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1
KRIGAGEM (Krigeage, Kriging)
A Teoria das Variáveis Regionalizadas tornou possível a Geoestatística
Qualquer variável dependente do espaço e/ou tempo em que, além do caráter aleatório, apresente um caráter estrutural pode ser tratada como V.R. e sofrer uma análise segundo o formalismo desenvolvido pela Geoestatística.
2
Aplicações da geoestatística
Lavra e prospecção
Agricultura de precisão
Análise espacial de crimes
Cartografia
Climatologia
Ecologia da paisagem
Engenharia Florestal
Epidemiologia
Geologia ambiental
Geologia do petróleo
Geotecnia
Hidrogeologia
Pedologia
Softwares para Confecção de Mapas ou Sistemas de Informações Georreferenciadas (Exemplo: SPRING)
3
A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivo o estudo e a representação estrutural das V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a partir de dados experimentais medidos sobre suportes que não abrangem totalmente tais domínios
(Problema clássico da inferência estatística quando se pretende estudar uma população por meio de amostragem)
O melhor estimador para um V.R. deve levar em consideração as respectivas posições relativas e, portanto, a característica estrutural
Estimativas são sempre afetadas por erros e é necessária a avaliação da precisão da estimativa
4
Krigagem
Método geoestatístico estimador que leva em consideração as características espaciais de autocorrelação de variáveis regionalizadas
Nas variáveis regionalizadas deve existir uma certa continuidade espacial, o que permite que os dados obtidos por amostragem de certos pontos possam ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja desconhecido
Ao ser constatado que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, não há sentido lógico em estimar/interpolar usando-se a krigagem 5
Análise geoestatística
Estimação Krigagem simples
Krigagem ordinária (normal)
Krigagem universal
Krigagem indicativa
Co-Krigagem
Simulação
(A estimativa por krigagem tenta obter acurácia e
a simulação tenta atingir realismo)
6
2
Único meio disponível para se verificar a existência ou não de continuidade espacial é, se houver, por meio da análise variográfica que determinará os parâmetros que caracterizam o comportamento regionalizado
Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por médias móveis, pelo qual os pesos adequados são obtidos a partir de um variograma, representativo da média das diferenças ao quadrado dos valores de Z(xi) distribuídos a intervalos de distâncias especificados (lags h)
7
Necessidade de um sistema de equações normais em matrizes, na qual são usados os parâmetros variográficos para a obtenção dos pesos a serem utilizados para o cálculo do valor do ponto a ser estimado/interpolado
Quando um variograma é adequadamente elaborado, a estimativa por krigagem resultante é reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e não tendenciosa (BLUE = best, linear, unbiased estimate)
8
A krigagem pode ser usada para:
Previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato que leva em consideração todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por computador quando se dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos por uma determinada área;
Cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida a partir de informações obtidas de testemunhas de sondagens
9
O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores associados a cada um dos pontos estimadores baseia-se na ideia que quanto maior a covariância entre uma amostra xi,
i=1, 2, ..., n, e o local que está sendo estimado, x0,
mais essa amostra deve contribuir para a estimativa. Num método geométrico, como o do inverso do quadrado da distância, o peso entre a amostra xi e x0 também diminui à medida que a amostra fica mais longe, mas essas distâncias são euclidianas. 10
No caso da estimativa por krigagem as distâncias são basadas na análise variográfica e alem desse
relacionamento entre pontos estimadores e o ponto a ser estimado ha tambem o relacionamento entre os pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o agrupamento presente. O sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a distância entre amostras como o seu agrupamento.
11
Estimativa do ponto A
12
3
Inverso da distância
13
Krigagem ordinária pontual
14
Krigagem
Estimação por uma combinação linear ponderada
O erro cometido deve ter uma esperança zero
Procura pela máxima precisão
15
Cálculo dos ponderadores li
O valor estimado por krigagem Z*(xi) é uma combinação linear de n Variáveis Regionalizadas.
O valor estimado é não enviesado
A variância da estimativa é minimizada
16
Krigagem ordinária (normal)
17
Quando valores de uma variável regionalizada apresentam media constante, porem desconhecida, o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os ponderadores ótimos que minimizem a variância do erro de estimação.
Um valor amostral, obtido num ponto, é uma realização parcial de uma função aleatória Z(x), onde x denota a localização espacial.
Para a estimativa de um valor em um local não amostrado, Z(x0), são utilizados realizações parciais Z(x1), Z(x2),...Z(xn), localizadas segundo coordenadas conhecidas.
