05-GEOMETRIA

Academia Preuniversitaria LOBACHEVSKI

Geometra

93

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dos segmentos CDyAB son proporcionales a otros dos,

RTyPQ , si:

CD

AB =

RT

PQ

Ejemplo:

AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm, como CD

AB=

2

1 y

RT

PQ=

2

1, entonces CDyAB son proporcionales a

RTyPQ .

TEOREMA DE THALES

Tres o ms rectas paralelas, determinan en una recta secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas

Si: 321 L//L//L

Entonces: EF

DE

BC

AB

Tambin: EF

DF

BC

AC

DE

DF

AB

AC

COROLARIO

Si: 321 L//L//L por Tales: NC

BN

MA

BM

en el ABC: si AC//MN se cumple:

NC

BN

MA

BM

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR En todo tringulo, los lados concurrentes con una bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa.

En el ABC:

n

m

a

c

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En todo tringulo, los lados concurrentes con una bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por

dicha bisectriz en el lado al cual es relativa.

En el ABC:

n

m

a

c

TEOREMA DEL INCENTRO En todo tringulo el incentro determina en la bisectriz segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ngulo bisecado y el tercer lado.

En el ABC I: incentro

b

ca

n

m

PRCTICA DIRIGIDA

01. A partir del grfico mostrado se pide calcular x, si PQ es

paralelo a BC y AD .

A) 2 B) 3 C) 1 D) E) 2/3

02. En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar FH EG, si

EH = 27.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

03. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4.

Halla MO, si MP = 45 y L1 // L2 // L3

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

04. En la figura se cumple que: 4

BC

3

OB

2

AO . Hallar

MO, si MP = 15 y : L1 // L2 // L3.

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

A

B

C

M

L1

L2

L3

N

A

B

C D

a c

m n

A

B

C D

c a

m n

A

B

C

I

c

b

a m

n

L1

L2

L3

A

C 1,5

1 B

L4 D

E

F

G

H 2

A

B

C P

N

M O

L1

L2

L3

A

B C

D

Q P

x

4 2 2

2


Geometra

94

A) 3,3 B) 1,6 C) 5

D) 6.6 E) 7

05. Los lados AB y BC de un tringulo ABC miden respectivamente 18 m y 30 m. Por un cierto punto M del

lado AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN = 5m, a qu distancia est M de A? A) 3 m C) 6 m E) 9 m B) 15 m D) 2,50 m

06. En un tringulo ABC, la bisectriz del A corta a BC

en M. Por M se traza una paralela al lado AB , la que

cota a AC en el punto N. Si MN = 3 m, MB = 1 m y MC =

6 m; el lado AC mide: A) 18 m C) 10 m E) 19 m B) 9 m D) 21 m

07. En un tringulo ABC: AB AC = 2, BC AB = 2 y BC +

AC = 20. Calcular el mayor segmento que determina la bisectriz en el lado de mayor longitud. A) 5,33 C) 4,25 E) 6,70 B) 6,67 D) 5,50

08. Los lados de un tringulo ABC miden BC = 6, CA = 8; AB

= 4 respectivamente. Por un punto M de AB se traza la

paralela MN al lado BC . Hallar la longitud de AM de modo que el tringulo MAN y el trapecio BMNC tengan igual permetro. A) 3,5 B) 2,0 C) 1,5 D) 2,5 E) 3,0

09. En un tringulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y

la ceviana BP que se cortan perpendicularmente. Si

3

1

PC

AP y BC = 25, hallar BD.

A) 4,5 B) 5 C) 6

D) 7,5 E) 10

10. Dado el tringulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y

la mediana BM . Hallar: AC

DM, si

5

3

BC

AB

A) 1/4 B) 1/5 C) 1/8 D) 2/7 E) 1/9

11. El permetro de un tringulo ABC es 36 cm. Hallar AC si

el segmento que une el incentro con el baricentro es

paralelo a AC . A) 8 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

12. Dos lados de un tringulo miden 7 y 9. Calcular la

longitud del tercer lado sabiendo que, en este tringulo el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al tercer lado.

