Upload
rahel-dtwoer-siahaan
View
1.203
Download
143
Embed Size (px)
Citation preview
1Matematika Kelas XII Program IPS
Integral
Integral Fungsi Aljabar
• Integral tak tentu• Integral tentu
• Integral substitusi• Integral parsial
Luas daerah
• Bersikap teliti dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan.• Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar.• Mampu menentukan hasil integral tentu fungsi aljabar.• Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi.• Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode parsial.• Mampu menentukan luas daerah menggunakan integral.
Metode Pengintegralan Penggunaan Integral
2 Integral
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: e
∫ (4x3 + 12 x2 + 3x) dx
= 4 × 14 x4 +
12 ×
13 x3 + 3 ×
12 x2 + c
= x4 + 16 x3 +
32 x2 + c
2. Jawaban: b
∫ f(x) dx = ∫ x dx
= ∫ x12 dx
= 12
1
1+x
12 + 1 + c1
= 23 x
32 + c1
= 23 x x + c1
∫ g(x) dx = ∫ 2x3 dx
= 2 × 1
3 1+ x3 + 1 + c2
= 24 x4 + c2
= 12 x4 + c2
∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = 23 x x +
12 x4 + c
3. Jawaban: a
∫ 23x 4x x
x x
− dx = ∫
23x 4x x
x x x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠dx
= ∫ (3x–12 – 4x) dx
= 12
3
1− +x–
12 + 1 –
41 1+ x1 + 1 + c
= 12
3 x12 –
42 x2 + c
= 6 x – 2x2 + c
4. Jawaban: df′(x) = 3x2 + 6x – 5 dan f(–1) = 8f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (3x2 + 6x – 5) dx
= 3 × 31
x3 + 6 × 12 x2 – 5x + c
= x3 + 3x2 – 5x + cf(–1) = 8 ⇒ (–1)3 + 3(–1)2 – 5(–1) + c = 8
⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8⇔ c = 1
Jadi, f(x) = x3 + 3x2 – 5x + 1.
5. Jawaban: aMC = 1.000 – 8x + 6x2
TC = ∫ MC dx = (1.000 – 8x + 6x2) dx= 1.000x – 4x2 + 2x3 + c
x = 0 ⇒ TC = 40.000⇔ 0 – 0 + 0 + c = 40.000⇔ c = 40.000
Jadi, rumus biaya totalnya adalahTC = 2x3 – 4x2 + 1.000x + 40.000.
6. Jawaban: e4
2∫ (–x2 + 6x – 8) dx
= 41 3 2
3 2x 3x 8x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
= (–13 (4)3 + 3(4)2 – 8(4)) – (–
13 (2)3 + 3(2)2 – 8(2))
= (–643 + 48 – 32) – (–
83 + 12 – 16)
= (–163 ) – (–
203 ) =
43
7. Jawaban: e2
1−∫ (x – 1)(3x + 1) dx
= 2
1−∫ (3x2 – 2x – 1) dx
= 23 2
1x x x
−⎡ ⎤− −⎣ ⎦
= (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1)= 2 – (–1)= 3
3Matematika Kelas XII Program IPS
8. Jawaban: d3
a(2x 1)+∫ dx = 10
⇔ 2x x⎡ +⎣ x2 + x3
a⎤⎦ = 10
⇔ (9 + 3) – (a2 + a) = 10⇔ 12 – a2 – a = 10⇔ a2 + a – 2 = 0⇔ (a + 2)(a – 1) = 0⇔ a = –2 atau a = 1Jadi, salah satu nilai a adalah 1.
9. Jawaban: c
2x + y = 3 ⇔ x = 3 y
2−
1
1−∫ x dy =
1
1−∫ 3 y
2−
dy
= 12
1
1−∫ (3 – y) dy
= 12
1
1
123y y
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= 12 ((3 –
12 ) – (–3 –
12 ))
= 12 (6)
= 3
10. Jawaban: b4
0∫ f(x) dx = 2
4
2∫ 2f(x) dx = 2 ⇔ 2
4
2∫ f(x) dx = 2
⇔4
2∫ f(x) dx = 1
4
0∫ f(x) dx =
2
0∫ f(x) dx +
4
2∫ f(x) dx
⇔ 2 = 2
0∫ f(x) dx + 1
⇔2
0∫ f(x) dx = 2 – 1 = 1
Jadi, 2
0∫ f(x) dx = 1.
1. a. ∫ x4 dx = 1
4 1+ x4 + 1 + c
= 15 x5 + c
b. ∫ 31
xdx = ∫ x–3 dx
= 1
3 1− + x–3 + 1 + c
= 12− x–2 + c
= – 21
2x + c
c. ∫ 1
x x dx = ∫ x–32 dx
= 32
1
1− +x–
32 + 1 + c
= –2x–12 + c
= –2
x + c
d. ∫ 2x
x dx = ∫ x2 –
12 dx
= ∫ x32 dx
= 32
1
1+x
32 + 1 + c
= 25 x
52 + c
= 25 x2 x + c
2. a. ∫ f(x) dx = ∫ (6x2 – 3x + 2) dx
= 6 × 13 x3 – 3 ×
12 x2 + 2x + c
= 2x3 – 32 x2 + 2x + c
b. ∫ f(x) dx = ∫ x (3x – 4 x ) dx
= ∫ (3x x – 4x) dx
= ∫ (3x32 – 4x) dx
= 3 × 25 x
52 – 4 ×
12 x2 + c
= 65 x2 x – 2x2 + c
B. Kerjakan soal-soal berikut.
4 Integral
c. ∫ f(x) dx = ∫ (3x + 2)2 dx
= ∫ (9x2 + 12x + 4) dx
= 9 × 13 x3 + 12 ×
12 x2 + 4x + c
= 3x3 + 6x2 + 4x + c
d. ∫ f(x) dx = ∫ (2 x + 1)(3 x – 2) dx
= ∫ (6x – x – 2) dx
= ∫ (6x – x12 – 2) dx
= 6 × 12 x2 –
23 x
32 – 2x + c
= 3x2 – 23 x x – 2x + c
3. f′(x) = 2x + 2y = f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (2x + 2) dx= x2 + 2x + c
Kurva melalui titik (2, 5).y = x2 + 2x + c
⇔ 5 = 22 + 2(2) + c⇔ 5 = 4 + 4 + c⇔ 5 = 8 + c⇔ c = –3Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 + 2x – 3.
4. MC = 12x – 8TC = ∫ MC dx
= ∫ (12x – 8) dx= 6x2 – 8x + c
TC(5) = 130⇔ 6(5)2 – 8(5) + c = 130⇔ 150 – 40 + c = 130⇔ 110 + c = 130⇔ c = 20Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuanrupiah) adalah TC = 6x2 – 8x + 20.
5. a. f′(x) = 4 – 6xf(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4 – 6x) dx
= 4x – 3x2 + cf(3) = –12 ⇒ 4(3) – 3(3)2 + c = –12
⇔ 12 – 27 + c = –12⇔ c = 3
Jadi, f(x) = –3x2 + 4x + 3.
b.2
1−∫ f(x) dx =
2
1−∫ (–3x2 + 4x + 3) dx
= 23 2
1x 2x 3x
−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
= (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3)= 6 – 0= 6
6. f(x) = 12x2 – 4x + 2g(x) = 8 – 2x
a.−∫1
2g(x) dx =
1
2−∫ (8 – 2x) dx =
12
28x x
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (8 – 1) – (–16 – 4)= 7 – (–20)= 27
∫3
1g(x) dx = ∫
3
1(8 – 2x) dx =
32
18x x⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (24 – 9) – (8 – 1)= 15 – 7= 8
−∫1
2g(x) dx – ∫
3
1g(x) dx = 27 – 8 = 19
b.3
2f(x) dx
−∫ =
3
2−∫ (12x2 – 4x + 2) dx
= 33 2
24x 2x 2x
−⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (108 – 18 + 6) – (–32 – 8 – 4)= 96 – (–44)= 140
3
2g(x) dx
−∫ =
1
2g(x) dx
−∫ +
3
1g(x) dx∫
= 27 + 8= 35
3
2f(x) dx
−∫ +
3
2g(x) dx
−∫ = 140 + 35 = 175
c.3
2(2f(x) 5g(x)) dx
−−∫
= 23
2f(x) dx
−∫ – 5
3
2g(x) dx
−∫
= 2 × 140 – 5 × 35= 280 – 175= 105
7. a.4
0∫ 10r r dr = 10
4
0∫
32r dr
= 1052
425
0
r⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= 4(5 52 24 0− )
= 4(32 – 0)= 128
5Matematika Kelas XII Program IPS
b.2
1−∫ (2p – 5) dp =
22
1p 5p
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= ((2)2 – 5(2) – ((–1)2 – 5(–1))= (4 – 10) – (1 + 5)= –6 – 6= –12
c.2
2
4(y
−
−∫ + 2
1y
) dy
= 2
2
4(y
−
−∫ + y–2) dy
= 2
3 1
4
1
3y y
−−
−
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= (13 (–2)3 – (–2)–1) – (
13 (–4)3 – (–4)–1)
= 41
364
21
38
– −++
= –32 6 256 312
+ + −
= 12227
= 181211
d.0
2(x
−∫ – 2)(x + 5) dx
= 0
2
2(x
−∫ + 3x – 10) dx
= 0
3 2
2
1 3
3 2x x 10x
−
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
= 0 – (13 (–2)3 +
32 (–2)2 – 10(–2))
= 83 –
122 – 20
= 223 – 6 – 20 = –23
13
8. a.3
1∫ (4x – a) dx = 12
⇔32
12x ax⎡ ⎤−⎣ ⎦ = 12
⇔ (18 – 3a) – (2 – a) = 12⇔ 16 – 2a = 12⇔ –2a = –4⇔ a = 2
b.a
1−∫ (3 – 2x) dx = –14
⇔a2
13x x
−⎡ ⎤−⎣ ⎦ = –14
⇔ (3a – a2) – (–3 – 1) = –14
⇔ 3a – a2 + 4 = –14⇔ a2 – 3a – 18 = 0⇔ (a + 3)(a – 6) = 0⇔ a = –3 atau a = 6Jadi, nilai a = 6.
9. y2 = 2 – x ⇔ x = 2 – y2
a.1
1−∫ x dy =
1
1−∫ (2 – y2) dy
= 11 3
3 12y y
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (2 – 13 ) – (–2 +
13 )
= 2 – 13 + 2 –
13
= 313
b.1
0∫ (x + x2) dy
= 1
0∫ ((2 – y2) + (2 – y2)2) dy
= 1
0∫ (2 – y2 + 4 – 4y2 + y4) dy
= 1
0∫ (6 – 5y2 + y4) dy
= 6y⎡⎣ –
53 y3 +
15 y5
1
0⎤⎥⎦
= (6 – 53 +
15 ) – 0
= 48
15
10. a.5
2−∫ 2g(x) dx = 6 ⇔ 2
5
2−∫ g(x) dx = 6
⇔5
2−∫ g(x) dx = 3
b.5
2−∫ (2f(x) – 3g(x)) dx
= 25
2−∫ f(x) dx – 3
5
2−∫ g(x) dx
= 2(8) – 3(3)= 7
6 Integral
1. Jawaban: dMisalkan: u = 8 – x
dudx = –1 ⇔ –du = dx
∫ (8 – x)5 dx = ∫ u5 (–du) = – ∫ u5 du
= –16 u6 + c = –
16 (8 – x)6 + c
2. Jawaban: eMisalkan u = x2 – 2
dudx = 2x ⇔ du = 2x dx
∫ 2x 2x 2− dx = ∫ 2x 2− × 2x dx
= ∫ u du
= ∫ 12u du
= 23
32u + c
= 23 u u + c
= 23 (x2 – 2) 2x 2− + c
3. Jawaban: cMisalkan u = x2 – 6x + 2
dudx = 2x – 6 ⇔ du
dx = 2(x – 3)
⇔ du = 2(x – 3) dx∫ (x – 3)(x2 – 6x + 2) dx= ∫ (x2 – 6x + 2)(x – 3) dx
= ∫ u × 12 du
= 12 ∫ u du
= 12 (
12 u2) + c
= 14 u2 + c
= 14 (x2 – 6x + 2)2 + c
4. Jawaban: cMisalkan u = 3x2 + 9x – 1dudx = 6x + 9 = 3(2x + 3)
⇔ (2x + 3) dx = du3
∫ 2
2x 3
3x 9x 1
+
+ − dx
= ∫ (3x2 + 9x – 1)–12 × (2x + 3) dx
= ∫ 12u
− ×
du3
= 13 ∫
12u
− du
= 13 × 2u
12 + c
= 23
23x 9x 1+ − + c
5. Jawaban: aMisalkan u = x3 + 6x + 1 maka:
dudx = 3x2 + 6 = 3(x2 + 2)
⇔ (x2 + 2) dx = du3
Sehingga diperoleh:
∫122 3(x 2)(x 6x 1)+ + + dx
= ∫123(x 6x 1)+ + × (x2 + 2) dx
= ∫12u ×
du3
= 13 ∫
12u du
= 321 2
3 3 u× + c
= 29 u u + c
= 29 (x3 + 6x + 1) 3x 6x 1+ + + c
6. Jawaban: a
∫ 8x(6x – 131) dx
= 86 ∫ x(6x –
131) × 6 dx
= 43 ∫ x(6x –
131) d(6x – 1)
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
7Matematika Kelas XII Program IPS
= 43 ∫ x d
34 (6x –
431)
= 43 (x ×
34 (6x –
431) – ∫ 3
4 (6x – 431) dx)
= x(6x – 431) –
16 ∫ (6x –
431) × 6 dx
= x(6x – 431) –
16 ×
37 (6x –
731) + c
= x(6x – 431) –
114 (6x –
731) + c
7. Jawaban: a4
1∫ f(x) dx = 6
Misalkan u = 5 – x
dudx = –1 ⇔ dx = –du
x = 1 ⇒ u = 5 – 1 = 4x = 4 ⇒ u = 5 – 4 = 14
1∫ f(5 – x) dx=
1
4∫ f(u)(–du)
= –4
1∫ f(u)(–du)
= 4
1∫ f(u) du = 6
8. Jawaban: bMisalkan u = 4 – 2x
dudx = –2 ⇔ dx =
du2−
x = 1 ⇒ u = 4 – 2 = 2x = 2 ⇒ u = 4 – 4 = 02
1∫ (4 – 2x)4 dx =
0
2∫ u4 ×
du2−
= 12−
0
2∫ u4 du
= –12
01 55 2u⎡ ⎤
⎣ ⎦
= –1
10 (05 – 25)
= –1
10 (–32)
= 3,2
9. Jawaban: cMisalkan u = 9 – x3 ⇒ du = –3x2 dx
⇔ –13 du = x2 dx
32
2
3
x
(9 x )−∫ dx = ∫ (9 – x3)
32
− × x2 dx
= –13
32u
−∫ du
= –13 (–2)u
12
− + c
= 13 2
2
3(9 x )− + c =
3
2
3 9 x− + c
2
3
2 2
0 3
x
(9 x )−∫ dx =
2
30
2
3 9 x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
= 2
3 9 8− – 2
3 9 0−
= 23 –
29
= 69 –
29 =
49
10. Jawaban: c
∫ x 4x 1+ dx
= 14 ∫ x 4x 1+ × 4 dx
= 14 ∫ x(4x +
121) d(4x + 1)
= 14 ∫ x d
23 (4x +
321)
= 14 (x ×
23 (4x +
321) – ∫ 2
3 (4x + 321) dx)
= 14 (
23 x (4x +
321) –
16 ∫ (4x +
321) × 4 dx)
= 14 (
23 x(4x +
321) –
16 ×
25 (4x +
521) ) + c
2
0x 4x 1+∫ dx
= 14
3 52 2
2
0
2 13 15
( x(4x 1) (4x 1)⎡ ⎤
+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= 14 ((
23 × 2 × 27 –
115 × 243) – (0 –
115 ))
= 14 (36 –
24315 +
115 )
= 14 ×
29815
= 29860
= 42930
1. a. Misalkan u = 5 – x
dudx = –1 ⇔ dx = –du
B. Kerjakan soal-soal berikut.
8 Integral
∫ 2
5 x− dx = ∫ 2
u (–du)
= –2 ∫ u–12 du
= –2 × 2u12 + c
= –4 5 x− + cb. Misalkan u = x2 – 3
dudx = 2x ⇔ 2x dx = du
∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 × 2x dx= ∫ u3 du
= 14 u4 + c
= 14 (x2 – 3)4 + c
c. Misalkan u = 2x – 3
dudx = 2 ⇔ dx =
du2
∫ (4x – 6) 2x 3− dx
= ∫ (2(2x – 3)(2x – 3)12 dx
= 2 ∫ (2x – 3)32 dx
= 2 ∫ u32 ×
du2
= ∫ u32 du
= 25 u
52 + c
= 25 (2x – 3)2 2x 3− + c
d. Misalkan u = 4 – 3x2
dudx = –6x ⇔ x dx =
du6−
∫ 2 23x
(4 3x )− dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 × x dx
= 3 ∫ u–2 × du6−
= 36− ∫ u–2 du
= – 12 ×
11− u–1 + c
= 1
2u + c
= 21
2(4 3x )− + c
= 21
8 6x− + c
2. Misalkan u = x2 – 4x – 1dudx = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx = –2(2 – x) dx
⇔ (2 – x) dx = –12 du
x = 0 ⇒ u = 0 – 0 – 1 = –1x = 2 ⇒ u = 4 – 8 – 1 = –52
2 20
2 x
(x 4x 1)
−
− −∫ dx =
22
0(x∫ – 4x – 1)–2 (2 – x) dx
= 5
2
1u
−−
−∫ × (–
12 ) du
= –12
52
1u
−−
−∫ du
= –12
51
11u
−−−
⎡ ⎤−⎣ ⎦
= 12
5
1
1u
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= 12
15
⎛⎜ −⎝ –
11⎞⎟− ⎠
= 12 (
45 )
= 25
3. Misalkan u = x4 – 3x3 + 2
dudx = (4x3 – 9x2) dx2
0∫
3 2
4 3 2(4x 9x )
(x 3x 2)−
− + dx
= 2
0∫ (x4 – 3x3 + 2)–2(4x3 – 9x2) dx
= 2
0∫ u–2 du
= –2
0
1u⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= –2
4 30
1x 3x 2⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎣ ⎦
= –(1
16 24 2− + – 1
0 0 2− + )
= –(–16 –
12 )
= –(–46 )
= 23
4. a. ∫ x (2x – 1)4 dxMisalkan
u = x ⇒ dudx = 1
⇔ du = dxdv = (2x – 1)4 dx
9Matematika Kelas XII Program IPS
⇒ v = ∫ (2x – 1)4 dx
= ∫ (2x – 1)4 × 12 d(2x – 1)
= 12 ∫ (2x – 1)4 d(2x – 1)
= 12 ×
15 (2x – 1)5
= 1
10 (2x – 1)5
∫ u dv = uv – ∫ v du∫ x (2x – 1)4 dx
= x × 1
10 (2x – 1)5 – ∫ 110 (2x – 1)5 dx
= 1
10 x(2x – 1)5 – ∫ 110 ×
12 (2x – 1)5 × 2 dx
= 1
10 x(2x – 1)5 – 1
20 × 16 (2x – 1)6 + c
= 1
10 x(2x – 1)5 – 1
120 (2x – 1)6 + c
b. ∫ 3x 2
x 4
+− dx = ∫ (3x + 2)(x – 4)–
12 dx
Misalkan
u = 3x + 2 ⇒ dudx = 3
⇔ du = 3 dx
dv = (x – 4)–12 dx
⇒ v = ∫ (x – 4)–12 dx
= ∫ (x – 4)–12 d(x – 4)
= 12
1 (x – 4)12
= 2(x – 4)12
∫ u dv = uv – ∫ v du
∫ 3x 2
x 4
+− dx
= (3x + 2) × 2(x – 4)12 – ∫ 2(x – 4)
12 × 3 dx
= (6x + 4) x 4− – 6 ∫(x – 4)12 d(x – 4)
= (6x + 4) x 4− – 6 × 23 (x – 4)
32 + c
= (6x + 4) x 4− – 4(x – 4) x 4− + c
= (6x + 4 – 4x + 16) x 4− + c
= (2x + 20) x 4− + c
5. a. Misalkanu = 4x ⇒ du = 4 dx
dv = 14 x−
dx = 12(4 x)
−− dx
⇒ v = ∫ 12(4 x)
−− dx
= – ∫ 12(4 x)
−− × (–1)dx
= – ∫ 12(4 x)
−− d(4 – x)
= –212(4 x)−
∫ u dv = uv – ∫ v du
∫ 4x4 x−
dx
= ∫ 4x d(–212(4 x)− )
= 4x (–212(4 x)− ) – ∫(–2
12(4 x)− ) × 4 dx
= –8x 12(4 x)− – 8 ∫
12(4 x)− × (–1) dx
= –8x 12(4 x)− – 8 ∫
12(4 x)− d(4 – x)
= –8x 12(4 x)− – 8 ×
23
32(4 x)− + c
= –8x 4 x− – 163
3(4 x)− + c
Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 x− – 163
3(4 x)− + c.
b.3
0∫ f(x) dx =
316 33 0
8x 4 x (4 x)⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= (–24 – 163 ) – (0 –
1283 )
= –883 +
1283
= 403
10 Integral
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: cPersamaan garis:2x + 3y – 12 = 0⇔ 3y = –2x + 12
⇔ y = –23 x + 4
Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = –23 x + 4
dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerahyang diarsir:
L = 3
1−∫ (–
23 x + 4) dx
2. Jawaban: c
Luas daerah yang diarsir:
L = 1
1−∫ y dx
= 1
1−∫ (4 – x2) dx
= 11 3
3 14x x
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (4 – 13 ) – (–4 +
13 )
= 113 – (–
113 )
= 223
= 713
Jadu, luas daerah yang diarsir 713 satuan luas.
3. Jawaban: d
Luas daerah yang diarsir:
L = 5
1−∫ y dx
= 5
1−∫ (–x2 + 3x + 10) dx
= 51 33 2
3 2 1x x 10x
−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
= (–125
3 + 752 + 50) – (
13 +
32 – 10)
= –125
3 – 13 +
752 –
32 + 50 + 10
= –126
3 + 722 + 60
= –42 + 36 + 60= 54
Jadi, luas yang diarsir adalah 54 satuan luas.
4. Jawaban: cDaerah yang diarsir dibatasi parabolay = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ (x2 + 1) dx
= ⎡⎢⎣
13 x3 + x
2
0⎤⎥⎦
= (83 + 2) – 0
= 423
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 423 satuan luas.
Y
X
y = 4 – x2
–3 –2 –1 0 1 2 3
4
Y
X
y = –x2 + 3x + 10–2 –1 0 1 2 3 4 5
10
11Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X
y = x
x + y – 6 = 0
0 4 6
I II
5. Jawaban: cDaerah yang diarsir dibatasioleh parabola y = (3 – x)2
dan sumbu X pada interval0 ≤ x ≤ 3.Luas daerah yang diarsir:
L = 3
0∫ (3 – x)2 dx
= 3
0∫ (9 – 6x + x2) dx
= 312 3
3 09x 3x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (27 – 27 + 9) – 0= 9
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 9 satuan luas.
6. Jawaban: dPerpotongan kedua kurva:
Substitusikan y = x ke persamaan x + y – 6 = 0.
⇒ x + x – 6 = 0
⇔ ( x )2 + x – 6 = 0
⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0
⇔ x = –3 atau x = 2
⇔ (tidak ada) x = 4
Daerah I dibatasi oleh kurva y = x dan sumbu Xpada interval 0 ≤ x ≤ 4.
Luas daerah I: LI = 4
0∫ x dx
Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 – x dan sumbu Xpada interval 4 ≤ x ≤ 6.
Luas daerah II: LII = 6
4∫ (6 – x) dx
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII = 4
0∫ x dx +
6
4∫ (6 – x) dx
= 4
0∫ x dx –
6
4∫ (x – 6) dx
0
Y
X3
y = (3 – x)2
9
7. Jawaban: cy = x2
y = 2x–––––– –0 = x2 – 2x⇔ x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2.Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ (2x – x2) dx
= ⎡⎢⎣x2 –
13 x3
2
0⎤⎥⎦
= (22 – 13 (2)3) – 0
= 4 – 83 =
43
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 43 satuan luas.
8. Jawaban: b
Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ ((4 – x2) – (–x + 2)) dx
= 2
0∫ (2 – x2 + x) dx
= 21 13 2
3 2 02x x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (2(2) – 13 (2)3 +
12 (2)2) – 0
= 4 – 83 + 2 =
103
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva-kurva
tersebut adalah 103 satuan luas.
9. Jawaban: cParabola y2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskan
menjadi y = 2 x .Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasi
oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya L1 =
2
02 x∫ dx.
0
Y
X
2
y = 4 – x2
4
y = –x + 22
12 Integral
Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasi
oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya
L2 = 4
2∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx.
Luas daerah yang diarsir:
L = L1 + L2 = 2
0∫ 2 x dx +
4
2∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx
= 2
0∫ 2 x dx +
4
2∫ 2 x dx –
4
2∫ (2x – 4) dx
= 4
0∫ 2 x dx –
4
2∫ (2x – 4) dx
10. Jawaban: e
Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan sumbu X.Luas daerah I:
LI = 4
2∫ y1 dx =
4
2∫ (x – 2) dx
= 4
2
2
12
x 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= (8 – 8) – (2 – 4)= 0 – (–2) = 2 satuan luas
Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi olehgaris y1 = x – 2 dan parabola y2 = x2 – 6x + 8.Luas daerah II:
LII = 5
4∫ (y1 – y2) dx
= 5
4∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx
= 5
4∫ (7x – x2 – 10) dx
= 5
2 3
4
7 12 3
x x 10x⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦
= (175
2 – 125
3 – 50) – (56 – 643 – 40)
= –416 – (–5
13 ) = 1
16 satuan luas
Luas daerah yang diarsir:
L = LI + LII = 2 + 116 = 3
16
Jadi, luas daerah tersebut 316 satuan luas.
1. a. Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian.
Daerah I dibatasi parabola y = 12 x2 dan
sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dansumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII
= 2
0∫
12 x2 dx +
4
2∫ (4 – x) dx
= ⎡⎢⎣
16 x3
2
0⎤⎥⎦ +
⎡⎢⎣4x –
12 x2
4
2⎤⎥⎦
= (86 – 0) + (16 – 8) – (8 – 2)
= 43 + 2 = 3
13
Jadi, luas daerah yang diarsir 313 satuan luas.
b. Daerah yang diarsir dibatasi parabolay = 8 – 2x2 dan garis y = 2 – x pada interval0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx
= 2
0∫ (6 – 2x2 + x) dx
= 22 13 2
3 2 06x x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= 12 – 163 + 2 – 0 = 8
23
Jadi, luas daerah yang diarsir 823 satuan luas.
2. a. Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 – x, dansumbu X.
Y
X
0 2 4 5
y2 = x2 – 6x + 8y1 = x – 2
I
II
0
Y
X3
y = 3 – x1
y = 2x
3
2
13Matematika Kelas XII Program IPS
b. Luas daerah D:
L = 1
0∫ 2x dx +
3
1∫ (3 – x) dx
= ⎡⎢⎣x2
1
0⎤⎥⎦ +
⎡⎢⎣3x –
12 x2
3
1⎤⎥⎦
= (1 – 0) + (9 – 92 ) – (3 –
12 )
= 1 + 412 – 2
12 = 3
Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.
3. Daerah D dibatasi pa-rabola y = –x2 + x + 6dan garis y = 2x + 4.y = 2x + 4y = –x2 + x + 6––––––––––––– –0 = x2 + x – 2⇔ (x + 2)(x – 1) = 0⇔ x = –2 atau x = 1Diperoleh batas pengintegralan –2 ≤ x ≤ 1.Luas daerah yang diarsir:
L = 1
2−∫ ((–x2 + x + 6) – (2x + 4)) dx
= 1
2−∫ (–x2 – x + 2) dx
= ⎡⎢⎣–
13 x3 –
12 x2 + 2x
1
2−⎤⎥⎦
= (–13 –
12 + 2) – (
83 – 2 – 4)
= (116 ) – (–3
13 ) = 4
12
Jadi, luas daerah yang diarsir 412 satuan luas.
4. a.
b. Luas daerah D
LI = 1
0∫ (y1 – y2) dx
= 1
0∫ ((–x + 2) – x2) dx
= 1
0∫ (–x + 2 – x2) dx
= 11 12 3
2 3 0x 2x x⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
= (–12 + 2 –
13 )
= –36 +
126 –
26
= 76
LII = 2
1∫ (y2 – y1) dx
= 2
1∫ (x2 – (–x + 2)) dx
= 2
1∫ (x2 + x – 2) dx
= 21 13 2
3 2 1x x 2x⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
= (83 +
42 – 4) – (
13 +
12 – 2)
= (83 – 2) – (
13 +
12 – 2)
= 83 –
13 –
12 – 2 + 2
= 83 –
13 –
12
= 166 –
26 –
36
= 116
Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII
= 76 +
116
= 186
= 3Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.
Y
X
x = 2y1 = –x + 2
y2 = x2
–2 –1 0 1 2
4
3
2
1 III
14 Integral
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: d
∫ x x dx = ∫12
1x
+dx
= ∫32x dx
= 25
52x + c
= 25
2x x + c
2. Jawaban: a
∫ (2x + 3) dx = 2
1 1+ x1 + 1 + 3x + c
= 22 x2 + 3x + c
= x2 + 3x + c
3. Jawaban: a∫ x(2 + 3x) dx = ∫ (2x + 3x2) dx
= 2 × 12 x2 + 3 ×
13 x3 + c
= x2 + x3 + c
4. Jawaban: b∫ (x + 3)(3x – 1) dx= ∫ (3x2 + 8x – 3) dx= 3 ∫ x2 dx + 8 ∫ x1 dx – 3 ∫ x0 dx
= 3
2 1+ x2 + 1 + 8
1 1+ x1 + 1 – 3
0 1+ x0 + 1 + c
= x3 + 4x2 – 3x + c
5. Jawaban: c
∫ 43xx
dx = ∫ 3x3 x
= 3 ∫ x72 dx
= 3 × 29 x
92 + c
= 23 x4 x + c
6. Jawaban: cf′(x) = 4x – 3f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (4x – 3) dx= 2x2 – 3x + c
f(–1) = 9⇔ 2(–1)2 – 3(–1) + c = 9⇔ 2 + 3 + c = 9⇔ c = 4Jadi, f(x) = 2x2 – 3x + 4.
7. Jawaban: a
f(x) = ∫ f′(x) dx
= ∫ (x2 + 3x – 1) dx
= 31
x3 + 23
x2 – x + c
f(1) = 31
× 13 + 23
× 12 – 1 + c = 65
⇔31
+ 23
– 1 + c = 65
5. a. Titik potong antara kedua kurva(x + 2)2 = 10 – x2
⇔ x2 + 4x + 4 = 10 – x2
⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0⇔ x2 + 2x – 3 = 0⇔ (x – 1) (x + 3) = 0⇔ x = 1 atau x = –3
b. Luas daerah D
L = ∫−
1
3((10 – x2) – (x + 2)2) dx
= ∫−
1
3((10 – x2) – (x2 + 4x + 4)) dx
= ∫−
1
3(6 – 2x2 – 4x) dx
= 12 3 2
3 36x x 2x
−⎡ ⎤− −⎣ ⎦
= (6 – 23 – 2) – (–18 – (–
543 ) – 18)
= (313 ) – (–18) = 21
13
Jadi, luas daerah D adalah 2113 satuan luas.
y = (x + 2)2
y = 10 – x2
Y
X–3 1
D
15Matematika Kelas XII Program IPS
⇔65
+ c = 65
⇔ c = 0
Jadi, f(x) = 31
x3 + 23
x2 – x.
8. Jawaban: bdydx = 3x2 + 4x – 5
Persamaan kurva:y = ∫ (3x2 + 4x – 5) dx = x3 + 2x2 – 5x + cKurva melalui titik (1, 2).(1, 2) ⇒ 2 = 1 + 2 – 5 + c
⇔ c = 4Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 5x + 4
9. Jawaban: dMC = 8x – 5TC = ∫ MC dx
= ∫ (8x – 5) dx= 4x2 – 5x + c
TC(5) = 80⇔ 4(52) – 5(5) + c = 80⇔ 100 – 25 + c = 80⇔ 75 + c = 80⇔ c = 5Jadi, TC = 4x2 – 5x + 5.
10. Jawaban: d2
0∫ 2x(8 – x2) dx =
2
0∫ (16x – 2x3) dx
= 2
2 4
0
16 22 4
x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= 2
2 4
0
12
8x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= (32 – 8) – 0= 24
11. Jawaban: d3
b(2x∫ – 1) dx =
32
bx x⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (32 – 3) – (b2 – b)= 6 – b2 + b
3
b(2x∫ – 1) dx = 6
⇔ 6 – b2 + b = 6⇔ b2 – b = 0⇔ b (b – 1) = 0⇔ b = 0 atau b = 1Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1.
12. Jawaban: d3
1∫ 3
ax
dx = 4
⇔3
1∫ ax–3 dx = 4
⇔3a 2
2 1x−
−⎡ ⎤⎣ ⎦ = 4
⇔ –a2 ( 2
13
– 211
) = 4
⇔ –a2 (
19 – 1) = 4
⇔ –a2 (–
89 ) = 4
⇔ 4a9 = 4
⇔ 4a = 36⇔ a = 9
13. Jawaban: b3
1−∫ f(x) dx = 3
3
1−∫ 2g(x) dx = –4 ⇔ 2
3
1−∫ g(x) dx = –4
⇔ 3
1−∫ g(x) dx = –2
3
1−∫ (2f(x) – g(x)) dx
= 23
1−∫ f(x) dx –
3
1−∫ g(x) dx
= 2(3) – (–2)= 8
14. Jawaban: bb
a∫ (3x – 2)2 dx = 8
c
b∫ (3x – 2)2 dx = –
b
c∫ (3x – 2)2 dx = –5
c
a∫ (3x – 2)2 dx =
b
a∫ (3x – 2)2 dx +
c
b∫ (3x – 2)2 dx
= 8 + (–5) = 3
15. Jawaban: eMisalkan u = 2x + 5
dudx = 2 ⇔ 1
2du = dx
16 Integral
∫ 26
(2x 5)+ dx = ∫ 26u
× 12 du
= 3∫ u–2 du
= 3 × 11− u–1 + c
= –3u + c
= –3
2x 5+ + c
16. Jawaban: cMisalkan u = 3x2 – 1
dudx = 6x ⇔ du = 6x dx
∫ 3x(3x2 – 1)2 dx = ∫ (3x2 – 1)2 3x dx
= ∫ u2(12 du)
= 12 ∫ u2 du
= 12 ×
13 u3 + c
= 16 (3x2 – 1)3 + c
17. Jawaban: dMisalkan u = 1 + 2x – x2
dudx = 2 – 2x = –2(x – 1)
⇔ (x – 1) dx = du2−
∫ 2 3x 1
(1 2x x )−
+ − dx
= ∫ (1 + 2x – x2)–3 × (x – 1) dx
= ∫ u–3 × du2−
= 12− ∫ u–3 du
= –12 ×
12− u–2 + c
= 14 (1 + 2x – x2)–2 + c
= 2 21
4(1 2x x )+ − + c
18. Jawaban: bMisalkan u = 1 – 2x2
dudx = –4x ⇔ du = –4x dx
∫ 2
4x
1 2x− dx = – ∫ (1 – 2x2)–
12 (–4x dx)
= – ∫ u–12 du
= – 12
1 u12 + c
= –2 u + c
= –2 21 2x− + c
19. Jawaban: cMisalkan u = x2 – 3x + 8
dudx = 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx
∫ 2
4x 6
x 3x 8
−
− +dx = ∫ (x2 – 3x +
128)
−× 2(2x – 3) dx
= ∫12u
−× 2 du
= 2 × 12
1 + 1−
1
2 1
u− +
+ c
= 2 × 212u + c
= 4 u + c
= 4 2x 3x 8− + + c
20. Jawaban: dMisalkan u = x2 – 2
dudx = 2x ⇔ du = 2x dx
2
0∫ 4x(x2 – 2)4 dx =
2
0∫ (x2 – 2)4 4x dx
= 2
0∫ u4(2 du)
= 22
0∫ u4 du
= 221 5
5 0u⎡ ⎤
⎣ ⎦
= 25
22 5
0(x 2)⎡ ⎤−⎣ ⎦
= 25 (25 – (–2)5)
= 25 (32 – (–32))
= 25 (64)
= 128
5
17Matematika Kelas XII Program IPS
21. Jawaban: c1
0∫ 3x 23x 1+ dx =
12
1
0∫ 23x 1+ × 6x dx
= 12
1
0∫ ( )
12 23x 1+ d (3x2 + 1)
= 12
32
12 23
0
(3x 1)⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎣ ⎦
= 13 (
3 32 2(3 1) (0 1)+ − + )
= 13 (8 – 1)
= 73
22. Jawaban: cMisalkanu = 4x ⇒ du = 4 dxdv = (x – 2)3 dx⇒ v = ∫ (x – 2)3 dx
= ∫ (x – 2)3 d(x – 2)
= 14 (x – 2)4
∫ u dv = uv – ∫ v du∫ 4x(x – 2)3 dx
= (4x) × 14 (x – 2)4 – ∫ 1
4 (x – 2)4 (4 dx)
= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)
= x(x – 2)4 – 15 (x – 2)5 + c
= 15 (x – 2)4 (5x – (x – 2)) + c
= 15 (4x + 2)(x – 2)4 + c
23. Jawaban: dDaerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2
dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ (2 – x)2 dx
= 2
0∫ (4 – 4x + x2) dx
= 212 3
3 04x 2x x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (8 – 8 + 83 ) – 0 =
83
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 83 satuan luas.
24. Jawaban: c
Luas daerah yang diarsir:
L = 4
1∫ y dx
= 4
1∫ (–x2 + 4x + 5) dx
= 41 3 2
3 1x 2x 5x⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
= (–643 + 32 + 20) – (–
13 + 2 + 5)
= (–643 + 52) – (–
13 + 7)
= 643
− +
13 + 52 – 7
= 633
− + 45
= –21 + 45 = 24Jadi, luas daerah yang diarsir 24 satuan luas.
25. Jawaban: c
L = 3
2
1( x−∫ + 4x) dx
= 3
3 2
1
13
x + 2x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= (–9 + 18) – (–13 + 2)
= 713 satuan luas
26. Jawaban: aTentukan titik potong antara kedua kurvay = x2 x2 = xy = x ⇔ x2 – x = 0
⇔ x(x – 1) = 0⇔ x = 0 atau x = 1
L = ∫1
0(x – x2) dx
= 1
2 3
0
1 1
2 3x x⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= (12 –
13 ) – 0 =
16
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah16 satuan luas.
Y
X
y = –x2 + 4x + 5
8
5
–1 0 1 2 3 4 5
Y
X0 1 2 3 4
y = –x2 + 4x
18 Integral
27. Jawaban: ey = 2 ⇒ x2 – 4x – 3 = 2
⇔ x2 – 4x – 5 = 0⇔ (x + 1)(x – 5) = 0⇔ x = –1 atau x = 5
Parabola dan garis berpotongan di titik (–1, 0) dan(5, 0).
Luas daerah yang diarsir:
L = 5
1−∫ (2 – (x2 – 4x – 3)) dx
= 5
1−∫ (–x2 + 4x + 5) dx
= –5
1−∫ (x2 – 4x – 5) dx
= –⎡⎢⎣
13 x3 – 2x2 – 5x
5
1−⎤⎥⎦
= –((125
3 – 50 – 25) – (–13 – 2 + 5))
= –(–3313 – 2
23 ) = 36
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah36 satuan luas.
28. Jawaban: eLuas daerah pada interval 0 ≤ x ≤ 1
LI = 1
0∫ ((2 – x) – x2) dx
= 1
0∫ (2 – x – x2) dx
= 11 12 3
2 3 02x x x⎡ ⎤− −⎣ ⎦
= (2(1) – 12 (1)2 –
13 (1)3) – 0
= 2 – 12 –
13
= 76 satuan luas
Luas daerah pada interval 1 ≤ x ≤ 2
LII = 2
1∫ (x2 – (2 – x)) dx
= 2
1∫ (x2 + x – 2) dx
= 21 13 2
3 2 1x x 2x⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
= (83 + 2 – 4) – (
13 +
12 – 2)
= 23 – (–
76 )
= 116 satuan luas
Luas daerah yang diarsir:L = LI + LII
= 76 +
116
= 186
= 3Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah3 satuan luas.
29. Jawaban: cMenentukan titik potong antara kedua kurvay = x2 – x – 2y = x + 1––––––––––––––––– –0 = x2 – 2x – 3⇔ (x + 1)(x – 3) = 0⇔ x = –1 atau x = 3
Luas daerah yang diarsir:
L = 3
0∫ (y1 – y2) dx =
3
0∫ ((x + 1) – (x2 – x – 2)) dx
= 3
0∫ (2x – x2 + 3) dx
= 312 3
3 0x x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (9 – 9 + 9) – 0 = 9Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah9 satuan luas.
Y
X
y1 = x + 1
y2 = x2 – x – 2
1
–1
–2
0 2 3
0
Y
X
y = x2 – 4x – 3
5–1
y = 22
19Matematika Kelas XII Program IPS
30. Jawaban: cTitik potong kedua kurva:
y1 = y2⇔ 6x – x2 = x2 – 2x⇔ 2x2 – 8x = 0⇔ 2x(x – 4) = 0⇔ x = 0 atau x = 4
Luas = ∫4
0((6x – x2) – (x2 – 2x)) dx
= ∫4
0(8x – 2x2) dx
= 422 3
3 04x x⎡ ⎤−⎣ ⎦
= 4(4)2 – 32
(4)3 – 0 = 643
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah
643 satuan luas.
1. a. ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx= ∫ (6x2 + 5x – 6) dx
= 6 × 13 x3 + 5 ×
12 x2 – 6x + c
= 2x3 + 52 x2 – 6x + c
b. ∫ (3 – 2 x )2 dx
= ∫ (9 – 12x12 + 4x) dx
= 9x – 12 × 23 x
32 + 4 ×
12 x2 + c
= 9x – 8x x + 2x2 + c
2. a.1
0∫
23x 2xx
− dx = 1
0∫ (3 – 2x) dx
= 12
03x x⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (3 – 1) – (0 – 0)= 2
b.2
1∫ (12 – 14x + x2) dx
= ⎡⎢⎣12x – 7x2 +
13 x3
2
1⎤⎥⎦
= (24 – 28 + 83 ) – (12 – 7 +
13 )
= –623
3. a.4
1−∫ y dx =
4
1−∫ (2x + 1) dx
= ⎡⎢⎣x2 + x
4
1−⎤⎦
= (16 + 4) – (1 + (–1))= 20
b.2
0∫ (y2 – y) dx
= 2
0∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx
= 2
0∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx
= 2
0∫ (4x2 + 2x) dx
= ⎡⎢⎣
43 x3 + x2
2
0⎤⎥⎦
= (323 + 4) – 0
= 1423
4. Diketahui f′(x) = mx – 4 dengan f′(1) = 2 danf(–1) = 3.a. Tentukan rumus fungsi f(x).b. Tentukan hasil ∫ f(x) dx.Jawaban:a. f′(x) = mx – 4
f′(1) = 2 ⇒ m – 4 = 2⇔ m = 6
Diperoleh f′(x) = 6x – 4f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (6x – 4) dx
= 3x2 – 4x + cf(–1) = 3 ⇒ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3
⇔ 3 + 4 + c = 3⇔ c = –4
Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.
Y
X0 2 4y = 6x – x2
y = x2 – 2x
6
B. Kerjakan soal-soal berikut.
20 Integral
b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx= x3 – 2x2 – 4x + c
5. Misalkan u = x2 – x + 8dudx = 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx
∫ (6x – 3) 2x x 8− + dx
= 3 ∫ 2x x 8− + (2x – 1)dx
= 3 ∫ u du
= 3 ∫ u12 du
= 3 × 23 u
32 + c
= 2 3u + c
= 2u u + c
= 2(x2 – x + 8) 2x x 8− + + c
6. Misalkanu = x2 – 4x + 2dudx = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dxx = 0 → u = 0 – 0 + 2 = 2x = 1 → u = 1 – 4 + 2 = –11
0∫ 2 2
8x 16(x 4x + 2)
−−
dx
= 1
0∫ (x2 – 4x + 2)–2 × 4(2x – 4) dx
= 41
2
−
∫ u–2 du
= 41
1
2
11u
−−
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= –41
2
1u
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= –4(11− –
12 )
= –4 × (–32 )
= 6
7.4
2∫ 4x(x – 3)3 dx
Turunan Integral4x (x – 3)3
414 (x – 3)4
01
20 (x – 3)5
4
2∫ 4x(x – 3)4 dx
= 41 14 5
4 20 24x( (x 3) ) 4( (x 3) )⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
= 414 5
5 2x(x 3) (x 3)⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
= 414
5 2(x 3) (x (x 3))⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
= 414
5 2(x 3) (5x x 3)⎡ ⎤− − +⎣ ⎦
= 414
5 2(x 3) (4x 3)⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= (1)4 15 (16 + 3) – (–1)4 1
5 (8 + 3)
= 195 –
115
= 85 = 1
35
Jadi, 4
2∫ 4x(x – 3)3 dx = 1
35 .
8. a. Titik potong kurva dengan sumbu Xx2 – 4x + 3 = 0
⇔ (x – 1)(x – 3) = 0⇔ x = 1 atau x = 3
L = – ∫3
1(x2 – 4x + 3) dx
= –31 3 2
3 1x 2x 3x⎡ ⎤− +⎣ ⎦
= –((9 – 18 + 9) – (13 – 2 + 3))
= –(0 – 113 ) = 1
13
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 113 satuan
luas.b. Titik potong kurva dengan sumbu X
8 – 2x2 = 0⇔ 2x2 = 8⇔ x2 = 4⇔ x = 2 atau x = –2
L = 2
2(8
−∫ – 2x2) dx
= 22 3
3 28x x
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= (16 – 163 ) – (–16 – (–
163 ))
= 1023 – (–10
23 ) = 21
13
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 2113
satuan luas.
+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→–⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
21Matematika Kelas XII Program IPS
9.
LI = 0
3−∫ x3 dx
= 0
4
3
1
4x
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= –(0 – 814 )
= 814 satuan luas
LII simetris dengan LI ⇒ LII = 814 satuan luas
Jadi, L = LI + LII = 814 +
814 =
1624 = 40
12
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut
adalah 4012 satuan luas.
