ДОДАТОК 3ДОДАТОК 3

ПОХОДЖЕННЯ ДЕЯКИХПОХОДЖЕННЯ ДЕЯКИХ

МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ (СИМВОЛІВ)МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАКІВ (СИМВОЛІВ)

Саме слово “знак” – загальнослов’янське. Утворене, подібно словам брак,

клик, звук і т. ін., за допомогою суф. –къ від знати в значенні “відрізнити,

помітити”.

ЦифриЦифри

ЦифриЦифри – знаки для позначення чисел.

В історії математики відомо багато різних цифр, що змінювалися з часом

у різних народів. Найпримітивніший запис цифр був словесний. Він зберігся

в математиків Середньої Азії та Близького Сходу аж до X ст. і зустрічався

навіть пізніше. Найстародавнішими з відомих є вавилонські й

давньоєгипетські цифри.

Пращури наших цифр

122122

Знаки цифр десяткової позиційної системи числення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,Знаки цифр десяткової позиційної системи числення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 0 (арабські цифри)8, 9, 0 (арабські цифри)

Арабські цифри прийшли в Європу з Індії через арабів; до арабів вони

потрапили приблизно в XI ст. Більш правильним було б назвати арабські цифри

індо-арабськими (сучасна назва є помилковою), хоча цифра нуль з’явилася, на

думку голландського математика Ван-дер-Вардена, спочатку в грецьких

астрономів і тільки потім перекочувала в Індію.

Цифри набули сучасної форми в епоху Відродження в результаті

поступового розвитку індійської позиційної системи числення.

Знаки цифр римської системи численняЗнаки цифр римської системи числення

Знаки цифр римської системи числення I (один), V (п’ять), X (десять), L

(п’ятдесят), C (сто – Centum), D (п’ятсот), M (тисяча – Mille) – можливо

етруського походження. Виникли задовго до н. е.

Знаки індивідуальних об’єктівЗнаки індивідуальних об’єктів

Знак нескінченності ∞Знак нескінченності ∞. Позначка вперше зустрічається в надрукованій

у 1665 р. головній праці Валліса – “Арифметика нескінченних величин”. Що

спонукало Валліса до введення саме такого символу – невідомо. Деякі

історики пропонують таке пояснення: знак ׀ , близький до ∞,

зустрічається серед ранніх римських цифр на

позначення тисячі, що тоді порівнювалося з поняттям

“дуже багато”. Таке пояснення здається не зовсім

переконливим. Дійсно, адже вже приблизно за 200 років

до Валліса у Шюке зустрічаються числа значно більші

від мільйона, і навряд чи в XVII ст. такий великий

математик, як Валліс, міг думати про тисячу, як про

число, яке можливо було б асоціювати з

нескінченністю. За іншою версією, символ “∞” Валліс уявляв, як два зв’язані

123123

Валліс

між собою нулі. Він протиставляв йому символ “0” у зв’язку з наведеними

нижче рівностями:

.

Знак πЗнак π. Позначка є першою літерою в грецькому слові “периферія” –

“круг”, “периферія”, “обвід округлого тіла”, уперше зустрічається в 1706 р.

в англійського математика У. Джонса. Позначка стала загальновживаною лише

після видання однієї з праць Леонарда Ейлера в 1736 р.

Знак еЗнак е. Позначення у друкові з 1736 р. ввів швейцарський математик

Леонард Ейлер (1707-1783). У листах і рукописах термін зустрічається й раніше

(з 1728 р.). Позначка походить від першої літери латин. слова exponere –

“показувати”.

Знак цілої частини від числа (антьє) [x]Знак цілої частини від числа (антьє) [x]. Позначку пов’язують з іменем

К. Гаусса (1808 р.). Для цього ж поняття деякі інші вчені використовували й інші

позначки, наприклад E(x).

Знак %Знак % походить, як вважається, від італійського слова cento (сто), яке в

процентних розрахунках часто записувалось скорочено cto. Звідси шляхом

подальшого спрощення в скоропису літери t в похилу риску утворився

сучасний символ на позначення відсотка. Символ набув загального визнання

в середині XIX ст.

Знак проміле “‰”Знак проміле “‰”. Знак утворено за аналогією до знака відсотка.