A) 7 B) 3 C) 11 D) 8 E) 10

13. En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior AD y

por D la paralela DE a AC (E en AB ) si BD = 12, DC = 2 y DE = 6, hallar BE. A) 16 B) 18 C) 24

D) 32 E) 36

14. Grafique al tringulo ABC y AD bisectriz interior. En los

tringulos ADB y ADC, DE y DF son tambin bisectrices interiores en ese orden. Si AE = 30; EB = 10 y FA = 24, hallar FC. A) 5 B) 4 C) 6

D) 12 E) 8

PROBLEMAS PROPUESTOS

15. En la figura se tiene que EF//CD//AB . Calcular

DF BD.

A) 8,5 B) 7,5 C) 8,6 D) 7,6 E) 7

16. Del grfico calcular y x si L1 // L2 // L3.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

17. Hallar AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7.

A) 3 B) 2 C) 1

D) 3,5 E) 1,5

18. En el tringulo rectngulo ABC, BD es bisectriz del

B, AD = 8, DC = 10, entonces el lado BC mide:

A) 10 B) 8 C) 12 D) 16 E) 30

19. En un tringulo ABC, AB = 4, BC = 8 y AC = 6, se traza

la bisectriz exterior BE (E en la prolongacin de CA ). Calcular EA. A) 5 B) 4 C) 8 D) 2 E) 6

L1

L2

L3

A

B

C

M

N

P

O

A

B

C

D

E

F

4 7

2x+1 5x5

L1

L2

L3

x

y x3

y+4

8

10

R A

B

C

A B

C

D 2x+3

2x3


Geometra

95

DEFINICIN.- Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres

ngulos interiores de igual medida y los lados homlogos respectivamente proporcionales.

Notacin l ABC ~ PQR

El smbolo se lee: es semejante a Dados dos tringulos semejantes llamaremos lados homlogos, uno en cada tringulo, a aquellos opuestos a ngulos congruentes. * OBSERVACIN

En dos tringulos semejantes sus lados homlogos son

proporcionales as como sus elementos homlogos (altura, bisectriz, mediana, etc.) Se llama elementos homlogos a los elementos de uno y otro

tringulo semejante que se encuentra en relacin directa.

El ABC ~ PQR

K: Razn de semejanza. 2. CRITERIOS DE SEMEJANZA Son:

2.1 Primer caso.- Dos tringulos sern semejantes si tienen por lo menos dos ngulos de igual medida

El ABC ~ PQR

2.2 Segundo caso.- Dos tringulos sern semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre dichos lados de igual medida.

El ABC ~ PQR

2.3 Tercer caso.- Dos tringulos sern semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

El ABC ~ PQR

* OBSERVACIN

1) Si: AC//MN

El ABC ~ MBN

2) Si: AC//MN

El ABC ~ MBN

3) En todo tringulo Oblicungulo, al trazar las alturas de dos de sus vrtices, los pies de dichas alturas y el tercer vrtice son vrtices de un tringulo semejante al tringulo dado. a.- Si a < 90

Si AQ y CP son alturas del ABC

El QBP ~ ABC y

C A

B

P

Q

R

c

b C A

B

ck

bk P

Q

R

c

b

a

C A

B

ck ak

bk P

Q

R

M N

C A

B

A C

M N

B

C A

B

P

Q

R

M S N T

c

b

a

C A

B

ck ak

bk P

Q

R

C A

B

P

Q


Geometra

96

b.- Si a > 90

Si AQ y CP son alturas del ABC

El QBP ~ ABC y 4) Si en un tringulo trazamos una ceviana interior BM, tal que

m MBC = m BAC, entonces BC es media proporcional entre AC y MC.

En el ABC, si BM es ceviana interior y m MBC = m BAC

=

5) Si: AB // MT // PC

Entonces:

6) En el grfico, si BC // MN // AD.

Entonces:

PROBLEMAS PROPUESTOS

PRCTICA DIRIGIDA

01. Hallar PQ, si PQ // AC

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

02. En la figura, hallar x si el permetro del PQR es 147.

A) 35 B) 42 C) 49 D) 56 E) 70

03. En la figura se pide el lado del rombo ADEF si: AB = 15

y AC = 10.

