048_ita i - Prova e Sol

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INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONUTICA

VESTIBULAR SIMULADO / 2007

PROVA DE MATEMTICA

INSTRUES

1. Esta prova tem durao de quatro horas.

2. No permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do incio da prova.

3. Voc poder usar apenas lpis (ou lapiseira), caneta, borracha e rgua. proibido portar qualquer outro materialescolar.

4. Esta prova composta de 20 questes de mltipla escolha(numeradas de 01 a 20) e de 10 questes dissertativas(numeradas de 21 a 30).

5. As 20 questes de mltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questes dissertativas aos 50% restantes.

6. Voc recebeu este caderno de questes e um caderno de solues com duas folhas de rascunho.Verifique se o

caderno de questes est completo.

7. Numere seqencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada pgina do caderno de solues. nmero atribudo a

cada pgina corresponde ao da questo a ser resolvida. Noescreva no verso da parte superior da capa (regio sombreada)do caderno de solues. As folhas centrais coloridas devero ser utilizadas apenas como rascunhoe, portanto, nodevem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato.

8. Cada questo de mltipla escolha admite uma nicaresposta.

9. As resolues das questes dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lpis e de ser apresentadas de formaclara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espao disponvel no caderno de solues. Sempre que possvel, use

desenhos e grficos.

10. Antes do final da prova, voc receber uma folha de leitura ptica, destinada transcrio das respostas dasquestes numeradas de 01 a 20.Usando caneta preta, assinale a opo correspondente resposta de cada uma dasquestes de mltipla escolha. Voc deve preencher todo o campo disponvel para a resposta, sem extrapolar-lhe os

limites.

11. Cuidado para no errar no preenchimento da folha de leitura ptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecer umafolha extra com o cabealho devidamente preenchido.

12. No haver tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura ptica.

13. Na ltima pgina do caderno de solues, existe uma reproduo da folha de leitura ptica, que dever ser preenchidacom um simples trao a lpis, durante a realizao da prova.

14. A no devoluo do caderno de solues e/ou da folha de leitura ptica implicar a desclassificao do candidato.

15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao termin-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.

CEAR

TURNO: M ( ) T ( ) N ( ) DATA: 08/03/2007 NoQUESTES: 30

PROFESSOR(ES):Max e Onofre ETAPA: 1a

D: 2007 010 3 EM ITA MATEMTICA Rosngela

SIMULADO DE MATEMTICA ITA

COLGIO 7 DE SETEMBRO

O Colgio que ensina o aluno a estudarFUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOREZ

ALUNO(A):_______________________________________________________ No: ______ TURMA: ______

3

oEnsinoMdio

Central deAtendimento: 4006.7777

X

CEAR

SEDE EDNILDO GOMES DE SOREZ

SEDE EDILSON BRASIL SOREZ

SEDE NILA GOMES DE SOREZ

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2COLGIO7 DE SETEMBRO

PROVA DE MATEMTICA - SIMULADO ITA/2007Professores: Max e Onofre - 3oEnsino Mdio

2CEAR

QUESTES OBJETIVAS

QUESTO 01

Um ministro brasileiro organiza uma recepo. Metade dos convidados so estrangeiros cuja lngua oficial no o portugus e, por

delicadeza, cada um deles diz bom dia a cada um dos outros na lngua oficial de a quem se dirige. O ministro responde seja bem-vindo

a cada um dos convidados. Sabendo que no total foram ditos 78 bons dias em portugus o nmero de convidados na recepo foi:

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

QUESTO 02

Cinco amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo, devem formar uma fila com outras 30 pessoas. De quantas maneiras

podemos formar esta fila de modo que Arnaldo fique na frente de seus 4 amigos?(Obs.: Os amigos no precisam ficar em posies consecutivas.)

A) 35!

B)35!

5!

C)35!

5

D)35

5!5

E)163e

QUESTO 03

De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirmide pentagonal regular usando seis cores diferentes, sendo cada face de uma

cor?

