MATEMÁTICA – EEAR – ÁLGEBRA

AULA # 4

Professor: MÁRIO J S FILHO

ANÁLISE COMBINATÓRIA

É a parte da Matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um evento sem, necessariamente, ter que descrevê-lo em detalhes analíticos.

FATORIAL DE UM NÚMERO.

Chamamos de n! (lê-se: “fatorial de n ou n fatorial”), com n ≥ 2 (n N), ao produto dos n primeiros números naturais positivos.Ex:2! = 2.1 = 2;3! = 3.2.1 = 6;4! = 4.3.2.1 = 24;5! = 5.4.3.2.1 = 120.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Generalizando, temos:

n! = n.(n – 1).(n – 2) . . . 3. 2. 1

Como conseqüência da definição de fatorial de um número, temos que:1º) 1! = 12º) 0! = 1

Exercícios:

1. Simplifique as expressões:

a) b)

c) d)

2. Calcule o valor da expressão:

3. Resolva as equaçõesa) b) c) d)

e)

f)

4. Resolva a equação (n+2)! = 15.(n+1)! −(n +3)!

Exercícios da EEAR

1. Na equação (y + 3)! + (y + 2)! = 15 (y + 1)!, o conjunto solução éa) {− 7 , 1}. b) {− 7}. c) {1}. d) {2}.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras distintas podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais: aditivo e multiplicativo.

PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM

Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer em evento. Se houver x opções para a primeira hipótese e y opções para a segunda hipótese, não havendo opção repetida, o evento pode ocorrer de C (x + y) maneiras diferentes. Podemos aqui estender o n° de hipóteses.Exemplo:Suponhamos que uma pessoa prestou vestibular em alguns estados do Brasil:• no estado de Minas Gerais (UFMG, UFOP, UFJF)• no estado da Bahia (UFBA e PUC-BA)• no estado do Rio de Janeiro (UERJ, UERJ)De quantas formas distintas ela poderia escolher uma única universidade para estudar?Observe que há três hipóteses quanto ao estado. Para cada hipótese (estado do Brasil), há certo número de opções.

Assim:

É fácil perceber que essa pessoa pode escolher 3 + 2 + 2 = 7 universidades distintas para estudar. As hipóteses se excluem, mutuamente.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DE CONTAGEM

Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de x maneiras e a segunda etapa, de y maneiras, então o evento pode ocorrer de (x ; y) maneiras diferentes. Podemos aqui estender o n° de etapas.Exemplo:Chico pretende comprar uma camisa, uma calça e um tênis para presentear seu filho João. A loja na qual a compra será feita oferece 3 tipos distintos de camisas, 2 tipos de distintos de calças e 2 tipos distintos de tênis. De quantas maneiras distintas pode ser feita a compra?Observe que a escolha se compõe de 3 etapas. Para cada uma delas, há certo número de opções.Assim:

É fácil perceber que, para cada camisa escolhida, ele tem 2 opções de calça e para cada conjunto camisa-calça que tenha escolhido, ele têm 2 opções para escolha do tênis.

Apresentamos abaixo o diagrama de árvore ou árvore das possibilidades para o problema.

Arranjos simplesConsidere um conjunto A, finito, com n elementos distintos. Cada um dos agrupamentos ordenados que pode ser formado contendo, sem repetição, p elementos de A ( ) chama-se arranjo simples dos n elementos, tornando os p a p.

O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p.A formação de cada arranjo simples dos n elementos de A, tomados p a p, se compõe de duas etapas:• escolher p entre os n elementos de A;• ordenar os p elementos escolhidos.Dessa maneira concluímos que a ordem ou a natureza dos elementos de A importa.

Exemplo:Calcule o n° de arranjos simples de 7 elementos, tomados 3 a 3.Solução:

= 7 x 6 x 5 = 210 (De acordo com o PFC multiplicativo)De maneira geral,

= n.(n —1) . (n —2) ----. (n—p+1)Na relação acima n representa o 1º fator e p representa o n° de fatores.