A) 6 B) 8 C) 5

D) 4 E) 7

04. En la figura se pide EF si ABCD es un cuadrado de lado 12 y BM = MC.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 8,5

05. Hallar el lado del cuadrado PQRS si AP=4 y SC=9.

A) 4 B) 5 C) 6

C A

B

P Q

D

C A

B

A

B

C

P

M

T

N

A

B C

D

M


Geometra

97

D) 7 E) 8

06. Hallar BC si AF = 16 y FB = 2.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

07. Sobre el cateto AB de un tringulo rectngulo ABC,

recto en B, se ubica un punto P y sobre la hipotenusa el punto medio M tal que mPMB=90. Si: AP=2 y PB=4; calcule la longitud de la hipotenusa AC.

A) 4 3 B) 2 3 C) 4

D) 6 E) 6 3 08. En un tringulo ABC, AB = 8; BC = 12 y AC = 10. Por un

punto P de AB se traza PQ // AC (Q en BC ).

Calcular BP para que el permetro del tringulo BPQ sea igual al permetro del trapecio APQC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 7

09. En un trapecio rectngulo las bases miden 4 y 9 u. Hallar la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares entre si. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E)8

10. En la figura, hallar x si a=12 y b=4.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2,5 E) 3,5

11. En un tringulo ABC, la prolongacin de la bisectriz

interior BD , corta a la circunferencia circunscrita en el

punto E. Hallar la longitud de AE , si BD = 16 y DE = 9.

A) 12,5 B) 7 C) 10

D) 12 E) 15

12. En un paralelogramo ABCD, 3BC = 2CD, sobre AC se

ubica un punto Q tal que la distancia de Q en AB es

3u. Calcular la distancia de Q a AD .

A) 3,5 u B) 2 C) 3 D) 4 E) 4,5

13. Los lados AB y AC de un tringulo ABC miden 8 y

10u; si la distancia del incentro al vrtice A es de 5u. Calcular la distancia del incentro al excentro relativo al

lado BC .

A) 18 u B) 15 C) 11,5 D) 11 E) 17

14. Calcular el lado del cuadrado PQRS sabiendo que: b = 6 y

h = 4.

A) 4 B) 4,8 C) 5 D) 5,2 E) 2,4

15. En el grfico: PQ = 6; QM = 2 y R = 5. Hallar la mayor

flecha correspondiente a la cuerda AB .

A) 1,6 B) 2,8 C) 8,4 D) 7,1 E) 7,8

EN TRINGULOS RECTNGULOS

PRCTICA DIRIGIDA 01. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 5 y 12m.

Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

A) 4 B) 5 C) 15/13 D) 60/13 E) 25/13

02. En la figura: m

n=

4

25; hallar:

a

b.

A) 4/25 B) 2/25 C) 4/5 D) 2/5 E) 3/5

03. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 y CF=2. Hallar DE.


Geometra

98

A) 3 B) 4 C) 5

D) 8/3 E) 10/3

04. En la figura, se pide la proyeccin de AB sobre la recta

L.

A) 12 B) 10 C) 15 D) 16 E) 17

05. La suma de los cuadrados de los lados de un tringulo

rectngulo es 200m2. Calcular la hipotenusa.

A) 5 B) 10 C) 10 2

D) 10 3 E) 5 2

06. AB y BC son dimetros. SiPQ

QH =

1

2 y HB=8.

Calcular el valor de BC

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16

07. La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de

altura 9 cm. Calcular el radio de la rueda.