A) 144

B) 288

C) 720

D) 340E) 72

QUESTO 04

Um campeonato disputado por 10 clubes em rodadas de 5 jogos cada. De quantos modos possvel selecionar os jogos da primeira

rodada?

A) 315

B) 945

C) 720

D) 3628800

E) 120

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3CEAR

QUESTO 05

Numa demonstrao de paraquedismo, durante a queda livre, participam 10 paraquedistas. Em um certo momento, 7 deles devem dar as

mos e formar um crculo. De quantas formas distintas eles podero ser escolhidos e dispostos nesse crculo?

A) 120

B) 720

C) 86400D) 151200

E) n.d.a.

QUESTO 06

Uma livraria vai doar 15 livros iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao menos dois livros. O nmero de modos que esses

livros pode ser repartidos nessa doao, igual a:

A) 1365

B) 840

C) 240

D) 120

E) 35

QUESTO 07

Definimos como Nmero Escadatodo nmero onde os algarismos aparecem em ordem crescente, sem ser permitido a repetio de

algarismos. Assim, considerando o conjunto, a quantidade de nmeros do tipo Escadade 4 algarismos que podemos formar com os

elementos do conjunto A:

A) 126

B) 6561

C) 24D) 56

E) 36

QUESTO 08

Sejam retas r1e r

2distintas e paralelas, P

1,..., P

mpontos distintos em r

1e S

1..., S

npontos distintos em r

2. Determine o valor de m + n se

18 e 30 so, respectivamente, o nmero de quadrilteros convexos e de tringulos que se pode construir com vrtices nos pontos acima

considerados.

A) 10

B) 13

C) 5D) 7

E) 15

QUESTO 09

Quantos elementos tm o conjunto A, subconjuntos do conjunto dos nmeros racionais, onde:

pA = p,q ; 1 p 10 e 1 q 10

q

N

A) 20

B) 50C) 63

D) 83

E) 100

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4CEAR

QUESTO 10

H 4 livros diferentes de Matemtica, 2 livros diferentes de Qumica e 5 livros diferentes de Fsica. De quantas maneiras podemos arrumar

esses livros numa prateleira, de modo que os livros de fsica fiquem todos separados?

A) 1814400

B) 21

C) 86400D) 5760

E) 34560

QUESTO 11

Se as medidas dos lados de um tringulo obtusngulo esto em progresso geomtrica, considerada crescente de razo r, ento r

pertence ao intervalo:

A)

+2

21,0

B)

++2

51,2

21

C)

++2

51,

2

51

D)

++2

22,

2

51

E)

++

2

32,

2

22

QUESTO 12SejaMo ponto mdio do ladoBCdo tringuloABCtal que CAB= 45e ABC= 30. Ache o ngulo AMC.A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 75

QUESTO 13

No tringulo ABC, pontosDe Eso escolhidos sobre os lados ABe AC, respectivamente, de modo que o quadriltero BCEDsejacircunscritvel. Se o permetro deABCmede 15 cm e o ladoBCmede 3 cm, o permetro do tringuloADEmede:

A) 9

B) 18

C) 24

D) 30

E) 16

QUESTO 14

Os lados de um hexgono eqinguloABCDEFmedem 10, 6, 12, 14,xey, nesta ordem. Ento, o permetro deABCDEF igual a:

A) 60B) 72

C) 84

D) 96

E) 120

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5CEAR

QUESTO 15

Um trapzio retnguloABCDcontm uma circunferncia de raio 1cmtangente a todos os seus lados. Sabe-se que o lado oblquoBCmede

7cm. A rea do trapzio, em cm2, mede:

A) 8

B) 9

C) 10D) 11

E) 12

QUESTO 16

Considere as afirmativas:

1. Entre dois nmeros racionais existe sempre um racional.

2. Existe sempre um nmero racional entre dois irracionais.

3. A soma de dois racionais sempre racional.

4. A soma de dois irracionais sempre irracional.

5. O produto de dois irracionais sempre irracional.

Podemos concluir que:A) Todas so verdadeiras.

B) Apenas (1), (3) e (4) so verdadeiras.

C) Apenas (1), (2) e (3) so verdadeiras.