Знаки сталих і змінних об’єктів (буквена символіка)Знаки сталих і змінних об’єктів (буквена символіка)

У стародавніх вавилонян, єгиптян та китайців були деякі окремі знаки –

ієрогліфи для небагатьох математичних понять. Але лише в “Арифметиці”

Діофанта (III ст.) зустрічаються зачатки буквеної символіки.

Не будь-яке число позначав Діофант буквою, а тільки невідоме та його

степені. Невідоме називалось “аритмос” – “число”, позначалося знаком “S2”, що

124124

виконувало роль сучасного “х”. Діофант позначав обернені значення невідомої

величини та її степені, тобто особливими знаками.

У справі скорочених записів і символів індійці значно перевершили

Діофанта, але у справі з позначками для невідомих значного вони не досягли.

Індійський варіант їх запису полягав в наданні кожному

виду невідомих особливого кольору: “чорне”, “жовте”,

“блакитне” і т. д.

У 1637 р. Р. Декарт надав цим знакам сучасного

вигляду. Він зображував невідомі величини за допомогою

останніх літер латинського алфавіту х, y, z, а задані

величини – початковими літерами a, b, c. Запропоновані

Декартом символи скоро стали використовувати

повсюдно.

Перше вживання буквених коефіцієнтів, незалежно від того, додатні

вони чи від’ємні, містить стаття Гудде (1655-1661 рр.).

Знак вектора Знак вектора . Відносно введення цього

найстаршого знака для вектора існують дві версії. За

першою його ввів О. Коші в 1853 р. Але, можливо, це

З “Арифметики” Діофанта. Рукопис відноситься до XIV ст. Верхній рядок у сучасному записі означає

8х3-16х2 = х3

125125

Рене Декарт

О. Коші

сталося раніше, у 1806 р., коли вчений Арган подібною позначкою (ā) вже

позначав напрямлений відрізок. Оскільки, за означенням, вектор – це

напрямлений відрізок, то позначка цього поняття цілком відображає це

означення.

Потім Мьобіус позначав вектор через ĀĒ, щоб указати його початок і

кінець. Грассман називав вектори відрізками, він увів одиничні вектори e1, e2,

e3, напрямлені по осях координат. Позначку |ĀĒ| для довжини вектора ввів Ганс

(1905 р.).

Знаки індивідуальних операційЗнаки індивідуальних операцій

Знаки додавання “+” і віднімання “–“Знаки додавання “+” і віднімання “–“ застосовував уже в своїй

“Арифметиці” лейпцизький професор Й. Відман (1498 р.). З початку XVII ст. ці

знаки набувають повсюдного визнання.

За одним із вірогідних припущень знак “+”

утворився з останньої літери латинського

сполучника et (“і”). Це слово стали писати у

вигляді букви t і, нарешті, як знак плюс.

За іншою версією, знаки “+” і “–” виникли з

торговельної практики. Зокрема, виноторговці

простими рисочками відзначали кількість мірок

проданого з бочки вина. Коли ж якусь кількість

мірок доливали, то відповідну кількість рисок

перекреслювали.

Цікаво, що Діофант зовсім не мав

спеціального знака додавання, а приписував доданки один до одного, автор же

широковідомого середньовічного підручника з математики Лука Пачолі ще

застосовував знак (від латин. plus – “плюс”, “більше” або piu ́ – “більше”) та

(від латин. minus – “мінус”, “менше” або meno – “менше”).

126126

Титульна сторінка першого видання “Суми” Луки Пачолі

У XVII ст. мінус позначали і знаком “÷”, можливо, для того, щоб не плутати

цей знак з пунктуаційним знаком тире.

Знак “±”Знак “±”. Використовував його вже Вільям Оутред (1574-1660) в одній із

своїх праць, надрукованій у 1631 р.

Знак множення “Знак множення “ ” – косий хрест та “·” –” – косий хрест та “·” –

крапкакрапка. Позначку “ ” ввів У. Оутред у 1631 р. У XIV-

XVI ст. Цей знак застосовувався в процесі

розв’язування найрізноманітніших задач (перевірка дій

за допомогою дев’ятки, вирішення за допомогою

методу хибного твердження і т. ін.). Щоб не змішувати

косий хрест з літерою х, якою звичайно позначають

невідоме, Лейбніц у кінці XVII ст. (1698 р.) почав

позначати множення за допомогою крапки. Запис

множення без знака між множниками зустрічається

вже у Діофанта під час використання числового

коефіцієнта, а також в індійському “Бахшалийському

рукописі”.