Assim, podemos também afirmar que:

Exemplos:1) Utilizando-se apenas os algarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6,}, formam-se todos os números possíveis de 4 algarismos distintos.a) Qual o total desses números?b) Quantos são pares?c) Quantos são menores que 4215?

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Considere um conjunto A finito com n elementos distintos. Cada um dos agrupamentos ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, os n elementos de A chama-se permutação simples dos n elementos.

O número de permutações simples de n elementos.Exemplo:Calcule o n° de permutações simples de 4 elementos.

= 4. 3. 2. 1 = 4! = 24De maneira geral,

Dessa maneira concluímos que a ordem ou a natureza dos elementos de A importa.

IMPORTANTE!!!1. ANAGRAMA

Chama-se anagrama de uma palavra toda ordenação possível de suas letras, ou seja, toda ordenação. A “nova palavra” formada não precisa ter sentido, significado. Esse tipo de anagrama as letras não se repetem.Exemplo:1) Considerando-se todos os anagramas da palavra COLEGA, pergunta-se:a) Qual é o total desses anagramas?b) Quantos começam com consoante?c) Em quantos deles, as vogais aparecem juntas, em qualquer ordem?

2. ANAGRAMA COM REPETIÇÃOEsse anagrama se difere do outro por conter letras repetidas. Para calcular a quantidade

de anagramas utilizaremos a seguinte fórmula:

Onde , , , ... são as quantidades das letras que repetem na palavra dada.Exemplo:1) Considerando-se todos os anagramas da palavra MACACO, pergunta-se:a) Qual é o total desses anagramas?b) Quantos começam com consoante?c) Em quantos deles, as vogais aparecem juntas, em qualquer ordem?

COMBINAÇÕES SIMPLES

Considere um conjunto A, finito, com n elementos distintos. Cada um dos agrupamentos não-ordenados que pode ser formado contendo, sem repetição, p elementos de A (p n) chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p.

O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p.

Exemplo:1) Uma classe possui 12 alunos. Calcule o n° de comissões distintas que podemos formar com 3 alunos dessa classe?

2) Observe a figura. Nessa figura, quantos triângulos se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I,J e K?

Exercícios diversos

1, Observe a figura. Nela está representada a planta de um cômodo contendo 3 portas na

primeira parede, 5 na segunda e 4 na terceira. Uma pessoa deseja chegar ao ponto 6, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é

(A) 11 (B) 23 (C) 32 (D) 60

2. O número total de inteiros positivos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é(A) 54 (B) 56 (C) 58 (D) 60 (E) 64

3. Para compor-se a senha de acesso a um programa de computador, deve-se escolher entre as siglas que se podem formar com as letras da palavra NOVILHA. Entretanto, só servem siglas que começam por vogal. Nesse caso, o número de possibilidades é:(A) 360 (B) 720 (C) 2.160 (D) 2.620

4. Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas diferentes, a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta, de acordo com o gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece?(A) 10 (B) 25 (C) 31 (D) 35

5. O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos compreendidos entre 11 e 1000, é:(A) 576 (B) 648 (C) 728 (D) 729

6. O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 72

7. Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:• leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;• pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;

• passeia com o cachorro da família;• pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola;• rega as plantas do jardim de sua casa.Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis dele realizar essas cinco atividades, em ordem diferente, é:(A) 24 (B)60 (C) 72 (D) 120

8. Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente(A) 48 e 36 (B) 48 e 72(C) 72 e 36 (D) 24 e 36

9. Vinte e quatro pessoas são separadas em três grupos diferentes: o primeiro composto por 10 meninas; o segundo composto por 8 meninos e o terceiro composto por 6 adultos. Deve-se escolher duas pessoas pertencentes a grupos diferentes, dentre os citados acima. Nessas condições, o número. de maneira que se pode escolher essas duas pessoas é:(A) 188 (B) 276 (C) 460 (D) 552

10. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola, o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é:(A)45 (B) 35 (C) 210 (D) 73

