RAUNARSKA GRAFIKATransformacije

2D linearne transformacijeMatrice 2x2 se mogu koristiti za transformaciju 2D vektora.

Mnoenje matricom je linearna transformacija.

SKALIRANJESkaliranje je uveavanje ili smanjivanje vektora po nekoj od koordinatnih osa.Skaliranje moe promeniti duinu, ali i orijentaciju vektora.

ta ova matrica radi sa vektorom?

SKALIRANJEPrimeri

SMICANJESmicanje krivi sliku paralelnim pomeranjem njenih stranica.

Primer

SMICANJEMoe se posmatrati kao rotacija jedne ose.Pomeranje vertikalne ose u smeru kazaljke za ugao

Pomeranje horizontalne ose suprotno od kazaljke za ugao

ROTACIJAPretpostavimo da hoemo da zarotiramo vektor a suprotno od kazaljke za ugao i tako dobijemo vektor b.

ROTACIJAPrimer

REFLEKSIJARefleksiju moemo posmatrati kao skaliranje negativnim brojem.

KOMPOZICIJA I DEKOMPOZICIJA TRANSFORMACIJAU raunarskoj grafici je esto potrebno primeniti jednu, a zatim drugu transformaciju. Na primer: prvo a zatimOvo se na drugi nain moe zapisati kao

Poto vai asocijativnost moe i kao

Zbirni efekat dve transformacije se moe napisati kao

Transformacije se primenjuju sa desna na levo.

KOMPOZICIJA I DEKOMPOZICIJA TRANSFORMACIJAPrimer: Skaliranje na pola po y osi, a zatim rotacija za 45 stepeni.

KOMPOZICIJA I DEKOMPOZICIJA TRANSFORMACIJARedosled je bitan.

KOMPOZICIJA I DEKOMPOZICIJA TRANSFORMACIJASvaka transformacija se moe svesti na skaliranje i rotaciju.

3D LINEARNE TRANSFORMACIJESkaliranje

Rotacija

3D LINEARNE TRANSFORMACIJESmicanje

3D LINEARNE TRANSFORMACIJEProizvoljna 3D rotacija

3D LINEARNE TRANSFORMACIJEInverzna matrica ortogonalne matrice je njena transponovana matrica.Ako transformie u u x, onda transformie x u u.

Rotacija oko proizvoljne ose a:Formiranje lokalnog sistema tako da je w=a (kako???)Transformacija uvw u xyzRotacija oko z oseTransformacija xyz u uvw

TRANSLACIJA I AFINE TRANSFORMACIJEDo sada smo vektore transformisali pomou matrica. U 2D prostoru:

Ovakve transformacije ne moemo iskoristiti za pomeranje objekata. Za pomeranje je potrebno:

Ovo nije mogue izvesti pomou matrice 2x2.

TRANSLACIJA I AFINE TRANSFORMACIJEUkoliko taku (x,y) predstavimo pomou 3D vektora

a transformacionu matricu napiemo u obliku

onda dobijamo transformaciju

TRANSLACIJA I AFINE TRANSFORMACIJEAfine transformacije i homogene koordinate.Problem je ukoliko vektor predstavlja pravac ili pomeraj.

Lokacija Pomeranje ili pravac

3D translacija

TRANSLACIJA I AFINE TRANSFORMACIJEPrimer (Windowing)Transformacija pravougaonika

u pravougaonik

TRANSLACIJA I AFINE TRANSFORMACIJEPrimer (Windowing u 3D)Transformacija kvadra

u kvadar

Interesantna osobina u sluaju da translacija sledi iza rotacije, skaliranja i smicanja:

INVERZNE TRANSFORMACIONE MATRICEInverzno od skaliranja je skaliranjeInverzna rotacija se dobija promenom znaka ugla.Inverzna translacija je translacija u suprotnom smeru.Ako imamo kompoziciju transformacija

onda je inverzna transformacija

Rotacija je ortogonalna, pa je inverzna jednaka transponovanoj.

TRANSFORMACIJA KOORDINATNIH SISTEMAPrimer: Automobil koji se kreePogled iz automobilaPomeranje zgradaPomeranje koordinatnog sistema

Oba pristupa daju istu transformacionu matricuPogled iz vazduhaPomeranje automobilaPomeranje koordinatnog sistema automobilaInverzne matrice!

TRANSFORMACIJA KOORDINATNIH SISTEMAKoordinatni sistem (frame) se sastoji od baznih vektora.Najpogodniji su ortonormalni sistemi.U sistemu sa poetkom u taki p i bazama (u,v,w), koordinate (u,v,w) opisuju taku

TRANSFORMACIJA KOORDINATNIH SISTEMAPrimer u 2D prostoru:

U globalnom sistemu taka p se moe napisati kao:

U lokalnom sistemu taka p se moe napisati kao:

TRANSFORMACIJA KOORDINATNIH SISTEMAIsta relacija se moe napisati u matrinom obliku.Lokalni u globalni

Globalni u lokalni

TRANSFORMACIJA KOORDINATNIH SISTEMASvi koordinatni sistemi su ravnopravni, pa moe i

U 3D prostoru