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20

08. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 16, siendo M

punto medio de AD . Calcular el radio de la

circunferencia

A) 8 B) 10 C) 12

D) 14 E) 4 2

09. Si ABCD es un cuadrado, BE = 1 y EC = 9. Calcular EF.

A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 8

10. Las diagonales de un rombo miden 6 y 8. Calcular el

radio de la circunferencia inscrita a dicho rombo. A) 2 B) 3 C) 2,4 D) 3,2 E) 3,6

11. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B se traza la

altura BH y la bisectriz interior AQ las cuales se

cortan en P. Calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2. A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 2 3 12. Hallar r, si el lado del cuadrado ABCD es 8.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 3,5

13. Hallar el radio del crculo menor si: R = 36 y r = 9. PQ

es tangente.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Si: AO = OB = 16. Hallar r.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

15. Calcular MN, si: a2 + b2 = 36 siendo M y N puntos

medios de DE y AC .


Geometra

99

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

EN TRINGULOS OBLICUNGULOS

PRCTICA DIRIGIDA

01. Hallar AH, si: AB = 5; BC = 7 y AC = 10.

A) 2,8 B) 3 C) 1,5 D) 2 E) 3,5

02. Hallar PA, si AB = 3; BC = 4 y AC = 2.

A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3 D) 3/4 E) 3/5

03. Calcular la longitud de la menor mediana de un tringulo

cuyos lados miden 7; 9 y 14 cm.

A) 3 cm B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

04. Calcular la mayor altura de un tringulo cuyos lados

miden 5; 6 y 7 cm.

A) 2 6cm B) 12 6/5 C) 6 6/5

D) 12 6/7 E) 6

05. Hallar BD, si: AB = 6; BC = 8 y AC = 7.

A) 6 B) 2 6 C) 3 D) 6 E) 4

06. Hallar BE, si: AB = 14; BC = 6 y AC = 12.

A) 2 6 B) 57 C) 95

D) 105 E) N. A. 07. Calcular el lado del rombo ABCD, si: AM = MB; MD = 9 y

MC = 13.

A) 10 B) 12 C) 9 D) 8 E) 13

08. Las bases de un trapecio miden 10 y 24. Los lados no

paralelos miden 13 y 15. Calcular la altura del trapecio. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

09. Las bases de un trapecio miden 4 y 10; los lados no

paralelos miden 5 y 7. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

A) 7 B) 2 7 C) 6

D) 3 5 E) 3 7 10. En el grfico: AD = 14; DC = 6 y AC = 10. Hallar EC.

A) 29 B) 2 5 C) 3 15

D) 30 E) 2 15

11. En la figura se pide BT si: AB=5; BC=7 y AC=6 adems

T es punto de tangencia.

A) 5 B) 6 C) 2 3

D) 4 3 E) 15 12. Calcular la menor altura de un tringulo cuyos lados

miden: 5; 6 y 7.


Geometra

100

A) 23

7 B)

26

7 C)

32

7

D) 29

7 E) N. A.

13. En la figura, calcular BP, si: AB. BC=32 y BP=PQ.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 3,5 E) 4,5

14. Hallar PC, si: r = 5.

A) 5 2 B) 5 3 C) 2 5

D) 4 5 E) 2 10

15. Hallar AE, si: R = 2 5 y r = 3.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 2 7 E) N. A.

EN LA CIRCUNFERENCIA 01. En la figura: AM = 12; MB = 9 y MC = 4. Calcular DM.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 27 E) 30

02. En la figura: AB = 8; BC = 10 y AF = 16. Calcular el valor de AE.

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 10

03. Calcular AT, si: AB = 4 y BC = 12.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 6 E) 12

04. En la figura ABC es un tringulo equiltero. Si: FA = 4;

FB = 9, calcular FC.

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

01. Los lados de un tringulo ABC miden 13 dm, 14dm y 15

dm. Calcular el rea de la regin triangular ABC.

A) 74 dm2 B) 80 C) 82 D) 84 E) N.A.

02. En un tringulo los lados miden 5 dm, 6 dm y 7 dm.

Calcular el valor del inradio.

A) 3

25 dm B)

2

36 C)

2

32

D) 6 E) 6 6 03. ABC es un tringulo equiltero si: FC = EB + 1,

AC = 5(EB) = 10. Calcular el rea del tringulo sombreado EBF.