10. a. Daerah D
b. Luas daerah D
L = 4
1−∫ (y1 – y2) dx
= 4
1−∫ ((–x2 + 3x + 4) – (x2 – 3x – 4)) dx
= 4
1−∫ (–2x2 + 6x + 8) dx
= 42 3 2
3 1x 3x 8x
−⎡ ⎤− + +⎣ ⎦
= (–128
3 + 48 + 32) – (23 + 3 – 8)
= (–128
3 + 80) – (23 – 5)
= –130
3 + 85
= –130
3 + 2553
= 125
3
= 4123
Jadi, luas daerah D adalah 4123 satuan luas.
–3 0 3
Y
X
I
II
Y
Xy1 = –x2 + 3x + 4
y2 = x2 – 3x – 4
4
–4
–1 0 4
22 Program Linear
• Pertidaksamaan linear duavariabel (PLDV).
• Himpunan penyelesaian perti-daksamaan linear dua variabel.
• Sistem pertidaksamaan lineardua variabel.
Nilai Optimum Fungsi Objektif
• Model matematika.• Metode uji titik pojok.• Metode garis selidik.
• Bersikap kreatif dalam menyelesaikan permasalahan programlinear.
• Mampu menentukan daerah penyelesaian sistem pertidak-samaan linear dua variabel.
• Mampu menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabeldari suatu daerah penyelesaian.
• Mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.• Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif mengguna-
kan metode uji titik pojok.• Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif mengguna-
kan metode garis selidik.• Mampu menyelesaikan model matematika.• Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika.• Mampu merancang dan menyelesaikan model matematika
masalah program linear.
Sistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel
Program Linear
23Matematika Kelas XII Program IPS
1. Jawaban: bGaris 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Uji titik (0, 0) ke 3x – 5y ≤ 15.3 × 0 – 5 × 0 ≤ 15 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis3x – 5y = 15 dan memuat titik (0, 0).Jadi, grafik daerah himpunan penyelesaiannyaseperti grafik di bawah ini.
2. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dantitik (0, 1):y 01 0
−− =
x 20 2
++
⇔ y1 =
x 22+
⇔ 2y = x + 2⇔ 2y – x = 2Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian.Uji titik (–1, 0) ke 2y – x.2y – x = 0 – (–1) = 1 < 2Jadi, pertidaksamaannya 2y – x < 2.
3. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan
(6, 0) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12.Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.Uji titik (1, 1) ke 2x + 3y.2x + 3y = 2 × 1 + 3 × 1 = 5 < 12Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y ≤ 12
2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (–2, 0) adalah 3x – 2y = –6 ⇔ –3x + 2y = 6.Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.Uji titik (1, 1) ke –3x + 2y.–3x + 2y = –6 ⇔ –3 × 1 + 2 × 1 = –1 ≤ 6Jadi, PtLDV-nya –3x + 2y ≤ 6.
3) Daerah penyelesaian di kanan dan padasumbu Y, maka x ≥ 0.
4) Daerah penyelesaian di atas dan padasumbu X, maka y ≥ 0.Jadi, sistem pertidaksamaannya:x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 12; –3x + 2y ≤ 6
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
X
Y
0 5
–3
4. Jawaban: a
Garis –3x + 2y = 21 melalui titik (0, 212 ) dan titik
(–7, 0).Daerah penyelesaian –3x + 2y ≤ 21 di kanan danpada garis –3x + 2y = 21.Garis –2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik(–6, 0).Daerah penyelesaian –2x + 3y ≥ 12 di kiri dan padagaris –2x + 3y = 12.Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan sebagai berikut.
5. Jawaban: d1) Garis x + y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik (0, 3).
Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 dibatasi garisx + y = 3 dan tidak memuat (0, 0).
2) Garis y – x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5).Daerah penyelesaian y – x ≥ 0 dibatasi garisy – x = 0 dan memuat titik (0, 3)
3) Garis 5y – x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik(5, 5). Daerah penyelesaian 5y – x ≤ 20 dibatasigaris 5y – x = 20 dan memuat titik (0, 0).
4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 merupakan daerahdi kanan dan pada sumbu Y.
Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempatdaerah tersebut yaitu daerah IV.
6. Jawaban: b1) Daerah penyelesaian y ≤ 2x di kanan dan pada
garis y = 2x.2) Daerah penyelesaian 3y ≥ 2x di kiri dan pada
garis 3y = 2x.3) Daerah penyelesaian 2y + x ≤ 20 di kiri dan
pada garis 2y + x = 20.4) Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 di kanan dan
pada garis x + y = 3.
Y
X
212
–7 –6 0
4
–3x + 2y = 21
–2x + 3y = 12
24 Program Linear
Y
X0
10
3
3 20
y = 2x
3y = 2x
2y + x = 20
x + y = 3
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Dari gambar terlihat daerah penyelesaian berbentuksegi empat.
7. Jawaban: b1) Garis x – 3y = –3 melalui titik (–3, 0) dan titik
(0, –1).Uji titik (0, 0) ke x – 3y ≤ –3:0 – 3 × 0 ≤ –3 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x – 3y ≤ –3 dibatasi garisx – 3y = –3 dan tidak memuat titik (0, 0).
2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik(0, 3).Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y ≤ 12:3 × 0 + 4 × 0 ≤ 12 (bernilai benar)Daerah penyelesaian 3x + 4y ≤ 12 dibatasigaris 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0).
3) Daerah penyelesaian yang memenuhi x ≥ 0di kanan dan pada sumbu Y.
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Daerah yang diarsir berbentuk segitiga.Panjang alas = AC = 3 – 1 = 2Menentukan koordinat titik B.Garis x – 3y = –3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan dititik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12x – 3y = –3 × 3 3x – 9y = –9
––––––––––– –13y = 21
⇔ y = 2113
Substitusikan y = 2113 ke x – 3y = –3.
x – 3y = –3 ⇔ x – 3 × 2113 = –3
⇔ x – 6313 = –3
⇔ x = 6313 –
3913 =
2413
Diperoleh koordinat titik B (2413 ,
2113 ).
Tinggi segitiga = xB = 2413
L = 12 × a × t
= 12 × AC × xB
= 12 × 2 ×
2413
= 2413 = 1
1113
Jadi, luas daerah yang diarsir 11113 satuan.
8. Jawaban: ea.
ABCD berbentuk trapesium.
Luas ABCD = 12 × AB(AD + BC)
= 12 × 5(4 + 9) = 32
12 satuan
b.
ABCD berbentuk layang-layang.
Luas ABCD = 12 × AC × BD
= 12 × 7 × 4 = 14 satuan
Y
X
x – 3y = –3
–33x + 4y = 124
C
1B
A
3
0 –3 –2 –1 0 1 2 3
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
A
B
C
D
5x + 2y = –10
x + y = 2 x – y = –2
5x – 2y = 10
X
Y
X–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
Y
A
B C
Dy = 3
y = –2
x = –2
x + y = 5
25Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X–4 –3 –2 –1 1 2 3
5x – 3y = 15
5
4
3
2
1
0–1–2–3
–4
–5
3x + 5y = 15
3x + 4y = –12
Y
X
3x + 2y = –4
y = 1
y = –2
3x + 2y = 11
1
–2
–2 0 3 5
Y
X
y = 2
x + 3y = –4
2x – y = –2x = –4
–4 0 2
2
–2
–3 –2 –1 0 1 2 3
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
Y
A
B
C
D
3x + 2y = –6
3x + 2y = 6 3x – 2y = –6
3x – 2y = 6
X
c.
ABCD berbentuk persegi.Luas ABCD = AB × BC
= 13 × 13 = 13 satuan
d.
ABCD berbentuk segitiga.
Luas ABCD = 12 × BC × AD
= 12 × 10 × 6 = 30 satuan
e.
ABCD berbentuk belah ketupat.
Luas ABCD = 12 × AC × BD
= 12 × 6 × 4 = 12 satuan
Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanyang memiliki luas 12 satuan adalah pilihan e.
9. Jawaban: b1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, –2) dan (2, –1)
tidak memenuhi pertidaksamaan y ≥ 0 karena–2 < 0 dan –1 < 0.
2)
Titik (1, 2), (1, –2), (2, 1), (2, –1) di dalamdaerah penyelesaian sistem pertidaksamaanpilihan b.
3) Pada pilihan c, titik (1, –2) tidak memenuhipertidaksamaan 5x – 3y ≥ 15 karena5 × 1 – 3 × (–2) = 11 ≤ 15.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b.
10. Jawaban: ca.
Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang.b.
Daerah penyelesaian berbentuk segi empat.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
Y
A
B
C
D
2x + 3y = 9
2x + 3y = –4
3x – 2y = –6
3x – 2y = 7
X
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
Y
A
B CD
y = –3
x – y = –1
3x + 2y = 12
X
26 Program Linear
c.
Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat.
d.
Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang.
e.
Daerah penyelesaian berbentuk trapesium.Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyele-saiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.
B. Uraian
1. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (–2, 0):y – 30 – 3
= x – 02 – 0−
⇔ y 33
−− =
x2−
⇔ –2(y – 3) = –3x⇔ –2y + 6 = –3x⇔ 3x – 2y = –6Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x – 2y = –6, maka pertidaksamaannya3x – 2y ≥ –6.
2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dantitik (6, 0):
y 40 4
−− =
x 06 0
−−
⇔ y 44
−− =
x6
⇔ 6(y – 4) = –4x⇔ 6y – 24 = –4x⇔ 4x + 6y = 24⇔ 2x + 3y = 12Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis2x + 3y = 12, maka pertidaksamaannya 2x +3y ≤ 12.
3) Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dantitik (2, 0):
y ( 3)0 ( 3)
− −− − =
x 02 0
−−
⇔ y 33+
= x2
⇔ 2(y + 3) = 3x⇔ 2y + 6 = 3x⇔ 3x – 2y = 6Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis3x – 2y = 6, maka pertidaksamaannya3x – 2y ≤ 6.
4) Daerah penyelesaian di kanan dan padasumbu Y maka x ≥ 0 dan di atas dan padasumbu X maka y ≥ 0.
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:3x – 2y ≥ –62x + 3y ≤ 123x – 2y ≤ 6
y ≥ 0x ≥ 0
2. a. 1) Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dantitik (–2, 0).Daerah penyelesian x – y ≥ –2 dibatasigaris x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).
2) Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0, 163 )
dan titik (8, 0).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 16dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuattitik (0, 0).
3) Garis x – y = 3 melalui titik (0,–3) dantitik (3, 0).Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 dibatasigaris x – y = 3 dan memuat titik (0, 0).
4) Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dantitik (3, 0).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 6 dibatasigaris 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik(0, 0).
Y
X
2x – 3y = –6
2x + 3y = 62x – 3y = –18
2x + 3y = –6 4
2
–6 –3 0
Y
X
y = 1
y = –2
x + y = 13x – y = –13
–5 –4 0 3
1
–2
Y
X
y – x = 0
2x – 5y = 20
2x + 5y = 0
x + y = –4
–2 0 5
–2
–4
27Matematika Kelas XII Program IPS
I5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
V
VIIV
II
III
Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 0 dibatasigaris x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0).
4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan danpada sumbu Y dan daerah penyelesiany ≥ 0 di atas dan pada sumbu X.
Daerah penyelesaian:
b. Daerah penyelesaian:
LI = LVI = 12 × 2 × 1 = 1 satuan
LII = LIII = LIV = 2 × 2 = 4 satuan
LV = 12 × 2 × 2 = 2 satuan
Luas daerah himpunan penyelesaian.= LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI= 3 LII + 2 LI + LV = 3 × 4 + 2 × 1 + 2= 12 + 2 + 2 = 16 satuanJadi, luas daerah penyelesaiannya 16 satuanluas.
4.
1) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4)dan D(0, 4) adalah y = 4.Daerah penyelesaian di bawah dan pada garisy = 4 sehingga pertidaksamaannya y ≤ 4.
2) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4)dan B(–4, 0) adalah x = –4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx = –4 sehingga pertidaksamaannya x ≥ –4.
Y
X
6 x – y = –2
2
–3
–2 2 6x + y = 6
x + y = 2
x – 2y = 6
Daerah penyelesaian:
b. 1) Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dantitik (0, 2).Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 dibatasigaris x + y = 2 dan tidak memuat titik(0, 0).Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan(0, 2).Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasigaris x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan(0, 6).Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).Garis x – 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan(0, –3).Daerah penyelesaian x – 2y ≤ 6 dibatasigaris x – 2y = 6 dan memuat titik (0, 0).
Daerah penyelesaian:
3. a. 1) Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dantitik (0, 10).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasigaris 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0).
2) Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dantitik (0, 6).Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasigaris x + y = 6 dan memuat titik (0, 0).
3) Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dantitik (0, 5).
Y
X
–3
x – y = –2
x – y = 3
2x + 3y = 16
2x + 3y = 6
–2 3 8
163
2
0 5 6 10 X
Y
x + 2y = 10
x + y = 6
2x + y = 1010
65
Y
X
A
B
C
D
–4 0 3
4
–3
28 Program Linear
A
Y
X
5
2
0
–2
–3
–4
5x – y = 13
B
C
D
x + 2y = –4
5x – 2y = –20
2 3–2
3x + 5y = 19
3) Persamaan garis yang melalui titik B(–4, 0)dan titik C(3, –3):
B
C B
y yy y
−− = B
C B
x xx x
−−
⇔y 03 0
−− − =
x 43 ( 4)
+− −
⇔ y3− = x 4
7+
⇔ 7y = –3(x + 4)⇔ 7y = –3x – 12⇔ 3x + 7y= –12Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x + 7y = –12 maka pertidaksamaannya3x + 7y ≥ –12.
4) Persamaan garis yang melalui titik C(3, –3)dan titik D(0, 4):
D
C D
y yy y
−− = D
C D
x xx x
−−
⇔y 43 4
−− − =
x 03 0
−−
⇔ y 47
−− =
x3
⇔ 3y – 12 = –7x⇔ 7x + 3y= 12Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis7x + 3y = 12 maka pertidaksamaannya7x + 3y ≤ 12.
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalahy ≤ 4x ≥ –4
3x + 7y≥ –127x + 3y≤ 12
5.
Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah ACdan BD.
Panjang AC = 2 2C A C A(x x ) (y y )− + −
= 2 2(2 2) ( 3 5)+ + − −
= 2 24 ( 8)+ −
= 16 + 64 = 80 = 4 5
Panjang BD = 2 2D B D B(x x ) (y y )− + −
= 2 2(3 4) (2 0)+ + +
= 2 27 2+ = 49 + 4 = 53Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesaiansistem pertidaksamaan adalah 4 5 satuan dan
53 satuan.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: cUji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y:
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18.
2. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik(8, 0) adalah 8x + 8y = 64 ⇔ x + y = 8 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik(12, 0) adalah 4x + 12y = 48 ⇔ x + 3y = 12 . . . (2)Menentukan koordinat titik potong garis x + y = 8dan x + 3y = 12.
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):x + 3y = 12x + y = 8––––––––––– –
2y = 4 ⇔ y = 2Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan x + y = 8diperoleh:x + 2 = 8 ⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik potong kedua garis (6, 2).Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0),B(6, 2), dan C(0, 8).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y.
Jadi, nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4yadalah 26.
Titik Pojok
(2, 0)(4, 1)(6, 4)(2, 5)(0, 1)
f(x, y) = x + 3y
2 + 3 × 0 = 24 + 3 × 1 = 76 + 3 × 4 = 182 + 3 × 5 = 170 + 3 × 1 = 3
Titik Pojok
A(12, 0)B(6, 2)C(0, 8)
f(x, y) = 3x + 4y
3 × 12 + 4 × 0 = 363 × 6 + 4 × 2 = 263 × 0 + 4 × 8 = 32
← Minimum
29Matematika Kelas XII Program IPS
A(0, 8)B(4, 4)
C(0, 12)
0 – 2 × 8 = –164 – 2 × 4 = –40 – 2 × 12 = –24
Titik Pojok z = x – 2y
3. Jawaban: dPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan(–2, 0) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4.Persamaan garis yang melalui titik (0, 2) dan(–3, 0) adalah 2x – 3y = –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 7) dan(7, 0) adalah 7x + 7y = 49 ⇔ x + y = 7.Garis 2x – 3y = –6 dan x + y = 7 berpotongan dititik C(3, 4).Garis 2x – y = –4 dan x + y = 7 berpotongan di titikD(1, 6).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – x.
Jadi, nilai maksimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y –xadalah 17.
4. Jawaban: bPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan(3, 0) adalah –2x + 3y = –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan(10, 0) adalah 5x + 10y = 50 ⇔ x + 2y = 10.Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan sejajarsumbu Y adalah x = 1.Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan sejajarsumbu X adalah y = 3.Menentukan koordinat titik C.Titik C merupakan titik potong antara garis–2x + 3y = –6 dan x + 2y = 10.Eliminasi x dari kedua persamaan garis.–2x + 3y = –6 × 1 –2x + 3y = –6
x + 2y = 10 × 2 2x + 4y = 20–––––––––––– +
7y = 14⇔ y = 2
Substitusikan y = 2 ke persamaan garis x + 2y = 10.x + 2y = 10
⇔ x + 2 × 2 = 10⇔ x + 4 = 10⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik C (2, 6).Menentukan koordinat titik D.Titik D merupakan titik potong antara garis y = 3dan x + 2y = 10.Substitusikan y = 3 ke persamaan garis x + 2y = 10.
x + 2y = 10⇔ x + 2 × 3 = 10⇔ x + 6 = 10⇔ x = 4
Diperoleh koordinat titik D (4, 3).Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah A(1, 0),B(3, 0), C(6, 2), D(4, 3), dan E(1, 3).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y.
Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum f(x, y)adalah 5.Jadi, persamaan garis selidik yang menyebabkanf(x, y) mencapai minimum adalah 5x + 5y = 5.
5. Jawaban: dGaris x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0).Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0).Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan dititik B(4, 4).
Uji (0, 0) Penyelesaian
x + y ≥ 8 ⇒ 0 + 0 ≥ 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0)2x + y ≤ 12 ⇒ 0 + 0 ≤ 12 Benar Memuat titik (0, 0)
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x – 2y:
Nilai maksimum z = x – 2y adalah –4 dan nilaiminimum –24.Dengan demikian, M = –4 dan m = –24.Jadi, nilai M – m = –4 – (–24) = 20.
6. Jawaban: bGaris 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0).Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≤ 8.2 × 0 + 0 ≥ 8 (salah)Daerah 2x + y ≥ 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dantidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan dan padagaris x = 0, di kiri dan pada garis x = 7.
A(1, 0)B(3, 0)C(6, 2)D(4, 3)E(1, 3)
5 × 1 + 5 × 0 = 55 × 3 + 5 × 0 = 155 × 6 + 5 × 2 = 405 × 4 + 5 × 3 = 355 × 1 + 5 × 3 = 20
Titik Pojok f(x, y) = 5x + 5y
← Minimum
A(0, 4)B(0, 2)C(3, 4)D(1, 6)
3 × 4 – 0 = 123 × 2 – 0 = 63 × 4 – 3 = 93 × 6 – 1 = 17
Titik Pojok f(x, y) = 3y – x
← Maksimum
Y
X0
12
8
6 8
A
B(4, 4)
C
2x + y = 12
x + y = 8
30 Program Linear
Daerah penyelesaian 1 ≤ y ≤ 2 di atas dan padagaris y = 1, di bawah dan pada garis y = 2.Daerah penyelesaian:
Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4di titik A(2, 4).Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik
B(72 , 1).
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 10y:
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 5x + 10y adalah 27,5.7. Jawaban: c
a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan(3, 0). Daerah penyelesaian 4x + y ≥ 12 dikanan dan pada garis 4x + y = 12.Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan(6, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 12 di kiridan pada garis 2x + y = 12.Garis x – 2y = –6 melalui titik (0, 3) dan(–6, 0). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –6 dikanan dan pada garis x – 2y = –6.
b. Daerah penyelesaian:
Garis 4x + y = 12 dan x – 2y = –6 berpotongandi titik A(2, 4). Garis 2x + y = 12 dan x – 2y = –6
berpotongan di titik D(185 ,
245 ).
c. Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y)= 10x + 15y.
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15yadalah 108.
8. Jika fungsi f(x, y) = 5.000 – x – y dengan syaratx ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y + 2 ≥ 0, dan 2x+ y – 6 ≥ 0 maka. . . .a. fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai
maksimumb. fungsi f tidak mempunyai nilai minimum
maupun nilai maksimumc. fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak
mempunyai nilai maksimumd. fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak
mempunyai nilai minimume. nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f
tidak dapat ditentukanJawaban: aGaris x – 2y = 0 melalui titik (0, 1) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian x – 2y + 2 ≥ 0 di kanan danpada garis x – 2y + 2 = 0.Garis 2x + y – 6 = 0 melalui titik (0, 6) dan (3, 0).Daerah penyelesaian 2x + y – 6 ≥ 0 di kanan danpada garis 2x + y – 6 = 0.Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan padasumbu Y.Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan padasumbu X.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.
Uji titik pojok:
Dari tabel terlihat fungsi objektif f(x, y) mempunyainilai minimum 4.996 dan nilai maksimum 5.000.Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan a.
Y
X
y = 2
y = 1
8
4
1
0 4 72x + y = 8
B C
A D
A(2, 4)
B( 72 , 1)
C(7, 1)
D(7, 4)
5 × 2 + 10 × 4 = 50
5 × 72 + 10 × 1 = 27,5
5 × 7 + 10 × 1 = 45
5 × 7 + 10 × 4 = 75
Titik Pojok f(x, y) = 5x + 10y
← Minimum
Y
X
12
3
D
A
B C
x – 2y = –6
4x + y = 12–6 3 6
2x + y = 120
A(2, 4)
B(3, 0)
C(6, 0)
D( 185 , 24
5 )
10 × 2 + 15 × 4 = 80
10 × 3 + 15 × 0 = 30
10 × 6 + 15 × 0 = 60
10 × 185 + 15 × 24
5 = 108
Titik Pojok f(x, y) = 10x + 15y
← Maksimum
Titik Pojok
A(0, 1)O(0, 0)B(3, 0)C(2, 2)
f(x, y) = 5.000x – x – y
5.000 – 0 – 1 = 4.9995.000 – 0 – 0 = 5.0005.000 – 3 – 0 = 4.9975.000 – 2 – 2 = 4.996
Y
X
x – 2y + 2 = 0
2x + y –6 = 0
AB
C(2, 2)
–2 0 3
6
1 O
31Matematika Kelas XII Program IPS
9. Jawaban: aMisalkan: x = banyak sepatu jenis I
y = banyak sepatu jenis II
Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu.Pertidaksamaan yang memenuhix + y ≤ 40 . . . (1)Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00.Pertidaksamaan yang memenuhi60.000x + 80.000y≤ 3.000.000⇔ 3x + 4y ≤ 150 . . . (2)Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi x ≥ 0 . . . (3)Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidak-samaan yang memenuhi y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh SPtLDV:
3x + 4y ≤ 150x + y ≤ 40
x ≥ 0y ≥ 0
10. Jawaban: dMisalkan: x = banyak mangga
y = banyak apelPutri harus membeli paling sedikit 3 mangga dan2 apel, maka diperoleh:x ≥ 3 dan y ≥ 2 . . . (1)Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 7 buah, makadiperoleh:x + y ≥ 7 . . . (2)Putri mempunyai uang Rp12.000,00, sedangkanharga mangga Rp1.800,00 per buah dan harga apelRp1.500,00 per buah, maka diperoleh:1.800x + 1.500y ≤ 12.000⇔ 18x + 15y ≤ 120⇔ 6x + 5y ≤ 40 . . . (3)Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperolehsistem pertidaksamaan berikut.
6x + 5y ≤ 40x + y ≥ 7
x ≥ 3y ≥ 2
Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalahpilihan d.
11. Jawaban: cMisalkan: x = banyak mobil
y = banyak bus
Model matematika permasalahan tersebut adalahmemaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengankendala:
x + y ≤ 586x + 24y ≤ 600 ⇔ x + 4y ≤ 100
x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektiff(x, y) = 2.000x + 3.500y
Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah137.000.Jadi, jika tempat parkir penuh hasil dari biaya parkirmaksimum mencapai Rp137.000,00.
12. Jawaban: dMenentukan model matematika dari permasalah-an pada soal.Misalkan: x =banyak mobil A yang disewa
y =banyak mobil B yang disewaMobil A memuat 14 orang dan mobil B memuat7 orang, sedangkan jumlah siswa 98 orang, makadiperoleh 14x + 7y ≥ 98 ⇔ 2x + y ≥ 14 . . . (1)
Mobil tipe B yang disewa tidak kurang dari 45
banyak mobil tipe A, maka diperoleh y ≥ 45 x . . . (2)
Mobil tipe B yang disewa tidak lebih dari 32 banyak
mobil tipe A, maka diperoleh y ≤ 32 x . . . (3)
Setiap mobil terisi penuh, maka fungsi objektifadalah meminimumkan f(x, y) = x + y.Dengan demikian, diperoleh model matematikasebagai berikut.
Sepatu
Jenis IJenis II
Pembatas
Banyak
xy
40
Harga
60.00080.000
3.000.000
Y
XA
C
58
25
0 58 100
B(44, 14)
x + 4y = 100x + y = 58
Titik Pojok
O(0, 0)A(58, 0)B(44, 14)C(0, 25)
f(x, y) = 2.000x + 3.500y
2.000 × 0 + 3.500 × 0 = 02.000 × 58 + 3.500 × 0 = 116.0002.000 × 44 + 3.500 × 14 = 137.0002.000 × 0 + 3.500 × 25 = 87.500
Jenis Kendaraan
MobilBus
Pembatas
Banyak
xy
58
Luas
624
600
Biaya Parkir
2.0003.500
32 Program Linear
Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = x + ydengan kendala:
14x + 7y ≥ 29
y ≥ 45 x
y ≤ 32 x
Daerah penyelesaian:
Menentukan koordinat titik A.Titik A merupakan perpotongan antara garis
2x + y = 14 dan y = 45 x.
Substitusikan y = 45 x ke persamaan 2x + y = 14
diperoleh:
2x + 45 x = 14
⇔ 145 x = 14
⇔ x = 5
Substitusi x = 5 ke y = 45 x sehingga diperoleh
y = 45 × 5 = 4. Dengan demikian, diperoleh koordinat
titik A(5, 4).Menentukan koordinat titik B.Titik B merupakan perpotongan antara garis
y = 32 x dan 2x + y = 14.
Substitusi y = 32 x ke persamaan 2x + y = 14
sehingga diperoleh:
2x + 32 x = 14
⇔ 72 x = 14
⇔ x = 4
Substitusi x = 4 ke dalam persamaan y = 32 x
sehingga diperoleh:
y = 32 × 4 = 6
Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 6).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + y.
Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum fungsiobjektif f(x, y) = 9.Jadi, jumlah mobil yang disewa 9.
13. Jawaban: eMenentukan model matematika.Misalkan: x = banyak pisang cokelat
y= banyak pisang goreng
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 500x + 300y dengankendala:
x + y ≤ 4001.000x + 400y ≤ 250.000 ⇔ 5x + 2y ≤ 1.250x ≥ 0, y ≥ 0
Menentukan daerah penyelesaian.Garis x + y = 400 melalui titik (0, 400) dan (400, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 400 di kiri dan padagaris x + y = 400.Garis 5x + 2y = 1.250 melalui titik (0, 625) dan(250, 0).Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 1.250 di kiri danpada garis 5x + 2y = 1.250.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kuadran I.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.
Titik B merupakan perpotongan antara garis5x + 2y = 1.250 dan x + y = 400.
Titik Pojok
A(5, 4)B(4, 6)
f(x, y) = x + y
5 + 4 = 94 + 6 = 10
JenisPisang
CokelatGoreng
Pembatas
Harga
1.000400
250.000
Keuntungan
500300
Banyak
xy
400
y = 45 x
X
Y
14
y = 32 x
A
2x + y = 140 7
B
X
5x + 2y = 1.250
x + y = 400
Y
625
A
B
C400
0 250 400
33Matematika Kelas XII Program IPS
X
Y
32
18
0 4 18
8x + y = 32
x + y = 18
Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 400 × 2 2x + 2y= 8005x + 2y = 1.250 × 1 5x + 2y= 1.250
––––––––––––– ––3x = –450
⇔ x = 150Substitusikan x = 150 ke persamaan x + y = 400.
x + y = 400⇔150 + y = 400⇔ y = 250Diperoleh koordinat titik B(150, 250).Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0),A(250, 0), B(150, 250), dan C(0, 400).Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y.
Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 150.000.Jadi, keuntungan maksimumnya Rp150.000,00.
14. Jawaban: cMisalkan: x = banyak tanaman anggrek (pot)
y = banyak tanaman hias (pot)
Paling sedikit 30 pot tanaman anggrek.Diperoleh pertidaksamaan x ≥ 30 . . . (1)Paling sedikit 40 pot tanaman hias.Diperoleh pertidaksamaan y ≥ 40 . . . (2)Kios dapat menampung tidak lebih dari 120 pot.Diperoleh pertidaksamaan:x + y ≤ 120 . . . (3)Model matematika permasalahan adalah memaksi-mumkan f(x, y) = 10.000x + 15.000y dengankendala:
x ≥ 30y ≥ 40
x + y ≤ 120Daerah penyelesaian SPtLDV:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 10.000x + 15.000y
Nilai maksimum f(x, y) = 10.000x + 15.000y adalah1.650.000.Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperolehRp1.650.000,00.
15. Jawaban: eMisalkan: x = banyak sapi
y = banyak kambing
Jenis Hewan Banyak Harga Beli Keuntungan
Sapi x 12.000.000 5.000.000Kambing y 1.500.000 700.000
Pembatas 18 48.000.000
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 5.000.000x + 700.000ydengan kendala:
x + y ≤ 1812.000.000x + 1.500.000y ≤ 48.000.000⇔ 8x + y ≤ 32x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y:Titik Pojok f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y
O(0,0) 5.000.000 × 0 + 700.000 × 0 = 0A(4, 0) 5.000.000 × 4 + 700.000 × 0 = 20.000.000B(2, 6) 5.000.000 × 2 + 700.000 × 16 = 21.000.000C(0, 18) 5.000.000 × 0 + 700.000 × 18 = 12.600.000
Nilai f(x, y) terbesar 21.000.000 dicapai di titik B(2, 16)atau pada saat x = 2 dan y = 16.Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika PakMahmud membeli 2 ekor sapi dan 16 ekor kambing.
Jenis Tanaman
AnggrekHias
Pembatas
Banyak
xy
120
Keuntungan
10.00015.000
Y
120
40
C(30, 90)
B(80, 40)A(30, 40)
X0x = 30 x + y = 120
120
y = 40
Titik Pojok
A(30, 40)B(80, 40)C(30, 90)
f(x, y) = 10.000x + 15.000y
10.000 × 30 + 15.000 × 40 = 900.00010.000 × 80 + 15.000 × 40 = 1.400.00010.000 × 30 + 15.000 × 90 = 1.650.000
Titik Pojok
O(0, 0)A(250, 0)B(150, 250)C(0, 400)
f(x, y) = 500x + 300y
500 × 0 + 300 × 0 = 0500 × 250 + 300 × 0 = 125.000500 × 150 + 300 × 250 = 150.000500 × 0 + 300 × 400 = 120.000
34 Program Linear
B. Uraian
1. a. Persamaan garis g adalah x – y = –10.Koordinat titik A(0, 25).Garis selidik yang melalui titik A memilikipersamaan x – y = –25.Koordinat titik B(15, 5).Garis selidik yang melalui titik B memilikipersamaan x – y = 10.Koordinat titik C(30, 40).Garis selidik yang melalui titik C memilikipersamaan x – y = –10.Persamaan garis melalui titik (–10, 0) dan (0, 25)adalah 25x – 10y = –250 ⇔ 5x – 2y = –50.Garis 5x – 2y = –50 dan y = 40 berpotongandi titik D.Substitusi y = 40 ke 5x – 2y = –50 diperoleh:
5x – 2 × 40 = –50⇔ 5x – 80 = –50⇔ 5x = 30⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik D(6, 40).Garis selidik yang melalui titik D(6, 40)memiliki persamaan x – y = –36.Jadi, nilai maksimumnya 10 dan nilaiminimumnya –36.
b. Persamaan garis g adalah x + y = 4.Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan(0, 4) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4.Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan(0, 12) adalah 12x + 6y = 72 ⇔ 2x + y = 12.Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan(0, 12) adalah 12x + 12y = 144 ⇔ x + y = 12.Menentukan koordinat titik A.Garis 2x – y = –4 dan 2x + y = 12 berpotongandi titik A. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.2x – y = –42x + y = 12–––––––––– + 4x = 8 ⇔ x = 2Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan2x + y = 12.2x + y = 12 ⇔ 2 × 2 + y = 12
⇔ 4 + y = 12⇔ y = 8
Diperoleh koordinat titik A(2, 8).Menentukan koordinat titik D.Garis 2x – y = –4 dan x + y = 12 berpotongandi titik D. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.2x – y = –4 x + y = 12–––––––––– + 3x = 8
⇔ x = 83
Substitusikan x = 83 ke persamaan x + y = 12.
x + y = 12 ⇔ 83 + y = 12
⇔ y = 12 – 83
⇔ y = 36 8
3−
⇔ y = 283
Diperoleh koordinat titik D(83 ,
283 ).
Garis selidik yang melalui titik A(2, 8) memilikipersamaan x + y = 10.Garis selidik yang melalui titik B(6, 0) memilikipersamaan x + y = 6.Garis selidik yang melalui titik C(12, 0) memilikipersamaan x + y = 12.
Garis selidik yang melalui titik D(83 ,
283 )
memiliki persamaan x + y = 12.Jadi, nilai maksimumnya 12 dan nilaiminimumnya 6.
2. a. Garis 5x + 2y = 40 melalui titik (8, 0) dan titik(0, 20).Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 40 dibatasigaris 5x + 2y = 40 dan memuat titik (0, 0).Garis x + 2y = 8 melalui titik (8, 0) dan titik (0, 4).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 8 dibatasi garisx + 2y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x – 2y = –4 yang melalui titik (–4, 0)dan (0, 2).Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –4 dibatasi garisx – 2y = –4 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian:
Garis x – 2y = –4 dan x + 2y = 8 berpotongandi titik A. Eliminasi x dari kedua persamaangaris.x – 2y = –4x + 2y = 8–––––––––– –
–4y = –12⇔ y = 3
X
Y
20
4
0 8
5x + 2y = 40
x – 2y = –4
2
x + 2y = 8–4
35Matematika Kelas XII Program IPS
Substitusikan y = 2 ke dalam persamaanx + 2y = 8.x + 2y = 8 ⇔ x + 2 × 3 = 8
⇔ x + 6 = 8⇔ x = 2
Diperoleh koordinat titik A(2, 3).Garis 5x + 2y = 40 dan x – 2y = –4 berpotongandi titik C. Eliminasi y dari kedua persamaangaris.5x + 2y = 40
x – 2y = –4––––––––––– +
6x = 36⇔ x = 6Substitusikan x = 6 ke persamaan garisx – 2y = –4.x – 2y = –4 ⇔ 6 – 2y = –4
⇔ –2y = –10⇔ y = 5
Diperoleh koordinat titik C(6, 5).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 6y – 3x.
Jadi, nilai maksimumnya 12.b. Garis 3y – x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik
(–12, 0).Daerah penyelesaian 3y – x ≥ 12 di kiri danpada garis 3y – x = 12.Garis y – x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik(–20, 0).Daerah penyelesaian y – x ≤ 20 di kanan danpada garis y – x = 20.Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik(16, 0).Daerah penyelesaian y + 2x ≥ 32 di kanandan pada garis y + 2x = 32.Daerah penyelesaian x ≤ 24 di kiri dan padagaris x = 24.Daerah penyelesaian:
A(2, 3)B(8, 0)C(6, 5)
6 × 3 – 3 × 2 = 126 × 0 – 3 × 8 = –246 × 5 – 3 × 6 = 12
Titik f(x, y) = 6y – 3x
Titik potong antara garis 3y – x = 12 dan garisy + 2x = 32 adalah A(12, 8).Titik potong antara garis y – x = 20 dan y + 2x= 32 adalah D(4, 24).Titik potong antara garis 3y – x = 12 danx = 24 adalah B(24, 12).Titik potong antara garis y – x = 20 dan x = 24adalah C(24, 44).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = x + 2y.
Jadi, nilai minimum f(x, y) = x + 2y adalah 28.
3. Modal pedagang Rp180.000,00, sedangkan hargabeli minuman x per kaleng Rp3.000,00 dan hargabeli minuman y per kaleng Rp6.000,00 makadiperoleh:3.000x + 6.000y ≤ 180.000⇔ x + 2y ≤ 60 . . . (1)Tempat pedagang hanya mampu menampung 40kaleng minuman, maka diperoleh:x + y ≤ 40 . . . (2)Banyak minuman x dan y selalu bernilai nonnegatifmaka x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3)Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperolehsistem pertidaksamaan sebagai berikut.
x + 2y ≤ 60x + y ≤ 40
x ≥ 0y ≥ 0
4. Misalkan: x = banyak bonekay = banyak mobil-mobilan
Jenis Banyak Harga Beli Harga Jual
Boneka x 15.000 20.000Mobil-mobilan y 45.000 65.000
Pembatas 42 900.000
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 5.000x + 20.000y dengankendala:
x + y ≤ 4215.000x + 45.000y ≤ 900.000⇔ x + 3y ≤ 60
x ≥ 0y ≥ 0
A(12, 8)B(24, 12)C(24, 44)D(4, 24)
12 + 2 × 8 = 2824 + 2 × 12 = 4824 + 2 × 44 = 112 4 + 2 × 24 = 52
Titik f(x, y) = x + 2y
← Minimum
Y
X
C
B3y – x = 12
A
y + 2x = 32
–20 –12 12 16 24
44
32
2420
12
84
y – x = 20
D
36 Program Linear
Daerah penyelesaian:
Menentukan koordinat titik B.Titik B adalah perpotongan antara garis x + y = 42dan x + 3y = 60. Eliminasi x dari kedua persamaangaris.
x + y = 42x + 3y = 60–––––––––– –
2y = 18⇔ y = 9Substitusikan y = 9 ke persamaan garis x + y = 42.
x + y = 42⇔ x + 9 = 42⇔ x = 33Diperoleh koordinat titik B(33, 9).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektiff(x, y) = 20.000x + 65.000y:
Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.300.000.Jadi, pendapatan maksimum yang mungkindiperoleh pedagang tersebut Rp1.300.000,00.
5. Misalkan: x = banyak sabun Ay = banyak sabun B
Y
XA
B
C
42
20
O 42 60x + y = 42 x + 3y = 60
O(0, 0)A(42, 0)B(33, 9)C(0, 20)
20.000 × 0 + 65.000 × 0 = 020.000 × 42 + 65.000 × 0 = 840.00020.000 × 33 + 56.000 × 9 = 1.245.00020.000 × 0 + 65.000 × 20 = 1.300.000
Titik f(x, y) = 20.000x + 65.000y
Model matematika permasalahan tersebut adalahmemaksimumkan f(x, y) = 700x + 600y.dengan kendala:
x + y ≤ 5004000x + 3000y ≤ 1.800.000
⇔ 4x + 3y ≤ 1.800x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800 berpotongandi titik B. Eliminasi y dari kedua persamaan garis.
x + y = 500 × 3 3x + 3y = 1.5004x + 3y = 1.800 × 1 4x + 3y = 1.800
––––––––––––– ––x = 300
⇔ x = 300Substitusikan x = 300 ke persamaan garisx + y = 500.x + y = 500 ⇔ 300 + y = 500
⇔ y = 200Diperoleh koordinat titik B(300, 200).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 700x + 600y.
Nilai maksimum f(x, y) = 700x + 600y adalah330.000 dicapai di titik B(300, 200). Hal ini berartikeuntungan maksimum Rp330.000,00 diperolehjika pedagang menjual 300 sabun A dan 200sabun B.
Jenis
AB
Pembatas
Banyak
xy
500
Keuntungan
700600
Harga Beli
4.0003.000
1.800.00
Y
X
B
A0 450 500
600
500C 4x + 3y = 1.800
x + y = 500
O(0, 0)A(450, 0)B(300, 200)C(0, 500)
700 × 0 + 600 × 0 = 0700 × 450 + 600 = 315.000700 × 300 + 600 × 200 = 330.000700 × 0 + 600 × 500 = 300.000
Titik f(x, y) = 700x + 600y
37Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X62
0 12–2
24
x – y = –2
x + 2y = 122x + y = 24
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: dGaris x – 2y = –8 memotong sumbu X di titik (–8, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerahpenyelesaian x – 2y ≥ –8 di kanan dan pada garisx – 2y = –8. Jadi, daerah penyelesaian pertidak-samaan adalah pilihan d.
2. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik(0, 3):
y 03 0
−− =
x 20 2
++
⇔ y3 =
x 22+
⇔ 2y = 3x + 6⇔ 3x – 2y = –6Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis3x – 2y = –6, maka pertidaksamaanya 3x – 2y ≥ –6.
3. Jawaban: bGaris y – x = 4 melalui titik (0, 4) dan titik (–4, 0).Daerah penyelesaian y – x ≥ 4 di kiri dan padagaris y – x = 4.Garis 7x + 4y = 28 melalui titik (0, 7) dan titik(4, 0).Daerah penyelesaian 7x + 4y ≤ 28 di kiri dan padagaris 7x + 4y = 28.Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan (4, 0).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 4 di kanan dan padagaris x + 2y = 4. Daerah penyelesaian y ≥ 0 diatas dan pada sumbu X dan daerah penyelesaianx ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y.Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalahpilihan b.
4. Jawaban: b1) Garis 2x + y = 8 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8).
Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≥ 8.2 × 0 + 0 = 0 ≥ 8 (bernilai salah)Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 8 dibatasigaris 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0).
2) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan titik(12, 0).Uji titik (0, 0) ke x + 2y ≥ 12.0 + 2 × 0 = 0 ≥ 12 (bernilai salah)Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasigaris x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).
3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan padasumbu Y.
4) Daerah penyelesaian y ≥ 3 di atas dan padagaris y = 3.
Daerah penyelesaian:
Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan olehdaerah II.
5. Jawaban: dGaris x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan (0, 6).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garisx + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan (0, 2).Daerah penyelesaian x – y ≤ –2 dibatasi garisx – y = –2 dan tidak memuat titik (0, 0).Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan (0, 24).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah dikuadran I.Daerah penyelesaiannya:
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan d.
6. Jawaban: bGaris x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 di kanan dan padagaris x – y = –2.Garis x – y = 1 melalui titik (0, –1) dan (1, 0).Daerah penyelesaian x – y ≤ 1 di kiri dan padagaris x – y = 1.Garis 2x + y = 2 melalui titik (0, 2) dan (1, 0).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri dan padagaris 2x + y = 2.Garis 2x + y = –4 melalui titik (0, –4) dan (–2, 0).Daerah penyelesaian 2x + y ≥ –4 di kanan danpada garis 2x + y = –4.
Y
X 4 12
8
6
3
0
y = 3
2x + y = 8 x + 2y = 12
38 Program Linear
Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.
Dari gambar terlihat AB sejajar dengan DC danAD sejajar dengan BC. Hal ini berarti ABCDberbentuk jajargenjang.
7. Jawaban: cGaris x + 3y = –3 melalui (–3, 0) dan (0, –1).Daerah penyelesaian x + 3y ≥ –3 di kanan danpada garis x + 3y = –3.Garis y – x = 5 melalui (–5, 0) dan (0, 5).Daerah penyelesaian y – x ≤ 5 di kanan dan padagaris y – x = 5.Garis 4x + 3y = 12 melalui (3, 0) dan (0, 4).Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 0 di kiri dan padagaris 4x + 3y = 12.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≤ 0 di kuadran II.Daerah penyelesaian:
Dari gambar terlihat titik (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3),(–2, 1), (–2, 2), (–3, 1), dan (–4, 1) di dalam daerahpenyelesaian.Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan adalahpilihan c.
8. Jawaban: ea.
Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian.b.
Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian.c.
Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerahpenyelesaian.
d.
Titik (0, 3) dan (1, 3) di luar daerahpenyelesaian.
X
Y
2x + y = –4
A
B
C
D
2x + y = 2 x – y = –2
x – y = 1
4
3
2
1
0–1
–2
–3
–4
–3 –2 –1 1 2
X
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–5 –4 –3 –2 –10 1 2 3 4 5
Y
x + 3y = –3
4x + 3y = 12 y – x = 5
Y
X
5y – 3x = 15
2x + y = 4
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
432
1
X
Yy – 2x = 4
3x + 5y = 15
–2 –1 0 1 2 3 4 5
4321
Y
X
x + 2y = 43y – 5x = 15
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
54321
Y
X
2y – x = 4
3x + 5y = 15
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
32
39Matematika Kelas XII Program IPS
e.
Titik (–1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2),(1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian.
Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaianpertidaksamaan pada pilihan e.
9. Jawaban: dDaerah penyelesaian sistem pertidaksamaanx + y ≤ 8, x + y ≥ 5, dan 0 ≤ x ≤ 6:
Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang denganpanjang alas CD = 8 – 5 = 3 satuan dan tinggi CT= 6 – 0 = 6 satuan.Luas daerah yang diarsir = alas × tinggi
= 3 × 6 = 18 satuanJadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.
10. Jawaban: ca.
OABC berbentuk belah ketupat.
Luas OABC = 12 × diagonal × diagonal
= 12 × OB × AC
= 12 × 8 × 6 = 24 satuan
b.
ABCD berbentuk persegi panjangLuas ABCD = panjang × lebar
= AB × BC= 4 × 7= 28 satuan
c.
ABCD berbentuk persegiAB = BC
= 2 2C B C B(x x ) (y y )− + −
= 2 2( 1 4) ( 3 0)− + + − −
= 2 23 ( 3)+ − = 18Luas ABCD = sisi × sisi
= AB × BC= 18 × 18= 18 satuan
d.
ABCD berbentuk jajargenjangLuas ABCD = alas × tinggi
= AB × BE= 4 × 5= 20 satuan
Y
X
5x + 3y = 15y – 2x = 4
–2 –1 0 1 2 3
54321
Y
X
8
5
0 5 6 8
B
x + y = 8
A x + y = 5
C
D
T
Y
X
A
B C
D y = 2
y = –2
x = 4x = –3
–3 0 4
2
–2
Y
X
y – x = 4
x – y = 2
x + y = 2x + y = –4
A
B
C
D
4
2
–1–2–3–4
–4 –1 0 2
Y
X
A
B
C
O
4y – 3x = 0
3x – 4y = 24
3x + 4y = 24
3x + 4y = 0
4 8
3
–3
Y
X
x = 2
x + 5y = 2
x + 5y = –18
x = –3
A
B
C
D–3 0 2
1
–3–4
E
40 Program Linear
e.
