Upload
vuongtuong
View
303
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
05. Fungsi Dua Peubah
EXPERT COURSE
#bimbelnyamahasiswa
Sistem Koordinat
2
y
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
y
x
z
P(x,y,z)
Kuadran III
x
Kuadran IV
y
x
Oktan 1
R3(Ruang)R2(Bidang)
Permukaan di Ruang (R3)
3
Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :
Bola, mempunyai bentuk umum :
x2 y2 z2 a2 , a 0
y2 a,2 berupa
z2 a,2 berupa
Jejak di bidang XOY, z = 0 x2
Jejak di bidang XOZ, y = 0 x2
Jejak di bidang YOZ, x = 0 y2 z2 a,2 berupa
lingkaran
lingkaran
lingkaran
Gambar Bola
4
Z
x
y
Permukaan di Ruang
5
Elipsoida, mempunyai bentuk umum
z22
a 2 b2 c2
2
1x
y , a, b, c > 0
2 2x
yJejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Ellips
a 2 b2
2
a 2 c2
2x
zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Ellips
2
c2 b2
2
Jejak di bidang YOZ, x = 0z
y 1 , berupa Ellips
Gambar Ellipsoida
6
Z
x
y
Permukaan di R3
7
Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:
z22
a 2 b2 c2
2
1x
y
, a, b, c > 0
x 2 y2
a 2 b2Jejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Ellips
a 2 c2
2 2x
zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Hiperbolik
2
b2 c2
2y
zJejak di bidang YOZ, x = 0 1 , berupa Hiperbolik
Gambar Hiperbolik Berdaun Satu
8
Z
y
x
Permukaan di R3
Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:
z22
a 2 b2 c2
2
1x
y , a, b, c > 0
y 22
b2 c2 a2
2
1z
x
, maka terdefinisi saat x - a atau x a
a 2 b2
2 2x
yJejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Hiperbolik
2
a 2 c2
2x
zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Hiperbolik
2
b2 c2
2 zJejak di bidang YOZ, x = 0
y 1, tidak ada jejak
x = k (konstanta), k > a atau k < - a ,berupa ellips
Gambar Hiperbolik Berdaun Dua
10
Z
y
x
Permukaan di R3
11
Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:
z
ca 2 b2
x2 y2
, a, b, c > 0
Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:z
c
x2 y2
a 2 b2 , a, b, c > 0
Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:
a 2 b2 c2
2 2 2
0x
y
z
Bidang , mempunyai bentuk umum:
Ax ByCz D
Gambar
2/11/2010 12
Z
y
Z
x
y
x
x
y
Paraboloida Eliptikz
Kerucut EliptikBidang
yx
Paraboloida Hiperbolik
z
Latihan: Gambarkan
13
1. x2 + y2 = 4
2. y = x2
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1
4. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36
5. z =4
6. x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3
Fungsi Dua Peubah
14
Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)
Notasi : f : A R ( A C R2)
(x,y) z = f(x,y)
Contoh:
1. f(x,y) = x2 + 4 y2
32. f(x,y) =
136 9x2 4y2
3. f(x,y) = y 22x2
2y x2
Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai
(Rf)
Df (x,y)R f (x, y)R2
Rf f (x, y) (x, y)Df
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari
1. f(x,y) = x2 + 4 y2
2. f (x, y) 1
369x 2 4y2
33. f (x,y) x(1 y)
15
Contoh (Jawab)
16
y1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}
= {(x,y) R2}
x
= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}
2. Df
2 236 9x 4y R3
2 1 (x,y) R
= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}
1
4 9
2
2 2
x y (x,y) R
x
y
2
3
Contoh (Jawab)
17
3.D f (x, y)R x(1 y) 0
2
= {(x,y) R2| x(1 – y) 0}
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0}
= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}
x
y
Latihan
18
Tentukan dan Gambarkan Df dari
1. f(x,y) =2y x2
x2 y 22
5. f(x,y) =y x 1
2. f(x,y) =x
1 y
4. f(x,y) = ln(x y)
ln(x y1)
16 x2 y2
3. f(x,y) = 2x
y
Grafik Fungsi Dua Peubah
19
Grafiknya berupa permukaan di ruang
z
Z=f(x,y)
y
Df
x
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.