11. O número de produtos distintos de três fatores distintos escolhidos entre os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13 é:(A) 20 (B) 40 (C) 80 (D) 100

12. Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 5.391 ocupa, nessa disposição, o lugar:(A) 21° (B) 64° (C) 88° (D) 92°

13. Observe o diagrama. O número de ligações distintas entre X e Z é:(A) 41(B) 45(C) 35(D) 39

14. O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é(A) 12! (C) 12! – (5!).(5!)(B) (8!).(5!) (D) 12! – 8!

15. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco, mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é(A) 1.680 (B) 1.344 (C) 720 (D) 224

16. Em uma reunião, há 12 rapazes, 4 dos quais usam óculos, e 16 garotas, 6 das quais usam óculos. De quantos modos possíveis podem ser formados casais para dançar se quem usa óculos só deve formar par com quem não os usa?(A) 192 (B) 104 (C) 96 (D) 88

17. Dispomos de 10 produtos para montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 6 desses produtos, de modo que um determinado produto seja sempre incluído, é(A) 252 (B) 210 (C) 126 (D) 120

18. De um grupo de 6 homens e 4 mulheres, 5 pessoas serão escolhidas. Entre elas, pelo menos, 2 mulheres. O número de escolhas distintas que se pode fazer é(A) 210 (B) 186 (C) 168 (D) 120

19. Considere, num plano, 10 pontos distintos entre si. Suponha que 4 desses pontos pertençam a uma mesma reta e que dois quaisquer dos demais não estejam alinhados

com nenhum dos pontos restantes, O número de retas distintas determinadas por esses 10 pontos é(A) 20 (B)40 (C) 50 (D) 60

20. O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é(A) 250 (B) 321 (C) 504 (D) 576

21. Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é(A) 720 (B) 600 (C) 480 (D) 240

22. Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas, serão necessários, aproximadamente(A) 100 dias (B) 10 séculos.(C) 10 anos. (D) 100 séculos. (E) 1 século.

23. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo:1° lugar, Brasil; 2° lugar, Nigéria; 3° lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir:(A) 69 (B) 9.562 (C) 2.024 (D) 12.144

24. Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras

vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas sepode fazer tal fila?

25. Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O NUMERO de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é:(A) 71 (B)86 (C) 131 (D) 61

26. Um feixe de 8 retas paralelas intercepta um outro conjunto de 5 retas paralelas. O número de paralelogramos determinados por essas retas é(A) 40 (B) 126 (C) 162 (D) 280

27. Um laboratório dispõe de 5 camundongos machos e n fêmeas. Se existem 360 maneiras de selecionar dois machos e duas fêmeas para uma experiência, o número n é igual a(A)9 (B) 6 (C) 10 (D) 12

PROVAS ANTERIORES DA EEAR

1 - Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores, o amarelo, com 3 sabores, e o verde com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 e 3 bolas; mas não pode conter 2 bolas do mesmo grupo. O número de maneiras diferentes que se pode pedir uma casquinha é:a) 31 b) 61 c) 71 d)360

2 - Tenho nove moedas numeradas de 1 a 9 inclusive. Com elas, formo números de 3 algarismos. Quantos números, cuja soma de seus algarismos é par, podemos formar?a) 144 b) 84 c) 104 d) 284

3 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem

repeli-los, podemos escrever X números de 4 algarismos, maiores que 2400. O valor de X é:a) 68 b) 72 c) 76 d) 84

4 - Sejam A= { 1, 2, 3 } e B= { a, b, c, d, e } e a função . O número de funções injetoras definidas em f é igual a a) 10 b) 15 c) 60 d) 75

5 - Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 7 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado logo após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:a) 720 b)4320 c)5040 d)30240

6 - As placas atuais de automóveis possuem 3 letras do alfabeto latino(incluindo k, W e y) e 4 algarismos. O número de placas que não repetem nem leiras nem algarismos é de:

a) c) 26!.10!.23!.6!

b) 26!.10! d)263.10l .4!.3!