D) Apenas (2), (4) e (5) so verdadeiras.

E) Apenas (1), (4) e (5) so falsas.

QUESTO 17

Considere as armativas:

I. (a b)2+ (b c)2+ (c a)2= 2(a2+ b2+ c2) 2(ab + bc + ac);

II. (a + b + c)

3

(a

3

+ b

3

+ c

3

) = 3(a + b)(b + c)(c + a);

III.1

2(a + b + c) [(a b)2+ (b c)2+ (c a)2] = a3+ b3+ c3 3abc.

Podemos concluir que:

A) Apenas I e II so verdadeiras.

B) Apenas I e III so verdadeiras.

C) Apenas II e III so verdadeiras.

D) Todas so verdadeiras.

E) Todas so falsas.

QUESTO 18

Seja D = a2+ b2 + c2, onde ae bso inteiros consecutivos e c = ab. Ento, sobre a raiz quadrada de D, podemos afirmar que:A) sempre um inteiro par.B) Algumas vezes um inteiro par, outras vezes no.C) Algumas vezes racional, outras vezes no.D) sempre um inteiro mpar.E) sempre irracional.

QUESTO 19

Sejam a, be cnmeros reais distintos entre si e diferentes de zero epum nmero real tal que

1 1 1a + = b + = c + = p.

b c a

Ento, o valor de abc + p3 igual a:A) pB) 2pC) p2

D) 1E) 0

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6CEAR

QUESTO 20

Se4 a 5

< < ,2001 a + b 2001

o nmero de valores inteiros queb

apode assumir :

A) 90

B) 100C) 110

D) 120

E) 130

QUESTES SUBJETIVAS

QUESTO 21

Quantos inteiros entre 1 e 1000000, inclusive, no so quadrados perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potncias perfeitas?

QUESTO 22

Convenciona-se transmitir sinais luminosos de uma ilha para a costa por meio de seis lmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos

vrtices de um hexgono regular, de tal modo que:

I. Em cada vrtice haja 2 lmpadas de cores diferentes.

II. Em cada vrtice no haja mais do que uma lmpada acesa.

III. O nmero mnimo de vrtices iluminados seja 3.

Determine o nmero total de sinais que podem ser transmitido.

Questo 23

Na figura abaixo temos o primeiro quadrante de um sistema de coordenadas cartesianas, com 7 pontos no eixo das abscissas e 6 pontos

no eixo das ordenadas. Utilizando um dos 6 pontos do eixo das ordenadas, e um dos 7 pontos do eixo das abscissas podemos formar 42

retas.

Na interseco dessas retas algumas ocorrem nesse primeiro quadrante. Determine o total de interseces no primeiro quadrante.

QUESTO 24

Encontrar o nmero de solues de x1+ x

2+ x

3+ x

4= 1 em inteiros entre 3 e 3 inclusive.

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7CEAR

QUESTO 25

Uma permutao dos inteiros 1901, 1902, 1903, ... , 2000 uma seqncia a1, a

2, a

3, ... , a

100, na qual cada um desses inteiros aparece

exatamente uma vez. Para cada uma dessas permutaes, forma-se a seqncia das somas parciais:

11aS =

212 aaS +=

3213aaaS ++=

.............................

100321100... aaaaS ++++=

Determine a quantidade dessas permutaes, que no tm termos da seqncia S1, S

2, S

3, ... , S

100 divisveis por trs.

QUESTO 26

SejamKeMpontos marcados sobre os ladosABeBCdo tringuloABC, respectivamente.N o ponto de interseo entreAMe CK.

Sabe-se que os quadrilterosAKMCeKBMNso inscritveis em circunferncias de mesmo raio. Calcule o ngulo ABC.

QUESTO 27

SejaABCum tringulo com lados a, b, ctais que c < b < a. Considere o trinmio do 2ograu

y = x2+ 2(b + c a) .x + b2+ c2 a2.

a) Mostre que y = 0 possui duas razes reais e distintas.

b) Seja r = a b c + 2(a - b) (a - c). Mostre que, se r < 0, o ngulo agudo e, se r = 0, ento = 90o.