Z*KO = l1 Z(x1) + l2Z(x2) + ... + lnZ(sn), onde os li são os pesos atributos a cada valor conhecido.
18
4
•Existe associado a esse estimador um erro, =Z(x0)-Z*KO(x0); uma maneira simples seria representá-lo pela variância da estimativa: 2(s0)=Var[Z*KO(x0)-Z(x0)] •A variância não pode ser obtida porque não se conhece o valor real que se esta estimando e, portanto, também não se sabe qual o erro associado; a solução é transformar a expressão em termos de quantidades que possam ser calculadas: Z(x) honra a hipótese intrínseca: E[Z(x)] = m
Var[Z(sx)-Z(sx+h)] = 2g(h),
•(A media é constante, mas como não entra no cálculo, pode continuar desconhecida).
19
Variância dos erros: = desvios ao quadrado em relação ao erro médio = média de [(Z(x0) – Z*(x0)]
2.
Para estimar tal medida utilizar o variograma, em que são medidas as diferenças de valores ao quadrado.
Num variograma, previamente calculado, dada uma distância h entre os pontos, pode-se estimar a variância
simplesmente lendo o valor no eixo dos g´s
g(xi,xj): variância entre os pontos estimadores
g(xi,x0): variância entre o ponto estimador i e o ponto a
ser estimado
20
É introduzido o multiplicador de Lagrange (m) porque os pesos l devem somar 1
Representa o balanço entre como os valores estimadores se relacionam com o valor a ser estimado e como se relacionam entre si.
A variância da krigagem é homoscedástica
Independe dos valores dos pontos usados para obter o estimador Z*(x0)
Mede apenas a configuração espacial dos dados
21
Krigagem ordinária para a estimativa de um ponto x0
Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o) ao valor obtido por estimativa krigada
[l] = [A]-1 [B]
22
Krigagem simples
Conhecimento da média.
Para krigagem pontual:
Z*ks(x0) = Σlz(xi) + [1-Σli]m
A soma dos pesos li não esta restrita a 1
Σlig(xi,xj) = g(x0, x ) para j = 1,2, ...N
Não há necessidade do multiplicador de Lagrange
Para variância da krigagem:
S2ks(x0) = Σlig(xi,x0)
23
Krigagem ordinária pontual
Ponto
Pontos
xi
xi
yi
yi
valor
zi
1 0 30 500
2 30 30 450
3 0 0 550
4 30 0 490
X 15 15 ?
1 2
3 4
X
D1,2 = D1,3 = D2,4 = D3,4 = 30km;
D1,4 = D2,3 = 42,43km; D1,X = D2,X = D3,X = D4,X = 21,21km Modelo linear: g =5h, fornece as variâncias: 21,21: 106,05 km 30,00: 150,00 km 42,43: 212,15 km
24
5
Cálculo dos pesos li
25
Sk = 9,169
Intervalo de confiança: 9,169 * 1,96=18 m.
Estimativa do ponto X: 497,50m±18m
26
1(X) 2
3 4
1
15.212
150
150
0
]B[
g
0
0
0
1
][
Interpolador exato 27
Modelo esférico: Valor de C (variância espacial): 700 ppm2 Valor de C0 (efeito pepita; variância aleatória): 100 ppm2
Valor do patamar, soleira ou sill: C+C0 = 800 (valor de g,
segundo o qual o variograma se estabiliza)
Amplitude de influência(a): 100 pés.
g(h) substitui a distância euclidiana g(h = 322,7
5
3
2 1
4
800
322.7
100 (Co)
Co+C
100 21.54
A
28
h≤a: campo estruturado até a distância 100
h>a: campo aleatório alem da distância 100
29
Modelo esférico
*755.2 ou 800.00? a=100; 800
30
6
A,xi]xi,xi[
1
9,714
5,405
9,420
3,581
7,322
011111
101,7458,7780,8005,790
11,74509,6599,6420,403
18,7789,65903,5814,491
10,8009,6423,58105,415
15,7900,4034,4915,4150
5
4
3
2
1
glg
m
l
l
l
l
l
31
lgl
697618,09
087777,0
266999,0
300746,0
028330,0
372812,0
A,xixi,xi1
20,27 * 1,96= 39,73 Valor do ponto A deve estar entre 336,72 e 416,28.