Contoh
20
Gambarkan Grafik1. f(x,y) = 2 x2+ 3y2
z = 2 x2+ 3y2
Paraboloida eliptik1 1
x2 y2
z
Z
x
y
2 3
z-3 = – x2 – y2
Z
x
y
3
2. f(x,y) = 3 – x2 – y2
3
Contoh
21
3. f(x,y) =1
336 9x2 4y2
9z2 = 36 – 9x2 – 4y2
9x2 + 4y2 + 9z2 = 362 2 2
1x
y
z
Elipsoida
Z
y3
2
2
4. f(x,y) = 16 x 2 y2
44 9 x
z2 = 16 –x2 –y2 z0
x2 + y2 + z2 = 42
Bola
2
2
Z
x
y
2
Kurva Ketinggian
22
z = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.
Contoh:
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4
2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4
Contoh (Jawab)
23
1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4
Untuk k = 0
titik (0, 0)
Untuk k = 1
x2 +2 y2 = 0
x = 0, y = 0
x2 +2 y2 = 1
elipsx2 y2
y
Untuk k = 2 x2 +2 y2 = 2
elips
Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4
elips
2
1
11
2
2
y2 1 x
4 2
2 2
1x
y
.k=0
k=1
k=
2
k=4
x
Contoh (Jawab)
24
Untuk k = 0
parabola
y
parabola
2. f(x,y) = x – y2
Untuk k = -2
, k = -2, 0, 2, 4
x – y2 =-2
Untuk k = 2
parabola
Untuk k = 4
parabola
k=0
k=-2k=2k=4
x
x = y2 – 2
x – y2 = 0
x = y2
x – y2 =2
x = y2 + 2
x2 +2 y2 = 4
x = y2 + 4
Latihan
25
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
1. f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4
2. f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9
3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4
4. f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4
KONTUR ???
Limit Fungsi Dua Peubah
26
Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis
lim f (x, y) L(
x,y)(a,b)
Jika ε > 0 > 0 berlaku0 x a2 y b2
f (x, y) L
x
z
(a,b)
Z =f(x,y)
L+ε
L
L–ε
y
Catatan
27
ada jikalim f (x, y) L(x,y)(a,b) (x,y)(a,b)
lim f (x, y) L untuk sembarang
kurva yang melalui (a,b).
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui
f (x, y) berbeda untuk masing-masing(a,b) dengan nilai
kurva, maka dikatakan lim(x,y)(a,b)
lim(x,y)(a,b)
f (x, y) tidak ada.
. (a,b)
Contoh
28
limxy
x2+y2(x,y )(0,0)
Buktikan bahwa limit
Jawab
x2
xy
y2f(x,y) fterdefinisi di D = R2 – {(0,0)}
berikut tidak ada
Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah
0 02x2
x.0f(x,0)
Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah
0x2 02
x.0(x,0)(0,0)
lim f(x,0) lim(x,0)(0,0)
Contoh (Lanjutan)
29
Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah
x2 2x2
x.x
1f(x, x)
Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah
x.x
1
x2 2(x, x)(0,0) x2lim f(x, x) lim
(x,x)(0,0)
lim(x,x)(0,0)
Karena lim f(x,0) f(x, x) maka
lim
(x,0)(0,0)
xy
y2(x ,y )(0,0) x2 tidak ada
Latihan
30
1. lim( x,y)(0,0) x2 y2
2.x2y
lim( x,y)(0,0) x4 y2
Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
3. limx2 y2 x3 y4
( x,y)(0,0) x2 y6
Kekontinuan
31
Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika
i. f(a,b) terdefinisi
f (x,y) ada
f (x, y) f (a, b)
ii.
iii.
lim(x,y)(a,b)
lim(x,y)(a,b)
Teorema:
1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm
2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y)
kontinu pada Df ,asal q(x,y)≠0
3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f
fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g
kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y))
Contoh Kekontinuan
Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x
f(x,y) = cos(x2 4xy y2 )
f(x,y) = h(g(x,y)) : fgs komposisi h o g (x,y)
Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di
setiap t di R.
Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang
32
Selidiki kekontinuan fungsi berikut:
1. f(x,y) =(y2 4x)
2x 3y
2.
Turunan Parsial
33
Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.
1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
hx
f (x, y) limf (x h, y) f (x, y)
h0
2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
hy
f (x, y) limf (x, y h) f (x, y)
h0
Contoh:
34
1.