QUESTO 28

Ache o lugar geomtrico dos pontos (x; y) do plano tais que x3+ y3+ 3xy = 1.

QUESTO 29Mostre que log

52 irracional.

QUESTO 30

Se a 1, determine a soma das razes reais da equao a - a + x = x.

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GABARITO DE MATEMTICA - SIMULADO ITA/2007Professores: Max e Onofre - 3oEnsino Mdio

8CEAR

GABARITO (PARTE OBJETIVA)QUESTO 01

RESPOSTA: D

Soluo:

BrasileirosxBrasileiros: ( )1 nnEstrangeirosxBrasileiros: 2nConvidadosxMinistro: n2Da temos:

( ) 7821 2 =++ nnnn0782 2 =+ nn

De onde obtemos 6=nTotal de convidados: 122 =n

QUESTO 02

RESPOSTA: C

Soluo:

O nmero de filas nas quais Arnaldo fica na frente de seus amigos igual ao nmero de filas nas quais Bernardo fica na frente de seus

amigos. E o mesmo ocorre se o amigo que fica na frente Cernaldo ou Dernaldo ou Ernaldo, respectivamente. Logo, como o nmero de

maneiras de formar uma fila com 35 pessoas 35!, o nmero de maneiras 35!

5.

QUESTO 03RESPOSTA: A

Soluo:

Consideremos os seguintes acontecimentos e seus respectivos nmeros de ocorrncias:

AcontecimentosN de

ocorrncias

1A : escolha da cor para a base da pirmide. 6

2A : permutao circulares das 5 cores sobre

as faces laterais. !4

PeloP.M., temos: 144!46 = modos de pintar a pirmide.

QUESTO 04

RESPOSTA: B

Soluo:

Selecionar os jogos da primeira rodada dividir os 10 clubes em 5 grupos de 2. Mas isso pode ser feito, permutando os 10 clubes e

dividindo por ( )5!2!5 .

Portanto( )

945!25!

!105 =

.

QUESTO 05

RESPOSTA: C

Soluo:

Escolha dos 7 paraquedistas para formar o crculo: 1207,10 =CAps a escolha dos 7 paraquedistas, determinamos o total de disposies no crculo, atravs de permutaes circulares, mais precisamente( ) 720!67 ==PC .Portanto, a resposta 86400720120 = .

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9CEAR

QUESTO 06

RESPOSTA: D

Soluo:

Se considerarmos a equao 154321 =+++ xxxx , onde ix representa a quantidade de livros recebido por cada biblioteca,4,3,2,1=i .

Como cada biblioteca deve receber ao menos dois livros, ento 2ix . Faamos ento a substituio por 2+= ii xy . A quantidadede solues da equao , com igual a quantidade de solues inteiras no negativas de

74321

=+++ yyyy

Portanto 120 solues.

QUESTO 07

RESPOSTA: A

Soluo:

Como para cada escolha de quatro algarismos s existe uma ordem crescente, ento para cada escolha s existe um nmero. Portanto o

total de escolhas o mesmo que o total de nmeros. Ento a resposta 1264,9 =C

QUESTO 08

RESPOSTA: D

Soluo:

De acordo com as informaes, temos:

Quadrilteros: = 182,2, nm CC ( ) 721 =+ nmmnmn ( I )Tringulos: =+ 302,2, nm CmCn ( ) 602 =+ nmmn ( II )Dividindo as equaes ( I ) e ( II ), obtemos:

( )

( ) =++

6

5

1

2

nmmnmn

nmmn

( ) 52115 ++= nmmn ( III )Substituindo a equao ( III ) em ( II ), temos:

( ) =+ 30025 nmmn ( )[ ] ( ) 30025211 =+++ nmnmComo estamos interessados apenas no valor de nm+ , faamos rnm =+ 2 , de onde obtemos a equao:

=+ 0300511 2 rr = 5r =+ 52nm 7=+nm

QUESTO 09

RESPOSTA: C

Soluo:

Fixamos os numeradores com os nmeros naturais de 1 a 10, e depois colocamos os denominadores, de forma que numerador e denominadorsejam primos entre si, pois caso contrrio, simplificaremos e ficamos com uma com um nmero racional j contado.