ABCD berbentuk trapesium
Luas ABCD = 12 × AE(AD + BC)
= 12 × 4(4 + 7) = 22 satuan
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penye-lesaiannya mempunyai luas 18 satuan pilihan c.
11. Jawaban: ea.
ABCD berbentuk trapesium.
Luas ABCD = 12 × CD (AD + BC)
= 12 × 4 (9 + 3) = 24 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 24 satuan.b.
ABCD berbentuk jajargenjang.Luas ABCD = alas × tinggi
= BC × AE = 5 × 4 = 20 satuanLuas daerah penyelesaiannya 20 satuan.
c.
ABCD berbentuk layang-layang.
Luas ABCD = 12 × BD × AC
= 12 × 6 × 4
= 12 satuanLuas daerah penyelesaiannya 12 satuan.
d.
ABCD berbentuk persegi.Luas daerah penyelesaian ABCD= AB × BC= 20 × 20 = 20 satuanLuas daerah penyelesaiannya 20 satuan.
e.
ABCD berbentuk persegi panjang.Luas ABCD = AD × DC
= 13 × 2 13= 26 satuan
Luas daerah penyelesaiannya 26 satuan.Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penye-lesaiannya mempunyai luas 26 satuan adalahpilihan e.
12. Jawaban: aPersamaan garis AB yang melalui titik (–3, 0) danB(–2, –2):
y 02 0
−− −
= x ( 3)2 ( 3)
− −− − −
⇔ y2−
= x + 31
⇔ y = –2x – 6⇔ 2x + y = – 6A merupakan titik yang terletak pada garis AB,dengan absis –4.Menentukan koordinat titik A:Substitusikan nilai x = –4 ke persamaan garis2x + y = –6.
2x + y = –6⇔ 2 × (–4) + y = –6
Y
X
4x + y = 18
y – 2x = 2
A
B C
D
E
2
–2
y = 2
y = –2
–2 0 4 5
Y
X
A D
B C0 6 9
2x + 3y = 12
4 y = 4
x = 9
Y
XB C–5 0 1 6
2x + 3y = 2
Ay = 4D
2x + 3y = 12
Y
XB
D
–3–2
y – 2x = 6
A
3x – 2y = 2
C
2x + y = 6
6
2
–1
3x + 2y = –2
2 3
Y
X
B
C
0 2 3 4 62x + y = 6
A
2y – x = 2
D
2x + y = 16
6
4
2
2y – x = 12
E----
----
---
Y
X
B
C
–2 0
2x + 3y = –1
A
3x – 2y = 18
D
2x + 3y = 12
4
2y – 3x = 8
641
–3
41Matematika Kelas XII Program IPS
⇔ –8 + y = –6⇔ y = 2Diperoleh koordinat titik A(–4, 2).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsiobjektif f(x, y) = 4x – 2y – 1.
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1 diatas mencapai minimum –21 yaitu di titik A(–4, 2).
13. Jawaban: cPersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (6, 0)adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12. . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0)adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8 . . . (2)Menentukan titik potong antara garis 2x + 3y = 12dan 2x + y = 8.Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).2x + 3y = 122x + y = 8
–––––––––– –2y = 4 ⇔ y = 2
Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (2).2x + y = 8⇔ 2x + 2 = 8
⇔ 2x = 6⇔ x = 3
Diperoleh koordinat titik potong (3, 2).Titik pojok daerah yang diarsir adalah (0, 0), (4, 0),(3, 2), dan (0, 4).Uji titik pojok ke f(x, y) = 5x + 4y.
Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 23.Jadi, nilai maksimum fungsi objektif 5x + 4yadalah 23.
14. Jawaban: dGaris x + 2y = 12 memotong sumbu X di titik(12, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6).Garis 3x + 2y = 24 memotong sumbu X di titik(8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 12).Menentukan titik potong antara garis x + 2y = 12dan 3x + 2y = 24.
A(–4, 2)B(–2, 2)C(4, –4)D(0, 4)
4(–4) – 2(2) – 1= –214(–2) – 2(2) – 1= –54(4) – 2(–4) – 1= 234(0) – 2(4) – 1 = –9
Titik Pojok f(x, y) = 4x – 2y – 1
Titik Pojok
(0, 0)(4, 0)(3, 2)(0, 4)
f(x, y) = 5x + 4y
5 × 0 + 4 × 0 = 0 5 × 4 + 4 × 0 = 20 5 × 3 + 4 × 2 = 23 5 × 0 + 4 × 4 = 16
Eliminasi y dari kedua persamaan garis.x + 2y = 12
3x + 2y = 24–––––––––– –
–2x = –12 ⇔ x = 6Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan x + 2y = 12.x + 2y = 12 ⇔ 6 + 2y = 12
⇔ 2y = 6⇔ y = 3
Diperoleh koordinat titik potong (6, 3).Titik pojok daerah penyelesaiannya yaitu (12, 0),(6, 3), dan (0, 12).Uji titik pojok ke fungsi objektif.
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 3x + 5y dari daerahyang diarsir adalah 33.
15. Jawaban: dMenentukan daerah penyelesaian.
Garis 2x + y = 7 melalui titik (0, 7) dan (312 , 0).
Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 7 di kanan dan padagaris 2x + y = 7.Garis x + y = 5 melalui titik (0, 5) dan (5, 0).Daerah penyelesaian x + y ≥ 5 di kanan dan padagaris x + y = 5.Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada garisx = 0.Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada garisy = 0.Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.
Menentukan titik pojok daerah penyelesaian.Titik B merupakan perpotongan antara garis2x + y = 7 dan x + y = 5.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 7x + y = 5
–––––––––– –x = 2
(12, 0)(6, 3)
(0, 12)
3 × 12 + 5 × 0 = 363 × 6 + 5 × 3 = 333 × 0 + 5 × 12 = 60
Titik Pojok f(x, y) = 3x + 5y
← Minimum
X
Y987654321
1 2 3 4 5 6 7O
A
B
C
2x + y = 7x + y = 5
42 Program Linear
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan garisx + y = 5.
x + y = 5⇔ 2 + y = 5⇔ y = 3Diperoleh koordinat titik B(2, 3).Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(0, 7),B(2, 3), dan C(5, 0).Uji titik pojok ke f(x, y) = 4y – 5x.
Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) = –25.Jadi, nilai minimumnya –25.
16. Jawaban: eGaris –x + y = 4 memotong sumbu Y di titik A(0, 4).Garis 2x + y = 12 memotong sumbu X di titikB(6, 0).Garis x + y = 8 dan garis 2x + y = 12 berpotongandi titik C(4, 4).Garis –x + y = 4 dan garis 2x + y = 12 berpotongandi titik D(2, 6).Uji titik setiap titik pojok ke fungsi tujuan.
Perhatikan kolom kelima.Dari kolom kelima terlihat f(x, y) = 20x + 2ymencapai maksimum di titik B.Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum dititik B adalah f(x, y) = 20x + 2y.
17. Jawaban: aMisalkan: x = banyak penumpang pelajar/maha-
sisway = banyak penumpang umum
Daya muat bus paling banyak 50 orang, sehinggaharus memenuhi x + y ≤ 50 . . . (1)Tarif seorang pelajar/mahasiswa Rp2.000,00 dantarif seorang penumpang umum Rp3.000,00sedangkan penghasilan yang diperoleh tidakkurang dari Rp120.000,00 sehingga harusmemenuhi2.000x + 3.000y ≥ 120.000 ⇔ 2x + 3y ≥ 120 . . . (2)
Titik Pojok
A(0, 7)
B(2, 3)
C(5, 0)
f(x, y) = 4y – 5x
4 × 7 – 5 × 0 = 28
4 × 3 – 5 × 2 = 2
4 × 0 – 5 × 5 = –25
Banyak penumpang pelajar/mahasiswa atau umumtidak boleh negatif sehingga harus memenuhix ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3)Diperoleh sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 502x + 3y ≥ 120
x ≥ 0y ≥ 0
Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan a.
18. Ani ingin membuat dua jenis kartu undangan. Kartuundangan jenis I memerlukan 30 m2 karton warnabiru dan 25 m2 karton warna kuning, sedangkankartu undangan jenis II memerlukan 45 m2 kartonwarna biru dan 35 m2 karton warna kuning. Banyakkarton warna biru dan kuning yang dimiliki masing-masing 200 m2 dan 300 m2. Jika Ani membuatx undangan jenis I dan y undangan jenis II, Modelmatematika yang sesuai dari masalah tersebutadalah . . . .a. 30x + 25y ≤ 200, 45x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0b. 30x + 25y ≥ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0c. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0d. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0e. 30x + 45y ≥ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0Jawaban: cMisalkan: x = banyak kartu undangan jenis I
y = banyak kartu undangan jenis II
Karton biru yang digunakan tidak boleh melebihipersediaan yang ada sehingga diperoleh pertidak-samaan:30x + 45y ≤ 200 . . . (1)Karton kuning yang digunakan tidak boleh melebihipersediaan yang ada sehingga diperoleh pertidak-samaan 25x + 35y ≤ 300 . . . (2)Banyak kartu undangan jenis I dan II tidak bolehnegatif sehingga diperoleh pertidaksamaan:x ≥ 0 . . . (3)y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistempertidaksamaan:
30x + 45y ≤ 20025x + 35y ≤ 300
x ≥ 0y ≥ 0
Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan e.
f(x, y)
A(0, 4)
B(6, 0)
C(4, 4)
D(2, 6)
–4x + 9y
36
–24
20
46
4x + 9y
36
24
52
62
10x + 18y
72
60
112
128
20x + 2y
8
120
88
52
7x + 12y
48
42
76
86
Penumpang
Pelajar/mahasiswaUmum
Pembatas
Banyak
xy
50
Tarif
2.0003.000
120.000
Kartu Undangan
Jenis IJenis II
Pembatas
Banyak
xy
Karton Biru
30 m2
45 m2
200 m2
Karton Kuning
25 m2
35 m2
300 m2
43Matematika Kelas XII Program IPS
19. Jawaban: cMisalkan: x = banyak bus
y = banyak mobil
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 3.500x + 2.000y dengankendala:
x + y ≤ 5824x + 6y ≤ 600 ⇔ 4x + y ≤ 100x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Titik B merupakan perpotongan antara garis x + y= 58 dan 4x + y = 100. Eliminasi y dari keduapersamaan garis.
x + y = 584x + y = 100–––––––––––– –
–3x = –42⇔ x = 14Substitusikan x = 14 ke dalam persamaanx + y = 58.
x + y = 58⇔ 14 + x = 58⇔ y = 44Diperoleh koordinat titik B(14, 44).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsiobjektif f(x, y) = 3.500x + 2.000y.
Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) adalah137.500 sehingga pendapatan maksimum daribiaya parkir sebesar Rp137.500,00.
20. Jawaban: dMisalkan: x = banyak barang jenis I
y = banyak barang jenis II
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 4.000x + 5.000y dengankendala:
x + y ≤ 22030.000x + 25.000y ≤ 6.000.000 ⇔ 6x + 5y ≤ 1.200x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x +5.000y.
Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.100.000.Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperolehsebesar Rp1.100.000,00.
21. Jawaban: cMisalkan: x = banyak toko tipe A
y = banyak toko tipe B
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 7x + 4y (juta) dengankendala:
x + y ≤ 125100x + 75y ≤ 10.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 400x ≥ 0y ≥ 0
Jenis
BusMobil
Pembatas
Banyak
xy
58
Luas (m2)
246
600
Biaya
3.500,002.000,00
O(0, 0)A(25, 0)B(14, 44)C(0, 58)
3.500 × 0 + 2.000 × 0 = 03.500 × 25 + 2.000 × 0 = 87.5003.500 × 14 + 2.000 × 44 = 137.5003.500 × 0 + 2.000 × 58 = 116.000
Titik Pojok f(x, y) = 3.500x + 2.000y
Y
XA
BC
58
0 25 58
1004x + y = 100
x + y = 58
Barang
Jenis IJenis II
Pembatas
Banyak
xy
220
Keuntungan
4.0005.000
Modal
30.00025.000
6.000.000
Titik Pojok
O(0, 0)A(200, 0)B(100, 120)C(0, 220)
f(x, y) = 4.000x + 5.000y
4.000 × 0 + 5.000 × 0 = 04.000 × 200 + 5.000 × 0 = 800.0004.000 × 100 + 5.000 × 120 = 1.000.0004.000 × 0 + 5.000 × 220 = 1.100.000
Y
X
B(100, 120)
200 220
240220
O A
6x + 5y = 1.200
x + y = 220
C
Barang
Tipe ATipe B
Pembatas
Banyak
xy
125
Keuntungan(Juta)
74
Luas Tanah(m2)
10075
10.000
44 Program Linear
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 7x + 4y (juta):
Nilai maksimum f(x, y) adalah 700 juta.Jadi, keuntungan maksimum dari penjualan tokosebesar Rp700.000.000,00.
22. Jawaban: cMisalkan: x = banyak handphone jenis A
y = banyak handphone jenis B
Handphone Banyak Harga Beli Keuntungan
Jenis A x x 1.000.000 200.000Jenis B y y 4.000.000 350.000
Pembatas 40 12 10 100.000.000
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 200.000x + 350.000ydengan kendala:
x + y ≤ 401.000.000x + 4.000.000y ≤ 100.000.000⇔ x + 4y ≤ 100x ≥ 12y ≥ 10
Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV.Persamaan garis x + y = 40 melalui (40, 0) dan (0, 40).Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).Persamaan garis x + 4y = 100 melalui (100, 0)dan (0, 25). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 100dibatasi garis x + 4y = 100 dan memuat titik (0, 0).
Daerah penyelesaian x ≥ 12 dibatasi garis x = 12dan tidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian y ≥ 10 dibatasi garis y = 10dan tidak memuat titik (0, 0)
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Garis x = 12 dan y = 10 berpotongan di titik A(12, 10).Garis y = 10 dan x + y = 40 berpotongan di titikB(30, 10).Garis x + y = 40 dan x + 4y = 100 berpotongan dititik C(20, 20).Garis x = 12 dan x + 4y = 100 berpotongan di titikD(12, 22).Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (200x + 350y) ribu.
Titik Pojok f(x, y) = (200x + 350y) ribu
A(12, 10) 200 × 12 + 350 × 10 = 5.900 ribuB(30, 10) 200 × 30 + 350 × 10 = 9.500 ribuC(20, 20) 200 × 20 + 350 × 20 = 11.000 ribuD(12, 22) 200 × 12 + 350 × 22 = 10.100 ribu
Nilai maksimum f(x, y) adalah 11.000 ribu dicapaidititik C(20, 20). Hal ini berarti, keuntunganmaksimum penjualan handphone adalahRp11.000.000,00 jika terjual 20 handphone A dan20 handphone B.Jadi, agar Pak Hasan memperoleh keuntunganmaksimum harus terjual 20 handphone B.
23. Jawaban: aMisalkan: x = banyak keripik rasa cokelat
y = banyak keripik rasa keju
Model matematika yang sesuai permasalahanadalah memaksimumkan fungsi objektiff(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala:
x + y ≤ 4010.000x + 15.000y ≤ 450.000
⇔ 2x + 3y ≤ 90x ≥ 0, y ≥ 0
Garis x + y = 40 melalui (0, 40) dan (40, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garisx + y = 40 dan memuat titik (0, 0).Garis 2x + 3y = 90 melalui (45, 0) dan (0, 30).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 90 dibatasigaris 2x + 3y = 90 dan memuat titik (0, 0).
Titik Pojok
O(0, 0)A(100, 0)B(25, 100)C(0, 125)
Subtitusi ke f(x, y) = 7x + 4y (juta)
7 × 0 + 4 × 0 = 07 × 100 + 4 × 0 = 700 juta7 × 25 + 4 × 100 = 575 juta7 × 0 + 4 × 125 = 500 juta
Y
XAO 100 125
x + y = 125
133,3125
B(25, 100)
4x + 3y = 400
C
X
Y
x + y = 40
x + 4y = 100y = 10
x = 12
40
A (12, 10)
25
10
0 12 40
B (30, 10)
C(20, 20)D(12, 22)
100
Keripik
CokelatKeju
Pembatas
Banyak
xy
40
Modal
10.00015.000
450.000
Keuntungan
2.5003.000
45Matematika Kelas XII Program IPS
Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah dikuadran I.
Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 90 berpotongan dititik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.
x + y = 40 × 2 2x + 2y = 802x + 3y = 90 × 1 2x + 3y = 90
–––––––––––– ––y = –10
⇔ y = 10Substitusikan y = 10 ke persamaan x + y = 40.x + y = 40 ⇔ x + 10 = 40 ⇔ x = 30Diperoleh koordinat titik B(10, 30).Uji titik pojok ke fungsi objektif.
Nilai maksimum f(x, y) adalah 115.000.Jadi, keuntungan terbesar Rp115.000,00.
24. Jawaban: bMisalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam
gorengy = banyak menu dengan lauk bebek
goreng
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 15.000x + 20.000y dengankendala:
x + y ≤ 100x ≥ 50y ≥ 40
O(0, 0)
A(40, 0)
B(10, 30)
C(0, 30)
2.500 × 0 + 3.000 × 0 = 0
2.500 × 40 + 3.000 × 0 = 100.000
2.500 × 10 + 3.000 × 30 = 115.000
2.500 × 0 + 3.000 × 30 = 90.000
Titik f(x, y) = 2.500x + 3.000y
Daerah penyelesaian:
A merupakan perpotongan antara garis x = 50dengan garis y = 40.Diperoleh koordinat titik A(50, 40).B merupakan perpotongan antara garis x + y = 100dengan garis y = 40.Substitusikan y = 40 ke x + y = 100.
x + y = 100⇔ x + 40 = 100⇔ x = 60Diperoleh koordinat titik B(60, 40).C merupakan perpotongan antara garis x = 50dengan garis x + y = 100. Substitusikan x = 50 kex + y = 100.
x + y = 100⇔ 50 + y = 100⇔ y = 50Diperoleh koordinat titik C(50, 50).Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam kefungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y:
Nilai maksimum f(x, y) = 15.000x + 20.000y adalah1.750.000 dicapai di titik C(50, 50). Hal ini berartihasil penjualan maksimum diperoleh saat warungtersebut menyediakan 50 porsi menu dengan laukayam goreng dan 50 porsi menu dengan lauk bebekgoreng.
25. Jawaban: bMisalkan: x = banyak tempe
y = banyak tahu
Y
X
A B
C
100
40
0 50 100
y = 40
x + y = 100
Menu
Ayam gorengBebek goreng
Pembatas
Banyak
xy
100
Harga
15.00020.000
Porsi
x
50
Porsi
y
40
X
x + y = 40
Y
2x + 3y = 90
40
30
0 40 45A
B
C
Titik Pojok
A(50, 40)B(60, 40)C(50, 50)
f(x, y) = 15.000x + 20.000y
15.000 × 50 + 20.000 × 40 = 1.550.00015.000 × 60 + 20.000 × 40 = 1.700.00015.000 × 50 + 20.000 × 50 = 1.750.000
Jenis
TempeTahu
Pembatas
Banyak
xy
400
Keuntungan
6001.000
Harga Beli
2.5004.000
1.350.000
46 Program Linear
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 600x + 1.000y dengankendala:
x + y ≤ 4002.500x + 4.500y ≤ 1.350.000 ⇔ 5x + 9y ≤ 2.700x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 400 dan 5x + 9y = 2.700 berpotongandi titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis.
x + y = 400 × 5 5x + 5y = 2.0005x + 9y = 2.700 × 1 5x + 9y = 2.700
––––––––––––– ––4y = –700
⇔ y = 175Substitusikan y = 175 kepersamaan x + y = 400.x + y = 40 ⇔ x + 175 = 40 ⇔ x = 225Diperoleh koordinat titik B(225, 175).Uji titik pojok ke f(x, y) = 500x + 1.000y:
Nilai maksimum f(x, y) = 600x + 1.000y adalah310.000.Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebutRp310.000,00.
26. Jawaban: eMisalkan: x = banyak tablet jenis I
y = banyak tablet jenis II
Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengankendala:
5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 53x + y ≥ 5x ≥ 0y ≥ 0
Garis x + 2y = 5 melalui titik (5, 0) dan (0, 52 ).
Daerah penyelesian x + 2y ≥ 5 dibatasi garisx + 2y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).
Garis 3x + y = 5 melalui titik (53 , 0) dan (0, 5).
Daerah penyelesaian 3x + y ≥ 5 dibatasi garis3x + y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0).Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah daerahdi kuadran I.Daerah penyelesaian:
Menentukan titik potong garis x + 2y = 5 dan3x + y = 5.Eliminasi x dari kedua persamaan garis.
x + 2y = 56x + 2y = 10
–––––––––––– ––5x = –5
⇔ x = 1Substitusikan x = 1 ke persamaan x + 2y = 5.x + 2y = 5 ⇔ 1 + 2y = 5
⇔ 2y = 4⇔ y = 2
Diperoleh titik potong (1, 2).Uji titik pojok penyelesaian.
Nilai maksimum f(x, y) = 4.000x + 8.000y adalah20.000.Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tabletper hari Rp20.000,00.
27. Jawaban: dMisalkan: x = banyak barang jenis I
y = banyak barang jenis II
Barang Bahan A Bahan B Bahan C Harga
Jenis I 1 3 2 40.000Jenis II 3 4 1 60.000
Pembatas 480 720 360
Titik Pojok
O(0, 0)
A(400, 0)
B(225, 175)
C(0, 300)
f(x, y) = 600x + 1.000y
600 × 0 + 1.000 × 0 = 0
600 × 400 + 1.000 × 0 = 2.400
600 × 225 + 1.000 × 175 = 310.000
600 × 0 + 1.000 × 300 = 300.000
X
400
x + y = 400
A
Y
300
0 400 540
5x + 9y = 2.700
B
C
Tablet
III
Pembatas
Banyak
xy
Harga
4.0008.000
Vitamin A
510
25
Vitamin B
31
5
Titik Pojok
(5, 0)(1, 2)(0, 5)
f(x, y) = 4.000x + 8.000y
4.000 × 5 + 8.000 × 0 = 20.0004.000 × 1 + 8.000 × 2 = 20.0004.000 × 0 + 8.000 × 5 = 40.000
Y
X
52
3x + y = 5
x + 2y = 5
5
53
5
47Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X
B
C
D(12, 36)
0 10 20 30 40
60
40
30
x + y = 40
x + y = 400
2x + y = 60
A
y = 3x
Y
X
25
24
0 25 286x + 7y = 168
x + y = 25
O A
B(7, 18)C
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 40.000x + 60.000y dengankendala:
x + 3y ≤ 4803x + 4y ≤ 7202x + y ≤ 360
x ≥ 0y ≥ 0
Garis x + 3y = 480 melalui titik (0, 160) dan (480, 0).Garis 3x + 4y = 720 melalui titik (0, 180) dan (240, 0).Garis 2x + y = 360 melalui titik (0, 360) dan (180, 0).Uji titik (0, 0):
Pertidaksamaan Uji (0, 0) Penyelesaian
x + 3y ≤ 480 0 + 0 ≤ 480 (Benar) Memuat titik (0, 0)3x + 4y ≤ 720 0 + 0 ≤ 720 (Benar) Memuat titik (0, 0)2x + y ≤ 360 0 + 0 ≤ 360 (Benar) Memuat titik (0, 0)
Daerah penyelesaian :
Uji titik pojok ke f(x, y) = 40.000x + 60.000y:Titik Pojok f(x, y) = 40.000x + 60.000y
O(0, 0) 40.000 × 0 + 60.000 × 0 = 0A(180,0) 40.000 × 180 + 60.000 × 0 = 7.200.000B(144, 72) 40.000 × 144 + 60.000 × 72 = 10.080.000C(48, 144) 40.000 × 48 + 60.000 × 144 = 10.560.000D(0, 160) 40.000 × 0 + 60.000 × 160 = 9.600.000
Dari tabel tersebut diperoleh nilai maksimumf(x, y) = 10.560.000.Jadi, pendapatan maksimum yang diperolehRp10.560.000,00.
28. Jawaban: aMisalkan: x = banyak motor A
y = banyak motor B
Jenis Banyak Harga Beli Keuntungan(juta) (juta)
Motor A x 12 2,4Motor B y 14 2,6
Pembatas 25 336
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta dengankendala:
x + y ≤ 2512x + 14y ≤ 336 ⇔ 6x + 7y ≤ 168x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta
Titik Pojok f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta
O(0, 0) 2,4 × 0 + 2,6 × 0 = 0 jutaA(25, 0) 2,4 × 25 + 2,6 × 0 = 60 jutaB(7, 18) 2,4 × 7 + 2,6 × 18 = 63,6 jutaC(0, 24) 2,4 × 0 + 2,6 × 24 = 62,4 juta
Nilai maksimum f(x, y) adalah 63,6 juta yangdicapai pada saat x = 7 dan y = 18.Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harusterjual 7 sepeda motor jenis A.
29. Jawaban: dMisalkan: x = banyak gaun yang dibeli
y = banyak rok yang dibeli
Jenis Banyak Harga Keuntungan
Gaun x 60.000 25.000Rok y 30.000 20.000
Pembatas 40 1.800.000
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = 25.000x + 20.000ydengan kendala:
x + y ≥ 4060.000x + 30.000y ≤ 1.800.000 ⇔ 2x + y ≤ 60
y ≥ 3xx ≥ 0y ≥ 0
Y
X
360
180160
0 180 240 480
B(144, 72)
C(48, 144)
2x + y = 360 3x + 4y = 720 x + 3y = 480
A
D
O
48 Program Linear
Y
X0
100
80
40
40 60 80
C(120
7 , 4007 )
B(48, 16)A
D
5x + 2y = 2004x + 3y = 240
x + 2y = 80
Uji titik pojok:
Nilai maksimum f(x, y) = 25.000x + 20.000y adalah1.200.000.Jadi, keuntungan maksimum butik tersebutRp1.200.000,00.
30. Jawaban: eMisalkan:x = lama pengoperasian penambangan I (hari)y = lama pengoperasian penambangan II (hari)
Tempat Tinggi Menengah Rendah Biaya
Tambang I 1 4 5 2.100.000Tambang II 2 3 2 2.100.000
Pembatas 80 240 200
Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 2.100.000(x + y) dengankendala:
x + 2y ≥ 804x + 3y ≥ 2405x + 2y ≥ 200x ≥ 0y ≥ 0
Uji titik (0, 0):Pertidaksamaan Uji (0, 0) Penyelesaian
x + 2y ≥ 80 0 + 0 ≥ 80 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)
4x + 3y ≥ 240 0 + 0 ≥ 240 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)
5x + 2y ≥ 200 0 + 0 ≥ 200 (Salah) Tidak memuattitik (0, 0)
Daerah penyelesaian SPtLDV:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 2.100.000(x + y):
Titik Pojok f(x, y) = 2.100.000(x + y)
A(80, 0) 2.100.000(80 + 0) = 168.000.000
B(48, 16) 2.100.000(48 + 16) = 134.400.000
C(120
7,
4007
) 2.100.000(120
7 +
4007
) = 156.000.000
D(0, 100) 2.100.000(0 + 100) = 210.000.000
Titik Pojok
A(0, 60)B(0, 40)
C(10, 30)D(12,36)
f(x, y) = 2.000x + 20.000y
25.000 × 0 + 20.000 × 60 = 1.200.00025.000 × 0 + 20.000 × 40 = 800.00025.000 × 10 + 20.000 × 30 = 850.00025.000 × 12 + 20.000 × 36 = 1.020.000
Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) =2.100.000(x + y) adalah 134.400.000 dicapai di titikB(48, 16).Jadi, agar biaya pengoperasian minimum makalama penambangan I dan II dioperasikan berturut-turut selama 48 hari dan 16 hari.
B. Uraian
1. a. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan(b, 0) adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan(–2, 0) adalah –3x – 2y = 6.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis–3x – 2y = 6 maka pertidaksamaannya–3x – 2y ≤ 6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dansejajar sumbu X adalah y = 1.Daerah penyelesaian di atas dan pada garisy = 1 maka pertidaksamaannya y ≥ 1.Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan(2, 0) adalah –3x + 2y = –6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis–3x + 2y = –6 maka pertidaksamaannya–3x + 2y ≥ –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dansejajar sumbu X adalah y = 5.Daerah penyelesaian di bawah dan pada garisy = 5 maka pertidaksamaannya y ≤ 5.Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan(–7, 0) adalah 5x – 7y = –35.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis5x – 7y = –35, maka pertidaksamaannya5x – 7y ≥ –35.Jadi, sistem pertidaksamaannya:
–3x – 2y ≤ 6–3x + 2y ≥ –6
5x – 7y ≥ –351 ≤ y ≤ 5
b. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dantitik (–5, 0) adalah 5x – 5y = –25 ⇔ x – y = –5.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx – y = –5 maka pertidaksamaannya x – y ≥ –5.Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dantitik (–3, 0) adalah –2x – 3y = 6 ⇔ 2x + 3y = –6.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis2x + 3y = –6 maka pertidaksamaannya2x + 3y ≥ –6.Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dantitik (2, 0) adalah 3x + 2y = 6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis3x + 2y = 6 maka pertidaksamaannya3x + 2y ≤ 6.Daerah penyelesaian di kiri dan pada sumbu Y,di atas dan pada sumbu X maka pertidak-samaannya x ≤ 0 dan y ≥ 0.
49Matematika Kelas XII Program IPS
Jadi, sistem pertidaksamaannya:x – y ≥ –5
2x + 3y ≥ –63x + 2y ≤ 6x ≤ 0, y ≥ 0
2. a. Garis 5y – 4x = 20 memotong sumbu X di titik(–5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 5y – 4x ≤ 20 di kanandan pada garis 5y – 4x = 20.Garis 3x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik(–3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –2).Daerah penyelesaian 3x + 2y ≥ –6 di kanandan pada garis 3x + 2y = –6.Garis 2x + y = 2 memotong sumbu X di titik(1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2).Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri danpada garis 2x + y = 2.Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan padasumbu Y.Daerah penyelesaian SPtLDV:
b. Garis 2x – y = –4 memotong sumbu X di titik(–2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 2x – y ≥ –4 di kanandan pada garis 2x – y = –4.Garis x + y = 2 memotong sumbu X di titik(2, 0) dan sumbu Y di titik (0, 2).Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 di kanan danpada garis x + y = 2.Garis 6x + 5y = 30 memotong sumbu X dititik (5, 0) dan sumbu Y di titik (0, 6).Daerah penyelesaian 6x + 5y ≤ 30 di kiri danpada garis 6x + 5y = 30.Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 dikuadran I.Daerah penyelesaian:
3. a.
Luas ABCD = Luas ABE + luas BCDE
= 12 × AE × BE +
12 × BE(DE + BC)
= 12 × 5 × 4 +
12 × 4(3 + 5)
= 10 + 16 = 26 satuanJadi, luas daerah penyelesaian 26 satuan.
b.
Luas ABCD = Luas ABD + luas BCD
= 12 × BD × AE +
12 × BD × OC
= 12 × 10 × 4 +
12 × 10 × 3
= 20 + 15= 35 satuan
Jadi, luas daerah penyelesaian 35 satuan.
4.
Misal garis selidik awal adalah f1: 4x – 2y = –8.Fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y mempunyaikoefisien x positif maka nilai minimumnya dicapaidi titik pojok yang dilalui garis selidik paling kiri.Garis selidik paling kiri melalui titik B(–2, 2)mempunyai persamaan 4x – 2y = –12 maka nilaiminimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y adalah –12.
Y
X–2 0 2 5
6
4
2
2x – y = –4
6x + 5y = 30
x + y = 2
Y
X–5 –3 0 1
4
2
–2
2x + y = 2
3x + 2y = –6
5y – 4x = 20
Y
X
A
BC
DE
2x + y = 2
y = –2
y = 2
4x + 5y = –22
–8 –3 0 1 2
2
–2
Y
X
A
B
C
DEx – 2y = 6
3x + 4y = –12
y – 2x = 8
x + 2y = 6
–4 –2 0 6
43
–3
O
Y
X
4x – 2y = –83y – 2x = 10
4x – 2y = 12
2x + y = 6
2x + 3y = 2
–5 –2 1 3
6
4
2
A
B
C D
4x – 2y = –12
f1
50 Program Linear
5.
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – 2x:
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 3x – 2x adalah 17.
6. Keuntungan penjualan sepatu merek A dan merek Bberturut-turut Rp20.000,00 dan Rp15.000,00,sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam atuminggu tidak kurangdari 8 juta sehingga diperolehpertidaksamaan:20.000x + 15.000y≥ 8.000.000⇔ 4x + 3y ≥ 1.600 . . . (1)Banyak sepatu merek B yang terjual dalam satuminggu tidak kurang dari 35 pasang sehinggadiperoleh pertidaksamaan y ≥ 35 . . . (2)Jumlah sepatu yang terjual dalam satu minggupaling banyak 100 pasang sehingga diperolehpertidaksamaan x + y ≤ 100 . . . (3)Banyak sepatu merek A dan merak B yang terjualtidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidak-samaan x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistempertidaksamaan
4x + 3y ≥ 1.600x + y ≤ 100
y ≥ 35x ≥ 0
7. Diketahui:x = banyak mainan A yang diproduksiy = banyak mainan B yang diproduksi
Diperoleh sistem pertidaksamaan:20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 4830x + 25y ≤ 480 ⇔ 6x + 5y ≤ 96x ≥ 0y ≥ 0
Jadi, model matematika yang sesuai adalah2x + 3y ≤ 48, 6x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0.
Y
X
5x – 2y = 10
4y – x = 163x + 2y = –6
–4 –2 0 2 4
543
–3
A
B C
D
8. Sebuah perusahaan makanan ringan mendapatpasokan 80 kg kentang dan 120 kg gandum setiaphari. Setiap bungkus makanan ringan A membutuh-kan 100 gram kentang dan 200 gram gandum.Setiap bungkus makanan ringan B membutuhkan200 gram kentang dan 200 gram gandum. Labauntuk setiap bungkus makanan ringan ARp1.000,00 dan setiap bungkus makanan ringanB Rp1.200,00. Tentukan:a. model matematika permasalahan tersebut;b. laba maksimum yang mungkin diperoleh
perusahaan tersebut.Jawaban:a. Misalkan: x = banyak makanan ringan A
y = banyak makanan ringan B
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 1.000x + 1.200ydengan kendala:
100x + 200y ≤ 80.000 ⇔ x + 2y ≤ 800200x + 200y ≤ 120.000 ⇔ x + y ≤ 600x ≥ 0y ≥ 0
b. Daerah penyelesaian SPtLDV:
Menentukan koordinat titik B.B merupakan perpotongan antara garisx + y = 600 dan x + 2y = 800.x + 2y = 800x + y = 600
––––––––––– –y = 200
Substitusikan y = 200 ke x + y = 600x + y = 600 ⇔ x + 200 = 600
⇔ x = 400Diperoleh koordinat titik B(400, 200).
Titik Pojok
A(–4, 3)B(–2, 0)C(2, 0)D(4, 5)
f(x, y) = 3y – 2x
3 × 3 – 2 × (–4) = 173 × 0 – 2 × (–2) = 43 × 0 – 2 × 2 = –43 × 5 – 2 × 4 = 7
← Maksimum
Mainan AMainan B
Pembatas
xy
Banyak
2030
480
Mesin I
3025
480
Mesin II
JenisMakanan
AB
Pembatas
Banyak
xy
Laba
1.0001.200
Kentang(gram)
100200
80.000
Gandum(gram)
200200
120.000
Y
XA
B
C
600
400
O 600 800
x + y = 600x + 2y = 800
51Matematika Kelas XII Program IPS
X
3x + y = 30
A
30
Y
4x + 3y = 60
x + 2y = 20
B(12, 4)
C(6, 12)
D
20
10
0 10 15 20
Y
X0A
B(80, 120)
C
160 200
200
240
O
x + y = 2003x + 2y = 480
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalamfungsi objektif f(x, y) = 1.000x + 1.200y:
Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 640.000.Jadi, laba maksimum yang mungkin diperolehperusahaan itu adalah Rp640.000,00 tiap hari.
9. Misalkan: x = banyak rumah tipe Ay = banyak rumah tipe B
Jenis Banyak Luas Harga Jual(juta rupiah)
Rumah tipe A x 150 300Rumah tipe B y 100 200
Kendala 200 24.000
Model matematika permasalahan adalah me-maksimumkan f(x, y) = (300x + 200y) juta dengankendala:
x + y ≤ 200150x + 100y ≤ 24.000 ⇔ 3x + 2y ≤ 480x ≥ 0y ≥ 0
a. Garis x + y = 200 melalui titik (0, 200) dan titik(200, 0).Daerah penyelesaian x + y ≤ 200 dibatasi garisx + y = 200 dan memuat titik (0, 0).
b. Garis 3x + 2y = 480 melalui titik (160, 0) dan titik(0, 240).Daerah penyelesaian 3x + 2y ≤ 480 dibatasigaris 3x + 2y = 480 dan memuat titik (0, 0).
c. Garis x + y = 200 dan 3x + 2y = 480berpotongan di titik B(80, 120).
Daerah penyelesaian SPtLDV:
Uji titik pojok ke f(x, y) = (300x + 200y) juta:
Titik Pojok f(x, y) = (300x + 200y) juta
O(0, 0) (300 × 0 + 200 × 0 = 0) jutaA(160, 0) (300 × 160 + 200 × 0 = 48.000) jutaB(80, 120) (300 × 80 + 200 × 120 = 48.000) jutaC(0, 200) (300 × 0 + 200 × 200 = 40.000) juta
Nilai maksimum f(x, y) adalah 48.000 juta atau48 miliar.Jadi, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh48 miliar rupiah.
10. Misalkan: x = banyak pengoperasian truk Iy = banyak pengoperasian truk II
Jenis BanyakSepeda Sepeda SepedaMotor A Motor B Motor C
Biaya
Truk I x 5 15 20 300.000Truk II y 10 5 15 200.000
Pembatas 100 150 300
Model matematika permasalahan adalah me-minimumkan f(x, y) = 300.000x + 200.000y dengankendala:
5x + 10y ≥ 100 ⇔ x + 2y ≥ 2015x + 5y ≥ 150 ⇔ 3x + y ≥ 30
20x + 15y ≥ 300 ⇔ 4x + 3y ≥ 60x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke f(x, y) = 300.000x + 200.000y:
Titik Pojok f(x, y) = 300.000x + 200.000y
A(20, 0) 300.000 × 20 + 200.000 × 0 = 6.000.000B(12, 4) 300.000 × 12 + 200.000 × 4 = 4.400.000C(6, 12) 300.000 × 6 + 200.000 × 12 = 4.200.000D(0, 30) 300.000 × 0 + 200.000 × 30 = 6.000.000
Nilai minimum f(x, y) adalah 4.200.000 dicapai padasaat x = 6 dan y = 12.Jadi, agar biaya pengoperasian minimum, truk Idioperasikan 6 kali dan truk II dioperasikan 12 kali.
Titik Pojok
O(0, 0)A(600, 0)B(400, 200)C(0, 400)
f(x, y) = 1.000x + 1.200y
1.000 × 0 + 1.200 × 0 = 01.000 × 600 + 1.200 × 0 = 600.0001.000 × 400 + 1.200 × 200 = 640.0001.000 × 0 + 1.200 × 400 = 480.000
52 Ulangan Tengah Semester 1
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
∫ (3x4 – 4x3 + 2x2 – x + 5) dx
= �
� �+ x5 – �
� �+ x4 + �
� �+ x3 – �
� �+ x2 + 5x + c
= �
�x5 – x4 +
�
�x3 –
�
�x2 + 5x + c
2. Jawaban: d
∫ (� � �
�
�� �� �
�
+ +) dx = ∫ (2x2 + 3x + 1) dx
= �
�x3 +
�
�x2 + x + c
3. Jawaban: c
F(x) = ∫ ( �
�
� – 3) dx =
�
� �− + x–3 + 1 – �
�x + c
= –�
�x–2 – 3x + c
= – �
�
�� – 3x + c
4. Jawaban: a
∫ 60t �� �� ��− dt
Misalkan u = 3t2 – 11 ⇔ du = 6t dt
∫ 60t �� �� ��− dt = ∫ 10(3t2 – 11)
�
� · 6t dt
= ∫ 10 × u�
� du
= 10 × �
�u
�
� + c
= 8u�
� + c
= 8(3t2 – 11)�
� + c
5. Jawaban: b
f′(x) = 36(2x – 5)5
f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ 36(2x – 5)5 dx
Misalkan u = 2x – 5 ⇔ du = 2 dx
Diperoleh:
f(x) = ∫ 18(2x – 5)5 × 2 dx = ∫ 18 u5 du
= 18 × �
�u6 + c
= 3u6 + c
= 3(2x – 5)6 + c
Diketahui: f(2) = 10
⇔ 3(2 × 2 – 5)6 + c = 10
⇔ 3 × 1 + c = 10
⇔ c = 7
Jadi, diperoleh fungsi f(x) = 3(2x – 5)6 + 7.
6. Jawaban: d
f(x) = ∫ (12x3 – 3x2 + 2) dx
= 12 × �
�x4 – 3 ×
�
�x3 + 2x + c
= 3x4 – x3 + 2x + c
f(2) = 46
⇔ 3(2)4 – (2)3 + 2(2) + c = 46
⇔ 48 – 8 + 4 + c = 46
⇔ 44 + c = 46
⇔ c = 2
Jadi, fungsi f(x) = 3x4 – x3 + 2x + 2.
7. Jawaban: c
Gradien kurva = f′(x) = 3x2 – 2x + 4
Persamaan kurva:
f(x) = ∫ (3x2 – 2x + 4) dx
= x3 – x2 + 4x + c
Kurva f(x) melalui titik (2, 17)
f(x) = x3 – x2 + 4x + c
⇔ 17 = 23 – 22 + 4(2) + c
⇔ 17 = 8 – 4 + 8 + c
⇔ c = 5
Jadi, persamaan kurva tersebut y = x3 – x2 + 4x + 5.
8. Jawaban: d
f(x) = ∫ (2x5 – 3x2 + 1) dx
= �
�x6 –
�
�x3 + x + c
= �
�x6 – x3 + x + c
53Matematika Kelas XII Program IPS
Diketahui f(2) = 40, berarti:
40 = �
�(2)6 – 23 + 2 + c
⇔ 40 = ��
� – 8 + 2 + c
⇔ c = 40 – ��
� + 8 – 2
⇔ c = �� ��
�
−
⇔ c = �
� = 24
�
�
Diperoleh f(x) = �
�x6 – x3 + x + 24
�
�.
Titik potong terhadap sumbu Y diperoleh ketika
x = 0.
f(0) = �
� × 06 – 03 + 0 + 24
�
�
= 24�
�
Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 24�
�).
9. Jawaban: b
�
�−∫ (f(x) – g(x)) dx
=
�
�−∫ (f(x) – g(x)) dx +
�
�∫ (f(x) – g(x)) dx
=
�
�−∫ f(x) dx –
�
�−∫ g(x) dx +
�
�∫ f(x) –
�
�∫ g(x) dx
=
�
�−∫ f(x) dx +
�
�∫ f(x) dx –
�
�−∫ g(x) +
�
�∫ g(x) dx
=
�
�−∫ f(x) dx +
�
�∫ f(x) dx –
�
�−∫ g(x) dx –
�
�∫ g(x) dx
10. Jawaban: e
�
�∫ (2x – 3x2) dx = x2 – x3
�
�
⇔ m = (42 – 43) – (02 – 03)
⇔ m = 16 – 64
⇔ m = –48
m = –48 sehingga m – 2 = –48 – 2 = –50.
Jadi, nilai m – 2 = – 50.
11. Jawaban: b
�
�−∫ � �
��
�� � − dx
Misal u = x2 – 3 ⇔ du = 2x dx
∫ � �
��
�� � − dx = ∫ u–3 du
= �
�− u–2 + c
= –�
�� �
�
�� � − + c
�
�−∫ � �
��
�� � − dx = –�
� � �
�
�
�
�� � −
−
= –�
�( � �
�
�� � − – � �
�
� � � − − )
= –�
�(1 –
�
�)
= (–�
�)(
�
�)
= –�
12. Jawaban: b
�
�∫(x + 2) dx = 12
⇔ �
�
�
�
�� ��
+ = 12
⇔ �
�p2 + 2p – (
�
� × 32 + 2 × 3) = 12
⇔ �
�p2 + 2p –
��
� – 12 = 0
⇔ �
�p2 + 2p –
��
�= 0
⇔ p2 + 4p – 45 = 0
⇔ (p – 5)(p + 9) = 0
⇔ p = 5 atau p = –9
Oleh karena p > 0 maka nilai p = 5.
13. Jawaban: c
�
�∫ (ax2 – 2x + 1) dx =
�
�
⇔ �
�x3 – x2 + x
�
�
= �
�
⇔ (�
� × 23 – 22 + 2) – (
�
� × 13 – 12 + 1) =
�
�
⇔ (
�a – 4 + 2) – (
�
� – 1 + 1) =
�
�
⇔
�a – 2 =
�
�
⇔
�a = 2
�
�
⇔ a = 1
Jadi, nilai a = 1.
54 Ulangan Tengah Semester 1
14. Jawaban: a
Misalkan: u = x2 – 2x – 3
⇒ du = (2x – 2) dx
⇔ du = 2(x – 1) dx
⇔ �
�du = (x – 1) dx
∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx
= ∫ (x2 – 2x – 3)(x – 1) dx
= ∫ �
�u du
= �
�u2 + c
= �
�(x2 – 2x – 3)2 + c
�
�∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx
= �
�(x2 – 2x – 3)2 ]�
�
= �
�(42 – 2 × 4 – 3)2 –
�
�(12 – 2 × 1 – 3)2
= �
�(5)2 –
�
�(–4)2
= ��
� –
��
�
= �
�
15. Jawaban: a
L = �
�− ∫ (x2 – 5x + 6) dx
= –�
� �
�
� �
� �� � � ��
− +
= –((�
� –
��
� + 18) – (
� –
��
� + 12))
= –(��
� –
��
� + 6)
= –(� � ��
�
− +) =
�
�
Jadi, luas daerah yang diarsir �
� satuan luas.
16. Jawaban: e
Kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3.