32
Exemplo: valores para Cd (GeoEAS)
ID X Y Cd
1 288 311 11.5
1 285.6 288 8.5
2 273.6 269 7
3 280.8 249 10.7
4 273.6 231 11.2
5 276 206 11.6
6 285.6 182 7.2
7 288 164 5.7
8 292.8 137 5.2
9 278.4 119 7.2
10 360 315 3.9
11 355.2 291 9.5
12 367.2 272 8.9
13 367.2 250 11.5
14 352.8 226 10.7
15 350.4 203 8.3
16 369.6 180 6.1
17 369.6 165 6.7
18 357.6 139 6.2
19 355.2 118 0
20 434.4 312 5.5
21 …………..
Localização dos pontos com valores de Cd
Determinação de h
Maior “h”: metade da maior distância entre pontos
E-W: 492-254= 238
N-S: 315-118 = 197
Maior distância = (2382 + 1972 )1/2 = 309
Maior “h” = 150
Extensão do menor “h”?
Extensão do intervalo x número de pares no intervalo
h = 2 (extensão = 75)
7
h = 75 (extensão = 2) h = 15 (extensão = 10)
h = 10 (extensão = 15)
Nuvem variográfica direção NE-SW
h = 5 (extensão = 30)
8
variograma experimental Modelagem da variável Cd pelo Variowin
Modelo esférico/Co: 6,08; C: 10,08; a: 107,19
Modelo Exponencial/Co: 3,51; C: 13,76; a: 134,37
Cd: krigagem ordinária pontual (modelo exponencial)
260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
012345678910
11
12
13
14
Cd: desvios padrão da krigagem
260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
1.8
51
.91
.95
22.0
52
.12
.15
2.2
2.2
52
.32
.35
2.4
2.4
52
.52
.55
2.6
2.6
52
.72
.75
2.8
2.8
52
.92
.95
33.0
53
.1
260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
9
Escolha do modelo linear (default do SURFER) para a variável Cd
Krigagem da variável Cd e respectivo mapa de desvios padrão dos valores estimados pela krigagem Modelo adotado: linear (SURFER)
300 350 400 450
150
200
250
300
01234567891011121314151617
300 350 400 450
150
200
250
300
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
Cd: modelo linear
Adotado o modelo exponencial os desvios-padrão tem um intervalo de variação de 1.85 até 3.1.
Quando adotado um modelo que não reflete o comportamento espacial dos dados (modelo linear), os desvios padrão se apresentam com valores maiores (0-7).
Os menores valores de desvio-padrão estão, sempre, associados aos locais com pontos de amostragem.
Importancia da análise variográfica: Krigagem ordinária para áreas (blócos)
Para a estimativa de uma ÁREA (ou BLÓCO), em lugar de apenas um ponto x0, considera-se a região com área Ar, com um centro x0. Desse modo as variâncias entre os pontos amostrados (x1, x2, x3 ...xn) e o ponto interpolado da situação anterior são substituídos pela média das variâncias entre os pontos amostrados e os pontos dentro da área Ar.
52
Em notação matricial:
Para a solução dos coeficientes li e m: [li] = [xi,xi] -1 * [xi,Ar]
53
Cálculo da variância associada ao valor obtido pela estimativa (²)
[li]' = vetor transposto com os pesos li
[xi, Ar] = vetor com as médias dos semivariogramas entre cada amostra e a área (Ar) desconhecida a ser estimada (funções auxiliares; valores discretos )
[g(Ar,Ar)] = média dos semivariogramas entre todos os possíveis pares de pontos dentro da área estimada por krigagem em bloco (funções auxiliares; valores discretos).
54
10
55
Estimativa do bloco Ar
56
111111
1,69601,7458,7780,8005,790
8,4461,74509,6199,6420,403
9,4568,7789,65903,5814,491
4,5720,8009,6423,58105,415
7,3565,7900,4034,4915,4150
5
4
3
2
1
m
l
l
l
l
l
l1 = 0,346; l2 = 0,023; l3 = 0,269; l4 = 0,234; l5 = 0,127; m = 19,72
Area (Ar) = Aili = 376,5 ppm (ponto A = 376,5)
g(Ar,Ar) = 344 (funções auxiliares, F(L,B)
Sk2=128.16 ppm e Sk = 11,32 ppm
Area (Ar): entre 354,35 e 398,65 ppm.
Valor do ponto A(x0) deve estar entre 336,72 e 416,28 57
Valores obtidos por krigagem em blocos são mais suavizados que valores obtidos por krigagem pontual.