Para numerador 1: 10 possibilidades, todos os nmeros de 1 a 10.

Para numerador 2: 5 possibilidades, eliminamos os pares.

Para numerador 3: 7 possibilidades, eliminamos os mltiplos de 3.


Para numerador 5: 8 possibilidades, eliminamos 5 e 10.

Para numerador 6: 3 possibilidades, eliminamos os pares ou os mltiplos de 3.

Para numerador 7: 9 possibilidades, eliminamos 7.


Para numerador 9: 7 possibilidades, eliminamos os mltiplos de 3.

Para numerador 10: 4 possibilidades, eliminamos os pares ou mltiplos de 5.

Portanto, temos um total de 6347593857510 =+++++++++ elementos.

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10CEAR

QUESTO 10

RESPOSTA: A

Soluo:

Colocamos em fila os livros de Matemtica e de Qumica deixando os espaos para colocarmos os livros de Fsica:

__ M __ M __ M __ M __ Q __ Q __

Como so 5 livros de Fsica, e temos 7 espaos, escolhemos estes espaos a serem ocupados com os livros de Fsica, o que pode ser feitode 215,7 =CComo os livros de uma mesma disciplina so diferentes, ento devemos multiplicar pelas permutaes: 7206 =P (permutaes doslivros de Matemtica e de Qumica) e 1205=P (permutaes dos livros de Fsica).Portanto, a resposta : 181440072012021 =

QUESTO 11

RESPOSTA: C

Soluo:

Considerando a P.G. crescente, ou seja, com razo r> 1, o tringulo ter como lados: a, are ar2, onde ar2 o maior lado.

Pela desigualdade triangular, temos:

a+ ar> ar2 r2 r 1 < 0 2

510 +

+> rrrraarar .

Logo,1 + 5 1 + 5

< r < .2 2

QUESTO 12RESPOSTA: C

Soluo:

Seja CHa altura relativa ao ladoAB. Como CAH= 45, ento o tringuloCAH retngulo issceles eCH=AH. Alm disso, BCH= 60. No tringu-lo CHB, cos 60 = CH/CB= 1/2. Logo, AH=CH=CB/2 = CM=MB=HM.

Agora, o tringulo CHM eqiltero, de modo que CMH= 60. Tambm,o tringuloAHM issceles e MHB= 30. Logo, HAM= HMA= 15.Portanto, AMC= 60 15 = 45.

QUESTO 13

RESPOSTA:A

Soluo:

SejaJo ponto de tangncia do crculo inscrito ao quadrilteroBCEDcom o ladoAC.

Por um lado, o crculo est inscrito no tringuloABC, de modo queAJ=pBC, onde

p o semi-permetro deABC. Logo, AJ= 7,5 3 = 4,5 cm. Por outro lado, o circulo ex-

inscrito ao tringuloADE, de modo queAJ=p, ondep o semi-permetro deADE.

Logo,p = 4,5 implica que o permetro deADE igual a 9 cm.

M

B

C

H

30

45

A

A

B C

D

E

J

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11CEAR

QUESTO 14

RESPOSTA: A

Soluo:

Prolongando os ladosBC,DEeAF, obtemos um tringulo eqiltero, cujos lados me-dem:

10 + 6 + 12 = 12 + 14 +x=x+y+ 10.

Resolvendo essas equaes, obtemosx= 2 ey= 16. Logo, o permetro do hexgono

igual a 10 + 6 + 12 + 14 + 2 + 16 = 60.

QUESTO 15

RESPOSTA: BSoluo:

Como o trapzio retngulo, sua altura igual aAD. Veja queAD igual ao dimetro da circunferncia inscrita no trapzio. Logo,

AD= 2 (altura). Alm disso, como o trapzio circunscritvel, pelo teorema de Pitot, temosAB+ CD=AD+BC= 2 + 7 = 9 cm. A rea dada

por 292

2)(cm

CDABS =

+= .