Знак ділення “:”, “÷” та “Знак ділення “:”, “÷” та “ ” – дробова риска” – дробова риска. Знак “:” був уведений

У. Джонсом (1633) та Г. Лейбніцем (1684). Запис дробів за допомогою

горизонтальної риски – давнього походження, його використовували Герон та

Діофант. Потім він зустрічається в арабського математика XII ст. ал-Хасара,

його застосовував Леонардо Фібоначчі (XII-XIII ст.), однак загальновживаною

дробова риска стала лише в XVI-XVII ст. Протягом довгого часу операцію

ділення позначали літерою D (від division), уперше символ D для ділення

з'явився у книзі Штифеля “Deutsche Arithmetika” (“Німецька Арифметика”,

1545 р.). Швейцарець Ран у 1659 р. увів знак “÷”, який був широко відомий в

Англії й відноситься до праць Пелля. Тільки в 1823 р. знак “÷” перестали

застосовувати.

127127

Множення чисел 9876 та 6789 в італійській книзі

XVI ст.

Знаки степеняЗнаки степеня. Оскільки зачатки буквеної символіки спостерігаються в

“Арифметиці” Діофанта, там же ми бачимо перші позначки для показників

степеня. Кожний степінь невідомого тут мав особливу

позначку: другий степінь називався “динамос”, тобто “сила”,

третій степінь – “кубос”, четвертий – “динамо-динаміс”,

п’ятий – “динамо-кубос”, шостий – “кубо-кубос”. Потім,

подібно до Діофанта, європейські математики VI і частково

XVII ст. другий степінь невідомого називали “сила”

(латиною Census), а також “квадрат” (Quadratus), третій

степінь – “куб” (Cubus). Вієт застосовував скорочення: N (Numerus, число) для

першого степеня, Q – для другого, C – для третього, QQ – для четвертого і т. д.

Наприклад:

1C – 8Q + 16N aequatur 40

означає в сучасному записі: х2 – 8х2 + 16х = 40.

М. Штифель писав ААА замість А3; англійський математик початку XVII ст.

Т. Гарріот записував аааа замість а4. Англієць Оутред у 1631 р. писав Аq замість

А2, Ac замість А3, Aqq замість А4, Aqc замість А5 і т. д.

Сучасний запис, як Y3, Y4 і т. д., був уведений Декартом і систематично

застосовувався ним у його “Геометрії”. Декартові позначки степенів, які

використовували в XVII ст. Валліс, Ньютон та інші, збереглися й дотепер.

Знак радикала “Знак радикала “ ””

Починаючи з XIII ст. італійські та інші європейські математики

позначали корінь латинським словом Radix (корінь) або скорочено R,

потім     . В XV ст. Н. Шюке писав R2 замість .

Cучасна позначка має тривалу історію виникнення. Спочатку вона

розгалужується на дві версії, які потім сходяться в одну. Найбільш імовірним

прототипом цього знака вважається перша літера r (або R) у латинському слові

radix – “корінь”. Але є й інша цікава версія: знак радикала походить від

128128

Витоки алгебраїчної символіки у

Діофанта

позначки, яку застосовували німецькі математики XV-XVI ст., що називали

алгебру “Кос”, а алгебраїстів – “косистами”.

Деякі німецькі косисти XV ст. позначали квадратний корінь крапкою перед

числом або виразом. У скоропису крапки замінювали рисками, які пізніше

перетворилися на символ . Так, у рукопису, написаному в 1480 р. латинською

мовою, один такий символ крапки перед числом ( ) означав квадратний корінь,

два таких знаки ( ) – корінь четвертого степеня, а три ( ) – кубічний

корінь.

Можливо, з однієї з цих позначок згодом і утворився знак √, близький до

сучасного символа кореня, але без риски зверху. Його вперше застосував

чеський математик і вчитель Криштоф Рудольф з Явора (1500-1545) у своєму

підручнику з алгебри (1525 р., м. Страсбург).

Цим знаком кореня в XVI ст. користувались

М. Штифель, С. Стевін (писав показник кореня в

кружечку справа від радикала: замість нашого ,

і т. д.) та ін. Вони сприяли поширенню цього знака.

