-

cin de equilibrio de s a io :rcyeccion; e de 1,9 fuerzas en la -

direccin es

41

-Nd^c +Ndx(a + ^Cdd2 -

Nd^^ x +2dx)dxd^._oEsta ecuacin se simplifica cancelando trminos iguales que

se suman y se restan y d=ividindola por dxdd , con lo que queda

+ p =0N^ + , 2)o bien

2 0N (7.1)

Como el segundo miembro de esta ecuacin diferencial es unaconstante , vemos que tiene unu t ormu und.logu u la ecuacin dife--

renciul ( 16) que debe sutisf'ucer lu funcin Y

^d^ ^Nd I Ndr a2c d

x

N

xt Nd

4)

Adems observ-,Los que la uncin

tiene como condicin de borde

z, =o

para los puntos del contorno ,e la S eccin, condicin idntica a

la que debe satisfacer la f unc i n Yp .Como las funciones i7 ; y satisfacen a ecuaciones dife-

renciales anlogas e iguales condiciones de borde podemos suponer

que sus valores son proa orc:onal ;;: , o sea

= k.T (7.2)donde k es una const^_znte.

Si introducimos la ?cu

1t. -zJ=j7TI (7.5)segn se deduce de la ecuacin (3.9). Por consiguiente, los valo-res mximos dese producen en los puntos donde la membrana -

toma la mxima pendiente.

Para una dada seccin, sin realizar el experimento, es pos

ble imaginar la configuracin que tomara la membrana y con ello

tener una idea de las trayectorias de tensiones y de los puntos -

donde se producen las mximas pendientes.

Por ejemplo, para una seccin rectangular como la mostradaen la figura 7.3, el contorno exterior es la lnea equipotencial

^-_0 y las dems lneas equipotenciales forman una familia de --

curvas cerradas como las mostradas.

29

Fig. 7. 3

En el centro del rectngulo la membrana toma su altura mxi

ma; como en ese punto el vector V es nulo ( plano tangente hori-zontal ), la tensin + tambin lo es. Es fcil deducir por consideraciones cualitativas , que la membrana toma su mxima pendiente

en los puntos medios de los lados mayores del rectngulo.

La determinacin cuantitativa de la tens6n en un punto de

la seccin en estudio requiere la efectiva realizacin de la ana-loga y la determinacin experimental de en ese punto y delvolumen comprendido entre la membrana y el plano horizontal, o --

44

sea

(7.6)

Con esos dos datos experimentales puede calcularse la rela-

cin entre el mdulo de la tensin en ese punto y el par torsor -

actuante . La frmula correspondiente la obtenemos teniendo en --

cuenta la ecuacin (7.5) e introduciendo en ella la relacin (7..2), con lo que resulta

Itz I = I k^l (7.7)Si en la ecuacin ( 3.56), reemplazamos la relacin (7.2) y

tenemos en cuento udems la expresin (7.6), puede obtenerse

-Zk (7, 8).

Dividiendo miembro a miem bro las ecuac iones (7.7) y (7.8),se tiene

1t7 1= VI IM 2V:

(7.9)

Para poder determ finar la constante de torsin libre IT de-

la seccin en estudio, es necesario realizar un orificio circular

de- radio R en la misma chapa donde se ha practicado el orificio

con la forma de la seccin estudiada y tender en ambos orificios

membranas que tengan igual tensin N . Esto se consigue usando --

membranas lquidas de igual composicin. Si sometemos a ambas mem

branas a la misma sobre ;.presiri se tiene de acuerdo con laecuacin (7.4) que

I

kGe= 2 k& =

donde ko y 0,o son las constantes correspondientes a la seccin --

circular. De estas ecuacion:^s deducimos que

kGe = k0Geo ( 7.10)Para de:.eminaar IT , es necesario medir el mdulo del m.xi-

mo gradiente de lu membrana en la seccion circular o sea-Para I0^I b

obtener la frmulc, de clculo correspondiente, dividimos pri

meramente ambos miembros de la ecuacin (7.7) por G6

I iz I _ 1adl00 - kGe

Similarmente, ;ara la seccin circular

CS 6a k,G6o

( 7.11)

( 7 .12)donde It11 es el mdulo de la mxima tensin en la seccin circular.