Substitusikan persamaan y = x + 3 ke dalam
persamaan y = x2 + 1.
x2 + 1 = x + 3
⇔ x2 – x – 2 = 0
D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 × 1 × (–2) = 9
L = �
� �
��=
� �
� =
�
� = 4
�
�
Jadi, luasnya 4�
� satuan luas.
17. Jawaban: a
L1 =
�
�∫ (f(x) – g(x)) dx
L2 =
�
�∫ f(x) dx
L = L1 + L
2
=
�
�∫ (f(x) – g(x)) dx +
�
�∫ f(x) dx
=
�
�∫ f(x) dx +
�
�∫ f(x) dx –
�
�∫ g(x) dx
=
�
�∫ f(x) dx –
�
�∫ g(x) dx
18. Jawaban: b
f(x) = (x – 2)2 – 4
= x2 – 4x + 4 – 4
= x2 – 4x
g(x) = –f(x)
= –(x2 – 4x)
= –x2 + 4x
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)
= Luas daerah yang diarsir
= �
�∫ (g(x) – f(x)) dx
= �
�∫ (–x2 + 4x – (x2 – 4x)) dx
2 3
y = x2 – 5x + 6
Y
X0
X
Y
0 a b
f(x)
g(x)
L1
L2
Y
X
f(x) = x2 – 4x
g(x) = –x2 + 4x
0 4
–4
55Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X
150
125
100 1250
3x + 2y = 300
x + y = 125Y
X
6
0
y = �
�x2 + x + 6
y = 6
= �
�∫ (–2x2 + 8x) dx
= –�
� x3 + 4x2 ]�
�
= –�
�(4)3 + 4(4)2 – (–
�
�(0)3 + 4(0)2)
= – ��
�+ 64 – 0
= 21�
�
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)
adalah 21�
� satuan luas.
19. Jawaban: d
Gradien kurva y adalah y′.y′ = 3x2 + 2x + 6
⇔ y = ∫ (3x2 + 2x + 6) dx
⇔ y = x3 + x2 + 6x + c
Kurva melalui (1, 12), diperoleh:
12 = 13 + 12 + 6(1) + c
⇔ 12 = 8 + c
⇔ c = 4
Persamaan kurva tersebut y = x3 + x2 + 6x + 4.
Titik potong kurva dengan sumbu Y, berarti x = 0.
y = 03 + 02 + 6 × 0 + 4
⇔ y = 4
Jadi, titik potong kurva tersebut dengan sumbu Y
adalah (0, 4).
20. Jawaban: d
f′(x) = x + 1
f(x) = ∫ (x + 1) dx = �
�x2 + x + c
Fungsi f(x) melalui titik (2, 10)
10 = �
�(2)2 + 2 + c
⇔ 10 = 4 + c
⇔ c = 6
Diperoleh f(x) = �
�x2 + x + 6.
Titik potong kurva y = 6 dan
kurva y = �
�x2 + x + 6:
6 = �
�x2 + x + 6
⇔ 0 = �
�x2 + x
⇔ 0 = x2 + 2x
⇔ 0 = x(x + 2)
⇔ x = 0 atau x = –2
L = �
�−∫ (6 – (
�
�x2 + x + 6)) dx
= �
�−∫ (–
�
�x2 – x) dx
= �
� �
�
� �
� �� �
−
− −
= 0 – (
� – 2)
= �
�
Jadi, luas daerah yang dibatasi y = f(x), sumbu X,
sumbu Y, dan garis y = 6 adalah �
� satuan luas.
21. Jawaban: d
Garis x + y = 125 melalui (0, 125) dan (125, 0).
Garis 3x + 2y = 300 melalui (0,150) dan (100, 0).
1) Pertidaksamaan x + y ≤ 125
Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 0 ≤ 125
⇔ 0 ≤ 125 (benar)
Daerah penyelesaian pertidaksamaan
x + y ≤ 125 dibatasi garis x + y = 125 dan
memuat titik (0, 0).
2) Pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 300
Uji titik (0, 0) ⇔ 3(0) + 2(0) ≤ 300
⇔ 0 ≤ 300 (benar)
Daerah penyelesaian pertidaksamaan
3x + 2y ≤ 300 dibatasi garis 3x + 2y = 300
dan memuat titik (0, 0).
3) Pertidaksamaan x ≥ 0
Daerah penyelesaian x ≥ 0 adalah daerah di
sebelah atas sumbu X.
4) Pertidaksamaan y ≥ 0
Daerah penyelesaian y ≥ 0 adalah daerah di
sebelah kanan sumbu Y.
Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan daerah
penyelesaian seperti grafik berikut.
Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai ditunjukkan
pada pilihan d.
22. Jawaban: c
Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (2, 0).
�
� +
�
� = 1⇔ 5x + 2y = 10
56 Ulangan Tengah Semester 1
Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (6, 0).
�
� +
�
� = 1⇔ x + 2y = 6
Daerah yang diarsir terletak di sebelah kanan garis
5x + 2y = 10 dan di sebelah kiri garis x + 2y = 6.
Dengan demikian, sistem pertidaksamaannya:
5x + 2y ≥ 10, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
23. Jawaban: b
Garis x + 2y = 10 melalui (0, 5) dan (10, 0).
Garis 2x + y = 10 melalui (0, 10) dan (5, 0).
1) Pertidaksamaan x + 2y ≥ 10
Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 2(0) ≥ 10
⇔ 0 ≥ 10 (salah)
Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 10 dibatasi
garis x + 2y = 10 dan tidak memuat (0, 0).
2) Pertidaksamaan 2x + y ≤ 10
Uji titik (0, 0) ⇔ 2(0) + 0 ≤ 10
⇔ 0 ≤ 10 (benar)
Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi
garis 2x – y = 10 dan memuat (0, 0).
3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah
daerah di kuadran I.
Dari 1), 2), dan 3) diperoleh irisan daerah
penyelesaian sebagai berikut.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah II.
24. Jawaban: e
Setiap pertidaksamaan digambarkan dalam grafik
kartesius.
x – 2y ≤ 0 berarti daerah penyelesaiannya di
sebelah kiri garis x – 2y = 0 ⇔ y = �
�x.
x + y ≤ 4 berarti daerah penyelesaiannya di sebelah
kiri garis x + y = 4.
y ≤ 3x ⇔ 3x – y ≥ 0 berarti daerah penyelesaian-
nya di sebelah kanan garis 3x – y = 0 ⇔ y = 3x.
Jika digambarkan dalam
satu bidang cartesius
seperti gambar di samping.
Jadi, daerah yang me-
menuhi sistem pertidak-
samaan tersebut pada
pilihan e.
25. Jawaban: e
1) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (4, 0)
adalah x + y = 4.
Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah
diarsir adalah x + y ≤ 4.
2) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (2, 0)
adalah �
� +
�
� = 1 ⇔ 2x + y = 4.
Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah
diarsir adalah 2x + y ≥ 4.
3) Persamaan garis yang sejajar sumbu X dan
melalui (0, 1) adalah y = 1.
Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah
yang diarsir adalah y ≥ 1.
Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang sesuai
dengan daerah penyelesaian di atas adalah
x + y ≤ 4; y ≥ 1; 2x + y ≥ 4; y ≥ 0.
26. Jawaban: d
Persamaan garis yang melalui (5, 0) dan (0, 5)
adalah x + y = 5.
Persamaan garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4)
adalah 2x + 3y = 12.
Menentukan titik potong kedua garis mengguna-
kan eliminasi.
x + y = 5 × 3 3x + 3y = 15
2x + 3y = 12 × 1 2x + 3y = 12–––––––––––– –
x = 3
Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan x + y = 5.
Dengan demikian, 3 + y = 5 ⇔ y = 2.
Titik potong kedua garis adalah (3, 2).
Uji titik pojok:
Jadi, nilai maksimumnya 35.
27. Jawaban: a
Untuk menghitung besar nilai maksimum f(x, y),
dapat dilakukan dengan menguji titik pojok daerah
penyelesaian itu.
Oleh karena nilai tertinggi adalah 39 maka nilai
maksimum f(x, y) = 39.
Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 5x + 8y pada daerah
penyelesaian di atas adalah 39.
Y
X
10
5
5 100
2x + y = 10
x + 2y = 10
Y
X
4
4
y = 3x
y = �
�x
0
x + y = 4
(x, y)
(0, 4)
(3, 2)
(5, 0)
(0, 0)
F(x, y) = 7x – 2y
7 × 0 – 2 × 4 = –8
7 × 3 – 2 × 2 = 17
7 × 5 – 2 × 0 = 35
7 × 0 – 2 × 0 = 0
Titik Pojok
(1, 0)
(3, 3)
(0, 1)
(3, 0)
f(x, y) = 5x + 8y
5 × 1 + 8 × 0 = 5
5 × 3 + 8 × 3 = 39
5 × 0 + 8 × 1 = 8
5 × 3 + 8 × 0 = 15
57Matematika Kelas XII Program IPS
Titik f(x, y) = 17x + 17y
A(2, 0) 17 × 2 + 17 × 0 = 34
B(5, 0) 17 × 5 + 17 × 0 = 85
C(��
�,
��
�) 17 ×
��
� + 17 ×
��
�= 70
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Jadi, nilai minimum dari sistem pertidaksamaandi atas adalah 10.
30. Jawaban: b
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
5x + 2y ≥ 10; 4x + 5y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 sebagai
berikut.
Titik C merupakan titik potong 5x + 2y = 10 dan
4x + 5y = 20.
5x + 2y= 10 × 5 25x + 10y = 50
4x + 5y= 20 × 2 8x + 10y = 40––––––––––––– –
17x = 10
⇔ x = ��
�
Substitusikan x = ��
� ke dalam persamaan
5x + 2y = 10.
⇔ 5(��
�) + 2y = 10
⇔ 2y = �� ��
�
−
⇔ 2y = ���
�
⇔ y = ��
�
Koordinat titik C(��
�,
��
�).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimumnya 85 yang dicapai pada titik
B(5, 0) atau x = 5; y = 0.
Sehingga nilai x + y = 5 + 0 = 5.
Jadi, nilai x + y = 5.
Y
XA B
C
D
4
3
2 40
Titik Z = 5x + 10y
A(2, 0) 5 × 2 + 10 × 0 = 10
B(4, 0) 5 × 4 + 10 × 0 = 20
C(0, 4) 5 × 0 + 10 × 4 = 40
D(0, 3) 5 × 0 + 10 × 3 = 30
Y
XA B
C
5
4
2 50
5x + 2y = 10 4x + 5y = 20
Titik f(x, y) = 3x + 2y
A(�
��,
��
��) 3 ×
�
�� + 2 ×
��
��= 6
B(6, 4) 3 × 6 + 2 × 4 = 26
C(0, 3) 3 × 0 + 2 × 3 = 6
28. Jawaban: d
Persamaan garis yang melalui (0, 3) dan (2, 0):�
� +
�
� = 1 ⇔ 3x + 2y = 6
Persamaan garis yang melalui (0, 0) dan (6, 4):
� �
� �
−− =
� �
� �
−− ⇔ �
� =
�
�
⇔ 4x – 6y = 0
⇔ 2x – 3y = 0
Untuk menghitung nilai minimum f(x, y) dapat
dilakukan dengan menguji titik pojok. Titik-titik pojok
pada daerah yang diarsir adalah A, B, C. Titik A
adalah titik potong garis 3x + 2y = 6 dan garis
2x – 3y = 0.
3x + 2y= 6 × 3 9x + 6y= 18
2x – 3y = 0 × 2 4x – 6y = 0–––––––––– +
13x = 18
⇔ x = �
��
Substitusikan x = �
�� ke dalam persamaan
2x – 3y = 0.
2x – 3y = 0 ⇔ 2�
��
– 3y = 0
⇔ ��
��= 3y
⇔ y = ��
��
Koordinat titik A (�
��,
��
��).
Uji titik pojok daerah penyelesaian:
Jadi, nilai minimum yang memenuhi daerah pe-
nyelesaian itu adalah 6.
29. Jawaban: e
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 4, 3x + 2y ≥ 6, x ≥ 0 dan y ≥ 0 sebagai
berikut.
Titik pojok daerah
penyelesaian di sam-
ping adalah A(2, 0); B(4,
0); C(0, 4); dan D(0, 3).
58 Ulangan Tengah Semester 1
31. Jawaban: a
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
5x + 6y ≥ 30, 4 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 4 sebagai berikut.
Koordinat titik A(6, 0), B(7, 0), C(7, 4), dan D(4, 4).
Titik E adalah titik potong garis x = 4 dengan garis
5x + 6y = 30. Substitusikan x = 4 ke dalam
persamaan 5x + 6y = 30.
5 × 4 + 6y = 30
⇔ 6y = 10
⇔ y = �
�
Koordinat titik E(4, �
�).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Jadi, nilai maksimum Z = 9x + 8y dari sistem
pertidaksamaan tersebut adalah 95.
32. Jawaban: d
Permasalah tersebut dapat dibuat tabel seperti
berikut.
Model matematika:
x + y ≤ 30 . . . (1)
6.000x + 15.000y ≤ 300.000
⇔ 2x + 5y ≤ 100 . . . (2)
x ≥ 0, y ≥ 0
33. Jawaban: d
Diketahui: x =banyak ikan lele yang dibeli (kg)
y =banyak ikan kakap yang dibeli (kg)
Harga pembelian ikan lele dan ikan kakap tidak
boleh melebihi modal yang dimiliki penjual ikan:
10.000x + 15.000y ≤ 600.000 . . . (1)
⇔ 2x + 3y ≤ 120
Jumlah berat ikan lele dan ikan kakap yang dibeli
tidak lebih dari 50 kg:
⇔ x + y ≤ 50 . . . (2)
Banyak ikan lele dan ikan kakap tidak boleh
negatif:
x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3)
Diperoleh sistem pertidaksamaan:
2x + 3y ≤ 120
x + y ≤ 50
x ≥ 0, y ≥ 0
Jadi, model matematika yang sesuai adalah
2x + 3y ≤ 120; x + y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0
34. Jawaban: c
Jumlah vitamin B yang dikonsumsi paling sedikit
18 unit diperoleh pertidaksamaan:
2x + 3y ≥ 18 . . . (1)
Jumlah vitamin C yang dikonsumsi paling sedikit
15 unit diperoleh pertidaksamaan:
3x + 2y ≥ 15 . . . (2)
Banyak tablet I dan tablet II tidak boleh negatif
diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Model matematikanya berupa sistem pertidak-
samaan linear:
2x + 3y ≥ 18
3x + 2y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
35. Jawaban: b
Diketahui: x = banyak motor manual
y = banyak motor matic
Persediaan motor manual paling sedikit 100 unit
dan kurang dari 150 unit, diperoleh pertidak-
samaan:
100 ≤ x ≤ 150 . . . (1)
Persediaan motor matic paling sedikit 150 unit,
diperoleh pertidaksamaan:
y ≥ 150 . . . (2)
Jumlah motor matic dan manual tidak lebih dari
400:
x + y ≤ 400
Jadi, model matematika yang sesuai adalah
x + y ≤ 400; 100 ≤ x ≤ 150; y ≥ 150
36. Jawaban: e
Misalkan: x = banyak gaun A yang dibuat
y = banyak gaun B yang dibuat
Diperoleh model matematika:
2x + 1,5y ≤ 60 ⇔ 4x + 3y ≤ 120 . . . (1)
x + 2,5y ⇔ 65 ⇔ 2x + 5y ≤ 130 . . . (2)
x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3)
Titik Z = 9x + 8y
A(6, 0) 9 × 6 + 8× 0 = 54
B(7, 0) 9 × 7 + 8 × 0 = 63
C(7, 4) 9 × 7 + 8 × 4 = 95
D(4, 4) 9 × 4 + 8 × 4 = 68
E(4, �
�) 9 × 4 + 8 ×
�
�= 49
�
�
Sandal Banyak Modal
Jenis I x 6.000x
Jenis II y 15.000y
Pembatas 30 300.000
Y
XA B
CD
E
y = 4
x = 4 x = 7
40
5
5x + 6y = 30
6 7
Jenis Banyak Vitamin B Vitamin C
Tablet I x 2x 3x
Tablet II y 3y 2y
Pembatas 18 15
59Matematika Kelas XII Program IPS
Y
XO
A
B
C
24
15
24 30
x + y = 24
x + 2y = 30
Titik F(x, y) = 5.000x + 8.000y
O(0, 0) 5.000 × 0 + 8.000 × 0 = 0
A(24, 0) 5.000 × 24 + 8.000 × 0 = 120.000
B(18, 6) 5.000 × 18 + 8.000 × 6 = 138.000
C(0, 15) 5.000 × 0 + 8.000 × 15 = 120.000
Jenis Rumah
Tipe A
Tipe B
Pembatas
Banyak
x
y
125
Lahan (m2)
100x
75y
10.000
Keuntungan
(Juta)
10x
6y
Titik B merupakan titik potong garis x + 2y = 30
dan x + y = 24.
x + 2y = 30
x + y = 24––––––––– –
y = 6
Substitusikan y = 6 ke dalam persamaan
x + y = 24.
x + 6 = 24
⇔ x = 18
Diperoleh koordinat titik B(18, 6)
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimum F(x, y) adalah 138.000. Jadi, hasil
maksimum tempat parkir tersebut Rp138.000,00.
38. Jawaban: d
Misalkan: x = banyak rumah tipe A
y = banyak rumah tipe B
Model matematika persoalan tersebut dapat dibuat
sebagai berikut.
100x + 75y ≤ 10.000
⇔ 4x + 3y ≤ 400
x + y ≤ 125
x ≥ 0; y ≥ 0
Memaksimumkan F(x, y) = 10.000.000x + 6.000.000y
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Titik B adalah titik potong garis 4x + 3y = 400 dan
x + y = 125.
4x + 3y= 400 × 1 4x + 3y= 400
x + y = 125 × 3 3x + 3y= 375––––––––––– –⇔ x = 25
Substitusikan x = 25 ke dalam persamaan
x + 2y = 125.
Memaksimumkan f(x, y) = 500.000x + 400.000y.
4x + 3y = 120 × 1 4x + 3y = 120
2x + 5y = 130 × 2 4x + 10y = 260 ––––––––––––– –
–7y = –140
⇔ y = 20
Dengan demikian diperoleh x = 15.
Jadi, titik potongnya (15, 20).
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimum f(15, 20) = 15.500.000.
Jadi, keuntungan maksimum Rp15.500.000,00.
37. Jawaban: d
Misalkan: x = banyak mobil yang sedang diparkir
y = banyak bus yang sedang diparkir
Model matematika pada persoalan di atas dapat
dibuat sebagai berikut.
10x + 20y ≤ 300
⇔ x + 2y ≤ 30
x + y ≤ 24
x ≥ 0; y ≥ 0
Memaksimumkan F(x, y) = 5.000x + 8.000y
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
tersebut:
Kendaraan
Mobil
Bus
Pembatas
Banyak
x
y
24
Luas
10x
20y
300
Biaya Parkir
5.000x
8.000y
Y
X0
40
26
30 65
4x + 3y = 120 2x + 5y = 130
Titik Pojok F(x, y) = 500.000x + 400.000y
(0, 26) 500.000 × 0 + 400.000 × 26 = 10.400.000
(15, 20) 500.000 × 15 + 400.000 × 20 = 15.500.000
(30, 0) 500.000 × 30 + 400.000 × 0 = 15.000.000
(0, 0) 500.000 × 0 + 400.000 × 0 = 0
(15, 20)
Y
XO
A
B
C
100 125
���
�
125
4x + 3y = 400
x + y = 125
60 Ulangan Tengah Semester 1
⇔ 25 + y = 125
⇔ y = 100
Diperoleh koordinat titik B(25, 100).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimum F(x, y) = 1.000 juta = 1 miliar
dicapai pada titik A(100, 0) atau pada saat
x = 100 dan y = 0.
Jadi, keuntungan maksimum yaitu 1 miliar rupiah
dapat dicapai jika pemborong tersebut membuat
100 rumah tipe A.
39. Jawaban: d
Misalkan: x = banyak bus
y = banyak minibus
Diperoleh SPtLDV:
x + y ≥ 8
50x + 30y ≥ 300 ⇔ 5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
Meminimumkan f(x, y) = 900.000x + 500.000y.
Daerah penyelesaian SPtLDV:
Titik B merupakan perpotongan garis 5x + 3y = 30
dan x + y = 8. Koordinat B(3, 5).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai minimum f(x, y) adalah 5.000.000
Jadi, biaya sewa minimum yang dikeluarkan
sekolah Rp5.000.000,00.
40. Jawaban: d
Misalkan: x = banyak arloji wanita
y = banyak arloji pria
Diperoleh model matematika:
x + y ≤ 30
60.000x + 240.000y ≤ 3.600.000
⇔ x + 4y ≤ 60
x ≥ 0, y ≥ 0
Memaksimumkan f(x, y) = 20.000x + 60.000y.
Daerah penyelesaian:
Titik B merupakan titik potong garis x + y = 30
dan x + 4y = 60.
x + 4y= 60
x + y = 30
––––––––– –
3y = 30 ⇔ y = 10
Substitusikan y = 10 ke dalam pesamaan x + y
= 30.
x + 10 = 30
⇔ x = 20
Koordinat titik B(20, 10).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.000.000 yang
dicapai pada titik B(20, 10) atau x = 20 dan y = 10.
Jadi, keuntungan maksimum diperoleh jika
pedagang membeli 20 arloji wanita dan 10 arloji
pria.
Titik F(x, y) = (10x + 6y)
O(0, 0) (10 × 0 + 6 × 9 = 0) juta
A(100, 0) (10 × 100 + 6 × 0 = 1.000) juta
B(25, 100) (10 × 25 + 6 × 100 = 850) juta
C(0, 125) (10 × 0 + 6 × 125) = 750) juta
Bus
Minibus
Pembatas
Banyak Daya Angkut Harga Sewa
x
y
8
50x
30y
300
900.000x
500.000y
10
8
A
B
C
6 8
5x + 3y = 30 x + y = 8
Y
X0
Titik f(x, y) = 900.000x + 500.000y
A(8, 0) 900.000 × 8 + 500.000 × 0 = 7.200.000
B(3, 5) 900.000 × 3 + 500.000 × 5 = 5.200.000
C(0, 10) 900.000 × 0 + 500.000 × 10 = 5.000.000
Kendaraan
Jenis Arloji
Arloji wanita
Arloji pria
Pembatas
Banyak Harga Beli Keuntungan
x
y
30
60.000
240.000
3.600.000
20.000
60.000
Y
X
30
15
O 30 60
A
B
C
x + y = 30x + 4y = 60
Titik F(x, y) = 20.000x + 60.000y
O(0, 0) 20.000(0) + 60.000(0) = 0
A(30, 0) 20.000(30) + 60.000(0) = 600.000
B(20, 10) 20.000(20) + 60.000(10) = 1.000.000
C(0, 15) 20.000(0) + 60.000(15) = 900.000
61Matematika Kelas XII Program IPS
B. Uraian
1. a. ∫(5x4 – 2x3 + 4x2 – 3) dx
= �
� �+ x4 + 1 – �
� �+ x3 + 1 + �
� �+ x2 + 1 – 3x + c
= �
�x5 –
�
�x4 +
�
�x3 – 3x + c
= x5 – �
�x4 +
�
�x3 – 3x + c
b. ∫(2x2 � – �
� �) dx
= ∫ (2x�
� – 3x�
�−
) dx
= �
�
�
�+x
�
� + 1 – �
�
�
�− +x
�
�− + 1
=
�
�x
� – �
�
�
−x
�
�−
= �
x
� + 6x�
�−
= �
x3 � +
�
� + c
2. a. Misalkan u = 2x2 + 1 ⇔ ��
�� = 4x ⇔
du = 4x dx
∫�
�
�� �+dx =
�
�∫(2x2 + 1)
–�
� · 4x dx
= �
�∫
�
��−
du
= �
� ×
�
�
�
�� + c
= �
�
�
�� + c
= �
�
��� �+ + c
b. ∫ 3x�� �− dx
Misalkan u = x2 – 1 ⇔ du = 2x dx
∫ 3x�� �− dx =
�
�∫ (x2 – 1)
�
� · 2x dx
= �
�∫ u
�
� du
= �
� ×
�
�u
�
� + c
= u
�
� + c
= (x2 – 1)�� �− + c
3. a.
�
�∫ (x2 – �
�
� + 1) dx
=
�
�∫ (x2 – x–2 + 1) dx
= �
�x3 + x–1 + x
�
�
= (�
�(3)3 + (3)–1 + 3) – (
�
�(1)3 + (1)–1 + 1)
= (9 + �
� + 3) – (
�
� + 1 + 1) = 10
b.
�
�∫ (x � + 2)2 dx
=
�
�∫ (x
�
� + 2)2 dx
=
�
�∫ (x3 + 4x
�
� + 4) dx
=�
�x4 + 4(
�
�x
�
� ) + 4x�
�
=�
�x4 +
�x
�
� + 4x�
�
= (�
�(4)4 +
�(4)
�
� + 4(4))
– (�
�(0)4 +
�(0)
�
� + 4(0))
= (64 +
�× 25 + 16) – 0
= 64 + 16 + ���
� = 131
�
�
c.
�
�−∫ �
� �
� �� �
−
− + dx
Misal u = x2 – 4x + 3
⇔ du = (2x – 4) dx
⇔ du= 2(x – 2) dx
∫ �
� �
� �� �
−
− + dx = ∫ �
�� � ��
� �� �
−
− +
= ∫ �
���
�
= ∫ �
�u
�
�−
du
= �
�(2u
�
� ) + c
= u�
� + c
= �� �� �− + + c
62 Ulangan Tengah Semester 1
�
�−∫
�
� �
� �� �
−
− + dx
= �
�
�� �� � −
− +
= �� ��� �− + –
�� � �� � �− − − +
= � –
= 0 – 2 �
= –2 �
4. a. f′(x) = 2x + �
f(x) = ∫ (2x + � ) dx = x2 + �
�x � + c
f(4) = 12
⇔ 42 + �
�4 � + c = 12
⇔ 16 + ��
� + c = 12
⇔ c = 12 – 16 – ��
� = –9
�
�
Jadi, f(x) = x2 + �
�x � – 9
�
�.
b. f′(x) = 1 + 5x–2
f(x) = ∫ (1 + 5x–2) dx
= x + �
�− x–1 + c
= x – �
� + c
f(4) = 5
⇔ 4 – �
� + c = 5
⇔ c = 5 – 4 + �
�
⇔ c = 2�
�
Jadi, f(x) = x – �
� + 2
�
�.
5.�
�∫ (2x3 – 6x2 + ax) dx = 3
⇔
�
�x4 –
�
�x3 +
�
�x2
�
�
= 3
⇔
�
�x4 – 2x3 +
�
�x2
�
�
= 3
⇔
�
� × 34 – 2 × 33 +
�
� × 32
–
�
� × 14 – 2 × 13 +
�
� × 12
= 3
⇔
�
� – 54 +
��
�
–
�
� – 2 +
�
�
= 3
⇔ �
� –
�
� – 54 + 2 +
��
� +
�
�= 3
⇔ 40 – 54 + 2 + 5a = 3
⇔ –12 + 5a = 3
⇔ 5a = 15
⇔ a = 3
Jadi, nilai a = 3.
6. Persamaan garis yang melalui (0, 2) dan (2, 0):
�
� +
�
� = 1 ⇔ x + y = 2 ⇔ y = –x + 2
Menentukan titik potong garis y = –x + 2 dan kurva
y = x2.
⇔ x2 = –x + 2
⇔ x2 + x – 2 = 0
⇔ (x – 1)(x + 2) = 0
⇔ x = 1 atau x = –2
Garis y = –x + 2 berpotongan di x = 1 atau x = –2.
LI
=
�
�∫ (y
2 – y
1) dx
=
�
�∫ (–x + 2 – x2) dx
= –�
�x2 + 2x –
�
�x3
�
�
= –�
�(1)2 + 2(1) –
�
�(1)
– (–�
� (0)2 + 2(0) –
�
�(0)3)
= –�
�+ 2 –
�
� – 0
=
� satuan luas
LII
=�
�∫ (y
1 – y
2) dx
=�
�∫ (x2 – (–x + 2)) dx
=�
�∫ (x2 + x – 2)) dx
=�
�x3 +
�
�x2 – 2x
�
�
Y
X
y1 = x2
LI L
II
0 1 2y
2 = –x + 2
63Matematika Kelas XII Program IPS
Y
X
15
5
5 150
A(0, 15)
BC(15, 0)
=�
�(2)3 +
�
�(2)2 – 2(2)
– (�
�(1)3 +
�
�(1)2 – 2(1))
=
�+ 2 – 4 –
�
� –
�
� + 2
=��
� satuan luas
Luas daerah yang diarsir
= LI + L
II
=
� +
��
�
= �
� = 3 satuan luas
Jadi, luas daerah yang diarsir 3 satuan luas.
7. a. Pada gambar a, terdapat tiga garis yang
membatasi daerah penyelesaian.
1) Persamaan garis yang melalui (0, 1) dan
(3, 0) yaitu x + 3y = 3.
Oleh karena daerah penyelesaian di
kanan garis x + 3y = 3, pertidaksamaan
yang sesuai adalah x + 3y ≥ 3.
2) Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan
(3, 0) yaitu 4x + 3y = 12.
Oleh karena daerah penyelesaiannya di
kiri garis 4x + 3y = 12, pertidaksamaan
yang sesuai adalah 4x + 3y ≤ 12.
3) Persamaan garis yang melalui (–�
�, 0)
dan (0, 4):
� �
� �
−−
=
�
��
�
�
�
+
+
⇔ �
�y = 4x + 6
⇔ 3y = 8x + 12
Oleh karena daerah penyelesaian di
sebelah kanan 8x – 3y = –12, pertidak-
samaannya adalah 8x – 3y ≥ –12.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai
dengan daerah penyelesaian pada gambar c
adalah x + 3y ≥ 3; 4x + 3y ≤ 12; 8x – 3y ≥ –12.
b. Pada gambar b, terdapat empat garis yang
membatasi daerah penyelesaian.
1) Garis y = 2x. Oleh karena daerah penye-
lesaiannya di bawah y = 2x maka pertidak-
samaan yang sesuai adalah y ≤ 2x.
2) Garis y = �
�x. Oleh karena daerah
penyelesaiannya di atas y = �
�x maka
pertidaksamaan yang sesuai adalah
y ≥ �
�x.
3) Garis yang melalui (0, 3) dan (3, 0) yaitu
x + y = 3.
Oleh karena daerah penyelesaiannya di
atas garis x + y = 3, pertidaksamaan
yang sesuai adalah x + y ≥ 3.
4) Garis yang melalui (0, 7) dan (7, 0) yaitu
x + y = 7
Oleh karena daerah penyelesaiannya di
bawah garis x + y = 7, pertidaksamaan
yang sesuai adalah x + y ≤ 7.
Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai
untuk daerah penyelesaian itu adalah
y ≤ 2x; y ≥ �
�x; x + y ≥ 3; x + y ≤ 7.
8. a.
Persamaan garis melalui (0, 15) dan (5, 0):�
� +
�
�� = 1 ⇔ 3x + y = 15
Persamaan garis melalui (0, 5) dan (15, 0):�
�� +
�
� = 1 ⇔ x + 3y = 15
Titik B merupakan perpotongan garis
3x + y = 15 dan x + 3y = 15.
Eliminasi y:
3x + y= 15 × 3 9x + 3y= 45
x + 3y = 15 × 1 x + 3y = 15–––––––––– –
8x = 30
⇔ x = ��
Eliminasi x:
3x + y = 15 × 1 3x + y = 15
x + 3y = 15 × 3 3x + 9y= 45––––––––––– –
–8y = –30
⇔ y = ��
Koordinat titik B (��
,
��
).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah
168�
�.
Titik f(x, y) = 25x + 20y
A(0, 15) 25(0) + 20(15) = 300
B(��
,
��
) 25(
��
) + 20(
��
) =
�����
= 168
�
�
C(15, 0) 25(15) + 20(0) = 375
64 Ulangan Tengah Semester 1
b. Persamaan garis melalui (0, 16) dan (12, 0):�
�� +
�
�� = 1 ⇔ 4x + 3y = 48
Persamaan garis melalui (0, 12) dan (20, 0):�
�� +
�
�� = 1 ⇔ 3x + 5y = 60
Persamaan garis sejajar sumbu Y dan
melalui (3, 0) adalah x = 3.
Titik A merupakan perpotongan garis x = 3
dan garis 4x + 3y = 48.
Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan
4x + 3y = 48.
4(3) + 3y = 48
⇔ 3y = 48 – 12
⇔ y = 12
Diperoleh koordinat A(3, 12).
Titik B merupakan perpotongan garis
4x + 3y = 48 dan 3x + 5y = 60.
Eliminasi x:
4x + 3y= 48 × 3 12x + 9y = 144
3x + 5y = 60 × 4 12x + 20y = 240––––––––––––– –
–11y = –96
⇔ y = ��
��
Eliminasi y:
4x + 3y = 48 × 5 20x + 15y = 240
3x + 5y = 60 × 3 9x + 15y = 180––––––––––––– –
11x = 60
⇔ x = ��
��
Koordinat titik B(��
��,
��
��).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah
315.
c. Persamaan garis melalui (0, 12) dan (8, 0):�
+
�
�� = 1 ⇔ 3x + 2y = 24
Persamaan garis melalui (0, 12) dan (16, 0):�
�� +
�
�� = 1 ⇔ 3x + 4y = 48
Persamaan garis melalui (0, 4) dan sejajar
sumbu X yaitu y = 4.
Titik B merupakan perpotongan garis y = 4
dan garis 3x + 2y = 24.
y = 4 ⇔ 3x + 2(4) = 24
⇔ 3x = ��
�
⇔ x = ��
�
Koordinat titik B(��
�, 4).
Titik C merupakan perpotongan garis y = 4
dengan garis 3x + 4y = 48.
y = 4 ⇔ 3x + 4(4) = 48
⇔ 3x = 32
⇔ x = ��
�
Koordinat titik C(��
�, 4).
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah
213�
�.
9. Misalkan: x = banyak tiket kelas utama
y = banyak tiket kelas ekonomi
4x + 3y = 48
X
16
12
3 12
Y
200
A
B
C
x = 33x + 5y = 60
Titik f(x, y) = 25x + 20y
A(3, 12) 25(3) + 20(12) = 315
B(��
��,
��
��) 25(
��
��) + 20(
��
��) = 310
��
��
C(20, 0) 25(20) + 20(0) = 500
Y
X
12
4
8 160
A(0, 12)
B C y = 4
3x + 2y = 24 3x + 4y = 48
Titik f(x, y) = 25x + 20y
A(0, 12) 25(0) + 20(12) = 240
B(��
�, 4) 25(
��
�) + 20(4) = 213
�
�
C(��
�, 4) 25(
��
�) + 20(4) = 346
�
�
Kelas Banyak Bagasi Pendapatan
Utama x 50x 500.000x
Ekonomi y 20y 250.000y
Pembatas 50 1.150
65Matematika Kelas XII Program IPS
Sistem pertidaksamaan linear:
x + y ≤ 50
50x + 20y ≤ 1.150
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi sasaran memaksimumkan f(x, y) = 500x +
250y (dalam ribuan rupiah).
Daerah penyelesaian:
Uji titik sudut:
f(x, y) = 500x + 250y
f(0, 0) = 500 × 0 + 250 × 0 = 0
f(23, 0) = 500 × 23 + 250 × 0 = 11.500
f(5, 45) = 500 × 5 + 250 × 45 = 13.750
f(0, 50) = 500 × 0 + 250 × 50 = 12.500
Diperoleh nilai maksimum fungsi sasaran 13.750
dalam ribuan rupiah.
Jadi, pendapatan maksimumnya Rp13.750.000,00.
10. Misalkan: x = banyak tablet A
y = banyak tablet B
Persoalan di atas dapat dibuat menjadi model
matematika sebagai berikut.
12x + 6y ≥ 48 ⇔ 2x + y ≥ 8
5x + 6y ≥ 30
x ≥ 0; y ≥ 0
Meminimumkan F(x, y) = 500x + 350y
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan
tersebut sebagai berikut.
Titik-titik pojok penyelesaiannya adalah A, B, C.
Titik B adalah titik potong antara 2x + y = 8 dan
5x + 6y = 30.
Eliminasi x:
2x + y = 9 × 6 12x + 6y = 48
5x + 6y = 30 × 1 5x + 6y = 30––––––––––– –
7x = 18 ⇔ x = �
Substitusikan x = �
ke dalam persamaan
5x + 6y = 30.
5(�
) + 6y = 30
⇔ 6y = 30 – ��
⇔ 6y =
���
⇔ y =
��
Diperoleh titik B(�
,
��
).
Uji titik pojok ke fungsi objektif
F(x, y) = 500x + 350y:
Jadi, pengeluaran minimum setiap hari adalah
Rp2.285,71.
Y
X0
50
23 50
(5, 45)57,5
Jenis Banyak Vitamin A Vitamin B Harga
Tablet I x 12x 5x 500x
Tablet II y 6y 6y 350y
Pembatas 48 30
Y
X
8
5
4 605x + 6y = 302x + y = 8
A
B
C
Titik F(x, y) = 500x + 350y
A(6, 0) 500 × 6 + 350 × 0 = 3.000
B(�
,
��
) 500 ×
�
+ 350 ×
��
= 2.285,71
C(0, 8) 500 × 0 + 350 × 8 = 2.800
66 Matriks
Matriks
Pengertian,
Notasi, dan Ordo
Matriks
• P e n g e r t i a n
Matriks
• Notasi dan Ordo
Matriks
• Jenis Matriks
• Kesamaan Dua
Matriks
Penerapan
Matriks dalam
Sistem
Persamaan
Linear
• Sistem Per-
samaan Linear
Dua Variabel
• Sistem Per-
samaan Linear
Tiga Variabel
• Menyelesaikan
Sistem Per-
samaan Linear
Menggunakan
Matriks
Penjumlahan
dan
Pengurangan
Matriks
• Pen jumlahan
Matriks
• Pengurangan
Matriks
Perkalian Matriks
• P e r k a l i a n
Skalar Matriks
• Perkalian Antar-
matriks
• Pemangkatan
Matriks
Determinan dan
Invers Matriks
• D e t e r m i n a n
Matriks
• Invers Matriks
• Bersikap percaya diri dalam melengkapi permasalahan dan menyelesaikannya.
• Mampu menjelaskan pengertian matriks.
• Mampu menyebutkan jenis matriks.
• Mampu menentukan transpos matriks.
• Mampu menggunakan kesamaan matriks untuk menentukan elemen matriks.
• Mampu melakukan pejumlahan dan pengurangan matriks.
• Mampu melakukan operasi perkalian matriks.
• Mampu menentukan hasil pemangkatan matriks.
• Mampu menentukan determinan matriks.
• Mampu menentukan invers matriks.
• Mampu menggunakan sifat determinan dan invers matriks.
• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan invers matriks.
• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan determinan matriks.
67Matematika Kelas XII Program IPS
Matriks AT terdiri atas 2 baris dan 5 kolom sehingga
ordo matriks AT adalah 2 × 5.
Jadi, ordo matriks AT adalah 2 × 5.
5. Jawaban: c
A = � � �
� � �
� � �
1) Banyak baris matriks A = 3 dan banyak kolom
matriks A = 3 maka ordo matriks A = 3 × 3.
2) Pada matriks A banyak baris = banyak kolom
maka matriks A merupakan matriks persegi.
3) Semua elemen matriks A = 0 kecuali elemen
pada diagonal utama maka matriks A
merupakan matriks diagonal.
4) Semua elemen pada diagonal utama sama,
yaitu 2 dan elemen yang lain 0 maka matriks
A merupakan matriks skalar.
5) Matriks identitas adalah suatu matriks persegi
dengan elemen-elemen pada diagonal utama
sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain
sama dengan nol. Oleh karena elemen diago-
nal utama matriks A adalah 2 ≠ 1 maka matriks
A bukan matriks identitas.
Jadi, matriks A bukan matriks identitas.
6. Jawaban: b
Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi yang
elemen-elemennya nol (0), kecuali elemen pada
diagonal utama (tidak semua nol).
Jadi, matriks
� � �
� � �
� � �
merupakan matriks
diagonal.
7. Jawaban: c
P = Q
⇔ �� � �
� � �
+ − =
� �
� �
−
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
2a + b = 5 . . . (1)
a – b = –2 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).
2a + b = 5
a – b = –2
–––––––––– +
3a = 3
⇔ a = 1
A. Uraian
1. Jawaban: c
Dalam matriks persegi, elemen-elemen yang
terletak pada garis hubung elemen a11
dengan ann
disebut elemen diagonal utama.
Perhatikan matriks berikut.
� � �
� �
� �
− −
Elemen-elemen diagonal utama adalah 4, –2, 0.
2. Jawaban: e
Transpos dari matriks C adalah suatu matriks baru
yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris
matriks C ditukarkan dengan elemen-elemen pada
kolomnya.
Diketahui C =
� � �
� � �
� � �
−
sehingga CT =
� � �
� � �
� � �
−
3. Jawaban: d
Matriks segitiga atas adalah suatu matriks persegi
yang semua elemen di bawah diagonal utama
berupa nol.
Perhatikan matriks pada pilihan d.
� � �
� � �
� �
��� ���� �����
Pada matriks di atas, semua elemen di bawah
diagonal utama berupa nol.
Jadi, matriks
� � �
� � �
� �
merupakan matriks
segitiga atas.
4. Jawaban: d
Diketahui A =
� �
� �
� �
�
� �
− −
sehingga AT =
� � � � �
� � � �
− −
68 Matriks
Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (2).
a – b = –2
⇔ 1 – b = –2
⇔ –b = –2 – 1
⇔ –b = –3
⇔ b = 3
Nilai b – 2a = 3 – 2(1) = 3 – 2 = 1
Jadi, nilai b – 2a adalah 1.
8. Jawaban: c
A = B
⇔
�� �
� ��
� �� �
− −
=
�� �
� ��
� � �
−
Dari kesamaan matriks diperoleh:
4a = 12 ⇔ a = 3 . . . (1)
–3b = 3a ⇔ –3b = 3(3)
⇔ b = –3 . . . (2)
3c = b ⇔ 3c = –3
⇔ c = –1 . . . (3)
Jadi, nilai a + b + c = 3 + (–3) + (–1) = –1
9. Jawaban: d
AT = B ⇔� � ��
�� � � �
+ + + =
�
� �
Dari kesamaan matriks diperoleh:
x + y = 5 . . . (1)
4x = 8 . . . (2)
Dari persamaan (2) diperoleh:
4x = 8
⇔ x = 2
Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1).
x + y = 5
⇔ 2 + y = 5
⇔ y = 3
Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 2 dan 3.
10. Jawaban: e
�� � �� �
�� �
+ =
�
�
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
log x + log y = 0 . . . (1)
log y = 1
Menentukan nilai y:
log y = 1
⇔ log y = log 10
⇔ y = 10 . . . (2)
Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan (1).
log x + log y = 0
⇔ log x + log 10 = 0
⇔ log x + 1 = 0
⇔ log x = –1
⇔ x = 10–1
⇔ x = �
��
�
� =
��
�
��
= 100
Jadi, nilai �
� adalah 100.
B. Uraian
1. A =
� � �
� � �
� � �
− −
a. Banyak baris = 3, banyak kolom = 3
Ordo = banyak baris × banyak kolom = 3 × 3
Jadi, ordo matriks A adalah 3 × 3.
b. Elemen-elemen pada diagonal utama adalah
2, 0, 2.
c. Elemen-elemen pada diagonal samping adalah
7, 0, –3.
2. A =
� � �
� �
� �
− −
sehingga AT =
� � �
� �
� �
− −
B =
� � � �
� � � �
� � �
− −
sehingga BT =
� � �
� � �
� � �
� �
− −
3. a. A =
�� ���
��� ��
�� �
�� �
�� �
b. Ordo matriks A = 5 × 2 dan banyak elemen
matriks A = 10.
c. AT = �� ��� �� �� ��
��� �� � � �
4. a. R = �� � � ��
� �
− +
⇔ RT = �� � �
� �� �
− +
Jadi, transpos matriks R adalah
�� � �
� �� �
− + .
b. RT = S
⇔ �� � �
� �� �
− + =
� �
�
−
diagonal utama
diagonal samping
69Matematika Kelas XII Program IPS
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
3a – b = –5 . . . (1)
6a + 7b = 8 . . . (2)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2).
3a – b = –5 × 2 6a – 2b = –10
6a + 7b = 8 × 1 6a + 7b = 8
––––––––––– –
–9b = –18
⇔ b = 2
Substitusikan b = 2 ke dalam persamaan (1).
3a – b = –5
⇔ 3a – 2 = –5
⇔ 3a = –5 + 2
⇔ 3a = –3
⇔ a= –1
a2b = (–1)2(2) = 1 × 2 = 2
Jadi, nilai a2b adalah 2.
5. a.��
�
=
�
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
4x = 8 ⇔ x = 2
y = 3
Jadi, nilai x = 2 dan y = 3.
b. (2x 3xy) = (2 6)
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
2x = 2 ⇔ x = 1
Substitusikan nilai x = 1 ke dalam persamaan
3xy = 6.
3xy = 6
⇔ 3 × 1 × y = 6
⇔ 3y = 6
⇔ y = 2
Jadi, nilai x = 1 dan y = 2.
c.�� �� �
�� �
− − =
� �
�� �
− −
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
y = 2
4z = 12 ⇔ z = 3
Substitusikan nilai y = 2 ke dalam persamaan
3x – 5y = –7.
3x – 5y = –7
⇔ 3x – 5 × 2 = –7
⇔ 3x – 10 = –7
⇔ 3x = 3
⇔ x = 1
Jadi, nilai x = 1, y = 2, dan z = 3.
d.� �� �
� ��� �
− =
� � �
� �
−
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
–x = 2
⇔ x = –2
Substitusikan x = –2 ke persamaan xz = –2.
xz = –2
⇔ –2 × z = –2
⇔ z = 1
Substitusikan x = 1 ke persamaan 3yz = 6.
3yz = 6
⇔ 3y × 1 = 6
⇔ 3y = 6
⇔ y = 2
Jadi, nilai x = –2, y = 2, dan z = 1.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
C = A + B
=
� �
− +
� �
� �
= �� �
�
−
CT = �� �
�
−
Jadi, matriks CT = �� �
�
− .
2. Jawaban: a
A = C + D
= �
� �
− +
� �
� �
−
= �
� �
Jadi, matriks A = �
� �
.