У 1626 р. нідерландський математик А. Жирар,

сполучаючи знак Рудольфа з показниками Шюке, увів

близьку до сучасної позначку і т. д. Ця позначка

стала витісняти знак R. Однак довгий час писали,

наприклад, (замість сучасного ). Пояснюється це тим, що риска

над виразом колись виконувала роль наших сучасних дужок. Лише в 1637 р.

Рене Декарт поєднав знак кореня з горизонтальною рискою, застосувавши у

своїй “Геометрії” сучасний знак кореня “ ” (хоча цей варіант ще мав деякі

відмінності з нашим).

Запис ще ближчий до сучасного зустрічаємо в “Універсальній

арифметиці” Ньютона (1685 р.). Запис, що точно збігається з нині

загальноприйнятим, міститься в книзі француза Ролль “Керівництво

129129

Сторінка з книги С. Стевіна “Десята”

алгебри”, написаній у 1690 р. Сучасний знак кореня остаточно став

загальновживаним лише на початку XVIII ст.

Знаки логарифма log, lg, lnЗнаки логарифма log, lg, ln походять від латинського слова logarithmus,

уведеного Дж. Непером (1614 р.) і утвореного від грецьких слів λογος

(“логос”) – “слово”, “вчення” та αριθμος (“арифмос”) – “число”, “лічба”.

Непер писав це слово повністю. Скорочення Log увів

Й. Кеплер (1624 р.), а сучасне log – Б. Кавальєрі (1632 р.).

Знак ln був уведений А. Принсхеймом у 1893 р.

Знаки тригонометричних і оберненихЗнаки тригонометричних і обернених

тригонометричних величин sin, cos, tg, arcsin ітригонометричних величин sin, cos, tg, arcsin і   т.т.  д.д.

Знаки sin, cos (1748 р.) та tg (1753 р.)

формально були введені Л. Ейлером,

хоча їх використовували ще і Сімпсон у 1737-1750 рр.,

Кестнер у 1758 р., Д’Аламбер у 1754 р., Лагранж у

1774 р.

Позначки для тригонометричних величин набули

сучасного вигляду не відзразу. Наприклад, деякий час

користувалися знаками, запропонованими Віллісом

(1616-1703). Він позначав їх однією літерою: синус – S,

косинус – Σ, тангенс – Τ, котангенс – t, секанс – s, косеканс – δ. Також

використовувались скорочення sico, або Sine поряд з s* і багатьма іншими.

Першим автором, який застосовував спеціальні символи для обернених

тригонометричних функцій, був Бернуллі. У 1729 і 1736 рр. він писав as і at

відповідно замість arcsin та arctg. Сучасні позначки arcsinx і arctgx з’явилися

в 1772 у працях Шерфера і Лагранжа.

Знаки диференціала dx, ddx, …, d2x, d3xЗнаки диференціала dx, ddx, …, d2x, d3x. Знак dx, що походить від

латин. differentia – “різниця”, відображає зв’язок диференціала функції і її

приросту. Позначки для диференціала були введені Лейбніцем у 1675 р.

130130

Кеплер

Кавальєрі

Знак визначеного інтеграла Знак визначеного інтеграла . У першій половині XVII ст.

операцію інтегрування записували словами “сукупність всіх невидимих”, а потім

– “всі лінії” (omnes lineas). У механіці Валліса вперше зустрічаються скорочення

вигляду omn w, де w означає неподільне. Заради скорочення запису Лейбніц у

1675 р. замість omn вводить початкову літеру слова summa, яка згідно з

правилами того часу писалась, як наш знак інтеграла.

Спочатку Лейбніц увів позначку ∫y, але вже через місяць він став писати

∫ydx – це вже не сума неподільних, а сума площ нескінченно малих трикутників.

У друці сучасна позначка з'явилась у 1686 році. У цей же час Бернуллі позначав

операцію інтегрування літерою I (перша літера введеного ним терміна

“інтегральне числення”). Сімпсон до середини XVIII ст. замість знака інтеграла

писав F (від слова “флюента”).

Сучасне позначення визначеного інтеграла запропонував французький

математик XIX ст. Жан Батіст Фур’є (1768-1830) у 1822 р. Це позначення

практично відразу набуло повсюдного поширення й визнання.

Знак невизначеного інтеграла ∫ ydxЗнак невизначеного інтеграла ∫ ydx увів Г. Лейбніц у 1675 р.

