Алгебра, 9 класс.

Учитель: Хащинина С.В.

Графическое решение систем уравнений с параметрами.

Цель урока. Обобщить решение задач с параметром. Показать целесообразность использования графических приемов решения для некоторых видов систем уравнений и неравенств. Рассмотреть метод введения новой переменной, как один из способов решения задач с параметрами на примере решения задач из вступительных экзаменов в МГТУ им. Баумана.

Оборудование. Проектор, карточки с заданиями.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель объявляет тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися.

2. Проверка домашнего задания.

На доску проецируются краткие решения задач и ответы. Учащиеся самостоятельно проверяют свои домашние работы. Те, у кого остались вопросы, помечают их в тетрадях на полях, чтобы на консультации получить на них ответы.

3. Математический диктант.

За доску приглашается один ученик, остальные учащиеся сидят по одному и работают в тетрадях. Проверка происходит после выполнения каждого задания. Учитель ходит и контролирует решения учащихся. По окончании диктанта каждый учащийся получает оценку.

4. Решение задачи №1 «по цепочке».

Учащиеся решают задачу с доской, при этом решение разбивается на этапы. Каждый этап у доски решает один ученик, затем садится, и восстанавливает свои записи у доски в тетради. Таким образом, по окончании решения задача в тетради записана у всех учеников.

5. Работа в паре. Решение задач № 2 и № 3.

Учащиеся класса разделены на пары. В “парах” дети 1 варианта более успешны в алгебре. Это деление проведено заранее учителем. Детям предлагается задача, решение которой предполагает использовать метод введения новой переменной. Учитель подводит учащихся к идее решения, а затем ученики в паре решают задачу, при этом можно обсуждать решение в “паре”, а также получить консультацию от учителя. Первая пара, получившая правильный ответ, выходит к доске, чтобы показать свое решение. Вторую задачу учащиеся решают самостоятельно, учитель контролирует решение. По окончании решения на доску проецируется правильное решение и ответ. Пары, успешно справившиеся с заданием, получают отметку.

6. Подведение итогов урока.

Подводится итог урока, еще раз обговаривается новый метод решения задач с параметром, выставляются отметки за урок. Обсуждается задание на дом.

Задания математического диктанта.

Изобразить множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению или системе:

1) {х+ у>0 ,х≠ у ;

2) {у=х2 ,у ≤ х ; 3) У=х|х|+4 ; 4){−2≤х ≤3 ,х2+ у2≤16.

Задача № 1. Найти все значения параметра а, при которых система имеет одно решение.

{ х2+ у=24−2а;

у2+( х−12|х|−12 )2

=1.

Решение .

{ x2+ y=24−a

y2+( x−12|x|−12 )2

=1↔[ { x ≥0x ≠12y=0

x2=24−2a(2)

{ x<0

y2+( x−12x+12 )2

=1

x2+ y=24−2a

(1)

¿

Рассмотрим уравнение(1):

y2=1−( x−12x+12 )2

=(1− x−12x+12 )(1+ x−12x+12 )= 24 ∙2x(x+12)2

<0при x¿0 , значит, уравнение (1) и вторая система

решений не имеет.

Рассмотрим первую систему:

¿

- уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, вершина (0;12)

Точки пересечения с прямой х=0: { х=0а=12

Точки пересечения с прямой х=12: { х=12а=−60

Из рисунка видно, что система имеет одно решение при a∈ (−∞;−60 )∪¿.

Ответ:a∈ (−∞;−60 )∪¿

Задача № 2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

(х+а)2+а−1=√13+12|х|хРешение.

( x+a )2+a-1=√13+12|x|x ❑⇔

❑⇔ [{ x>0

( x+a )2+a−1=5

{ x<0( x+a )2+a−1=1

❑⇔ [{ x>0a=6− ( x+a )2

{ x<0a=2−( x+a )2

x+a=z⇔ [{ z−a>0a=6−z2

{ z−a<0a=2−z2

❑⇔ [{ a<za=6−z2(1)

{ a>za=2−z2(2)

Рассмотрим уравнение (1): a=6−z2- уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, вершина (0;6)

Точки пересечения с прямой a=z: { a=za=6−z2

❑⇔ { a=zz2+z−6=0

❑⇔ [{z=−3a=−3

{z=2a=2

Рассмотрим уравнение (2): a=2−z2- уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, вершина (0;2)

Точки пересечения с прямой a=z: { a=za=6−z2

❑⇔ { a=zz2+z−2=0

❑⇔ [{z=−2a=−2

{z=1a=1

Построим в одной системе координат графики данных уравнений:

Ответ:a∈ (−∞;−3 )∪¿.

Задача № 3. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

{у (|х|−х )=13|х|−11 х ,(х+ р)2= у−р .Решение .

{y (|x|−x )=13|x|−11x( x+ p )1= y−p

(¿)❑⇔ [ { x≥0

x=0y=p2+ p

{ x<0y=12

(x+ p)2=12−p

❑⇔ [ { p∈ R

x=0y=p2+ p

(1)

{ x<0y=12

p=12−( x+ p )2(2)

Система (1) имеет единственное решение при любом p.

Рассмотрим систему (2):

{ x<0y=12

p=12− (x+ p )2x+ p=z

⇔ { z−p<0y=12p=12−z2

❑⇔ { p>zp=12−z2

y=12

Рассмотрим уравнение (1): р=12−z2- уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, вершина (0;12)

Точки пересечения с прямой p=z: { p=zp=12−z2

❑⇔ { p=zz2+z−12=0

❑⇔ [ {z=3p=3

{z=−4p=−4

Построим в одной системе координат графики данных уравнений:

Найдем корни уравнения p=12−z2

:

z2=12−p❑⇔z=±√12−p❑

⇔x=−p±√12−p

Система (2) имеет одно решение при p∈¿,значит,

при p∈¿система(¿) имеет два решения:

x1=0 , y1=p2+ p;x2=−p−√12−p , y2=12.

Ответ: при p∈¿

Домашнее задание.1. Найти все значения параметра а, при которых система

имеет два решения.

{х2+6 х+( у+а)2=16 ,

у2=

|х|х.

2. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

{у (х−|х|)=21 х−19|х|,(х+ р)2= у−р .

3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

8−а−(х−а)2=√20+16|х|х .

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

(х+ р)2−4 р=16 х+20|х|2 х+|х| .

5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

(х−а+3)2=8 (|х|+х−2а ) .

Домашняя контрольная работа на каникулы.

1. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения.

{х2+6 х+( у+а)2=16 ,

у2=

|х|х.

2. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

{у (х−|х|)=21 х−19|х|,(х+ р)2= у−р .

3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

8−а−(х−а)2=√20+16|х|х .

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

(х+ р)2−4 р=16 х+20|х|2 х+|х| .

5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения. (х−а+3)2=8 (|х|+х−2а ) .6. Повторить уравнения окружности и гиперболы.

___________________________________________________________________________________

Домашняя контрольная работа на каникулы.

1. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения.

{х2+6 х+( у+а)2=16 ,

у2=

|х|х.

2. Найти все значения параметра а, при которых система имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

{у (х−|х|)=21 х−19|х|,(х+ р)2= у−р .

3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения. Найти эти решения при каждом значении а.

8−а−(х−а)2=√20+16|х|х .

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения.

(х+ р)2−4 р=16 х+20|х|2 х+|х| .

5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два решения. (х−а+3)2=8 (|х|+х−2а ) .6. Повторить уравнения окружности и гиперболы.