wi dividimos miembro a miembro las ecuaciones (7.11) y (7,

.12), tememos en cuenta la ecuacin (7.10) y que pera lu seccinlt 1. = R , se tienec ircalar ^^ Geo

It^l_ IVCIC^8 R (7.13)IQIo

Si dividimos miembro u miembro las ecuaciones (7.1j) y (7,.9), resalta

1{, 1 Io I RG& Iv^iolE^l - Ivcl

zV.

de donde

IT - M7 - V7 R6 e I QClo (7.14)

Si se desean conocer lo:, ietalle; rc

c i-

Para realizar la analoga de la membrana en el caso de una

burra m ltiplemen te conexa es necesario practicar en una chapa un

orificio de contorno igual al del borde exterior de la seccin en

estudio. Esta chapa se dispone horizontalmente como tapa de una -

cmaru de manera similar al caso de una seccin simplemente cone-

xa. ideo s Le necesario disponer de chupas delgadas cuyo contorno

coincida con el de los huecos de la seccin en estudio y vincula-

das de modo que deban mantenerse horizontales (f i aura. 7.4). El peso de las placas y vstagos est convenientemente contra.balaneea-

i

do.

La membrana tendida entre el borde del orificio y los con

tornos de las placas cuando en la croara se establece una peque ha

sobrepresin P , tiene alturas 1 que son proporcionales a la -

funcin di tensin 19 , de acuerdo cori la ecuacin (7.2).

F

1 Membrana

2 Chapa con orif ic io igual al --contorno exte-rior de la seo-cin

3 Placas con con-torno igual alde los huecos -de la seccin

4 Vstago

5 Cmara

Fig. 7.4

Como ya se ha visto , la ecuacin diferencial de equilibriode la membrana es la ecuacin (7.1), anloga a la ecuacin dife--renclal (3.16) que debe satisfacer la funcin 1 . Tambin las --condiciones de borde . de la funcin 1 son anlogas a las de LQ , -

47

ya que se anula en el contorno exterior y coma valores constantesy

en los contornos interiores. De la comparacin entre las ecuacio-

nes (7.1) y (3.16) se deduce el valor de la constante k , exprese,do por la ecuacin (7.4). Pero, para que la analoga sea completa,en el caso de las secciones mdltiplemente conexas, la funcin 9

debe satisfacer las ecuaciones de circulacin (3.31) a lo largo -de curvas cerradas alrededor de cada hueco.

Vamos a comprobar que el equilibrio de las placas guiadas -

asegura que la funcin Z satisface tambin ecuaciones anlogas a

las (3.31). Para ello supongamos una lineo cerrada C alrededor -de una de las placas e imaginemos un corte de la membrana a lo --

largo de esa linea.

En la figura 7.5 se representa a una de las placas y la par

te de la membrana que queda entre la placa y la curva C . Se indi

can en la m isma,f igura las fuerzas exteriores actuantes y las que

Fig. 7. 5

el resto de la membrana ejerce u lo largo de la curva CLas fuerzas exteriores actuantes tienen como resultante --

pAc donde Ac es el reu encerrada por la curva C . La fuerza --

que el resto de la membrana ejerce a travs de un elemento ds de.

48

la curva C es Nd5 , cuya respecto del plano horizontal

es la derivada direccional n

La ecuacin de equilibrio de suma de fuerzas en la direccin

vertical es

o bien

N. ds + p.Acc

dnds= A. (7.15)

ecuacin similar a la (3.31) .Si en la ecuacin (7.15) introducimos la ecuacin (7. 2) , se

obtiene

.JC

dl ds ?ACdn kN (7.16)

Si igualamos entre si los segundos miembros de las ecuacio-

nes (3 .31) y (7.16), se deduce el valor de la constante k , que -resulta coincidente con el de la ecuacin (7.4).

Con esto queda probado que la funcin es proporcional a

A Ci

8 ALGUNAS APLIChCION::S DE L1; NaLOGIa DE L. b1k^1BR.^N.i.

8.1. Barra de seccin rectangular alargada.

Supongamos que la seccin de la barra es un rectngulo de

largo b y ancho e , siendo

e Z1b

o sea que el espesor del rectngulo es muy pequeo comparado --coa su largo.