(опубліковано в 1686 р.). Сам знак ∫ – видозміна першої літери S у

латинському слові Summa. Позначка відображає той факт, що площу

криволінійної трапеції можна умовно подати як суму нескінченно тонких

стрічок з основою dx і висотою y.

Знаки похідних y′, y′′, f′(x), f′′(x)Знаки похідних y′, y′′, f′(x), f′′(x) увів Ж. Лагранж (1770, 1779 рр.), знак

– Г. Лейбніц у 1675 р. (опубліковано в 1684 р.).

Знак Δх на позначення приросту змінноїЗнак Δх на позначення приросту змінної ввів Л. Ейлер (1755 р.).

Δ – грецький аналог латинської літери d у слові differentia – “різниця”.

Знак суми ∑Знак суми ∑. Був уведений Л. Ейлером у 1755 р. Хоча його вживав ще

Лагранж, але в XVIII ст. йому приділяли мало уваги.

131131

Знак факторіала !Знак факторіала !. Спочатку символ мав вигляд , таким його ввів Томас

Джарретт (1805-1882) у 1827 р. Позначка n! зустрічається вперше у

Крістіана Крампа в 1808 р., уведена з метою полегшення

друкування.

Знак модуля (абсолютної величини)Знак модуля (абсолютної величини) . Знак увів

німецький математик К. Вейєрштрасс у 1841 р. у своєму есе “Про

теорію потенціювання”. У подальших своїх працях також використовував цю

позначку.

Знаки змінних операційЗнаки змінних операцій

Знаки функцій f(x), sin x, cos x, tg x, ctg xЗнаки функцій f(x), sin x, cos x, tg x, ctg x ввів Ейлер (1734, 1748,

1753 рр.). Для позначення довільної функції від х Йоганн Бернуллі

застосовував знак φх, називаючи φ характеристикою функції, а також літери х

та ε; Лейбніц використовував х1, х2 замість сучасних f1(x), f2(x). Ейлер

позначав через f : y, f : (x+y) те, що ми тепер позначаємо f(x), f(x+y). Поряд з φ

Ейлер запропонував користуватися й літерами Φ, Ψ та ін. Д’Аламбер зробив

крок уперед на шляху до сучасних позначок, відкинувши двокрапку Ейлера;

він пише, наприклад, φt, φ(t+s). Вважається, що букву f для позначення

функції Ейлер вибрав як першу літеру в латинському слові functio –

”функція”, “дія”.

Знаки змінних відношеньЗнаки змінних відношень

Знак рівності “=”Знак рівності “=”. Біля витоків буквеної символіки знак

рівності набував різних видів. Наприклад, у Діофантовому творі

“Арифметика” замість нього використовується знак і – перша

літера в грецькому слові “ізос” – “рівний”.

До появи спеціального знака слово “дорівнює” писали різними мовами,

потім у научний ужиток увійшло aequatur або скорочене aequ. У 1557 р.

англійський доктор і математик Реккорд запропонував знак “=”. Деякий час

132132

Діофант

Вейєрштрас

цим знаком позначали паралельність, потім урешті-решт змінили напрям

рисок.

Знак “≠”Знак “≠”. Походження цього знака пояснюється цілком логічно:

перекреслений знак “дорівнює” означає невірну

рівність, тобто нерівність. Як зазначається в

деяких джерелах, цей знак був якщо не

введений, то першим використаний Ейлером.

Він застосовував схожу до нашої позначку , яка

згодом переросла в сучасну.

Знак “≡”Знак “≡”. Уведений і опублікований був Карлом Фрідріхом Гауссом у

1801 р. у його творі “Disquisitions arithmeticae”. У його рукописах позначка

зустрічала й раніше.

Знаки строгих нерівностей “<” та “>”Знаки строгих нерівностей “<” та “>”. Позначки були введені

Гарріотом у 1631 р. після введення знака рівності. Він обґрунтував своє

нововведення так: якщо дві величини не дорівнюють одна одній, то відрізки,

що фігурують у співвідношенні, не паралельні, а перетинаються. Перетин

може бути справа (>) і зліва (<). У друкарнях використовували для

нерівностей букву V, що вже була відомою в ті часи, бо відповідного знака

для набору вони не мали. За гіпотезою деяких учених, у Гарріота з’явилась

думка ввести ці знаки після його подорожі у Північну Америку. Там на руці

в одного корінного американця він побачив знак , і тоді вирішив розділити

його на два символи. За однією з версій, Гарріот ніколи не використовував

уведені ним символи, бо його праця, де вони зустрічаються, була

надрукована лише після смерті вченого.