Geometra

101

A) 5

36 B)

4

92 C)

7

23

D) 7

96 E)

7

27

04. La circunferencia inscrita en un tringulo rectngulo,

determina sobre la hipotenusa dos segmentos que miden 4 dm y 6 dm. Calcular el rea de dicho tringulo rectngulo.

A) 12 dm2 B) 16 C) 20 D) 24 E) 26

05. Calcular el rea de un dodecgono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.

A) 52 dm2 B) 60 C) 80 D) 108 E) 120

06. Si: AB=6, BC=8 y R=4 dm. Calcular el rea del tringulo.

A) 18 B) 26 C) 28 D) 36 E) 38

07. Las bases de un trapecio miden 4 dm y 8 dm, su altura

es de 2 dm. Calcular el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos medio de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos.

A) 1 dm2 B) 2 c) 3 D) 4 E) 5

08. Los lados de un tringulo miden 3 2 dm, 26 dm y 2 5 dm. Calcular el rea el tringulo mencionado. A) 4,5 dm2 B) 6 C) 7

D) 9 E) 10

09. Los exradios de un tringulo rectngulo miden 6 dm y 9 dm (relativos a los catetos). Calcular el rea de la regin

de dicho tringulo. A) 27 dm2 B) 36 C) 45

D) 54 E) 60 10. E y F son puntos de tangencia. Si O es el centro.

Calcular la relacin de las reas sombreadas.

A) 1/2 B) 2 C) 3 D) 1 E) 2/3

11. Grafique al tringulo ABC de incentro O y excentro E

relativo al lado BC . Sea EQ un exradio (Q pertenece a

la prolongacin de AC ) y sea de 20 dm2 el rea de la

regin triangular ABC. Calcular el rea de la regin

triangular AOQ.

A) 10 dm2 B) 20 C) 5

D) 15 E) 8 12. Grafique una circunferencia de centro O y ubique un

punto exterior tal como A. Trace las tangentes AT y

AB , luego la secante ACD de modo que: m =

m_

BD, AT=4 dm y AC= 2 dm

Calcular el rea de la regin triangular ABC.

A) 3

213 B)

3

415 C)

5

415

D) 4

315 E)

3

215

13. En un tringulo ABC la altura ha mide 4 dm y el inradio

mide 1 dm. Calcular la longitud del exradio relativo al

lado BC

A) 4 dm B) 3 C) 2 D) 1 E) N.A.

14. Grafique el pentgono convexo ABCDE de modo que: AC

= 10 dm, AB = AE, BC = CD y mA = mC = 90. Calcular el rea de dicho pentgono ABCDE.

A) 100 dm2 B) 25 C) 50 D) 40 E) 75

15. Para dos vrtices opuestos de un cuadrado de lado igual

a 6 dm, se trazan dos paralelas distantes 2dm. Calcular el rea del paralelogramo que se forma.

A) 45 B) 18 C) 9 153

D) 3

2( )153 - 3 E) 2

3( )153 - 3


Geometra

102

01. En la figura BC // AD y AD = 2BC

Hallar la relacin entre el rea sombreada y el rea del cuadriltero ABCD.

A) 2/3 B) 1/4 C) 1/3

D) 2/5 E)

02. En un trapecio rectngulo ABCD ( BC // AD ) se sabe

que: BC=6; AD=8 y el rea del trapecio es 28 m2. Calcular CD.

A) 5 B) 2 5 C) 3 5

D) 4 5 E) 8 03. Los cuadrados ABCD y DEFH tienen reas 45 y 20

cm2 respectivamente. Hallar el rea de la regin

sombreada.

A) 15 cm2 B) 30 C) 18 D) 12 E) 16

04. Si: BC // AD y S1 = S2, calcular x.

A) 5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7,5

05. Un terreno tiene forma rectangular, su permetro mide 46

metros y su diagonal 17 metros; entonces el rea del terreno es: A) 120 B) 240 C) 60 D) 280 E) 140

06. Calcular el rea de un rombo cuyo lado mide 13 y una de sus diagonales mide 24.

A) 100 B) 140 C) 120 D) 60 E) 160

07 Las bases de un trapecio rectngulo miden 8 y 12. Calcular el rea de dicho trapecio si el segmento que une

los puntos medios de las bases mide 6.