70 Matriks
Dari kesamaan matriks, diperoleh:
y = 2 . . . (1)
1 + x – y = 3 . . . (2)
Substitusikan y = 2 ke persamaan (2).
1 + x – y = 3 ⇔ 1 + x – 2 = 3
⇔ x – 1 = 3
⇔ x = 4
x + y = 4 + 2 = 6
Jadi, nilai x + y = 6.
7. Jawaban: c
AT – A=
� ��
� �
� � �
− − − −
–
� � �
�
�� � �
− −− −
=
� � ��
� � �
�� � �
− − −
Trace matriks (A – AT) = 0 + 0 + 0 = 0.
Catatan:
Elemen-elemen diagonal utama matriks A dan AT
selalu sama sehingga jumlah semua elemen
diagonal utama (A – AT) adalah nol.
8. Jawaban: a
� ��
�� ��
− –
�� �
� �
− =
� ��
�� �
−
⇔� �� �� �
�� � �� �
+ − − − − =
� ��
�� �
−
Dari kesamaan matriks diperoleh:
p + 12 = 16 ⇔ p = 16 – 12
⇔ p = 4
2q – 7 = 11 ⇔ 2q = 11 + 7
⇔ 2q = 18
⇔ q = 9
–3r – 5 = –14 ⇔ –3r = –14 + 5
⇔ –3r = –9
⇔ r = 3
2s – 3 = 7 ⇔ 2s = 7 + 3
⇔ 2s = 10
⇔ s = 5
Jadi, nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaan
di atas berturut-turut 4, 9, 3, dan 5.
9. Jawaban: e
�� �
� �
� �� �
− +
–
�
� �
� ��
− −
=
� �
� �
� �
− − −
⇔
�� � � � � ��
� � � �
� � �� � ��
− − − − − − − − + −
=
� �
� �
� �
− − −
3. Jawaban: e
A + AT =
� � �
� �
� � �
− −
+
� � �
� � �
� �
− −
=
� � � � � �
� � � � �
� � � � �
+ − − + − + + + − + +
=
� �
� � �
� � �
− −
4. Jawaban: c
M = � �
� �
⇔ MT =
� �
� �
K + L – MT = � �
� �
+
� �
� �
− − –
� �
� �
= � � � � � �
� � � � � �
+ − − − − − + −
= � �
�
−
5. Jawaban: e
A + B = 2CT
⇔� �
�� ��
+ � �
� �
−
= 2!
� �
� �
−
⇔� " � � " � ��
�� " � �� " �
−
= 2� �
� �
−
⇔� " � �
�� " � �� " �
= � �
−
Dari kesamaan matriks diperoleh:
p + 5 = –4 ⇔ p = –9
2q + 3 = 6 ⇔ 2q = 3 ⇔ q = �
�
3r + 2 = 8 ⇔ 3r = 6 ⇔ r = 2
p + 2q + r = –9 + 2 × �
� + 2
= –9 + 3 + 2 = –4
Jadi, nilai p + 2q + r = –4.
6. Jawaban: d
� ��
� �
− − +
� �� �
� � �
+ − =
� �
� �
−
⇔� � �� �� �
� � � � �
+ − + + + − − + =
� �
� �
−
⇔� �
� � � �
+ − − =
� �
� �
−
71Matematika Kelas XII Program IPS
⇔
�� �
� �
� �� � ��
+ − + −
=
� �
� �
� �
− − −
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
2p + 8 = –q
⇔ 2p + q = –8 . . . (1)
4p + q – 10 = –p
⇔ 4p + p + q = 10
⇔ 5p + q = 10 . . . (2)
Eliminasi q dari persamaan (1) dan (2).
2p + q = –8
5p + q = 10
–––––––––– –
–3p = –18
⇔ p = 6
Substitusikan p = 6 ke dalam persamaan (1).
2p + q = –8
⇔ 2 × 6 + q = –8
⇔ 12 + q = –8
⇔ q = –8 – 12
⇔ q = –20
4p – q = 4 × 6 – (–20)
= 24 + 20
= 44
Jadi, nilai 4p – q = 44.
10. Jawaban: e
A + B – C = ��
� �
− −
⇔� �
� �
−
+� �
�
−
– � �
� �
− −
= ��
� �
− −
⇔ � �
� � �
+ + − − =
��
� �
− −
Dari kesamaan matriks diperoleh:
6 + x = 8 ⇔ x = 2
2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y = 4
x + 2xy + y = 2 + 2 × 2 × 4 + 4 = 22
Jadi, nilai x + 2xy + y = 22.
B. Utaian
1. A = � �
� �
� �
⇔ AT = � � �
� � �
B = � � �
� � �
⇔ BT =
� �
� �
� �
C =
�
� �
�
− −
⇔ CT = �
� � �
− −
a. A + BT – C
= � �
� �
� �
+
� �
� �
� �
–
�
� �
�
− −
=
� � � � � ��
� � � � � �
� � � � � ��
+ − + − − + − + − + − + − −
= �
� �
� ��
− −
Jadi, A + BT – C = �
� �
� ��
− −
b. AT – B + CT
= � � �
� � �
–
� � �
� � �
+ �
� � �
− −
= � � � � � � �
� � � �� � � � � � � ��
− + − + − + − + − − + − + −
= � � ��
� � �
− −
Jadi, AT – B + CT = � � ��
� � �
− −
c. (B + CT)
= � � �
� � �
+ �
� � �
− −
= � � � �
� � � � � �
+ + + − + − =
�
� �
− −
A =
���� � �
� �
� �
� �
×
dan (B + CT) =
���� � �
�
� �
×
− −
Ordo matriks A tidak sama dengan ordo
matriks matriks (B + CT). Oleh karena itu,
pengurangan kedua matriks tidak dapat
dilakukan. Jadi, A – (B + CT) tidak terdefinisi.
2. a.
�
�
�
−
+ X =
�
�
�
− −
⇔ X =
�
�
�
− −
–
�
�
�
−
⇔ X =
� �
� � ��
� �
− − − − − −
⇔ X =
�
�
− −
Jadi, matriks X =
�
�
− −
72 Matriks
b. X – � �
� �
=
� �
� �
⇔ X = � �
� �
+
� �
� �
⇔ X = � � � �
� � � �
+ + + + ⇔ X =
� �
�
Jadi, matriks X = � �
�
.
c.
� �
� � �
� �
– X =
� � �
� � �
� � �
−
⇔ X =
� �
� � �
� �
–
� � �
� � �
� � �
−
⇔ X =
� � � � �� �
� � � � � �
� � � � �
− − − − − − − − − −
⇔ X =
� � �
� � �
� � �
− −
Jadi, matriks X =
� � �
� � �
� � �
− −
3. a.�� � �
� � �
− − − +
�
� �
− =
� ��
� �
⇔�� � � �
� � � � �
− + + − − − + =
� ��
� �
Dari kesamaan matriks diperoleh:
4x – 2 + 3 = 9 ⇔ 4x + 1 = 9
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2
x – y – 1 = 4 ⇔ x – y = 5
⇔ 2 – y = 5
⇔ y = –3
Jadi, nilai (x, y) adalah (2, –3).
b.�� ��
� �� �
− –
�
�
− − =
�� �
�
−
⇔�� � ��
� �� � �
+ − − − + =
�� �
�
−
Dari kesamaan matriks diperoleh:
2x + 4 = 10 ⇔ 2x = 6
⇔ x = 3
4y – x + 5 = 6 ⇔ 4y – x = 1
⇔ 4y – 3 = 1
⇔ 4y = 4
⇔ y = 1
Jadi, nilai (x, y) adalah (3, 1).
4.
�
� �
� ��
− −
–
� �
� �
� �
− −
=
� �
�� �� �
� ��
− − −
⇔
� � � ��
� � � �
� � �� �� �
− − − − − − − − − −
=
� �
�� �� �
� ��
− − −
⇔
� �
� � � �
� �� �
− − − −
=
� �
�� �� �
� ��
− − −
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
x – y – 9 = 11 – 5y
⇔ x – y + 5y = 11 + 9
⇔ x + 4y = 20 . . . (1)
2x – 5 = –3y
⇔ 2x + 3y = 5 . . . (2)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).
x + 4y = 20 × 2 2x + 8x = 40
2x + 3y = 5 × 1 2x + 3y = 5
––––––––––– –
5y = 35
⇔ y = 7
Substitusikan y = 7 ke dalam persamaan (1).
x + 4y = 20
⇔ x + 4 × 7 = 20
⇔ x + 28 = 20
⇔ x = 20 – 28
⇔ x = –8
Jadi, nilai x = –8 dan y = 7.
5. a. t s d r
A =
�� �� � ��
�� �� � �
� �� �� �
�� �� �� ��
�� �� ��
b. Persediaan barang sekarang:
B = A + D
=
�� �� � ��
�� �� � �
� �� �� �
�� �� �� ��
�� �� ��
+
� � � �
� � �
� � �
� � � �
� � �
73Matematika Kelas XII Program IPS
t s d r
=
�� � �� ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�� � � ��
Banyak persediaan setiap jenis barang
Televisi = 14 + 20 + 23 + 20 + 15 = 92 unit
Setrika = 18 + 23 + 17 + 12 + 16 = 86 unit
DVD player = 14 + 24 + 20 + 14 + 18
= 90 unit
Radio = 14 + 10 + 11 + 20 + 20 = 75 unit
c. Persediaan sisa barang pada akhir bulan:
C= B – R
=
�� � �� ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�� � � ��
–
�� �
�� �� �� �
�� �� �
�� �� � �
�� �� �
=
�
�� �� � �
�� �
� � � �
� � � ��
Sisa persediaan setiap jenis barang pada akhir
bulan:
Televisi = 6 + 10 + 8 + 1 + 9
= 34 unit
Setrika = 6 + 12 + 11 + 2 + 5
= 36 unit
DVD player = 8 + 9 + 6 + 9 + 5
= 37 unit
Radio = 5 + 7 + 4 + 2 + 11
= 29 unit
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
Dua buah matriks, misalkan A dapat dikalikan
dengan B jika banyak kolom matriks B sama
dengan banyak baris matriks A.
Jadi, matriks yang dapat dikalikan dari kanan
dengan matriks
� �
� �
# $
adalah � �
� �
.
2. Jawaban: d
A + 3B = � �
� �
−
+ 3� �
� �
−
= � �
� �
−
+ �� �
��
−
= � �� � �
� � ��
+ − + − +
= �� �
�� ��
−
3. Jawaban: d
AB =
� �
� �
� �
−
� �
� �
−
=
� � � � � � �� � �
� � � �� � � � �� � �� �
� � � � � � �� � �
× + × × − + × × + − × × − + − × × + × × − + ×
=
�
�� �
−
4. Jawaban: c
3A – B = C
⇔ 3� �
� �
–
� �
� �
− − =
�� �
� �
−
⇔��
�� �
–
� �
� �
− − =
�� �
� �
−
⇔�� � �
�� � � �
+ − − =
�� �
� �
−
74 Matriks
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
12 + x = 10
⇔ x = 10 – 12
⇔ x = –2
3 – y = 2
⇔ –y = 2 – 3
⇔ –y = –1
⇔ y = 1
2x – y = 2 × –2 – 1
= –4 – 1
= –5
Jadi, nilai 2x – y = –5.
5. Jawaban: a
� �
� ��
−− – 3
� �
� �
− = 2
�
� �
− −
⇔� �
� ��
−− –
�� �
��
− =
� ��
− −
⇔�
��
− −− =
� ��
− −
Diperoleh:
–2p = –6
⇔ p = 3
2q – 6 = 6
⇔ q = 6
2p + q = 2 × 3 + 6
= 12
Jadi, nilai 2p + q = 12.
6. Jawaban: c
4X – � � � �
� � � ��
=
⇔ X = �
� � � � �
� �� � �
+
⇔ X = �
�
���
�
⇔ X =
��
��
Jadi, matriks X =
��
��.
7. Jawaban: a
� �
� �
−
� �
� �
−
= � � � �� � � � �� � �� �
� � � � � � �� � �
× + − × × − + − × × + × × − + ×
= � �
� �
− −
8. Jawaban: a
5C = A + B
⇔ 5C = �� �
� �
− −
+ �
� ��
− −
⇔ 5C = �� � �
� � � ��
+ − − + − −
⇔ 5C = �� �
�� ��
− −
⇔ C = �
�
�� �
�� ��
− −
⇔ C = � �
� �
− −
C2 = C × C
= � �
� �
− −
� �
� �
− −
= �� �
� �
−
C3 = C2 × C
= �� �
� �
−
� �
� �
− −
= �� ��
�� ��
− −
9. Jawaban: c
X = AB = � �
� � �
= � � �
� � �
× + × × + ×
= ��
�
10. Jawaban: d
A = � �
� �
⇔ AT =
� �
� �
AT – B = � �
� �
–
� �
� �
= � � � �
� � � �
− − − − =
� �
� �
−
(AT – B)2 = (AT – B)(AT – B)
= � �
� �
−
� �
� �
− =
� �
� �
−
75Matematika Kelas XII Program IPS
11. Jawaban: e
(x 1)� �
� �
�
� = (3)
⇔ (2x + 2 3x)�
� = (3)
⇔ (2x2 + 2x + 3x) = (3)
⇔ (2x2 + 5x) = (3)
Dari kesamaan matriks diperoleh:
2x2 + 5x = 3
⇔ 2x2 + 5x – 3 = 0
⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0
⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0
⇔ x = �
�atau x = –3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah �
� atau –3.
12. Jawaban: c
A2 = � �
� �
−
� �
� �
− =
�� �
� �
− −
B = � �
� �
− − ⇔ BT =
� �
� �
− −
2A2 – BT = 2�� �
� �
− − –
� �
� �
− −
= ��
� �
− − –
� �
� �
− −
= �� � �� �
� � �� � �
− − − − − − − −
= � ��
� ��
− −
Jadi, matriks 2A2 – BT = � ��
� ��
− − .
13. Jawaban: c
P2 = P × P
= � �
� �
− −
� �
� �
− − =
� �
� �
Q = � �
�
⇔ QT =
� �
�
PQT = � �
� �
− −
� �
�
=
� �
�
− − − −
P2 – PQT = � �
� �
–
� �
�
− − − −
= � � �� � �
� � �� � � �
− − + − − − −
= � �
� �
14. Jawaban: a
1) A2 = � �
� �
� �
� �
= � �
� �
= 2� �
� �
= 2A
Jadi, pernyataan A2 = 2A benar.
2) AB = � �
� �
�
�
= �� ��
�� �
BA = �
�
� �
� �
= �� ��
�� �
Jadi, pernyataan AB = BA benar.
3) AB = �� ��
�� �
= 2�
�
= 2B
Jadi, pernyataan AB = 2B benar.
4) BAB = B(AB)
= �
�
�� ��
�� �
= ��� ��
�� ���
2B2 = 2�
�
�
�
= 2� �
�� ��
= ��� ��
�� ���
Jadi, pernyataan BAB = 2B2 benar.
Jadi, pernyataan 1), 2), 3), dan 4) benar.
76 Matriks
15. Jawaban: d
� � � �
� � �� ��
−
= � �
�� ��
– �
�� ��
−
⇔� � � ��
�� �� �� �
+ + − + − +
= � � � � �
�� �� �� ��
− − − − −
⇔�� ��
�� ��
= �� ��
��� ��
Dari kesamaan matriks diperoleh:
7c = 7a ⇔ c = a . . . (1)
5a = 10 ⇔ a = 2 . . . (2)
7c = 14b ⇔ b = ��
�� =
�
�. . . (3)
Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan (1).
c = a = 2
Substitusikan nilai c = 2 ke dalam persamaan (3).
b = �
� =
�
� = 1
Diperoleh a = 2, b = 1, dan c = 2.
a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5
Jadi, nilai a + b + c = 5.
B. Uraian
1. a. A2 = A × A = � �
� �
� �
� �
= � � � � � � � �
� � � � � � � �
× + × × + × × + × × + ×
= �� �
��
b. A3 = A × A2
= � �
� �
�� �
��
= � �� � �� � � �
� �� � �� � � �
× + × × + × × + × × + ×
= �� ��
�� ��
c. ATA = AT × A
= � �
� �
� �
� �
= � � � � � � � �
� � � � � � � �
× + × × + × × + × × + ×
= �� �
� �
2. a. (P + Q)2 =
�� � � �
� � �
− − + −
= �
� �
� �
− −
= � � � �
� � � �
− − − −
= �� ��
� ��
− −
P2 + 2PQ + Q2
=� � � �
� �
− − − −
+ 2� � � �
� � �
− − −
+ � �
� �
−
� �
� �
−
= �� �� �� �� � ��
� � � � �� ��
− − − + + − − −
= �� �� � �� �� ��
� � �� � � ��
+ − − + − − − + − +
= � �
�� �
− −
Dari hasil di atas disimpulkan bahwa:
(P + Q)2 ≠ P2 + 2PQ + Q2
b. P2 – Q2
= � � � �
� �
− − − −
– � � � �
� � � �
− −
= �� ��
� �
− −
– � ��
�� ��
− −
= �� ��
�� �
− −
(P + Q)(P – Q)
= � � � � � � � �
� � � � � �
− − − − + − − −
= � � � �
� � � ��
− − − −
= �� ��
�� �
− −
Dari hasil di atas disimpulkan P2 – Q2 ≠(P + Q)(P – Q).
77Matematika Kelas XII Program IPS
3. a. 3
�
�
�
+ x
�
�
�
+ y
�
�
�
=
�
��
�
⇔
��
�
+
��
�
��
+
�
�
��
=
�
��
�
⇔ �� �
�� �
� �� ��
+ + + + +
=
�
��
�
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
6 + 3x + y = 4
⇔ 3x + y = 4 – 6
⇔ 3x + y = –2 . . . (1)
12 + x = 10
⇔ x = 10 – 12
⇔ x = –2 . . . (2)
Substitusikan persamaan (2) ke dalam
persamaan (1).
3x + y = –2
⇔ 3(–2) + y = –2
⇔ –6 + y = –2
⇔ y = –2 + 6
⇔ y = 4
Jadi, nilai x = –2 dan y = 4.
b.� �� � �
� � �
+ −
�
�
�
− −
= 5�
�
−
⇔��� ��� �� �
� � ��
+ − − − + − =
�
��
−
⇔�� � �� �
� ��
+ − − − − =
�
��
−
⇔�� �� ��
� ��
+ − − − =
�
��
−
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
4x + 7y – 10 = 0
⇔ 4x + 7y = 10 . . . (1)
–4 – 3y = –10
⇔ –3y = –10 + 4
⇔ –3y = –6
⇔ y = 2 . . . (2)
Substitusikan persamaan (2) ke dalam
persamaan (1).
4x + 7y = 10
⇔ 4x + 7(2) = 10
⇔ 4x + 14 = 10
⇔ 4x = 10 – 14
⇔ 4x = –4
⇔ x = –1
Jadi, nilai x = –1 dan y = 2.
4. A = � �
� �
− ⇔ AT =
� �
� �
−
A2 = A × A
= � �
� �
−
� �
� �
−
= �� �
�� �
− −
A2 – I = �� �
�� �
− − –
� �
� �
= � �
��
− −
a.�
(A2 – I) =
�
� �
��
− −
= � �
� �
− −
b. (A2 + I) – 2AT
= �� �
�� �
− −
+ � �
� �
– 2� �
� �
−
= �� �
�� �
− − –
�� �
�
−
= �� ��
�
− −
5. 4A +
� �� �
� � ��
� �� �
−
= 3B
⇔ 4(2B) +
� �� �
� � ��
� �� �
−
= 3B
⇔ 8B +
� �� �
� � ��
� �� �
−
= 3B
⇔� �� �
� � ��
� �� �
−
= 3B – 8B
⇔� �� �
� � ��
� �� �
−
= –5B
⇔ B = –�
�
� �� �
� � ��
� �� �
−
⇔ B = � � �
� � �
� � �
− − − − − −
78 Matriks
A = 2B
= 2� � �
� � �
� � �
− − − − − −
=
� � �
� �
� �
− − − − − −
AB = � � �
� �
� �
− − − − − −
� � �
� � �
� � �
− − − − − −
=
� ��
�
� �� �
−
Jadi, AB =
� ��
�
� �� �
−
.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
det A = � �
� �
= 5 × 3 – 9 × 1
= 15 – 9
= 6
2. Jawaban: d
AB – C
= � �
� �
− −
� �
� �
− − –
� ��
� ��
= � � � �� � �� � � � �� � ��
� � � �� � �� � � � �� � ��
× + − × − × + − × − × + − × − × + − × − –
� ��
� ��
= � ��
� ��
–
� ��
� ��
= �� �
� �
det (AB – C) = �� �
� �
= 12 × 1 – 1 × 9
= 12 – 9
= 3
Jadi, det (AB – C) = 3.
3. Jawaban: a
Gunakan sifat:
det (PQ) = det (P) × det (Q)
= � �
� � × �
� �
= [(3 × 4) – (7 × 1)] × [(8 × 2) – (5 × 3)]
= (12 – 7) × (16 – 15)
= 5 × 1 = 5
Jadi, determinan matriks (PQ) adalah 5.
4. Jawaban: a
Det A =
� � � � �
� � � � �
� � � � �
− −−
⇔ 2p + 1 = 1 + 2 + 12 – 2 + 2 + 6
⇔ 2p + 1 = 21
⇔ 2p = 20
⇔ p = 10
Jadi, nilai p adalah 10.
5. Jawaban: e
D = 3A + B – C
= 3� �
� �
−
+ 3 45 1
− −
– 2 512 10
−
= 3 69 12
− +
3 45 1
− −
– 2 512 10
−
= 3 3 2 6 ( 4) ( 5)9 5 12 12 ( 1) 10
+ − − + − − − + − + − −
= 4 52 1
−
Determinan matriks D:
|D| = � �
� �
− = 4 × 1 – (–5) × 2 = 4 + 10 = 14
Jadi, determinan matriks D adalah 14.
6. Jawaban: d
2P – Q + R = 2� �
� �
–
� �
� �
− +
� �
� �
−
= � �
�
–
� �
� �
− +
� �
� �
−
= � � � � � �
� � � � �
+ + − + − + − −
+ + +
– – –
79Matematika Kelas XII Program IPS
= � �
� �
−
det 2P – Q + R = 5 × 4 – (–4) × 4
= 20 + 16
= 36
Jadi, determinan dari 2P – Q + R = 36.
7. Jawaban: b
R–1 = �
� � � �� �× − − ×� �
� �
= �
�
� �
� �
=
� �
� �
� �
S–1 = �
�
�
� � � ��× − × −�
�
� �
�
= 2�
�
� �
�
= � �
� �
Jadi, R–1S–1 =
� �
� �
� �
����
=
�
��
� �
.
8. Jawaban: b
A = M–1
= �
�� � ���− − − �
� �
− −
= �
�
�
� �
− −
= �
� �
− −
AN = �
� �
− −
�
�
= ��
��
−
Jadi, AN = ��
��
− .
9. Jawaban: e
A–1 = �
� � � �× − ×� �
� �
− −
= –�
�
� �
� �
− −
AX = B ⇔ X = A–1 B
= –�
�
� �
� �
− −
� �
� �
= –�
�
� � � � � � � �
� � � � � � � �
× − × × − × − × + × − × + ×
= –�
�
�� ��
��
− −
= �
� �
− −
10. Jawaban: c
B–1 = �
� �� � � �� �− × − − ×� �
� �
− −
= � �
� �
− −
3A – B–1 = C
⇔ 3� �
% � �
− +
– � �
� �
− −
= �
� �
�% �
−
⇔ �
�% � ��
− +
– � �
� �
− −
= �
� �
�% �
−
⇔ � �
�% �
−
= �
� �
�% �
−
Dari kesamaan matriks diperoleh:
3k = 2k2 ⇔ 2k2 – 3k = 0
⇔ k(2k – 3) = 0
⇔ k = 0 atau 2k – 3 = 0
⇔ k = 0 atau k = �
�
Jadi, nilai k = 0 atau k = �
�.
B. Uraian
1. Det (AB) = det (A) x det (B)
= � �
� �
− ×
� �
� �
−
= (–2 – 3) × (12 + 2)
= –5 × 14
= –70
Jadi, determinan matriks AB adalah –70.
2. AC = B
⇔ A–1AC = A–1B
⇔ IC = A–1B
⇔ C = A–1B
⇔ C = �
� �−� �
� �
� �
� �
⇔ C = �
�
� �
� �
� �
� �
⇔ C = � �
��
80 Matriks
det C = � �
��
= 5 · 13 – 6 · 9
= 65 – 54
= 11
Jadi, determinan matriks C adalah 11.
3. P–1 – Q = � �
� �
− −
– �
� �
= � �
� �
− − −
det (P–1 – Q) = � �
� �
− −− = 12 + 18 = 30
(P–1 – Q)–1 = �
�
�#� �& '�− −
� �
� �
− − −
= �
��
� �
� �
− − − =
� �
�� ��
� �
�� ��
−
− −
4. a.� �
� �
− −
A = � �
� �
− −
⇔ A =
�� �
� �
− − −
� �
� �
− −
= �
�� �� �� ��− − −� �
� �
− −
� �
� �
− −
= –�
�
� �
� �
− −
� �
� �
− −
= –�
�
� �
� �
− −
= �
�
� �
� −
−
Jadi, matriks A adalah �
�
� �
� −
−
.
b. A� �
� �
−
= � ��
�
⇔ A = � ��
�
�� �
� �
−−
= � ��
�
�
� � � �� �× − − ×� �
� �
−
= �
��
� ��
�
� �
� �
−
= �
��
�� ���
�� �
= � ��
� �
Jadi, matriks A adalah � ��
� �
.
c. �
� �
– � �
� �
− −
A = �
� �
− −
⇔ �
� �
– �
� �
− −
= � �
� �
− −
A
⇔�� �
� �
−
= � �
� �
− −
A
⇔�
� �
� �
−− −
�� �
� �
−
= A
⇔�
� �� � �� � �− × − − ×� �
� �
− − − −
�� �
� �
−
= A
⇔� �
� �
�� �
� �
−
= A
⇔�� �
� �
− −
= A
Jadi, matriks A adalah �� �
� �
− −
.
d. A� �
� �
+ � �
� �
−
= �
� �
−
⇔ A� �
� �
= �
� �
−
– � �
� �
−
⇔ A� �
� �
= � �
� �
−
⇔ A = � �
� �
−
�� �
� �
−
⇔ A = �
� � � �× − ×� � � �
� � � �
− − −
= �
�
� �
� �
−
� �
� �
− −
= �
�
��
� �
− −
= �
� �
− −
Jadi, matriks A adalah �
� �
− −
.
81Matematika Kelas XII Program IPS
5. Misalkan C = � �
�� ��
− −
AB–1 = C
⇔ AB–1B = CB
⇔ AI = CB
⇔ A = CB
Dengan demikian, matriks A dapat ditentukan
sebagai berikut.
A = CB
= � �
�� ��
− −
� �
� �
− −
= � �� � �� � � �� � �� � � �
� ��� � �� �� � �� � ��� � �� �
− × − + × − − × + × − × − + × − − × + ×
= � �
� �
Jadi, matriks A adalah � �
� �
.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: a
Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan
�� � �
� �� �
− = + =
adalah � �
� �
−
�
�
=
�
�
.
2. Jawaban: c
Sistem persamaan:
�� �� ��
� ��� � �
�� � �� ��
+ + =− + + = + − =Dapat dinyatakan dalam persamaan matriks:
*����%� %�#$���#�
� � �
� �� �
� � �
− −
�
�
�
=
�
��
Jadi, matriks koefisiennya
� � �
� �� �
� � �
− −
.
3. Jawaban: a
Sistem persamaan linear:
2x + 3y = 3
4x – y = –7
Bentuk persamaan matriksnya:
� � � �
� � � �
= − −
y = �/
/=
� �
� �
� �
� �
−
−
= � � �� � �
� �
� �
× − − ×
−
= �
� �
� �
−
−
Jadi, nilai a yang memenuhi –26.
4. Jawaban: e
Bentuk persamaan matriksnya:
�
� �
− −
�
�
=
��
��
−
x = �/
/
⇔ 3 =
��
�� �
�
� �
−−
−−
⇔ 3 = ��� ���
�� ��
−−
⇔ 3(2p – 24) = 12p – 102
⇔ 6p – 72 = 12p – 102
⇔ 6p – 12p = –102 + 72
⇔ –6p = –30
⇔ p = 5
Jadi, nilai p adalah 5.
5. Jawaban: b
Syarat SPLDV tidak mempunyai penyelesaian
adalah D = 0, Dx ≠ 0, dan D
y ≠ 0.
Pada pilihan b:
D = � �
� � = 4 – 4 = 0
Dx =
�� �
� � = 12 – 4 = 8 ≠ 0
Dy =
� ��
� � = 8 – 24 = –16 ≠ 0
Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, dan D
y ≠ 0 maka sistem
persamaan linear pada pilihan b tidak mempunyai
penyelesaian.
82 Matriks
6. Jawaban: d
Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:
� �
� �
−
�
�
= �
�
D = � �
� �
− = (–2) × 2 – 3 × 1 = –7
Dx
= � �
� � = 4 × 2 – 3 × 5 = –7
Dy
= � �
� �
− = (–2) × 5 – 4 × 1 = –14
x = �/
/ =
�
�
−− = 1
y = �/
/ =
��
�
−− = 2
Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 2).
7. Jawaban: c
Mengubah bentuk SPLDV di atas menjadi bentuk
baku.
Misalkan �
� = a dan
�
� = b maka SPLDV menjadi:
a + b = 10
5a – 3b = 26
Bentuk persamaan matriksnya:
� �
� �
−
�
�
=
��
�
Sehingga,
�
�
=
�� �
� �
− −
��
�
⇔�
�
=
�
� �− −� �
� �
− − −
��
�
⇔�
�
= –
�
� �
� �
− − −
��
�
⇔�
�
= –
�
�
��
− −
⇔�
�
=
�
�
Diperoleh nilai a = 7 dan b = 3
Menentukan nilai x:
�
� = a ⇔ x =
�
� =
�
�
Jadi, nilai x = �
�.
8. Jawaban: b
Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:
� � � ��
� � � �
− − = − −
D = −−
� �
� � = –3 + 4 = 1
Dx
= − −− −�� �
� � = 30 – 10 = 20
Dy
= −−
� ��
� � = –5 + 20 = 15
x = �/
/ =
��
� = 20
y = �/
/ =
��
� = 15
Diperoleh titik A (20, 15).
Persamaan garis yang melalui A (20, 15)
dan B (3, 4):
;
< ;
� �
� �
−−
= ;
< ;
� �
� �
−−
⇒ � ��
� ��
−−
= � ��
� ��
−−
⇔ � ��
��
−−
= � ��
��
−−
⇔ –17y + 255 = –11x + 220
⇔ 17y = 11x + 35
⇔ 11x – 17y = –35
Jadi, persamaan garis p adalah 11x – 17y = –35.
9. Jawaban: b
Syarat ketiga garis di atas berpotongan di satu
titik adalah
� � � �
� � �
� � �
+ −− − = 0
⇔ ((a + 2) × (–1) × 1) + (1 × (–3) × 3) + ((–2)
× 1 × a) – ((–2) × (–1) × 3) – ((a + 2) × (–3) × a)
– (1 × 1 × 1) = 0
⇔ –a – 2 – 9 – 2a – 6 + 3a2 + 6a – 1 = 0
⇔ 3a2 + 3a – 18 = 0
⇔ (3a + 9)(a – 2) = 0
⇔ a = –3 atau a = 2
Oleh karena a > 0 maka nilai a = 2.
10. Jawaban: d
Misalkan: x = Harga 1 butir permen
y = Harga 1 buah wafer
Bentuk sistem persamaan linear dari permasalahan
di atas:
4x + 3y = 1.900
2x + 4y = 2.200
Bentuk persamaan dalam matriks:
� �
� �
�
�
=
�?���
�?���
Menentukan nilai x dan y menggunakan invers
matriks.
83Matematika Kelas XII Program IPS
� �
� �
�
�
=
�?���
�?���
⇔�
�
=
�� �
� �
−
�?���
�?���
⇔�
�
=
�
� −� �
� �
− −
�?���
�?���
⇔�
�
=
�
��
� �
� �
− −
�?���
�?���
⇔�
�
=
�
��
�?���
�?���
⇔�
�
=
���
���
Diperoleh:
harga 1 butir permen (x) = Rp100,00
harga 1 buah wafer (y) = Rp500,00
Harga tiga butir permen dan lima buah wafer
= 3x + 5y
= 3 × 100 + 5 × 500
= 300 + 2.500
= 2.800
Jadi, harga tiga butir permen dan lima buah wafer
Rp2.800,00.
B. Uraian
1. a. Sistem persamaan linear dalam bentuk
matriks:
� � � ��
� � � �
=
1) Menggunakan invers matriks
� � � ��
� � � �
=
⇔�
�
=
�� � ��
� � �
−
⇔�
�
= �
� � � �× − ×� � ��
� � �
− −
⇔�
�
= �
��−��
�
− −
⇔�
�
= �
�
Diperoleh nilai x = 1 dan y = 2.
2) Menggunakan metode Cramer
x = �/
/=
�� �
� �
� �
� �
= �� � � �
� � � �
× − ×× − ×
= ��
��
−−
= 1
y = �/
/=
� ��
� �
� �
� �
= � � �� �
� � � �
× − ×× − ×
= �
��
−− = 2
Diperoleh x = 1 dan y = 2.
Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 2.
b. Sistem persamaan linear
3y – 2x = 6 ⇔ –2x + 3y = 6
x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Bentuk persamaan matriks:
� � �
� � � �
− =
1) Menggunakan invers matriks
� � �
� � � �
− =
⇔ �
�
=
�� �
� � �
−−
⇔�
�
= �
� �� � � �− × − ×� �
� � �
− − −
⇔�
�
= �
�−�
��
− −
⇔�
�
= �
�
Diperoleh nilai x = 3 dan y = 4.
2) Menggunakan metode Cramer
x = �/
/=
�
� �
� �
� �
−
= � � �
� �� � � �
× − ×− × − ×
= �
�
−− = 3
84 Matriks
y = �/
/=
�
� �
� �
� �
−
−
= � �� � �
� �� � � �
− × − ×− × − ×
= ��
�
−− = 4
Diperoleh nilai x = 3 dan y = 4.
Jadi, penyelesaiannya x = 3 dan y = 4.
c. Sistem persamaan linear:
y = 4
x + y = 10
Bentuk persamaan matriks:
� � � �
� � � ��
=
1) Menggunakan invers matriks
� � � �
� � � ��
=
⇔�
�
=
�� � �
� � ��
−
⇔�
�
= �
� � � �× − ×� � �
� � ��
− −
⇔�
�
= �
�−
�
− −
⇔�
�
=
�
Diperoleh x = 6 dan y = 4.
2) Menggunakan metode Cramer
x = �/
/=
� �
�� �
� �
� �
= � � � ��
� � � �
× − ×× − × =
�
−− = 6
y = �/
/=
� �
� ��
� �
� �
= � �� � �
� � � �
× − ×× − × =
�
�
−− =
4
Diperoleh x = 6 dan y = 4.
Jadi, penyelesaiannya x = 6 dan y = 4.
2. x = �/
/
⇔ –1 =
� � �
� �
� � �
� �
− +−+
−
⇔ –1 = �� �� ��
− +−
⇔ –1 = � �
−−
⇔ 8 = 9 – t
⇔ t = 9 – 8
⇔ t = 1
Jadi, nilai t = 1.
3. Sistem persamaan:
� + � = 5
2 � – � = 1
Mengubah bentuk sistem persamaan di atas ke
dalam bentuk baku.
Misalkan: � = a dan � = b
Sehingga sistem persamaan menjadi
a + b = 5
2a – b = 1
Menentukan nilai a dan b dengan metode
determinan matriks.
Bentuk persamaan matriks:
� �
� �
−
�
�
=
�
�
a = �/
/ =
� �
� �
� �
� �
−
−
= � �
� �
− −− − =
�
−− = 2
b = �/
/ =
� �
� �
� �
� �−
= � ��
� �
−− − =
�
�
−− = 3
Menentukan nilai x dan y:
� = a
⇔ x = a2
⇔ x = 22
⇔ x = 4 . . . (1)
� = b
⇔ y = b2
⇔ y = 32
⇔ y = 9 . . . (2)
Jadi, nilai x = 4 dan y = 9.
4. Model matematika dari permasalahan di atas
sebagai berikut.
10 buku dan 8 pensil seharga Rp70.000,00:
10x + 8y = 70.000 . . . (1)
20 buku dan 12 pensil seharga Rp127.000,00:
20x + 12y = 127.000 . . . (2)
Sistem persamaan linear yang terbentuk:
10x + 8y = 70.000
20x + 12y = 127.000
Diperoleh sistem persamaan linear dalam bentuk
matriks.
��
�� ��
�
�
=
��?���
���?���
85Matematika Kelas XII Program IPS
Menggunakan invers matriks.
��
�� ��
�
�
=
��?���
���?���
⇔ �
�
=
���
�� ��
−
��?���
���?���
⇔ �
�
=
�
��� ��� � ���× − ×��
�� ��
− −
��?���
���?���
⇔ �
�
=
�
��� ��−��
�� ��
− −
��?���
���?���
⇔ �
�
= –
�
��
��?���
���?���
− −
⇔ �
�
=
�?���
�?���
Diperoleh x = 4.400 dan y = 3.250. Jadi, harga
sebuah buku Rp4.400,00 dan harga sebuah pensil
adalah Rp3.250,00.
5. Misalkan:
x = Harga sebuah kue A
y = Harga sebuah kue B
Sistem persamaan linear dari permasalahan
tersebut.
5x + 3y = 7.000
2x + 4y = 5.600
Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan
tersebut:
� �
� �
�
�
=
�?���
�?��
Menggunakan invers matriks
� �
� �
�
�
=
�?���
�?��
⇔�
�
=
�� �
� �
−
�?���
�?��
⇔�
�
=
�
�� −� �
� �
− −
�?���
�?��
⇔�
�
=
�
��
� �
� �
− −
�?���
�?��
⇔�
�
=
�
��
��?���
��?���
⇔�
�
=
��
�?���
Diperoleh: x = 800 dan y = 1.000.
Harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B
= 3x + 5y
= 3 × 800 + 5 × 1.000
= 2.400 + 5.000
= Rp7.400,00
Jadi, harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B adalah
Rp7.400,00.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
a12
= elemen baris ke-1 kolom ke-2 = 3
a24
= elemen baris ke-2 kolom ke-4 = 2
a33
= elemen baris ke-3 kolom ke-3 = 6
a12
+ a24
+ a33
= 3 + 2 + 6 = 11
2. Jawaban: c
�
� �
− merupakan matriks berordo 2 × 2.
� � �
� � �
− merupakan matriks berordo 2 × 3.
��
� �
� �
−
merupakan matriks berordo 3 × 2.
� � �
�
� � �
−
merupakan matriks berordo 3 × 3.
� � � �
� � � �
� � � �
− −
merupakan matriks berordo 3 × 4.
Jadi, matriks berordo 3 × 2 pada pilihan c.
3. Jawaban: e
Suatu matriks A dikatakan simetris jika A = AT.
Perhatikan matriks pada pilihan e.
A =
� � �
� � �
� �
− − −
⇔ AT =
� � �
� � �
� �
− − −
Oleh karena A = AT maka matriks
� � �
� � �
� �
− − − merupakan matriks simetris.
Jadi, matriks pada pilihan e merupakan matriks
simetris.
86 Matriks
4. Jawaban: e
Transpos dari matriks P adalah suatu matriks baru
yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris
matriks P ditukar dengan elemen-elemen pada
kolomnya.
R = PT = � �
� � �
− − −
5. Jawaban: e
A = B
� ��
� ��
−
= �
� ��
−
Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
x – 3y = –2 . . . (1)
4y = 12
⇔ y = 3 . . . (2)
Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan
(1).
x – 3y = –2
⇔ x – 3 × 3 = –2
⇔ x – 9 = –2
⇔ x = –2 + 9
⇔ x = 7
Jadi, nilai 2(x – y) = 2(7 – 3) = 2(4) = 8.
6. Jawaban: c
P – PT + Q
=
� �
� � �
� � �
− −
–
� � �
� � �
� �
− −
+
� � �
� � �
� � �
=
� � �
� �
� � �
− − −
7. Jawaban: b
−�
���� +
��
�� =
−�
���
⇔�� � � � �
�
− + +
=
−�
���
Dari kesamaan matriks diperoleh:
6x + 4 = –2 ⇔ 6x = –6
⇔ x = –1
5y – x + 5 = 11
⇔ 5y – (–1) + 5 = 11
⇔ 5y + 6 = 11
⇔ 5y = 5
⇔ y = 1
Jadi, nilai (x, y) adalah (–1, 1).
8. Jawaban: b
X – � �
� �
− =
� �
� �
⇔ X = � �
� �
+
� �
� �
−
⇔ X = � � � �
� � � �
+ − + +
⇔ X = �
�
Transpos matriks X = XT = �
�
.
9. Jawaban: c
A + B = 3CT
⇔��
� ��
− − +
�
� �
− = 3
� �
� �
− −
⇔��
�� �
+ − − − + =
�
− −
Dari kesamaan matriks diperoleh:
3a + 6 = 9 ⇔ 3a = 3
⇔ a = 1
–2b + 4 = 6 ⇔ –2b = 2
⇔ b = –1
a + b = 1 + (–1) = 0
Jadi, nilai a + b yang memenuhi A + B = 3CT
adalah 0.
10. Jawaban: b
p�
�
�
+ 2q�
�
�
−
– r
�
�
�
−
=
�
�
�
− −
⇔�
�
�
+ ��
��
�
−
–
�
�
�
−
=
�
�
�
− −
⇔�� �
� ��
�
− −
=
�
�
�
− −
Dari kesamaan matriks diperoleh:
r = –1
2q – r = 1 ⇔ 2q – (–1) = 1
⇔ 2q + 1 = 1
⇔ q = 0
p – 2q = –2
⇔ p – 0 = –2
⇔ p = –2
Jadi, nilai p + q + r = –2 + 0 – 1 = –3.
87Matematika Kelas XII Program IPS
11. Jawaban: d
� �
�
−
� � �
� � �
= � � � �� � � � � �� � � � � �� �
� � � � � � � � �
× + − × × + − × × + − × × + × × + × × + ×
= �� ��
�� � ��
− − −
12. Jawaban: b
C2 = C × C = � �
� �
� �
� �
= � � �� ��
� � � �
+ + + +
= � ��
� ��
C3 = C × C2 = � �
� �
� ��
� ��
= � �� �� ��
� �� �� ��
+ + + +
= �� ���
�� �
13. Jawaban: e
det C = 0
⇔ � �
� ��� ��− − = 0
⇔ x × 2(x – 5) + 12 = 0
⇔x × (2x – 10) + 12 = 0
⇔ 2x2 – 10x + 12 = 0
⇔ x2 – 5x + 6 = 0
⇔ (x – 2)(x – 3) = 0
⇔ x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
⇔ x = 2 atau x = 3
Jadi, nilai x1 dan x
2 berturut-turut adalah 2 dan 3.
14. Jawaban: e
det P =
� � � � �
� � � � �
� � � � �
− −−
− −⇔ 4x – 2 = 4 – 1 + 6 + 4 + 2 + 3
⇔ 4x – 2 = 18
⇔ 4x = 18 + 2
⇔ 4x = 20
⇔ x = 5
Jadi, nilai x adalah 5.
15. Jawaban: a
AB = � � � �
� � � �
− − − −
= � � � � � � �� � � ��
� � � � � � �� � � ��
− × + × − × − + × − − × + × − × − + × −
= � �
� �
− − − −
(AB)–1 =
�� �
� �
−− − − −
= �
� �−
� �
� �
− −
= –�
�
� �
� �
− −
=
�
�
�
�
�
�
−
−
Jadi, invers AB adalah (AB)–1 =
�
�
�
�
�
�
−
−.
16. Jawaban: c
D = 2A + B – C
= 2� �
� �
− +
�
� �
− − –
� �
� �
− − −
= � �
− +
�
� �
− − –
� �
� �
− − −
= �� ��
� �
− −
Det (D) = �� ��
� �− − = 12 × (–2) – 13 × (–5)
= –24 + 65
= 41
Jadi, nilai determinan matriks D adalah 41.
17. Jawaban: e
C = A + B
= �
� �
+ �
� �
= �� �
�� �
88 Matriks
C–1 = �
�� �
�� �
−
= �
�� � � ��× − ×� �
�� ��
− −
= �
��
� �
�� ��
− −
=
� �
� �
��
−−−−
−−−−
Jadi, invers matriks C adalah
� �
� �
��
−−−−
−−−−.
18. Jawaban: c
� �
� �
− P =
� �
�� ��
− −
⇔�
� �
� �
− −
� �
� �
− P =
�� �
� �
− −
� �
�� ��
− −
⇔ P = �
� ���− −� �
� �
−
� �
�� ��
− −
⇔ P = �
��
� �
� �
−
� �
�� ��
− −
⇔ P = �
��
� �� � ��
� �� �
+ − − − − +
⇔ P = �
��
� ���
�� ��
− −
⇔ P = � �
� �
− −
Jadi, matriks P adalah � �
� �
− − .
19. Jawaban: c
� �
� �
− − X =
� �
��
−
⇔ X =
�� �
� �
−− −
� �
��
−
⇔ X = �
�� �−� �
� �
� �
��
−
⇔ X = �
��
� �
� �
� �
��
−
⇔ X = �
��
�� ���
�� ���
−
⇔ X = � �
�
−
Jadi, matriks X adalah � �
�
− .