QUESTO 16

RESPOSTA: C

Soluo:

1. (Verdadeira) Considere p < q racionais. Ento,p + q

2 racional e, alm disso,

p + q

p < < q.2

2. (Verdadeira) Sejam < dois irracionais. Sabemos que existe um racional menor que , digamos q < . Considere todos osnmeros: q; 2q; 3q;...; k.q; .... Observe que todos esses nmeros so racionais. Tambm, pelo menos um desses nmeros pertence

ao intervalo (, ), caso contrrio existiria um inteiro ktal que k .q < < (k + 1)q. Mas isto um absurdo, pois teramosq = (k + 1)q k q > .

3. (Verdadeira) Se r = 1 2

1 2

p pe s =

q qso dois racionais, p

1, q

1, p

2e q

2inteiros, ento r + s = 1 2 2 1

1 2

p q + p q

q q racional.

4. (Falsa) (1 + 2) + (1 2) = 2.

5. (Falsa) (1 + 2) (1 2) 1. =

QUESTO 17

RESPOSTA: D

Soluo:

I. Verdadeiro.

(a b)2+ (b c)2+ (c a)2= a2 2ab + b2+ b2 2bc + c2+ c2 2ac + c2

= 2(a2+ b2+ c2) 2(ab + bc + ac).

II. Verdadeiro. Veja demonstrao na apostila 1.

III. Verdadeiro. Considere a equao (x a)(x b)(x c) = 0, cujas razes so a, be c. Ento, a, be csatisfazem a equao:

x3 (a + b + c)x2+ (ab + bc + ac)x abc = 0:

Substituindoxsucessivamente por a, b, ce somando as equaes obtidas, temos:(a3+ b3+ c3) (a + b + c)(a2+ b2+ c2) + (ab + bc + ac)(a + b + c) 3abc = 0:

Logo,

a3+ b3 + c3 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2 ab bc ac) =1

2(a + b + c) [(a b)2+ (b c)2+ (c a)2]

10

6

12

14

x

A B

C

DE

F

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12CEAR

QUESTO 18

RESPOSTA: D

Soluo:

Veja que D = a2+ (a + 1)2+ [a (a + 1)]2= a2+ a2+ 2a + 1 + [a (a + 1)]2= [a2+ a)]2+ 2.(a2+ a) + 1 = (a2+ a + 1)2. Logo, D = a2+ a + 1 = a(a + 1) + 1

sempre inteiro.

Como a(a + 1) o produto de dois inteiros consecutivos, sempre par, ento D sempre mpar..

QUESTO 19

RESPOSTA: E

Soluo:

Reescrevendo as eques, obtemos:

ab + 1 = bp

bc + 1 = cp

ca + 1 = ap

Subtraindo as equaes duas a duas, obtemos:

b (a c) = (b c) p

a (b c) = (b a) p

c (b a) = (c a) p

Como a, be cso distintos, multiplicando as trs ltimas equaes e simplicando o resultado, obtemos:

abc (a c)(b c)(c a) = (b c)(b a)(c a) p3abc = p3p3+ abc = 0.

QUESTO 20

RESPOSTA: B

Soluo:

Fazendoa

b= n, nossas inequaes se reduzem a

4 1 1< < .

2001 1 + n 2001Invertendo essas inequaes, obtemos

2001 2001> n + 1 > .

4 5

Da, 500, 25 > n + 1 > 400, 2, ou seja, 399, 2 < n < 499, 25. Logo, n {400, 401, ..., 499}, de modo que npode assumir 100 valores possveis.

GABARITO (PARTE SUBJETIVA)

QUESTO 21Soluo:

Sejam os conjuntos: { }1000000...,,3,2,1=E ,{ }perfeitoquadrado1 xExE ={ }perfeitocubo2 xExE ={ }perfeitapotnciaquarta3 xExE = .