Tentukan fx dan fy3.
y
xf (x, y) ln sin t dt
2.
f (x, y) x3y 4xy2
Jawab
fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2
fy(x,y) = x3 + 8 xy
f (x, y) ycos(x2 y2 )
Jawab
fx(x,y) = –2xy cos(x2 + y2)
fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)
Jawab
fx(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)
fx(x,y) = – ln(sinx)
fy(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx)
fy(x,y) = ln(siny)
Latihan
35
f(x,y) x3 cos(x y) y sin2xyy
cost
f(x,y) x e dt
Tentukan fx dan fy
1.
2.
3. f(x,y) x3 cos(x y) y sin(2xy)
2. f(x,y, z) x cos(y z) 2xy
Tentukan fx, fy dan fz
1. f(x,y, z) xy y2z 3xz
Turunan Parsial Kedua
36
2f
f fxx(x,y)
x x x2
2f
y y y2
f fyy(x,y)
xyyx
ff
y x
2
f (x,y)
yxxy
f
f
x y
2
f (x,y)
Contoh
37
Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
1. f(x,y)= x y3 + y3x2
Jawab
fx(x,y) = y3 + 2xy3
fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2
fxx(x,y) =2y3
fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2
fyy(x,y)= 6xy + 6x2y
fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2
Contoh
2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3)
Jawab
fx(x,y)= y sin(x2+2xy+y3)+ xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3)
fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)
fxx(x,y)=y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3)
– xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3)
fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2)cos(x2+2xy+y3)
+(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3)
–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)
fyy(x,y)=(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3)
–xy(2x+3y2)2sin(x2+2xy+y3)
fyx(x,y) =sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)
+(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3)
–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)
38
Latihan
39
Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y
2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)
3. f(x,y) = tan-1(y2/x)
4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)
5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)
Arti Geometri Turunan Parsial
40
Perpotongan bidang y = bdengan fungsi permukaan
kurvaf(x,y) berupa sebuah (lengkungan s) pada permukaan tersebut.
z
s
Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b)(fx(x,y)) merupakangradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x.
x
y
(a,b)
Arti Geometri Turunan Pertama (2)
41
Perpotongan bidang x = adengan fungsi permukaan
kurvaf(x,y) berupa sebuah (lengkungan s) pada permukaan tersebut.
z
s
Turunan parsial fungsi f(x,y)terhadap y di titik (a,b)(fy(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.
x
y(a,b)
Soal
Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
1.36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab:
Turunan parsial terhadap y adalah
42
yy 2
f (x, y) z
1
y
yySehingga didapat f (3,2)
z 1 . Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1 (dx =0, dy=1, dz=1).
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) danmelalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parametergaris singgung kurva tersebut adalah
x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t
Soal
43
4 9x2 9y2 36 2 9x2 9y2 36
18x 9x
xf (x,y)
z
x
Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
2. 2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))
Jawab:
Turunan parsial terhadap x adalah
Sehingga didapatx
f (2,1) z
3x
. Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1 (dx =1, dy=0, dz=3).
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah
x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t
Latihan
44
Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurvaperpotongan
1. 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3)
2. 4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 53/2)
Vektor Gradien
45
Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2
Definisi
Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D,
didefinisikan sebagai
f (x, y) f (x, y) i f (x, y) jrx y
adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positifi, j
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
Definisi
Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
x y zf (x, y, z) f (x,y, z) i f (x, y, z) j f (x, y,z)kr
i, j, k adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif
Contoh
46
f(x,y)r dan f (1,1)r dari f(x,y) x e xyTentukan
Jawab
fx (1,1) e e 2e
fy (1,1) e
xy xye xy i x2exy jf (x,y) er
f (1,1) 2e i e jr
xy xy
fx(x,y) e xye
2 xy
fy (x, y) x e
Sehingga diperoleh:
Latihan
47
I. Tentukan rf dari
x y
x y
2
1. f(x,y)
2. x2 y2f(x,y) ln
3. f (x,y) sin3x2y
4. f(x,y) xy ln(x y)
f(x,y) x e 2y sec z
II. Tentukan fr
di titik yang diberikan
1. f(x,y) x2y xy2
2. f (x, y) ln(x3 xy2 4y3 )
y
x2
3. f(x,y)
di P (– 2,3)
di P (– 3, 3)
di P (2, –1)
5. f (x,y, z) x 2y e x z 6.