20. Jawaban: d
AB = � � � �
� � � �
= � � �
�� �
+ + + +
= �
�� ��
(AB)–1 = �
�� ��� � ���× − ×��
�� �
− −
= �
� ��−��
�� �
− −
= �
��
�� �
− −
21. Jawaban: e
A = � �
� �
⇔ AT =
� �
� �
ATB = � �
� �
⇔� �
� �
B =
� �
� �
⇔ B =
�� �
� �
−
� �
� �
⇔ B = �
� �−� �
� �
− −
� �
� �
⇔ B = �
�
� �
� �
− −
� �
� �
⇔ B = � � � �� � � � � �� �
� �� � � � � �� � � �
× + − × × + − × − × + × − × + ×
⇔ B = � �
� �
− −
B2 = B × B
= � �
� �
− −
� �
� �
− −
= � � � �� � �� � � �� � �� �
� �� � � � �� � �� � �� � �
× + − × − × − + − × − × + × − − × − + ×
= � �
� ��
− −
89Matematika Kelas XII Program IPS
22. Jawaban: d
C = A – 3B
= � �
� �
− – 3
� �
� �
− −
= � �
� �
−
– � �
− −
= �
� �
− −
C–1 = �
� � � �� � �× − − × −�
� �
= �
� �
23. Jawaban: e
f(A, B) = A2 + B
S + M = � �
� �
+ � �
� �
−
= � � � �
� � � �
+ + + −
= � �
� �
(S + M)2 = (S + M)(S + M)
= � �
� �
� �
� �
= � � �
� � � �
+ + + +
= �
� �
S – M = � �
� �
– � �
� �
−
= � � � �
� � � �
− − − +
= � �
�
−
f(S + M, S – M) = (S + M)2 + (S – M)
= �
� �
+ � �
�
−
= � � �
� � �
+ − + +
= �� �
�
24. Jawaban: e
A = � �
� �
maka AT = � �
� �
Misalkan matriks B = � �
� �
det B = � �
� � = ad – bc
ATB = � �
� �
� �
� �
=
� �
�� ��
det (ATB) = � �
�� ��
= 4ad – 4bc
= 4(ad – bc)
= 4 × det B
= 4 × �
�p
= 2p
Jadi, det (ATB) adalah 2p.
25. Jawaban: a
Misalkan matriks B = � �
� �
det (B) = � �
� � = ad – bc = n
AB = � �
� �
� �
� �
=
�� ��
�� ��
det (AB) = �� ��
�� ��
= 6ad – 6bc
= 6(ad – bc) = 6n
26. Jawaban: a
Bentuk persamaan matriksnya:
� �
� �
−
�
�
=
Menentukan nilai x dan y:
x = �/
/ =
�
�
� �
� �
−
− =
� �
++
= ��
� = 2
y = �/
/ =
�
�
� �
� �
− = � ��
� �
−+
= ��
�
− = –2
xy = 2 × (–2) = –4
Jadi, nilai xy adalah –4.
27. Jawaban: c
� �
� �
− −
�
�
= �
�
D = � �
� �
−−
= 2 × (–1) – (–1) × 3 = 1
90 Matriks
Dx
= � �
� �
−−
= 5 × (–1) – (–1) × 7 = 2
Dy
= � �
� � = 2 × 7 – 5 × 3 = –1
x = �/
/ =
�
� = 2
y = �/
/ =
�
�
− = –1
Jadi, kedua garis berpotongan di titik (2, –1).
28. Jawaban: c
a + 4b = 22
a + 11b = 57
Bentuk persamaan matriksnya:
� �
� ��
�
�
=
��
��
Menentukan nilai a = a0 dan b = b
0 dengan
determinan matriks.
a0 = �/
/ =
�� �
�� ��
� �
� ��
= ��� ��
�� �
−−
= ��
� = 2
b0 = �/
/ =
� ��
� ��
� �
� ��
= �� ��
�� �
−−
= ��
� = 5
a + 14b = 2 + 14 × 5 = 2 + 70 = 72
Jadi, nilai a0 + 14b
0 adalah 72.
29. Jawaban: e
� �
� �
−
�
�
=
��
�
⇔�
�
=
�� �
� �
− −
��
�
⇔�
�
=
�
� ��− −� �
� �
− − −
��
�
⇔�
�
= –
�
��
� �
� �
− − −
��
�
⇔�
�
= –
�
��
��
��
− −
⇔�
�
=
�
�
Jadi, titik potongnya adalah (3, 2).
30. Jawaban: d
Misalkan:
A1
= matriks berat barang yang dibeli di toko Maju
A2
= matriks berat barang yang dibeli di toko Laris
B1
= matriks harga barang per kg di toko Maju
B2
= matriks harga barang per kg di toko Laris
A1
= (3 10)
↑ ↑gula beras
A2
= (2 5)
↑ ↑gula beras
B1
= ���
�#���
�?���
?���
← ←
B2
= ���
�#���
�?���
?���
← ←
Jumlah uang yang dikeluarkan Bu Ani
= A1B
1 + A
2B
2
= (3 10)�?���
?���
+ (2 5)
�?���
?���
B. Uraian
1. a. A =
&����% @ &����% @@
!���
F���
�� ��
�� ��
←←
B =
&����% @ &����% @@
!���
F���
�� ��
�� ��
←←
b. Misalkan H adalah matriks total penjualan
bulan November dan Desember (dalam jutaan
rupiah)
H = A + B
= �� ��
�� �� +
�� ��
�� ��
=
&����% @ &����% @@
�� ��
�� �
↑ ↑
Total penjualan produk I
= Rp55.000.000,00 + Rp45.000.000,00
= Rp100.000.000,00
Total penjualan produk II
= Rp35.000.000,00 + Rp65.000.000,00
= Rp100.000.000,00
91Matematika Kelas XII Program IPS
c. Misalkan K adalah matriks kenaikan penjualan
produk I dan II bulan Desember (dalam jutaan
rupiah).
K = �� ��
�� �� –
�� ��
�� ��
=
&����% @ &����% @@
��
�� ��
↑ ↑
Kenaikan penjualan produk I
= Rp15.000.000,00 + Rp15.000.000,00
= Rp Rp30.000.000,00
Kenaikan penjualan produk II
= Rp8.000.000,00 + Rp15.000.000,00
= Rp23.000.000,00
d. Misalkan P adalah matriks besar komisi Toni
dan Joni pada bulan Desember (dalam jutaan
rupiah).
P = (3%)�� ��
�� �� =
�W�� �W
�W� �W�
Besar komisi Toni
= Rp1.050.000,00 + Rp600.000,00
= Rp1.650.000,00
Besar komisi Joni
= Rp900.000,00 + Rp1.200,000
= Rp2.100.000,00
2. Laba roti per bungkus:
A =
�?���
�?���
�?���
–
�?���
�?���
�?���
=
�?���
���
���
Laba setiap roti dalam seminggu:
B = (1.000 600 1.200)
�?���
���
���
=
�?���?���
���?���
��?���
Jadi, laba toko tersebut dalam seminggu:
= Rp1.000.000,00 + Rp300.000,00 + Rp600.000,00
= Rp1.900.000,00
3.� �
� � = 4 ⇔ ad – bc = 4
det P = �� �� �
�� �� �
++
= d(2a + 3b) – b(2c + 3d)
= 2ad + 3bd – 2bc – 3bd
= 2ad – 2bc
= 2(ad – bc)
= 2 × 4
= 8
det Q = � �� � ��
�� ��
+ +
= 5d(a + 3b) – 5b(c + 3d)
= 5ad + 15bd – 5bc – 15bd
= 5ad – 5bc
= 5(ad – bc)
= 5 × 4
= 20
det P + det Q = 8 + 20 = 28.
Jadi, det P + det Q adalah 28.
4. det A = 3(det B)
⇔ � � �
� �
+ = 3
� �
� � �−⇔ 3(5 + x) – 5x = 3(7(x – 2) – 27)
⇔ 15 + 3x – 5x = 3(7x – 14 – 27)
⇔ 15 – 2x = 3(7x – 41)
⇔ 15 – 2x = 21x – 123
⇔ 21x + 2x = 15 + 123
⇔ 23x = 138
⇔ x = 6
Jadi, nilai x adalah 6.
5. A = � �
� �
− −
⇔ AT = � �
� �
− −
A–1 = �
� � �� � �� �× − − − ×� �
� �
− −
= �
�−� �
� �
− −
= �
�
� �
�
− −
k det (AT) = det (A–1)
⇔ k� �
� �− −= �
�
� �
�
−
−
⇔ k(5 × (–2) – 2 × (–4)) = (1 × (–�
�) – (–2) × 1)
⇔ –2k = –�
�
⇔ k = �
�
92 Matriks
a. k + 1 = �
� + 1 =
�
�
b. k2 + k – 1 = �
�
�
+ �
�
– 1
= �
� +
�
� –
�
�
= –��
�
6. A = � �
� �
− ⇔ AT =
� �
� �
−
C–1 = �
�−
� �
�
− − =
� �
�
− −
AT + C–1 = B
⇔� �
� �
− +
� �
�
− − =
� � �
� �
+ −
⇔� � � �
� � �
+ − − − + =
� � �
� �
+ −
⇔� �
� �
− =
� � �
� �
+ −
Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh:
3 = t + 1
⇔ t = 3 – 1
⇔ t = 2
Jadi, nilai 2t = 2 × 2 = 4.
7. (AT)T = A = �� �
� �
B–1 = �
�
� �
� �
−
=
� �
� �
� �
� �
−
B = (B–1)–1
= � � � �
� � � �
� ⋅ − ⋅ −
� �
� �
� �
� �
−
= � �
� �
�
+
� �
� �
� �
� �
−
= 2
� �
� �
� �
� �
−
= � �
� �
−
C = AB + p� �
� �
−
= �� �
� �
� �
� �
−
+ � �
� �
−
= �� � �� �
� � � �
− + − +
+ � �
� �
−
= �� � � �
� � �� �
− + − +
det C = �� � � �
� � �� �
− +− +
= (2p – q)(2p + q) – (p – q)(p + q)
= (2p)2 – q2 – (p2 – q2)
= 4p2 – q2 – p2 + q2
= 3p2
Jadi, determinan matriks C adalah 3p2.
8. A–1 = �
� −� �
� �
− −
= –1� �
� �
− − =
� �
� �
− −
AT = � �
� �
a. Menentukan matriks B.
A–1B = � �
� �
−
⇔� �
� �
− − B =
� �
� �
−
⇔ B =
�� �
� �
−− −
� �
� �
−
⇔ B = �
� −� �
� �
− − − −
� �
� �
−
⇔ B = –1� �
� �
− − − −
� �
� �
−
⇔ B = � �
� �
� �
� �
−
⇔ B = � �
� �
Jadi, matriks B = � �
� �
.
93Matematika Kelas XII Program IPS
b. Menentukan det (ATB).
ATB = � �
� �
� �
� �
=
�� ��
�� ��
det (ATB)= �� ��
�� ��
= 238 – 240
= –2
Jadi, det (ATB) adalah –2.
9. Misalkan: x = Banyak karcis kelas I yang terjual
y = Banyak karcis kelas II yang terjual
Dari permasalahan di atas diperoleh:
x + y = 200 . . . (1)
80.000x + 60.000y = 14.300.000 . . . (2)
⇔ 4x + 3y = 715
Persamaan matriksnya:
� �
� �
�
�
=
���
���
Menentukan nilai x dan y:
x = �/
/ =
��� �
��� �
� �
� �
= �� ���
� �
−−
= ���
�
−− = 115
y = �/
/ =
� ���
� ���
� �
� �
= ��� ��
� �
−−
= �
�
−− = 85
Jadi, terjual 115 karcis kelas I dan 85 karcis
kelas II.
10. a.� �
� � −
� �
� �
+ − =
�
�
⇔ � � ��� ��
��� �� �� ��
+ + − + − − =
�
�
⇔� � �� �
�� � � �
+ + − + − + =
�
�
⇔� ��
�� � �
+ − + =
�
�
Dari kesamaan matriks diperoleh:
x + 2y = 7 . . . (1)
2x – y + 5 = 4 ⇔ 2x – y = –1 . . . (2)
Jadi, sistem persamaannya:� �� �
�� � �
+ = − = −
.
b.� �
� � −
� �
� �
+ −
= �
�
⇔� �
� � � � � � � � �
� � � � � � � � �
− −+ = − − − −
⇔� �
� �
+ − = –
�
�
� �
� �
− − −
�
�
⇔� �
� �
+ − = –
�
�
�
�� �
− − − +
⇔� �
� �
+ − = –
�
�
��
��
− −
⇔� �
� �
+ − =
�
�
Dari kesamaan matriks diperoleh:
x + 2 = 3 ⇔ x = 1
y – 1 = 2 ⇔ y = 3
Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 3).
c. Garis x + 2y – 7 = 0, 2x – y + 1 = 0, dan
x + py – 16 = 0 berpotongan di satu titik jika
det A = 0 dengan
A =
� � �
� � �
� � �
− − −
det A = 0
⇔ (1 × (–1) × (–16)) + (2 × 1 × 1) + ((–7)
× 2 × p) – ((–7) × (–1) × 1) – (1 × 1 × p)
– (2 × 2 × (–16)) = 0
⇔ 16 + 2 – 14p – 7 – p + 64 = 0
⇔ –15p = –75
⇔ p = 5
Jadi, nilai p adalah 5.
koefisien x
↑ konstanta
koefisien y
↑↑
94 Ulangan Akhir Semester 1
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
∫ 5 3
3 28x 18x2x 3x
−−
dx = ∫3 2
22x (4x 9)x (2x 3)
−−
dx
= ∫2 22x((2x) 3 )
(2x 3)−
− dx
= ∫ 2x(2x 3)(2x 3)(2x 3)
− +− dx
= ∫ 2x(2x + 3) dx= ∫ (4x2 + 6x) dx
= 43 x3 + 3x2 + c
Jadi, ∫ 5 3
3 28x 18x2x 3x
−−
dx = 43 x3 + 3x2 + c.
2. Jawaban: d
∫ x 1x 1
−+
dx
= ∫2 2( x) 1
x 1−
+ dx
= ∫ ( x 1)( x 1)x 1
− ++
dx
= ∫( x – 1) dx
= ∫(x12 – 1) dx
= 12
1
1+x
12 + 1 – x + c
= 32
1x1
12 – x + c
= 23 x x – x + c
Jadi, ∫ x 1x 1
−+
dx = 23 x x – x + c.
3. Jawaban: eGradien garis singgung kurva di titik P(x, y) adalah
m = y′ = 12 x2 – 1, maka:
y = ∫ y′ dx
= ∫ ( 12 x2 – 1) dx
= 16 x3 – x + c
Kurva y = f(x) melalui titik (2, 13 ) maka f(2) =
13 .
f(2) = 16 × 23 – 2 + c
⇔ 13 =
86 – 2 + c
⇔ 13 =
43 – 2 + c
⇔ c = 1
Jadi, f(x) = 16 x3 – x + 1.
4. Jawaban: bKecepatan gerak peluru adalah v(t) = (–t + 6)meter/detik, maka persamaan ketinggian pelurupada saat t detik adalah:
h(t) = ∫ v(t) dt
= ∫ (–t + 6) dt
= –12 t2 + 6t + c
Tinggi yang dicapai peluru pada saat t = 2 detikadalah 11 meter, maka h(2) = 11.
h(2) = –12 × 22 + 6 × 2 + c
⇔ 11 = –2 + 12 + c⇔ c = 1Dengan demikian, diperoleh persamaan tinggi
peluru h(t) = –12 t2 + 6t + 1.
Ketinggian peluru 17 meter, berarti h(t) = 17.h(t) = 17
⇔ –12 t2 + 6t + 1 = 17
⇔ –12 t2 + 6t – 16 = 0
⇔ –t2 + 12t – 32 = 0⇔ t2 – 12t + 32 = 0⇔ (t – 4)(t – 8) = 0⇔ t – 4 = 0 atau t – 8 = 0⇔ t = 4 atau t = 8Jadi, peluru mencapai ketinggian 17 meter padasaat t = 4 detik atau t = 8 detik.
95Matematika Kelas XII Program IPS
5. Jawaban: e3
0(x 2)(2x 3)∫ − + dx
= 3 2
0(2x x 6)∫ − − dx
= 31 13 2
3 2 02 x x 6x × − −
= 32 13 2
3 2 0x x 6x − −
= (18 – 92
– 18) – (0)
= – 92
= –412
Jadi, hasil dari 3
0(x 2)(2x 3)∫ − + dx = –4
12 .
6. Jawaban: cf(x) = ax + b
1
0∫ f(x) dx = 2
⇔1
0∫ (ax + b) dx = 2
⇔ a2
x2 + bx
1
0 = 2
⇔a 22
1 b 1 × + × –
a 22
0 b 0
× + × = 2
⇔ a2 + b = 2 . . . (1)
2
1∫ f(x) dx = 4
⇔2
1∫ (ax + b) dx = 4
⇔ a2
x2 + bx
2
1 = 4
⇔a 22
2 b 2
× + × – a 22
1 b 1
× + × = 4
⇔ a2
4 2b
× + – a2
b
+ = 4
⇔ 32 a + b = 4 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).a2 + b = 2
32 a + b = 4–––––––––– –
–a = –2⇔ a = 2
Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (1).a2 + b = 2
⇔ 22 + b = 2
⇔ b = 1a + b = 2 + 1 = 3Jadi, a + b = 3.
7. Jawaban: cMisalkan u = 4 – 2x maka:
dudx = –2
⇔ du = –2 dxSehingga diperoleh:∫ 6(4 – 2x)3 dx= –3 ∫(4 – 2x)3(–2) dx= –3 ∫u3 du
= –3 × 14 u4 + c
= – 34
(4 – 2x)4 + c
8. Jawaban: bMisalkan u = x2 – 6x – 12 maka:dudx = 2x – 6
⇔ dudx = –2(3 – x)
⇔ (3 – x) dx = du2−
Sehingga diperoleh:
∫ 2
3 x
x 6x 12
−
− − dx = ∫
122(x 6x 12)
−− − (3 – x) dx
= ∫12 du
2u
−−
⋅
= – 12
∫12u
−du
= – 12
× 122u + c
= 2x 6x 12− − − + c
9. Jawaban: df′(x) = (4x + 2) 2(x x 3)+ + , maka:f(x) = ∫ (f′(x) dx
= ∫ (4x + 2) 2(x x 3)+ + dx
= 2 ∫ (x2 + x + 3)12 d(x2 + x + 3)
= 2 × 32
1 (x2 + x + 3)32 + c
= 43 (x2 + x + 3)
32 + c
96 Ulangan Akhir Semester 1
Grafik f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 5 3 )
maka f(0) = 5 3 .
f(0) = 43 (02 + 0 + 3)
32 + c
⇔ 5 3 = 43 × 3 3 + c
⇔ c = 3
Diperoleh f(x) = 43 (x2 + x + 3)
32 + 3
Nilai f(2) = 43 (22 + 2 + 3)
32 + 3
= 43 × 9
32 + 3
= 43 × (32)
32 + 3
= 43 × 33 + 3
= 4 × 32 + 3
= 36 + 3
Jadi, nilai f(2) = 36 + 3 .
10. Jawaban: e
f′(x) = 2
2x 6
x 6x 2
−
− +, maka f(x) = ∫
2
2x 6
x 6x 2
−
− + dx.
Dengan integral substitusi dapat dimisalkan:u = x2 – 6x + 2
⇔ du = (2x – 6) dxDengan demikian, diperoleh:
f(x) = ∫2
2x 6
x 6x 2
−
− + dx
= ∫122(x 6x 2)
−− + × (2x – 6) dx
= ∫12u
− du
= 12
1
1− +
12
1u
− + + c
= 212u + c
= 2 2x 6x 2 c− + +
Oleh karena konstanta f(x) adalah nol, maka
diperoleh f(x) = 2 2x 6x 2− + + 0
= 2 2x 6x 2− +
∫(x – 3) f(x) dx = ∫(x – 3) × 2 2x 6x 2− + dx
= ∫(2x – 6) 2x 6x 2− + dx
= ∫ 2x 6x 2− + × (2x – 6) dx
= ∫(x2 – 6x + 2)12 d(x2 – 6x + 2)
= 23 (x2 – 6x + 2)
32 + c
= 23
2 3(x 6x 2)− + + c
Dikarenakan c = 0, maka:
∫(x – 3) f(x) dx = 23
2 3(x 6x 2)− +
11. Jawaban: bDengan integral substitusi diperoleh penyelesaiansebagai berikut.2
0∫ x2(x3 + 4)3 dx =
13
2
0∫ (x3 + 4)3 d(x3 + 4)
= 13 ×
14
23 4
0(x 4) +
= 1
12 3 4 4(2 4) (0 4) + − +
= 1
12 (124 – 44)
= 1
12 (44 × 34 – 44)
= 44
12(34 – 1)
= 643 × 80 =
5.1203
12. Jawaban: d
Daerah yang diarsir terbagi menjadi dua bagian.Daerah I dibatasi garis y1, y2, x = 0, dan x = 2.Daerah II dibatasi garis y2, y3, x = 2, dan x = 6.
Persamaan garis y1 = x + 2, y2 = –13 x + 2,
y3 = –x + 6.
Y
X
III
6
4
2
2 6
y1
y3
y20
97Matematika Kelas XII Program IPS
Luas daerah yang diarsir:
L = 2
0∫ (y1 – y2) dx +
6
2∫ (y3 – y2) dx
= 2
0∫ (x + 2 – (–
13 x + 2)) dx +
6
2∫ (–x + 6 – (–
13 x + 2)) dx
= 2
0∫ 4
3 x dx + 6
2∫ (–
23 x + 4) dx
= 2
0∫ 4
3 x dx – 6
2∫ (
23 x – 4) dx
13. Jawaban: aMenentukan titik potong garis dan kurva.x + y = 4 ⇔ y = –x + 4Substitusi y = –x + 4 ke persamaan kurvay = x2 + 2x diperoleh:–x + 4 = x2 + 2x⇔ x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –4 atau x = 1Oleh karena titik potongnya di kanan sumbu Ymaka x = 1.Luas daerah yang diarsir:
L = 1
0∫ (y1 – y2) dx
= 1
0∫ ((–x + 4) – (x2 + 2x)) dx
= 1
0∫ (–x2 – 3x + 4) dx
= 11 33 2
3 2 0x x 4x − − +
= –13 (1 – 0) –
32 (1 – 0) + 4(1 – 0)
= –13 –
32 + 4
= 216
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 216 satuan
luas.
14. Jawaban: d
Menentukan titik potong kurva dan garis.Substitusi y = x + 4 ke persamaan kurva diperoleh:x + 4 = –x2 – 4x⇔ x2 + 5x + 4 = 0⇔ (x + 4)(x + 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = –4 atau x = –1
L = 1
4
−
−∫ (y2 – y1) dx
= 1
4
−
−∫ ((–x2 – 4x – (x + 4)) dx
= 1
4
−
−∫ (–x2 – 5x – 4) dx
= 11 53 2
3 2 4x x 4x
−
− − − −
= –13 ((–1)3 – (–4)3) –
52 ((–1)2 – (–4)2) – 4(–1 – (–4))
= –13 (–1 + 64) –
52 (1 – 16) – 4 × 3
= –21 + 3712 – 12
= 412
Jadi, luas daerah tersebut 412 satuan luas.
15. Jawaban: ePersamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 2)adalah y = x.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis y = xmaka x ≤ y.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (4, 0)adalah 4x + 4y = 10 ⇔ x + y = 4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garisx + y = 4 maka x + y ≥ 4.Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0)adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis2x + y = 8 maka 2x + y ≤ 8.Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Ymaka x ≥ 0.Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerahpenyelesaian di atas adalah x ≤ y, x + y ≥ 4,2x + y ≤ 8, x ≥ 0.
16. Jawaban: dGaris x + 3y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 2). Olehkarena x + 3y ≤ 6, berarti daerah penyelesaiannyadi kiri dan pada garis x + 3y = 6.Garis 5x + y = 5 melalui titik (1, 0) dan (0, 5). Olehkarena 5x + y ≥ 5, berarti daerah penyelesaiannyadi kanan dan pada garis 5x + y = 5.
Y
X–4 –1 0
4 y1 = x + 4
y2 = –x2 – 4x
98 Ulangan Akhir Semester 1
Garis 5x + 3y = 15 melalui titik (3, 0) dan (0, 5).Oleh karena 5x + 3y ≤ 15, berarti daerah pe-nyelesaiannya di kiri dan pada garis 5x + 3y = 15.Oleh karena x ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannyadi kanan dan pada sumbu Y.Oleh karena y ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannyadi atas dan pada sumbu X.Irisan daerah penyelesaian dari kelima pertidak-samaan dapat digambarkan sebagai berikut.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah IV.
17. Jawaban: aDaerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 4 di kanan dan padasumbu Y, di kiri dan pada garis x = 4.Garis 3x – 4y = 12 memotong sumbu X di titik(4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 di kiri dan padagaris 3x – 4y = 12.Garis x + 4y = 16 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 3).Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 16 di kiri dan padagaris x + 4y = 16.Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaansebagai berikut.
Dari gambar di atas terlihat daerah penyelesaianberbentuk trapesium.Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanberbentuk trapesium.
18. Jawaban: dGaris y – 2x = 4 memotong sumbu X di titik (–2, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian y – 2x ≤ 4 di kanan dan padagaris y – 2x = 4.Garis 2x + 3y = –12 melalui titik (–3, –2) dan (0, –4).Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ –12 di kanan danpada garis 2x + 3y = –12.
Y
X0
x + 4y = 16
3x – 4y = 12
4
3
–3
4
x = 4
Y
X0 1 3 6
5
2
Y
X0
4
–3 –2 2 3
–2
–4
A
B
C
D
2x – 3y = 12
2x + 3y = –12
y + 2x = 4
y – 2x = 4
Garis y + 2x = 4 memotong sumbu X di titik (2, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian y + 2x ≤ 4 di kiri dan padagaris y + 2x = 4.Garis 2x – 3y = 12 melalui titik (3, –2) dan (0, –4).Daerah penyelesaian 2x – 3y ≤ 12 di kiri dan padagaris 2x – 3y = 12.
Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang.
Luas ABCD = 12 × BD × AC
= 12 × 6 × 8 = 24 satuan luas
19. Jawaban: dDaerah penyelesaian y ≤ 4 di bawah dan pada garisy = 4.Daerah penyelesaian x ≥ –6 di kanan dan pada garisx = –6.Garis x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik(–6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3).Daerah penyelesaian x + 2y ≥ –6 di kanan danpada garis x + 2y = –6.Garis 4x + y ≤ 4 memotong sumbu X di titik (1, 0)dan memotong sumbu Y di titik (0, 4).Daerah penyelesaian 4x + y = 4 di kiri dan padagaris 4x + y = 4.Garis x + 2y = –6 dan garis 4x + y = 4 berpotongandi titik (2, –4).Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaansebagai berikut.
Uji titik pojok:
Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)= 10y – 8x adalah 88.
f(x, y) = 10y – 8x
10 × 4 – 8 × (–6) = 8810 × 0 – 8 × (–6) = 4810 × (–4) – 8 × 2 = –5610 × 4 – 8 × 0 = 40
Titik Pojok
A(–6, 4)B(–6, 0)C(2, –4)D(0,4)
Y
X0
A
B
C
D y = 4
x = –6
4x + y = 4x + 2y = –6
4
–3–4
–6 1 2
99Matematika Kelas XII Program IPS
f(x, y) = 4x – 2y
4 × 0 – 2 × 6 = –124 × 0 – 2 × 4 = –84 × 3 – 2 × 1 = 104 × 6 – 2 × 4 = 164 × 6 – 2 × 6 = 12
Titik Pojok
A(0, 6)B(0, 4)C(3, 1)D(6, 4)E(6, 6)
Y
X0
A
B
C
D
6
4
1
–22 3 4 6
x = 6
y = 6
x + y = 4
x – y = 2
E
20. Jawaban: bGambar tersebut adalah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear 2x + y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 12;x, y ≥ 0.Menentukan koordinat titik B.B adalah titik potong antara garis 2x + y = 4 dangaris 3x + 4y = 12.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 4 × 4 8x + 4y= 163x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12
–––––––––– –5x = 4 ⇔ x =
45
Substitusi x = 45 ke dalam persamaan 2x + y = 4
diperoleh:
2 × 45 + y = 4 ⇔ y =
125
Diperoleh koordinat titik B4 12
,5 5
Akan dicari fungsi objektif yang memiliki nilaimaksimum di B.
Jadi, yang mencapai maksimum di B adalah15x + 10y dan 4x + 5y.
21. Jawaban: bUji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y + 2x.
Oleh karena nilai minimum f(x, y) = 3y + 2x adalah4 maka persamaan garis selidik yang menyebab-kan f(x, y) mencapai minimum adalah 3y + 2x = 4.
22. Jawaban: b
f(x, y) = 3y + 2x
3 × 4 + 2 × 0 = 123 × 0 + 2 × 2 = 43 × 3 + 2 × 5 = 193 × 6 + 2 × 4 = 26
Titik Pojok
A(0, 4)B(2, 0)C(5, 3)D(4, 6)
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y.
Nilai minimum f(x, y) = 4x – 2y adalah –12 dicapaidi titik A(0, 6).
23. Jawaban: dMisalkan:x= banyak bolpoin merek A yang dibeli
y= banyak bolpoin merek B yang dibeliBanyak bolpoin merek A yang dibeli tidak lebihdari tiga kali banyak bolpoin B sehingga diperolehpertidaksamaan: x ≤ 3y . . . (1)Harga beli bolpoin merek A Rp1.000,00 per buahdan harga beli bolpoin merek B Rp1.500,00 perbuah, sedangkan modal untuk membeli keduamerek bolpoin hanya Rp100.000,00 sehinggadiperoleh pertidaksamaan:1.000x + 1.500y ≤ 100.000⇔ 2x + 3y ≤ 200 . . . (2)Keuntungan penjualan bolpoin merek A Rp500,00per buah dan keuntungan penjualan bolpoinmerek B Rp600,00 per buah, sedangkankeuntungan yang diperoleh paling sedikitRp30.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan:500x + 600y ≥ 30.000⇔ 5x + 6y ≥ 300 . . . (3)Banyak bolpoin merek A dan merek B yang dibelitidak mungkin negatif sehingga diperolehpertidaksamaan:x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4)diperoleh sistem pertidaksamaan:x ≤ 3y, 2x + 3y ≤ 200, 5x + 6y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0
24. Jawaban: eMisalkan: x = banyak roti I yang dibuat
y = banyak roti II yang dibuat
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x+ 20.000y dengan kendala:
2x + y ≥ 160x + y ≤ 180
x ≤ 2yx ≥ 0y ≥ 0
FungsiObjektif
15x + 10y
–20x + 15y
4x + 5y
6x – 4y
Titik Pojok
O(0, 0) A(2, 0) B( 45 , 12
5 ) C(0, 3)
0
0
0
0
30
–40
8
12 (maks)
36 (maks)
20
15 15 (maks)
–4 45
30
45 (maks)
15
–12
Roti I (x)
21
30.000
Roti II (y)
11
20.000
Maks
160180
Bahan
AB
Harga
100 Ulangan Akhir Semester 1
Daerah penyelesaian:
Uji titik pojok:
Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) =30.000x + 20.000y adalah 4.800.000 dicapai di titikD(120, 60).Jadi, banyak roti I yang harus dibuat 120 danbanyak roti II yang harus dibuat 60 agar diperolehpendapatan maksimum.
25. Jawaban: bMisalkan:x = banyak kain katun (potong)y = banyak kain sutra
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan fungsi objektif f(x, y) =(15x + 21y) ribu dengan kendala:
x + y ≤ 9860.000x + 105.000y ≤ 8.400.000⇔ 4x + 7y ≤ 560x ≥ 0, y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Menentukan koordinat titik B.Garis x + y = 98 dan 4x + 7y = 560 berpotongandi titik B.Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 98 × 4 4x + 4y= 3924x + 7y = 560 × 1 4x + 7y= 560
––––––––––––– ––3y = –168 ⇔ y = 56
Substitusikan y = 56 ke persamaan x + y = 98sehingga diperoleh:x + 56= 98 ⇔ x = 42Diperoleh koordinat titik B(42, 56).Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0),A(98, 0), B(42, 56), dan C(0, 80).Uji titik pojok.
Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y)adalah 1.806 ribu atau 1.806.000.Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh PakBurhan Rp1.806.000,00.
26. Jawaban: eAkan dibuat sistem pertidaksamaan yang sesuaidengan permasalahan tersebut.Misalkan: x = banyak barang A
y = banyak barang B
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 50.000ydengan kendala:
2x + y ≤ 240x + y ≤ 180x, y ≥ 0Daerah penyelesaian:
Y
X0
A
B
C
180160
60
32
64 80 120 180
x = 2y
2x + y = 160x + y = 180
D
f(x, y) = 30.000x + 20.000y
30.000 × 0 + 20.000 × 180 = 3.600.00030.000 × 0 + 20.000 × 160 = 3.200.00030.000 × 64 + 20.000 × 32 = 2.560.00030.000 × 120 + 20.000 × 60 = 4.800.000
Titik Pojok
A(0, 180)B(0, 160)C(64, 32)D(120, 60)
Jenis Kain
KatunSutra
Persediaan
Banyak(Potong)
HargaJual
Keuntungan
xy
98
60.000 105.000
8.400.000
15.00021.000
Y
X
98
80
98 140A
B
C
0
x + y = 98
4x + 7y = 560
Titik PojokO(0, 0)A(98, 0)C(42, 56)D(0, 80)
f(x, y) = (15x + 21y) ribu
(15 × 0 + 21 × 0) = 0 ribu(15 × 98 + 21 × 0) = 1.470 ribu(15 × 42 + 21 × 56) = 1.806 ribu(15 × 0 + 21 × 80) = 1.680 ribu
Barang A (x)
21
25.000
Barang B (y)
11
50.000
Maks
240180
Mesin IMesin II
Keuntungan
240
180
O 120 180A
B
C
Y
X
101Matematika Kelas XII Program IPS
Menentukan koordinat titik B.Garis 2x + y = 240 dan x + y = 180 berpotongan dititik B.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 240x + y = 180
–––––––––– –x = 60
Substitusikan x = 60 ke dalam persamaanx + y = 180 sehingga diperoleh:60 + y = 180⇔ y = 120Diperoleh koordinat titik B(60, 120).Uji titik pojok ke f(x, y) = 25.000x + 50.000y atauf(x, y) = (25x + 50y) ribu.
Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah9.000 ribu atau 9.000.000.Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperolehRp9.000.000,00.
27. Jawaban: dB = 2A
⇔2a b 2a
30 16−
= 2a 1 315 bc+
⇔2a b 2a
30 16−
= 2a 2 6
30 2bc+
Dari kesamaan matriks diperoleh:2a = 6 ⇔ a = 32a – b = 2a + 2 ⇔ b = –216 = 2bc ⇔ 8 = –2c
⇔ c = –4Nilai a + b – c = 3 – 2 – (–4) = 5.
28. Jawaban: bB + C = –2AT
⇔1 a
3b c +
3 05b a−
− = –2a b b
c a b+
− −
⇔2 a
8b a c−
− + = 2a 2b 2b
2c 2b 2a− − −
− Dari kesamaan matriks diperoleh:(1) a = –2b(2) –2 = –2a – 2b
⇔ –2 = –2(–2b)–2b⇔ –2 = 2b⇔ b = –1
(3) 8b = 2c ⇔ c = 4b⇔ c = 4 × (–1) = –4
(4) –a + c = 2b – 2a ⇔ a + c = 2b⇔ a – 4 = 2 × (–1)⇔ a = 2
Nilai a + b + c = 2 + (–1) + (–4) = –3Jadi, nilai a + b + c = –3.
29. Jawaban: d
c a db 2
+ −
1 11 1−
− = 0 a d
c b 1−
− −
⇔c a d c a d
b 2 b 2− + + − −
− − + = 0 a d
c b 1−
− − Dari kesamaan matriks diperoleh:b + 2 = –1 ⇔ b = –3–b – 2 = c – b ⇔ 3 – 2 = c + 3
⇔ c = –2c – a – d = a – d ⇔ c – a = a
⇔ c = 2a⇔ –2 = 2a⇔ a = –1
–c + a + d = 0 ⇔ 2 – 1 + d = 0⇔ d = –1
Jadi, nilai (a + b + c + d)2 = (–1 – 3 – 2 – 1)2 = 49.
30. Jawaban: cS = PR + 2QT
= 2 13 4
1 21 2− −
+ 23 12 1
− −
= 1 2
1 2− −
+ 6 24 2
− − =
5 43 4
− −
Jadi, matriks S = 5 43 4
− − .
31. Jawaban: b
AB – A = 2 43 1
−
2 13 6
− − –
2 43 1
−
= 16 263 3
− –
2 43 1
−
= 14 220 2
−
Determinan matriks (AB – A):
| AB – A | = 14 220 2
− = 28 – 0 = 28
32. Jawaban: b
A – B = 2 2x 1
x 2 3−
− – 4 31 x 1
−
= 2 2x 4
x 3 4 x− −
− −
Titik
O(0, 0)A(120, 0)B(60, 120)C(0, 180)
f(x, y) = (25.000x + 50.000y) ribu
25 × 0 + 50 × 0 = 0 ribu25 × 120 + 50 × 0 = 3.000 ribu25 × 60 + 50 × 120 = 7.500 ribu25 × 0 + 50 × 180 = 9.000 ribu
102 Ulangan Akhir Semester 1
|A – B| = –2(4 – x) – (x – 3)(2x – 4)⇔ –2 = –2((4 – x) + (x – 3)(x – 2))⇔ 1 = (4 – x) + (x – 3)(x – 2)⇔ 1 = 4 – x + x2 – 5x + 6⇔ x2 – 6x + 9 = 0⇔ (x – 3)2 = 0⇔ x = 3Jadi, nilai x = 3.
33. Jawaban: adet A = det B
⇔3 14 x =
2x 21 3x
⇔ 3x – 4 = 6x2 – 2⇔ 6x2 – 3x + 2 = 0Persamaan kuadrat 6x2 – 3x + 2 = 0 mempunyainilai a = 6, b = –3, dan c = 2.Oleh karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat
maka x1 + x2 = ba
− = 36
= 12
dan x1x2 = ca =
26 =
13 .
x12 + x2
2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= (12 )2 – 2 ×
13
= 14 –
23
= 3
12 – 8
12
= –5
12
Jadi, x12 + x2
2 = –5
12 .
34. Jawaban: a
x x3 x =
3 33 3
− −−
⇔ x2 – 3x = 9 + 9⇔ x2 – 3x – 18 = 0⇔ (x – 6)(x + 3) = 0⇔ x – 6 = 0 atau x + 3= 0⇔ x = 6 atau x = –3Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –3 ataux = 6.
35. Jawaban: d
A – kI = 4 21 3
− − – k
1 00 1
= 4 21 3
− − –
k 00 k
= 4 k 2
1 3 k− −
− −
A – kI matriks singular jika |A – kI| = 0.|A – kI| = 0
⇔4 k 2
1 3 k− −− − = 0
⇔ (4 – k)(3 – k) – (–2)(–1) = 0⇔ 12 – 7k + k2 – 2 = 0⇔ k2 – 7k + 10 = 0⇔ (k – 2)(k – 5) = 0⇔ k – 2 = 0atau k – 5 = 0⇔ k = 2atau k = 5Jadi, k = 2 atau k = 5.
36. Jawaban: b
BA = 5 41 1
3 21 2
= 15 4 10 83 1 2 2
+ + + + =
19 184 4
(BA)–1 = 1
4 19 4 18× − ×4 184 19
− −
= 14
4 184 19
− −
det (BA)–1 = 21
4
(4 × 19 – 4 × 18) = 1
16 × 4 = 14
Jadi, determinan (BA)–1 = 14 .
37. Jawaban: c
A = 2 41 5
A–1 = 1
10 4−5 41 2
− −
= 16
5 41 2
− −
AX = B⇔ X = A–1B
= 16
5 4 2 61 2 7 0
− − − −
= 16
18 3012 6
− −
= 3 52 1
− −
Jadi, matriks X = 3 52 1
− −
.
38. Jawaban: b
X1 3
4 5−
= 11 1
11 18− −
⇔ X1 3
4 5−
11 34 5
−−
= 11 1
11 18− −
11 34 5
−−
⇔ XI = 11 1
11 18− −
× 15 12− −
5 34 1
− − −
103Matematika Kelas XII Program IPS
⇔ X = – 117
11 111 18− −
5 34 1
− − −
= – 117
55 4 33 155 72 33 18− + +
− − −
= – 117
51 3417 51
− − − =
3 21 3
−
Jadi, matriks X yang memenuhi adalah 3 21 3
− .
39. Jawaban: eA = P + Q
= 2 43 1
+
1 21 2
− =
3 24 3
AX = BT
⇔ X = A–1BT
= 1
9 8−3 24 3
− −
7 710 9
− −
= 11
1 32 1
− =
1 32 1
−
Jadi, matriks X = 1 32 1
− .
40. Jawaban: d
p23 dari adjoint P = 11 13
21 23
p pp p
= – 1 22 3−
= –(–3 – 4)= 7
Jadi, elemen baris 2 kolom 3 adalah 7.
B. Uraian
1. ∫(6x – 3) 2x 1− dxMisalkan u = 2x – 1 maka:
dudx = 2
⇔ dx = du2
Diperoleh:
∫(6x – 3) 2x 1− dx
= ∫123(2x 1)(2x 1)− − dx
= 3 ∫32(2x 1)− dx
= 3 ∫32u du
2
= 32 ∫
32u du
= 32 × 2
5
52u + c = 3
5u2 u + c
= 35
(2x – 1)2 2x 1− + c
2. Fungsi biaya: C = f(Q)
Biaya marginal: MC = dCdQ
Oleh karena MC = dCdQ
maka C = ∫ MC dQ.
Diketahui MC = 4Q + 5 (dalam puluhan ribu) maka:
C = ∫ (4Q + 5) dQ = (2Q2 + 5Q + c) × 10.000
Untuk Q = 2 diperlukan biaya C = 300.000 sehinggaf(2) = 300.000.
f(2) = 300.000⇔ (2 × 22 + 5 × 2 + c) × 10.000 = 300.000⇔ 18 + c = 30⇔ c = 12Diperoleh fungsi biaya:C = 2Q2 + 5Q + 12 (dalam puluhan ribu) untukQ = 5 maka C = f(5).f(5) = (2 × 52 + 5 × 5 + 12) × 10.000
= (50 + 25 + 12) × 10.000= 870.000
Jadi, biaya yang diperlukan untuk memproduksi5 unit barang Rp870.000,00.
3. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (3, 0)adalah 3x + 3y = 9 ⇔ y = –x + 3.Kurva memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan(3, 0) maka persamaan kurva adalah y = f(x) =a(x + 1)(x – 3).Kurva melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3.f(0) = a(0 + 1)(0 – 3)⇔ 3 = –3a⇔ a = –1Persamaan kurva menjadi:f(x) = –(x + 1)(x – 3)
= –(x2 – 2x – 3)= –x2 + 2 + 3
Daerah yang diarsir dapat dibagi menjadi 2 bagian.Daerah 1 dibatasi kurva y1 = –x2 + 2x + 3, sumbuX negatif, dan sumbu Y positif.Daerah II dibatasi garis y2 = –x + 3, sumbu Xpositif, dan sumbu Y positif.
104 Ulangan Akhir Semester 1
Luas daerah yang diarsir:L = L1 + L2
= 0
1−∫ y1 dx +
3
0∫ y2 dx
= 0
1−∫ (–x2 + 2x + 3) dx +
3
0∫ (–x + 3) dx
= 01 3 2
3 1x x 3x
− − + + +
31 22 0
x 3x − +
= – 13
(0 + 1) + (0 – 1) + 3(0 + 1) – 12
(9 – 0) + 3(3 – 0)
= – 13
– 1 + 3 – 92
+ 9
= 6 16
Jadi, luas daerah yang diarsir 6 16
satuan luas.
4. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)adalah ax + by = ab.Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (2, 0)adalah 4x + 2y = 8 ⇔ 2x + y = 4.Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 2x+ y = 4 maka 2x + y ≥ 4 . . . (1)Persamaan garis yang melalui titik (0, –1) dan (2, 0)adalah –x + 2y = –2 ⇔ x – 2y = 2.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis x – 2y= 2 maka x – 2y ≤ 2 . . . (2)Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan (4, 0)adalah 6x + 4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12.Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x +2y = 12 maka 3x + 2y ≤ 12 . . . (3)Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Ymaka x ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4)diperoleh sistem pertidaksamaan:
2x + y ≥ 4x – 2y ≤ 2
3x + 2y ≤ 12x ≥ 0
5.
Luas ABCD = 12
× OC (AB + CD)
= 12
× 7(3 + 4)
= 24 12
Jadi, luas daerah penyelesaiannya 24 12
satuanluas.
6. Diketahui:x = banyak paket Ay = banyak paket BHarga paket A Rp15.000,00 dan harga paket BRp20.000,00, sedangkan pendapatan minimumpenjualan Rp600.000,00 sehingga diperolehpertidaksamaan:15.000x + 20.000y ≥ 600.000⇔ 3x + 4y ≥ 120 . . . (1)Banyak paket B yang terjual tidak lebih dari32
kali banyak paket A sehingga diperolehpertidaksamaan:
y ≤ 32
x ⇔ 2y ≤ 3x
⇔ 3x – 2y ≥ 0 . . . (2)Jumlah kedua paket yang terjual tidak lebih dari80 sehingga diperoleh pertidaksamaan:x + y ≤ 80 . . . (3)Banyak paket A dan paket B yang terjual tidakmungkin negatif sehingga diperoleh pertidak-samaan:x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (4)Dari pertidaksamaan (1) – (4) diperoleh sistempertidaksamaan:
3x + 4y ≥ 1203x – 2y ≥ 0
x + y ≤ 80x ≥ 0y ≥ 0
7. Permasalahan tersebut dapat ditulis sebagaiberikut.Misalkan:x = banyak barang Ay = banyak barang B
B
Y
X
A
D
C
x = 7
6
3
O3x + 7y = 21
2x + 7y = 42
7
Barang A (x)
645
10 juta
Barang B (y)
365
8 juta
Maks
544850
Mesin IMesin IIMesin III
Laba
105Matematika Kelas XII Program IPS
Model matematika permasalahan adalahmemaksimumkan f(x, y) = (10x + 8y) juta dengankendala:
6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 184x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 245x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10x ≥ 0; y ≥ 0
Daerah penyelesaiannya:
Daerah penyelesaiannya adalah daerah OABCD.Menentukan koordinat titik B.Garis 2x + y = 18 dan x + y = 10 berpotongan dititik B.Eliminasi y dari kedua persamaan garis.2x + y = 18x + y = 10
––––––––– –x = 8
Substitusi x = 8 ke persamaan x + y = 10,diperoleh:
8 + y = 10⇔ y = 2Diperoleh koordinat titik B(8, 2).Menentukan koordinat titik C.Garis 2x + 3y = 24 dan x + y = 10 berpotongan dititik C. Eliminasi x dari kedua persamaan garis:2x + 3y = 24 × 1 2x + 3y = 24
x + y = 10 × 2 2x + 2y = 20––––––––––– – y = 4
Substitusi y = 4 ke x + y = 10 diperoleh:x + 4 = 10
⇔ x = 6Diperoleh koordinat titik C(6, 4).Uji titik pojok ke f(x, y) = (10 + 8) juta.