Знаки нестрогих нерівностей “≤” та “≥”Знаки нестрогих нерівностей “≤” та “≥”. Символи були введені в

1734 р. французьким математиком П’єром Буге. Спочатку їх записували “< ”

та “> ”. Потім Валліс використовував ці позначки вже з однією рискою, але

зазначав її над знаками нерівностей. З часом знаки нестрогих нерівностей

набули сучасного вигляду.

133133

Карл Фрідріх Гаусс

Логічні кванториЛогічні квантори

Знак , еквівалентний слову “існує”, є віддзеркаленням

першої літери Е у відповідному англійському слові еxist. Знак

, еквівалентний вислову “для будь-якого”, є перевернутою

першою літерою А в англійському слові аll (кожний). Обидва

знаки і набули поширення завдяки авторитету

італійського вченого Джузеппе Пеано (1858–1932).

Геометричні позначкиГеометричні позначки

Літери на позначення точок, прямих іЛітери на позначення точок, прямих і

площинплощин. Позначення літерами точок, прямих і

площин літерою або літерами було введене

стародавніми греками. Пізніше до цієї традиції

повернувся Гіппократ (приблизно 440 рік

до н. е.).

Знак О на позначення точки відліку або центра колаЗнак О на позначення точки відліку або центра кола. Позначка О

походить від її найменування origine – “початок”, яке дав Ф. Лагір у 1679 р. До

цього часу багато говорилось про значення цієї точки, але конкретної позначки

для неї ще не вживали.

Позначки для осей на координатній площині x, y, zПозначки для осей на координатній площині x, y, z. Хоча

подібні позначки були введені ще Декартом, координати в нього

були лише додатними числами. Позначки x, y, z стали

загальновживаними не одразу. Однак після систематичного

використання цих позначок Лагіром (x, y, v, – 1679 рік), Пароком (x,

y, z, – 1705 рік), Ейлером (t, x, y, – 1728 рік) і Бернуллі (x, y, z, – 1715 рік)

декартова символіка міцно увійшла в геометрію.

Позначення координатів через x1, x2, x3 ввів Гессе в 1844 р.

134134

Джузеппе Пеано

Філіпп де Лагір

Гіппократ

Знак подібності “≈”Знак подібності “≈”. Перша поява сучасного знака подібності відноситься

до 1710 р. Значок був надрукований в анонімній статті, що належала, як

виявилось, Лейбніцу. Він користувався цим символом починаючи з 1679 р.

Знак паралельності “||”Знак паралельності “||”. Герон (150-ті роки) та давньогрецький вчений

Папп (III ст.) використовували для позначення паралельних символ “=”.

Найбільш вірогідне пояснення цього знака полягає в тому, що він є ніби

фрагментом двох паралельних прямих. Так само робив у XVII  ст.

французький математик Ерігон. Три паралельні риски, написані вже

вертикально, уперше використовуються Вільямом Оутредом (1677 р.). Після

того, як англієць Реккорд увів знак рівності (=), знак паралельності

перетворили, змінивши напрям рисок. Це зробив математик Джон Кірсей у

1673 р. Але лише в XVIII ст. позначка стає загальновживаною.

Знак перпендикулярності “Знак перпендикулярності “ ””. Вважається , що знак був уведений

математиком П. Ерігоном (XVII ст.), бо вперше зустрічається саме в його

працях. Як і більшість знаків геометрії, знак перпендикулярності має такий

вигляд у зв’язку з геометричною моделлю цього поняття.

Знак кута “Знак кута “ ” та дуги “” та дуги “ ””. Знаки були введені французьким

математиком П. Ерігоном у XVII ст. у зв’язку з графічним зображенням

геометричного кута та дуги відповідно.

Знак трикутника ΔЗнак трикутника Δ використовував ще Папп Олександрійський (у

III ст.). Δ (дельта) – четверта (велика) літера грецького алфавіту, перша у

назві відомого своєю формою низов’я річки Ніл. Знак Δ замість слова

“трикутник” уперше зустрічається в грецького вченого Герона (I  ст.).