7 - Um sargento da FAB tem 8 soldados sob seu comando. Tendo que viajar a serviço deixa a seus comandados uma determinação: “Ao chegar, quero encontrar no mínimo um de vocês no pátio, fazendo Educação Física.”Dessa forma, o sargento tem ______ maneiras de encontrar seus soldados fazendo Educação Física.a) 256 b) 255 c) 64 d) 16

8 – O número de anagramas formados com as letras da palavra ROMA de modo que não apareçam vogais ou consoantes juntas é igual a

a) 4! b) 4 c) 8 d) 2

9 – Tenho nove moedas numeradas de 1 a 9 inclusive. Com elas, formo números de três algarismos. Quantos números, cuja soma é par, podemos formar?

a) 144 b) 84 c) 104 d) 26410 – Uma lanchonete tem em sua dispensa cinco espécies de frutas. Misturando-se três espécies diferentes, pode-se preparar............... tipos de suco.a) 24 b) 15 c) 10 d) 8

11 – Deseja-se colorir os seis triângulos da figura com cores diferentes

Dispondo de sete cores, o número de maneiras diferentes de se conseguir o que deseja éa) 3200 b) 4700 c) 5040 d) 6090

12 – Com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, a quantidade de números de três algarismos que se podem formar éa) 100 b) 80 c) 60 d) 30

13 – O número de anagramas da palavra ESCOLA que começa com S e termina com L éa) 720 b) 120 c) 24 d) 12

14 – Em análise combinatória, a razão é

igual aa) 7 b) 5 c) 3 d) 1

15 – Formato, tamanho e cor são características que diferem as etiquetas indicadoras de preço dos produtos de uma loja. Se elas podem ter dois formatos, três tamanhos e cinco cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja éa) 24 b) 30 c) 32 d) 40 16 – O número de anagramas da palavra SOLEIRA que começam por vogal éa) 2720 b) 2780 c) 2860 d) 2880

17 – Ao calcular , obtém-se

a) 7! b) 5! c) 3! d) 1!

18 – Se Am,n é o arranjo dos m elementos de um conjunto X, tomados n a n, para m = 7 e n = 3, temos......... subconjuntosa) 210 b) 105 c) 90 d) 45

19 – O número de anagramas da palavra SARGENTO que começam por S e terminam com O éa) 1540 b) 720 c) 120 d) 24

20 – Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de três algarismos, dando um total de ......... números.a) 120 b) 60 c) 30 d) 15

21 – Se existem k maneiras possíveis de pintar uma parede com três listas verticais, de mesma largura e de cores distintas, dispondo de doze cores, então k está compreendido entrea) 1315 e 1330 b) 1330 e 1345 c) 1345 e 1360 d) 1360 e 1375

22 – A quantidade de números distintos de quatro algarismos que podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 7 e 9 éa) 120 b) 140 c) 160 d) 210

23 – Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repeti-los, podemos escrever números de 4 algarismos, maiores que 2400. O valor de é

a) 68 c) 78b) 72 d) 84

24 – As atuais placas de automóveis possuem três letras do alfabeto latino (incluindo K, W, Y) e quatro algarismos. O número de placas que não repetem nem letras e nem algarismos é

a) c)

b) d)

25  – Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. Seu professor necessita formar comissões de 7 crianças, sendo 4 meninos e 3 meninas, que incluam obrigatoriamente o melhor aluno dentre os meninos e a melhor aluna dentre as meninas. O número possível de comissões éa) igual a 2300. c) maior que 2400.b) menor que 2300. d) igual a 2352.

26  – No emplacamento de automóveis da cidade paulista X, são usadas duas letras do alfabeto seguidas de quatro algarismos. O número de placas, começadas pela letra "A", seguida de vogal, inclusive "A", e de quatro algarismos distintos, sendo dois (2) o último algarismo, é

a) 2.520. b) 720. c) 160. d) 3.600.