-c

1

e

Fig. 8.1

Sin necesidad de realizar experimentalmente la analoga de

de la membrana, es fcil deducir que en caso de practicarse un

orificio alargado, la membrana adoptara una forma aproximada-

mente cilndrica a lo largo del rectngulo salvo en la zona cer

cuna a los dos lados pequeios del mismo, donde T es cero.

Por consiguiente, puede suponerse que Y depende solamente

de la coordenada aC , con suficiente aproximacin en toda la ---

parte central del rectngulo, pero cometiendo un error evidente

en dos pequehas zonas prximas u los extremos del rectngulo.

Si es T = T(X) , lu ecuacin diferencial (3.16) queda

50

doy = - z66dX2

Si integramos dos veces esta ecuacin se obtiene

y=-Gex2+el x +C2

donde Ci y C2 son constantes.

Las condiciones de borde correspondientes son

ltp)x =- 2 = 0 l^P)x=?

=0

(8.1)

(8.2)

(8.3)

Si en estas ecuaciones reemplazamos la ecuacin (8.2), seobtiene un sistema de ecuaciones lineales algebraicas en Ci y

C2 , cuya. resolucin permite decervinar las constantes, resul-

tando

Cl = o

Si reemplazamos las ecuaciones (8.4) en la ecuacin (8.2)resulta

=GG( 42 -X^ (8.5)

Las componentes de tensin tangencial pueden obtenerse con

las relaciones (3.11), resultando

Za =o 17 = 266Y- (8.6)

En la figura 8. 1, se representan grtf icamente las funcio-

nes ^ y La mxima teasiri, que se produce en los bordes,

es

7nx i I ==G6 e (8.7)Este resultado coincide con el de la ecuacin (5.18), si -

tenemos en cuenta que es e = ea .( comparar figuras 5.1 y 8.1) .

Pura obtener, la relacin entre m e , introducimos la

51

ecuacin ( 8.5) en la ecuacin (3.56) y resolvemos la integral

dobleb

e $Z

Mz =2 F Ge Ce2-x2^ d^dx = 3 be3Gsz z

Esta ecuacin puede ponerse en la forma

_ MiG IT

(8.8)

similar a la ecuacin ( 5.23), donde IT es la constante de tormoein libre , que en este caso tiene el valor

IT = 3 b e3 (8.9)

Este resultado coincide con el de la frmula (5.20) obte-nida para la seccin rectangular , cuando la relacin de lados

b/ o, a infinito.

Desde un punto de vista prctico, sin embargo , las frmu

las obtenidas en este artculo pueden ser aplicadas a rectnZ

los relativamente alargados con un error aceptable. Por ejem-plo, si comparamos los resultados obtenidos para la mxima ten

Sin tangencial con la frmula aproximada (8.7) y la frmula -exacta ( 5.16), se comprueba que cuando la relacin entre ladosdel rectngulo es superior a 2,5, el error relativo es menor -

que 3,2%-, en lo que concierne, a la constante de torsin IT , --

los resultados obtenidos con la frmula ( 8.9), comparados conla expresin exacta (5.20) adolecen de un error relativo infe-rior a 6,4% cuando la relacin de lados es mayor o igual que 10.

La frmula para el clculo.de la mxima tensin tangencial

puede expresarse en funcin del momento torsor. Para ello, reem

plazamos las ecuaciones (8.8) y (8. 9) en la ecuacin (8.7), --con lo que resulta

rnxlt^I= 3M-b ez

(8.10)

52

8.2. Barra de pared delgada de seccin simplemente conexa y es-

pesor constante.

Si aplicamos la analoga de la membrana a barras cuyas sec

ciones transversales son como las mostradas en la figura 8.2, -

/br

b

Fig. 8. 2

es fcil inferir intuitivamente que la configuracin de la mem-

brana y el volumen encerrado por ella no difieren mucho de los

resultados correspondientes a una seccin rectangular de

igual espesor e y un largo b igual a la longitud de la linea

media de los espesores de las secciones de la figura 8.2.

Pueden por consiguiente emplearse las frmulas (8.7), (8.8). y (8.9).

8.3. Barras de pared delgada de seccin simplemente conexa y es

pesor variable.