Позначення “˚” для градуса та “'” для мінутиПозначення “˚” для градуса та “'” для мінути. Позначку, схожа на

сучасну, уперше застосовував Птолемей (100 – 178 р.), який користувався

шістдесятковою системою числення. Він називав градуси – “частинами” –

mairai (скорочено m°), і позначав мінути штрихами. Середньовічні рукописи

й ранні друковані книги містять скорочення латинських слів gradus, minutea,

secudea. Замість Птолемеєвих найчастіше вживаються Gr, Min, Sec або grad,

135135

m, s, сучасні знаки ввів медик і математик Пелетьє (1558),

у якого ° та ' означали степені дробу 1/60. Ці позначки в

1600 р. стали загальноприйнятими.

Знаки “математичної пунктуації”Знаки “математичної пунктуації”

ДужкиДужки. Сама назва “дужки” пішла від уведеного Ейлером німецького

терміна Klammer – “дужки”.

Знаки для поєднання складених величин виразу і для позначення

порядку виконання дій з’явились у XV ст. У своєму арифметично-

алгебраїчному творі “Наука про числа в трьох частинах”, написаному в

1484 р., французький математик Нікола Шюке підкреслював багаточлени

горизонтальною рискою. Так само робив ще в 1550 р. італійський математик

Р. Бомбеллі, який, однак, пізніше поклав початок квадратним дужкам,

використовуючи замість дужок літеру L і перевернуту .

Круглі дужки з’явилися в XV ст. у працях Штифеля, Тартальї та інших.

У кінці того ж століття фігурні дужки в книжках вживав Вієт. Однак

протягом майже всього XVII ст. застосовувалися не дужки, а горизонтальна

риска, яку проводили над виразом, який треба розташувати в дужках. Так

чинили Декарт, Гарріот та ін. Ньютон користувався навіть декількома

надписаними одна над одною рисками, наприклад:

означало в нього .

Знаки відокремлення дробової частини десяткового дробу від цілоїЗнаки відокремлення дробової частини десяткового дробу від цілої

кома “,” та крапка “.”кома “,” та крапка “.”. Точка для відокремлення дробової частини числа від

цілої в десятковому дробі з'явилася раніше коми, це відбулося вже в XV ст., хоча

з часом цей знак використовували дещо в іншому контексті. Вперше у друку

вжив цей символ вчений Пеллос, він же дуже близько підійшов до використання

цього символу в сучасному розумінні. У 1530 р. інший вчений –

Криштоф Рудольф замість крапки почав писати вертикальну риску, що було в ті

136136

Клавдій Птолемей

часи зручно для друкарень. Так чинив і Вієт трохи пізніше. Деякі вчені

вважають, що в сучасному сенсі крапку почав застосовувати вчений Г. А. Магіні

(1555-1617), який працював разом з Кеплером над створенням карт. Але

поширення крапка в записі десяткових дробів набула лише через двісті років,

коли її використовував Непер.

Уже в 1592 р. розподільним знаком у запису дробів починає виступати кома

(особливо в працях Райта). Непер також використовував кому в своїх працях.

Паралельно з цим виникали й інші види запису десяткових дробів.

Наприклад, учений Вільям Оутред (1574-1660) замість сучасного запису 0,56

писав 0/56.

Символіка теорії множинСимволіка теорії множин

Символіка теорії множин запозичена в більшості з математичної логіки.

Знаки належності “Знаки належності “ ”, “”, “ ””. Шредер в 1890 р. ввів знаки “ ” і “ ” для

поняття “належить” для однієї точки і для множини точок відповідно.

Знаки для перетину і об’єднання “Знаки для перетину і об’єднання “ ” та “” та “ ””. Дуги півкіл увів Пеано, з

яких у подальшому утворились знаки перетину (“ ”) та об’єднання (“ ”).

Символ порожньої множини “Ø”Символ порожньої множини “Ø”. Учений Андреа Вайл (1906-1998)

пише в своїй автобіографії, що він першим запропонував використовувати цю

позначку для поняття порожньої множини. Він також зазначає, що ця позначка

запозичена ним з Норвезького алфавіту, до якого, крім нього, зверталась лише

група математиків початку XX ст. відома під псевдонімом Бурбакі.

137137