Nilai maksimum f(x, y) = (10x + 8y) juta adalah96.000.000 dicapai di titik (8, 2).Jadi, pabrik harus memproduksi 8 unit barang Adan 2 unit barang B agar diperoleh laba maksimum.
8. (ABC)T = CT(BTAT)
⇔15 6
9 0 − = CT
3 09 6−
⇔ CT = 15 6
9 0 −
13 09 6
−−
= 15 6
9 0 − × –
118
−
6 09 3
− −
= –1
18
15 69 0
−
6 09 3
− −
= –1
18
36 1854 0
− −
= 2 13 0
−
|C| = |CT| = –2 × 0 – 1 × 3 = –3Jadi, determinan matriks C adalah –3.
9. a. A = 2BT
⇔x 2
3x 2y 6−
+ = 2y 1
x 2x y− −
+
⇔x 2
3x 2y 6−
+ = 2y 2
2x 4x 2y− −
+ Dari kesamaan matriks diperoleh:x = –2y6 = 4x + 2y ⇔ 3 = 2x + y
⇔ 3 = 2(–2y) + y⇔ 3 = –3y⇔ y = –1
x = –2y = –2 × (–1) = 2Jadi, nilai x = 2 dan y = –1.
b. ( )2 1 3x y4 53 2
12
= 30
⇔ ( ) 12x 4 9 2y 5 62
+ + + + = 30
⇔ ( ) 12x 13 2y 112
+ + = 30
⇔ 2x + 13 + 4y + 22 = 30⇔ 2x + 4y + 35 = 30⇔ 2x + 4y = –5x : y = 1 : 2 ⇔ y = 2x
Titik
O(0, 0)A(9, 0)B(8, 2)C(6, 4)D(0, 8)
f(x, y) = (10x + 8y) Juta
(10 × 0 + 8 × 0) juta = 0(10 × 9 + 8 × 0) juta = 90.000.000(10 × 8 + 8 × 2) juta = 96.000.000(10 × 6 + 8 × 4) juta = 92.000.000(10 × 0 + 8 × 8) juta = 64.000.000
18
108
O 910 12
Y
X
2x + y = 18
2x + 3y = 24
x + y = 10
AB
C
D
106 Ulangan Akhir Semester 1
Substitusikan y = 2x ke dalam persamaan2x + 4y = –5, diperoleh:
2x + 4 × 2x = –5⇔ 10x = –5
⇔ x = –12
Substitusikan x = –12 ke dalam persamaan
y = 2x.
y = 2x = 2 × 12
− = –1
Jadi, nilai x = –12 dan y = –1.
10. a. S = PQ – R
= 4 32 1
1 23 4
– 8 182 7
= 13 205 8
– 8 182 7
= 5 23 1
b. Invers matriks S:
S–1 = 1
5 6−1 23 5
− −
= 11−
1 23 5
− −
= 1 2
3 5−
−
107Matematika Kelas XII Program IPS
Barisan dan Deret Bilangan
Barisan dan Deret
Aritmetika
• Barisan aritmetika
• Deret aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
• Barisan geometri
• Deret geometri
• Bunga tunggal
• Bunga majemuk
• Bersikap tekun dalam menerapkan konsep deret aritmetika, yaitu saat menabung.
• Mampu menjelaskan pengertian barisan aritmetika.
• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan aritmetika.
• Mampu menjelaskan pengertian deret aritmetika.
• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret aritmetika.
• Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan aritmetika.
• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.
• Mampu menjelaskan pengertian barisan geometri.
• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan geometri.
• Mampu menjelaskan pengertian deret geometri.
• Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret geometri.
• Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan geometri.
• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.
• Mampu mengubah masalah bunga tunggal menjadi model matematika berbentuk barisan aritmetika.
• Mampu mengubah masalah bunga majemuk menjadi model matematika berbentuk barisan geometri.
• Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga tunggal dan bunga majemuk
menggunakan barisan aritmetika dan barisan geometri.
Penerapan Barisan dan Deret
dalam Kehidupan Sehari-Hari
108 Barisan dan Deret Bilangan
U7 + U
12 = a + 6b + a + 11b
= 2a + 17b
= 2 × 48 + 17 × (–16)
= 96 – 272
= –176
5. Jawaban: b
Susunan bilangannya sebagai berikut.
4, ( 4 + b), (4 + 2b), (4 + 3b), (4 + 4b), (4 + 5b), 28.
b = U6 – U5
⇔ b = 28 – (4 + 5b)
⇔ b = 24 – 5b
⇔ 6b = 24
⇔ b = 4
Jadi, beda barisan aritmetika yang terbentuk
adalah 4.
6. Jawaban: d
U5
= a + 4b = 22
U12
= a + 11b = 57–––––––––––– –
–7b = –35
⇔ b = 5
Substitusikan b = 5 ke dalam persamaan a + 4b
= 22.
a + 4b = 22
⇔ a + 4 × 5 = 22
⇔ a + 20 = 22
⇔ a = 22 – 20 = 2
Menentukan suku ke-20.
U20
= a + 19b
= 2 + 19 × 5
= 2 + 95 = 97
Jadi, suku ke-20 adalah 97.
7. Jawaban: d
a = 136
b = 131,75 – 136 = –4,25
Un
= a + (n – 1)b
⇔ 0 = 136 + (n – 1) × (–4,25)
⇔ 0 = 136 – 4,25n + 4,25
⇔ 4,25n = 140,25
⇔ n = ������
����
⇔ n = 33
8. Jawaban: b
Un = a + (n – 1)b
U3 + U5 + U7 + U9 = 104
⇔ (U1 + 2b) + (U1 + 4b) + (U1 + 6b) + (U1 + 8b) = 104
⇔ 4U1 + 20b = 104
⇔ 4(U1 + 5b) = 104
⇔ U1 + 5b = 26
⇔ U6 = 26
Jadi, U6 adalah 26.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Un
= 2n – 5
U8 + U15 = (2 × 8 – 5) + (2 × 15 – 5)
= 11 + 25
= 36
Jadi, hasil penjumlahan suku ke-8 dan suku ke-15
barisan tersebut adalah 36.
2. Jawaban: d
a = 3
b = 12 – 3 = 9
Un
= 237
Un
= a + (n – 1)b ⇒ 237 = 3 + (n – 1)9
⇔ 237 = 3 + 9n – 9
⇔ 237 = 9n – 6
⇔ 243 = 9n
⇔ n = ���
� = 27
Jadi, 237 pada barisan tersebut merupakan suku
ke-27.
3. Jawaban: d
Dari permasalahan di atas, diperoleh:
U5
= a + 4b = 57 . . . (1)
U8
= a + 7b = 87 . . . (2)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2).
a + 4b = 57
a + 7b = 87––––––––––– –
–3b = –30
⇔ b = 10 . . . (3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1).
a + 4b = 57
⇔ a + 4 × 10 = 57
⇔ a + 40 = 57
⇔ a = 57 – 40
⇔ a = 17
Un
= a + (n – 1)b
⇔ 107 = 17 + (n – 1)10
⇔ 107 = 17 + 10n – 10
⇔ 107 = 7 + 10n
⇔ 10n = 107 – 7
⇔ 10n = 100
⇔ n = 10
Jadi, banyak suku barisan tersebut ada 10.
4. Jawaban: b
U6
= a + 5b
⇔ –32 = 48 + 5b
⇔ 5b = –32 – 48
⇔ 5b = –80
⇔ b = –16
109Matematika Kelas XII Program IPS
9. Jawaban: a
Misalkan: U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U1 + U
2 + U
3= 48
⇔ a + a + b + a + 2b = 48
⇔ 3a + 3b = 48
⇔ 3(a + b) = 48
⇔ a + b = 16
⇔ a = 16 – b . . . (1)
U1 × U
2 × U
3= 3.696
⇔ a(a + b)(a + 2b) = 3.696 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan
(2).
a(a + b)(a + 2b) = 3.696
⇔ (16 – b)(16 – b + b)(16 – b + 2b) = 3.696
⇔ (16 – b) × 16 × (16 + b) = 3.696
⇔ 16(256 – b2) = 3.696
⇔ –b2 + 256 = 231
⇔ b2 = 256 – 231
⇔ b2 = 25
⇔ b = 5
Untuk b = 5 maka a = 16 – 5 = 11
U1 = a = 11
U2 = a + b = 11 + 5 = 16
U3 = a + 2b = 11 + 10 = 21
Untuk b = –5 maka a = 16 + 5 = 21
U1 = a = 21
U2 = a + b = 21 – 5 = 16
U3 = a + 2b = 21 – 10 = 11
Jadi, bilangan terbesarnya 21.
10. Jawaban: a
Barisan bilangan asli ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, . . . .
U1 = a = 1
b = 3 – 1 = 2
Sn = 39
=
�(2 × 1 + (n – 1)2)
=
�(2 + 2n – 2)
=
� × 2n = n2
Jadi, jumlah n bilangan asli ganjil pertama
dirumuskan dengan n2.
11. Jawaban: e
a = 13
b = 11 – 13 = –2
Sn
=
�(2a + (n – 1)b)
⇔ –1.800 =
�(2 × 13 + (n – 1) × –2)
⇔ –1.800 =
�(26 – 2n + 2)
⇔ –1.800 =
�(28 – 2n)
⇔ –1.800 = 14n – n2
⇔ n2 – 14n – 1.800 = 0
⇔ (n – 50)(n + 36) = 0
⇔ n – 50 = 0 atau n + 36 = 0
⇔ n = 50 atau n = –36
Untuk n = –36 tidak memenuhi.
Jadi, banyak suku pada deret tersebut adalah 50.
12. Jawaban: d
Diketahui: U3 = 3, U8 = 23
U3 = U1 + 2b
⇔ 3 = U1 + 2b
U8 = U1 + 7b
⇔ 23 = U1 + 7b
Diperoleh:
U1 + 2b = 3
U1 + 7b = 23––––––––––– – –5b = –20
⇔ b = 4
U1 + 2 × 4 = 3
⇔ U1 = –5
S21 = ��
�(2U1 + (21 – 1)b)
= ��
�(2 × (–5) + 20 × 4)
= ��
�(–10 + 80)
= ��
� × 70
= 735
Jadi, jumlah 21 suku pertama deret tersebut 735.
13. Jawaban: e
U4 = 11⇒ a + 3b = 11
U6 = 17⇒ a + 5b = 17
–––––––––––– ––2b = –6 ⇔ b = 3
Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 11.
a + 3 × 3 = 11 ⇔ a = 2
U9 + U
20= (a + 8b) + (a + 19b)
= 2a + 27b
= 2 × 2 + 27 × 3
= 4 + 81
= 85
Jadi, jumlah suku ke-9 dan ke-20 deret tersebut 85.
14. Jawaban: a
Diketahui U6 = 17 dan U10 = 33.
Un = U1 + (n – 1)b
⇔ U6 = U1 + 5b
⇔ 17 = U1 + 5b . . . (1)
U10 = U1 + 9b
⇔ 33 = U1 + 9b . . . (2)
110 Barisan dan Deret Bilangan
Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan (2).
U1 + 5b = 17
U1 + 9b = 33
–––––––––––– ––4b = –16
⇔ b = 4 . . . (3)
Substitusikan b = 4 ke dalam persamaan (1).
U1 + 5b = 17
⇔ U1 + 5 × 4 = 17
⇔ U1 = –3
Sn =
�(2U1 + (n – 1)b)
⇔ S40 = ��
�(2 × (–3) + 39 × 4)
⇔ S40 = 20(–6 + 156)
⇔ S40 = 20 × 150
⇔ S40 = 3.000
Jadi, jumlah 40 suku pertama deret tersebut adalah
3.000.
15. Jawaban: c
Diperoleh:
b = 4 dan U4 : U
10 = 2 : 5.
�
��
=
�
�
⇔ �
�
��
��
++ =
�
�
⇔ �
�
� �
� �
+ ×+ × =
�
�
⇔ �
�
��
��
++ =
�
�
⇔ 5U1 + 60 = 2U
1 + 72
⇔ 3U1
= 12
⇔ U1
= 4
Un = U
1 + (n – 1)b
⇔ 72 = 4 + (n – 1)4
⇔ 72 = 4 + 4n – 4
⇔ n = 18
Sn =
�(U
1 + (n – 1)b)
⇔ S18
= �
�(2 × 4 + (18 – 1)4)
⇔ S18
= 9(8 + 68)
⇔ S18
= 9 × 76
⇔ S18
= 684
Jadi, banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut
684 kursi.
B. Uraian
1. a. Diketahui U4 + U
8 = –46.
U4 + U8 = –46
⇔ (U1 + 3b) + (U
1 + 7b) = –46
⇔ 2U1 + 10b = –46
⇔ 2(U1 + 5b) = –46
⇔ U1 + 5b = –23
⇔ U6
= –23
Jadi, suku keenam barisan tersebut adalah –23.
b. U10 = –3
⇔ U1 + 9b = –3 . . . (1)
Diketahui pula U6 = –23, sehingga:
U6 = U1 + 5b
⇔ –23 = U1 + 5b . . . (2)
U1 + 9b = –3
U1 + 5b = –23–––––––––––– –
4b = 20
⇔ b = 5
b = 5 ⇒ U1 + 5b = –23
⇔ U1 + 5 × 5 = –23
⇔ U1 = –48
Un = 47
⇔ –48 + (n – 1) b = 47
⇔ –48 + (n – 1) 5 = 47
⇔ 5n – 5 = 95
⇔ 5n = 100
⇔ n = 20
Jadi, banyak suku barisan adalah 20.
2. Suatu barisan bilangan U1, U
2, U
3, . . ., U
n
merupakan barisan aritmetika jika selisih dua suku
yang berurutan selalu tetap.
b = Un – U
n – 1
a. U2 – U
1= U
3 – U
2
⇔ (k + 3) – (k – 1) = (2k + 1) – (k + 3)
⇔ 4 = k – 2
⇔ k = 4 + 2
⇔ k = 6
Untuk k = 6 maka:
U1 = k – 1 = 6 – 1 = 5
U2 = k + 3 = 6 + 3 = 9
U3 = 2k + 1 = 12 + 1 = 13
Jadi, barisan aritmetikanya adalah 5, 9,
dan 13.
b. U2 – U
1= U
3 – U
2
⇔ (k + 2) – 2k = k – (k + 2)
⇔ –k + 2 = –2
⇔ k = 2 + 2
⇔ k = 4
Untuk k = 4 diperoleh:
U1 = 2k = 8
U2 = k + 2 = 4 + 2 = 6
U3 = k = 4
U4 = k – 2 = 4 – 2 = 2
Jadi, barisan aritmetikanya 8, 6, 4, dan 2.
3. a. U1 = –54, U
n = 6
Setelah 29 bilangan disisipkan, terbentuk
barisan aritmetika:
–54, (–54 + b), (–54 + 2b), . . . , (–54 + 29b), 6
111Matematika Kelas XII Program IPS
b = Un – Un – 1
⇔ b = U31 – U30
⇔ b = 6 – (–54 + 29b)
⇔ 30b = 60
⇔ b = 2
Jadi, beda barisan tersebut adalah 2.
b. Sn =
�(2a + (n – 1)b)
= ��
�(2(–54) + (31 – 1)2)
= 31(–54) + 31(30)
= –1.674 + 930
= –744
Jadi, jumlah barisan tersebut adalah –744.
4. a. Deret bilangan:
4 + 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 100
b = 8 – 4 = 4
Un
= a + (n – 1)b
⇔ 100 = 4 + (n – 1)4
⇔ 100 = 4 + 4n – 4
⇔ 100 = 4n
⇔ n = 25
Misalkan:
Sx = jumlah deret bilangan seluruhnya
Sn =
�(a + U
n)
Sx
= ��
�(4 + 100)
= ��
� × 104
= 1.300
Jadi, jumlah semua bilangan dalam deret
tersebut adalah 1.300.
b. Deret bilangan yang habis dibagi 4 dan 5 dari
deret tersebut adalah 20 + 40 + 60 + 80 + 100.
b = 40 – 20
= 20
n = 5
Sy
= jumlah bilangan dari deret tersebut yang
habis dibagi 4 dan 5
Sn
=
�(a + U
n)
Sy
= �
�(20 + 100)
= �
� × 120
= 300
Jadi, jumlah bilangan dari deret tersebut yang
habis dibagi 4 dan 5 adalah 300.
5. Misalkan bilangan-bilangan itu a, a + b, a + 2b,
a + 3b, a + 4b.
Jumlah 5 bilangan aritmetika = 75 sehingga:a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 75
⇔ 5a + 10b = 75
⇔ a + 2b = 15
⇔ a = 15 – 2b
. . . (1)
Hasil kali bilangan terkecil dan terbesar = 161.
a(a + 4b) = 161
⇔ a2 + 4ab = 161 . . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan
(2).
(15 – 2b)2 + 4(15 – 2b)b = 161
⇔ 225 – 60b + 4b2 + 60b – 8b2 = 161
⇔ 225 – 4b2 = 161
⇔ –4b2 = –64
⇔ b2 = 16
⇔ b = ± 4
Untuk b = 4 maka a = 15 – 2(4) = 7
Untuk b = –4 maka a = 15 – 2(–4) = 23
Barisan tersebut: 7, 11, 15, 19, 23, atau 23, 19,
15, 11, 7.
Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil
23 – 7 = 16.
2. Jawaban: b
�
�
= ���
��
⇔ ��
= r3
⇔ 8 = r3
⇔ r = 2
Substitusikan r = 2 ke dalam persamaan U2 = ar.
U2
= ar
⇔ 8 = 2a
⇔ a = 4
U7
= ar6 = 4 × 26 = 4 × 64 = 256
Jadi, suku ke-7 barisan tersebut 256.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: e
a = 125
r = �
�
= ��
��� =
�
�
Un
= arn – 1
= 125 × �
�
�
−
= 53 × (5–1)n – 1
= 53 × 5–n + 1
= 5–n + 4
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut 5–n + 4.
112 Barisan dan Deret Bilangan
3. Jawaban: a
Un = arn – 1
U5 = ar4
⇔ 48 = ar4 . . . . (1)
U8 = ar7
⇔ –384 = ar4 × r3
⇔ –384 = 48 × r3
⇔ r3 = –8
⇔ r = � − = –2
Substitusikan r = –2 ke dalam persamaan (1).
48 = a(–2)4
⇔ a = �
��
⇔ a = 3
U4 + U6 = ar3 + ar5
= 3(–2)3 + 3(–2)5
= –24 – 96 = –120
Jadi, nilai U4 + U6 sama dengan –120.
4. Jawaban: a
Un = arn – 1
�
�
=
�
�
��
��
⇔ ���
� = r2
⇔ 9 = r2
⇔ r = 3 (karena suku-sukunya positif)
U3 = ar2
⇔ 18 = a × 9
⇔ a = 2
U7 = ar6
= 2 × 36
= 2 × 729 = 1.458
Jadi, suku ketujuh barisan tersebut adalah 1.458.
5. Jawaban: e
�
�
= �
�
⇔ �
�� � ��=
�
�
⇔ x2 = (4x + 64) �
⇔ x2 = ��
� + 8x
⇔ 2x2 = x2 + 16x
⇔ x2 – 16x = 0
⇔ x(x – 16) = 0
⇔ x = 0 atau x = 16
Diambil x = 16 karena disyaratkan x > 0.
Jumlah ketiga suku
= (4x + 64) + x + �
= (4 × 16 + 64) + 16 + ��
= 128 + 16 + 2 = 146
Jadi, jumlah ketiga suku tersebut 146.
6. Jawaban: a
2 + 22 + 23 + . . . + 2x + 1 = 8.190
a = 2
r = �
�
=
��
� =
�
� = 2
Sn
= ��� ��
� �
−−
⇔ 8.190 = ��� ��
� �
−−
⇔ 8.190 = 2(2n – 1)
⇔ 4.095 = 2n – 1
⇔ 2n = 4.095 + 1
⇔ 2n = 4.096
⇔ 2n = 212
⇔ n = 12
Banyak suku deret = n = 12, sedangkan suku
terakhirnya adalah 2x + 1.
Diperoleh:
2x + 1 = 212
⇔ x + 1 = 12
⇔ x = 11
Jadi, nilai x adalah 11.
7. Jawaban: b
U3 = U1r2
⇔ 6 = U1r2
U7 = U1r6
⇔ 96 = U1r6
⇔ 96 = U1r2 · r4
⇔ 96 = 6 · r4
⇔ r4 = 16
⇔ r = ±2
Untuk r = 2 ⇒ U3 = U1 × 22
⇔ 6 = U1 × 4
⇔ U1 = �
�U9 = U1r
8
= �
� × 28 = 384
Jadi, suku ke-9 barisan tersebut 384.
8. Jawaban: d
Misalkan 5 suku awal barisan aritmetika tersebut
a – 2b, a – b, a, a + b, a + 2b.
(a – 2b) + (a – b) + a + (a + b) + (a + 2b) = 40
⇔ 5a = 40
⇔ a = 8
Barisan aritmetika menjadi:
8 – 2b, 8 – b, 8, 8 + b, 8 + 2b
Barisan geometri:
8 – 2b, (8 – b) + 2, 8 + 8
⇔ 8 – 2b, 10 – b, 16
r = �� �
��
−− atau r =
��
�� �−
113Matematika Kelas XII Program IPS
Diperoleh:
�� �
��
−− =
��
�� �−⇔ (10 – b)2 = (8 – 2b)16
⇔ 100 – 20b + b2 = 128 – 32b
⇔ b2 + 12b – 28 = 0
⇔ (b + 14)(b – 2) = 0
⇔ b = –14 atau b = 2
Diambil b = 2 karena disyaratkan b > 0.
U5 – U3 = (U1 + 4b) – (U1 + 2b)
= 2b = 4
Jadi, selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah 4.
9. Jawaban: d
Misalkan ketiga bilangan tersebut a, ar, dan ar2.
a + ar + ar2 = 21 . . . (1)
a × ar × ar2 = 216
⇔ a3r3 = 216
⇔ ar = 6
⇔ a = �
�. . . (2)
Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan
(1).
a + ar + ar2 = 21
⇔ �
� +
�
� × r +
�
� × r2 = 21
⇔ �
� + 6 + 6r = 21
⇔ 6 + 6r + 6r2 = 21r
⇔ 6r2 – 15r + 6 = 0
⇔ 2r2 – 5r + 2 = 0
⇔ (2r – 1)(r – 2) = 0
⇔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0
⇔ r = �
� atau r = 2
Untuk r = �
� diperoleh a = 12
Barisannya: 12, 6, 3
Untuk r = 2 diperoleh a = 3
Barisannya: 3, 6, 12
Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah
12 – 3 = 9.
10. Jawaban: a
Un = arn – 1
�
�
=
���
��
⇔ ��
�= r3
⇔ 8 = r3
⇔ r = 2
U2 = ar
⇔ 4 = a × 2
⇔ a = 2
U7 = ar6
= 2 × 26
= 27 = 128
Jadi, suku ketujuh deret tersebut adalah 128.
11. Jawaban: e
�
�
=
���
��
⇔ ���
��= r4
⇔ r4 = 16
⇔ r = 2
ar = 10
⇔ a × 2 = 10
⇔ 2a = 10
⇔ a = 5
Sn =
��� ��
� �
−−
S9
= ���� ��
� �
−−
= ����� ��
�
−
= 5 × 511 = 2.555
Jadi, jumlah 9 suku pertama deret tersebut 2.555.
12. Jawaban: c
a = –2
r = �
�
= �
�− = –2
S∞ = �
� �−
= �
� �
−+
= –�
�
Jadi, jumlah dari deret tak hingga tersebut –�
�.
13. Jawaban: d
Diketahui U1 = 3 dan U2 = �
�
r = �
�
=
�
�
� =
�
�
S∞ = �
� �− = �
�
�
�− = �
�
� = 6
Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut
adalah 6.
14. Jawaban: d
S∞ = �
� �−
⇔ 3 = �
� �−
⇔ 3(1 – r) = 2
⇔ 3 – 3r = 2
⇔ 3r = 3 – 2
114 Barisan dan Deret Bilangan
⇔ 3r = 1
⇔ r = �
�
Jadi, rasio deret tersebut �
�.
15. Jawaban: e
U7 = �
U4
⇔ ar6 = �
× ar3
⇔ r3 = �
⇔ r = �
�
Suku kelima = 1
U5 = 1
⇔ ar4 = 1
⇔ a�
�
�
= 1
⇔ a × �
��= 1
⇔ a = 16
S∞ = �
� �−= �
�
��
�−
= �
�
�� = 32
Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut 32.
B. Uraian
1. a. U1 = k – 2, U
2 = 2k, dan U
3 = 6k
�
�
= �
�
⇔��
� �− = ��
��
⇔��
� �− = 3
⇔ 2k = 3k – 6
⇔ k = 6
Jadi, nilai k adalah 6.
b. a = U1 = k – 2 = 6 – 2 = 4
U6
= ar5
= 4 × 35
= 4 × 243 = 972
Jadi, U6 adalah 972.
2. Diketahui a = 12, r = –2, dan Sn = –16.380
Sn = ��� � �
� �
−−
⇔ Sn
= ���� � �� �
�
− −
⇔ –16.380 = ���� � �� �
�
− −
⇔ –16.380 = 4(1 – (–2)n)
⇔ –4.095 = 1 – (–2)n
⇔ –4.096 = –(–2)n
⇔ (–2)n = 4.096
⇔ (–2)n = (–2)12
⇔ n = 12
Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 12.
3. S∞ = �
� �−
⇔ 9 = �
�
�
�−
⇔ 9 = �
�
�
⇔ a = 9 × �
�
⇔ a = 6
U4
= ar3
= 6 × (�
�)3
= 6 × �
�� =
�
�
Jadi, suku pertamanya = 6 dan suku ke-4 = �
�.
4. S∞ = 5,U1 = 3x + 4
S∞ = �
� �−
⇔ 5 = ������
� �−⇔ 5 – 5r = 3x + 4
⇔ 5r = –3x + 1
⇔ r = ������
�
−
Deret geometri tak hingga tersebut mempunyai
jumlah (nilai limit) jika nilai rasionya antara –1 dan
1(–1 < r < 1).
Diperoleh:
������
�
−> –1
⇔ –3x + 1 > –5
⇔ –3x > –6
⇔ –x > –2
⇔ x < 2 . . . (1)
������
�
−< 1
⇔ –3x + 1 < 5
⇔ –3x < 4
⇔ x > –�
�. . . (2)
Dari pertidaksamaan (1) dan (2) diperoleh batasan
nilai x adalah –�
�< x < 2.
Jadi, himpunan nilai x yang memenuhi, yaitu
{x | –�
� < x < 2}.
115Matematika Kelas XII Program IPS
5. Luas persegi yang paling besar:
p × p = p2
Luas persegi II: �
�p2
Luas persegi III: �
�p2, dan seterusnya.
Jumlah luas semua persegi:
p2 + �
�p2 +
�
�p2 + . . .
Diperoleh deret geometri tak hingga dengan
a = U1 = p2 dan r =
�
�.
S∞ = �
� �−
= �
�
�
�
�− =
�
�
�
� = 2p2
Jadi, jumlah luas persegi yang terbentuk 2p2.
A. Pilihlan Ganda
1. Jawaban: e
U1
= 120.000.000 – 5% × 120.000.000
= 120.000.000 – 6.000.000
= 114.000.000
U2
= U1 – 5% × 120.000.000
= 114.000.000 – 5% × 120.000.000
= 114.000.000 – 6.000.000
= 108.000.000
U3
= U2 – 5% × 120.000.000
= 108.000.000 – 5% × 120.000.000
= 108.000.000 – 6.000.000
= 102.000.000
Jadi, harga jual mobil Pak Andi pada tahun ke-3
adalah Rp102.000.000.
2. Jawaban: d
Misalkan: U1 = suhu benda pada menit ke-1
U2 = suhu benda pada menit ke-6
U3 = suhu benda pada menit ke-11
U4 = suhu benda pada menit ke-16
Suhu benda pada menit ke-21 = U5
U3 = 75, U5 = 69
Un = U1 + (n – 1)b, diperoleh:
U3 = U1 + 2b
⇔ 75 = U1 + 2b
⇔ U1 = 75 – 2b . . . (1)
U5 = U1 + 4b
⇔ 69 = U1 + 4b
⇔ U1 = 69 – 4b . . . (2)
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:
75 – 2b = 69 – 4b
⇔ 6 = –2b
⇔ b = –3
U1 = 75 – 2b
= 75 – 2(–3) = 75 + 6 = 81
Jadi, suhu benda mula-mula 81°C.
3. Jawaban: d
a = 20
b = 2
n = 30
Sn =
�(2a + (n – 1)b)
S30
= ��
�(2 × 20 + (30 – 1)2)
= 15(40 + 58)
= 15 × 98
= 1.470
Jumlah seluruh kursi di gedung tersebut 1.470 buah.
4. Jawaban: c
Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan
deret aritmetika.
Diketahui: U1 = 12
b = 15 – 12 = 3
n = 12
Sn =
�(2U1 + (n – 1)b)
⇔ S12
= ��
�(2U
1 + (11 × 3))
⇔ S12
= 6(24 + 33)
⇔ S12
= 6 × 57
⇔ S12
= 342
Hasil penjualan mangga = 342 × 10.000
= 3.420.000
Jadi, hasil penjualan mangga selama 12 hari
pertama adalah Rp3.420.000,00.
5. Jawaban: b
Dari permasalahan di atas diketahui sebagai
berikut.
Sn = S
6 = 81
Un = U
6 = 6
n = 6
Nilai suku pertama (a) dan beda (b) dapat ditentu-
kan sebagai berikut.
Sn
=
�(a + U
n)
⇔ 81 = �
�(a + 6)
⇔ 81 = 3(a + 6)
⇔ 27 = a + 6
⇔ a = 21
116 Barisan dan Deret Bilangan
U6
= a + 5b
⇔ 6 = 21 + 5b
⇔ –15 = 5b
⇔ b = –3
Bagian untuk anak ketiga = U3
U3 = a + 2b = 21 + 2 × (–3) = 21 – 6 = 15
Jadi, anak ketiga mendapat bagian sebanyak 15
ekor.
6. Jawaban: c
Penduduk yang belum bekerja pada tahun 2004
= 20% × 1.000.000
= 200.000
Diperoleh U1 = 200.000
U2 = U1 – 50% × U1
= U1 × (1 – 50%) = �
�U1
U3 = U2 – 50%U2
= �
�U1 – 50%(
�
�U1)
= �
�U1 (1 – 50%) =
��
�
U1
Diperoleh r = �
�
�
� =
�
�
Tahun 2012 → n = ����� �����
�
− + 1 = 5
U5 = U1r5 – 1
= 200.000 × �
�
�
= 200.000 × �
�� = 12.500
Jadi, penduduk yang belum bekerja pada tahun
2012 sebanyak 12.500 jiwa.
7. Jawaban: a
Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan
deret aritmetika.
Diketahui S12 = 306.000 dan S18 = 513.000
Sn =
�(2a + (n – 1)b)
⇔ S12 = ��
�(2a + 11b)
⇔ 306.000 = 6(2a + 11b)
⇔ 2a + 11b = 51.000 . . . (1)
S18 = �
�(2a + 17b)
⇔ 513.000 = 9(2a + 17b)
⇔ 57.000 = 2a + 17b . . . (2)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2).
2a + 11b = 51.000
2a + 17b = 57.000––––––––––––––– – –6b = –6.000
⇔ b = 1.000
2a + 11b = 51.000
⇔ 2a + 11 × 1.000 = 51.000
⇔ 2a = 40.000
⇔ a = 20.000
U15 = a + 14b = 20.000 + 14 × 1.000 = 34.000
Jadi, uang yang ditabung pada hari ke-15 adalah
Rp34.000,00.
8. Jawaban: e
Sisa pembayaran = 14.000.000 – 6.000.000
= 8.000.000
Waktu pembayaran = 2 × 12 bulan
= 24 bulan
M0 = 8.000.000
Mt = M0(1 + pt)
⇔ M24 = 8.000.000(1 + 3% × 24)
= 8.000.000��
����� �
= 8.000.000(1,72)
= 13.760.000
Jadi, besar angsuran yang harus dibayarkan
Rp13.760.000,00.
9. Jawaban: e
Mt
= M0(1 + p)t
M3
= 2.000.000(1 + 3%)3
= 2.000.000(1,03)3
= 2.000.000 × 1,0927 = 2.185.400
Jadi, uang Linda setelah tiga tahun menjadi
Rp2.185.400,00.
10. Jawaban: c
Mt = M0(1 + pt)
⇔ 22.610.000 = 17.000.000(1 + 5,5% × t)
⇔ 1 + ����
���=
����������
����������
⇔ ����
���=
�����
����� –
�����
�����
⇔ ����
���=
���
�����
⇔ 9.350t = 56.100
⇔ t = 6
Jadi, uang Bu Hindun akan menjadi Rp22.610.000,00
setelah 6 tahun.
B. Uraian
1. a. Barisan geometri:
1, 2, 4, 8, . . .
↓ ↓ ↓↓ U1 U2 U3
Nilai awal
Banyak bagian karton setelah pemotongan
pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya
= 2, 4, 8, . . . .
a = U1 = 2
r = 2
Un
= arn – 1 = 2 × 2n – 1 = 2n
U6
= 26 = 64
Jadi, banyak bagian karton setelah pemotongan
keenam ada 64 potong.
117Matematika Kelas XII Program IPS
4. a. Bunga pada bulan kesepuluh = 960.000
B = M0 · p · t
⇔ 960.000 = M0 · p · 10
⇔ M0 · p = 96.000
Jumlah pinjaman setelah 1 tahun 3 bulan =
9.440.000
1 tahun 3 bulan = 15 bulan
Mt = M
0(1 + pt)
⇔ Mt= M
0 + M
0 · p · t
M15
= M0 + 96.000 × 15
⇔ 9.440.000 = M0 + 1.440.000
⇔ M0= 8.000.000
Jadi, besar uang yang dipinjam Pak Abdullah
Rp8.000.000,00.
b. B = M0 · p · t
⇔ p = �
�
� �⋅ × 100%
⇔ p = �������
�������� ��× × 100%
⇔ p = 1,2%
Jadi, suku bunga yang diberlakukan oleh
bank tersebut 1,2% per bulan.
5. M0 = 5.000.000
p = 10% per tahun
Mt = 7.320.500
Mt= M
0(1 + p)t
⇔ M0
= ��
�
�� ��+
⇔ M0
= Mt(1 + p)–t
⇔ 5.000.000 = 7.320.500(1 + 0,1)–t
⇔ (1,1)–t = ���������
���������
⇔ (1,1)–t = 0,684013455
⇔ log (1,1)–t = log (0,684013455)
⇔ –t log (1,1) = –0,16557074
⇔ –t × 0,041392685 = –0,16557074
⇔ –t = –4
⇔ t = 4
Jadi, jangka waktunya 4 tahun.
b. Un = 2n
⇔ 256 = 2n
⇔ n = 8
Jadi, karton tersebut terbagi menjadi 256
bagian pada pemotongan ke-8.
2. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan
deret aritmetika.
Diketahui a = 15.000
b = 6.000
Sn = 495.000
Sn =
�(2a + (n – 1)b)
⇔ 495.000 =
�(2 × 15.000 + (n – 1)6.000)
⇔ 495.000 = n(15.000 + (n – 1)3.000)
⇔ 495.000 = n(15.000 + 3.000n – 3000)
⇔ 495.000 = n(12.000 + 3.000n)
⇔ 3.000n2 + 12.000n – 495.000 = 0
⇔ n2 + 4n – 165 = 0
⇔ (n + 15)(n – 11) = 0
⇔ n = –15 atau n = 11
Dipilih n = 11 karena n merupakan bilangan bulat
positif.
Jadi, Dina harus menabung selama 11 minggu.
3. Dari permasalahan tersebut diperoleh barisan
geometri dengan r = �
�.
Ketinggian pantulan pertama = U1 =
�
� × 4 = 3 m.
Ketinggian pantulan kedua = U2 =
�
� × U
1 =
�
� m.
Ketinggian pantulan ketiga = U3 =
�
� × U
2 =
��
�� m,
dan seterusnya.
S∞ = ��
� �− =
�
�
�
�− =
�
�
� = 12
Jadi, jumlah ketinggian pantulan bola hingga bola
berhenti adalah 12 m.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d
Un = a + (n – 1)b
⇔ U5 = a + 4b
⇔ –3 = a + 4b . . . (1)
U9 = a + 8b
⇔ 9 = a + 8b . . . (2)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2).
a + 4b = –3
a + 8b = 9–––––––––– – –4b = –12
⇔ b = 3
b = 3 ⇒ a + 4b = –3
⇔ a + 12 = –3
⇔ a = –15
118 Barisan dan Deret Bilangan
3U12 = 3(a + 11b)
= 3(–15 + 11 × 3)
= 3 × 18
= 54
2. Jawaban: b
U4 + U7 + U10 = –66
⇔ (a + 3b) + (a + 6b) + (a + 9b) = –66
⇔ 3a + 18b = –66
⇔ 3(a + 6b) = –66
⇔ a + 6b = –22
⇔ U7 = –22
Jadi, U7 = –22.
3. Jawaban: b
U1 + U4 + U6 + U8 = 32
⇔ (U1 + b) + (U1 + 3b) + (U1 + 5b) + (U1 + 7b)
= 32
⇔ 4U1 + 16b = 32
⇔ 4U1 + 16 × 5 = 32
⇔ 4U1 = –48
⇔ U1 = –12
Misalkan k = beda barisan aritmetika ke-2,
diperoleh:
V2 + V4 + V6 + V8 = 52
⇔ (V1 + k) + (V1 + 3k) + (V1 + 5k) + (V1 + 7k)
= 52
⇔ 4V1 + 16k = 52
⇔ 4V1 + 16 × 4 = 52
⇔ 4V1 = –12
⇔ V1 = –3
(U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5)
= (–12 + (U1 + 2b) + (U1 + 4b)) – (–3 + (V1 + 2k)
+ (V1 + 4k))
= (–12 + (–12 + 10) + (–12 + 20)) – (–3 + (–3 + 8)
+ (–3 + 16))
= (–36 + 30) – (–9 + 24)
= –6 – 15 = –21
Jadi, (U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5) = –21.
4. Jawaban: d
Un = U1 + (n – 1)b
U5 = U1 + 4b
⇔ –4 = U1 + 4b . . . (1)
U9 = U1 + 8b
⇔ –16 = U1 + 8b . . . (2)
Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan persamaan (2).
U1 + 4b = –4
U1 + 8b = –16–––––––––––– – –4b = 12
⇔ b = –3
Substitusikan b = –3 ke dalam persamaan (1).
U1 + 4(–3) = –4
⇔ U1 = 8
U20 = U1 + 19b
= 8 + 19(–3) = –49
S20 = ��
�(U1 + U20)
= 10(8 + (–49)) = –410
Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut –410.
5. Jawaban: a
Sn =
�
�n(11 – n)
= �
�(11n – n2)
Sn – 1
= �
�(n – 1)(11 – (n – 1))
= �
�(n – 1)(12 – n)
= �
�(13n – n2 – 12)
Un = S
n – S
n – 1
= �
�(11n – n2) – (13n – n2 – 12)
= �
�((11n – n2 – 13n + n2 + 12))
= �
�(–2n + 12) = 6 – n
Jadi, rumus suku ke-n adalah 6 – n.
6. Jawaban: e
a2 – a1 = –p + 9 – (2p + 25)
= –p + 9 – 2p – 25 = –3p – 16
a3 – a2 = 3p + 7 – (–p + 9)
= 3p + 7 + p – 9 = 4p – 2
an + 1 – an selalu sama (konstan)
a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ –3p – 16 = 4p – 2
⇔ 7p = –14
⇔ p = –2
a3 – a2 = 4 × (–2) – 2 = –10
a1 = 2 × (–2) + 25 = 21
Barisan yang dimaksud adalah barisan aritmetika
dengan a = 21 dan b = –10.
S10 = ��
�(2a + 9b)
= 5(2 × 21 – 9 × (10)) = –240
Jadi, jumlah semua bilangan –240.
7. Jawaban: a
S5
= 325
⇔ �
�(2a + (5 – 1)b) = 325
⇔ �
�(2a + 4b) = 325
⇔ 5a + 10b = 325
⇔ a + 2b = 325 . . . (1)
U1 + U
4 + U
13= 52
⇔ a + a + 3b + a + 12b = 52
⇔ 3a + 15b = 52
⇔ a + 5b = 26 . . . (2)
119Matematika Kelas XII Program IPS
Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2).
a + 2b = 65
a + 5b = 26–––––––––– –
–3b = 39
⇔ b = –13 . . . (3)
Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1).
a + 2b = 65
⇔ a + 2(–13) = 65
⇔ a – 26 = 65
⇔ a = 65 + 26
⇔ a = 91
Jadi, suku pertama deret tersebut 91.
8. Jawaban: b
Diketahui deret aritmetika dengan:
n = 12
U12 = 200
S12 = 30
Sn =
�(a + Un)
S12 = ��
�(a + U12)
⇔ 30 = 6(a + 200)
⇔ 5 = a + 200
⇔ a = –195
Jadi, suku pertamanya –195.
9. Jawaban: d
Sn
=
�(2a + (n – 1)b)
⇔ S14
= ��
�(2a + (14 – 1)b)
⇔ 252 = 7(2a + (14 – 1)b)
⇔ 36 = 2a + 13b
U3 + U
6 + U
9 + U
12
= a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b
= 4a + 26b
= 2(2a + 13b)
= 2 × 36
= 72
Jadi, nilai U3 + U
6 + U
9 + U
12 adalah 72.
10. Jawaban: c
U3 = 950
⇔ a + 2b = 950
⇔ a + 2 · 25 = 950
⇔ a + 50 = 950
⇔ a = 900
Banyak karyawan pada tahun kelima belas = U15
.
U15
= a + 14b
= 900 + 14 · 25
= 900 + 350 = 1.250
Jadi, banyak karyawan sekarang 1.250 orang.
11. Jawaban: b
Un = arn – 1
�
�
�
�=
�
�
��
��
⇔��
�
�
���
�� �= r3
⇔��
�
�
�
�
�
= r3
⇔�� �
��
−
= r3
⇔ 8x3 = r3
⇔ (2x)3 = r3
⇔ r = 2x
U3 = 4x2 �
⇔ ar2 = 4x2 �
⇔ a(2x)2 = 4x2 �
⇔ a × 4x2 = 4x2 �
⇔ a = �
Jadi, suku pertama barisan adalah � .
12. Jawaban: e
�
�
�
�= �
�
�
�
⇔�� �
�� �
+− =
� ��
�� �
++
⇔ (2k + 1)(2k + 1) = (k + 10)(4k – 1)
⇔ 4k2 + 4k + 1 = 4k2 + 39k – 10
⇔ 35k = 11
⇔ k = ��
��
Jadi, nilai k adalah ��
��.
13. Jawaban: d
a = 2
r = �
�
�
� =
�
� = 3
Ut= � � �×
⇔ art – 1 = � ����×⇔ 2 × 3t – 1 = �����
⇔ 2 × 3t – 1 = 54
⇔ 3t – 1 = 27
⇔ 3t – 1 = 33
⇔ t – 1 = 3
⇔ t = 4
Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-4.
14. Jawaban: d
�
�
�
�=
���
��
⇔ �
��= r2
120 Barisan dan Deret Bilangan
⇔ �
�= r2
⇔ r = �
� (karena r > 0)
U2 = ar
⇔ 16 = a × �
�
⇔ a = 32
U9 = ar8 = 32 × (�
�)8
= 25 ×
�
� = �
�
� =
�
Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah �
.
15. Jawaban: a
�
�
�
� = �
�
��
��
⇔ ��
�= r3
⇔ r3 = 27
⇔ r = 3
ar2 = 18
⇔ a × 32 = 18
⇔ a × 9 = 18
⇔ 9a = 18
⇔ a = 2
U8
= ar7 = 2 × 37 = 2 × 2.187 = 4.374
Jadi, suku kedelapan adalah 4.374.
16. Jawaban: d
Barisan geometri:
U1, U
2, U
3, U
4, U
5, U
6
S6 = 781�
�
S5 = 156�
�
U6 = S6 – S5
⇔ ar5 = 781�
� – 156
�
�
⇔ ar5 = 625 . . . (1)
Jumlah 5 suku terakhir = 781
S6 – U
1= 781
⇔ 781�
� – a = 781
⇔ a = �
�. . . (2)
Substitusikan a = �
� ke (1).
ar5 = 625
⇔ �
� × r5 = 625
⇔ r5 = 3.125
⇔ r = � �����
⇔ r = 5
Jadi, rasio deret tersebut 5.
17. Jawaban: b
�
�
�
� = ���
��
⇔ ��
��= r2
⇔ r2 = 4
⇔ r = 2
⇔ U2
= 40
⇔ ar = 40
⇔ 2a = 40
⇔ a = 20
Un
= 160
⇔ arn – 1 = 160
⇔ 20(2)n – 1 = 160
⇔ 2n – 1 = 8
⇔ 2n – 1 = 23
⇔ n – 1 = 3
⇔ n = 4
S4
= ����� ��
� �
−−
= ����� ��
�
− = 20 × 15 = 300
Jadi, jumlah n suku pertamanya 300.
18. Jawaban: b
U1 = 18
U2 = 6
r = �
�
�
� =
�
� =
�
�
S∞ = ��
� �−= �
�
�
�− = 27
Jadi, jumlah suku-suku deret tersebut adalah 27.
19. Jawaban: e
x2 + 2x – 8 = 0
⇔ (x + 4)(x – 2) = 0
⇔ x1 = –4 atau x2 = 2
Diperoleh:
U1 = –4 dan U2 = 2
r = �
�
�
� =
�
�− = –
�
�
U8 = ar7
U8 = –4 × (–�
�)7 = –4 × (–
�
��) =
�
��
Jadi, suku ke-8 barisan tersebut �
��.
20. Jawaban: b
Un = 3–n
U1 = a = 3–1
U2 = 3–2
r = �
�
�
� =
�
�
�
�
−
− = 3–1
S∞ = �
� �−=
�
�
�
� �
−
−− =
�
��
��−
= �
��
�
= �
�
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut �
�.
121Matematika Kelas XII Program IPS
21. Jawaban: c
Diketahui n = banyak potongan tali = 5, U1 = 6,
dan U5 = 96.