Si el espesor es suavemente variable, como en las seccio-

nes mostradas en la figura 8.3, puede suponerse que la membrana

adopta una configuracin parablica a travs de un espesor e ,

del m ismo modo que en una-seccin rectangular estrecha. Enton.--

ces, el volumen delimitado por la membrana sobre un elemento de

rea el , viene expresado por una frmula similar a la corres

pondiente al rectngulo, pero con ds en lugar de b . El volt--

men total es entonces la suma integral de los elementos de volt

men mencionados y resulta

53

IT = +j e3dsJL

(8.11)

donde la integral se extiende a toda la longitud de la lnea me

dia de los espesores.

Fig. 8.3

La rotacin especifica 6 se obtiene con la frmula (8.8)y la mxima tensin tangencial se calcula con la frmula (8.7),poniendo e= e.aX , ya que se produce en los extremos del mayor

de los espesores.

8.4. Perfiles laminados.

Pueden obtenerse soluciones aproximadas si descomponemos -

las secciones L T , Z o I en un conjunto de rectn-gulos de largo bL y espe:3or e; , yn el caso de perfiles G o

I que tienen alas de espesor variable, podr considerarse un

rectngulo con un espesor igual .al espesor medio del ala.

El volumen encerrado por la membrana es aproximadamente la

suma de los volmenes correspondientes a los rectngulos en que

puede dividirse la seccin y por consiguiente , la constante de

torsin libre resalta,1

IT = 3 e3 ( 8.12)Ilai '

donde fl es el nmero de rectnin los en que se ha dividido la -

seccin.La rotacin especfica e se puede calcular entonces con

la frmula (8.8). La mxima tensin tangencial en cada rectnlo se calcula con la ecuacin (8.7), poniendo en ella e - e .

El error que adolece la frmula (8.-12), para la determina-cin de IT se origina en el carcter aproximado de la frmula

(8.9) en la cual se basa y adems en el hecho de que la conf i uracin de la membrana. en la proximidad de los ngulos redondea-

dos que presentan las secciones de los perfiles laminados se a-

parta de la correspondiente a una seccin rectangular alargada.

Si se desea una evaluacin ms afinada del valor de IT -

podr resolverse el problema de torsin en forma numrica con -

el mtodo de diferencias finitas.

Exvsten frmulas que son variantes de la ecuacin (8.12) yque dan una mejor aproximacin que sta.

La frmula (8.12) puede afectarse con un coef iciente de correccin 11 , resultando

IT = 3 .T biesi=!

El coeficiente r puede tomarse de la tabla 8.1

Tabla 8.1

Seccion L I T U

1,00 1,20 1,15 1,13

( 8.13)

En el caso de una .3ecc in I como la indicada en la figura

8.4, la constante de torsin libre puede calcularse con la fr-

m ula

55

'T . [ be(1_o163o

Fig. 8.4

J-Q7

El coeficiente que aparece en esta frmula se obtiene

de la figura 815

d

0.2 0.4 0.6

A

e2

h- 2e1)e2 + 2oc D4

v

T

1,501,25t,oo0.750,50o,x5o

fe,

ele

Fig. 8. 5

jaba sealar que, con 1:.L t'6r-ilula (8 .7) pueden calcularselas tensiones en 1ae parten de la seec iri ale jadas de los da,los entrantes , ya que en `3 ton :3p proiuer:; an..l eoncentraci6n de

tensiones que depende de la reluri5n entre el radio de redon-

deo y el ancho de la pared.

En el caso de perfiles L. que tienen ambas. alas de igual

espesor la mxima tensin tangencial que se produce en el angu

lo entrante redondeado de radio CL (ver figura 8.6.1) es

3a

2.5

2.0

L5

o1.0

0.5 1.0 1.5 ne

(mcx =cCl (8.14)

donde `s la ten.3i0'n tangencial mxima en las alas de espe

sor e calculada s mediante la frmula (8.7) y oc un coeficiente Je concentracin de tensiones que depende de la relacin -

a/e segn - e m u; ^_tra t:n el grfico, de la figura 8.6.2. Estos

resultados fueron extrados de referencia 9.1 y se obtuvieron

aplicando el mtodo de diferencias finitas.