Aturan Rantai
48
Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t
dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))
Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan
didefinisikan sebagai
dz z x
z y
dt x t y t
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka
ds x s y s
dz z x
z yi
ii dz z x
z y
dt x t y t
Contoh
49
dt
dw1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan
Jawab:
dw w x
w y
dt x t y t
= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)
= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)
= 2t3. t6. 3t2+3 t6.t4. 2t
= 6t11+6 t11 = 12 t11
Contoh
50
2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t,
tentukan
Jawab:dt ds
dz dzdan
dz z x
z y
dt x t y t
= 6x. 7 + (–2y) 5 s
= 42 (2s +7t) – 50 s2t
dz z x
z y
ds x s y s
= 6x. 2 + (–2y) 5 t
= 12 (2s +7t) – 50 s t2
Latihan
51
1. Tentukandt
dw(dalam t)
a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t
b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t
c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =tdw
2. Tentukandt
(dalam t dan s)
a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t2 2
b. w = ex y; x = s sin t, y = t sin s
Turunan Berarah
52
Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunanberarah di (a, b) pada arah vektor satuan u u i u j
adalah hasilkali titik antara1 2
vektor gradien dengan vektorsatuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :
Du f(a, b) = fx (a, b)u1 + fy (a, b)u2
Duf (p) f (p) u f (p) u cos f (p) cosrr rr r
Duf (p) f (p)u atau
Perhatikan bahwa
Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum(=0)jika
f(p)ru
r f(p)
Sebaliknya akan minimum jikaf(p)ru
r
f (p)
Contoh
53
1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titikr
P(2,1) dalam arah vektor a 4 i 3 j
Jawab:
u x 1 fy(2,1)u2D f (2,1) f (2,1)ur
Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor ar
a
a
4 i 3 j
4 i
3ju r
r
fx (x,y)= 12 x2 y
fy (x,y)= 4 x3
fx (2, 1)= 12.22.1 =48
fx (2, 1)= 4.23 =32
(2,1)ux 1u fy(2,1)u2rSehingga D f (2,1) f
=48 . (4/5) + 32 . (3/5)
= 288/5
5 5 5
Contoh
2/11/2010 54
2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz padartitik P(1,2, /2) dalam arah vektor a i 2 j 2 k
Jawab:
2(1,2, )u
2xu
1 fy(1,2,
2)u2 fz(1,2,
2)
u3
D f (1,2, ) fr
Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a
a
a
3 3 3
i 2 j 2k 1 2 2 i j ku r
rr
fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2fx (x,y,z)= y sinz
fy (x,y,z)= x sinz
9
fx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1
fz (x,y,z)= xy cosz fz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0
Contoh (Lanjutan)
55
2(1,2, )u
2xu
1 fy(1,2,
2)u2 fz(1,2,
2)
u3
D f (1,2, ) fr
Sehingga
=2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3)
= 4/3
Latihan
56
pada titik P yang1. Tentukan turunan berarah fungsi fdiberikan dalam vektor a
a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j
b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j
c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + 3 j
d. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)
e. f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)
2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini
a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x2–y2 , P(–1,2)
b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)
c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1)
Latihan (lanjutan)
57
y
x y3. Misal f(x,y) .Tentukan u sehingga D f (2,3)
0ur
4.r
0 0 u 0 0Jika f (x , y ) i 2 j ,Tentukanu sehingga Drf (x ,y ) 2
5. Diketahuiur dan
55
3 ˆ 4 ˆi jD f (1, 2) 5 jika u
r
vr
5 5
4 ˆ 3 ˆi jD f(1,2) 10 jika v r
a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)
b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)
Bidang Singgung
58
Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari Spada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melaluirPo dan tegak lurus pada f (a, b,c)
Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidangsinggung di titik (a, b, c) adalah :
Fx(a,b,c) (x–a) + Fy(a,b,c) (y–b) + Fz(a,b,c) (z–c) = 0
Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah :
z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b)
Contoh
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari
garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 =
23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2
r
59
f(x,y, z) 2x i 2y j 4z k
f(1,2,3) 2 i 4 j 12 k
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
2(x – 1) + 4(y - 2) + 12 (z – 3) = 0
2x + 4y + 12 z = 46
Contoh (Lanjutan)
60
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t
Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
x 1
y 2
z 3
2 4 12
Contoh
61
2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5)
Jawab:
2fx(x,y) 2x 2y 3y
fy(x,y) 2x 6xy
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah
(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2)
6x + 10y + z = 21
fx(1,2) 2 412 6
fy(1,2) 2 12 10
Contoh
62
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t
Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal
x 1
y 2
z 5
6 10 1
Latihan
63
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan
a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)
2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2–2xy–y2–8x+4y
dimana bidang singgungnya mendatar (sejajar bidang XY)
3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 danx2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama
4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 – 6t
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
64
Definisi
Misalkan (x0,y0) Df, maka
f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df
f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df
f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.
Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan
bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).
65
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis
Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu
Titik-titik batas Df
Titik Stasioner
Titik Singular
Uji Nilai Ekstrim
66
Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:
Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yangkontinu di sekitar (x0,y0),
dan
f (x0 , y0 ) 0r
D D(x0 , y0 ) fxx (x0 , y0 ).fyy (x0 , y0 )fxy (x0 , y0 )2
maka
1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan fxx (x0 , y0) 0
fxx (x0 , y0 ) 02. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan
3. f(x0,y0) titik pelana jika D<0
4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan
Contoh
67
1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
f(x,y) = 2x4–x2+3y2
Jawab
fy(x,y) = 6y
fyy(x,y) = 6
fx(x,y) = 8x3 – 2x
fxx(x,y) = 24x2 – 2
fxy(x,y) = 0
Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu
2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½8x3 – 2x=0
6y =0 y = 0
Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)
Contoh (lanjutan)
68
Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:
fxx fyy fxy D Keterangan
(0,0) – 2 6 0 –12 Titik pelana
(½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum
(-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum
Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.
Contoh
69
2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}
Jawab
fy(x,y) = – 2y
fyy(x,y) = –2fx(x,y) = 2xfxx(x,y) = 2
fxy(x,y) = 0
Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S),
sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)
Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat
f(t)=cos2 t – sin2t+1
(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)
Contoh (lanjutan)
70
Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:
f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0
t= 0, /2, , 3/2
Untuk t = 0
sin2t= 0 2t= 0, , 2, 3
x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2
Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0
Untuk t = x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2
Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)
Latihan
71
1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari
a. f(x,y) = x3+y3-6xy
b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2
c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1
d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y
2 4e. f(x,y) xy x y
2 2
f. f(x,y) e(x y 4y )
2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari
a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}
b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y 1}
g (x, y) =0
Metode Lagrange
72
Untuk mencari nilai ektrim terkendala
Misalkan z =f(x,y) dengan kendala
g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala (batas) g.
Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi
f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut :
Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0
sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiapx, y Df sepanjang g (x, y) = 0
Karena kurva ketinggian dan kurva kendala salingmenyinggung garis tegak lurusnya sama karena
f (x, y) g(x, y)r r
rkurva ketinggian f dan kurva kendala
maka
Metode Lagrange
73
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan
r r f (x0 , y0 ) g(x0 , y0 ) dan g(x0 , y0 ) 0
dengan (x0,y0) titik kritis, pengali lagrange
Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan
r r r f (x0,y0) g(x0,y0) h(x0,y0)
dengan (x0,y0) titik kritis, pengali lagrange
, g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0
Contoh
74
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari
1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1
Jawab:r r f (x,y) 2x i 2y j g(x,y) 2x i 2y j
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikut
r rg(x, y) 0dan f (x,y) g(x,y)
yaitu:2x = 2x …….(1)
– 2y = 2y …….(2)
x2+y2 = 1 ……..(3)
Contoh (lanjutan)
2/11/2010 75
Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga
Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = ± 1
Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = ± 1
Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)
Untuk (1,0) f(1, 0) = 2, untuk (-1,0) f(-1, 0) = 2
Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)
dan (0,-1)
Contoh
76
2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan
lagrange berikut
Jawab:
f (x,y) i 2 j 3 k g(x,y) 2x i 2y jr r
h(x,y) j kr
r r r f (x,y, z) g(x,y, z) h(x,y, z), g(x,y, z) 0
dan h(x, y,z) 0
yaitu: 1 = 2x ……………(1)
2 = 2y + …….(2)
3 = ……………….(3)
x2+y2 = 2 ……..….(4)
y + z = 1 ……..…..(5)
Contoh (lanjutan)
2/11/2010 77
Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = ± ½.
Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2).
Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).
Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),
Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)
Latihan
78
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun atau minimun dari
1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0
2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1
3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1
4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12