A) 20 B) 40 C) 20 2

D) 40 2 E) 50 2

08. Calcular el rea del tringulo AMN si ABCD es un rombo de 16m2 de rea, adems M y N son los puntos

medios de DC y BC .

A) 12 m2 B) 8 C) 6 D) 4 E) 10

09. Cunto vale la suma de las diagonales de un rombo si su

rea es 600 m2 y su permetro 100m. A) 60 m B) 70 C) 80

D) 90 E) 100 10. En la figura, hallar el menor valor de x para que el rea

del rectngulo sombreado sea 30m2.

A) 4 m B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

11. Calcular el rea de la regin sombreada, si:

AE = 2u y FB = 1 u.

A) 6 u2 B) 8 C) 9

D) 12 E) 10 12. En el grfico, hallar el rea de la regin sombreada


Geometra

103

A) 16 B) 18 C) 17 D) 19 E) 20

13. Hallar el rea del tringulo OPQ siendo O, P y Q los

centros de los crculos tangentes de radios 9; 16 y 4.

A) 75 B) 100 C) 150 D) 200 E) 300

14. En un cuadrado de 6m de lado se inscribe un rectngulo

de 8m de diagonal con la condicin de que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado. El rea del rectngulo es:

A) 2m2 B) 2 5 C) 4 5 D) 4 E) 8

15. Si ABCD es un paralelogramo, halle Sx, si: S1=7u2; S2 =

5u2 y S3 = 3u2.

A) 10u2 B) 12 C) 15 D) 20 E) 7,5

01. Calcular el rea de un crculo si su dimetro es igual al

lado de un cuadrado de rea 36m2.

A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12

02. Halle el rea de un crculo inscrito en el sector circular

mostrado, si: R = 6.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

03. En un trapecio rectngulo el permetro es 18u y el lado

mayor no paralelo es 7u. El rea del crculo inscrito en el trapecio es:

A) 2 B) C) /2

D) 3 E) N. A.

04. Halle el rea sombreada si: AO=OB=10, adems PRQS es

un cuadrado.

A) 5-8 B) 10-80 C) 10(5-8) D) 10(5-4) E) N. A

05. Hallar r, si: S1 + S2 = 16.

A) 4 B) 8 C) 2

D) 2 2 E) 4 2 06. Hallar el rea de la corona circular mostrada si: AB=2 m

(T : Punto de tangencia)

A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

07. Calcular el rea de la corona circular sabiendo que: AB =

12 y CD = 8.

A) 8 B) 16 C) 20 D) 24 E) 25

08. Si: AO = OB, calcule: x/y


Geometra

104

A) 1/2 B) 2/3 C) 1 D) 3/4 E) 4/5

09. Calcular el rea de la regin sombreada, si: AO=OB y

R=2.

A) (2 2-1) B) ( 2-1) C) (3 2-1)

D) (4 2-3) E) N. A. 10. Hallar el rea Sx, si: S1 + S2 + S3 = 100u2.

A) 50 B) 100 C) 80 D) 120 E) 200

11. En la figura, hallar: S2 - S1 si el lado del cuadrado

ABCD es igual a 4cm.

A) 3-8 B) 2(3-8) C) 2(3-4) D) 2(3+4) E) N. A.

12. Hallar el rea sombreada si el lado del cuadrado ABCD es

igual a 4cm.

A) -2 B) +2 C) 2(-2) D) 2(+2) E) N. A.

13. Determinar el rea de la regin sombreada, si ABCD es

un cuadrado de lado 4u.

A) 16-9 B) (32-9)/2 C) 32-9 D) 16-5 E) N. A.

14. Calcular el rea de la regin sombreada, si: CF=6.

A) 9 B) 18 C) 12 D) 6 E) 20

15. En la figura AM = MC, hallar el rea de la regin

sombreada si el dimetro AB mide 20u.

A) B) 2 C) 5 D) 10 E) 20

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05-GEOMETRIA