8.5. Barras de paredes delgadas mltiplemente conexas.

La analoga de la mcmmbrairia en el caso de secciones mlti-

plemente conexa s re-3ui^^rt disponer, como se ha visto en el ax

t culo 7, de placas gr, iu:ias cuyo contorno es igual al de los -

kiuecos de l La el tuso de secciones tubulares de pa-

rel s delgaia coco rl espesor de las paredes es muy pequeo

frente u las i uuteri.giorio_ tran:3versales de la seccin, la defor

mil: Lr, de la i:aericial.xente determinada por las

fuerzas que actan sobre las.' placas, rnuc:lo mayores que las que

actan sobre la membrana y puede sup:'onerse que. aproximadamente

las alturas de. la membrana a travs. de, un espesar cualquiera -

de una pared varan linealmente entre. uno y otro borde.

Supongamos como ejemplo ;el caso de una, seccin triplemen-te conexa de paredes delgadas como la que se muestra en la fi-

gura 8.7

m nY2

Fig. 8.7

m

En la figura se' indican con las longitudes

de las lneas

son las reas

cos); y,no interior.

medias de las 'tres paredes mostradas; A, , A2 --

encerradas por los dos contornos interiores (hue12 los valores de la funcin en cada contor-

El espesor e de las paredes puede suponerse sua-

vemente variable a lo largo de las paredes.

En la parte inferior de la f i`u)ra se representan las alturas de la funcin

Para resolver el problema p lanteam os primeramente tantas

ecuaciones de circulacin ( 3.31), como huecos tenga la seccin.La circulacin la, realizamos a lo largo de la lineo media de -

las paredes que rodean . cada hueco . (:ocio hemos ss^.a:sto que la

funcin varia segn una ley 1 ineal a travs de un espesor

de la pared, la derivada. direecional, en direccin normal a la

lnea de circulacin (normal saliente), se calcula haciendo ladiferencia entre los valores de en los extremos de un espe

sor y dividiendo esta diferencia por e

En el ejemplo considerado resultan las ecuaciones de cir-culacin

o -Y, d5 +e eTI ds 266 Ale

^z f (8.15)

j 0-5 ds + ds = 2GeA2 Le e*i3 Y* e2donde A, y Az son las -reas encerradas por las lneas medias

de las paredes que rodean cada hueco.

Como Y, y '2 son constantes, pueden salir fuera de las

integrales y las ecuaciones (8.15) pueden reescribirse en la -forma. 9

s + 2 GGA; _ 0d2

05 _ T 15 + 051 e T2 e e2 jt.z e3..:'

(8.16)

h, estas ecuaciones le agregamos la ecuacin ( 3.55), que -en este ejemplo torna la forma

M^ =z f kp -t rd^ + zTi A, +2`?2Az]A

(8.17)

Los valore^^ m^:c1Lu de la funcin en el espesor son --Z^2 :.. 0Lvamente para las paredes de --

long Ltades ti , i2 ^3 :,or"o las pured es: son delgadas, poerr^oy i:o r^ r uue

ifAdrd = ed5 + eds + ^? e ds 2 z

Reemplazando esta expresin en la ecuacin (8,17)' se tiene

+ Z (^pl + Ya) 2 ds + 2 9z ds + 2 f1 Al + 2'P2 A21

,2

M= 2 T1 Z ds + Z ds + A, + 2T2 f -a+ 2 ds +A2e! t2. tt ta

(8.18)

Si tenemos en cuenta que las cantidades encerradas entre

parntesis son respectivamente Al

queda

^1 = 2 YI A 1 + 2 ^Z A 2

A'2 1 la ecuacin (8.18)

(8.19)

El conjunto, de ecuaciones (8.16) y (8.19) forma un siste-ma de tres ecuaciones lineales algebraicas donde las incgni--

ta s son (Qi , y2 y e .En general , si una seccin tiene NI huecos el nmero de

incgnitas es rn +i (las incgnitas son Ti , 92 , .. , Tm y6 ), y el nfxnero de ecuaciones que pueden plantearse es , tam-bin Tn+1 ( M ecuaciones de circulacin y una del tipo de la(8.19)).