Observe que:

a) ( )224 aa = , isto , toda quarta potncia um quadrado, o que acarreta:( ) ( )213212132113 EEnEEEnEEEEEEE ==

b) Se um nmero quadrado e tambm cubo, ento ela sexta potncia. Posto isto, temos que o nmero pedido :( ) ( )321 EEEnEny =

( ) ( )21 EEnEn =( ) ( ) ( ) ( )2121 EEnEnEnEn += .

Porm:

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( ) 6101000000 ==En , ( ) 10001010 361 ===En , ( ) 100101023 6

2 ===En e ( ) 10106 6

21 ==EEn .Logo, 9989101010010001000000 =+=y

QUESTO 22

Soluo:

Para calcular o nmero de sinais com 3 vrtices iluminados. Consideremos os seguintes acontecimentos e seus respectivos nmeros de

ocorrncias:

Logo, pelo P.M., o nmero de sinais com 3 vrtices iluminados 336 2C .Analogamente, calcula-se o nmero de sinais com 4 vrtices iluminados: 44

62

C ; com 5 vrtices iluminados: 55

62

C e com 6 vrtices

iluminados: 666 2C .Portanto, o nmero total de sinais transmitidos :

6562222 66655

644

633

6 =+++ CCCC

QUESTO 23

Soluo:

Para cada quatro pontos escolhidos (dois no eixo das abscissas e dois no eixo das ordenadas), determinado um ponto de interseco

dessas retas, assim o mximo de intersees que poder ocorrer, ser 31515212,62,7 == CC .

QUESTO 24

Soluo:Se tomarmos uma soluo, como, por exemplo,

12232 =++isto , 21 =x , 32=x , 23 =x , 24=x , e somarmos 4 a cada um dos ix , para 4,3,2,1=i , termos uma soluo em inteiros

positivos de

174321 =+++ yyyyDe maneira geral, a transformao 4+= ii xy , para I = 1, 2, 3, 4, associa a cada soluo de x1+ x2+ x3+ x4= 1, com x1{ 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}, umasoluo de y

1+ y

2+ y

3+ y

4= 17, com y

1{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Logo precisamos achar o nmero de solues em inteiros positivos de

174321

=+++ yyyy

com a restrio y17, para i= 1, 2, 3, 4. Portanto, definindoA

i= conjunto das solues de y

1+ y

2+ y

3+ y

4= 17 com y

1> 7, desejamos contar

as solues de y1+ y2+ y3+ y4= 17 que esto fora da unio dosAis. Logo o nmero procurado C16,3

4 .C9,3

,

uma vez que n(Ai) = C

1771,3= C

9,3e n(A

iA

j) = 0.

QUESTO 25

Soluo:

Seja { } 2102000...,,1903,1902,1901 RRR = , onde cada conjunto iR formado pelos elementos que deixam resto i, nadiviso por 3.

Pode-se observar que: ( ) 330 =Rn , ( ) 331 =Rn , ( ) 342 =RnPodemos simplificar a questo levando em conta apenas os restos. Cada permutao { }100321 ...,,,, aaaaS= pode ser representadaconsiderando apenas os restos, pela seqncia { }100321 '...,,',','' aaaaS= .

Observe que os restos zero no alteram os restos das somas parciais: 1S , 2S , 3S , ... , 100S . Portanto devemos apenas nos preocuparmoscom a colocao dos elementos dos conjuntos 1R e 2R .

Existem apenas duas maneiras para colocao dos restos 1 e 2:

1, 1, 2, 1, 2, 1, ... , 1, 2

2, 2, 1, 2, 1, 2, ... , 2, 1.

Acontecimentos N de ocorrncias1A : escolha de 3 vrtices para serem

iluminados.

36C

2A :escolha de 3 vrtices aps ter

ocorrido 1A .

32 , pois em cada vrtice devemosescolher uma lmpada dentre duas paraser acesa.

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Mas, como ( ) ( ) 112 += RnRn , ento somente a segunda possibilidade possvel.Os 33 zeros podem aparecer em qualquer ordem com 0'1a .