27 – O número de anagramas da palavra escola, que começam por S e terminam por L, éa) 1440. b) 720. c) 24. d) 12.

28 – Considere todos os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6. Se colocarmos esses números em ordem decrescente, a posição ocupada pelo número 4652 será aa) 49ª b) 50ª c) 59ª d) 60ª

29 - Se existem k maneiras possíveis de pintar uma parede com 3 listras verticais, de mesma largura e de cores distintas, dispondo de 12 cores diferentes, então o valor de k está compreendido entrea) 1315 e 1330.b) 1330 e 1345.c) 1345 e 1360.d) 1360 e 1375.

30 – Do conjunto dos números naturais menores ou iguais a 100 retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. O número de elementos que permanecem no conjunto éa) 66 b) 67 c) 68 d) 69

31 - Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para comporem uma comissão de formatura. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:a) 56b) 48c) 46d) 38

PROBABILIDADES

1. Experimento aleatório

Chamamos experimento aleatório aquele em que o resultado não pode ser determinado antes de realizá-lo.Exemplo: Lançar um dado e observar o número da face que ficará voltada para cima.

2. Espaço amostral

É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um Experimento aleatório.Exemplo:

Lançamento de uma moeda duas vezes consecutivas e observação da face superior.

3. Espaços equiprováveis

Um espaço amostral finito é equiprovável quando cada um dos seus eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer.

4. Espaços não-equiprováveis

Um espaço amostral finito é não-equiprovável quando cada um dos seus eventos elementares não têm a mesma probabilidade de ocorrer.

5. Evento

É um conjunto qualquer de resultados de um experimento aleatório, ou seja, um evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral.Exemplo: Lançamento de um dado e observação da face superior.

6. Conceitos Básicos:

1. Pk > 0, onde k = 1, 2, 3, ..., n

2. = P1 + P2 +... + Pn

7. Probabilidade do evento elementar:

Exercícios:

1. Uma moeda foi viciada de modo a tornar a probabilidade de ocorrer cara o dobro da probabilidade de ocorrer coroa. Lançando-se essa moeda uma vez, qual é a probabilidade de sair coroa?

2. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

8. Probabilidade do evento qualquer:

Também conhecida como probabilidade simples, é feita da razão entre:

Exercícios:

1. De um baralho de 52 cartas tiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:a) As duas cartas dão damas b) As duas cartas são de ouros

2. No lançamento de um dado, calcule a probabilidade de ocorrer:a) um número ímpar; b) um múltiplo de 7;c) um múltiplo de 3; d) um número inteiro.

3. Uma loja coloca 18 camisetas num “cesto de ofertas”, das quais 6 apresentam defeitos. Escolhendo-se 4 camisetas ao acaso, qual é a probabilidade de:a) nenhuma apresentar defeito? b) exatamente duas serem defeituosas?

4. Lançando-se um dado duas vezes, calcule a probabilidade de se obter:a) soma dos pontos igual 7: b) soma dos pontos maior do que 7;c) produto dos pontos ímpar: d) dois números primos.

5. Uma moeda é lançada 3 vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara nos 3 lançamentos?6. Numa urna há 8 bolas vermelhas, 7 azuis e 5 brancas. Retirando-se simultaneamente 3 bolas, qual é a probabilidade de:a) as 3 serem vermelhas? b) nenhuma das 3 ser azul?c) cada uma ser de uma cor?

7. De um baralho comum são eliminados todos os ases e todas as figuras. Com as cartas restantes, forma-se, ao acaso, um jogo de 3 cartas. Qual é a probabilidade de o jogo ter:a) 3 cartas de ouros? b) pelo menos uma carta de ouros?

9. Propriedades das probabilidades

Seja ( um espaço amostral com n elementos (n > 0), A o evento impossível, B o evento certo e C um evento qualquer de.

P1) A probabilidade do evento impossível é Igual a 0 (zero).

P2) A probabilidade do evento certo é igual a 1 (um).

P3) A probabilidade de um evento qualquer c varia de 0 (zero) a 1 (um).