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones algebraicas pue

den calcularse las tensiones tangenciales mediante la ecuaci6n

(3.9).Como los contornos son lineas e:quipotenciales de la fun-

cin y y teniendo en cuenta que las paredes son delgadas, el

vector 0' resulta _de direccin noi ul u la lnea media de -

las paredes. Como supusimos que t varia linealmente erg el es

60

pesor, Ql^ es con: tante en cado ,spesor y ta bin lo son lastensiones tungenciales, las cuales tienen la lirecc in de la --

tangente a la lineu media de las paredes. Su mdulo es igual al

mdulo de V19

En la figura (8.7) se representan 'con carcter ilustrativolos vectores V y t en puntos arbitrarios de cada una de --

las tres paredes. Los sent idos dibujados corresponden al caso -en que resulte Y, T2 > 0 . Los mdulos correspondientes a

estas tensiones tangenciales son (tzI = Y, /e en la pared delongitud {i I }z I (lQ - ^2 e en la de longitud i2 y

en .Lt de longitud t3

En el caso de una seccin de pared delgada doblemente co--

nex:i como la seccin tubular mostrada en la figura 8.8 las ecua

clones b , sicus para resolver el problema son la ecuacin de cir

Fig. 8.8

calucin

l0 -Y,) eg = -2GoA

y la loga a la (8 .19), (ui: en este caso es

mi = Z^P1 A^

(8.20)

(8.21)En estas ecuaciones Al C::1 ,:1 area encerrada por la lnea

media de los espesores de L:-i.,> paredes.

De la ecuacin (ti.21) oti ne

i^ - Al (8.22)

Si introducimos esta ecuacin en lu, ecuacin (8.20) y despejumos la rotacin especfficu e , resulto,

6 = Mi ds1 GA"z e

Esta ecuacin puede ponerse en la forma

(8.23)

(8.24)

donde IT es la constante de torsin libre de la seccin, ca-

yo valor es

IT (8.25)

.'.1 mdulo de la tensin tangencial es, de acuerdo con la

ecuacin ( 3.9)

Si en esta ecuacin reemplazamos el valor cie segnla ecuacin ( 8.22), resulta

_ MiIt^ I ZA;e (8.26)

i;abe consignar que en los ngulos entrantes redondeados -

se pro. aten tetlslone.s :cucho mas elevadas que lis calculadas --

con lis ecuaciones obternidas. Los -.ngulos entrantes pue-

den aparecer cuando la lnea media de las parecies cambia brus-

camente de direccin o bien =eri la zona donde concurren tres o

ms paredes en la s seccl^^t:e :;ultil lzment^ conexas.

En el coso de tubos r. etncT^;l._^re^ e esl,:^sor constante co

mo el representado er, iu T' i.ru^^:. tS.^^.l, la mxima tensin tan.--

gencia,Ii, que se proda e en !;1 entrante le radio interior

donde Ca es la tensin tangenetal calculada de acuerdo con la30

T

1.5

Fig. 8.9.11.01 1 1 - Q0 o.5 1.0 S e

Fig. 8.9. 2

frmula (8.26) y o( un coeficiente que se obtiene de la figu-ra 8.9. 2.

8.6. Comparacin entre el comportam].ento de las barras de pare

des delgadas mltiplemente conexas y simplemente conexas,

Para facilitar esta comparacin consideremos dos barras;

una de ellas es un tubo de pared delgada de espesor constante

y la otra es una barra de seccin abierta que se obtiene si se

corta al tubo con un plano longitudinal cualquiera normal a la

linea media (ver figura 8.10.1 y 8.10.2).

l'ig, ti.10.1 Fig. 8.10. 2

En ambos caso l l=n o b u la. longitud de la lnea m e--

dia de la pared , m a no ,o el rea de la seccin es en ambos

casos

A. be (8.27)

Suponbamos que ambas barras estn solicitadas por, el mis-

mo momento torsor M2 : n el caso de la seccin doblemente co

nexo la rotacin especfica 81 correspondiente se obtiene de

las frmalas (8.24) y (8. 25), resultando

-

ti2 e2^ (8.28)1--

La tensin tan encial en la barra d e seccin tubular ce--

rr,idju, e constnte en cualquier espesor , como se indica en la. 1G. 1`y su vulor puede obtenerse con la frmulu (8.26),

o sea

(8.29)

1 2,..sc la barro de seccin simplemente conexa de -i:l fi J.10. la rotacin especfica se obtiene con las --

irr:. resultando

_ 3 M62 Gbe3 (8.30)

L z., t._'nsione:: t,.ri enciules varan linealmente en un espe-

sor cu,.^: ;uiera, siendo aulas en correspondenci-.l con la lnea -

Wed l_4 ;e 1, ;;urgid, tal .corno se representa: en la figura 8.10.2.