58
Krigagem pontual e em bloco
Dados: espessuras de 39 poços em uma unidade sedimentar ((Hohn, M. E. (1988) – Geostatistics and Petroleum Geology: Van Nostrand Reinhold)
ID X Y ESPESSURA 1 0 24 1848 2 2.5 22 1806 3 4 25 2220 4 1 11 2513 5 6 0 3209 6 5 2 3080 7 10 2 3164 8 8 7 2164 9 5.5 11 2400 10 4 14.5 2434…
59
Localização dos pontos
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1819
20
21
2223
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
3435
36
37
38
39
0 5 10 15 20 25
0
5
10
15
20
25
30
60
11
Variograma: Surfer
0 2 4 6 8 10 12 14
Lag Distance
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
Va
rio
gra
m
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0Column D: E
1
9
12
3421
26
21
33
47
29
35
27
41
32
61
Variograma: Variowin
62
Krigagem ordinária pontual (100x100)
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
Krigagem pontual
63
Desvios padrão da krigagem
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
020
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
64
65 66
12
Krigagem em bloco 10x10
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
18
00
19
00
20
00
21
00
22
00
23
00
24
00
25
00
26
00
27
00
28
00
29
00
30
00
31
00
32
00
33
00
34
00
35
00
36
00
37
00
38
00
Krigagem em blocos
67
Desvios padrão da krigagem em bloco 10x10
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
90
110
130
150
170
190
210
230
250
270
290
310
330
350
370
390
68
Krigagem em bloco 5x5
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
190
0
200
0
210
0
220
0
230
0
240
0
250
0
260
0
270
0
280
0
290
0
300
0
310
0
320
0
330
0
340
0
350
0
360
0
69
Desvios padrão da krigagem em bloco 5x5
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
70
Exercícicio 03:
Krigagem ordinária pontual
Com o auxílio do SURFER® aplicar o algoritmo “Kriging” aos 359 dados do exercício 01.
Calcular mapas com valores estimados por krigagem pontual para apenas tres metais pesados (cádmio, cobre e chumbo). Calcular os respectivos mapas de desvios-padrão da krigagem.
Usar os dados provenientes da modelagem variográfica efetuada no exercício 03.
Os mapas resultantes deverão obedecer a área irregular abrangida pelos pontos de amostragem.
71
GRID/DATA/KRIGING
72
13
73
Contorno de áreas Após a aplicação de um algoritmo estimador, o
resultado é apresentado na forma de um mapa com dimensões regulares, um quadrado ou um retângulo, englobando, portanto, uma área maior do que aquela amostrada.
74
Mapa da distribuição de cádmio por krigagem ordinária pontual
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
75
Há, porém, situações em que se quer o resultado referente apenas à área amostrada e, portanto, restrita a um polígono irregular.
76
Localização dos pontos de amostragem sobre o mapa estimado por
krigagem para a variável Cd
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
77
Selecionar mapa: (Map|Contour map|New contour map)
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
78
14
No menu Map, escolher a opção Digitize. Em seguida marcar no mapa os pontos de contorno para a área escolhida
79
Após digitalizar os pontos de contorno para a área desejada, gravar o arquivo com a extensão *.bln.
Automaticamente será gravado o arquivo digit.bln, com as coordenadas XY referentes à área escolhida; a primeira linha/primeira coluna contem o número de pontos e a segunda coluna a opção 1. Essa opção significa que a área interna do polígono é que será omitida.
Como não é essa a intenção, entrar nesse arquivo e substituir a opção 1 por 0. Nesse caso a área externa ao polígono é que será omitida.
Regravar o novo arquivo com o nome CdK.bln
80
81
Após gravar o arquivo CdK.bln, com a opção 0, escolher no Menu Grid a opção Blank. Essa opção tem a finalidade de construir um filtro que permita construir um mapa com limites condicionados pela rede de amostragem
82
Abrir o arquivo CdK.grd que originou o mapa utilizado inicialmente.
83
•Em seguida abrir o arquivo CdK.bln •Gerar um novo arquivo contendo pontos em reticulado para a área selecionada e gravá-lo com o nome CdK2.grd
84
15
Para a impressão do arquivo CdK2.grd, entrar no Menu Map e escolher Map Contour|New map contour
85
O resultado será um mapa dos valores de cádmio estimados por krigagem, porem restrito à área amostrada.
86
O mesmo procedimento devera ser adotado para obter um mapa dos desvios-padrão da krigagem
87