Da, temos:

33

99modos de escolher a posio dos mltiplos de 3, depois devemos permutar: os que deixam resto zero, os que deixam

resto 1, os que deixam resto 2. Portanto, a resposta :

!34!33!3333

99

QUESTO 26Soluo:

Seja ABC= . Primeiro, observe que ANC= KNM= 180 (pois BKNMinscritvel). Alm disso, como os raios das duas circunferncias so iguais, imediato

que KCM= (j que est olhando para arcos iguais de circunferncias de mesmoraio). Em seguida, observe que KAM= KCM=(poisAKMC inscritvel). Finalmente,

observe que ANC= KAN+ NCM+ ABC. Da, obtemos 180= + + , ouseja, = 45.

QUESTO 27

Soluo:

a) Calculando o discriminante da equao y = 0, temos:

= [2 (b + c a)]2 4 1 (b2+ c2 a2)= 4 (b2+ c2+ a2+ 2bc 2ab 2ac) 4b2 4c2+ 4a2

= 8a2+ 8bc 8ab 8ac

= 8 (a b)(a c).

Como c < b < a, segue que > 0, o que signica dizer que a equao possui duas razes reais distintas.b) Calculando as razes da equao y = 0, obtemos

-2(b + c - a) ?x = = a - b - c 2 (a - b) (a - c).

2

Logo, r = a b c + 2 (a - b)(a - c) raiz da equao y = 0. A outra raiz s = a b c 2 (a - b)(a - c) . Observe que s < 0.

Vamos analisar o sinal de r. Se r < 0, a equao possui duas razes negativas e r s = b2+c2 a2> 0, de modo que b2+ c2> a2. Neste caso,

obtemos < 90o. Se r = 0, ento r s = b2+ c2 a2= 0, de modo que b2+ c2= a2. Neste caso, o tringulo retngulo, com = 90o.

QUESTO 28

Soluo:

Temos (x + y)(x2+ y2 xy) + 3xy = 1, ou ainda, (x + y)[(x + y)2 3xy] + 3xy = 1. Da, (x + y)3 1 3xy[(x + y) 1] = 0,

[(x + y) 1][(x + y)2+ (x + y) + 1] 3xy[(x + y) 1] = 0, (x + y 1)(x2+ y2 xy + x + y + 1) = 0.

Logo, ou x + y = 1, ou x2+ y2 xy + x + y + 1) = 0. Esta ltima equao ainda pode ser escrita como uma equao do segundo grau:

x2 (y 1)x + (y2+ y + 1) = 0.

Como = (y 1)2 4(y2+ y + 1) = 3y2 6y 3 = 3(y + 1)20, a nica possibiliade que y + 1 = 0, ou seja, y = 1. Neste caso, obtemosx = 1.

Segue que o lugar geomtrico dos pontos (x; y) a reta x + y = 1 mais o ponto ( 1; 1).

QUESTO 29Soluo:

Suponha que seja racional. Ento podemos escrever log52 =

p,

qcompe qinteiros positivos primos entre si, de onde obtemos que

2 = 5p=q, ou ainda, 2q= 5p. Mas, isto claramente impossvel, pois 2q par e 5p mpar. Logo, log52 irracional.

B

C

K

N

180

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QUESTO 30

Soluo:

Inicialmente, observe que devemos ter x 0. Faa y = a + x . Ento, y 0. Substituindo na equao inicial e elevando ao quadrado,obtemos o sistema:

a + x = y2

a y = x2

Subtraindo, temos x + y = y2 x2= (y x)(y + x), de onde conclumos que x + y = 0 ou y x = 1.

No primeiro caso, como x 0 e y 0, a nica possibilidade x = y = 0, que nos d a = 0(ABSURDO). No segundo caso, ficamos com y = x + 1 e, portanto, x2+ x + 1 a = 0.

Como o discriminante desta equao = 124 (1 a) = 4a 3 > 0 (pois a 1), ento a equao dada possui duas razes reais e distintas:

1 2

-1 - 4a - 3 -1 + 4a - 3x = e x = .

2 2

Como x 0, a nica soluo real para a equao inicial x =1

j que1 4a 3 1 4 1 3

0.2 2

+ + =

A soma das razes 1 4a 3

.2

+

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