Su rul^^r Wsxurnc se obtiene con la fzwul^a (d.1O), o sea

3 Mz^z = b e2 (8.31)

Bou f ine s compurutivos calculemos l ., rclac irt riere Lus -

rot. cL D ne s 'esp.cl-ic, . is de uno y otro J'1190; 24 7. de las -

ecua ciones (8.28) y (.3o)

i.

62e2e,6z - 12 Aiz

Teniendo en cuenta la ecuacin (8.27) podemos tambin es-cribir .

e,ot (8.32)

Como el rea A - de la seccin es muy pequea comparada -

con el marea Ai encerrada por la lrica media de las paredes,

es 61{^ e2 o sea que la rigidez torsional de la barra tubu-lar cerrada es mucho mayor que la correspondiente a la seccin

abierta.

Si hacemos la relacin entre las tensiones tangenciales -

mximas `en una y otra burra, de las ecuaciones (8.29) y (8.31)

obtenemos

71 _ be AZ2 6A, bar

(8.33)

Como esta relacin es tambin muy pequefa frente a , -

se deduce que, a igualdad del momento torsor MI , las tensio-

nes tangenciales en la seccin tubular cerrada son mucho meno-

res que en la abierta.

8.7. Barras constituidas por chapas soldadas o remachadas.

En los casos de burras con varias platabandus soldadas o

remachadas como las mostradas en las figuras 8.11 y 8.12 puede

resolverse aproximadamente el problema de torsin descomponien

do la seccin en un conjunto de rectngulos y calculando la --constante de torsin libre con la frmula (8.11). Cabe aclararla manera como deben considerarse los rectngulos en donde hay

dos o ms chapas adosadas. En las figuras se indica la forma -

de divisin mediante rayados apropiados.

Entre cordones de soldadura o entre filas de remaches de-

65

be considerarse un rectngulo nico co; espesor igual a la suma

ZUE

11 111 717 1 11 / IMIIIIIIIFig. 8.11 Fg. 8.12

de los espesores de las chapas adosadas y ancho igual a la dis-

tancia entre cordones de soldadura o filas , de remaches . Las par

tes salientes deben ser consideradas en forma separada como reo

tngulos cuyos espesores son iguales a los espesores simples de

cada chapa o ala.

El procedimiento puede justificarse mediante la analoga -de la membrana . Si bien las secciones descriptas son mltiple--

mente conexas , los contornos interiores que definen loa huecos

son lneas que encierran una superficie cuya rea se ha reduci-

do a cero ya que son segmentos de recta recorridos en'uno y

otro sentido.

Las placas guiadas, que de acuerdo con la analoga de la -

membrana habra que disponer en correspondencia con los huecos,

tienen , pues, dimensiones nulas. Por consiguiente es cero la --

fuerza que la presin ejerce sobre ellas y no modifican la con-figuracin de la membrana en una seccin rectangular estrecha -

cuyo espesor es la suma de los espesores de las chapas.

Estas conclusiones fueron corroboradas . en forma experimen-

tal (ver referencia 9.7).

66

9. REFERENCIAS

9.1. Timoshenko S. y Goodier J.N. "Theory of Elasticity". Ed.

Me Graw-Hill, 1951.

9.2. Amenzade Yu. A. "Theory of Elasticity". Ed. MIR, 1979.

9.3. Wang Ch. "Applied Elasticity ". Ed. Me Graw_Hill, 1953.

9.4. Filonenko-Borodich M. "Teora de la elasticidad". Ed. --

Platina, 1963.

9.5. Kollbrunner C. y Basler K. "Torsion. Application a 1'etu

de des structuree". Ed. SPES, 1970.

9.6. FlUgge W. "Handbook of Engineering Mechanice". Ed. Me --

Graw_Hill, 1962.

9.7. Chang F. y Johnston B. "Torsion of -Plate Girdere". Trans.

A. S. C. E. Vol 118 A, 1953.

9.8. Rezk H. "Fundamentos de la teora lineal de la elastici-dad". Ed. Fac. de Ingenier a de -la U.B.A., 1980.

9.9. Rezk H. "Teora de segundo orden de las barras elsticas

prismticas de seccin ab ierta y paredes delgadas". Ed.