P4) A probabilidade do evento complementar é dada por:

A partir desta relação, podemos afirmar que:

ou

Estas relações são muito úteis na resolução de problemas que mencionam a não ocorrência de um evento A (que é o evento complementar A).

10. Probabilidade da união entre eventos (regra do ou).

Os problemas sobre probabilidade da união entre eventos são caracterizados pelo aparecimento do conectivo “ou” em sua leitura.Dados dois eventos A e B de um espaço amostral , podemos escrever:

Somente no caso de eventos mutuamente exclusivos, ou seja, , teremos

e, portanto:

11. Adição de probabilidades

a) Conjuntos com elementos comuns

b) Conjuntos disjuntos

Exercícios:

1. Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?

2. Uma urna contém 50 bolas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma das bolas, qual é a probabilidade de que ocorra um múltiplo de 3 ou um múltiplo de 5?

12. Probabilidade do evento complementar

Exercícios:

1. Uma urna contém 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, calcule a probabilidade de ela não ser vermelha.

2. Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo–se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:a)      Ambas não estejam estragadas b)      Pelo menos uma esteja estragada

3. Uma urna contém 10 bolas brancas, numeradas de 1 a 10, 6 vermelhas, numeradas de 11 a 16 e 8 amarelas, numeradas de 17 a 24. Retirando-se uma bola ao acaso, calcule a probabilidade de:a) sair uma bola amarela ou um número par; b) não sair bola amarela nem número par; c) sair bola branca ou um número maior do que 20.

4. Uma urna contém 8 bolas azuis, 7 brancas e 5 vermelhas. Duas bolas serão retiradas, uma após a outra e com a reposição da primeira. Qual é a probabilidade de que as bolas sorteadas sejam:a) ambas azuis ou ambas vermelhas?b) ambas da mesma cor?c) de cores diferentes?

5. Um baleiro contém 6 balas de hortelã, 8 de cereja e 10 de anis, todas misturadas. Uma criança pega 3 ao acaso. Qual é a probabilidade de que entre as balas retiradas haja pelo menos duas de sabores diferentes?

6. Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho comum. Qual é a probabilidade de que:a) as 2 cartas sejam do mesmo naipe?b) as 2 sejam números ou as 2 sejam de copas? c) entre elas haja pelo menos um ás?

13. Multiplicação de probabilidades (regra do e).

Sejam A e B dois eventos independentes de um Espaço amostral finito e não-vazio, a Probabilidade de ocorrência de A e B é dada por:

Esta relação pode ser escrita para mais de dois Eventos independentes, veja:

Exercícios:

1. Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que todos os três filhos sejam do mesmo sexo?(A)1/8 (B) 1/6 (C) 1/3 (D) 1/4

2. Uma urna contém nove bolas numeradas de 1 a 9. Deseja-se formar um número de três algarismos e, para tanto, são sorteadas três bolas sem reposição, sendo que a primeira bola determinará o algarismo das unidades do número, a segunda bola determinará o algarismo das dezenas do número e a terceira, o algarismo das centenas do número. A probabilidade de o número formado ser par é de:(A) 1/9 (B) 2/9 (C) 1/3 (D) 4/9

3. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é:(A) 60% (B) 70% (C) 80% (D) 90%

4. Retirou-se urna carta de um baralho de 52 cartas e obteve-se uma dama. Tirando-se, em seguida, uma segunda carta, qual a probabilidade de ela ser uma outra dama?(A) 17/51 (B) 1/17 (C) 1/4 (D) 4/51

5. No lançamento de dois dados honestos, qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos menor que 6 ?(A) 5/18 (B) 1/15 (C) 1/10 (D) 2/9

6. Escolhem-se, ao acaso, dois números naturais distintos de 1 a 20. Qual a probabilidade de o produto dos dois números escolhidos ser ímpar?(A) 9/38 (B) 7/38 (C) 3/4 (D) 1/10