U5 = U1r4
⇔ 96 = 6r4
⇔ r4 = 16
⇔ r = 2
Sn =
�� �� ��
� �
−−
⇔ S5 = ���� ��
� �
−−
⇔ S5 = 6 × 31
⇔ S5 = 186
Jadi, panjang tali semula 186 cm.
22. Jawaban: b
Luas persegi-persegi tersebut membentuk barisan
geometri dengan S∞ = 640.
r = �
�
�
� = �
���
�
� � = �
� ��
� =
�
�
S∞ = �
� �−
⇔ 640 = �
�
�
�−
⇔ 640 = �� �
�
�
⇔ a = 640 × �
�
⇔ a = 160
U3 = ar2 = 160 × �
�
�
= 160 × �
�� = 90
U3 = luas persegi ketiga
s3 = �� = �� = 3 �� cm
Jadi, sisi persegi ketiga adalah 3 �� cm.
23. Jawaban: b
�
�
�
� =
�
�
��
��⇔
�
����
�
= r2
⇔ �
��= r2
⇔ r = �
�
U3 = ar2
⇔ �
�= a × (
�
�)2
⇔ a = �
� × 25
⇔ a = 15
S∞ = �
� �− = ��
��
�−
= ��
�
�
= 15 × �
� =
��
� = 18
�
�
Jadi, jumlah seluruh suku barisan tersebut adalah
18�
�.
24. Jawaban: a
Diketahui S10 = 145.000
U4 + U9 = 5U3
⇔ (a + 3b) + (a + 8b) = 5(a + 2b)
⇔ 2a + 11b = 5a + 10b
⇔ 3a = b . . . (1)
Sn =
�(2a + (n – 1)b)
⇔ S10 = ��
�(2a + 9b)
⇔ 145.000 = 5(2a + 9 × 3a)
⇔ 29.000 = 2a + 27a
⇔ 29.000 = 29a
⇔ a = 1.000
Jadi, uang yang ditabung pada bulan pertama
adalah Rp1.000,00.
25. Jawaban: e
U1 = a = 100.000
U2 = 150.000
b = 150.000 – 100.000 = 50.000
n = 12
U12
= a + 11b
= 100.000 + 11 × 50.000
= 100.000 + 550.000 = 650.000
S12
= ��
�(U
1 + U
12)
= 6(100.000 + 650.000)
= 6 × 750.000 = 4.500.000
Jadi, tabungan Vivi setelah satu tahun
Rp4.500.000,00.
26. Jawaban: c
Nilai jual laptop setiap tahun membentuk barisan
geometri dengan r = �
�.
Nilai awal = 8.000.000
U1 = �
� × 8.000.000 = 6.000.000
Nilai jual setelah dipakai 3 tahun = U3
U3 = ar2 = 6.000.000 ·
��
�
= 3.375.000
Jadi, nilai jual laptop setelah dipakai 3 tahun sebesar
Rp3.375.000,00.
27. Jawaban: d
Tali terpendek = U1 = a = 3
n = 5
U5
= ar4
⇔ 48 = 3r4
⇔ 16 = r4
⇔ r = 2
Sn
= ��� ��
� �
−− =
���� ��
� �
−− = 3(32 – 1) = 3 × 31 = 93
Jadi, panjang tali semula adalah 93 cm.
122 Barisan dan Deret Bilangan
28. Jawaban: d
M0 = Rp2.000.000,00; p = 10%; n = 5
B = M0 × p × n = 2.000.000 × 10% × 5 = 1.000.000
Jadi, besarnya bunga pada akhir tahun ke-5
adalah Rp1.000.000,00.
29. Jawaban: b
Diketahui barisan geometri dengan n = 6, U1 = 4,
dan U6 = 128.
Diperoleh:
U6 = U
1r5
⇔ 128 = 4r5
⇔ r2 = 32
⇔ r = 2
Sn =
�� �� ��
� �
−−
⇔ S6 =
���� ��
� �
−−
⇔ S6 = 4 × 63
⇔ S6 = 252
Panjang susunan potongan pita = 252 – 4
= 248 cm
Jadi, panjang susunan pita adalah 248 cm.
30. Jawaban: c
t = 5 × 2 semester = 10 semester
Mt = M
0(1 + p)t
M10
= 10.000.000(1 + 2%)10
= 10.000.000(1,02)10
≈ 12.189.944
Jadi, nilai akhir modal Bu Leni setelah 5 tahun
sekitar Rp12.189.944,00.
B. Uraian
1. a. U1 + U
3 + U
6 + U
10= 80
⇔ U1 + (U1 + 2b) + (U1 + 5b) + (U1 + 9b) = 80
⇔ 4U1 + 16b = 80
⇔ U1 + 4b = 20
⇔ U5 = 20
Jadi, suku kelima barisan adalah 20.
b. 3U1 + 12b = 3(U1 + 4b)
= 3 × 20
= 60
Jadi, nilai 3U1 + 12b = 60.
2. Un = U
1rn – 1
U1 × U3 × U5 = 27
⇔ U1 × (U1r2) × (U1r
4) = 27
⇔ (U1)3 × r6 = 27
⇔ (U1r2)3 = 27
⇔ U1r2 = 3
⇔ U3 = 3
Jadi, U3 adalah 3.
3. a. Barisan geometri
a + 1, a – 2, a + 3
�
�
�
�= �
�
�
�
⇔ � �
� �
−+ =
� �
� �
+−
⇔ (a – 2)2 = (a + 1)(a + 3)
⇔ a2 – 4a + 4 = a2 + 4a + 3
⇔ 8a = 1
⇔ a = �
Jadi, nilai a adalah �
.
b. a + 1 = �
+ 1 =
�
a – 2 = �
– 2 = –
��
a + 3 = �
+ 3 =
��
Barisan aritmetika yang terbentuk:
�
, –
��
,
��
+ x
Diperoleh: U2 – U1 = U3 – U2
⇔ –��
–
�
=
��
� +
– ��
−
⇔ –��
=
��
+ x
⇔ 5 + x = –3⇔ x = –8Jadi, nilai x adalah –8.
4. Misalkan bilangan tersebut a, a + b, a + 2b.a + (a + b) + (a + 2b) = 102
⇔ 3a + 3b = 102⇔ a + b = 34⇔ a = 34 – bBarisan geometri yang terbentuk adalaha, a + b – 18, a + 2b.
Pada barisan geometri berlaku:
r = � � �
�
+ − =
� ��
� � �
++ −
Diperoleh:
� � �
�
+ −=
� ��
� � �
++ −
⇔ ��� �� � �
�� �
− + −− =
��� �� ��
��� �� � �
− +− + −
⇔ ��
�� �− = �� �
��
+
⇔ (34 – b)(34 + b) = 256
⇔ 1.156 – b2 = 256
⇔ b2 = 900⇔ b = 30b = 30 ⇒ a = 34 – b = 4Barisan aritmetika tersebut sebagai berikut.a, a + b, a + 2b⇔ 4, 34, 64Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 34, dan 64.
123Matematika Kelas XII Program IPS
8. Jarak pendulum setiap ayunan membentuk deret
geometri tak hingga dengan a = 50 cm dan r = �
��.
S∞ = �
��
��
�− =
�
��
�� = 500 cm = 5 m
Jadi, seluruh jarak ayunan pendulum 5 m.
9. B = M0 · p · t
⇔ 280.000 = M0 × 3,5% × 1
⇔ M0 = �����
�� × 280.000
⇔ M0 = 8.000.000
Mt = M0(1 + pt)
⇔ M3 = 8.000.000(1 + 3,5% × 3)
= 8.000.000(1,105)
= 8.840.000
Jadi, jumlah uang yang diterima Pak Malik
Rp8.840.000,00.
10. M0 = 1.000.000 = 106
Mt = 1.464.100 = 1,4641 × 106
Mt = M
0(1 + p)t
M0
= Mt(1 + p)–t
⇔ 106 = 1,4641 × 106 (1 + 10%)–t
⇔ log 106 = log 1,4641 × 106 (1,1)–t
⇔ log 106 = log 1,4641 + log 106 – t log(1,1)
⇔ 6 = 0,1656 + 6 – (0,0414)t
⇔ (0,0414)t = 0,1656 + 6 – 6
⇔ (0,0414)t = 0,1656
⇔ t = ������
������
⇔ t = 4
Jadi, jangka waktunya 4 tahun.
5. a. Banyak barang yang diproduksi pada tahun
1998 = a = U1 = 3.600.
Banyak barang yang diproduksi pada tahun
2010 = U2010 – 1998
= U12
= 4.150.
Un = a + (n – 1)b
⇔ U12 = a + 11b
⇔ 4.150 = 3.600 + 11b
⇔ 11b = 550
⇔ b = 50
Jadi, besar peningkatan jumlah barang
produksi 50 unit per tahun.
b. 2014 – 1998 = 16
Sn =
�(2a + (n – 1)b)
S16 = 8(2 × 3.600 + 15 × 50) = 8(7.200 + 750)
= 8(7.950) = 63.600
Jadi, total barang yang diproduksi dari tahun1998 sampai 2014 sebanyak 63.600 unit.
6. Dari permasalahan di atas diketahui sebagai
berikut.
a = 6.000
b = 100
Un = 8.500
Un
= a + (n – 1) b
⇔ 8.500 = 6.000 + (n – 1)500
⇔ 8.500 = 6.000 + 500n – 500
⇔ 8.500 = 5.500 + 500n
⇔ 500n = 8.500 – 5.500
⇔ 500n = 3.000
⇔ n = 6
Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 8.500 unit
tas pada tahun ke-6.
7. a = 500
r = ���
��� =
�
�
Jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh benda
tersebut sampai berhenti sebagai berikut.
S∞ = �
� �− = �
�
���
�− = �
�
��� = 2.500 m
Jadi, jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh
benda tersebut sampai berhenti 2.500 m.
124 Latihan Ujian Sekolah
Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: ePernyataan di atas berkuantor universal (∀), yaitu(∀x, p(x)) dengan:p(x): Tinggi peserta lebih dari 150 cm.~p(x): Tinggi peserta tidak lebih dari 150 cm.Ingkaran dari (∀x, p(x)) adalah ~(∀x, p(x)) ≡ (∃x,~p(x)).Jadi, negasi pernyataan di atas adalah ”Tinggibeberapa peserta tidak lebih dari 150 cm”.
2. Jawaban: bMisalkan: p : Cuaca cerah.
q : Lokasi wisata ramai pengunjung.Pernyataan tersebut dapat ditulis p ⇒ q.p ⇒ q ≡ ~p ∨ qJadi, pernyataan yang ekuivalen adalah ”Cuacatidak cerah atau lokasi wisata ramai pengunjung”.
3. Jawaban: eMisalkan: p: Nisa belajar dengan sungguh-
sungguh.q: Nisa dapat mengerjakan soal ujian.r: Nisa lulus ujian.
Premis 1: p ⇒ qPremis 2: q ⇒ r–––––––––––––––––Kesimpulan: p ⇒ rJadi, kesimpulan dari premis-premis di atas adalah”Jika Nisa belajar dengan sungguh-sungguh makaia lulus ujian”.
4. Jawaban: a12 3 2
1 2 36 a b9 a b
−− −
− − −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 13 2 2 3
29a b
6
−+ − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 15 19a b
36
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 15a b
4
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 54
a b
5. Jawaban: e( 2 3)2( 2 3)
3 5+ −
−= 2( 2 3)( 2 3)
3 5
+ −−
= 2(2 9)
3 5
−−
= 14
3 5
−−
= 14
3 5
−−
× 3 5
3 5
++
= 14(3 5)9 5
− +−
= –72 (3 + 5 )
6. Jawaban: b
n = 4log 5 × 25log 256 – 3 log 81
= 4log 5 × 52log 162 –
123 4log 3
= 4log 5 × 5log 16 – 12
4 × 3log 3
= 4log 16 – 8 × 3log 3= 2 – 8 × 1= –6
Jadi, n = –6.
7. Jawaban: cGrafik mempunyai titik puncak (1, 5) makapersamaan grafiknya: y = a(x – 1)2 + 5Grafik melalui titik (0, 3), berarti:3 = a(0 – 1)2 + 5 ⇔ a = –2y = –2(x – 1)2 + 5
= –2(x2 – 2x + 1) + 5= –2x2 + 4x + 3
Jadi, persamaan grafiknya y = –2x2 + 4x + 3.
8. Jawaban: dDari y = x2 – 4x – 45 diperoleh a = 1, b = –4, c = –45.Misalkan titik puncak grafik = (xP, yP).
xP = –b2a = – ( 4)
2 1−
⋅ = 2
yP = –D4a
125Matematika Kelas XII Program IPS
= –2b 4ac
4a−
= –2( 4) 4 1 ( 45)
4 1− − × × −
×
= – 16 1804
+
= – 1964
= –49
Jadi, titik puncak grafik tersebut (2, –49).
9. Jawaban: cy = (x – 1)2 – 16
= x2 – 2x + 1 – 16= x2 – 2x – 15
a. Fungsi kuadrat memotong sumbu X jika y = 0.y = 0
⇔ x2 – 2x – 15 = 0⇔ (x + 3)(x – 5) = 0⇔ x + 3 = 0 atau x – 5 = 0⇔ x = –3 atau x = 5Titik potong dengan sumbu X adalah(–3, 0) dan (5, 0).
b. Fungsi kuadrat memotong sumbu Y jika x = 0.x = 0 ⇔ y = (0)2 – 2(0) – 15
= –15Titik potong dengan sumbu Y adalah(0, –15).
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (–3, 0),(5, 0), dan (0, –15).
10. Jawaban: b(f g)(x) = f(g(x))
= f2x 3x 1
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
= 52x 3x 1
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 6
= 10x 15x 1
+−
– 6(x 1)
x 1−
−
= (10x 15) (6x 6)
x 1+ − −
−
= 4x 21
x 1+− ; x ≠ 1
11. Jawaban: cMisalkan y = g(x).
y = x 63x 1
++
⇔ 3xy + y = x + 6⇔ 3xy – x = 6 – y⇔ x(3y – 1) = 6 – y
⇔ x = 6 y3y 1
−−
⇔ g–1(x) = 6 x3x 1
−− ; x ≠ 1
3
Jadi, fungsi invers dari g(x) adalah g–1(x) = 6 x3x 1
−− ;
x ≠ 13
.
12. Jawaban: b3x2 + 2x – 8 = 0
⇔ (3x – 4)(x + 2) = 0
⇔ x1 = 43 atau x2 = –2
Disyaratkan x2 < x1 sehingga diambil x1 = 43 dan
x2 = –2.
3x1 + x2 = 3 × 43 + (–2)
= 4 – 2= 2
Jadi, 3x1 + x2 = 2.
13. Jawaban: aDari persamaan 2x2 + 13x – 24 = 0 diperoleha = 2, b = 13, c = –24.
x1 + x2 = –ba = –
132
x1 × x2= ca =
242
− = –12
1
1x +
2
1x = 2 1
1 2
x xx x
+ =
132
12
−
− = 1324
14. Jawaban: ePertidaksamaan kuadrat:
x2 – 10x + 21 < 0⇔ (x – 7)(x – 3) < 0
⇔ 3 < x < 7Jadi, himpunan penyelesaiannya:{x | 3 < x < 7; x ∈ R}
15. Jawaban: dEliminasi b dari kedua persamaan.3a + 2b = 9 × 3 9a + 6b = 274a – 3b = 29 × 2 8a – 6b= 58
–––––––––– +17a = 85
⇔ a = 5Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan 3a + 2b = 9.a = 5 ⇒ 3a + 2b = 9
⇔ 3 × 5 + 2b = 9⇔ 15 + 2b = 9
3 7
+ – +
126 Latihan Ujian Sekolah
⇔ 2b = –6⇔ b = –3
Diperoleh a1 = 5, b1 = –3.a1 + 2b1 = 5 + 2 × (–3)
= 5 – 6 = –1Jadi, nilai a1 + 2b1 = –1.
16. Jawaban: aMisalkan: x = Harga 1 buku tulis.
y = Harga 1 buku gambar.5x + 3y = 24.7003x – 4y = 900
Eliminasi y dari sistem persamaan:5x + 3y = 24.700 × 4 20x + 12y = 98.8003x – 4y = 900 × 3 9x – 12y = 2.700
––––––––––––––––– +29x = 101.500
⇔ x = 3.500Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan 3x – 4y= 900.x = 3.500 ⇔ 3x – 4y = 900
⇔ 3 × 3.500 – 4y = 900⇔ 10.500 – 4y = 900⇔ –4y = –9.600⇔ y = 2.400
2x + 2y = 2 × 3.500 + 2 × 2.400= 7.000 + 4.800 = 11.800
Jadi, Lulu harus membayar sebesar Rp11.800,00.
17. Jawaban: aPersamaan garis yang melalui (0,8) dan (8, 0)adalah x + y = 8.Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (12, 0)adalah x + 2y = 12.Perpotongan garis x + y = 8 dan x + 2y = 12:
x + y = 8x + 2y = 12––––––––– –
–y = –4⇔ y = 4Selanjutnya diperoleh nilai x = 4.Titik potong kedua garis adalah (4, 4).Menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y)= 3x + 5y.
Jadi, nilai maksimum fungsi obyektifnya adalah32.
18. Jawaban: eMisalkan:x = banyak mainan A yang diproduksiy = banyak mainan B yang diproduksi
Diperoleh sistem pertidaksamaan:20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 4825x + 25y ≤ 480 ⇔ 5x + 5y ≤ 96x ≥ 0y ≥ 0
Jadi, model matematika yang sesuai adalah2x + 3y ≤ 48, 5x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0.
19. Jawaban: ba 6 21 b 8
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 1 5 3
2 2 c−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ 9 7 28 1 6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=13 8 15 3 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔a 1 1 1
3 b 2 8 c+ −⎛ ⎞
⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ +
9 7 28 1 6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 13 8 15 3 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔a 10 8 1
5 b 1 14 c+⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠=
13 8 15 3 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Dari kesamaan matriks diperoleh:a + 10 = 13 ⇔ a = 3b – 1 = 3 ⇔ b = 414 – c = 8 ⇔ c = 6Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut 3, 4, dan 6.
20. Jawaban: c
P = 2 01 1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇒ 3P = 32 01 1
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
= 6 03 3
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
Q = 3 21 4
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇒ 2Q = 23 21 4
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
= 6 42 8
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
R = 3P – 2Q
= 6 03 3
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 6 42 8
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
= 0 41 5
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
|R| = 0(–5) – 4(–1) = 4Jadi, determinan R adalah 4.
21. Jawaban: b
27 36 4
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– M = 7 34 2
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⇔ M = 27 36 4
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 7 34 2
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= 14 612 8
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 7 34 2
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= 7 98 10
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
(0, 6)(4, 4)(8, 0)
3 × 0 + 5 × 6 = 303 × 4 + 5 × 4 = 323 × 8 + 5 × 0 = 24
Titik Pojok f(x, y) = 3x + 5y
Mainan AMainan B
Pembatas
xy
Banyak
2030
480
Mesin I
2525
480
Mesin II
127Matematika Kelas XII Program IPS
M–1 = 17 10 ( 8) ( 9)× − − × −
10 98 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= –12
10 98 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
9272
5
4
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
22. Jawaban: bRumus suku ke-n deret aritmetika:Un = a + (n – 1)bU3 = 3 ⇒ a + 2b = 3 . . . (1)U8 = 23 ⇒ a + 7b = 23 . . . (2)Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2):a + 2b = 3a + 7b = 23–––––––––– –
–5b = –20 ⇔ b = 4Substitusi nilai b = 4 ke persamaan (1):⇔ a + 2(4) = 3⇔ a = 3 – 8⇔ a = –5Diperoleh a = –5 dan b = 4.Jumlah n suku pertama:
Sn = n2 [2a + (n – 1)b]
⇔ S20 = 202 [2(–5) + (20 – 1)4]
= 10[–10 + 76]= 660
Jadi, 20 suku pertama deret tersebut adalah 660.
23. Jawaban: bRumus suku ke-n deret geometri:Un = arn – 1
U4 = 12
⇔ ar3 = 12
U7 = –4⇔ ar6 = –4
7
4
UU = 1
2
4−
⇔6
3arar
= –8
⇔ r3 = –8⇔ r = –2
U4 = 12
⇔ a(–2)3 = 12
⇔ a × (–8) = 12
⇔ a = –1
16
Sn = na(1 r )
1 r−−
⇔ S8 = 8a(1 r )
1 r−−
⇔ S8 = 1 8
16 (1 ( 2) )
1 ( 2)
− − −
− −
⇔ S8 = 41 8
2(1 2 )
3
− −
⇔ S8 = 8
4 41 2
2 2
3
− +
⇔ S8 = 13
8
42 1
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ S8 = 13
256 116
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ S8 = 25548 = 5
1548 = 5
516
Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut
55
16 .
24. Jawaban: ePermasalahan tersebut merupakan permasalahanderet aritmetika.U1 = 80, b = 4
Sn = n2 (2a + (n – 1) b)
⇔ S25 = 252 (2 × 80 + 24 × 4)
= 252 (160 + 96)
= 252 (256)
= 25 × 128= 3.200 kg= 32 kuintal
Jadi, banyak buah yang dihasilkan 32 kuintal.
25. Jawaban: b
n = x 8lim→−
2
2x 64
x 4x 32−
+ −
= x 8lim→−
(x 8)(x 8)(x 8)(x 4)
+ −+ −
= x 8lim→−
x 8x 4
−−
= 8 88 4
− −− −
= 1612
−− =
43
128 Latihan Ujian Sekolah
30. Jawaban: aDaerah I dibatasi olehsumbu X, garis y = 2x – 2dan interval 1 ≤ x ≤ 5.
LI = 5
1(2x 2) dx−∫
= 521
x 2x⎤− ⎦= (25 – 10) – (1 – 2)= 16 satuan luas
Daerah II dibatasi oleh sumbu X, garis y = 2x – 2,garis y = x2 – 6x + 5, dan interval 5 ≤ x ≤ 7.
LII = 7
2
5((2x 2) (x 6x 5)) dx− − − +∫
= 7
2
5(8x 7 x ) dx− −∫ =
712 33 5
4x 7x x ⎤− − ⎥⎦
= (4 × 72 – 7 × 7 – 13
× 73) – (4 × 52 – 7 × 5 – 13
× 53)
= (196 – 49 – 3433
) – (100 – 35 – 1253
)
= (147 – 3433
) – (65 – 1253
)
= 82 – 2183
= 82 – 72 23
= 9 13
Luas daerah = LI + LII
= 16 + 9 13
= 25 13
Jadi, luas daerah tersebut 25 13
satuan luas.
31. Jawaban: aBanyak susunan buku merupakan permutasi 7 dari 7.Banyak susunan buku= 7P7 = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
32. Jawaban: dBanyak cara memilih ketiga orang untuk berorasi:
= 10C3 = 10!3!(10 3)!−
= 10!3! 7! =
8 9 101 2 3× ×× × = 120
33. Jawaban: bS = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6),
(G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}n(S) = 12B = kejadian muncul angka dan mata dadu genap
= {(A, 2), (A, 4), (A, 6)}n(B) = 3
P = n(B)n(S)
= 312
= 14
.
Jadi, peluang muncul angka dan mata dadu genap
adalah 14
.
n = 43 ⇒ 6n + 1 = 6 ×
43 + 1
= 8 + 1 = 9Jadi, nilai 6n + 1 = 9.
26. Jawaban: e
xlim→∞ 2
(4 x)(2x 3)x 18
− −−
= xlim→∞
2
22x 11x 12
x 18− + −
− ×
2
2
1
x1
x
= xlim→∞
2
2
11 12x x
18
x
2
1
− + −
−
= 2 0 01 0
− + −−
= 21
− = –2
27. Jawaban: af(x) = (x – 2)(x2 – 2x + 5) = uvf'(x) = u' v + uv'
= 1(x2 – 2x + 5) + (x – 2)(2x – 2)= x2 – 2x + 5 + (x – 2)(2x – 2)
f'(–1) = 1 + 2 + 5 + (–1 – 2)(–2 – 2)= 8 + (–3)(–4) = 20
28. Jawaban: df(x) = –2x3 + 4x2 – 2x + 8f′(x) = –6x2 + 8x – 2f(x) stasioner apabila:f′(x) = 0 ⇒ –6x2 + 8x – 2 = 0
⇔ 3x2 – 4x + 1 = 0⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0
⇔ x = 13 atau x = 1
Maksimum terletak di antara naik dan turun, yaitux = 1.Jadi, fungsi f maksimum untuk x = 1.
29. Jawaban: d∫(2x3 – 9x2 + 4x – 5) dx
= 2
3 1+ x3 + 1 – 9
2 1+ x2 + 1 + 4
1 1+ x1 + 1 – 5x + c
= 24 x4 –
93 x3 +
42 x2 – 5x + c
= 12 x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + c
113
turun naik turun– + –
129Matematika Kelas XII Program IPS
34. Jawaban: bBanyak percobaan: N = 15 kali.Jumlah bola dalam kantong = 8 + 12 = 20.Banyak bola hijau = 8.
Peluang terambil bola hijau: P(H) = 8
20 .
Fh(H) = P(H) × N = 8
20 × 15 = 6
Jadi, frekuensi harapan terambil bola hijau adalah6 kali.
35. Jawaban: aBanyak siswa yang melanjutkan kuliah di FakultasTeknik = 180 – (35 + 50 + 40 + 30)
= 180 – 155= 25
Persentase banyak siswa yang melanjutkan
kuliah di Fakultas Teknik
= 25
180 × 100% = 125
9 % = 13 89 %
36. Jawaban: eMisalkan besar sudut pusat pertanian = 3nmaka besar sudut pusat ekonomi = 5nJumlah besar sudut pusat pertanian dan ekonomi= 360° – (70° + 50° + 80°)⇔ 3n + 5n = 160°⇔ 8n = 160°⇔ n = 20°Sudut pusat ekonomi = 5n = 5 × 20° = 100°.Misalkan x = banyak siswa yang memilih kuliah diFakultas Ekonomi.
sudut pusat ekonomisudut pusat sastra =
x35
⇔ 10070
°° =
x35
⇔ x = 10070
°° × 35
⇔ x = 50Jadi, siswa yang memilih kuliah di FakultasEkonomi sebanyak 50 orang.
37. Jawaban: ePoligon merupakan grafik dari titik tengah suatudata.Rata-rata tinggi badan pemain:
x = i i
i
x ff
∑∑
= 162 2 167 6 172 4 177 8 182 5
2 6 4 8 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + +
= 324 1.002 688 1.416 910
25+ + + +
= 4.340
25 = 173,6 cm
Jadi, rata-rata tinggi badan pemain basket tersebut173,6 cm.
38. Jawaban: eModus data terletak pada interval 30–34.L0 = 29,5d1 = 11 – 7 = 4d2 = 11 – 10 = 1c = 5
Modus = L0 + 1
1 2
dd d
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
× c
= 29,5 + 4
4 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ + ⎠ × 5
= 29,5 + 45 × 5
= 33,5Jadi, modus data adalah 33,5 tahun.
39. Jawaban: dData: 2, 1, 3, 6, 1, 4, 2 ,5Rata-rata data:
x = jumlah databanyak data
= 2 1 3 6 1 4 2 58
+ + + + + + +
= 248
= 3Ragam dari data:
S2 =18 ((2 – 3)2 + (1 – 3)2 + (3 – 3)2 + (6 – 3)2
+ (1 – 3)2 + (4 – 3)2 + (2 – 3)2 + (5 – 3)2)
=18 (1 + 4 + 0 + 9 + 4 + 1 + 1 + 4)
=18 (24) = 3
Jadi, simpangan baku dari data = 2S = 3 .
40. Jawaban: a
x = ixn
Σ
= 8 4 10 9 3 11
9+ × + + ×
= 909
= 10
Σ |xi – x | =|8 – 10| + 4|10 – 10| + |9 – 10| + 3 |11 – 10|
= 2 + 4 × 0 + 1 + 3 × 1= 6
SR = 1n Σ |xi – x | =
110 × 6 = 0,6
Jadi, simpangan rata-rata adalah 0,6.
130 Latihan Ujian Nasional
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1. Jawaban: eMisalkan: p: Air sungai meluap.
q: Penduduk mengungsi.Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai p ⇒ q.Ingkaran dari p ⇒ q adalah ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q.Jadi, ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ”Airsungai meluap dan penduduk tidak mengungsi” atau”Air sungai meluap tetapi penduduk tidakmengungsi”.
2. Jawaban: bMisalkan: p: Dita tidak datang.
q: Nisa menggantikan tugas Dita.Pernyataan tersebut dapat dituliskan dalam bentukimpliklasi p ⇒ q. Implikasi p ⇒ q setara dengankontraposisinya, yaitu (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p). Jadi,pernyataan yang setara adalah ”Jika Nisa tidakmenggantikan tugas Dita maka Dita datang”.
3. Jawaban: dMisalkan: p: Ada baterai yang mati.
q: Bohlam tidak dapat menyala.Premis 1 : p ⇒ qPremis 2 : ~q–––––––––––––––––Kesimpulan : ~pJadi, kesimpulan dari premis-premis tersebutadalah ”Tidak ada baterai yang mati” atau ”Semuabaterai tidak mati”.
4. Jawaban: c12 4
33x y2xy
−
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 1 2 4
1 1 33 x y2 x y
− − −
− − = 1 + 2 3 + 42
3x y− = 72
3xy
5. Jawaban: e
3 23 2+−
= 3 23 2+−
× 3 23 2++
= 2( 3 2)
3 2+−
= 3 2 6 21
+ +
= 5 + 2 6
6. Jawaban: b
9log 6 = 2
2log 6log 9
= 2
2 2log (2× 3)
log 3
= 2 2
2log 2 + log 32 × log 3
= 1 p2p+
Jadi, 9log 6 = 1 p2p+
.
7. Jawaban: bDiketahui fungsi kuadrat f(x) = 3x2 + x – 2.Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X jika f(x) = 0.f(x) = 0⇔ 3x2 + x – 2 = 0⇔ (3x – 2)(x + 1)= 0
⇔ x = 23
atau x = –1
Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu X
adalah (–1, 0) dan ( 23
, 0).
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y jikax = 0.
f(x) = 3x2 + x – 2⇔ f(0) = 3 × 02 + 0 – 2⇔ f(0) = –2Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu Yadalah (0, –2).
Jadi, titik potongnya adalah (23 , 0), (–1, 0), dan
(0, –2).
8. Jawaban: bFungsi y = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai a = 1,b = –2, dan c = –3.Misalkan koordinat titik balik fungsi adalah (xP, yP).
xP = –b2a
= –( 2)2 1−× = 1
131Matematika Kelas XII Program IPS
yP = –D4a
= –2b 4ac
4a−
= –2( 2) 4 1 ( 3)
4 1− − × × −
×
= –4 12
4+
= –4
Jadi, koordinat titik balik fungsi adalah (1, –4).
9. Jawaban: cMisalkan titik balik fungsi kuadrat = (p, q) = (–1, 4)maka f(x) = a(x + 1)2 + 4.Grafik fungsi melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3.
f(0) = a(0 + 1)2 + 4⇔ 3 = a + 4⇔ a = –1Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat:y = –1(x + 1)2 + 4
= –(x2 + 2x + 1) + 4= –x2 – 2x + 3
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebutadalah y = –x2 – 2x + 3.
10. Jawaban: df(x) = x2 – 10x + 4(f g)(x) = f(g(x))
= f(–x + 3)= (–x + 3)2 – 10(–x + 3) + 4= (x2 – 6x + 9) + 10x – 30 + 4= x2 + 4x – 17
Jadi, (f g)(x) = x2 + 4x – 17.
11. Jawaban: eMisalkan y = f(x)
y = 3x 42x 1
−+
⇔ 2xy + y = 3x – 4⇔ 2xy – 3x = –y – 4⇔ x(2y – 3) = –y – 4
⇔ x = y 4
2y 3− −
−
⇔ f–1(x) = x 4
2x 3− −
− ; x ≠ 32
f–1(1) = 1 4
2 1 3− −× − =
51
−− = 5
Jadi, f–1(1) = 5.
12. Jawaban: ex2 – x – 2 = 0
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 2 atau x = –1
Diambil x2 = 2 dan x1 = –1 karena disyaratkanx2 > x1.2x1 + 3x2 = 2 × (–1) + 3 × 2
= –2 + 6= 4
Jadi, 2x1 + 3x2 = 4.
13. Jawaban: eDari persamaan kuadrat 6x2 + 7x + 2 = 0 diperoleha = 6, b = 7, dan c = 2.x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 6x2 + 7x +2 = 0 sehingga:
x1 + x2 = – ba
= – 76
x1 × x2 = ca
= 26
= 13
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya 3x1dan 3x2.3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2)
= 3 × (– 76
)
= – 72
3x1 × 3x2 = 9x1 × x2
= 9 × 13
= 3Persamaan kuadrat yang baru:x2 – (3x1 + 3x2)x + (3x1 × 3x2) = 0
⇔ x2 + 72
x + 3 = 0
⇔ 2x2 + 7x + 6 = 0Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah2x2 + 7x + 6 = 0.
14. Jawaban: bDiketahui pertidaksamaan x2 + 3x – 4 < 0.Pembuat nol dari persamaan x2 + 3x – 4 = 0sebagai berikut.
x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –4 atau x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaanx2 + 3x – 4 < 0 adalah –4 < x < 1.
–4 1
+ + + + + +– – –
132 Latihan Ujian Nasional
15. Jawaban: cx + 3y = 1 × 2 2x + 6y= 22x – y = 9 × 1 2x – y = 9
–––––––––– –7y = –7
⇔ y = –1y = –1 ⇒ 2x – y = 9
⇔ 2x + 1 = 9⇔ 2x = 8⇔ x = 4
Diperoleh x1 = x = 4 dan y1 = y = –1.x1 + y1 = 4 + (–1) = 3Jadi, x1 + y1 = 3.
16. Jawaban: eMisalkan: x = harga 1 buku tulis
y = harga 1 spidolDiperoleh sistem persamaan linear dua variabelberikut.2x + 3y = 12.000 . . . (i)
x + 2y = 6.500 . . . (ii)Eliminasi x dari (i) dan (ii).2x + 3y = 12.000 × 1 2x + 3y = 12.000x + 2y = 6.500 × 2 2x + 4y = 13.000
–––––––––––––– ––y = –1.000
⇔ y = 1.000y = 1.000 ⇒ x + 2y = 6.500
⇔ x + 2.000 = 6.500⇔ x = 4.500
Candra hanya membeli 1 buku tulis dan 1 spidolsehingga:x + y = 4.500 + 1.000 = 5.500Uang kembalian = 10.000 – 5.500
= 4.500Jadi, uang kembalian Candra Rp4.500,00.
17. Jawaban: b
Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai minimum f(x, y) adalah 24.Jadi, nilai minimumnya 24.
18. Jawaban: dMisalkan: x = banyak helm merek A
y = banyak helm merek B
Diperoleh model matematika:Memaksimumkan fungsi objektiff(x, y) = 25.000x + 15.000y dengan kendala:
x + y ≤ 30160.000x + 80.000y ≤ 3.200.000⇔ 2x + y ≤ 40x ≥ 0y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 30dan 2x + y = 40. Koordinat titik B(10, 20).Uji titik pojok ke fungsi objektif:
Nilai maksimum f(x, y) adalah 550.000 untukx = 10 dan y = 20.Jadi, agar laba yang diperoleh pedagangmaksimum, pedagang tersebut harus menyedia-kan 10 helm merek A dan 20 helm merek B.
19. Jawaban: e2A – B = C
⇔ 22p 2rp 3
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 3q 3s2 2s
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
= 5p q 6r
3p 2q 4s−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔ 4p 3q 4r 3s2p 2 6 2s
− −⎛ ⎞⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠
= 5p q 6r3p 2q 4s−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠Dari kesamaan matriks diperoleh:1) 2p + 2 = 3p ⇔ p = 22) 4p – 3q = 5p – q ⇔ 4 × 2 – 3q = 5 × 2 – q
⇔ 2q = –2⇔ q = –1
Y
X0
6
–22 6
x – y = 2
(4, 2)
3x + y = 6 x + y = 6
Titik Pojok
(2, 0)(4, 2)(0, 6)
f(x, y) = 12x + 15y
12 × 2 + 15 × 0 = 2412 × 4 + 15 × 2 = 7812 × 0 + 15 × 6 = 90
Y
X
40
30
0A
B
C
20 30
2x + y = 40x + y = 30
Harga Beli
160.00080.000
3.200.000
Laba
25.00015.000
Helm
Merek AMerek B
Pembatas
Banyak
xy
30
f(x, y) = 25.000x + 15.000y
25.000 × 0 + 15.000 × 0 = 025.000 × 20 + 15.000 × 0 = 500.00025.000 × 10 + 15.000 × 20 = 550.00025.000 × 0 + 15.000 × 30 = 450.000
Titik Pojok
O(0, 0)A(20, 0)B(10, 20)C(0, 30)
133Matematika Kelas XII Program IPS
3) –6 – 2s = 2q – 4s ⇔ –6 – 2s = –2 – 4s⇔ 2s = 4⇔ s = 2
4) 4r – 3s = 6r ⇔ 4r – 3 × 2 = 6r⇔ 2r = –6⇔ r = –3
Jadi, nilai pqrs = 2 × (–1) × (–3) × 2 = 12.
20. Jawaban: d
PQ – Q = 1 23 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 20 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
– 1 2
0 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 1 43 0−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠ –
1 20 3− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 0 63 3
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
det (PQ – Q) = 0 × (–3) – (–3) × 6 = 18
21. Jawaban: d
A = 1 01 2
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
maka AT = 1 10 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
ATA = 1 10 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 01 2
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= 2 22 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(ATA)–1 = 18 4−
4 22 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
12
1 12 2
1⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−
−
Jadi, invers dari matriks ATA adalah
12
1 12 2
1⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−
−.
22. Jawaban: bMisal 7 suku deret aritmetika adalahU1, U2, U3, U4, U5, U6, U7
U1 + U2 + U3 = 45⇔ a + a + b + a + 2b = 45⇔ 3a + 3b = 45 . . . (1)U5 + U6 + U7 = 105⇔ a + 4b + a + 5b + a + 6b = 105⇔ 3a + 15b = 105 . . . (2)Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2):3a + 15b = 105
3a + 3b = 45––––––––––––– –
12b = 60⇔ b = 5Substitusi b = 5 ke persamaan (1) diperoleh:3a + 3 × 5 = 45 ⇔ 3a = 30
⇔ a = 10Nilai suku ke-4:U4 = a + 3b
= 10 + 3 × 5= 25
23. Jawaban: eMisal 5 suku deret geometri adalah
2ar
, ar , a, ar, ar2
2ar
× ar × a × ar × ar2 = 32
⇔ a5 = 25
⇔ a = 2U5 = 18 ⇔ ar2 = 18
⇔ 2r2 = 18⇔ r2 = 9⇔ r = ± 3
Oleh karena r > 0 maka r = 3.
Jumlah deret = 2ar
+ ar + a + ar + ar2
= 223
+ 23 + 2 + 2 × 3 + 2 × 32
= 29 +
23 + 2 + 6 + 18
= 2689
24. Jawaban: cDeret aritmetika:n = 10; a = 42; S10 = 330
S10 = 102 (a + U10)
⇔ 330 = 5(42 + U10)⇔ 66 = 42 + U10⇔ U10 = 24Jadi, panjang potongan pita terpendek 24 cm.
25. Jawaban: e
x 3lim→−
25x 15
2x 4x 6++ −
= x 3lim→−
25(x 3)
2(x 2x 3)+
+ −
= 52 x 3
lim→−
x 3(x 3)(x 1)
++ −
= 52 x 3
lim→−
1x 1−
= 52
× 1
3 1⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= 52
× 14
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= –58
26. Jawaban: b
xlim→∞ ( )2x 7x 5 (x 2)− + − +
=xlim→∞ ( )2x 7x 5 (x 2)− + − +
134 Latihan Ujian Nasional
× ( )( )
− + + +
− + + +
2
2
x 7x 5 (x 2)
x 7x 5 (x 2)
=xlim→∞
− + − +
− + + +
2 2
2
(x 7x 5) (x 2)x 7x 5 (x 2)
=xlim→∞
− + − + +
− + + +
2 2
2
(x 7x 5) (x 4x 4)x 7x 5 (x 2)
=xlim→∞
− +
− + + +2
11x 1x 7x 5 (x 2)
=xlim→∞
− +
− + + +2
1x
7 5 2x xx
11
1 (1 )
= − +− + + +
11 01 0 0 (1 0)
= −+
111 1
= –112
27. Jawaban: cMisalkan u = 2x2 – 3x.
dudx
= u′ = 4x – 3
f(x) = (2x2 – 3x)5
= u5
df(x)du
= 5u4
f′(x) = df(x)dx
= df(x)du
× dudx
= 5u4 × (4x – 3)= 5(4x – 3)(2x2 – 3x)4
28. Jawaban: cBiaya per hari
= (3x + 1.200
x – 120) (dalam juta rupiah)
Biaya x hari = ((3x + 1.200
x – 120)x)
⇔ f(x) = (3x2 + 1.200 – 120x)Agar biaya minimum f′(x) = 0
f(x) = 3x2 + 1.200 – 120x⇔ f′(x) = 6x – 120⇔ 0 = 6x – 120⇔ 6x = 120⇔ x = 20Jadi, agar biaya minimum proyek harus diselesai-kan dalam waktu 20 hari.
29. Jawaban: a0
1−∫
3 2
x 3
x 6x 1
−
− − dx
= 12
0
1−∫ (x2 – 6x – 1)
13
−
d(x2 – 6x – 1)
= 12 × 3
2
022 3
1(x 6x 1) −
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦
= 34
((0 – 1) – 6(0 + 1) – 1)23
= 34
× (–8)23
= 34
× (–23)23
= 34
× (–2)2
= 3
30. Jawaban: cPersamaan kurva: y1 = f(x) = a(x + 2)(x – 6)Kurva melalui titik (0, 12) maka f(0) = 12.f(0) = a(0 + 2)(0 – 6)⇒ 12 = –12a⇔ a = –1Persamaan kurva menjadi:f(x) = –(x + 2)(x – 6)
= –(x2 – 4x – 12)= –x2 + 4x + 12
Persamaan garis: y2 = 3xLuas daerah yang diarsir:
L = 4
0∫ (y1 – y2) dx
= 4
0∫ (–x2 + 4x + 12 – 3x) dx
= 4
0∫ (12 + x – x2) dx
= 4
2 3
0
1 12 3
12x x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
+ −
= 12(4 – 0) + 12 (16 – 0) –
13 (64 – 0)
= 48 + 8 – 643
= 3423
Jadi, luas daerah yang diarsir 3423 satuan luas.
135Matematika Kelas XII Program IPS
31. Jawaban: bAngka-angka = 0, 1, 2, 3, 4, 5Banyak angka = 6
Banyak bilangan lebih dari 300 yang dapat disusun= 3 × 5 × 4 = 60.
32. Jawaban: cBanyak cara memilih 5 orang pengurus dari7 orang dapat diselesaikan dengan permutasi5 unsur dari 7 unsur.Banyak cara = 7P5
= 7!
(7 5)!−
= 7!2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3= 2.520
Jadi, terdapat 2.520 cara memilih pengurus.
33. Jawaban: dPercobaan melemparkan dua dadu.n(S) = 36MisalkanA = kejadian jumlah kedua mata dadu habis
dibagi 5= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5),
(6, 4)}n(A) = 7
P(A) = n(A)n(S)
= 736
Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu
habis dibagi 5 adalah 736
.
34. Jawaban: eBanyak percobaan = N = 180 kali.Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 36.A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 8
= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}n(A) = 5
P(A) = n(A)n(S) =
536
fh(A) = P(A) × N
= 536
× 180 = 25.Jadi, frekuensi harapan muncul mata daduberjumlah 8 adalah 25.
35. Jawaban: bBesar sudut juring buruh= 360° – (90° + 50° + 160° + 15°)= 360° – 315°= 45°Banyak kepala keluarga yang bekerja sebagaiburuh
= 45°360°
× banyak kepala keluarga
= 18
× 72
= 9Jadi, kepala keluarga yang bekerja sebaai buruhsebanyak 9.
36. Jawaban: bBanyak anak = 40 + 30 + 62 + n + 22⇔ 200 = 154 + n⇔ n = 46
Persentase = 46200
× 100%
= 23%Jadi, persentase anak yang menyukai permenadalah 23%.
37. Jawaban: eTabel dari diagram tersebut sebagai berikut.
Diameter Pohon (cm) Frekuensi fk
4–6 8 87–9 16 24
10–12 6 3013–15 7 3716–18 4 4119–21 3 44
n = 44
Median data = nilai data ke-12
(44 + 1)
= nilai data ke-22,5Nilai data ke-22,5 terletak di kelas interval 7–9.L = 6,5fMe
= 16
Mekf = 8p = 3
Me = L + e
n2
Mf
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Mekf × p
= 6,5 + 442
8
16
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
× 3
= 6,5 + 1416⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 3
= 6,5 + 2,625= 9,125≈ 9,13
Jadi, median data 9,13 cm.
angka ratusan
3 kemungkinan (3, 4, 5)
angka satuanangka puluhan
5 kemungkinan4 kemungkinan
136 Latihan Ujian Nasional
38. Jawaban: d
Modus data terletak pada kelas interval 40–49karena frekuensinya paling banyak.L = 39,5d1 = 10 – 5 = 5d2 = 10 – 7 = 3p = 10
Mo = L + 1
1 2
dd + d
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× p
= 39,5 + 5
5 + 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
× 10
= 39,5 + 58 × 10
= 39,5 + 6,25= 45,75
Jadi, modus data tersebut adalah 45,75.
39. Jawaban: d
x = 7 8 6 8 3 5 4 7
8+ + + + + + +
= 488 = 6
SR =1n
8i
i=1| x x |∑ −
=18 (|7 – 6| + |8 – 6| + |6 – 6| + |8 – 6| + |3 – 6|
+ |5 – 6| + |4 – 6| + |7 – 6|)
=18 (1 + 2 + 0 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1)
=18 (12) =
32
Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 32 .
40. Jawaban: d
x = 3 5 6 7 9 9 10 11 12
9+ + + + + + + +
= 729
= 8
S2 =1n
9 2i
i=1(x x)∑ −
=19 [(3 – 8)2 + (5 – 8)2 + (6 – 8)2 + (7 – 8)2
+ (9 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2
+ (12 – 8)2]
=19 (25 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 9 + 16)
= 19 (70)
= 709
Jadi, varians data tersebut adalah 709 .
Nilai
10–1920–2930–3940–4950–5960–6970–79
Frekuensi
345
10765