Fac. de Ingeniera de la U.B.A., 1981.

9.10. Rezk H. "Teora lineal de las barras elsticas prismti-

cas de seccin abierta y paredes delgadas". Ed. Fac. deIngeniera de la U.B.A., 1983.

9.11. Pisarenko G., Ycovlev A. y. Matvev Y. "Manual de resis-

tencia de materiales". Ed. MIR, 1979.

9.12. Kreyazig E. "Matemticas avanzadas para ingeniera". Ed.

Limusa - Wiley, 1969.

9.13. Rezk H. "Nota sobre la torsin de barras segn la teora

de Saint-Venant". Ed. Fac. de Ingeniera de la U.B.A., -

1974.

9.14. Bronshte in I. y Sem endiaev K. "Manual de matemticas". -Ed. MIR, 1973.

67

ANEXO I

LAS SOLUCIONES GENERALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Las dos primeras ecuaciones ( 3.1) son soluciones partculares de loa desplazamientos U y V . Para obtener una solucin par-

ticular de los desplazamientos W , tomados la expresin

dw = ax dx + w dyYe introducimos en ella las ecuaciones ( 3.14), con lo que resulta

dw= (' " + Oy ) dx - ( 1- T- +ex)dy (I.1)Y

Consideremos ahora un punto genrico P(x,y,Zo ) y un puntoPo (Xo,yo, Zo) arbitrariamente elegido , perteneciente a la misma -

seccin transversal (Z--2o) de la barra ( ver f ig. 1.1) . La curvaC contenida en la misma seccin , pasa por los puntos P y P

r

Co

Fig. 1.1

x

Sea S una coordenada curvilnea definida para los puntos -

de la curva de modo que sea igual a la longitud del arco que va

de P. a P (P es el origen ce la coordenada curvilnea).La curva C puede quedar def ini da por el vector posicin -

be

ro= xe,+yey

donde

X -X (S)

son las coordenadas de los puntos de la curva.

El vector base de la coordenada curvilnea 5 es

= dx-^ + dy5 ds ds ds

Este vector unitario es tangente a la curva en cada punto -

considerado . El vector normal en , podemos definirlo en la forma

en = e,x e,

Si en esta ecuacin introducimos la frmula (1.3), resulta

d dxe d5X - dS ey

Para obtener una solucin particular de W, integramos la -

ecuacin (1.1) entre P. y P a lo largo de la curva CP P P

dw= G [ dx - dy - 9 x dy -y dxP. y P.

de donde se obtiene

P P

W -W. = - l ^y _ dx d5 _ e x dy- y dxax d5 c^ d5 2.Po

Si tenemos en cuenta la ecuacin ' (I. 5) , resulta

W = wo -P

ds _ 6 ^JoP.

c

En esta ecuacin Wo es una constante que representa al des-

plazamiento del punto P y ^o es una funcin de la coordenada cur

vilnea 5 expresada por

Pxy -.ydx (I.7)

Esta integral puede escribirse en la forma

P

^ydy JX^- d ds)t^s

JP

y si tenemos en cuenta las ecuaciones (1.5), (1.2) y (1.4), resulta

p

roXse, ds (1.8)

que es la expresin del rea sectorial coro respecto al punto Co -ti( ver ecuacin (3.39) de referencia ^j.10).

La ecuacin (1.6) es una solucin particular de los despla-zamientos W. Esta solucin es independiente de la coordenada

de la seccin elegida y por consiguiente es aplicable a puntos --

que pertenecen a una secc in cualquiera.

Si a las soluciones particulares expresadas por las dos pri

meras ecuaciones (3. 1) y la ecuacin (1.6), le sumamos los desplazamientos correspondientes a un movimiento rgido muy pequeo, se

obtienen las soluciones generales k vcr ecuaciones (10.10) de reterencla j.o)

;i _ 6 x + . V0 . ( x - xo) - ^ ^^o ^ 'o) (l. 9 )P

en y_,L,Po Q J

En estas ecuaciones X0 ,y0 , Eo ;por. la.s coordenadas del puntoP. arbitrariamente elegido; J0,vo YVr, -w, 2

Dson seis constan-

JG

tes lrideteru,laadas y W,, est del Lr.i lia tor iu ecuacin (I.a).

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