7. Um grupo de 6 amigos, A, B, C, D, E e F, pretende realizar um passeio em um barco onde só há três lugares. E feito, então, um sorteio para serem escolhidos os três amigos que ocuparão o barco. Qual é a probabilidade de que A seja escolhido e B não o seja?(A) 3/5 (B) 3/10 (C) 1/10 (D) 1/5

8. Três crianças do sexo masculino e três do sexo feminino são chamadas ao acaso para submeterem-se a um exame biométrico. Qual é a probabilidade de serem chamadas, alternadamente, crianças de sexo diferentes?(A) 1/10 (B) 2/13 (C) 3/10 (D) 1/15

9. Uma urna contém 10 bolas brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais e indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma delas ao acaso, qual é a probabilidade de ela não ser preta?

(A) 1/4 (B) 3/4 (C) 1/2 (D) 1/8

10. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou mais de 4 pontos na face de cima(A)5/6 (B)2/3 (C)1/2 (D)1/3

11. Um máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual é a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?(A) 80% (B) 24,8% (C) 84°/o (D) 65%

12. Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?(A)4/13 (B)27/52 (C) 1/13 (D) 1/4

13. Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

14. Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual é a probabilidade de se formar uma comissão de 5 membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos?(A) 7,4% (B) 6,9% (C) 8% (D) 7,l%

15. A probabilidade de se obter 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda é:(A)3/32 (B) 5/32 (C) 5/16 (D) 7/32

16. A figura abaixo representa uma parede quadra- da na qual estão pintados discos de raio r. Se uma bola é rançada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos discos está entre

(A) 14% e 16%(B) 17% e 19%(C) 20% e 22%(D) 23% e 25%

Provas anteriores EEAR

1 - Cinco casais (marido e mulher) estão juntos em um restaurante. Escolhendo 2 pessoas ao acaso, a probabilidade de termos um marido e sua mulher é(A) 1/9 (B) 1/10 (C) 1/11 (D) 1/12

2 – Seja A = {k1, k2, k3 e k4}, o espaço amostral de um experimento aleatório. Considere a seguinte distribuição de probabilidade: P(k1) = 1/8, P(k2) = 1/10, P(k3) = 2/5 e P(k4) = x. O valor de x é(A) 36,5% (B) 37% (C) 37,25% (D) 37,5%

3 – Uma urna contém 3 bolas verdes e 4 amarelas. Ao retirarmos, sem reposição, duas bolas, a probabilidade de serem amarelas é(A) 2/7 (B) 3/7 (C) 4/7 (D) 6/7

4 – Retirando-se aleatoriamente um elemento do conjunto A = {1, 2, 3, ..., 100}, a probabilidade dele ser múltiplo de 5 é(A) 1/5 (B) 2/5 (C) 1/10 (D) 3/10

5 – com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 6 dão formados números de três algarismos. Escolhido um ao acaso, a probabilidade de ser divisível por 5 é(A) 3/5 (B) 2/3 (C) 1/5 (D) 1/3

6 – Para o sorteio de uma bicicleta, 327 cupons foram depositados em uma urna. Se três desses cupons estão em nome de uma única pessoa, qual a probabilidade dela ser sorteada?(A) 2/109 (B) 2/327 (C) 1/109 (D) 1/327

7. Para participar de um sorteio, um grupo de 152 pessoas respondeu à pergunta: “Você é fumante?”. Se 40 pessoas responderam

“SIM”, a probabilidade da pessoa sorteada não ser fumante é(A) 11/16 (B) 17/18 (C) 15/17 (D) 14/19

8. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos, a probabilidade de obter soma diferente de 11 é, aproximadamente,a) 5,5% b)94,4%b) 83,4% d) 16,6%

9. Na 8ª A de uma escola há 18 meninos e 30 meninas, sendo que um terço dos meninos e três quintos das meninas têm olhos castanhos. Escolhendo ao acaso um aluno, a probabilidade de ser menina ou ter olhos castanhos éa) 72,5%. b) 75%. c) 77,5%. d) 80%.